EMB: MoM Mats Gustafsson Elektro- och informationsteknik, Lunds Universitet ETI6, HT, 8 Integralekvationer EM exempel FEM-formulering Elektrostatik EM spridning Halléns integralekvation MoM allmänt Exempel EM integralekvationer Integralekvationer: FEM formulering Elektrostatik med potentialen φ(r) känd på (metall) ytan ρ s (r )/ɛ φ(r) = 4π r r ds och för spridningsproblem (E i (r) given på ) ˆn jkg(r, r )J s (r ) G(r, r ) J s (r ) ds = ˆn E i(r) jk η där ˆn betecknar normalvektorn till området och är Green-funktionen. G(r, r ) = e jk r r 4π r r Ekvationen φ(r) = G(r, r )ρ s (r ) ds Utveckla ρ s (r ) i N basfunktioner ϕ n (r ) Totalt φ(r) = ρ s (r ) = N n= N a n ϕ n (r ). n= G(r, r )ϕ n (r ) ds a n för all r på randen. Ett överbestämt system (N obekanta och villkor).
Linjärt system Använder ofta punktmatchning där N testpunkter r m väljs och därmed φ(r m ) = N n= G(r m, r )ϕ n (r ) ds a n = N Z mn a n n= eller viktade medelvärden där N viktfunktioner w m (r) väljs och w m (r)φ(r) dv = N n= spec. Galerkins metod med w n = ϕ n. w m (r)g(r, r )ϕ n (r ) ds ds a n där tex Z Z Z 3 Z N a b Z Z Z 3 Z N a = b Z N Z N Z N3 Z NN a N b N Z mn = ϕ m (r)g(r, r )ϕ n (r ) ds ds Obekanta på ytor (tex R istället för R 3 som i FEM). Ofta numerisk integration för att bestämma Z mn. Z mn för de flesta m, n =,..., N. Integralekvationer Elektrostatik Greenfunktion Kapacitans Polariserbarhet EM spridning Halléns integralekvation MoM allmänt Exempel Elektrostatik Två alternativ: Med D = ρ, E = φ, D = ɛ E får vi φ = ρ/ɛ En PDE för potentialen (med given laddningstäthet). Vet också att potentialen kan skrivas ρ s (r )/ɛ φ(r) = 4π r r ds En integralekvation för ytladdningstätheten (med given potential).
Greenfunktioner Kapacitans Greenfunktionen satisfierar G(r, r ) = 4π r r G(r, r ) = δ 3 (r r ) där δ 3 betecknar delta-distributionen i R 3, dvs δ 3 (r r )ψ(r ) dv = ψ(r) för alla testfunktioner ψ. Kapacitansen mellan två metallobjekt Ω + och Ω ges av C = Q/V, där objekten har (den totala) laddning Q och V är spänningen mellan objekten. Den totala laddningen ges av Q = ρ s (r) ds Q där laddningstätheten bestäms av integralekvationen ρ s (r )/ɛ V (r) = 4π r r ds + V - -Q med V (r) = V/ för r. Kvadratisk plattkondensator För att illustrera MoM använder vi styckvis konstanta basfunktioner på ett ekvidistant beräkningsnät och punktmatchning. Detta är enkelt men ger inte så hög noggrannhet. Dela upp plattorna i N = N x ekvidistanta delar och låt r n = (x n, y n, z n ) beteckna mittpunkterna av de kvadratiska beräkningscellerna. Diagonalelementen beräknas till Z mm = a/n x π ln( + ) Approximera övriga termer som Z mn = a /N x 4π r m r n. d/ -d/ a/ Q -Q -a/ -a/ V/ -V/ a/ Diagonalelement Diagonalelementen (self terms) där m = n är de dominerande matriselementen. De är svåra att evaluera numeriskt då integranden ofta är singulär. För plattan får man Z mm = 4π ym+δ xm+δ y m δ x m δ δ = 4π (xm x ) + (y m y ) dx dy δ ln [ = δ ln(ξ + δ 4π + ξ ) + ξ ln δ + ξ + δ δ + ξ δ dξ ( + δ(δ + δ + ξ ξ = δ π ln( + ) )] δ δ där δ = a/n.
