Kpitel 1 Mängder i R n. Funktioner från R n till R p 1.1. Euklidisk rummet R n : geometri Som vnligt betecknr vi med R n mängden v ll reell n-tiplr = ( 1, 2,..., n ) med origo (nollvektorn) = (,,...,) Vektorern och är prllell,, om det finns ett reellt λ så tt = λ eller = λ R n blir ett Euklidiskt rum om vi definierr en sklärprodukt: = 1 1 + 2 2 +...+ n n. längden eller beloppet v en vektor är = Avståndet melln två punkter och är: = ( ) ( ) = ( 1 1 ) 2 +...+( n n ) 2 Cuch-Schwrz olikhet: för godtcklig vektorer i R n gäller: Tringelolikheten: I R n gäller: Vinkeln melln två vektorern och är:. (1.1) + +. (1.2) cosθ = Obs. tt (1.2) cosθ 1, lltså är vinkeln θ väl definierd. Vektorern och klls ortogonl om = 1
2 1. Mängder i R n. Funktioner från R n till R p 1.2. Viktig delmängder till R n z En linje in R 3 genom punkten = (,,z ) med riktningsvektor v = (,b,c) på prmeterform ges v (,,z) = +vt = ( +t, +bt,z +ct), t R v Ett öppet klot i R n är mängd som kn skrivs z B(;r) = B (r) = { R n : < r} Vi kllr klotets meddelpunkt eller centrum och r klotets rdie. I R 1 resp. R 2 ger det intervllet r < < +r resp cirkelskivn ( 1 1 ) 2 +( 2 2 ) 2 < r. En sfär in R n är mängden v punkter { R n : = r} Enöppen kvdrtir 2 medsidn2bochmeddelpunkten = (, ) är mängd v punkter som uppfller m{, } < b. En ellips i R 2 med meddelpunkten och hlvellängdern resp. b ges v ekvtionen ( ) 2 2 + ( ) 2 b 2 = 1. En hperbol i R 2 med meddelpunkten i origo ges v ekvtionen 2 2 = c, c
1.3. Topologi i R n : öppn och slutn mängder 3 1.3. Topologi i R n : öppn och slutn mängder Vi behöver ge uttrcken ligg i närheten och omgivningen konverger en rigorös mening för tt senre definier begreppen gränsvärde och derivt. Idé: är ekvivlent tt säg tt (vståndet, beloppet) är litet. Definition 1.1. Mängden U R n är en omgivning till pukten R n om U innehåller något öppet klot med centrum i. Eempel 1.1. Olik omgivningr till punkten = 1 i R 1 i form v resp. mängdbeskivining, olikhet och bild: U =] 2,5[ U = [,2] U = [, [ 1 < < 2 2 > 1 1 2 1 1 2 1 1 2 Eempel 1.2. Olik omgivningr till punkten = (2,2) i R 2 : en kvdrt en sluten cirkelskiv den först kvdrnten { R 2 : 1 < < 3,1 < < 3} { R 2 : ( 2) 2 +( 2) 2 1} { R 2 : >, > }... Definition 1.2. Låt M vr en mängd i R n. En punkt R n klls inre punkt till M om det finns ett öppet klot kring som ligger helt i M; ttre punkt till M om det finns ett öppet klot kring som ligger i komplementet M c = R n \M till M; rndpunkt till M om vrje öppet klot innehåller punkter från såväll M som M c Eempel 1.3. Betrkt Q = { R 2 : 1 2,1 < < 2}, se bilden. mängden rnden inre punkter ttre punkter Q
