2004:17 Den svenska konsumenprisindexserien (KPI), 1955 2004 En empirisk sudie av säsongsmönsre En illämpning av TRAMO/SEATS Avdelningen för Ekonomisk saisik
I serien Bakgrundsfaka preseneras bakgrundsmaerial ill den saisik som avdelningen för ekonomisk saisik vid SCB producerar. De kan röra sig om produkbeskrivningar, meodredovisningar sam olika sammansällningar av saisik som kan ge en överblick och underläa användande av saisiken. Ugivna publikaioner från 2001 i serien Bakgrundsfaka ill Ekonomisk saisik 2001:1 Offenlig och priva verksamhe saisik om anordnare av välfärdsjänser 1995, 1997 och 1999 2002:1 Forskar kvinnor mer än män? Resula från en arbesidsundersökning rikad ill forskande och undervisande personal vid universie och högskolor år 2000 2002:2 Forskning och uveckling (FoU) i föreag med färre än 50 ansällda år 2000 2002:3 Föreagsenheen i den ekonomiska saisiken 2002:4 Saisik om privaiseringen av välfärdsjänser 1995 2001. En sammansällning från SCB:s saisikkällor 2003:1 Effeker av minskad dealjeringsgrad i varunomenklauren i Inrasa från KN8 ill KN6 2003:2 Consequences of reduced grade in deail in he nomenclaure in Inrasa from CN8 o CN6 2003:3 SAMU. The sysem for co-ordinaion of frame populaions and samples from he Business Regiser a Saisics Sweden 2003:4 Projek med anknyning ill projeke Saisik om den nya ekonomin. En karläggning av uvecklingsprojek och uppdrag 2003:5 Developmen of Alernaive Mehods o Produce Early Esimaes of he Swedish Foreign Trade Saisics 2003:6 Övergång från SNI 92 ill SNI 2002: Underlag för a bedöma effeker av idsseriebro 2003:7 Sveriges indusriprodukionsindex 1913 2002 Tidsserieanalys The Swedish Indusrial Producion Index 1913 2002 Time Series Analysis 2003:8 Cross-counry comparison of prices for durable consumer goods: Pilo sudy washing machines 2003:9 Monhly leading indicaors using he leading informaion in he monhly Business Tendency Survey 2003:10 Priva drif av offenlig finansierade välfärdsjänser. En sammansällning av saisik 2003:11 Säsongrensning av Naionalräkenskaperna Översik 2003:12 En illämpning av TRAMO/SEATS: Den svenska urikeshandeln 1914 2003 2003:13 A noe on improving impuaions using ime series forecass 2003:14 Definiions of goods and services in exernal rade saisics Forsäning på omslages redje sida! Ovannämnda rapporer, liksom övriga SCB-publikaioner, kan besällas från: Saisiska cenralbyrån, SCB, Publikaionsjänsen, 701 89 ÖREBRO, elefon 019-17 68 00 eller fax 019-17 64 44. Du kan också köpa SCB:s publikaioner i Saisikbuiken: Karlavägen 100, Sockholm
2004:17 Den svenska konsumenprisindexserien (KPI), 1955 2004 En empirisk sudie av säsongsmönsre En illämpning av TRAMO/SEATS The Swedish Consumerpriceindex (CPI), 1955-2004 An empirical sudy of seasonaliy An applicaion of TRAMO/SEATS Saisiska cenralbyrån 2004 1
Producen Förfrågningar Saisiska cenralbyrån Avdelningen för ekonomisk saisik Lars-Erik Öller, Saisiska cenralbyrån och Sockholms universie, Saisiska insiuionen, e-pos: lars-erik.oller@scb.se Påbyggnadskurs i saisik Kandidauppsas, 10 poäng Förfaare: Handledare: Linnea Källqvis linnea@kallqvis.com Peer Nilsson peerboure@yahoo.com Lars-Erik Öller 2004 Saisiska cenralbyrån ISSN 1650-9447 Prined in Sweden SCB-ryck, Örebro 2004 2
Innehållsföreckning 1 Inledning...7 1.1 Bakgrund... 7 1.2 Syfe... 8 1.3 Avgränsning... 8 1.4 Disposiion... 8 2 Meod... 9 2.1 TRAMO/SEATS... 9 2.2 Säsongsrensning... 10 2.3 Transformaioner... 11 2.4 Tillvägagångssä... 11 3 Daa... 12 4 Resula... 13 4.1 Inegraionsordning... 13 4.2 Modellbesämning och diagnosik... 13 4.2.1 Modell 1... 13 4.2.2 Modell 2... 14 4.2.3 Modell 3... 16 4.2.4 Modell 4... 17 4.3 Slulig dekomponering... 19 5 Sammanfaning och avsluande kommenarer... 23 5.2 Framida forskning... 24 6 Lieraurföreckning... 25 Appendix A... 27 Appendix B... 30 Appendix C... 35 Appendix D... 41 Appendix E... 44 Diagramföreckning Diagram 3.1 Originalserie av konsumenprisindex, månadsdaa, jan 1955 feb 2004... 12 Diagram 4.1 Modell 1, Residualer... 14 Diagram 4.2 Modell 2, Toal ouliereffek... 15 Diagram 4.3 Modell 2, Residualer... 16 Diagram 4.4 Modell 3, Residualer... 17 Diagram 4.5 Modell 5, Residualer... 18 Diagram 4.6 Box Cox-ransformerad originalserie... 19 Diagram 4.7 Trendcykeln... 19 Diagram 4.8 Säsongskomponen... 20 Diagram 4.9 Irreguljär komponen... 20 Diagram 4.10 Säsongskomponen per månad... 21 Diagram C.1 1:a differensen av originalserien... 35 Diagram C.2 2:a differensen av originalserien... 35 Diagram C.3 1:a differensen och säsongsdifferensen av originalserien... 36 Diagram C.4 2:a differensen och säsongsdifferensen av originalserien... 36 Diagram C.5 1:a differensen av originalserien, logarimerad... 37 3
Diagram C.6 2:a differensen av originalserien, logarimerad...37 Diagram C.7 1:a differensen och säsongsdifferensen, logarimerad...38 Diagram C.8 2:a differensen och säsongsdifferensen, logarimerad...38 Diagram C.9 1:a differensen av originalserien, Box Cox-ransformerad, λ=0,28...39 Diagram C.10 2:a differensen av originalserien, Box Cox-ransformerad, λ=0,28...39 Diagram C.11 1:a differensen och säsongsdifferensen, Box Cox-ransformerad, λ=0,28...40 Diagram C.12 2: a differensen och säsongsdifferensen, Box Cox-ranformerad, λ=0,2...40 Diagram D.1 Anderson Darlings normalieses, Modell 1...41 Diagram D.2 Anderson Darlings normalieses, Modell 2...41 Diagram D.3 Anderson Darlings normalieses, Modell 3...42 Diagram D.4 Anderson Darlings normalieses, Modell 4...42 Diagram D.5 Anderson Darlings normalieses, Modell 5...43 Tabellföreckning Tabell 4.1 Tes av originalseriens inegraionsordning...13 Tabell 4.2 Diagnosik för modellerna 1 ill 5, esimerade i TRAMO...22 Tabell E.1 Modellspecifikaioner och diagnosik, originalserie, modell 1 12...44 Tabell E.2 Modellspecifikaioner och diagnosik, originalserie, modell 13 30...45 Tabell E.3 Modellspecifikaioner och diagnosik, logarimerad serie, modell 1 18...46 Tabell E.4 Modellspecifikaioner och diagnosik, logarimerad serie, modell 19 36...47 Tabell E.5 Modellspecifikaioner och diagnosik, logarimerad serie, modell 37 42...48 Tabell E.6 Modellspecifikaioner och diagnosik, Box Cox-ransf. serie, modell 1 12...48 Tabell E.7 Modellspecifikaioner och diagnosik, Box Cox-ransf. serie, modell 13 18...49 4