Övriga element Övriga element kan beräknas numeriskt (finns också slutna uttryck för vissa geometrier). Här gör vi den enklaste approximationen (r m = (x m, y m, z m )) Z mn = yn+δ xn+δ y n δ x n δ /(4π) (xm x ) + (y m y ) + (z m z n ) dx dy /(4π) ym+δ (xm x n ) + (y m y n ) + (z m z n ) y m δ = xm+δ x m δ dx dy a /N 4π r m r n. Delar ofta upp fallen för element som är nära varandra och element som är på stort avstånd för att förbättra noggrannheten. Använd numeriskt integration med högre noggrannhet för element på små avstånd. 5.5 Högerledet beräknas till b m = V/ för den övre/undre plattan. Det ger systemet Zx = b där x n = ρ s (r n )/ɛ Använder N x =, 5, 35 med d/a =. och får C.33C C 5.3C C 35.3C där C = a ɛ d (C = C för en plattkondensator då d ). ½ s /² -.5 -.5.5 5 5.5 ½ s /² -.5 -.5.5 4 3.5 ½ s /² -.5 -.5.5 A = zeros(nt,nt); for mz = :Nz for mx = :Nx for my = :Ny m = m+; if mz == ; b(m) = V/; else b(m) = -V/; end n = ; for nz = :Nz for nx = :Nx for ny = :Ny n = n+; R = sqrt((x(mx)-x(nx))^+(y(my)-y(ny))^+(z(mz)-z(nz))^); if R<*eps % diagonal elements A(m,n) = dx*log(+sqrt())/(pi); else A(m,n) = dx*dy/(4*pi)/r; end end end end end end end rho = A\b*epsilon; Quiz Hur många obekanta är det i problemet? Hur många matriselement är det? Vad kan man göra för att förbättra noggrannheten? Vad händer om man minskar avståndet d? Vad tar tid (invertera Z eller beräkna Z)? 5 5 5 3 35 4 45 5 5 5 3 35 4 45-35 -4-45 -5-55 -6-65 -7 5 5.5 ½ s /² -.5 -.5.5
Bättre Man kan beräkna matriselementen analytiskt och använda ett icke likformigt beräkningsnät..5.45.4.35.3.5 C/C /R -approximation non-uniform mesh uniform mesh d/a=. N ½ s /² 8 6 4.5 ½ s /² 5 5.5 N = -.5 -.5 N = 5 -.5 -.5.5.5 Bättre Man kan utnyttja symmetrin (ρ(z) = ρ( z), ρ(x, y, z) = ρ( x, y, z) och ρ(x, y, z) = ρ(x, y, z)) i problemet för att reducera antalet obekanta med en faktor 8. Använder också ett beräkningsnät anpassat till kantsingulariteter ρ(s) s / där s betecknar avståndet till kanten..3.5..5..5 C/C non-uniform mesh /R -approximation uniform mesh d/a=.5 d/a=. N 5 d/a =.5, N = 8 5 5 5.5 ½ s /².5 d/a =., N = 8 ½ s /².5.5 Polariserbarhetsdyader Polariserbarhetsdyader för en platta/or γ.4a 3 Det inducerade dipolmomentet p = ɛ γ E för ett metallobjekt ges av polariserbarhetsdyaden som bestäms av γ E = rρ s (r) ds med ρ s (r) ds = ɛ där E r = ρ s (r )/ɛ 4π r r ds En rektangulär platta med sidan a har polariserbarhetsdyaden γ = γ (ˆxˆx + ŷŷ) där ẑ betecknar ytans normalriktningen. För flera plattor är varje delplatta oladdad. 6 4 - -4-6 -.5.5 ½ s /² 5 ½ s /² avstånd.a.5 -.5-5 - - -.5 -.5
