1 Matematiska Istitutioe KTH Tetame i Lijär Algebra, SF164 14 december, 21. Kursexamiator: Sadra Di Rocco OBS! Svaret skall motiveras och lösige skrivas ordetligt och klart. Iga hjälpmedel är tillåta. Betyg eligt följade tabell: A B C D E F x mist 35 poäg mist 3 poäg mist 25 poäg mist 2 poäg mist 15 poäg 13-14 poäg Betyg Fx ger möjlighet till att komplettera till betyg E. Datumet och forme på kompletterigsprovet meddelas via email. Skriv di email adress på tetame. Del I Totalt 15 poäg, iklusive bouspoäg. Bous-poäg frå KS1 kommer att läggas till de poäg frå uppgift 1. Bous-poäg frå KS2 kommer att läggas till de poäg i uppgift 2. De totala påäg frå uppgift 1, respektive 2, ka vara på högst 5 poäg. 1. (a) (1 p.) Bestäm k så att puktera (1, 2), (2, 4), (k, 1) ligger på e lije i R 2. Puktera ligger på ett lije om två ligger i delrummet som de tredje geererar. Vi ser att (2, 4) = 2(1, 2) och (k, 1) = t(1, 2) om k = t = 1 2. (b) (2 p.) Bestäm k så att vektorera (k + 3, 5, 4), (5, k + 3, 5), (k 7, 5, k 7) späer upp ett pla i R 3 (d.v.s ett delrum av dimesio 2). De tre vektorer (k + 3, 5, 4), (5, k + 3, 5), (k 7, 5, k 7) måste vara lijärt beroede, me två av dem måste vara lijärt oberoede. Ma ser att a(k+3, 5, 4), +b(5, k+3, 5)+c(k 7, 5, k 7) = (,, ) Matrise associerad till systemet är: k + 3 5 k 7 A = 5 k + 3 5 4 5 k 7 För att de tre vektorer ska ligga på ett pla måste matrise A ha rag < 3. det(a) = (k 1)(k 2) 2 a(k + 3) + 5b + c(k 7) = 5a + b(k + 3) 5c = 4a + 5b + c(k 7) =
2 som visar att rag(a) < 3 bara om k = 1, 2. Se ka vi kolla att 4 5 6 5 5 5 k = 1 : rag 5 4 5 = 2 och k = 2 : rag 5 5 5 4 5 6 4 5 5 Svaret är k = 1, 2. = 2 (c) (1 p.) Bestäm k så att vektorera (k + 3, 5, 4), (5, k + 3, 5), (k 7, 5, k 7) utgör e bas till R 3. Eftersom vi har tre vektorer så kommer de att utgöra e bas är de är lijärt oberoede. Vi reda visat att detta häder är det(a), d.v.s. för k 1, 2. (d) (1.p) Välj e k så att vektorera B = {(k+3, 5, 4), (5, k+3, 5), (k 7, 5, k 7)} utgör e bas till R 3 och skriv koordiatera till vektor (1, 1, 1) (give här med koordiater i stadardbase) i base B. Ma ka välja, till exempel, k =. Låt (x, y, z) vara koordiatera i bas B. (1, 1, 1) = x(3, 5, 4) + y(5, 3, 5) + z( 7, 5, 7) 3x + 5y 7z = 1 5x + 3y 5z = 1 4x + 5y 7z = 1 Geom Gauss elimiatio ser ma att systemet har (x, y, z) = (, 1 2, 1 2 ). 2. Betrakta följade matris: A = 1 4 1 3 2 2 2 4 1 (a) (2 p.) Bestäm samtliga egevärde till A och tillhörade egevektorer. det(a λi 3 ) = λ 3 + 6λ 2 11λ + 6 = har tre distikta lösigar: λ = 1, 2, 3. Egevärde λ = 1 leder till systemet (A I 3 )x = : 2 2 2 1 3 1 2 4 2 x y z = Alltså är t( 1,, 1), t egevektorer till λ = 1. Egevärde λ = 2 leder till systemet (A 2I 3 )x = : 1 2 2 x 1 2 1 y = 2 4 3 z Alltså är t( 2, 1, ), t egevektorer till λ = 1. Egevärde λ = 3 leder till systemet (A 3I 3 )x = : 2 2 x 1 1 1 y = 2 4 4 z Alltså är t(, 1, 1), t egevektorer till λ = 1. (b) (1 p.) Age matrise P och de diagoala matrise D sådaa att P 1 AP = D. D består av egevärde på diagoale och P är barbytes matris frå base av egevektore till stadard base: D = 1 2 3, P = 1 2 1 1 1 1
