UPPSALA UNIVERSITET Naionalekonomiska Insiuionen Magiseruppsas Förfaare: Emma Nilsson Handledare: Lennar Berg Höserminen 007 Volailiespredikion för S&P 500 -en uvärdering av predikionsförmågan för hisorisk kondiionell och opionsbaserad volailie.
Sammandrag I denna uppsas jämförs hur väl re hisorisk baserade kondiionella GARCH-modeller sam en naiv hisorisk modell predikerar volailieen för Sandard & Poors 500 Composie index år 006, jämför med den opionsbaserade volailieen från Chicago Board Opion Exchange volailiesindex VIX. Både de kondiionella, den naiva hisoriska- och VIX volailiesprognoser uvärderas mo den hisorisk observerade volailieen för urvalsperioden. För a uvärdera respekive modells predikionsförmåga används re uvärderingsmå; Regressionsanalys med Walds koefficienes, de genomsniliga prognosfele modellera med Roo Mean Square Error (RMSE), sam Theil s U-saisikan. Undersökningen visar a de är röskel-garch-modellen TGARCH som bäs predikerar volailieen för S&P 500 men a en kombinaion av TGARCH och VIX illför yerligare förklaringsgrad ill modellen. Nyckelord: Volailie, VIX, GARCH, opioner.
Innehållsföreckning. Inledning... 4. Opionseori... 7. Opionens grunder... 7. Black & Scholes modell för opionsprissäning... 7.3. Modellen... 7.3. Opionsprissäning-påverkansfakorer... 8 3. Volailie... 0 3. Volailie... 0 3. Volailieens egenskaper... 0 4. Modeller för volailiespredikion... 4. Generalized Auoregressive Condiional Heeroscedasiciy (GARCH)... 4. Exponeniell GARCH... 4 4.3 Tröskel-GARCH... 5 4.4 Naiv hisorisk volailie... 6 4.5 VIX... 6 4.6 Realiserad volailie... 7 5. Meod... 8 5. Daa och deskripiv saisik... 8 5. Uvärderingsmå... 0 5.. Regressionsanalys... 0 5.. Roo Mean Square Error (RMSE... 5..3 Theil s Inequaliy Coefficien... 6. Resula och Analys... 4 6. Deskripiv saisik... 4 6. Parameeresima... 6 6.3 Uvärdering av predikionsförmåga... 6 7. Slusas... 30 8. Referenser... 3 9. Appendix A...33 3
. Inledning A modellera och predikera volailie för olika finansiella illgångars avkasning har kommi a bli en cenral verksamhe hos banker, finansiella insiuioner och andra akörer verksamma på den finansiella marknaden. En framåblickande bedömning och en pålilig prognos över volailieen under kommande dag, månad eller år är av högs vik ine mins för värderingen av den krafig växande kaegorin av derivainsrumen. Vid prissäningen av opioner, e våra äldsa och mes använda derivainsrumen är volailieen den enda parameer som ej är direk observerbar och de volailiesanagande som görs vid en opionsvärdering blir därför av mycke sor beydelse för opionens pris. För opioner med lång löpid eller med lien omsäning blir volailiesanagande speciell problemaisk och de lämnas urymme för en mer subjekiv bedömning av volailieen för den underliggande illgången. A dea ugör en risk och e problem har blivi högs påaglig, ine mins i och med den uppdagade skandalen och den fällande domen mo Invesmenbanken Carneige, där orimliga volailiesanaganden medförde krafig övervärderade opioner och nedskrivning av bankens vins. (Finansinspekionen 007 Dnr 07-65) Tradiionella saisiska modeller för avkasningen på finansiella illgångar har visa sig förklara endas en lien del av den finansiella illgångens variaion från en dag ill en annan och på grund av dea kommer den sörsa delen av illgångens volailie hamna i slumpermen och kaegoriseras som modellens prognosfel. I sandardmodellen har även slumpermens förvänade varians anagis vara konsan över iden vilke har visa sig vara e högs felakig anagande. Dea har bana väg för de mycke populära auoregressiva kondiionella heeroskedasiciesmodellerna ARCH och dess generaliserade form GARCH där variansen av slumpermen för en viss idsperiod sysemaisk anas bero på idigare realiserade slumpermer. Inrodukionen av ARCH och GARCH-modellerna har kommi a medföra en krafig förbärad meod för volailiesprognosisering av hisoriska daa och familjen av auoregressiva beingade heeroskedasiciesmodeller har väx krafig sedan den försa ARCH-modellen lanserades av Engle (98). (Kungliga Veenskapsakademin 003 s.3) En alernaiv meod för volailiespredikering ill de hisorisk baserade kondiionella ARCH- och GARCH-modellerna är a härleda en så kallad implici volailie ur en opionsprissäningsmodell. I den mes berömda opionsprissäningsmodellen Black & Scholes är volailieen den enda okända parameern vilke innebär a när opionen prissas 4
kan den anagna volailieen för opionen lösas u ur modellen. Den implicia volailieen anses därför vara e må på marknadens förvänningar om den framida volailieen. (Hull 003, s.50). Tidigare empiriska sudier har visa på en bias i Black & Scholes-modellen då den enderar a undervärdera volailieen för opioner vars lösenpris är lång under prise på den underliggande illgången (deep-in he-money opioner) sam övervärdera volailieer för opioner vars lösenpris är hög över prise på den underliggande illgången (deep-ou-of-hemoney opioner). Mo bakgrund av dea har implicia volailieer idigare kommi a härledas endas från opioner som är a-he-money de vill säga a dess lösenpris överenssämmer med den underliggande illgångens pris. För a få möjlighe a använda sig av informaion om volailieen från opioner över hela ufallsrumme och således få mer robusa volailiesesima lanserade Chicago Board Opion Exchange (CBOE) år 003 en ny beräkningsmeod för si volailiesindex VIX. VIX är av många anse som världens främsa må på inveserares nervosie och volailiesindexe beräknas uifrån priser baserade på indexopioner med de amerikanska akieindexe Sandard & Poor 500 som underliggande illgång. Med en ny beräkningsformel kalkyleras volailieen direk uifrån en vikad serie av lösenpriser och ej längre implici uifrån Black & Scholes opionsprissäningsmodell. 3 (CBOE, 003). Hur framida volailie bäs skall prognosiseras har vari föremål för ekonomer och forskares sudier i över vå decennier, dea ill ros finns i dagsläge ingen enydig bild av huruvida den hisorisk baserade kondiionella- eller den opionshärledda volailieen fakisk ger den bäsa predikionen av framida volailie. (Poon, Granger 003). Poeshman (000) finner a den implicia volailieen bäs predikerar framida volailie för Sandard & Poors 500 index (S&P 500) för åren 988-997 medan Noh, Engle och Kane (994) isälle finner a GARCH-modellen ger den bäsa predikionen för S&P 500 985-99. Doidge och Wei (998) finner a volailieen för de kanadensiska Torono indexe bäs predikeras med en kombinaion av GARCH och implici volailie medan Bluhm och Se exempelvis MacBeh & Merville (979), Rubinsein (985) Dea gäller för köpopioner, för säljopioner är förhållande de mosaa. En säljopion är deep-in.he-money om den underliggande illgångens pris är lång under lösenprise, och deep-ou-of-he-money om lösenprise är lång under den underliggande illgångens pris. 3 Då VIX ej beräknas uifrån en opionsprissäningsmodell kan den ine kaegoriseras som implici volailie. I uppsasen benämns den därför isälle som opionshärledd. 5