4 1. Mängder i R n. Funktioner från R n till R p Definition 1.3. En mängd M R n klls öppen om ll dess pukter är inre punkter. Den klls sluten om ll dess rndpukter tillhör M. Mängden Q i Eempel 1.3 är vrken oöppen eller sluten. Här kommer tterligre eempel: Slutn mängder i R 2 : Slutn mängder i R 2 : en godtcklig linje den först kvdrnten { >, > } en sluten cirkelskiv (kvdrt) hel plnet tomm mängden en öppen cirkelskiv (kvdrt) hel plnet tomm mängden Definition 1.4. Mängden M R n klls begränsd om det finns ett tl C sådnt tt C för ll M. {(,) : 2 +( 2) 2 < 1} Begränsd {(,) : 2 } Obegränsd Definition 1.5. Mängden M R n klls kompkt om den är både sluten och begränsd. Eempel 1.4. Den slutn cirkelskivn ovn är kompkt, medn prbeln är inte. 1.4. Funktioner v fler vribler Tänkpålinjärlgebr:enlinjärvbildingärenmpfrånR n tillr p gesvplinjärsmmnkoppldefunktioner. Viktig speciell fll: n = 2, p = 1: reellvärd funktioner v tvåvribler, t. e. f(,) = 2 + 2 n = 3, p = 1: reellvärd funktioner v tre vribler, t. e. f(,,z) = z n 2, p = 1: reellvärd funktioner v fler vribler, t. e. f( 1,..., n ) = 1 +...+ n n = 1, p = 2: kurvor i R 2, t. e. f(t) = (cost,sint) (tänk på t som tiden) n = 1, p = 3: kurvor i R 3, t. e. f(t) = (cost,sint,t) (s, t) sinscost n = 1, p = 3: tor i R 3, t. e. (s, t) = sinssint z(s, t) coss ( ) ( )( ) ( ) f(,) 1 2 +2 n = 2, p = 2: vbildningr, t. e. = = g(, ) 3 4 3+4
1.5. Reellvärd funktioner och dess nivåmängder 5 1.5. Reellvärd funktioner och dess nivåmängder För en reellvärd funktion z = f(,), (,) D, v två vribler och definierr vi grfen v f = {(,,z) R 3 : z = f(,), (,) D} Grfen v en funktion v två vribler kn betrkts som en t i R 3 som ges prmetriskt v = = (,) D z = f(,) En nivåkurv för en funktion v två vribler f(,) är mängden i -plnet f(,) = c, där c är ett godtckligt reellt tl. Likdnt, en nivåt för en funktion v tre vribler f(,,z) är mängden i z-rummet f(,,z) = c. En viktig prktisk fråg: hur funktionstn kn tänks se ut dels med ledning v nivåkurvorn? Eempel 1.5. Observer tt grfen v funktion v en vribel f() = 2 är smtidigt -nivåmängd v funktion g(,) = 2 v två vribler. Alterntivt, den är också 1-nivåmängd v funktionen h(,) = 2. Eempel 1.6. Bertkt f(,) = 2 + 2. Grfen till f är en (ellitpisk) prboloid. Nivåkurvor är cirklr: 2 + 2 = c v rdien r = c med centrum i origo: 1 c = 1 c = 4 5 2 2 2 2 Eempel 1.7. Bertkt f(,,z) = 2 2 z. Nivåtor f = c är fmiljen v prllell (hperbolisk) prboloider som ges i R 3 v en grf v funktionen z = 2 2 c, c R. Se nivåtn f = : 2 2 5 4 2 2 4 5
6 1. Mängder i R n. Funktioner från R n till R p 1.6. Smmnstt functioner Eempel 1.8. Kn f(,) skrivs med hjälp v en function g = g(t) v en vrible enligt nedn? ) f(,) = 2 + 2 = g( ). Svr: j, 2 + 2 = + = t+ 1 t, där t =, lltså g(t) = t+ 1 t. b) f(,) = + = g( ). Svr: nej, t t.e. (,) = (1,1) och (2,2) ger smm t = 1 men olik f (1 resp. 1 2 ). 1.7. Plnpolär koordinter i R 2 (,) ρ = ρsinϕ α = ρcosϕ Vribelbtre { = ρcosϕ = ρcosϕ definierr en bijektiv vbildning v området { ρ > ϕ 2π på området (,) (,) i -plnet R 2 Obs! 2 + 2 = ρ 2. 1.8. Rmdpolär koordinter i R 3 z θ P Vribelbtre = rcosϕsinθ = rsinϕsinθ z = rcosθ φ definierr en bijektiv vbildning v området r > ϕ 2π < θ < π på området (,,z) utn z-eln i z-rummet R 3 Obs! 2 + 2 +z 2 = r 2.