Polariserbarhetsdyader för en cirkulär disk Matriselementen bestäms av där f = 4π n,m= ( ) n+m( x m ln(y n + r mn ) + y n ln(x m + r mn ) ) En cirkulär disk med radie a har polariserbarhetsdyaden γ = 6a3 (ˆxˆx + ŷŷ) 3 γ 8.975γ 5-5 - 5 5 8 element x m = x x +( ) m x, y n = y y +( ) n y, r mn = x m + y n och x, y, x, y, x, y betecknar koordinaterna för elementet och testpunkten. där ẑ betecknar ytans normalriktningen. Sätt γ = 6a3 3 γ 354.996γ 3 - - -3 5 5 354 element 4 6 8 4 6 8 Elektromagnetisk spridning Integralekvationer Elektrostatik EM spridning Elektriska integralekvationen (EFIE) Divergensanpassade basfunktioner Nätkvalitet MFIE och CFIE I spridningsproblem brukar man dela upp fältet som summan av ett infallande fält, E i, och ett spritt fält, E s, E = E i + E s. E i E s n E= PEC n Halléns integralekvation MoM allmänt För ett metalliskt objekt (PEC) ger randvillkoret ˆn E = att ˆn E s = ˆn E i Exempel
Elektriska integralekvationen (EFIE) Den elektriska integralekvationen (EFIE) är ˆn jkg(r, r )J s (r ) G(r, r ) J s (r ) ds = ˆn E i(r) jk η där ˆn betecknar normalvektorn till området (PEC). Skriver EFIE på svag form genom att multiplicera med en testfunktion och integrera över området. Med Galerkins metod får vi matriselementen A mn = jk s m (r) G(r, r )s n (r ) ds ds jk s m (r)g(r, r ) s n (r ) ds ds Här får vi också naturliga krav på basfunkionerna. Divergensanpassade basfunktioner Svaga formuleringen är väldefinierade basfunktioner så att s n <. Divergensanpassade (divergence conforming) basfunktioner. Basfunktionerna måste ha en kontinuerlig normalkomponent. 4 3 5 3 7 4 6 8 9 3 4 5 6 7 Divergensanpassade basfunktioner på en tråd och på en platta med rektangulära element. Observera att basfunktionerna är associerade med kanterna av elementen. RWG basfunktioner På triangulära element får man de så kallade RWG (Rao-Wilton-Glisson) basfunktioner. RWG-basfunktionerna är associerade till kanterna av trianglarna i den inre delen av området, här med 3 kanter numrerade från till 3. 4 3.5 3.5.5 4 3 5 6 3 8 9 7,3,5,7,9, 6,,3,4,8, RWG basfunktionerna är relaterade till de kantelementen som vi använde i FEM s RWG = ˆn N där N betecknar kantelementen i FEM. Observera att RWG-basfunktinerna har en kontinuerlig normalkomponent medan kantelementen har en kontinuerlig tangentialkomponent..5.5 3
Nätkvalitet Trianglar är bra på att modellera geometrier. Det är dock viktigt att trianglarna har ungefär lika långa sidor för att man ska få ett bra beräkningsnät. Två basfunktioner, S n (r), n =, visas i figuren Representera ytströmtätheten J(r) = J ˆx i S n, n =, ( J ˆx = J S (r) + bs ( (r) ) a x = J ˆx y a + b a aŷ + x a ˆx + y ) aŷ S S S S y x a b Vi observerar att de två basfunktionernas ŷ är motriktade och att de släcker ut varandra. Om trianglarna är utsträckta så att b/a blir de motriktade strömmarna mycket stora. Inverkan av de motriktade strömmarna är minst för liksidiga trianglar. där S (r) = a x a ˆx aŷ y och S (r) = a +b ab (xˆx + yŷ). Nätkvallitet Interna resonanser Triangelkvalitet 4A 3 q = h + h + h 3..9.8 EFIE kan bli singulär för slutna PEC objekt. n E= E n där A är arean och h i betecknar sidlängderna. q >.6 är ofta ok. q = ok h = h = h 3..7.6.5 Slutet PEC objekt. Vet att det finns inre resonanser: lösningar till Maxwells ekvationer med ˆn E = på randen. Ytströmmarna till resonanserna är noll-skillda. Matrisen Z mn singulär (inte inverterbar).