Yu (000) finner a VDAX, den yska mosvarigheen av VIX ger den bäsa prognosen för de yska akieindexe DAX. Syfe med denna uppsas är a undersöka hur väl den hisorisk baserade kondiionella volailieen, modellerad med re olika GARCH-modeller 4 sam en naiv hisorisk modell 5 predikerar volailieen för Sandard & Poors 500 index jämför med den opionshärledda volailieen från volailiesindexe VIX. Uöver uppsasens huvudsakliga syfe undersöks även huruvida en kombinaion av den kondiionella sam den opionshärledda volailieen från VIX signifikan kan öka predikionskrafen av volailieen för S&P 500 index. Predikionsförmågan för samliga modeller kommer a esas för år 006 och för a beräkna den kondiionella volailieen esimeras modellerna med idserier av dagsdaa från 000-006 på avsluspriser för S&P 500 Composie Price Index. Samliga volailiesprognoser kommer a uvärderas mo den hisorisk observerade volailieen för urvalsperioden, i uppsasen benämnd den realiserade volailieen. För a uvärdera respekive modells predikionsförmåga kommer re uvärderingsmå a användas; Regressionsanalys med Walds koefficienes, de genomsniliga prognosfele modellera med Roo Mean Square Error (RMSE), sam Theil s U-saisikan vilken indikerar hur väl en modell predikerar jämför med en naiv predikion. I uppsasen beskrivs inledningsvis opionseorins grunder sam Black & Scholes modell för opionsprissäning. Kapiel re definierar och beskriver närmare begreppe volailie sam volailieens egenskaper och siliserade faka. I kapiel fyra preseneras uppsasens modelleoreiska ramverk där uppsasens fem modeller för volailiespredikion sam den realiserade volailieen definieras och förklaras närmare. I kapiel fem ges en mer uförlig beskrivning av daamaeriale sam uppsasens uvärderingsmå. Uppsasens resula preseneras och analyseras i kapiel sex för a sedan summeras ill en slusas i kapiel sju. 4 I uppsasen predikeras volailieen med en radiionell GARCH (.)-modell, en exponeniell GARCH (EGARCH.) sam en röskel-garch (TGARCH..). 5 I den naiva hisoriska modellen görs anagande a den framida volailieen kommer a uvecklas på samma sä som den hisoriska. 6
. Opionseori. Opionens grunder Opioner är e derivainsrumen vilke innebär a dess värde härleds (derives) uifrån en underliggande illgång. Den underliggande illgången kan a flera olika former och ugöras av exempelvis valuor, råvaror, akier eller index. Användande av opioner likväl som andra derivainsrumen syfar bland anna ill a skapa en lägre riskexponering, a mo en kosnad begränsa den negaiva effeken av för en själv ogynnsamma rörelser på marknaden. Opioner kan även användas som invesering och spekulaion när inveseraren ror a marknaden kommer a förändras. (Hull 998, s.6f) Handel med opioner innebär e aval mellan vå parer, en köpare och en ufärdare och kan a vå huvudsakliga former: Köpopion där innehavaren av opionen har en räighe, men ej skyldighe a vid en besämd idpunk (inlösendag) eller under en specifik idsperiod (löpid) köpa den underliggande illgången ill e på förhand besäm pris (lösenpris). På mosvarande sä ger innehave av en säljopion köparen räigheen, men ej skyldigheen a vid en besämd idpunk/idsperiod och ill e på förhand besäm pris sälja den underliggande illgången. (Hull 998, s.70f). Black & Scholes modell för opionsprissäning.. Modellen Under 970-ales början publicerade Fischer Black, Myron Scholes och Rober Meron flerale ariklar som skulle komma a innebära e sor genombro för prissäningen av opioner och skapa den prissäningsmodell vi idag benämner Black & Scholes modellen (B&S). Modellen härleds uifrån den Binomiala Opionsprissäningsmodellen 6 och kan sägas vara e limiing case av denna där idsinervalle för varje binomial rörelse, för en given löpid närmar sig noll och vi går mo en koninuerlig sokasisk process 7. I B&S modell anas opionens värde endas bero på de underliggande akieprise (S), löpiden (T) sam e anal givna konsaner; lösenpris (X), den riskfria ränan ( r f ) sam volailieen (σ ). Dea innebär a de går a skapa en hedged posiion, de vill säga en riskfri porfölj 6 För läsare ej bekana med den Binomiala opionprissäningsmodellen hänvisas ex Copeland e al 005 7 När vi anar a de underliggande akiepriserna generas av en sokasisk process anar vi a varje pris på akien (S, S, S T ) dras slumpmässig från en sannolikhesfördelning. (Pindyck 998, s.489f.) 7
vars värde ej kommer a bero på de underliggande akieprise uan endas på löpiden sam givna konsaner. Denna posiion uppnås genom a ina en lång posiion i den underliggande akien och en kor posiion i opionen och dess avkasning kommer a vara den riskfria ränan give e anagande om inga arbiragemöjligheer. I den riskfria porföljen kommer varje rörelse i den underliggande akien mosvaras av en mosa rörelse i opionen och således kommer avkasningen vara given. (Black & Scholes, 973, s.640) B&S opionsprissäningsmodell för en köpopion ges av: rf T c = SN( d ) Xe N( d ) (..) där d = ln( / ) + ( + σ / ) S X r T σ T ln( S / X ) + ( r σ / ) T d = = d σ T σ T I modellen represenerar N( d ) och N( d ) den kumulaiva sannolikhesfunkionen för en sandardiserad normalfördelad variabel... Prissäning av opioner - påverkansfakorer Värde av en opion sår i direk relaion ill dess sannolikhe a lösas in med vins på sludagen och sammanfaller allid med opionens marknadspris (premie). Opionsvärde är vådela och besår av e realvärde och e idsvärde där realvärde anger differensen mellan den underliggande akiens pris (S) och lösenprise (X). En köpopion anses ha e realvärde om de underliggande akieprise översiger lösenprise (S-X)>0 och på mosvarande sä uppsår e realvärde för en säljopion om lösenprise isälle översiger prise på den underliggande akien (X-S)>0. Opionen sägs då vara in-he-money (plusopion). Om värde på opionen sammanfaller med lösenprise (S=X) anses opionen vara a-he-money (pariopion). En opion som saknar realvärde, de vill säga en köpopion vars lösenpris är högre än prise på den underliggande akien (S-X)<0, eller en säljopion vars akiepris är 8
