LEDNINGAR TILL PROBLE I KAPITEL 9 LP 9. N S S S Vi sk bestä stockens frt so funktion v tiden och frilägger den därför. Den påverks v tyngdkrften, norlkrften N, friktionskrften f st drgkrften S från otorn. S Förklring till drgkrftens storlek är: f Krften S i vjern är given. O trissn är lätt och lättrörlig åste krftoentet ed vseende på trissns el vr noll. Det betyder tt krften i vjern är lik på båd sidor o trissn. Krftekvtionen för trissn ger på grund v tt ssn är noll tt nettokrften i den horisontell riktningen åste vr noll. Friktionskrften väer till en börjn i storlek på s sätt so drgkrften. Vid en viss tidpunkt so vi kllr t t hr friktionskrften nått sitt il värde f µ s N. Efter denn tidpunkt glider stocken vrvid friktionskrften är f µ k N. Krftekvtionens vertikl koponent säger tt N, efterso ccelertionen i denn riktning är noll. Krftekvtionens horisontell koponent är S f för t< t S µ s för t t () S µ för t> t k Efterso drgkrften är given S kt ges tidpunkten t ges v ekv () kt µ t s s µ k Begynnelsevillkoret för stockens rörelse är t t Lösningen ges nu v ekv kt µ k Tidsintegrering ger t 3 3 t kt [ µ kt] t t 3 3 kt ( t ) µ kt ( t) (7) 3 s Resulttet är lltså tt före tidpunkten t µ är stocken i vil. Efter denn k tidpunkt är hstigheten k ẋ t 3 ( t 3 ) g t t µ k ( ) 3
LP 9.8 Bilens hstighetstillstånd före och efter stöten är känt. Studstlet definiers F stöt v e v v All hstigheter åste räkns positivt åt ett och s håll. Det är lltså hstighetskoponentern so ingår i ekv. O en -el införs kn n också skriv e () I dett proble hr den en kroppen (väggen) hstigheten noll. Insättning i () ger e e. 6 v v. 4 4 b) Stötkrften ges i vrje ögonblick v krftekvtionen F v stöt d Stötkrftens edelvärde bestäs ur s ekvtion: F v stöt t Hstighetsändringen v under stöttiden t τ ger edelccelertionen. F stöt (7) τ stöt 4. + 6. - F kgs N (8) 3. c) Accelertionens edelvärde frår v föregående /s (9) τ d) Energiförlusten är dens so ändringen i kinetiskenergi och kn skrivs T T T v v () ed nvändning v fås T ( v v 5 ) v ( e ) v () 6 Den del v kinetisk energin so går förlord är lltså T 5 T 6
LP 9.9 Hel processen kn dels upp i tre delr: v Före stöt h.hren utför fritt fll,. stöt hre-påle, 3. pålen åker ner i rken. För hrens fri fll gäller tt den eknisk energin bevrs T + V T + V Antg tt hrens frt oedelbrt före stöten är v. Insättning i ger v + + gh () v gh För stöten gäller tt rörelseängden bevrs efterso inverkn v ndr krfter än stötkrften kn försus under stöttiden. Antg tt pålens frt oedelbrt efter stöten är v. Hrens frt är enligt teten noll efter stöt. Vi får för rörelseängden v + + v ) Ekv och ger pålens frt oedelbrt efter stöt: v gh v b) Studstlet definiers i teorin e v v Efter stöt v e v ev v (7) Studstlet är lltså, o utnyttjs e gh gh e Observer förutsättningen tt hren förlorr ll sin frt. Studstlet bestäs ju egentligen inte direkt v ssförhållndet.
LP 9. N Kedjn kn knppst sägs vr en prtikel en vi vet tt krftekvtionen gäller för vrje delkropp och vi kn ed den bestä sscentrus rörelse. Krftekvtionen kn skrivs F G eller F p, där p är den totl rörelseängden p k v k 3476 Kedjn påverks v tyngdkrften och norlkrften N från vågen. Krftekvtionens vertikl koponent för hel kedjn skrivs då dp : N + ) Vid fritt fll är ccelertionen dens för ll länkr. Vrje länk fller lltså oberoende v de ndr. Vi ntr också tt det inte föredls någon krftverkn från vågen och uppåt. Vid fritt fll för en ssprtikel fås frten so funktion v läget ed eknisk energilgen: T + V T + V + ẋ g () b) Kedjns totl rörelseängd är då ssn v den del so befinner sig i luften gånger hstigheten, so beräknts i ): L p L c) Tidsderivtn v rörelseängden blir d d p L L ( ) ( ) L [ L ( ) + ( ) ] Accelertionen är känd och hstigheten är beräknd i (). Insättning i krftekvtionen ger d p ( g L g L L ) [ + ( ) ] 3 + N + 3 + L N 3 L Vågen visr ett utslg otsvrnde tre gånger tyngden då den överst länken når vågen. Det fordrs en stor krft för tt stopp den sist länken.
LP 9.9 ω r k(r-) N V Hel sttivet är lätt jäfört ed hylsns ss. Sttivet roterr helt fritt utn vre sig drivning eller friktion. Vd kn n förvänt sig händ? Att hylsn åker utåt längs stången stäer väl ed de flests intuition. Efter ett tg blir fjäderkrften så stor tt hylsn vänder inåt. Det kn också vr riligt tt nt tt vinkelhstigheten ändrs, då det inte finns någon drivning so kn håll den konstnt. Krftern på hylsn är tyngd- Uppifrån: krften, en vertikl norlkrft N V st fjäderkrften kr ( ). Observer tt det inte finns någon horisontell norlkrft. e θ y r e r k(r-) N V oentekvtionens vertikl koponent z H z ger Ḣz () H z konstnt Rörelseängdsoentet är lltså lik i de båd lägen: b ω ω Den end krft so gör rbete är fjäderkrften. De ndr är vinkelrät ot hstigheten. Den eknisk energin är då också en rörelsekonstnt. T + V T + V b ( ω) + kb ( ) ( ω) + Utnyttj ekv b ω kb + ( ) ( ω) b (7) kb ( ) ω b (8) b kb ( ) ω b (9) Vi ser en geens fktor b kb b ( ) ( b + )ω () k b+ b b ω