Konsumenprisindex (KPI) avser a visa uvecklingen för de genomsniliga konsumenpriserna med avseende på den privaa inhemska konsumionen. KPI-serien är de mes använda måe för prisuveckling och används bland anna som inflaionsmå. I denna uppsas undersöker vi huruvida de finns någo signifikan säsongsmönser i den svenska månadssaisiken av konsumenprisindex sam av vilken ordning serien är inegrerad. Vi illämpar programmen TRAMO och SEATS för a anpassa en univaria ARIMA-modell ill e daaunderlag, besående av 590 observaioner, under idsperioden 1955 2004. Vi kommer fram ill a KPI-serien låer sig modelleras inom ramen för en ARIMA-modell om serien förs ransformeras med hjälp av Box-Cox. Modellspecifikaionen är dock ine hel adekva, vilke leder oss ill den alernaiva slusasen a KPI-serien kanske borde modelleras med ugångspunk i ARCH- och GARCH-familjen. Resulaen från de esimeringar vi uför indikerar a de exiserar e signifikan säsongsmönser i KPI-serien och a serien karakeriseras av en I(2). Nyckelord: TRAMO/SEATS, KPI, ARIMA och Box Cox-ransformaion. 5
6
1 Inledning 1.1 Bakgrund Konsumenprisindex (KPI) avser a mäa den genomsniliga uvecklingen av priserna för hela den privaa inhemska konsumionen. De är e kompensaionsindex, som anger hur sor inkomsökning en konsumen behöver för a kunna behålla sin konsumionssandard när priserna höjs. E KPI på exempelvis 110 anger således a inkomsen måse öka med 10 procenenheer för a kompensera för prishöjningen sedan den idpunk då KPI låg på 100. Ansvarig för a beräkna och publicera konsumenprisindex är Saisiska cenralbyrån (Naionalencyklopedin, 2000). Man mäer de priser som konsumenerna fakisk bealar och inkluderar således moms, andra indireka skaer och subvenioner. SCB samlar varje månad in prisnoeringar (i regel den 15:e i varje månad) för e urval av varor och jänser. Den relaiva beydelsen av olika represenanvaror anges genom vägningsal, som visar hur sor andel de olika varorna och jänserna represenerar i den oala privaa konsumionen. Urvale av represenanvaror och deras vägningsal revideras vid varje årsskife. Som underlag används uppgifer från naionalräkenskaperna om den privaa konsumionens sammansäning under närmas föregående år. KPI är e kedjeindex med årslänkar, konsruera för a illgodose krav på både kor och lång sik. Därav följer a SCB publicerar e koridsindex för respekive månad sam e långidsindex i december (www.scb.se). KPI-serien är de mes använda måe för prisuveckling och används bland anna som inflaionsmå. De är därför av cenral beydelse a öka försåelsen och kunskapen om KPI-seriens srukur och karakär. Ugångspunken i föreliggande sudie är a undersöka hur den svenska konsumenprisserien har förändras under idsperioden 1955 2004 och därmed närmare sudera om serien, i likhe med ill exempel naionalräkenskaperna och indusriprodukionsindex, uppvisar rend, cykler och säsongskomponener och i så fall hur de ser u. Vi är särskil inresserade av a undersöka om de finns någon signifikan säsongsvariaion i serien efersom de, oss veerligen, ine gjors någon sådan undersökning idigare. Men även med anke på a de i dagsläge ine förekommer någon säsongsrensning av konsumenpriserna. För a undersöka dea appliceras TRAMO/SEATS på den svenska månadssaisiken av konsumenprisindex. Saisikprogramvaran TRAMO/SEATS uvecklades av Agusin Maravall och Vicor Gomez vid Spaniens cenralbank. TRAMO/SEATS besår av de vå inegrerade meoderna TRAMO och SEATS, som bygger på modellbaserad säsongsrensning. De vå programmen är officiell rekommenderade av Eurosa och den Europeiska cenralbanken (ECB) (Öhlén, 2003). Meoden för säsongsrensning grundar sig på univaria ARIMA-modellering (Box och Jenkins, 1976) och används på SCB för a säsongsjusera vissa idsserier, som exempelvis naionalräkenskaperna och indusriprodukionsindex. Den här uppsasen undersöker även KPI-seriens inegraionsordning. Två enhesroseser och e saionarieses kommer därför a uföras. Framförall är vi inresserade av a esa för om prisserien uppvisar en dubbel enhesro, de vill säga karakeriseras av en I(2), för den sokasiska renden. Om så är falle skulle de innebära a inflaionen karakeriseras av en I(1). Om prisserien skulle uppvisa en dubbel enhesro implicerar de a chocker som påverkar inflaionen är av permanen karakär, de vill säga a inflaionen uppvisar så kallad persisens 1. Efersom under- 1 Persisens i priserna implicerar a priserna är rögrörliga, vilke innebär a anpassningen mo jämvik går långsam. 7
sökningsperioden sräcker sig över femio år har naurligvis inflaionen variera krafig, men en dubbel enhesro i KPI-serien relaeras ine ill magniuden, uan ill långvarigheen hos chocker, vilke gör de eoreisk möjlig a finna en dubbel enhesro i prisserien under en period med låg inflaion likväl som i en period med hög inflaion. För e uförligare resonemang om egenskaperna hos en I(2) se Juselius (2004). 1.2 Syfe Uppsasens syfe är framförall a försöka besvara följande frågor: Av vilken ordning är KPI-serien inegrerad? Finns de e signifikan säsongsmönser i KPI-serien? Är de rimlig a under den givna idsperioden approximera KPI-serien med en ARIMA-modell? 1.3 Avgränsning Den här uppsasen använder sig av saisikprogrammen TRAMO och SEATS för a esimera månadssaisiken av KPI. Vi kommer däremo ine a undersöka om vi får andra resula med alernaiva programvaror. Vi är medvena om a de ideala förfaringssäe är a esimera modeller uifrån olika programvaror för a sedan jämföra resulaen. Vale av idsperiod kan även de ses som en avgränsning, efersom observaioner av konsumenprisindex finns från 1914. E alernaiv hade därför vari a ugå från kvaralsdaa, vilke finns a illgå från 1917. Efersom vi i den här uppsasen undersöker huruvida de finns någon säsongsvariaion i KPI-serien är vale av idsperioden 1955 2004 a föredra, då månadssaisik finns för hela den perioden. Dea kan därmed ge oss en precisare beräkning av säsongsmönsre. Den här uppsasen ugår även från anagande a de saknas kalendereffek i KPIserien. Vi är medvena om a dea kan ifrågasäas efersom åres månader är av olika längd, vilke ill exempel innebär a helger faller u ofare under vissa månader än andra. Vi har dock ine hia någo söd för a kalendereffeker har en effek på konsumenpriserna, varken i den lieraur vi gå igenom eller hos SCB. 1.4 Disposiion Avsni 1 inleder. Avsni 2 ar bland anna upp meodiken bakom de båda programmen TRAMO och SEATS sam de illvägagångssä vi använder oss av för a finna den lämpligase ARIMA-modellen. Avsni 3 redovisar vår daamaerial och i avsni 4 preseneras resulaen. Avsni 5 sammanfaar våra resula sam ger avsluande kommenarer. 8
