6.3 Projektio oh Speglig 67 6.3. Projektio oh Speglig Exempel 6.4. Bestäm mtrise för projektioe P v rmmet vikelrät mot plet W : x y z = 0. Bestäm okså ilde v svektorer e, e, e 3 oh w = e + e + 3e 3. (N-s. Lösig: Aväd projektiosformel Utyttj tt P är lijär Figr 6.5. // = P( P( = = P( P( = 0 Projektiosformel ger = + där = oh P( = =. Mtrise A för projektioe P iehåller i si koloer ilde v svektorer. Vi följer Exempel.34 oh låter = e vr e godtyklig vektor. Då får vi e e P( = = = e = e = e = e 5 4 8 4 5 e 4 4 + + 4 + + 4 e = e e = e e e 4 4 + + 4 + + 4 5 + + 4 + 8 4 + 5
68 6 LINJÄRA AVBILDNINGAR Alltså hr P mtrise A = P är lijär. Låt = e 5 4 8 4 5. oh = e vr två vektorer i plet W. (Vis dett geom tt sätt i vektorers koorditer i plet W:s ekvtio. Då kommer ormle tt vilds på 0 oh oh tt vilds på sig själv eftersom dess red ligger i plet W. Vi hr lltså tt P( = 0 P( = P( = P(e e e 3 = 0 e + 0 e + 0 e 3 P(e + e + e 3 = e + e + e 3 P(e e + e 3 = e e + e 3 Eftersom P är lijär så får vi systemet P(e P(e P(e 3 = 0 e + 0 e + 0 e 3 P(e + P(e + P(e 3 = e + e + e 3 P(e P(e + P(e 3 = e e + e 3 Löser vi systemet för de oekt P(e, P(e oh P(e 3 som i i Exempel 6.3 får vi tt som ger mtrise A ige. P(e = (5e + e + 4e 3 / P(e = (e + 8e e 3 / P(e 3 = (4e e + 5e 3 / Vi projierr vektor w = e + e + 3e 3 oh får ilde P(w = P e = e 5 4 8 3 4 5 3 = e I märkige ed tr vi pp ett tl viktig egeskper hos e projektio som k verifiers för exemplet ov. Amärkig 6.6. m A är mtrise för projektioe i Exempel 6.4, så är. A symmetrisk.. deta = 0. 3. A = A. Vi visr i Amärkig 6.55 tt i rmmet hr ll ortogol projektioer på ett pl dess egeskper. Däremot visr vi i Kpitel 4 det llmä fllet tt i -dimesioellt rm så hr ll ortogol projektioer på derrm dess egeskper. 5.
6.3 Projektio oh Speglig 6 Exempel 6.7. Age mtrise för speglige S i plet W : Lösig: Projektiosformel S är lijär: Figr 6.8. x y z = 0. (N-s. // =S( =S( P(= Låt = e S( vr e godtyklig vektor i rmmet. Då gäller tt S( = = = e = e e 8 4 8 4 + + 4 8 + 4 + 8 e = e + 4 + 8 4 + 7 4 8 4 Alltså ges vildigsmtrise för speglige S v A = 4 8 4 7 4 8 4 = e S(= 4 8 4 7 4 8 4 Idé här är tt tyttj egeskpe hos S, dvs tt ormle vilds på smt tt två godtykligt lijärt oeroede vektorer i plet W vilds på sig själv. T.ex. tr vi = e + e + e 3 oh = e e + e 3 i W. Dett ger tt S( = S( = S( = S(e e e 3 = e + e + e 3 S(e + e + e 3 = e + e + e 3 S(e e + e 3 = e e + e 3 S(e = (e + 4e + 8e 3 S(e = (4e + 7e 4e 3 S(e 3 = (8e 4e + e 3 vilket ger smm vildigsmtris A som ov. Systemet ov löses p.s.s i Exempel 6.3.
70 6 LINJÄRA AVBILDNINGAR Exempel 6.. Bestäm mtrise för projektioe v rmmet vikelrät mot de rät lije L : (x,y,z = t(,, t (N-s. Lösig: Projektiosformel P är lijär Figr 6.0. L v P( = //v Låt v = e vr riktigsvektor hos lije oh låt = e vektor. Projektiosformel ger: P( = v = v + v = e v = e + + 4 4 = e 4 + 4 4 4 4 4 Alltså ges vildigsmtrise till projektioe P v A = vr e godtyklig 4 4 4 4 P projierr riktigsvektor v på sig själv, smt två godtykligt lijärt oeroede vektorer, ortogol mot v, t.ex. = e + e + e 3 oh = e e e 3 projiers på ollvektor 0. Dett ger tt P(v = v P( = 0 P( = 0 P(e + e e 3 = e + e e 3 P(e + e + e 3 = 0 P(e e e 3 = 0 P(e = (e + e e 3 / P(e = (e + 4e 4e 3 / P(e 3 = ( e 4e + 4e 3 /.. Vi får smm vildigsmtris A som ov.
6.3 Projektio oh Speglig 7 Exempel 6.. Bestäm mtrise för e speglig v rmmet i de rät lije L : (x,y,z = t(,, t. Bestäm okså ilde v vektor w = e +e +3e 3. (N-s. Lösig: Figr 6.. L v S( S( S( Eftersom spegelilde ppfyller S( = v så ges vildigsmtrise 7 4 4 4 8. 4 8 Altertivt k vi lös ekvtiossystemet S(v = v S( = S( = där vektorer oh är ortogol mot v oh k vr som i Exempel 6.. Vidre gäller tt S(w = 7 4 4 e 4 8 4 8 3 = e 3 = e e 3 e 3.