LÖNINGR TILL PRLE I KPITEL 10 LP 10.1 Kuln och stången påeks föutom et gin kftpsmomentet tyngkften, en ektionskft och ett kftmoment i eln. Vken tyngkften elle ektionskften ge något kftmoment me seene på -eln. omentektionens -komponent ge å om cylinekoointe näns = H Röelsemängsmomentet H beäkns som häm gånge öelsemäng. Ften ä =. = t m = m = m Nämnen stå fö kulns töghet mot äning inkelhstigheten.
LP 10. Definitionen öelsemängsmomentet ä H = m Hä ä = 00 (, 3, 4 ) m = 30 ( 1, 4, - ) m/s y H Kysspoukten beäkns me en eteminnt: H e e e y 3 = 10 10 00 30 3 4 1 4 6 = 60 10 -, 8, 5 kgm /s kgm /s
LP 10.3 Hel systemet beståene kulon och stängen påeks föutom et gin kftpsmomentet en totl tyngkften längs -eln smt en ektionskft uppåt också längs -eln. Vken tyngkften elle ektionskften ge något kftmoment me seene på - eln. omentektionens -komponent ge å om cylinekoointe näns = H H = Röelsemängsmomentet H beäkns som häm gånge öelsemäng. Ften ä = 4 m = 4 m t = 4m = 4m Nämnen stå fö systemets töghet mot äning inkelhstigheten.
LP 10.4 Röelsemängsmomentet ä b β b N β N H = m I läge ä lägeekton inkelät mot öelsemängen så tt ( H) = m inustecknet följe högeegeln. I läge ä et b en komposnt öelsemängen som ä inkelät mot lägeekton som bi: ( H ) = b m sin β Eftesom ess uttyck på öelsemängsmomentet b gälle i tå speciell lägen (speciell tipunkte) gå et inte tt tiseie fö tt få e sökt tiseiton. Vi et ock tt enligt momentektionen ä = H så tt om i söke Ḣ kn i i stället bestämm kftmomentet. Vilk ä kften på pucken? Pucken påeks tyngkften, en nomlkft uppåt och en nomlkft N inåt, inkelätt mot sgen. Den sene ä en en som kn ge ett kftmoment i -iktningen. I läge h nomlkften N en iktning som smmnflle me lägeekton. Den kn å inte ge något kftmoment. ( Ḣ) = = 0 I läge ges nomlkften N kftektionens komponent i nomliktningen (ntulig koointsystemet): m R = N en el nomlkften som ä inkelät mot lägeekton bi till kftmomentet: = = = H b N cos b m β cosβ R
LP 10.7 ω y f f yn påeks tyngkften mg, nomlkften N och fiktionskften f. Del upp fiktionskften i komponente enligt figuen. Då tyngkften och nomlkften ä inkelät mot öelsens pln ä e lik sto och kn inte påek skins öelse. yn h en hstighet utåt i spået men också en hstighet = = ω fö tt en följe skins ottion. Röelsemängsmomentet fö myn me seene på -eln ä H = m = m (1) omentektionen fö enbt myn me seene på -eln ge f = H () t m (3) = f t m ω = (4) Vinkelhstigheten ä konstnt men stånet äns enligt ṙ = f = m ω (5) f = mω (6) Fiktionskften f (men me motstt iktning) ek också enligt Newtons teje lg på skin. Det ä en som boms skins öelse. Den ge ett bomsne kftmoment på skin. m et bomsne kftmomentet neutlises me en moto skll moton ge kftpsmomentet = f = mω (7) : Kftpsmomentet skll = m ω
