Dagens program Matriser Räkneoperationer och räknelagar Linjära ekvationssystem och matriser Matrisform av ekvationssystem Elementära radoperationer Trappstegsmatriser, rang och lösningsstruktur Matrisinvers, matrisekvationer Många, fast enkla, begrepp. Läs glosorna, dvs definitionerna!
3.. Matriser Definition 3..1. Låt rr och kk vara heltal 1. En rr kk-matris består av rr kk stycken element ordnade i ett rektangulärt schema enligt nedan: rr kk kallas format eller typ: aa 11 aa 1kk aa rrr aa rrrr aa 11 aa 1 0 0 1 aa 1 aa 0 1 0 0 0 1 kvadratiska matriser bb 11 bb 1 bb 31 kolonnmatris aa iiii : där ii anger i vilken rad och jj i vilken kolonn element står Matriser betecknas med stora bokstäver: AA, BB, Diagonalmatriser, t.ex. aa 11 0 0 0 aa 0 0 0 aa 33
Räkneoperationer Definition 3... (Likhet) Matriser AA = aa iiii rr kk och BB = bb iiii rr kk är lika, d v s AA = BB om aa iiii = bb iiii för alla ii, jj: 1 jj rr, 1 jj kk (Addition) Låt AA = aa iiii rr kk och BB = bb iiii rr kk vara matriser av samma format. Summan av AA och BB definieras som AA + BB = aa iiii + bb iiii rr kk = aa 11 + bb 11 aa 1kk + bb 1kk aa rrr + bb rrr aa rrrr + bb rrrr (Multiplikation med reellt tal) Låt AA = definieras som aa iiii rr kk och λλ R. Produkten av AA och λλ λλaa = λλaa iiii rr kk = λλaa 11 λλaa 1kk λλaa rrr λλaa rrrr
Matrismultiplikation kk mm rr mm = Låt AA = aa iiii rr mm och BB = bb iiii mm kk. Då definieras produkten AA och BB som rr kk matris CC där cc iiii = aa ii1 bb 1jj + aa iii bb jj + + aa iiii bb mmmm Exempel 1. AA BB = 1 4 5 3 6 1 7 + 4 8 7 9 8 10 = 7 + 5 8 3 7 + 6 8 1 9 + 4 10 9 + 5 10 3 9 + 6 10 = 39 54 69 49 68 87 OBS! I detta fall är produkt BB AA ej definierad! Matrisprodukt skiljer sig från produkt mellan reella tal: AA BB BB AA
Räkneoperationer För kvadratiska matriser definieras heltalpotens på samma sätt som för reella tal, d v s om AA är en nn nn matris så definieras AA = AAAA, AA 3 = AAAAAA = AA AA etc Enhetsmatriser (enbart ettor står på huvuddiagonalen): II = 1 0 1 0 0 0 1, II 3 = 0 1 0 etc 0 0 1 Produkt av en matris AA och en kolonnmatris BB kan skrivas som en linjärkombination av AA:s kolonner och koefficienterna i linjärkombinationen är precis elementen i B. Låt t ex AAAA = 3 4 5 7 9 = 7 + 3 9 4 7 + 5 9 = 7 4 + 9 3 5
Räkneoperationer Låt AA, BB, CC vara matriser av samma format. För addition av matriser gäller: 1) AA + BB = BB + AA ) AA + BB + CC = AA + BB + CC 3) Det finns en matris av varje typ rr kk som kallas nollmatrisen och tecknas 0 sådan att för alla rr kk-matriser AA gäller AA + 0 = AA 4) Till varje rr kk-matris AA finns en rr kk-matris AA sådan att AA + AA = 0. Låt AA, BB, CC vara matriser för vilka respektive operationer är definierade. För multiplikation gäller: 1) AAAA CC = AA BBBB ) λλλλ BB = AA λλλλ = λλ(aaaa), λλ R 3) AA BB + CC = AAAA + AAAA och BB + CC AA = BBBB + CCCC 4) IIII = AAAA = AA, där AA är en kvadratisk matris och II är enhetsmatrisen av samma typ
Transponat och transponering Låt AA = aa iiii rr kk vara en rr kk-matris. kk rr matrisen AA tt tt = aa iiii transponatet av AA och definieras ur AA genom att aa tt iiii = aa jjjj för alla ii, jj: 1 ii rr, 1 jj kk kk rr kallas Exempel. AA = 1 3 ππ ee ln, AA tt = 1 3 ππ ee ln Exempel 3. Låt ee vara en ON bas i rummet och uu = eexx, vv = eeyy. Då är uu vv = xx 1 yy 1 + xx yy + xx 3 yy 3 = XX tt YY Räknelagar för transponering AA + BB tt = AA tt + BB tt λλ AA tt = λλaa tt AA tt tt = AA AAAA tt = BB tt AA tt En (kvadratisk) matris AA kallas symmetrisk om AA tt = AA