högre än dess lösenpris (X-S)<0 anses vara ou-of-he-money (minusopion). (Hansson 00, s.35) Den del av opionens värde/premie som ej förklaras av realvärde ugörs således av idsvärde vilke besäms av sannolikheen a posiiva nyheer som skapar e realvärde inräffar under löpiden. En vikig besåndsdel i idsvärde är den underliggande akiens prisrörlighe, volailie (σ). Ju högre volailie, deso sörre sannolikhe a akiekursen under löpiden kommer uppnå akiekursnivåer som moiverar e hög opionsvärde och således e hög idsvärde. (ibid s.36f) Opionens löpid (T) har lik volailieen en posiiv påverkan på idsvärde, dea efersom sannolikheen a en opion med lång löpid någon gång under perioden uppnår e realvärde är sörre än för en opion med kor löpid. 8 Av samma anledning sjunker idsvärde för en opion mo slue av löpiden för a närma sig noll vid sludagen. (ibid s.36) En opions idsvärde påverkas även av den riskfria ränan (r f ), vilken har en posiiv effek för köpopioner men en negaiv för säljopioner. Dea beror främs på mängden kapial bunde vid respekive opionsyp. Genom a införskaffa en köpopion senarelägger man en bealning av den underliggande illgången och således binds avsevär mindre kapial än vid e förvärv av den underliggande akien direk. En köpopion kan ur dea avseende ses som en kredi vars värde ökar med den riskfria ränan. För säljopioner råder mosa förhållande då den underliggande illgången och således kapiale ligger bunde hos innehavaren av säljopionen, denne kan då ses som kredigivaren vars opionsvärde minskar med ökad räna. (Hull, 998, s.97) Sluligen påverkas opionens idsvärde av förvänad udelning under opionens löpid. Då udelning påverkar akieprise negaiv innebär dea a en köpopions idsvärde minskar medan en säljopions idsvärde ökar med förvänad framida udelning. (ibid, s.98) 8 Europeiska köp- och säljopioners idsvärde behöver ej allid vara sörre för en opion med lång löpid, dea då europeiska opioner endas kan lösas in på sludagen. Anag vå köpopioner med en respekive vå månaders löpid. Vid 6 veckor vänas en sor udelning vilken förvänas få akieprise a sjunka. Opionen med en månads löpid kommer då med sörsa sannolikhe vara värd mer än den med vå månaders löpid. (Hull, 998 s. 95) 9
Sammanfaningsvis kan värde på en icke udelande köp- respekive säljopion sägas vara en funkion av fem huvudsakliga variabler: c = f ( S, X, σ, T, r f ) p = f ( S, X, σ, T, r f ) Där: c= köpopion p= säljopion S= pris underliggande akie X= lösenpris σ= volailie T= löpid r f = riskfri räna 3. Volailie 3. Volailie I finansiella sammanhang ugör en underliggande akies volailie e må på prisflukraioner och mäs i ermer av sandardavvikelse för en akies avkasning. där: N = anale observaioner σ = N S R = ln dvs avkasningen för underliggande akie S R = medelvär de för underliggande akie N ( R R) (3.) = Dea innebär a en akie med hög sandardavvikelse/volailie har sörre prisflukraioner och är således mer riskfylld än en akie med låg volailie. Efersom sora prisflukraioner skapar sörre sannolikhe för a en opion ska bli en plusopion såg vi i kapiel. a volailie är posiiv korrelerad ill opionsprise. (Hull 998, s.53ff) 3. Volailieens egenskaper De finns idag flera väldokumenerade siliserade faka rörande finansiella idserier som är vikiga a a hänsyn ill när volailie skall esimeras. Fördelningen av finansiella idserier, (akiers avkasning) har uppvisa en excess kurosis vilke innebär a fördelningen visa sig ha feare svansar än svansar från normalfördelningen. En fördelning med excess kurosis 0
innebär a sannolikheen för exrema ufall är hög jämför med normalfördelningen. (Knigh, Sachell 007, s.3ff) Kluser av volailiesperioder har även visa sig vara e vikig karakärsdrag i finansiella idserier. Dea innebär a sora rörelser i akien kommer a vara åföljda av sora rörelser vilken i sin ur indikerar så kallad chockpersisens. Avkasningar är i sig okorrelerade men dess kvadraer uppvisar en posiiv signifikan och långsam förfallande auokorrelaionsfunkion. De finns också bevis för nära icke-saionarie i processen för den kondiionella variansen. De verkar med andra ord finnas belägg för a finansiella idserier har e lång minne. Mo bakgrund av dea har auoregressiva kondiionella heeroskedasiciesmodeller som ARCH och GARCH blivi populära vi esimering av volailie. (ibid s.3ff) Volailie har visa sig vara mean revering vilke innebär a de finns en normal nivå ill vilken volailieen så småningom åervänder ill. Om så är falle kommer långa prognoser allid konvergera ill denna normala nivå. Denna egenskap medför a nuvarande informaion ej har någon effek på den långsikiga volailiesprognosen. (ibid s.3) Finansiella idserier och speciell akieavkasning har även uppvisa a negaiva respekive posiiva chocker har olika effek på volailieen. Denna asymmeri kallas hävsångseffek eller riskpremieeffek och medför en skev (skewed) fördelning av predikerade priser. För opioner innebär hävsångseffeken a implicia volailieer för ou-of-he-money säljopioner är högre än a-he-money -opioner vilka i sin ur är högre än den implicia volailieen för in-he-money -opioner. (ibid s.4) Sluligen har co-movemens i volailie mellan olika marknader observeras vilke innebär a exempelvis en sor rörelse i en valua machas av en sor rörelse i en annan valua. Dea beonar viken av användande av mulivariaa modeller när krosskorrelaioner i olika marknader skall modelleras. (ibid s.4)
4. Modeller för volailiespredikion Fem olika modeller används i uppsasen för a predicera volailieen för S&P 500 index; Den generaliserade auoregressiva kondiionella heeroskedasiciesmodellen (GARCH), den exponeniella GARCH (EGARCH) sam röskel-garch-modellen (TGARCH). Dessa modeller predicerar samliga volailieen uifrån hisoriska avkasningsserier på S&P 500 index. Uifrån hisoriska daa prediceras även volailien med en naiv hisorisk modell med anagande a den framida volailieen kommer a uvecklas på samma sä som den hisoriska. Sluligen kommer Chicago Boards Opion Exchange Volailiesindex (VIX) a användas vilken predikerar framida volailieer uifrån priser på indexopioner med S&P 500 som underliggande index. 4. Generalized Auoregressive Condiional Heeroskedasiciy (GARCH) Vid modellering av finansiella idserier finns anledning a ro a volailieen ej är en funkion av en oberoende variabel uan isälle varierar över id på e sä som beror på hur sor volailieen var i idigare perioder. Dea kan även uryckas som a de finns en yp uav heeroskedasicie närvarande i vilken variansen för felermen (volailieen) beror på idigare volailie. De auoregressiva kondiionella heeroskedasiciesmodellerna ARCH och GARCH har mo bakgrund av dea kommi a blir mycke vikiga i modellering av finansiell idseriedaa, dea efersom de uppvisar en vikig egenskap i dess förmåga a fånga volailieskluser och predicera mer effekiva parameeresima. I ARCH-modellen av Engle (98) anas den beroende variabeln S genereras av: S = x ξ + ε, =,..., T, (4..) där x är en k x vekor av exogena variabler exempelvis laggade värden av den beroende variabeln och ξ är en k x vekor av regressionsparamerar. I modellen karakäriseras fördelningen av den sokasiska felermen ε beinga på realiserade värden av e se variabler. { s, x, s, x,...} ε = (4..) ε = σ z, z NID(0,) ε ε σ NF(0, ) z = en sekvens av oberoende och idenisk disribuerade slumpmässiga var iabler