2 Meod I dea kapiel preseneras de meoder som används. De försa och andra avsnie behandlar saisikprogramme TRAMO/SEATS respekive säsongsrensning. Sedan beskrivs den Box Cox-ransformaion, som, bland anna, har nyjas för a sabilisera KPI-serien i sudien. Avsluningsvis redogörs för vår illvägagångssä. 2.1 TRAMO/SEATS TRAMO, Time series Regression wih ARIMA noise, Missing observaions and Ouliers, är e Forran-program, som vid SCB används på PC under MS-DOS och Windows. De är e program för skaning och prognosisering av regressionsmodeller, vars slumperm specificeras med en ARIMA-modell. Programme idenifierar och korrigerar för de olika yperna av exremvärden och kan även skaa speciella effeker såsom kalendereffeker (Öhlén, 2003). SEATS, Signal Exracion in ARIMA Time Series, är e program för esimering av icke observerbara komponener i idsserier. Programme använder en ARIMA-baserad meod. De olika komponenerna skaas och prognosiseras med signalexraheringseknik applicerad på ARIMA-modeller (Öhlén, 2003). En uförlig beskrivning av meodologin bakom de båda programmen går a läsa i Gomez och Maravall (1994, 1996, 1998), Maravall (1995) och Maravall och Sánchez (2000). Förfaringssäe kan, korfaa, summeras enlig följande: Give idsserien y = ( y 1,..., y ) av observerade värden skaar TRAMO regressionsmodellen: y = x β + v, (2.1.1) där x är en maris av regressionsvariabler: x = ( x 1,..., x m ) och β represenerar en vekor av regressionskoefficiener: β = ( β 1,..., β m ) och v följer den sokasiska, generella ARIMA-processen: s d D s ϕ ( B) Φ ( B ) s y = θ ( B) Θ ( B ) e. 2 (2.1.2) SEATS dekomponerar sedan v, enlig: v = TC + S + I + T, (2.1.3) där TC sår för rendcykeln, S för säsongen, I för den irreguljära komponenen och T för kalendereffeker sam ouliereffeker. Dessa komponener följer i sin varsin ARIMA modell, vilke gör de möjlig a få enskilda prognoser för de olika komponenerna i SEATS. Säsongsjusering är de speciella falle då: v = N + S, (2.1.4) där N represenerar den säsongsjuserade serien de vill säga: N = TC + I + T. (2.1.5) 2 Se appendix A för en eoreisk genomgång av ARIMA-modellering. 9
2.2 Säsongsrensning Sedan 1999 använder SCB TRAMO/SEATS vid säsongsresning av den officiella saisiken. Dessförinnan användes programme X-11-ARIMA. Bye av säsongsrensningsprogram ägde rum efer e uvecklingsarbee, som genomfördes på SCB under slue av 1990-ale, delvis i samarbee med Eurosa. De visade sig a meoden för säsongrensning med programmen TRAMO och SEATS gav högs kvalie (Öhlén, 2003). De vå programmen är srukurerade så a de kan användas illsammans. När de används för a säsongsjusera en idsserie så förjuseras serien i TRAMO för a sedan dekomponeras i SEATS. En säsongsrensad serie kan sedan användas ill a göra jämförelser mellan alla idpunker i en serie. De finns dock allid kvar e viss brus, vars beydelse varierar mellan olika serier, men även för olika meoder av säsongrensning. Dea innebär a idsmässiga förändringar, beräknade på den säsongsrensade serien, ofa kan vara svåra a olka. I dessa fall kan de vara lämplig a även redovisa den långsikiga uvecklingen med beräkningen av rendcykeln. Trendcykeln represenerar den långsikiga uvecklingen bäre på grund av a den eliminerar bruse i högre grad jämför med den säsongsrensade serien. SCB:s officiella saisik, som redovisar månadsförändringar/kvaralsförändringar uppräkna ill årsak, är därför ofas beräknade på basis av rendcykeln (www.scb.se). Den säsongsjuserade serien innehåller, föruom rendcykeln och bruse, även evenuella exremvärden (ouliers). Exremvärden är observaioner, som avviker från de övriga värdena i serien även om vi ar hänsyn ill säsongs- och kalendereffeker (för a kunna definiera en avvikelse måse naurligvis en specifik gräns fassällas). Exremvärden definieras uifrån re skilda yper: (Planas, 1997) Addiiv exremvärde karakeriseras av a den påverkar serien endas vid en idpunk, varvid serien hoppar ill men genas åergår ill ungefär samma nivå som idigare. Nivåskife karakeriseras av a serien, från en viss nivå hoppar ill en annan nivå och sedan sannar på den nya nivån. Temporär förändring karakeriseras av a serien hoppar ill en ny nivå, men åergår ill den ursprungliga nivån efer några perioder. Orsakerna ill a exremvärden exiserar i serien kan variera. I vissa fall kan förändringar i den ekonomiska poliiken ge upphov ill exremvärden. I andra fall kan exerna händelser påverka serien, ill exempel a världsmarknadsprise på olja av någon anledning drasisk förändras. Även förändringar av represenanvaror i konsumenpriskorgen kan ge upphov ill nivåskifen och i vissa fall kan saisiska fel orsaka exremvärden i serien (www.scb.se). För a kunna beräkna de olika komponenerna i idsserien på e adekva sä, måse flera grundläggande saisiska krav as i beakande. Förs är de vikig a komponenerna är oberoende av varandra. Säsongsrensningen försämras ill exempel avsevär om säsongsfakorn samvarierar med den cykliska komponenen, vilke kan vara svår a avgöra. Vidare är de cenral a den irreguljära fakorn, bruse, anas följa en oberoende normalfördelning (Kaiser och Maravall, 2001). I prakiken är de självfalle så a saisiska idsseriemodeller endas är en förenkling av verkligheen. Dea innebär a förusäningen för a den valda modellen är en accepabel approximaion med nödvändighe måse prövas med lämpliga saisiska eser. I den här uppsasen kommer en rad olika saisiska eser a genomföras, vilka syfar ill a undersöka en given modells lämplighe. Dessa eser redovisas i appendix B. 10