Multiplicera ekvation med nollskild konstant Byta plats på två ekvationer Addera konst*(ekvation) till annan ekvation Elementära radoperationer Multiplicera rad med nollskild konstant Byta plats på två rader Addera konst*(rad) till annan rad xx + yy + zz = 3xx + yy zz = 3 xx + 3yy + 5zz = 4 3 1 3 5 3 4 xx + yy + zz = yy 4zz = yy + 3zz = 0 1 1 0 1 4 0 1 3 0 xx + yy + zz = yy 4zz = zz = 0 1 4 0 0 1 xx = yy zz = 8 yy = 3 4zz = 9 zz = 3 xx yy zz = 8 9 3
Lösningsstruktur Sats 3.4.8. Ett linjärt ekvationssystem har antigen exakt en lösning ingen lösning eller oändligt många lösningar Exempel 3.4.3. Lös ekvationssystem 3xx yy + 4zz = 1 xx + 4yy + 6zz = 4 xx + 3yy 5zz = 1 Exempel 3.4.5. Ange en ekvation som aa, bb, cc, dd måste uppfylla för att systemet skall vara lösbart: xx + yy + zz = aa 3xx + yy zz = bb xx + 3yy + 5zz = cc xx + yy + zz = dd
Trappstegsform 3 1 3 6 3 7 0 1 4 0 1 4 3 radekvivalenta Om matrisen BB erhålls efter ändligt många radoperationer på matrisen AA så säges AA och BB vara radekvivalenta. nya rad = gamla rad + cc annan rad Att AA och BB är radekvivalenta skrivs 0 1 4 0 0 0 0 trappstegsform AA BB Sats 3.4.. Om två ekvationssystem har radekvivalenta totalmatriser så är systemens lösningsmängder identiska.
Trappstegsform Definition 3.5.1. Element aa iiii i matrisen AA kallas pivotelement om aa iiii 0 och aa μμμμ = 0 for μμ ii, νν jj och μμ, νν (ii, jj) En matris kallas trappstegsmatris om alla nollskilda rader står ovanför alla nollrader och om varje nollskild rad har ett pivotelement.
Trappstegsform Definition 3.5.1. Element aa iiii i matrisen AA kallas pivotelement om aa iiii 0 och aa μμμμ = 0 for μμ ii, νν jj och μμ, νν (ii, jj) En matris kallas trappstegsmatris om alla nollskilda rader står ovanför alla nollrader och om varje nollskild rad har ett pivotelement.
Trappstegsform Sats 3.5.. Varje rr kk-matris är radekvivalent med minst en trappstegsmatris. Om TT 1 och TT är trappstegsmatriser och TT 1 TT så har TT 1 och TT lika många nollskilda rader. T ex 0 1 4 0 0 0 0 1 0 0 8 0 0 0 1 6 0
Rang Definition 3.5.3. Låt AA vara en matris och TT en trappstegsmatris sådan att AATT. Om T har nn st nollskilda rader så säges AA har rang nn och vi skriver rang AA = nn. Exempel. AA = 3 1 3 5 3 4 0 1 4 0 0 1 rang AA = 3 BB = 0 1 rang BB = 1 II 3 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 rang II 3 = 3 CC = 0 1 1 Bestäm rang AA för AA = rang II 3 =?... 3 4 4 5 6 1 5 7
Rang och lösningstuktur Entydig lösning: rrrrrrrr(koeff) = rrrrrrrr(total) = antal variabler 1 0 11 4 3 0 0 11 3 Ingen lösning: rrrrrrrr(koeff) < rrrrrrrr(total) 1 0 11 4 0 0 0 3 33 Oändligt många: rrrrrrrr koeff = rrrrrrrr total < antal variabler 1 0 11 4 0 0 0 3 0
3.6 Matrisinvers Låt aa, yy R och aa 0. Då aaaa = yy aa 1 aaaa = aa 1 yy xx = aa 1 yy Motivation: Studerar motsvarande matrisekvationen AAAA = YY där AA är en kvadratisk matris. Definition 3.6.1. En kvadratisk matris AA kallas inverterbar om det finns en matris BB så att AAAA = BBBB = II BB kallas AA:s invers och betecknas AA 1 OBS! AA, AA 1 och BB har samma format. Räknelagar. AA 1 1 = AA AA tt 1 1 tt = AA AAAA 1 = BB 1 AA 1 (OBS! ordning) AA nn 1 = AA 1 nn för alla heltal nn 1
3.6 Matrisinvers Sats 3.6.. Låt AA vara en nn nn-matris. Följande påståenden är ekvivalenta: a. AA är inverterbar. b. Matrisekvationen (ekvationssytsem) AAXX = YY har entydig lösning för alla matriser YY. c. Matrisekvationen (ekvationssytsem) AAAA = 0 har endast den triviala lösningen, XX = 0. d. rang AA = nn e. AA är radekvivalent med enhetsmatrisen.
Exempel: att räkna invers Metod: AA II II AA 1 Beräkna inversen till Lösning AA = 3 3 5 3 3 5 1 0 0 1 3 1 1 0 1 1 1 3 1 1 1 0 1 0 1 1 1 3 1 0 0 1 5 3 1 0 0 1 5 AA 1 = 5