VÅGEKVATIONEN Vi betratar följade PDE u( u( x t, där > är e ostat, x, t (ev) Evatioe (ev) a besriva vågutbredig, trasversella svägigar i e sträg och adra fysialisa förlopp Radvärdesproblemet består av (ev ) och fyra villor exempelvis: Villor : u (,, för alla t, V illor : u (, för alla t, u Villor 3: u( ) f ( för x, Villor 4: g( t t för x För att lösa ett sådat radvärdesproblem aväder vi följade tre steg: Steg Med hjälp av variabelseparatio bestämmer vi alla produtlösigar u( X ( Y( Steg Blad lösigar som vi får i steg, väljer vi de som uppfyller giva homogea villor, (sådaa betecar vi med u ( ) Steg 3 Slutlige bildar vi e oädlig summa u( u ( av lösigar i steg och bestämmer oefficieter så att u( uppfyller det ice-homogea villoret (eller de icehomogea villore) =============================================================== Amärig Futioe u( är e lösig (de triviala lösige) till evatioe och homogea villor me ite till ice-homogea villor Dessutom de bidrar med i summa som vi bygger i Fouriermetode I fortsättig atar vi att mist ett villor är icehomoge; därmed förastas lösige u ( ===================================================== av 7
Uppgift (Samma som 4 i ursboe, med i stället a i evatioe ) ös följade radvärdesproblem: u( u( x t där > är e ostat, x, t (ev), Villor : u (,, för alla t, Villor : u (, för alla t, u Villor 3: u( ) x( för x, Villor 4: 4 t ösig: Vi börjar med produtasatse och variabelseparatio åt u( X ( Y ( (P) Vi substituerar P i (ev) och får X ( Y ( Y ( X ( eller t för x X ( Y ( X ( Y ( (*) Eftersom västerledet beror av x och högerledet ebart av t, måste de vara ostata och ha samma värde som vi betecar med (Vi betecar ostate med för att efterlia betecig i ursboe, aars a vi aväda ) Alltså X ( X ( Y ( Y ( (**) där är ett reellt tal (just u vilet som hels Frå (**) får vi två ela ODE med ostata oefficieter: Frå X ( X ( och Y ( Y ( får vi X X (ev a) och Y Y (ev b) Vi betratar tre fall, och av 7
I) Om blir ovaståede evatioer X och Y som ger X Ax B och Y Ct D Därmed blir u( X ( Y ( = ( Ax B)( Ct D) II) Om a vi av pratisa säll beteca där är ett positivt tal Frå (ev a) får vi X X som gör X x x Ae Be Frå (ev b) har vi Y Y som ger Y Ce t De t Därmed u( X ( Y ( =( Ae III) Om a vi beteca Be )( Ce x x t t De ), där där är ett positivt tal Frå (ev a) får vi X X som gör X Acos( Bsi( Frå (ev b) får vi Y Y som ger Y C cos( Dsi( Därmed u( X ( Y ( =( Acos( Bsi( )( C cos( Dsi( ), där Sammafattigsvis har vi fått följade produtlösigar till (ev): I) u( ( Ax B)( Ct D) (om ) II) u ( = ( Ae Be )( Ce x x t t De ), där III) u ( ( Acos( Bsi( )( C cos( Dsi( ), där (just u vilet som helst positivt tal) Fråga är vila av ovaståede lösigar uppfyller ocså villore V,V,V3 och V4 ( Vi sa sart visa att edast fall III är itressat för oss i detta problem eftersom I och II leder till de triviala lösige u ( ) Vi börjar med s homogea villor V och V (som har i högerled) Först apassar vi V och V till vår produtlösig Eftersom u( X ( Y ( a vi sriva V: u (,, för alla t, som X ( ) Y ( för alla t 3 av 7
Detta ger X ( ) eller Y ( Me, eftersom Y ( ger u ( varstår att X ( ) På samma sätt drar vi slutsats att V: u (, för alla t, medför X ( ) Y ( och därmed X ( ) Nu udersöer vi vila produtlösigar som uppfyller V : X ( ) och V : X ( ) I) Om X Ax B då får vi frå V och V att B= och A= Därför blir X som ger de triviala lösige u ( Därmed utesluter vi typ I lösigar II) På liade sätt a vi visa att typ II lösigar ocså leder till u ( eftersom A B Ae Be medför A, B som ger X och u ( Därför utesluter vi fall II III) Kvarstår lösigar av typ III dvs X Acos( Bsi( Vi sa bestämma alla värde på så att X uppfyller både V och V V : Frå X ( ) har vi A cos( ) Bsi() A Alltså X Bsi( V : Frå X ( ) har vi Bsi( ) Härav si( ) (eftersom B= leder till triviala lösige), och därför där,,3,4, (otera att eligt atagade) Därför är X Bsi(, där,,3,4, och B e ostat Villor V4 är ocså homoge som vi aväder att förela Y C cos( Dsi( (där ) u Frå t t har vi X ( Y () dvs Y ( ) (Om X ( då u ( ) Alltså V4 leder tilly ( ) 4 av 7
Eftersom Y C si( D cos( får vi D= och därmed blir Y C cos( C cos( Alltså är u ( XY c si( cos( där,,3,4, lösigar till (ev) och homogea villor V, V och V4 Vi sa udersöa om vi a bilda e oädlig serie (med obestämda oefficieter c ) u( c si( cos( så att serie uppfyller villor 3 Substitutioe av serie i villoret u( ) f ( för x, får vi c si( 4 x( (ev) Frå (ev) ser vi att c är Fourieroefficieter vid utveclig av f ( i siusserie på itervallet [,] (Notera att och T ) Med adra ord bestämmer vi c T 4 4 f ( si( dx x( si( dx x( si( dx = T 4 Först itegral x( si( dx (Tips: Dela i två delar x si( dx 3 ( ( ) x( si( dx 3 3 Därmed c x( si( dx ) x si( dx ( ( ) ) 3 3 och aväd BETA) Slutlige är 5 av 7
u( ( ( ) 3 3 lösige till problemet ) si( cos( ================================================ Uppgift gåge) (Samma som uppgift förutom villor 3 som är elare att hatera de här ös följade radvärdesproblem: u( u( x t där > är e ostat, x, t (ev), Villor : u (,, för alla t, Villor : u (, för alla t, 3 6 u Villor 3: u( ) 5si( 3si( för x, Villor 4: t t för x ösig: Vi upprepar ovaståede resoemag upp till avädig av villor 3 Alltså har vi serie u( c si( cos( där oefficietera villoret c bestäms så att serie uppfyller villor 3 Substitutioe av serie i u( ) f ( för x, får vi c si( 3 6 5si( 3si( (ev) De här gåge har vi trigoometrisa basfutioer på båda sidor så att vi edast behöver idetifiera oefficieter framför si( på båda sidor Vi ser att c 3 5, c 3 6 och att alla adra c 6 av 7
Därmed summa och =6) : u( c si( cos( iehåller edast två termer (för =3 3 3 6 6 u ( 5si( cos( 3si( cos( Svar: 3 3 6 6 u ( 5si( cos( 3si( cos( 7 av 7