2.3 Transformaioner Vid esimering av univariaa ARIMA-modeller, men även vid esimering av många andra modeller, ugår man från a idsseriens varians är konsan över iden, de vill säga homoskedasisk. När de gäller ekonomiska idsserier är de dock ofa växande över iden, vilke även gäller för prisserier i allmänhe och konsumenprisindexserien i synnerhe. Generell se ökar variansen med nivån. De absolu vanligase förfaringssäe för a sabilisera serien är då a logarimera idsserien, vilke kan ha flera prakiska fördelar. Dels får man e direk esima på elasicieen i regressionsekvaioner med ekonomiska variabler och dels gäller, för små förändringar, a differensen av en logarimisk serie är approximaiv en procenuell förändring. Den vikigase egenskapen är dock a vi kan få idsserien homoskedasisk (Gujarai, 1999). En mer generell ranformaion som kan användas för a sabilisera en idsserie med varierande varians är den så kallade Box Cox-ransformaionen (Box och Cox, 1964). För idsserien y definieras Box Cox-ranformaionen T ( y ) som: λ ( λ ) y 1 T ( y ) = y =, (2.3.1) λ där λ represenerar ranformaionsparameern. 2.4 Tillvägagångssä De försa som kommer a undersökas i denna uppsas är KPI-seriens inegraionsordning. För a undersöka dea använder vi oss av vå olika enhesroseser, dels de uökade Dickey Fuller (ADF) och dels Phillips Perron. Vi kommer också a använda oss av e saionarieses, KPSS-ese. Dessa finns beskrivna i appendix B. Tesen uförs i saisikprogramme STATA. Efer dea går vi vidare med a illämpa programmen TRAMO och SEATS på KPIserien. Vi kommer a ugå från originalserien och den full auomaiska insällningen i TRAMO. Den försa modellen analyseras sedan uifrån den valda diagnosiken. Förfaringssäe kommer sedan a ugå från en ieraiv meod, de vill säga a vi genom en meod för upprepning esar oss fram. Inom ramen för ARIMAmodellering innebär dea a vi kommer a esa olika kombinaioner av ingående paramerar i modellen. Om ingen lösning verkar möjlig uifrån a endas ändra de ingångna paramerarna, går vi vidare med a esa alernaiva illvägagångssä manuell uifrån den evenuella feldiagnosen. För a esa huruvida fördelningen för de beräknade residualerna är symmerisk uförs vå olika normalieses, dels de i TRAMO/SEATS inbyggda Bowman Shenon-ese och dels Anderson Darling-ese. 11
3 Daa Konsumenprisindex började regisreras redan 1914. De re försa åren, 1914 1916, finns beräkningar för indexe årsvis och mellan 1917 1954 finns kvaralssaisik. Tidsserien som ligger ill grund för analysen i den här uppsasen ugörs av 590 observaioner och har som basår 1914. Månadssaisik för KPI började föras under sommaren 1954. Vi använder oss av observaioner från januari 1955 fram ill och med februari 2004. Diagram 3.1 Originalserie av konsumenprisindex, månadsdaa, jan 1955 feb 2004 För a serien ska kunna modelleras med ARIMA krävs a serien är saionär, vilke ofa kan åsadkommas genom en lämplig differeniering och/eller ransformering (se appendix A). För a få en överskådlig bild av seriens useende efer genomförda differenieringar och ransformeringar visas diagram över dea samlade i appendix C. 12
4 Resula Kapile redovisar sudiens resula med avseende på KPI-seriens inegraionsordning, modellbesämning och undersökning av säsongsmönser. Kapile innehåller även en dekomponering av vår slugiliga modell. 4.1 Inegraionsordning Olika specifikaioner av univariaa ARIMA-modeller kommer a appliceras på KPI-serien i dea avsni av uppsasen. För a få en uppfaning om hur dessa bör vara uppbyggda, inleder vi analysen med a esa av vilken ordning serien är inegrerad. För a undvika sörningen av den möjliga säsongsvariaionen ugår vi här från årsdaa, vilke självklar eliminerar flukuaioner inom åre. Tabell 4.1, nedan, redogör för resulaen av de olika eserna angående seriens inegraionsordning. Båda enhesrosesen indikerar a originalserien är av inegraionsordning 2. Vi får även samma resula med saionäriesese, KPSS. Vi kan därmed konsaera a KPI-serien, inressan nog, verkar uppvisa en dubbel enhesro för den långsikiga uvecklingen, de vill säga för den sokasiska rendmodellen. Rimligvis borde dea resula medföra a de samma ska gälla även för de modeller vi ska esimera i TRAMO. Tabell 4.1 Tes av originalseriens inegraionsordning Tes ADF konsan, rend Nivå Försa differensen Andra differensen Tredje differensen konsan, konsan, konsan, konsan, konsan, konsan, konsan, uan rend rend uan rend rend uan rend rend uan rend -2.28 0.15-2.05-2.04-5.39-5.42 [0.45] [0.97] [0.58] [0.27] [0.00] [0.00] (1) (1) (1) (1) (1) (1) PP -2.10 [0.55] KPSS 0.52 2.43 0.33 Kriisk 1% 0.12 0.74 0.12 värde 5% 0.15 0.46 0.15 10% 0.22 0.35 0.22 1.14 [0.99] 0,84 0.74 0.46 0.35-2.52 [0.32] 0.04 0.12 0.15 0.22-2.38 [0.15] 0,06 0.74 0.46 0.35-8.53 [0.00] ADF -es, PP -es H 0: ψ = θ 1 = 0 MacKinnons (1991) approximerade p-värde inom hakparanes. ADF-laggar i paranes, valda uefer BIC. -8.58 [0.00] 4.2 Modellbesämning och diagnosik Dea avsni presenerar våra esimeringar i TRAMO och SEATS. Framsällningen ugår från fem modeller, vilka är av särskil inresse. Övriga modeller finns redovisade i appendix E. 4.2.1 Modell 1 Vi går sedan vidare med sökande efer en adekva ARIMA-modell, genom a applicera programme TRAMO på KPI-serien. Den försa modellen som esimeras är med auomaisk insällning i TRAMO (undanage a TRAMO sälls in på oulierkorrekion). Med denna procedur erhålls ARIMA-modellen (3,1,1)(0,1,1), vilke skrivs 2 3 (1 0,98B+ 0,20B 0,13B ) x = (1 0,76B)(1 0,64B ) ( 10,09) (3,16) ( 2,60) 12 12 e ( 8,51) ( 17,74) värden, (4.2.1) 13
för seriens nivåer. All diagnosik för modellerna finns samlad i abell 4.2 på sid 17. Modellen innehåller 26 ouliers, vilke nog får berakas som e mycke hög anal. Ser vi ill diagnosiken för modellens residualer visar normaliesese, N, a residualerna ine är normalfördelade efersom N = 30,65 är sörre än de kriiska värde 6 (se även Anderson Darlings-normalieses i appendix B). Värdena för skevhe och kurosis visar ydlig a ickenormalieen kan associeras med den senare. Fördelningen karakeriseras därmed av lepokurosis, se appendix B, vilke visserligen ine får så sor effek på punkprognoser (Maravall och Sánchez, 2000). Auokorrelaionsese, Ljung Box-Q, är däremo bra och likaså värde på Box Pierce-Q. E diagram över residualerna, diagram 4.1 nedan, visar dock ydlig a modellen ine är lämplig för a beskriva KPI-serien, efersom den lider av heeroskedasicie. Dea bekräfas även av värde för kvadrerade Ljung Box-Q. Därmed är serien ine saionär. Run-ese visar a residualerna ine heller är okorrelerade, vilke, även de, kan yda på ickesaionarie. Diagram 4.1 Modell 1, Residualer Efer a ha esa e reioal modeller i TRAMO (se appendix E för modellspecifikaioner och diagnosik) kunde vi konsaera a probleme med heeroskedasicie roligen ine går a lösa med en modell som specificeras i nivåer. Dea leder oss ill a låa TRAMO esa för en logarimerad specifikaion isälle (diagram av olika differenieringar av den logarimerade serien visas i appendix C). 4.2.2 Modell 2 Efer a TRAMO logarimera serien anpassas nu även en annan modell. Isälle erhålls ARIMA-modellen (0,2,1)(0,1,1), vilke kan skrivas som: 12 = (1 0,92B)(1 0,84B e ( 56,27) ( 36,71) värden 2 x ) 12, (4.2.2) med de esimerade paramerarna inkluderade. Modell 2 implicerar a rendmodellen karakeriseras av en I(3) naur. Men om MA-polynomen fakoriseras ges a en av röerna är lika med ( 1 0,99B) och därmed ubybar mo. Därav följer a modellen, i prakiken, förenklas ill en I(2), vilke även bekräfas av SEATS. Sami- 14