3 (c) (2 p.) Bestäm A 5. Observera att A = P DP 1 och A 5 = P D 5 P 1. Geom Gauss elimierig ser ma att 1 2 2 P 1 = 1 1 1 1 2 1 och att 1 2 A 5 = 1 1 1 2 5 1 2 2 1 1 1 = 1 1 3 5 1 2 1 3. Låt M vara det lijära rummet: M = {(x, y, z) R 3 s.a. 2x y + 3z = }. 63 62 62 211 453 211 242 484 241 (a) (1 p.) Bestäm e bas till M. Ma ser att (x, y, z) M om (x, y, z) = (t, 2t + 3s, s) för ågra t, s R. Detta betyder att M = Spa((1, 2, ), (, 3, 1)). Eftersom är (1, 2, ), (, 3, 1) lijärt oberoede utgör de e bas till M. (b) (2 p.) Bestäm e ON-bas till M. Ma ka aväda Gram-Schmidt och får: w 1 = (1, 2, ) w 2 = (, 3, 1) (1,2,) (,3,1) (1,2,) (1, 2, ) = ( 6 2 5, 3 5, 5) Det följer att w 1 ( w 1, w 2 w 2 ) = ( 1 5 (1, 2, ), ( 6, 3, 5)) 5 7 utgör e ON-bas till M. (c) (2 p.) Visa att M är isomorft till R 2. Ma ska bestämma e isomorfi φ : W R 2. Vi ka bestämma hur φ ska fugerar på bas-vektorera: φ(1, 2, ) = (1, ), φ(, 3, 1) = (, 1) s.a. om v M, v = t((1, 2, ) + s(, 3, 1) gäller att: φ((t, 2t + 3s, s) = (t, s) R där (t, s) är koordiater i de stadard base. Matrise associerat till φ är T 2 som är iverterbar, vilket betyder att φ är e isomorfi. DEL 2 Totalt 15 poäg, iklusive bouspoäg. Bous-poäg frå uppsatse kommer att läggas till de poäg i detta avsitt. De totala ka vara på högst 15 poäg. 4. Låt T α : R 3 R 3 vara e lijär avbildig med matris (med avseede till stadardbase) 2 α + 1 A α = 1 2 α α 1 (a) (2 p.) Bestäm dim(ker(t α )), för varje α R. Ker(T α ) = {x R 3 s.a. A α x = }. Systemet 2x + (α + 1)y = y = 2x + αy + (α 1)x = Har icke-oll lösigar bara om α = 1 är lösigar blir av form t(,, 1), t R. Det följer att { α 1 dim(ker(t α )) = 1 α = 1
4 (b) (1 p.) Bestäm dim(im(t α )), för varje α R. (Obs Im(T ) = R(T ) beteckar delrummet Im(T ) = { v R 3, s.a. v = T α ( w) för ågo w R 3.) Eftersom gäller att 3 = dim R 3 = dim(ker(t α )) + dim(im(t α )), är: { 3 α 1 dim(im(t α )) = 2 α = 1 (c) (2 p.) För vilke α R är T α diagoaliserbar? det(a α I 3 ) = (1 λ)(2 λ)(α 1 λ). Det följer att om α 2, 3 har matrise 3 distikta egevärde vilket betyder att de är diagoaliserbar. Om α = 2 då har matrise A 2 = 2 3 1 2 2 1 egevärdet λ = 2 av algebraisk multiplicitet a.m(2) = 1 och λ = 1 av algebraisk multiplicitet a.m(1) = 2. Egerummet E 1 = Spa(,, 1) som ger att λ = 1 har geometrisk multiplicitet g.m(1) = 1. Detta betyder att A 2 och då F 2 ite är diagoaliserbar. Om α = 3 då har matrise A 3 = 2 4 1 2 3 2 egevärdet λ = 2 av algebraisk multiplicitet a.m(2) = 2 och λ = 1 av algebraisk multiplicitet a.m(1) = 1. Egerummet E 2 = Spa(,, 1) som ger att λ = 2 har geometrisk multiplicitet g.m(2) = 1. Detta betyder att A 2 och då F 2 ite är diagoaliserbar. Slutsatse är att F α är diagoaliserbar om och edast om α 2, 3. 5. Give är lije l R 3 av ekvatio: { 3x y + 2z = 2 l : x + 2y z = 6 (a) Bestäm ekvatioe av plaet π 1 R 3 som iehåller l och pukte (,, ). Ett pla som iehåller l måste vara e lijär kombiatio av plaera 3x y + 2z = 2, x + 3y z = 6, dvs: π 1 = t(3x y + 2z) + s(x + 2y z) = 2t + 6s för ågo s, t R. Ma ser att (,, ) π 1 om 2t = 6s. Vi ka välja t = 3, s = 1 och får ekvatioe π 1 : 8x 5y + 7z =. (b) Bestäm de ekvatioe av plaet π 2 R 3 som iehåller l och är parallelt till lije av parametrikekvatio: x = 2 + 3t, y = π + t, z = 7 + t. Som tidigare π 1 = t(3x y + 2z) + s(x + 2y z) = 2t + 6s d.d.s: x(3t + s) + y( t + 2s) + z(2t s) = 2t + 6s. som ger att ormal vektor till π 2 är = (3t + s, t + 2s, 2t s). Direktiosvektor till x = 2 + 3t, y = π + t, z = 7 + t är v = (3, 1, 1) so måste vara ortogoal mot. Välj t.ex t = 2, s = 5 som ger v = 3(3t + s) t + 2s + 2t s = 1t + 4s = π 2 : x 12y + 9z = 26.