Variansen för felermen ( σ ) anas vara en funkion av en konsan (α ) sam idigare perioders volailie vilka modelleras som idigare periods kvadrerade residual, ARCH-ermen ( ε ). En ARCH (p) modell kan därför skrivas: σ = α + βε + βε +... + β ε (4..3) p p För a vår ARCH-modell skall hålla krävs a vi försäkrar oss om en posiiv varians de vill säga: α > 0, β 0. Vid användning av finansiell dagsdaa eller veckodaa kan man förväna sig a variansen av ε kommer a bero på idigare volailieer i e sor anal perioder bakå i iden. Dea kan skapa problem efersom e sor anal paramerar minskar precisionen i analysen. En ågärd av probleme är dock a uppmärksamma a ekvaion (4..3) är en disribued lag model 9 för σ och a vi genom dea kan ersäa en sor andel av de laggade kvadrerade residualerna ( ε ) med endas e fåal laggade värden av variansen( σ ). ( Pindyck, Rubinfeld 998, s.86f) Dea leder oss fram ill den generaliserade auoregressiva kondiionella heeroskedasiciesmodellen (GARCH) publicerad av Bollerslev (986). I GARCH har variansen av felermen re komponener: en konsan (α ), förra periodens volailie, ARCH-ermen ( ε ), sam förra periodens varians GARCH-ermen ( σ ). En GARCH (p,q) modell kan därför skivas som: σ = α + β ε +... + β ε + λ σ +... + λ σ (4..4) p p q q där α0 > 0, β 0 för i =... p, λ 0 för i =... q i i 9 Vi anar a variansen idag beror på alla idigare volailieer men med geomerisk avagande viker. 3
På mosvarande säs skrivs en GARCH(.): σ = α + β ε + λ σ (4..5) 4. Exponeniell GARCH I den ursprungliga GARCH-modellen modelleras den kondiionella variansen som en funkion av idigare perioders varians men ingen hänsyn as ill huruvida förändringen i avkasningen i idigare perioder vari posiiv eller negaiv. De är med andra ord endas sorleken och ej eckne på förändringen som påverkar den kondiionella variansen. Dea innebär a den radiionella GARCH-modellen ej ar hänsyn ill den hävsångseffek som kan uppså ill följd av asymmeriska effeker av uppgångar och fall i akieavkasningen de vill säga a dåliga nyheer enderar a öka volailieen medan goda nyheer minskar volailieen. De har även visa sig a de esimerade koefficienerna i GARCH-modellen ofa överräder de icke-negaiva krav modellen säller på paramerarna ( α, β, λ ) för a försäkra sig om en posiiv varians. Vidare har de med den radiionella GARCH visa sig komplicera a uröna huruvida chocker i den kondiionella variansen besår över id. (Nelson 99, s.348ff) Mo bakgrund av GARCH-modellens illkorakommanden inroducerade Nelson (99) en exponeniell GARCH-modell (EGARCH) i vilken den kondiionella variansen begränsas ill a vara posiiv genom a modellera logarimen av den kondiionella variansen( σ ). EGARCH (..) modelleras som: ε ε log( σ ) = α + β log( σ ) + θ + γ (4.) σ σ Specifikaionen av EGARCH illåer variansen ( σ ) a påverkas asymmerisk av posiiva och negaiva förändringar i residualen ( ε i ). Hävsångseffeken är i modellen exponeniell och predikioner för den kondiionella variansen kommer med säkerhe uppfylla krave om icke-negaiva paramerar. För ( ε i 0 ) sam ( ε i < 0 ) kommer den kondiionella 4
volailieen påverkas olika (θ + γ respekive θ γ ). Dea är en vikig egenskap för modellen då den illåer variansen a svara snabbare mo negaiva förändringar i marknaden än posiiva. (Nelson 99, s.35) 4.3 Tröskel- GARCH E alernaiv ill EGARCH som lik denna ar hänsyn ill asymmerin i volailieen är röskel- GARCH-modellen (TGARCH) av Zakoian (994). Den huvudsakliga idén bakom en röskelmodell är a dela e komplex sokasisk sysem ill enklare subsysem för a sedan approximera en segvis linjär funkion för den kondiionella variansen. På dea sä uppnås lokala linjära modeller. Tröskelmodellen TGARCH (..) definieras som: där: σ = α + β σ + θ ε + γ ε I (4.3) I I = om ε < 0 = 0 om ε 0 För TGARCH-modellen har goda nyheer ( ε i 0 ) sam dåliga nyheer ( ε i < 0 ) olika effek på den kondiionella variansen ( σ ) där goda nyheer påverkar ( θ i ) och dåliga nyheer påverkar ( θ i + γ i ). Om ( γ i > 0 ) innebär dea a de finns en hävsångseffek i idsserien de vill säga a dåliga nyheer enderar a ökar den kondiionella variansen. (Zakoian, 994 s. 933f) Även då de båda modellerna EGARCH och TGARCH ar hänsyn ill asymmerin i volailieen skiljer de sig på så sä a för EGARCH är effeken på volailieen från posiiva relaiv negaiva nyheer konsan över id medan effeken för TGARCH illås variera. (Knigh, Sachell 007, s.5) 5
4.4 Naiv hisorisk volailie I Black & Scholes formeln för opionsprissäning anas volailieen vara konsan under opionens löpid och modellen implicerar därför a framida volailie kommer a uvecklas på samma sä som den hisoriska. A volailieen ej är konsan är sedan länge kän men dea ill ros har den hisoriska volailieen i vissa fall visa sig ge den bäsa predikionen, ine mins för daamaerial för kora perioder där GARCH-modeller uppvisa vissa illkorakommanden. 0 Mo bakgrund av dea jämförs även den naiva hisoriska modellens predikionskraf i uppsasen. För a beräkna den naiva hisoriska volailieen för dag () esimeras sandardavvikelsen för avkasningen 30 dagar bakå i iden de vill säga 9. σ = N N ( R R) (4.4) = där: N = anale observaioner S R = ln dvs avkasningen för underliggande akie S R = medelvär de för underliggande akies avkasning 4.5 VIX Volailiesindexe VIX inroducerades av Chicago Board Opions Exchange (CBOE) 993 och har kommi a bli e mycke vikig benchmark för akiemarknadens volailie. VIX har ofa kommi a kallas världens främsa må på nervosie och avspeglar marknadens korsikiga förvänningar (30 dagar) av volailie uifrån prissäningen på opioner på de amerikanska akieindexe Sandard & Poor 500 (S&P 500). Ursprungligen beräknades volailieer i VIX implici uifrån Black & Scholes opionsprissäningsmodell med priser från a-he-money -opioner. År 003 lanserades dock en ny mer robus modell för kalkylering oberoende av någon prissäningsmodell och med hänsyn agen ill e bre spekra av lösenpriser. Den generella formeln som används för a kalkylera VIX hämar informaion från opionspriser över hela volaliy skew genom a 0 Se exempelvis Figelewski (997) 6