dig är den andra roen, ( 1 0,92B), ine heller lång ifrån 1, vilke skulle kunna innebära a modellen är nära en I(1). Sandaravvikelsen på parameern från SEATS visar dock a så ine är falle, vilke innebär a modellen sämmer väl med vad vi esa för under avsni 4.1; a rendmodellen karakeriseras av en I(2). Anale ouliers minskar nu ill 16 sycken och den oala ouliereffeken på serien åskådliggörs i diagram 4.2, nedan. Diagram 4.2 Modell 2, Toal ouliereffek Diagramme ovan visar a ouliereffeken, framförall, karakeriseras av en rad emporära förändringar, vilke yder på a prisserien efer en viss id åergår ill sin ursprungliga nivå då någon exrem händelse iniial har påverka priserna. Diagnosiken för modell 2 är bra och paramerarna är signifikana. Värde på Ljung Box Q 2 indikerar a heeroskedasicieen också har försvunni. Likaså är auokorrelaionsese (Ljung Box-Q) forfarande godkän och Run-ese är ine längre signifikan. Grafisk ser residualerna nu bäre u jämför med modell 1, se diagram 4.3. Men de finns en viss endens ill a residualerna är mindre i den andra halvan av serien jämför med den försa halvan. 15
Diagram 4.3 Modell 2, Residualer Modellen har forfarande problem med icke-normalie i residualerna, även fas värde på normaliesese har sjunki någo. Skevhes- och kurosisvärdena indikerar a dea, forfarande framförall beror på en viss lepokurosis. SEATS dekomponerar modellen och en summering av diagnosiken finns samlad i abell 4.2 på sid 17. De olika komponenernas slumpmässiga varians yder på en relaiv sokasisk rendcykel, en sabil säsongsfakor och en lien irreguljär komponen. 3 Den hisoriska esimeringen av säsongsvariaionen visar a fem månader är signifikana. Ser vi ill esimeringen för de vå senase åren och för eårsprognosen är fyra månader signifikana. Efer a ha esa dryg fyrio modeller i TRAMO (se appendix E för modellspecifikaioner och diagnosik) kunde vi konsaera a probleme med ickenormalieen i residualerna roligen ine går a lösa genom a endas specificera andra paramerar. Dea leder oss ill a esa en annan modifikaion. 4.2.3 Modell 3 I diagram 4.3 kunde vi ana oss ill a den logarimerade ranformaionen av KPI-serien möjligen var för sor. Residualerna har, från a ha uppvisa e ökande mönser i diagram 4.1, nu snarare e svag avagande useende i diagram 4.3. E anal olika Box Cox-ranformaioner esades därför i syfe a finna en mer lämplig ranformaion av daa. De visade sig a Box Cox- ransformaionen med ranformaionsparameern, λ = 0.28, resulerade i den bäsa modellen då TRAMO, liksom idigare, körs med auomaisk insällning (diagram av olika differenieringar av den Box Coxranformerade serien visas i appendix C). TRAMO ändrar nu modell ill en ARIMA(1,2,1)(0,1,1), vilken med de esimerade parameervärdena kan skrivas som: 12 = (1 0,93B)(1 0,78B e ( 58,69) ( 27,90) värden 2 (1 + 0,07B) x ) (1,70) 12, (4.2.3) 3 Önskvär är a rendcykeln och säsongsmönsre uppvisar så lien felvarians som möjlig, efersom en sor felvarians innebär en osäker komponen. Den irreguljära fakorn däremo vill vi ska absorbera så mycke brus som möjlig, de vill säga ha e hög värde. 16
AR-parameern som inkluderas är, som synes, ine signifikan på 95-procenig signifikansnivå (-värde=1,70) och samidig är de en nackdel med fler paramerar enlig krave på parsimonie. Diagnosiken för modell 3 är dock bra, ill och med aningen bäre än för modell 2. Både de observerade värdena för Ljung Box-Q och Ljung Box-Q 2 indikerar a residualerna varken uppvisar auokorrelaion eller heeroskedasicie. Run-ese är godkän, vilke indikerar a residualerna också är oberoende, se diagram 4.4 för residualdiagram. Framför all sjunker nu värde på normaliesese och dessuom avsevär då N = 8,19, se även appendix B för Anderson Darling-ese. Diagram 4.4 Modell 3, Residualer Även modell 3 karakeriseras, enlig SEATS, av en I(2) för rendmodellen. SEATS dekomponerar modellen och den esimerade säsongen ugörs av 8 signifikana månader per år, dels för den hisoriska esimeringen och dels för de vå senase åren sam för prognosen. Samidig är osäkerheen nu aningen sörre, y säsongskomponenens varians ökar någo jämför med modell 2. Trendcykeln uppvisar dock e sabilare mönser. Den esimerade felvariansen ökar marginell både för rendcykeln och den säsongsjuserade serien. 4.2.4 Modell 4 Efersom residualerna i modell 3 forfarande visade på viss icke-normalie esas också en modifikaion, som innebär a de kriiska värde för oulierdeekion minskas någo. Dea leder ill a TRAMO esimerar en annan modell. Modell 4 är en ARIMA(3,1,1)(0,1,1) med en AR-parameer, som ine är signifikan. Anale ouliers som definieras blir nu hela 30 sycken, vilke nog måse anses som orimlig många. Modifikaionen faller u som väna med avseende på normaliesese. Värde på kurosis sjunker och är ine längre signifikan, vilke medför a normalieen nu också är på en godkänd nivå (se även appendix D för Anderson Darlingon-ese). Den övriga diagnosiken i TRAMO är också bra. Modellen innehåller dock beydlig fler paramerar, vilke ine är önskvär enlig parsimonieskrave, de vill säga a modellen bör ha så få paramerar som möjlig. Värdena på BIC och AIC ökar också. 17
Diagnosiken från SEATS visar även a modellen esimerar en mer osäker säsongskomponen och a variansen hos den irreguljära komponenen minskar. Samidig ökar den esimerade felvariansen i både rendcykeln och den säsongsjuserade serien. 4.2.5 Modell 5 Snarare än a minska på gränsen för oulierdeekion, borde kanske en modell specifieras uan a definiera några exremvärden. Orsaken ill dea är a exremvärden kan anas ingå i prisbildningsmekanismen och därför borde inkorporeras i den sokasiska processen. TRAMO specificerades därför med e kriisk värde för oulierdeekion så hög a inga ouliers kunde idenifieras. I TRAMO esimeras nu ARIMA-modellen (0,2,1)(0,1,1), vilken med parameervärdena kan skrivas som: 12 = (1 0,94B)(1 0,84B e ( 66,42) ( 37,06) värden 2 x ) 12. (4.2.4) Värde för normaliesese skjuer nu som väna i höjden, efersom alla exremvärden nu inkorporeras i modellen. Dea beror framförall, liksom idigare, på a kurosisvärde är hög. Både värdena för BIC och AIC minskar dock jämför med modell 3 och 4 och modellen uppvisar heller ingen auokorrelaion, varken på icke-säsong eller på säsong. Ine heller run-ese ger någo uslag, vilke innebär a residualerna också är okorrelerade. Däremo visar Ljung Box-Q 2 på a residualerna nu lider av heeroskedasicie, vilke också kan anas i diagram 4.5, nedan. Diagram 4.5 Modell 5, Residualer Vi genomförde därför även Engles ARCH-es med vå laggar. Tese indikerar a modell 5 lider av ARCH-sörningar då essaisikan, NR 2, ger e värde på 6.81. De kriiska värde enlig χ 2 -fördelningen är 5.99 vid en 95% signifikansnivå. Dea innebär a nollhypoesen om ingen ARCH-sörning kan förkasas. 18