5 (c) Bestäm de ekvatioe av plaet π 3 R 3 som iehåller l och är parallelt till lije av ekvatio: x y =, y + 2z =. π 3 : 19x 11y + 16z = 2. De parametrisk ekvatio till lije x y =, y + 2z = är y = x = 2t, z = t. Som tidigare ma får att: 6. Låt S = ( e 1,..., e ) vara de stadardbase till R och låt T : R R vara de lijär avbildig såda att { i = 1 T ( e i ) = e i 1 i > 1 (a) (1 p.) Skriv matrise av T med avseede till stadardbase: A = [T ] S S. Ma ser att: ( ) I 1 A = (b) (2 p.) Bestäm A k för k = 1,...,. A k är matrise associerat till T k och { T k i = 1,..., k ( e i ) = i > k e i k Det följer att ( I k A = ) för k = 1,...,. (c) (2 p.) Bestäm Ker(T k ), Im(T k ) för k = 1,...,. Frå matrise A k ser ma att Ker(T k ) = Spa( e 1,..., e k ) = R k och Im(T k ) = Spa( e k+1,..., e ) = R k. DEL 3 7. Låt a 1,..., a vara reella tal. Följade matrise kallas Vadermode-matris: A = a 1 1 a 1 2 a 1 (a) (3 p.) Visa att det(a) = Π 1 j<i (a i a j ) Vi visar detta med hjälp av iduktio på. Om = 1 då är A = (1). Om = 2 då är ( ) 1 1 det = a a 1 a 2 a 1. 2 Atar att det(a) = Π 1 j<i k (a j a i ) for e Vadermode-matris a typ k k för k. Betrakta polyomet: 2 p(t) = Π 1 j=1 (t a j) = t 1 + c i t i i=1
6 för ågra c 1, c 1 R. Efter elemetära rad operatioer som adderar till de sista rade R de lijär kombiatio, 2 1 c i R i, av de adra rader R 1, R 1 ma får att: det = det a 1 1 a 1 2 a 1 p(a 1 ) p ( a 2 ) p(a ) Me p(a i ) = för varje i 1 och p(a ) = Π 1 j=1 (a a j ) som ger: det = det = Π 1 j=1 (a a j ) det(b) a 1 1 a 1 2 a 1 p(a ) där B är e Vadermode-matris a typ ( 1) ( 1). (b) (3 p.) Låt V vara ett vektorrum och v 1,, v V. Visa att om det fis distikta t 1, t som uppfyller relatioe v 1 + t v 2 + t 2 v 3 + t 1 v = Då gäller att v 1 = v 2 = = v =. Atar att det fis t 1 t 1 t t s.a Detta ka skrivar som: (v 1j...v j ) v 1 + t v 2 + t 2 v 3 + t 1 v =, i = 1,, t 1 t 2 t t 2 1 t 2 2 t 2 t 1 1 t2 1 t 1 = ( ) för j = 1,, m, där v i = (v i1, v im ) och dim(v ) = m. Eftersom t i t j är t 1 t 2 t det(a) = det t 2 1 t 2 2 t 2 = Π 1 j<i (t i t j ) t 1 1 t 1 2 t 1 Det följer att: (v 1j...v j )AA 1 = ( )A 1 = ( ) För j = 1,, m, som visar att v 1 = v 2 = = v =. 8. Låt V vara ett vektorrum av ädlig dimesio. Låt φ : V V vara e lijär avbildig med rag(φ) = 1. Visa att φ φ = rφ för ågot r R. Låt Im(φ) = Spa( v) för ågo vektor v V. För varje w V gäller att: φ( w) = a w φ( v), för ett tal a w R. Så Det fis ett tal a φ(v) s.a. φ(φ( v)) = a φ(v) φ(v). det följer att: φ φ( w) = φ(a w φ( v)) = a w (φ(φ( v)) = a w a φ(v) φ( v) = a φ(v) (a w φ( v)) = a φ(v) φ( w). Detta visar att φ φ = a φ(v) φ, i.e. r = a φ(v).