också en lösning: Alla lösningar, i detta fall, ges av

H009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic TRIGONOMETRISKA EKVATIONER A) Ekvationen sin( x ) = a (och liknande ekvationer) Ekvationen sin( x ) = a har lösningar endast om a (eftersom sin( x ) ) Exempelvis, ekvationen sin( x) = saknar lösningar Uppgift Lös följande ekvationer a) sin( x ) = b) sin( x ) = 5 a) Ingen lösning eftersom sin( x ) b) Ingen lösning eftersom sin( x ) Uppgift Lös följande ekvationer a) sin( x ) = b) sin( x ) = c) sin( x ) = 0 Tips Rita den trigonometriska cirkeln a) x = k + b) x = + k c) x = k (där k = 0, ±, ±, ) ----------------------------------------------- Om v är en lösning till ekvationen sin( x ) = a, där < a <, så är v = v också en lösning: Alla lösningar, i detta fall, ges av x = v + k eller x = v + k, där k är ett heltal (dvs k = 0, ±, ±, ) ----------------------------------------------- Vi använder oftast värdena av sinusfunktionen för vinklar, och : Sida av

H009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic vinkeln v sin(v) 0 0 Notera att ) sin( x) = sin( x) (dvs sin(x ) är en udda funktion) ) sin( x + k ) = sin( x), där k = 0, ±, ±,, (dvs sinusfunktionen är en periodisk funktion med grundperioden ) ----------------------------------------------------------------------------------- ANMÄRKNING: I nedanstående lösningar betecknar k ett heltal ( dvs k = 0, ±, ±, ) Uppgift Lös följande ekvationer a) sin( x ) = b) sin( x ) = c) sin( x ) =, d) sin( x ) = e) sin( x ) = f) sin( x ) = a) Ekvationen har fäljande lösningar: x = k + eller 5 x = ( ) + k = + k Vi kan också ange svaret i grader: x = 0 + k 0 eller x = 50 + k 0 b) x = k + eller 7 x = ( ( )) + k = + k c) x = k + eller x = + k Sida av

H009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic d) x = k + eller 5 x = + k e) x = k + eller x = + k f) x = k + eller x = + k Uppgift Lös ekvationen sin( x + ) = Tips Beteckna x + = v och lös först ekvationen sin v = Lösning: Låt v = x + Först löser vi ekvationen sin v = Vi får v = k + och 5 v = + k, och därmed x + = k + 5 eller x + = + k Härav i) x + = + k x = + k x = k + (dela med ) x = + k På liknande sätt 5 5 x + = + k x = + k x = + k (dela med ) x = + k x = + k eller x = + k Sida av

H009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic Uppgift 5 Lös ekvationen sin(x ) = sin( x + ) Tips: Från ekvationen sin( α ) = sin( β ) följer att α = β + k eller α = ( β ) + k Lösning: Från sin(x ) = sin( x + ) får vi två nya ekvationer (utan sinusfunktionen) : i) x = x + k och ii) x = ( x) + k Från i) följer Från ii) har vi x = k x = + k och därmed + k x = x = k eller + k x = Uppgift Lös ekvationen sin ( x ) sin( x) + = 0 Tips: Beteckna sin( x ) = z Lösning: Låt z = sin(x) Först löser vi andragradsekvationen z z + = 0 Vi får två lösningar z = och z = Alltså har vi två elementära ekvationer sin( x) = och sin( x ) = i) Från sin( x ) = får vi x = k + och 5 x = + k Sida av

H009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic ii) Från sin( x) = har vi x = k + x = k +, 5 x = + k eller x = k + =============================================== B) Ekvationen cos( x ) = a (och liknande ekvationer) Ekvationen cos( x ) = a har lösningar endast om a (eftersom cos( x ) ) Exempelvis, ekvationen cos( x) = 5 saknar lösningar Uppgift 7 Lös följande ekvationer a) cos( x ) = b) cos( x ) = 5 a) Ingen lösning eftersom cos( x ) b) Ingen lösning eftersom cos( x ) Uppgift 8 Lös följande ekvationer a) cos( x ) = b) cos( x ) = c) cos( x ) = 0 Tips Rita den trigonometriska cirkeln a) x = 0 + k = k b) x = + k c) x = + k (där k = 0, ±, ±, ) ----------------------------------------------- Om v är en lösning till ekvationen cos( x ) = a, där < a <, så är v = v också en lösning: Alla lösningar, i detta fall, ges av x = v + k och x = v + k, där k är ett heltal (dvs k = 0, ±, ±, ) ----------------------------------------------- Sida 5 av