4.3 Slulig dekomponering I vale mellan de esimerade modellerna sår de klar a modell 1 är direk olämplig för a dekomponeras. Jämförs modell 2 och 3 kunde vi se a diagnosiken för båda modellerna var bra med undanage för a modell 2 uppvisade beydlig sämre värde på normaliesese. Dea ger a Box Cox-ranformaion roligen är mer lämplig än logarimering. Visserligen är säsongskomponenen mer sabil i modell 2, men modell 3 esimerar å andra sidan en sabilare rendcykel. Värde för variansen hos den irreguljära komponenen är densamma för de vå modellerna. Modell 3 borde därmed vara a föredra, efersom både modell 4 och 5 uppvisade klara briser blir de nu denna modell som sluligen dekomponeras. Från diagnosiken i SEATS ges även a modellen har vå röer på rendcykeln, vilke överenssämmer med våra idigare uförda eser för inegraionsordning. Den esimerade modellen är därmed inegrerad av andra ordningen, de vill säga en I(2). Nedan visas diagram på de olika komponenerna: Diagram 4.6 Box Cox-ransformerad originalserie Diagram 4.7 Trendcykeln 19
Vi ser ydlig a rendcykeln är den mes dominerande komponenen efersom den följer originalserien väldig väl. Diagram 4.8 Säsongskomponen Diagramme visar hur säsongsmönsre förändras under idsperioden. De är ydlig a säsongskomponenen ökar i magniud under idsperioden. Samidig verkar också komponenen bli allmer komplex under den andra halvan av idsperioden. Ine bara förändras mönsre, uan flera månader inkluderas också. E anna sä a illusrera hur säsongsmönsre för de olika månaderna förändras under idsperioden är a visa e diagram besående av de olika månadernas förändringar var för sig, se diagram 7.10. Diagram 4.9 Irreguljär komponen Den irreguljära komponenen karakeriseras av e konsan medelvärde och ser även u a vara homoskedasisk. 20
Diagram 4.10 Säsongskomponen per månad Diagramme ovan visar a säsongsmönsre för de olika månaderna följer ydliga mönser och ine beer sig slumpmässig. För månaderna januari och februari ses dea mycke ydlig. Från a ha uppvisa en uppågående rend mellan 1950 och 1980-ale sker sedan e rendbro och de båda månaderna övergår ill negaiva värden i början på 1990-ale. Samidig ser vi a månaderna mars, april och maj uppvisar posiiva värden under hela idsperioden, vilke implicerar a prisserien har vari som högs, i genomsni, under denna period. Ser vi ill nuvarande säsongsmönser i prisserien är KPI som högs under april och maj sam på hösen, under sepember och okober. Under sommarmånaderna juli och augusi illsammans med januari och februari är de månader då priserna i konsumenpriskorgen verkar vara som lägs. 21
Tabell 4.2 Diagnosik för modellerna 1 ill 5, esimerade i TRAMO TRAMO 1955-2004 Ej ransf. Log Box-Cox Box-Cox Box-Cox ARIMA-modell: (3,1,1)(0,1,1) (0,2,1)(0,1,1) (1,2,1)(0,1,1) (3,1,1)(0,1,1) (0,2,1)(0,1,1) Modell: 1 2 3 4 5 1. AIC 3705-4594 -2372-2473 -2012 2. BIC 3,81-10,71-6,83-6,88-6,35 3. Sandard avvikelse (medelvärde) 0,25 0,000 0,00 0,00 0,00 4. Sandard avvikelse (residualerna) 5,81 0,00 0,03 0,03 0,04 5. Normalie < 6, (95%, 2 d.f) 30,65 25,60 8,19 4,62 682,00 6. Skevhe -0,01 0,18 0,10 0,21 0,91 7. Kurosis 4,16 3,98 3,56 3,18 8,01 8. Ljung-Box Q (24 auok) <34.1 (95%, 20 d.f) 27,03 19,80 22,94 19,63 19,54 9. Ljung-Box Q 2 <36,4 (95%, 24 d.f) 171,98 25,12 21,50 20,36 97,02 10. Pierce Q (2 auok)<9 (95%, d.f) 0,00 1,64 1,15 0,00 0,00 11. Run-es, -värde 2,90 1,44 0,42 1,3695-0,17 12. Parameervärden (-värden) -0,98 (-10,09) -0,92 (-56,27) 0,07 (1,70) -0,86 (-11,98) -0,94 (-66,42) 0,20 (3,16) -0,84 (-36,71) -0,93 (-58,69) 0,06 (1,14) -0,84 (-37,06) -0,13 (-2,60) -0,78 (-27,90) -0,13 (-2,83) -0,76 (-8,51) -0,80 (-12,97) -0,64 (-17,74) -0,74 (-22,09) 13. Anal ouliers 26 16 17 30 0 SEATS 1955-2004 Nivåer Log Box Cox Box Cox Box Cox ARIMA-modell: (3,1,1)(0,1,1) (0,2,1)(0,1,1) (1,2,1)(0,1,1) (3,1,1)(0,1,1) (0,2,1)(0,1,1) Modell: 1 2 3 4 5 1. Varians i komponenerna ( i enheer of Va) Trend-cykel 0,080 0,261 0.178 0.063 0,258 Säsong 0,167 0,004 0.011 0.018 0,004 Irreguljär 0,030 0,090 0.090 0.050 0,091 2. Esimerad felvarians (i enheer av Va) Trend-cykel 0,453 0,272 0.296 0.348 0,273 Säsongsjuserad 0,396 0,139 0.170 0.192 0,138 3. Signifikan säsong-månader per år (95%) Hela serien 10 5 8 10 6 Senase vå åren 9 4 8 8 3 Prognos för näsa år 9 4 8 8 3 22
5 Sammanfaning och avsluande kommenarer Vi har i föreliggande uppsas visa e ydlig säsongsmönser i konsumenpriserna. Vi har även visa a den svenska konsumenprisserien, mellan 1955 och 2004, är inegrerad av andra ordningen, de vill säga a rendmodellen uppvisar en dubbel enhesro. Dea konsaerade vi efer a vå olika enhesroses sam e es för saionarieses genomförs. Dessa resula överenssämde sedan med de modeller vi esimerade genom a illämpa programme TRAMO. Innebörden av a KPI-serien uppvisar en dubbel enhesro är a inflaionen under idsperioden ine är saionär, uan inegrerad av försa ordningen. Dea implicerar a en chock på prisserien påverkar inflaionen på e permanen sä Juselius (2004). E fleral olika ARIMA-modeller har esimeras i denna uppsas. Den försa modellen erhölls genom a använda den auomaiska insällningen i TRAMO och var en ARIMA(3,1,1)(0,1,1) för seriens nivåer. Modell 1 uppvisade dock beydliga problem. Framförall karakeriserades modellens residualer av heeroskedasicie och lepokurosis. Vi försöke lösa dessa problem genom a specificera om modellen med andra paramerar. Problemen försvann dock ine genom denna meod. Isälle gick vi över ill en logarimerad specifikaion av KPI-serien och använde åerigen den auomaiska insällningen i TRAMO. Resulae blev modell 2, en ARIMA(0,2,1)(0,1,1) och probleme med heeroskedasicie var lös. Residualerna uppvisade dock forfarande ickenormalie, ros en viss förbäring. Vi försöke därför, på samma sä som idigare, a lösa probleme genom a specificera om modellen med andra paramerar. Åerigen misslyckades vi med denna meod. Genom a sudera residualdiagramme från modell 2 kunde