Arm Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR Bomska ekvatoer EKVATIONER MED KOMPLEXA TAL A Ekvatoer som ehåller både ett obekat komplext tal och dess kojugat B Bomska ekvatoer. A Ekvatoer som ehåller både och För att lösa e såda ekvato substtuerar v ekvatoe x y och x y. Därefter föreklar v ekvatoe och gruperar realdele/ magärdele av varje sda. Seda bldar v två ekvatoer geom att detfera realdelar på varje sda och magärdelar på varje sda av de föreklade ekvatoe : Re(VL=Re(HL (Ekv Im(VL=Im(HL (Ekv Slutlge löser v systemet på x och y och svarar med x y. Exempel. I ekvatoe 6 är ett komplext tal och talets kojugat. Lös ekvatoe med avseede på.. Lösg: V substtuerar x y och x y ekvatoe och får ( x y ( x y 6. V föreklar (och gruperar realdelar/magärdelar på varje sda x y (y x 6 (* Nu detferar v realdelar på båda sdor (*, x y 6 (Ekv och magära delar på båda sdor (* y x 0 (Ekv V löser system av ekvatoer Ekv och Ekv. Frå Ekv har v x y som v substtuerar Ekv och får y y 6 eller y. Därför x. Nu har v x y B BINOMISKA EKVATIONER a b Bomska ekvatoe med avseede på a b (* har lösgar. Eklast sätt att lösa ekvatoe är att age högerledet på potesform. Steg. V bestämer rade r a b, ett argumet arg( a b k och skrver a k b re (. Sda av 6
Arm Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR Bomska ekvatoer Amärkg. V ager perod för att få alla ( lösgar tll bomska ekvatoe (* Steg. V skrver ekvatoe (* på potesforme k re ( (** Härav får v följade lösgar: ( k k r e där k 0,,,...,(, V får lösgar geom att substtuera k 0,,,...,( ( r 0 e, ( r e, r e,..., r ( r e, e ( ( Amärkg: Om v fortsätter och substtuerar k,,... då upprepar v reda bestämda lösgar. Därför staar v vd k=. Steg : Om detta krävs uppgfte, skrver v lösgar på rektagulär form. Exempel. Lös ekvatoe med två decmaler. Lösg: Steg. V skrver högerledet dvs. Age alla tre lösgar på rektagulär form på potesform. / Rade r 8 ( eller r 8 / y Ett argumet: arcta (v adderar eftersom x <0, se formelblad. x arcta arcta( Alltså ( k 8e och därmed blr ekvatoe 8e ( k Steg. (V löser ekvatoe Frå ekvatoe k 8e ( k ( k 8e har v / 8 / 8k ( e k ( e Alltså är k e där k=0,,. de sökta lösgara på potesform (tre stycke. Steg. Lösgar på rektagulär form. Först polär form: Sda av 6 8k (, där k=0,,.
Arm Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR Bomska ekvatoer 8k ( 8k 8k k e cos( s( där k=0,, För att få rektagulärform substtuerar v k= 0, och och beräkar sus och cosus. k=0 ger 0 cos( s( cos( s( ( k= ger 8 8 cos( s( cos( s(.66 0. 66 (V aväder mräkare dea uppgft. 8 8 9 9 cos( s( cos( s( 0.66. 66 0.66 0. 66 0.66. 66 ÖVNINGSUPPGIFTER Uppgft. Bestäm ur ekvatoe 0. Lösg: V substtuerar a b, a b ekvatoe 0 och får ( a b ( a b 0 ( förekla 5a b 0 (* V detferar realdelar av bådalede av (* och får 5a 0 (Ekv V detferar magärdelar av bådalede av (* och får b (Ekv Frå Ekv och Ekv får v a och b. Sda av 6
Arm Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR Bomska ekvatoer Därmed a b Uppgft. I ekvatoe u u 8 är u ett komplex tal. Lös ekvatoe med avseede på u. Lösg: Substtuera u x y och u x y ekvatoe. V får ( x y ( x y 8 x y x y 8 ( x y (x y 8 x y 8 x y 8x x / y x y y x /, y / Därmed u. x y 8 9x y 6 u Uppgft. a Skrv det komplexa talet på potesforme. b Lös ekvatoe och age alla (tre lösgar på potesform eller på polär form (välj själv. Lösg: a r ( ( 6 8, arg( = ( rta grafe Därmed blr b Frå dvs e 8e e / k ( 8 har v 6e, k 0,, / k (, k 0,, Sda av 6
Arm Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR Bomska ekvatoer 8a 8 e / k ( 8b e, k 0,, eller / k / k cos( s(, 0,, k Uppgft. Bestäm alla (fyra lösgar tll ekvatoe 6 0. Svara exakt på rektagulär form. Lösg: 6 0 6 Notera att r 6 6 och att arg( 6. Därmed är högerledet 6 6e ( potesform. Ekvatoe blr då 6e. Härav ( k 6 e, k 0,,, V ager alla lösgar på rektagulär form: 0 e (cos s ( e (cos s ( 5 5 5 e (cos s ( 7 7 7 e (cos s (. Uppgft 5. Betrakta ekvatoe 8 0. a Lös ekvatoe och age alla lösgar( st på potesform. b Age alla lösgar på forme a b. Sda 5 av 6
Arm Hallovc: EXTRA ÖVNINGAR Bomska ekvatoer e c Prcka lösgara det komplexa talplaet. Lösg: a 8 0 k 8e 8 ( k e, k 0,,, Svar a k ee ( k, k 0,,, b 0 e e e e 5 e e 7 Svar b (cos s = (cos s = 5 5 (cos s 5 = 7 7 (cos s 7 =. Svar c Notera attt alla lösgar har samma rade r k crkel med rade r=. (Lösgaras argumet. Därmed lgger r lösgara på e skljerr sg för. Sda 6 av 6