H009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic För att lösa exakt några ekvationer som innehåller sinusfunktionen kan vi använda värdena i nedanstående tabell vinkeln v 0 cos(v) 0 5 Notera att ) cos( x ) = cos( x) (dvs cos(x ) är en jämn funktion) ) cos( x + k ) = cos( x), där k = 0, ±, ±,, (dvs cosinusfunktionen är en periodisk funktion med grundperioden ) ----------------------------------------------------------------------------------- ANMÄRKNING: I nedanstående lösningar betecknar k ett heltal ( dvs k = 0, ±, ±, ) Uppgift 9 Lös följande ekvationer a) cos( x ) = b) cos( x ) = c) cos( x ) =, d) cos( x ) = e) cos( x ) = f) cos( x ) = a) x = ± k + Vi kan också ange svaret i grader: x = ± k 0 + 0 b) x = ± + k (kolla ovanstående tabell) Sida av

H009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic c) x = ± k + d) x = ± + k e) x = ± k + 5 f) x = ± + k Uppgift 0 Lös ekvationen Tips Beteckna 0x = v Lösning: cos( 0x ) = och lös först ekvationen sin v = Låt v = 0x Först löser vi ekvationen cos v = Vi får följande lösningar v = k + eller v = k +, och därmed 0 x = k + eller 0 x = k + Härav 7 7 k i) 0x = + k 0x = + k x = + 0 5 På liknande sätt k 0x = + k 0x = + k x = + 0 5 7 k x = + eller 0 5 k x = + 0 5 Sida 7 av

H009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic Uppgift Lös följande ekvationer a) cos ( x ) cos( x) = 0 (Tips: Beteckna cos( x ) = z ) b) 5 sin ( x ) + cos( x) = (Tips: Använd formeln sin ( x) = cos ( x) ) Lösning a) Låt z = cos(x) Vi har z z = 0 z(z ) = 0 Härav får vi två lösningar z = 0 och z = Därmed cos x = 0 x = + k och cos x = x = ± k + a) x = + k och x = ± k + b) x = ± k + Uppgift Lös följande ekvationer a) cos( 0x ) = cos(x) b) sin( 0x ) = cos( x) (Tips: Använd formeln sin( t) = cos( t) ) Lösning: a) Från cos( 0x ) = cos(x) har vi 0 x = ± x + k k i) 0x = x + k 8x = + k x = + Sida 8 av

H009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic k ii) 0x = x + k x = + k x = + Svar a) k x = + eller k x = + b) Vi använder formeln sin( t) = cos( t) och skriver om ekvationen sin( 0x ) = cos( x) cos( (0x )) = cos( x) cos( 0x) = cos( x) Härav 0x = ± x + k i) k 0x = x + k x = k x = ii) k 0x = x + k 9x = k x = 9 Anmärkning: Vi kan även skriva x = + k i ovanstående lösningar eftersom k genomlöper alla heltal, både positiva och negativa Svar b) k x = eller x = k 9 =============================================== C) Ekvationer tan( x ) = a och cot( x ) = b Följande egenskaper använder vi ofta när vi löser sådana ekvationer: ) tan x och cot x har grundperioden (till skillnad från sinus- och cosinusfunktioner vars grundperiod är Alltså tan( x + k ) = tan x, cot( x + k ) = cot x ) tan x och cot x är udda funktioner dvs Sida 9 av

H009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic tan( x) = tan x cot( x) = cot x ) Både tan x och cot x har värdemängden (, ) tan x = a lösbart för varje a och därmed är ekvationen Samma gäller för cot( x ) = b, dvs den är lösbart för varje b Båda har oändligt många lösningar: Om x = v är en lösning till tan x = a så får vi alla lösningar genom x = v + k Om x = v är en lösning till cot x = b så får vi alla lösningar genom x = v + k ) sin x tan x = är definierad om cos x 0 dvs om x + k cos x cos x cot( x) = är definierad om sin x 0 dvs om x k sin x --------------------------------------------------------------------------------- I nedanstående tabeller har vi funktionernas värden för viktiga vinklar vinkeln v tan(v) ej def 0 0 ej def vinkeln v 0 cot(v) ej def 0 5 ej def ANMÄRKNING: I nedanstående lösningar betecknar k ett heltal ( dvs k = 0, ±, ±, ) Sida 0 av

H009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic Uppgift Lös följande ekvationer a) tan( x ) = 0 b) tan( x ) = c) tan( x ) =, d) tan( x ) = e) cot( x ) = 0 f) cot( x ) = g) cot( x ) = h) cot( x ) = a) x = k b) x = + k c) x = + k d) x = + k e) x = + k f) x = + k g) x = + k 5 h) x = + k (alternativt svar (alternativt svar x = + k ) x = + k ) Uppgift Lös ekvationen tan ( x ) tan( x) = 0 Tips: Beteckna z = tan( x ) = z Från z z = 0 eller z( z ) = 0 får vi två lösningar z 0 och = Alltså, tan( x ) = 0 eller tan( x ) = Ekvationen har följande lösningar: x = k eller x = + k Sida av