vi dock ana a den logarimerade ransformaionen vari allför kraffull. Vi undersöke därför om en annan ranformaion kunde passa bäre. Vi esade e fleral olika Box Cox-ranformaioner och den som gav bäs resula, uifrån diagnosiken i TRAMO, resulerade i modell 3, en ARIMA(1,2,1)(0,1,1). Probleme med ickenormalieen hos residualerna visade sig nu vara näsinill lös och den övriga diagnosiken var också bra. En AR-parameer, som ine var signifikan på 95-procensnivån ingick dock i modellen. Osäkerheen i den esimerade säsongskomponenen ökade marginell. Å andra sidan minskade osäkerheen i rendcykelkomponeen. De visade sig a försöken med a specificera om modellens paramerar ine gav någo resula denna gång heller, vilke medförde a vi undersöke en alernaiv modifikaion. För a försöka komma ill räa med ickenormalieen minskade vi därför de kriiska värde för oulierdeekion, vilke resulerade i a residualerna, sluligen, kunde anas vara normalfördelade. Modell 4, en ARIMA(3,1,1)(0,1,1), var dock beydlig mer komplex än modell 3 och kan därför kriiseras uifrån parsimonieskrave. Modellen innefaade även 30 ouliers, vilke vi ansåg vara orimlig. Isälle esades en sisa modell, som ugick från anagande a exremvärden ingår i prisbildningsmekanismen och därmed ine borde korrigeras. I modell 5 ändrades därför insällningen i TRAMO så a inga exremvärden definierades. Som väna gav dea oss, åerigen, problem med normalieen (lepokurosis), men även med heeroskedasicie. I övrig var diagnosiken bra. Samidig kan vi naurligvis ine ueslua a prisserier ska karakeriseras av kurosis och möjligen även heeroskedasicie. En änkbar lösning på problemen i modell 5 vore dock a uveckla modellen ill a inkludera en beingad varianssrukur, de vill säga a modellera KPI-serien inom ramen för ARCH- och GARCH-familjen. Denna änkbara lösning ryms dock ine 23
inom ramen för den här uppsasen uan får berakas som e projek för en vidare undersökning. Gemensam för de esimerade modellerna i den föreliggande uppsasen var a de alla uppvisade e signifikan säsongsmönser. Inressan nog innehöll alla våra esimerade modeller en signifikan MA-parameer på säsongsnivå. Hur denna säsongskomponen ska beskrivas är däremo ine give, y de beror på vilken modell som appliceras på serien. Vi valde a dekomponera modell 3, vilke medförde a e säsongsmönser med åa signifikana månader esimerades i SEATS. Dea esima för säsongskomponenen gällde likväl för den hisoriska esimeringen som för esimeringen av de senase vå åren och eårsprognosen. Vi har också visa hur säsongsmönsre förändras under idsperioden genom e diagram på de enskilda månadernas säsongsmönser över id, se diagram 4.10, sidan 16. För a avsluningsvis åerknya ill frågorna i vår syfesformulering: Vi har, genom a applicera re olika hypoeseser, visa a KPI-serien är inegrerad av andra ordningen. Inför skrivande av den här uppsasen inspirerades vi av Professor Kaarina Juselius, som idigare i år skrivi om I(2)-processer. Vi fann sedan, inressan nog, a den svenska KPI-serien karakeriserades av en I(2). Innebörden, av dea är a inflaionen, i sin ur, ine är saionär uan karakeriseras av en I(1), vilke beyder a en chock på inflaionen karakeriseras av persisens. Vi har även, genom a illämpa TRAMO, anpassa e anal ARIMA-modeller ill serien. Ingen av dessa kunde dessvärre gälla som en full adekva modell ill serien. De esimerade modellerna i den här uppsasen innehöll dock alla en signifikan säsongskomponen. De fem modeller, vilka vi redovisa för under resulaavsnie uppvisade alla en signifikan MA-parameer på säsongsfrekvensen, vilke vi finner högs anmärkningsvär. Dea indikerar a de exiserar e signifikan säsongsmönser i konsumenprisserien under idsperioden 1955-2004. Säsongsmönsre har självklar förändras under idsperioden, vilke vi illusrerade i e diagram för de enskilda månaderna, men verkar också ha öka och blivi mer komplex (se diagram 7.8 och 7.10). Slusasen blir därmed a en säsongsjusering av konsumenprisindexserien borde beakas. 5.1 Framida forskning Vi ser framemo a a del av en sudie som undersöker KPI-serien på en disaggregerad nivå. Med andra ord en sudie som undersöker KPI-serien olika komponener: Kläder och Skor, Livsmedel, Bosad, Värme och Hushållsel. Efersom vi i föreliggande uppsas har esimera e signifikan säsongsmönser i konsumenpriserna vore de inressan a vidare undersöka hur säsongsmönsre ser u uifrån indexes olika varugrupper. En annan inressan sudie vore a modellera KPI-serien inom ramen för ARCHoch GARCH-familjen. Dea då Engles ARCH-es indikerade a modell 5, de vill säga den modell där exremvärden anogs vara inkorporerade i KPI-processen, led av ARCH-sörningar. 24
6 Lieraurföreckning Black, F. (1976), Sudies in Sock Price Volailiy Changes, Proceeding of he 1976 meeing of he Business and Economic Saisics Sociey, American Saisical Associaion, 177-181. Bowerman, B. L. och O Connell, R. T. (1993), Forecasing and Time Series - an Applied Approach, Third Ediion, Duxbury Press, Belmon. Box, G.E., Jenkins, G.M. och Reinsel, G.C. (1976), Time Series Analysis, Forecasing and Conrol, Second Ediion, Holden-Day, San Francisco. Box, G.E, Jenkins, G.M. och Reinsel, G.C. (1994), Time Series Analysis, Forecasing and Conrol. Third Ediion. Holden-Day: San Francisco. Box, G.E och Cox, D.R. (1964), An Analysis of Transformaion, Journal of Royal Saisical Sociey, B 26, s 211-243. Gomez, V. och Maravall, A. (1994), " Esimaion, Predicion and Inerpolaion for Nonsaionary Series wih he Kalman Filer", Journal of he American Saisical Associaion, 89, 611-624. Gómez, F. och Maravall, A. (1996), Programs TRAMO and SEATS. Insrucions for he User (Bea version: Sepember 1996), Working Paper No. 9628, Bank of Spain. Gómez, V. och Maravall, A. (1998). Guide for Using he Programs TRAMO and SEATS. Working Paper 9805, Research Deparmen, Bank of Spain. Gujarai, D. (1999), Essenials of Economerics, 2nd ediion, Irwin/McGraw-Hill, Singapore. Harvey, A.C. (1981), Time Series Models, Phillip Alan, Oxford. Juselius, K. (2004), "Inflaion, Money Growh and I(2) Analysis", Insiue of Economics, Universiy of Copenhagen. Kaiser, R. och Maravall, A. (2001), Measuring Business Cycles in Economic Time Series, Springer-Verlag, New York. Kleinbaum, G. D., Kupper, L. L. och Muller, E. K. (1988). Applied Regression Analysis and oher Mulivariable mehods, Second Ediion, Duxbury Press, Belmon. MacKinnon, J. G., (1991), Criical Values of Coinegraion Tess, in Engle, R. E. och Granger C. W. J., eds., Long-Run Economic Relaionships: Readings in Coinegraion, Chaper 13, Oxford Universiy Press, New York. Makridakis, S., Wheelwrigh, S. och Hyndman, R. J. (1998), Forecasing Mehods and Applicaions, Wiley, New York. Maravall, A. (1995). Unobserved Componens in Economic Time Series, in Pesaran, H. & Wickens, M. (eds), The Handbook of Applied Economerics, vol. 1, Basil Blackwell, Oxford. Maravall, A, och Sánchez, F. (2000). An Applicaion of TRAMO-SEATS: Model Selecion and Ou-of-Sample Performance: he Swiss CPI series, Working Paper 9914, Research Deparmen, Bank of Spain. To appear in Seasonal Adjusmen Procedures. Experiences and Perspecives, Rome. Mcleod.A.I och Li W.K (1983), Diagnosic Checking ARMA Time Series Models Using Squared-Residual Auocorrelaion, Journal of Time Series Analysis, 4, 269-273. NE Naionalencyklopedin AB (2000), Mulimedia 2000 plus, DVD skiva. 25