använda sig av priser för ou-of-he-money köp och säljopioner och som e resula generar den nya VIX mer robusa esima av den förvänade volalieen. (CBOE 003) VIX beräkningsformel ges av: σ VIX X RT F = e Q( X ) T X T X (4.5) 0 där: T : Löpid F : Forward indexnivå härledd från indexopionspriser för S & P 500 RT F = lösenpris + e *( pris köpopion pris säljopion) X : Lösenpris av ou of he money opioner i i köpopion om X > F säljopion om X < F X : Inervall mellan lösenpriser X 0 : + X i i i halva dis an sen mellan lösen på endera sida om X = R : Riskfri räna X X Q( X ) : Mipunk för bid ask spridningen för var j : e opion med lösen X i Försa X under indexnivå F i i 4.6 Realiserad volailie För a jämföra de fyra ovansående modellernas förmåga a predicera volailieen för S&P 500 kommer dessa a uvärderas mo den realiserade volailieen under perioden för predikion (006). Den realiserade volailieen approximeras i uppsasen uifrån den fakisk observerade avkasningsserien under predikionsperioden och beräknas som sandardavvikelsen för avkasningen under en 30-dagars period de vill säga + 9. Beräkningen sker med andra ord på samma sä som för den naiva hisoriska volailieen men med e anna idsperspekiv. Den realiserade volailieen beräknas uifrån de fakisk observerade förändringarna i avkasningsserien under predikionsperioden. (Day, Lewis 993) 7
5. Meod 5. Daa och deskripiv saisik Daamaeriale som används för analys är dagsdaa för avsluspriser för S&P 500 Composie Sock Price Index (S&P 500). Sickprove besår av 84 dagliga observaioner och urvalsperioden sräcker sig över åren 000-006, där år 006 ugör perioden för predikion av volailieen. S&P 500 är e marknadsvärdesvika index besående av akier från 500 Large-Cap bolag som handlas på New York Sock Exchange, American Sock Exchange och Nasdaq. Bolag inkluderade i indexe är nödvändigvis ej de sörsa bolagen i ermer av marknadsvärde, försäljning eller vins uan inkluderas mo basis av a de är ledande bolag inom ledande sekorer i den amerikanska ekonomin. S&P 500 refereras ofa ill a vara den mes beydelsefulla måsocken för den amerikanska akiemarknaden och e ledande benchmark för inveserare.(s&p fakablad 007) Uifrån avsluspriserna för S&P 500 beräknas en avkasningsserie enlig: där: S R = ln S R = Avkasning S & P 500 index S = Avsluspris S & P 500 index Uifrån deskripiv saisik för vår avkasningserie ser vi a S&P 500 index uppvisar e kurosisvärde på 5.6 vilke innebär a daamaeriale har fea svansar och sannolikheen för exrema ufall är hög jämför med en normalfördelning. Uifrån vår Jarque-Bera saisika kan vi förkasa nollhypoesen om normalfördelning för S&P 500. Tabell 5. Deskripiv saisik avkasning S&P 500 Medelvärde Median Maximum Minimum sd. Dev Skewness Kurosis JB -.46E-05 0.0003 0.056-0.060 0.0 0.03 5.6 506.60 För normalfördelningen är kurosis=3 8
Figur 5. ger en grafisk framsällning av den ursprungliga prisserien sam avkasningserien för S&P 500 index. Ur denna kan ydlig ses den klusereffek som idigare omnämndes, de vill säga a en period av sora rörelser i akien enderar a åföljas av en period av sora rörelser. De går även ydlig a uläsa a de finns en hävsångseffek i idsserien, vilke innebär a negaiva rörelser enderar a påverka volailieen mer än posiiva rörelser. Dea syns särskil ydlig vid en jämförelse av avkasningsserien under den nedågående försa halvan av prisserien jämför med den uppågående andra halvan. Figur 5. Avsluspris och Avkasning för S&P 500 index år 000-006 Avsluspris 800 600 400 00 000 800 600 400 00 0 00-0-03 00-0- 003-0-5 004-0-0 005-0- 006-0-5 0,4 0,09 0,04-0,0-0,06 Avkasning Avsluspris Avkasning Med avkasningsserien för S&P 500 prediceras volailieer med hjälp av de re GARCH modellerna sam den naiva hisoriska modellen. Volailiespredikionen för 006 uifrån VIX härleds ej, uan hämas från direk från CBOE:s daabas. För a göra de olika volailiesesimaen jämförbara mulipliceras de predikerade volailieerna med 365 för a få observaionerna på årsbasis. Anledningen ill a de predikerade volailieerna mulipliceras med 365 och ej de mer vanlig förekommande 5 handelsdagar är a de värden hämade från VIX beräknas på e år med 365 dagar. (CBOE, 003) Från VIX erhålls en prognos för volailieen 30 dagar framå och för a göra den realiserade sam den hisoriska volailieen jämförbar används samma idshorison vi beräkningen av dessa. När den kondiionella volailieen predikeras med de re GARCH-modellerna erhålls 9
dock en prognos för volailieen endas en dag framå vilke skapar en mis-mach mellan de olika predikionshorisonerna. Dea problem kan avhjälpas genom a bygga en rullande GARCH-modell med en rullande 30-dagars predikion för samliga modeller. Då dea är en relaiv komplex och idskrävande manöver sam på grund av de fakum a GARCHmodellen uppvisar geomerisk avagande viker, vilke implicerar a skillnaden ej kommer vara av sor magniud, har de isälle i uppsasen konrolleras huruvida paramerarna från de olika GARCH-modellerna är sabila över id. 5. Uvärderingsmå För a uvärdera vilken modell som bäs predicerar volailieen för S&P 500 index under urvalsperioden kommer re olika uvärderingsmå a användas. 5.. Regressionsanalys För a esimera relaionen mellan den realiserade volailieen under perioden och respekive modells predikion kommer en linjär regression med Ordinary Leas Squares (OLS) a köras med den realiserade volalieen ( σ ) som beroende variabel och respekive predikerade volailieer ( σ ) som förklarande. P R σ = α + βσ + ε ( 5..) R P För a konrollera huruvida en kombinaion av den kondiionella volailieen och VIX kan förbära prognosen kommer en regressionsmodell köras med VIX sam respekive modell som förklarande variabel. σ = α + β σ + β σ + ε (5..) R VIX P Ur regressionen för respekive modell erhålls R -värden vilka anger proporionen av den oala variaionen i den realiserade volailieen som förklaras av regressionen σ R mo respekiveσ. P R -värdena faller i inervalle 0- där e R på noll innebär a modellen överhuvudage ej bidrar ill a förklara variaionen i den realiserade volailieen. För linjära regressionsmodeller kan dea konrolleras auomaisk i Eviews med e så kalla Chow-es för parameersabilie. Då denna möjlighe ej finns för GARCH-modeller har modellerna i uppsasen manuell rullas/esimeras för olika 30-dagarsperioder och konrolleras huruvida paramerarna signifikan förändras. 0