LP 10.8 Vikten filäggs. Vje ikt påeks tyngkften och tåkften. Eftesom tissn ä lätt och lättölig måste tåkften lik på bå sio. Dett följe om mn ställe upp momentektionen fö tissn me seene på centumeln ( -eln). ntg tt tissns ie ä och tt kften på bå sio ä olik! = H = I ( ) = I 1 f g mg en om tissn ä lätt så ä töghetsmomentet I = 0. m en essutom ä lättölig så ä kftpsmomentet på gun fiktionen noll, f = 0. Det betye tt ( 1 ) 0= 0 = 1 Röelsen stt fån il. ntg tt en änst ikten få en hstighet ẋ neåt. m tåen ä otänjb få en hög ikten hstigheten ẋ uppåt. Vi böj me tt ställ upp momentektionen fö hel systemet me seene på centumeln ( -eln). Tåkften ä å ine kfte och komme inte me = H g mg = [ t ( + m ) ] Vje ikt h en öelsemäng. Hämen ä lik till ess öelsemänge. Den änst ikten h en öelsemäng neåt, en hög ikten h en öelsemäng uppåt. De ge bå ett positit big till öelsemängsmomentet, om et äkns positit motus. Tisinteges momentektionen få mn impulsmomentlgen: = + m g t ( m) m g ẋ = + m t
LP 10.10 b β β 1 mg 0 N Kuln påeks tyngkften mg, nomlkften N och tåkften. Tåkften ie men en ä hel tien ikt mot en och smm fi punkt, oigo. Den ge å inget kftmoment me seene på oigo. Tyngkften ä pllell me -eln och kn inte ge något kftmoment me seene på -eln. Nomlkftens ekningslinje skä -eln och kn äfö inte helle ge något kftmoment me seene på -eln. ) omentektionen me seene på -eln = H 0 = Ḣ H = konstnt Röelsemängsmomentet me seene på -eln ä lltså en öelsekonstnt. Röelsemängsmomentet ä lik i e tå nämn lägen: Denn ektion ge lltså ften 1 sin β m0 = bsin β m1 (1) = b () 1 0 b) En kfts bete kn bestämms på fle olik sätt. Tåkften ä inte kän på föhn. Nomlkften inget bete eftesom en ä inkelät mot hstigheten. Tyngkftens bete bestäms enkelt som kften gånge föflyttningen i enn iktning: U = mg ( mg cosβ b cosβ) Lgen om kinetisk enegin ge å tåkftens bete U U = T1 T0 1 1 Insättning ge U + Umg = m1 m Ek () och (3) ge U mg ( b m cosβ cosβ)= 1 b 1 m 0 0 U = mg 1 b m cosβ b + 1 0 0
LP 10.11 y et en b Kuln påeks tyngkften, nomlkften och tåkften. Då tyngkften och nomlkften ä inkelät mot öelsens pln ä e lik sto och komme inte me i nlysen. Tåkften ie men en ä hel tien ikt mot en och smm fi punkt, oigo. Den ge å inget kftmoment me seene på oigo. omentektionen me seene på -eln = H 0 = Ḣ H = konstnt Röelsemängsmomentet ä lltså en öelsekonstnt. Röelsemängsmomentet ä lik i och : Denn ektion ge lltså ften i : m = b m (1) b = () Tåkften i ges kftektionens komponent i nomliktningen: e n : m ρ = (3) Kökningsien i ä gien i poblemteten m b = (4) Ften = b ges ek (). Resulttet ä lltså tt tåkften i ä = m b
LP 10.16 ω k(-) mg N V Hel sttiet ä lätt jämföt me hylsns mss m. ttiet ote helt fitt utn e sig ining elle fiktion. V kn mn föänt sig hän? tt hylsn åke utåt längs stången stämme äl me e flests intuition. Efte ett tg bli fjäekften så sto tt hylsn äne inåt. Det kn också imligt tt nt tt inkelhstigheten äns, å et inte finns någon ining som kn håll en konstnt. Kften på hylsn ä tyng- Uppifån: kften mg, en etikl nomlkft N V smt fjäekften k ( ). bsee tt et inte finns någon hoisontell nomlkft. e y e k(-) N V mg omentektionens etikl komponent = H (1) ge 0 = Ḣ () H = konstnt (3) Röelsemängsmomentet ä lltså lik i e bå lägen: mb ω1 = m ω 0 (4) Den en kft som gö bete ä fjäekften. De n ä inkelät mot hstigheten. Den meknisk enegin ä å också en öelsekonstnt. T1 + V1 = T0 + V1 (5) Insättning ge 1 1 1 mb ( ω1) + kb ( ) = m ( ω0) + 0 (6) Utnyttj ek (4) mb ω kb m 0 + ( ) = ( ω0) b (7) kb ( ) = m 1 ω 0 b (8) b kb ( ) = m ω 0 b (9) Vi se en gemensm fkto b kb b m ( )= ( b + )ω (10) 0 k = b+ b b mω 0