MFIE CFIE Den magnetiska integralekvationen gäller för slutna kroppar. ˆn H i = J s ˆn G(r, r ) J s (r ) ds där integralen evalueras i principalvärdesmening. Galerkins metod B mn = s m (r) s n (r) ds + (ˆn(r) s(r) G(r, r ) s(r ) ds ds CFIE (the combined field integral equation) är en linjärkombination av EFIE och MFIE och ges av matrisen där < α < samt N C mn a n = α η n= C mn = αa mn + ( α)b mn s m E i ds ( α) (ˆn s m ) H i ds EFIE och MFIE har olika resonansfrekvenser så CFIE är inverterbar. Integralekvationer Elektrostatik EM spridning Halléns integralekvation Gapmatning och impedans Loopantenner MoM allmänt Exempel Halléns integralekvation Den elektriska integralekvationen (EFIE) förenklas i fallet med tunna trådar. Antag att ka så att ytströmmen enbart beror på z och är riktad i z-led, J = J z (z)ẑ. Det infallande fältet E i (x) = E e jkx ẑ är approximativt konstant på ytan av tråden, E i (x) E ẑ för x. Spridning mot en ledande (PEC) tråd. E i a z L
Förenkla EFIE till Avståndet, R, mellan de två punkterna r = a(cos φˆx + sin φŷ) + zẑ och r = aˆx är R = r r = a ( (cos φ ) + sin φ ) + z = 4a sin φ + z Avståendet mellan två godtyckliga punkter på trådytan kan därmed skrivas R = 4a sin φ φ + (z z ) E η = jk L/ π e jkr 4π L/ R dφ J z (z ) dz och använd 4πjk z L/ π L/ G(z z ) = π e jkr π R dφ för att förenkla ekvationen till e jkr R dφ J z(z ) z dz 4πE jkη = L/ L/ G(z z )I(z ) dz + k d L/ G(z z ) di(z ) dz L/ dz dz där I = πaj z är den totala strömmen i tråden. Ekvationen kan förenklas ytterligare enligt en metod utvecklad av Hallén. Partiell integration av den sista termen ger [ G(z z )I(z ) ] L/ L/ L/ L/ I(z ) dg(z z ) dz dz = d L/ I(z )G(z z ) dz dz L/ eftersom strömmen är noll på trådändarna, I(L/) = och d dz G(z z ) = d dz G(z z ). Vi får nu ekvationen där 4πE jkη = H(z) + k d dz H(z) H(z) = L/ L/ G(z z )I(z ) dz Detta är en enkel andra ordningens differentialekvation i H(z) med den allmänna lösningen 4πE jkη = C cos(kz) + D sin(kz) uttryckt i de två konstanterna C och D. Konstanten D = om det infallande fältet är symmetriskt med avseende på z. Detta ger Halléns ekvation L/ L/ G(z z )I(z ) dz + C cos(kz) = 4πE jkη
Integralen kan beräknas genom att subtrahera den singulära delen e jkr R = R + e jkr R Vi får Greenfunktionen G(ζ) = G (ζ) + G (ζ) med ζ = z z där G (ζ) = π π R dφ = π π = 4a sin φ + ζ dφ ( ) 4a π ζ + 4a K ζ + 4a och K betecknar första slagets elliptiska integral Den reguljära delen av Greenfunktionen, G, kan beräknas numeriskt eller approximeras genom att placera strömmen i mitten av tråden. Det ger och totalt G (ζ) = π e jkr dφ e jk ζ +a π R ζ + a G(ζ) ( ) 4a π ζ + 4a K ζ + 4a + e jk ζ +a ζ + a K(m) = π/ dφ m sin φ Gapmatning MoM simulation För antenner är man ofta intresserad av impedansen i en matningspunkt och dess resulterande strålningsmönster. Aktiv (strålande) antenn. Behöver en enkel modell av matningen. Matningsfält i gapet mellan två ytor (gapmatning). Ofta E i = V δ(z z ). E z + V - Hollow PEC wire with length l and diameter d. Center gap feed model Here l/d = ` d a Bra resultat för fjärrfält. Inte alltid så bra för impedansen.
Straight wire dipoles Radiation pattern What parameters are interesting? Radiation pattern. Currents. Impedance. Matching. 5-5 - j j db -5 Re 3 4 5 6 Im ka 3 4 5 6 ka Directivity D(θ, φ) = P (θ, φ) 4πP (θ, φ) = P avg Polar coordinates 3 7 33 3 3 6 P rad 9 Rectangular coordinates.5 D.5.5 - B k a 4.5-5 8 5 µ 45 9 35 8 Radiation pattern, dbi Impedance Z and admittance Y It is common to use the db scale (normalized to an isotropic radiator (D = )), i.e., D dbi = log D. 3 7 4 33 5-5 8 3 5 6 9 4 D dbi - -4-6 -8 µ - 45 9 35 8 The antenna circuit interface is characterized by its impedance Z and the admittance Y = /Z. 5-5 - Z/- Z/- Re 3 4 5 6 Im ka 5 Y k- Re Im 3 4 5 6 ka