Om predikionen för volailieen är en vänevärdesrikig (unbiased) esimaor för den realiserade volailieen skall koefficienen α vara nära noll och koefficienen β nära e. För a undersöka huruvida koefficienerna uppfyller dessa resrikioner används e Wald-es vilke undersöker hur nära koefficienerna uppfyller resrikionerna under den gemensamma nollhypoesen. H 0 α = 0 = β = Under nollhypoesen är Waldsaisikan χ ( q) -fördelad där q anger anale resrikioner under nollhypoesen. (Pindyck, Rubinfeld 998, s.83f). Då idigare sudier 3 visa på förekomsen av heeroskedasicie vid linjära regressioner mellan realiserad och predikerad volailie kommer även respekive modell esas för huruvida variansen för felermen kan anas vara konsan eller ej. Om Heeroskedasicie är närvarande kommer OLS-esimaion placera mer vik vid observaioner med sora felermsvarianser än vid observaioner med små. OLS-esimaionen av parameern för respekive modells volailiee är vid förekomsen av heeroskedasicie forfarande vändevärdesrikig och konsisen, men den är ej effekiv. Dea beyder a den esimerade variansen för den esimerade parameern är en icke-vänevärdesrikig esimaor för parameerns sanna varians. (Pindyck, Rubinfeld 998, s.46f). Förekomsen av heeroskedasicie i modellen esas med Whie s es för heeroskedasicie 4 och evenuell heeroskedasicie i modellen korrigeras sedermera auomaisk i Eviews med Whie s heeroskedasicieskonsisena skaningar. 3 Se exempelvis Day & Lewis 993. 4 Läsare obekana med Whie s es för heeroskedasicie hänvisas ill (Pindyck, Rubinfeld 998, s.54)
5.. Roo Mean Square Error (RMSE) För a undersöka hur nära de de predikerade volailieerna följer de fakisk observerade volailieerna i urvalsperioden kan saisikan Roo Mean Square Error (RMSE) användas. RMSE anger de genomsniliga prognosfele genom a kvadrera differensen mellan den predikerade och de observerade volalieen sam dividera den kvadrerade differensen med anale observaioner. Sluligen erhålls RMSE saisikan genom a dra kvadraroen ur den genomsniliga differensen. RMSE = N N ( σ, P σ, R ) (5..) = där: σ σ, P, R = Predikerad volailie = Realiserad volailie N = Anal observaioner Då differensen mellan den predikerade och den observerade volailieen kvadreras ger RMSE-saisikan relaiv sor vik å sora predikionsfel. Dea medför a RMSE som uvärderingsmå är mes användbar när sora predikionsfel är synnerligen icke önskvärda. (Pindyck, Rubinfeld 998, s.0). 5..3 Theil s Inequaliy Coefficien Theil s Inequaliy Coefficien även kallad Theil s U är yerligare e användbar må på predikionsvärde hos en modell och anses vara fördelakig då de indikerar hur väl en modell predikerar jämför med en naiv predikion (där en naiv predikion är opimal give en univaria Random Walk-process). Om modellen ej predikerar volailieen bäre än en naiv predikion kommer Theil s U saisikan vara lika med e. En Theil s U saisika mindre än e indikerar således a modellen predikerar bäre än den naiva modellen.
Theil s U saisikan ges av: U = N N = ( σ σ ), P, R N N N ( σ, P ) + ( σ, R ) = N = (5..3) M S Ur Theil s U saisikan kan re komponener av olikhe definieras; bias ( U ), variansen ( U ) C och kovariansen ( U ) av U, vilka illsammans summerar ill e. U M σ σ = (, P, R ) (5..4) ( σ, P σ, R ) N U U S C ( sdσ sdσ ) =, P, R (5..5) ( σ, P σ, R ) N ( ρ) sdσ sdσ =, P, R (5. 6) ( σ, P σ, R ) N där: σ, σ : Medelvärden för predikerad & realiserad volailie, P, R sdσ, sdσ : S an dardavvikelser för predikerad & realiserad volailie, P, R ρ : Korrelaionskoefficien σ σ, P, R Proporionen bias ( U M ) i U mäer i vilken usräckning de genomsniliga värdena av den M predikerade och den realiserade volailieen avviker från varandra. E sor värde på ( U ) (över 0.) indikerar a en sysemaisk bias är närvarande och a modellen bör revideras. S Proporionen varians ( U ) ger en indikaion på modellens förmåga a replikera graden av S förändring i volailieen. E sor värde på ( U ) indikerar a den realiserade volailieen har flukuera avsevär medan den predikerade visar lien variaion (eller vice versa). Sluligen C ger proporionen kovarians ( U ) e må på osysemaiska predikionsfel i modellen. Kovariansen är de fel som kvarsår efer a avvikelser från de genomsniliga värde har 3
agis i beakande, men efersom de ej är sannolik a ana en perfek korrelaion mellan den predikerade och realiserade volailieen är dea må ej av samma vik som proporionen bias sam varians. Ideale är en fördelning lik (Pindyck, Rubinfeld 998, s.). M U + S U =0, C U =. 6. Resula och analys I uppsasen har den kondiionella volailieen modellerad med re olika GARCH-modeller, en naiv hisorisk volailiesmodell sam VIX undersöks för a se vilken modell som bäs predikerar volailieen för S&P 500 index år 006. För predikeringsperioden (006) har 47 dagliga observaioner av volailieen erhållis från samliga modeller vilke ugör sample för vår uvärdering av den predikerade volailieen genemo den realiserade. Nedan preseneras en kor summering av deskripiv saisik för den predikerade volailieen sam en graf för de predikerade modellerna. Vidare preseneras en sammansällning och en analys av predikionsförmågan för dessa modeller uifrån de uvärderingsmå som presenerades i kapiel 5.. 6. Deskripiv saisik Ur sammansällningen i abell 6.. och 6.. rörande deskripiv saisik för de fem predikerade modellerna sam den realiserade volailieen, går a uläsa a medelvärde för volailieen för samliga modeller är högre än för den realiserade volailieen. Även maximumvärde för samliga modeller är högre eller lika med maximumvärde för den realiserade volailieen. Ur korrelaionsmarisen för de predikerade modellerna sam den realiserade volailieen ycks TGARCH vara den modell som är högs korrelerad med den realiserade volailieen. Mins korrelaion med den realiserade volailieen visar den naiva hisoriska modellen. Tabell 6.. Deskripiv saisik över den predikerade sam realiserade volailieen Medelvärde Median Minimum Maximum Realiserad 0.4 0.0 0.070 0.87 VIX 0.8 0. 0.099 0.38 GARCH 0.7 0.9 0.093 0.89 EGARCH 0. 0.5 0.068 0.07 TGARCH 0. 0. 0.077 0.08 Hisorisk 0.8 0.07 0.076 0.87 4