Planas, C. (1997), Applied Time Series Analysis, Modelling, Forecasing, Unobserved Componens Analysis and he Wiener-Kolmogorov Filer, Office for official publicaions of he European Communiies, Luxembourg. Pierce, D.A. (1978). Seasonal Adjusmen when Boh Deerminisic and Sochasic Seasonaliy are Presen, Seasonal Analysis of Economic Time Series, ed. A.Zellner, Washingon, D.C. U.S. Dep. of Commerce, Bureau of he census, 242-269. Priesley, M. P. (1981), Specral Analysis and Time Series, Academic Press Ld, London. Öhlén, S. (2003), Säsongsrensning av naionalräkenskaperna, en översik, Saisiska cenralbyrån. 26
Appendix A I programmen TRAMO och SEATS används ARIMA-modeller som en inegrerad del både i beräkningen av exremvärden och vid dekomponeringen av serien i en säsongsfakor och i andra fakorer. För a läsaren lä ska kunna följa med i användande av ARIMA-modeller i uppsasen preseneras här en sammanfaande genomgång av den eoreiska uppbyggnaden för ARIMA-modeller. Wolds dekomponering Wolds dekomponeringseorem fasslår a en andra ordningens saionär process, y, kan uryckas som summan av en deerminisisk funkion illsammans med en oändlig linjär kombinaion av okorrelerade slumpvariabler enlig: y = c( ) + e + ϕ 1 e 1 + ϕ2e 2 +... (A.1) i= 0 y = c( ) + ϕ e (A.2) i i y = c( ) + ϕ( B), (A.3) e där c() represenerar den deerminisiska komponenen, ϕ 0 = 1, B är en bakåskifande operaor och 2 ϕ i <. Processen kan därmed uryckas som summan av en j= 0 deerminisisk komponen och en linjär sokasisk process. Den deerminisiska delen urycker vanligvis seriens medelvärde och den sokasiska delen represenerar en oändlig glidande medelvärdesprocess. Arima-modeller Enlig Wolds eorem kan sökande efer en modell ill serien y berakas som sökande efer en lämplig represenaion ill den sokasiska processen ϕ ( B) e. Gruppen av ARIMA-modeller erbjuder e kraffull verkyg för a approximera denna del i Wolds dekomponering, vilke dessuom kan göras med relaiv få paramerar. För en uförligare beskrivning av Wolds eorem och ARIMA-modeller se exempelvis Planas (1997). Auoregressiv Modell (AR) i Om vi anar a ϕ -koefficienen är sådan a ϕ i = ϕ och ϕ < 1 kan y skrivas som: 2 n n y (1 + ϕ B + ϕ B +... + ϕ B ) e = (A.4) = n+ 1 1 ϕ B = 1 ϕb n+ 1 e = (A.5) 1 n = e då lim n ϕ = 0. (A.6) 1 - ϕb 27
Arrangeras ovansående ekvaion om så erhålls en AR(1)-process, vilken kan uryckas enlig: y ϕ + e. (A.7) = y 1 AR(1)-modellen kan sedan uvecklas för a även beskriva mer generella mönser. En auoregressiv process av ordningen p kan skrivas enlig: y ϕ y... y = e, (A.8) + 1 + + ϕ p p vilke benämns som en AR(p)-process. Glidande Medelvärdesmodell (MA) Om vi sedan anar a ϕ -koefficienen i ovansående generella AR-process (ekvaion i A.8) är sådan a ϕi = θ med θ < 1 så kan följande ekvaion skrivas: e 2 2 (1 + θ B + θ B +...) y = (A.9) = 1 n = y då lim n θ = 0. (A.10) 1 θ B Genom a arrangera om ovansående ekvaion erhålls en MA(1)-process, vilken kan uryckas enlig: y = 1 θ B) e. (A.11) ( MA(1)-processen kan därmed urycka en kor represenaion av en oändlig men konvergen AR-process. Dea kräver dock med nödvändighe a θ < 1, vilke kallas för invererbarheskrierie. En generell MA-processen av ordningen q skrivs: y = e + θ e (A.12) 1 e 1 +... + θq q och benämns som en MA(q)-process. Auoregressiv Glidande Medelvärdesmodell (ARMA) Vissa processer urycks dock bäs av modeller, som kombinerar en AR(p)-process med en MA(q)-process. Dessa modeller benämns som ARMA-modeller av ordningen p och q och skrivs som: y + φ y e. (A.13) 1 +... + φ p y p = e + θ1 e 1 +... + θ q Genom a använda sig av den bakåskifande operaorn kan ekvaionen dock uryckas i beydlig kompakare form enlig: φ B) y = θ ( B) e. (A.14) ( q Inegrerad Auoregressiv Glidande Medelvärdesmodell (ARIMA) Ekonomiska idsserier uppfyller ofa ine villkoren för saionarie, vilke vanligvis beror på a de förekommer långsikiga render i dessa serier 4. Många ickesaionära idsserier kan däremo omvandlas ill a bli saionära genom en lämplig ransfor- 4 Ekonomiska idsserier liknar ofa slumpvandringar, vilka ine är saionära. 28
maion. Processer som gjors saionära genom försa ordningens differens, de vill säga: z = y y 1 = y, (A.15) benämns som inegrerade av försa ordningen, vilke skrivs I(1). En process som gjors saionär genom andra ordningens differens benämns således som en I(2) och så vidare. En generell sokasisk ARIMA-process, de vill säga en auoregressiv inegrerad glidande medelalsmodell, ugörs av en blandad ARMA-process för en idsserie som gjors saionär genom differeniering. För idsserier uan säsongsvariaion kan en sådan modell skrivas som: ϕ = ( B) e, (A.16) d ( B ) y θ där ϕ (B) och θ (B) är polynom, som uppfyller saionaries- och invererbarheskrierierna 5. = 1 B är en differenieringsoperaor, d sår för anal differenieringar som använs för a göra serien saionär och e är vi brus. Om polynomen ϕ (B) och θ (B) är av ordningen p respekive q, så sägs y följa en ARIMA(p,d,q)-modell. Box och Jenkins (1976) uvecklade sedan ARIMA-modelleringen för a även kunna beskriva idsserier med säsongsvariaion, vilke kan skrivas som: s d D s ϕ ( B) Φ ( B ) s y = θ ( B) Θ ( B ) e, (A.17) där parameern D represenerar de minsa anal differenieringar som behövs för s a göra serien saionär och s = 1 B sår för differenieringsoperaorn avseende säsongen. Ovansående ARIMA-modell sägs vara av ordning ( p, d, q) ( P, D, Q). 5 För en definiion av begreppe saionarie och invererbarheskrierie se exempelvis Bowerman och O Connell (1993). 29