Reflection coefficient Integralekvationer Γ = Z Z Z + Z Z = 73 Ω: characteristic impedance. P in Γ : reflected power. j j db -5 - -5 3 4 5 6 B k a ka Elektrostatik EM spridning Halléns integralekvation P in ( Γ ): accepted power. Γ db = log Γ SWR = ( + Γ )/( Γ ): standing wave ratio. MoM allmänt Beräkningskomplexitet Styrkor och svagheter Historik Exempel Beräkningskomplexitet exempel Slutsats MoM FEM N z N x N x N y Ny MoM Beräkningsnät {N x, N y } = {N, N} = {, } Obekanta N tot = N x N y = N = 4 Matriselement N tot = N 4 = 8 Invertera full matris = N it N 4 FEM Beräkningsnät {N x, N y, N z } = {5, 5, 44} Obekanta N tot = N 3 = 6 Matriselement cn tot = cn 3 7 Invertera gles matris = N it cn 3 MoM är ofta ineffektiv om det är många obekanta N tot = N x N y Lösning: Beräkna inte matrisen utan invertera den direkt Multipolmetoder Skalar som Svår att implementera N it N log N N 4
Beräkningskomplexitet För och nackdelar med MoM Mycket problemberoende. Fungerar ofta bra då det är mycket luft i problemet. Accelereras med snabba multipoler. Bra för mycket små och mycket stora problem. + Frirymdsproblem + Ytor istället för volymer + Trådformade objekt + Små metallobjekt + FMM för stora objekt - Dielektriska material - Stor och full matris - Smalbandig - Numerisk integration Ordna efter beräkningskomplexitet i MoM Historik Polariserbarhet för en människa. 4: 3D statikproblem. Impedansen för en metallisk PIFA antenn (vanlig antenn i mobiltelefoner) 3: D dynamikproblem, storlek λ. Impedansen för en Yagi-Uda antenn (vanlig TV-antenn). : D dynamikproblem. Polariserbarhet för en tunn tråd. : D statikproblem. Absorption i människokroppen (för SAR). 5: 3D dynamik. 897 Pocklingtons ekvation 938 Halléns ekvation 968 MoM av R. Harrington 98 Kantelement (behövs för Maxwell) 985 FMM (fast multipole method) 995 MLFMA (multi-level fast multipole method) Integralekvationer används också inom akustik och mekanik. Metoden kallas då ofta BEM (Boundary Element Method).
Integralekvationer Elektrostatik Fysikaliska begränsningar på små antenner Antennidentitet EM spridning Halléns integralekvation ( Γ (k) )D(k; ˆk, ê) k 4 Fysikaliska begränsningar dk = η ê γ e ê MoM allmänt Exempel Små antenner Polariserbarhetsdyader Inverst källproblem Utsläckningsparadoxen RCS för en UAV D Q ηk3 π ê γ ê Polariserbarhetsdyaden γ för ett metallobjekt med γ γ e för alla objekt i samma volym. D: direktivitet η < Q /B: kvalitetsfaktor B: relativ bandbredd ê: polarisation k : resonans-vågtal Polariserbarhetsdyader Polariserbarhetsdyader a) b) Ã= r Ã= + + + + + ½(x,y,z) dipole dipole dipole 3 dipole dipole dipole 3 dipole + + + + + e=z^ ^ e=z^ ^ e=z^ ^ e=z^ ^ e=z^ ^ Ã= z wire dipole wire dipole (a) Laplaceekvation (elektrostatik) med antenn- (eller en omslutande) geometri. (b) Inducerad laddningstäthet. (c) Dipolmoment p = ɛ γ e E med γ e γ wire coil Geometri Externt elektrostatiskt fält Inducerad laddningstäthet Separation av laddning ger en stor polariserbarhet. wire coil - - - - -
Omslutande rektanglar Inverst källproblem: radom D/Q/(k a) 3 physical bounds Chu bound, e^ ` ka ` a D/Q/(k a) 3 physical bounds Variant på MoM för att beräkna en ekvivalent strömfördelning på Chu bound, ka en krökt yta från närfältsdata. e^ ` ` a. =. = =/ =/ ` /`.. ` /`.. Inverst källproblem: radom Utsläckningsparadoxen Utan radom Med radom Defekt radom Utsläckningstvärsnitt σ ext = spridd effekt + absorberad effekt infallande effekttäthet ¾ext=¼a Extinction paradox.8.6.4 µ k^ a ω σ ext (ω ; ω ˆk, ê) dω = Σ ext (ˆk, ê) då ω där Σ ext A..8.6.4. 5 TE() TE(¼/6), TM(¼=6) TE(¼/3), TM(¼=3) TE(¼/) 5 ka PIER 54, 79-98, 5
Utsläckningsparadoxen RCS för en UAV 4 3.5 3 ¾ ext/a z^ k^ Obemannad luftfarkost, UAV (unmanned aerial vehicle).5.5.45a.5.55a ka 5 5 5.45a.55a Medelvärdet illustreras av den röda kurvan..75.3.46 m 3.5 GHz, λ 6 cm monostatisk RCS (6 θ och φ 36 ) CFIE med l 6 cm 398 element