Tabell 6.. Korrelaionsmaris för den predikerade sam realiserade volailieen S&P 500 VIX GARCH EGARCH TGARCH Realiserad GARCH 0.770 EGARCH 0.857 0.97 TGARCH 0.857 0.843 0.96 Realiserad 0.607 0.455 0.565 0.60 Hisorisk 0.737 0.956 0.94 0.806 0.43 Figur 6. nedan ger en grafisk framsällning av den predikerade sam den realiserade volailieen för S&P 500. 5 Ur figuren går a uläsa a modellernas predikioner ycks ligga relaiv nära den realiserade volailieen under perioder med relaiv lie flukraion. Under den mer volaila perioden run maj ill juli går samliga modellpredikioner och den realiserade volailieen krafig isär. Modellerna ycks reagera sen på den krafig ökade volailieen för a sedan dröja kvar och krafig överskaa volailieen när denna minskar igen. VIX, TGARCH- sam EGARCH-modellen ycks reagera snabbare än övriga modeller på den ökade volailieen men är också de modeller som krafigas övervärderar volailiesnivån under perioden. A TGARCH sam EGARCH reagerar snabbare på den ökade volailieen än den radiionella GARCH sam den naiva hisoriska modellen, indikerar a de exiserar en hävsångseffek i idsserien för S&P 500. Figur 6. Predikerade volailieer v.s realiserad volailie S&P 500 år 006 0,3 0,5 0, Volailie 0,5 0, 0,05 0 06-0-03 06-0-03 06-03-03 06-04-03 06-05-03 06-06-03 06-07-03 06-08-03 06-09-03 06-0-03 06--03 06--03 VIX GARCH EGARCH TGARCH Realiserad Hisorisk 5 Figur 6. åerfinns även i sörre skala i appendix A. 5
6. Parameeresima Från de re kondiionella modellerna GARCH, EGARCH sam TGARCH erhålls esima för paramerarna i respekive modell. Dessa preseneras i abell 6. nedan. Samliga variabler i modellerna är sark signifikana vilke yder på a den kondiionella volailieen är en beydande påverkansfakor för den framida volailieen. A koefficienen (γ ) för EGARCH och TGARCH är sark signifikan indikerar a eckne på förändringen i avkasningen för S&P 500 fakisk har beydelse för predikionen av volailieen. EGARCH och TGARCHmodellerna borde därför vara bäre modeller för predikion av volailieen än den radiionella GARCH-modellen där ingen hänsyn as ill huruvida förändringen i avkasningen är posiiv eller negaiv. Paramerarna ycks även efer manuell rullning av sample vara sabila över id vilke implicerar a idshorisonen för predikionen av den kondiionella volailieen ej behöver vara e sor problem för vidare analys och es. Tabell 6. Parameeresima för esimerade GARCH-modeller Modell α 0 β λ GARCH(.) 6.30E-07** 0.065*** 0.99*** α 0 β θ γ EGARCH(.) -0.55*** 0.989*** -0.07*** 0.060*** α 0 β θ γ TGARCH (..) 8.85E-07*** 0.94*** -0.00*** 0.40*** *** signifikan på % nivå ** signifikan på 5% nivå 6.3 Uvärdering av predikionsförmåga Tabell 6.3 och 6.4 nedan redovisar uvärderingsresulae för de kondiionella GARCHmodellerna, den naiva hisoriska modellen sam VIX-modellens förmåga a predikera volailieen för S&P 500 index. Genom essaisikan RMSE erhölls de genomsniliga prognosfele för respekive modell genemo den realiserade volailieen och från dessa värden kan uläsas a TGARCHmodellen har de lägsa prognosfele med e genomsnilig fel på ca (0.08) näs följ av VIX 6
med e genomsnilig fel på (0.09). De högsa genomsniliga prognosfele uppvisar den naiva hisoriska prognosen med e prognosfel på (0.037) Huruvida de esimerade volailiesmodellerna predikerade framida volailie bäre än en naiv modell uvärderades med hjälp av Theil s U saisikan. Ur abell 6.3 kan uläsas a samliga Theil s U saisikor är under e vilke indikerar a modellerna har predikionskraf, de vill säga a samliga predikerar den framida volailieen bäre än en naiv modell baserad på en Random Walk. Även för denna saisika är predikionsförmågan bäs för TGARCH-modellen (0.6) ä följd av VIX (0.7). Säms predikionsförmåga uppvisar åerigen den hisoriska modellen (0.40) följd uav den radiionella GARCH (0.3). M S Theils U saisikan ger även en analys av de re proporionerna bias ( U ), varians ( U ), C sam kovariansen ( U ) i respekive modell. Proporionen bias anger ill vilken grad de genomsniliga värdena för de predikerade och de realiserade volailieerna skiljer sig å och är således en indikaor på sysemaiska prognosfel i modellen. Uifrån dea må kan vi se a ingen av modellerna överskrider de kriiska värde 0. och visar således ej på allvarliga sysemaiska modellfel. Bland våra modeller är de den naiva hisoriska modellen som uppvisar den lägsa proporionen bias (0.0) följ av EGARCH-modellen (0.068). Högs proporion bias i modellen visar VIX med e värde på (0.77). Proporionen varians i Theil s U saisikan indikerar modellens möjlighe a replikera graden av förändring i avkasningen för S&P 500. Om värde på proporionen varians är hög indikerar dea a den realiserade volailieen har haf hög/låg varians under perioden medan den predikerade volailieen har variera avsevär mindre/mer. Ur proporionen varians kan vi uläsa a EGARCH-modellen uppvisar de lägsa värde (0.00) följ uav den naiva hisoriska volailieen (0.003). Den högsa proporionen varians visar VIX (0.09) som också enlig figur 6. ycks vara den modell som flukuera mes under perioden. Sluligen anger proporionen kovarians i Theil s U saisikan modellens osysemaiska prognosfel, vilke även är den del som anses vara mins oroande för modellens predikionsförmåga. I den ideala fördelningen av prognosfele är proporionen kovarians lika med e och glädjande kan vi uläsa a kovariansen är den komponen av essaisikan som är 7
avsevär sörs för samliga modeller. De prognosfel som modellerna uppvisar ycks allså vara av osysemaisk ar. Tabell 6.3 Sammansällning uvärderingsmå RMSE & Theil s U RMSE Theil ' s U M U VIX 0,09 0,7 0,77 0,09 0,670 GARCH (.) 0,039 0,3 0,54 0,056 0,795 EGARCH (.) 0,034 0,8 0,068 0,00 0,947 TGARCH (..) 0,083 0,6 0,075 0,006 0,9 Hisorisk 0,0337 0,40 0,00 0,003 0,99 S U C U För a esa modellernas förmåga a predikera volailieen för S&P 500 användes även regressionsanalys där en linjär modell skaades med den realiserade volailieen som beroende variabel och respekive modell som förklarande. För a esa om respekive modell var en vänevärdesrikig esimaor för den realiserade volailieen användes Wald s koefficienes där koefficienerna α 0 och β esades under den gemensamma nollhypoesen. H 0 α = 0 = β = Modellerna esades även för förekoms av heeroskedasicie vilke visade sig vara närvarande för samliga regressionsmodeller. Dea korrigerades därför med Whies heeroskedasicieskonsisena skaningar för a erhålla effekiva parameeresima. OLS-skaningarna visar a TGARCH-modellen har den högsa förklaringsgraden med e R -värde på (0.389). Den opionshärledda volailieen esimerad genom VIX uppvisar den näs bäsa förmågan a predikera framida volailie med e R -värde på (0.368). Säms predikerar den hisoriska volailieen följ av GARCH. Ur Wald-saisikan ( χ ) kan uläsas a nollhypoesen för α 0 =0 och β = kan förkasas för samliga modeller. Dea innebär a ingen av modellerna kan anas ge en vänevärdesrikig predikion av den realiserade volailieen. 8
Tabell 6.4 Sammansällning regressionsanalys α 0 β R χ p-värde VIX 0.003 0.866 0.368 7.6 0.000 GARCH 0.037 0.609 0.5 6.0 0.000 EGARCH 0.047 0.55 0.36 89. 0.000 TGARCH 0.03 0.669 0.389 74.8 0.000 Hisorisk 0.060 0.46 0.9 93.8 0.000 Uifrån uppsasens re uvärderingsmå ycks de vara TGARCH-modellen som bäs predikerar volailieen för S&P 500. Enlig samliga uvärderingssaisikor är TGARCHmodellen någo bäre än den opionshärledda volailiesprognosen VIX. Ingen av modellerna ger en hel vänevärdesrikig predikion av volailieen, men samliga modeller har bäre prognoskraf än en naiv modell. Ej heller ycks några sysemaiska prognosfel föreligga i någon av modellerna enlig vår Theil s U saisika. De prognosfel som modellerna generar ugörs ill huvuddel av osysemaiska fel i prognosen. A TGARCH-modellen är överlägsen den radiionella GARCH och den naiva hisoriska modellen kan roligvis förklaras av den hävsångseffek som visade sig vara signifikan i idsserien. En negaiv prisförändring för S&P 500 har en sörre effek på volailieen än en posiiv förändring och således krävs en modell som ar dea i beakande. Varför predikionsförmågan för TGARCH och EGARCHmodellen, vilka båda ar hänsyn ill hävsångseffeker i daamaeriale, skiljer sig å är svårare a uvärdera. En förklaring kan dock vara de fakum a för EGARCH-modellen är effeken av posiiva relaiv negaiva nyheer konsan över id vilke begränsar modellen mer än TGARCH-modellen där effeken illås variera. För a uröna om volailiesprognosen från TGARCH skulle kunna förbäras yerligare var de sluligen inressan a undersöka huruvida den opionshärledda volailieen från VIX innehåller någon informaion som ej fångas av TGARCH-modellen. Huruvida övriga modeller innehåller någon informaion som ej fångas av VIX konrollerades även. Huruvida volailiesprognosen kan förbäras undersökes genom a skaa en ny regressionsmodell med OLS där både VIX och respekive GARCH-modell sam den hisoriska ingick som förklarande variabler. Ur regressionen för VIX/TGARCH kan uläsas a koefficienerna för båda variablerna är signifikana sam a R -värde har sigi vilke indikerar på a prognosen skulle kunna förbäras yerligare med en kombinaion av den kondiionella volailieen sam 9
den opionshärledda VIX. Ingen av de andra kondiionella eller hisoriska modellerna ycks innehålla någon yerligare signifikan informaion uöver den inkluderad i VIX. Tabell 6.5 Regressionsanalys: VIX och övriga kondiionella/hisoriska modeller. α 0 β β R VIX, GARCH 0,004 0,898*** -0,038 0,369 VIX, EGARCH 0,00 0,660*** 0,63 0,376 VIX, TGARCH 0,03 0,406 ** 0,403** 0,406 VIX, Hisorisk 0,003 0,905*** -0,039 0,369 *** signifikan på % nivå ** signifikan på 5% nivå 7. Slusas Syfe med denna uppsas var a undersöka hur väl den hisorisk baserade kondiionella volailieen, modellerad med re olika GARCH-modeller sam en naiv hisorisk modell predikerade volailieen för Sandard & Poors 500 index jämför med den opionshärledda volailieen från volailiesindexe VIX. Uöver de huvudsakliga syfe undersökes även huruvida en kombinaion av den hisorisk kondiionella volailieen sam VIX gav en modell med ökad prognoskraf. Tre uvärderingsmå användes, regressionsanalys, de genomsniliga prognosfele (RMSE) sam Theil s U saisikan, vilken angav huruvida respekive modell predikerade volailieen för S&P 500 bäre än en naiv modell baserad på en Random Walk. Samliga uvärderingsmå indikerade a de var den hisorisk baserade röskel-garchmodellen (TGARCH) som bäs predikerade den framida volailieen ä följ av den opionshärledda VIX. TGARCH-modellen uppvisar e R -värde på 0.389 vilke innebär a TGARCH-modellen förklarar 38.9% av variaionen i den realiserade volailieen. De genomsniliga prognosfele (RMSE) var för modellen 0.083 och Theil s U saisikan 0.6 vilke indikerade a de prognosfel som TGARCH-modellen levererar är av osysemaisk ar. Vidare analys av daamaeriale visade a genom a kombinera den kondiionella TGARCHmodellen sam den opionshärledda volailieen från VIX kunde predikionsförmågan av den realiserade volailieen höjas yerligare och uppvisa en förklaringsgrad på 0.406. A TGARCH-modellen är överlägsen övriga kondiionella och hisoriska modeller sår roligvis a finna i de fakum a modellen ar hänsyn den hävsångseffek som uppvisades i den finansiella idsserien för S&P 500. Modellen illåer a eckne på prisförändringen, och ej endas förändringens sorlek påverka volailieen, och beydelsen av posiiva relaiv negaiva 30
nyheer illås även variera över id vilke roligvis förklarar varför TGARCH-modellen ger en bäre predikion av den realiserande volailieen än den närliggande EGARCH-modellen, där effeken av eckne på prisförändringen anas vara konsan över id. 3
8. Referensföreckning Black. Fischer, Scholes. Myron, 973, The pricing of Opions and Corporae Liabiliies, Journal of Poliical Economy 8: 637-654. Bluhm, Hagen H.W. and Jun Yu. 000. "Forecasing Volailiy: Evidence from he German Sock Marke," work. paper, U. Auckland. Bollerslev. Tim, 986, Generalized Auoregressive Condiional Heeroskedasiciy, Journal of Economerics 3: 307-37. Chicago Board Opions Exchange, 003, Whie Paper VIX. Cox, J. och Rubinsein, M. (985), Opions markes, Prenice-Hall, New Jersey. Day. Theodor E, Lewis. Craig M, 993, Forecasing Fuures Marke Volailiy, The Journal of Derivaives, : 33-50. Doidge, Craig and Jason Z.Wei. 998. Volaiiliy Forecasing and he Efficiency of he Torono 35 Index Opions Marke," Canadian J. Admin. Science 5:, pp. 8-38, Engle. Rober, Auoregressive Condiional Heeroscedasiciy wih Esimaes of he Variance of U.K Inflaion, Economerica, 50: 987-008. Figlewski. Sephen, 997, Forecasing Volailiy, Financial Markes, Insiuions and Insrumens 6: -88. Finansinspekionen 007, Beslu Carneige Invesmen Bank AB, Dnr 07-65, Sockholm. Hansson. Sigurd, 00, Akier Opioner Obligaioner en inrodukion, Sudenlieraur, Lund. Hull. John C, 998, Inroducion o Fuures and Opions Markes 3 rd ed. Prenice Hall, New Jersey. Hull. John C, 003, Opions, Fuures, and oher Derivaives 5 h ed, Prenice Hall, New Jersey. Knigh. John, Sachell. Sephen, 007, Forecasing Volailiy in he financial marke 3 rd ed Elsevier, Oxford. Kunliga Veenskapsakademin, 003, Time-Series Economerics: Coinegraion and Auoregressive Condiional Heeroskedasiciy, Informaion Deparemen, Sockholm. Macbeh. James, Merville. Larry, 980, Tess if he Black-Scholes and Cox Call Opion Valuaion Models, Journal of Finance 35: 85-300. Nelson. Daniel, 99, Condiional Heeroscedasiciy in Asse Reurns: A new Approach Economerica 59: 347-370. 3