KAPITEL 8. Integralekvationer Introduktion

KAPITEL 8 Integrlekvtioner 8 Introduktion Integrlekvtioner förekommer inom de flest tillämpde områden och är minst lik viktig som differentilekvtioner I de flest fll kn mn även skriv om differentilekvtioner som integrlekvtioner och vice vers Exempel 8 Exempel på integrlekvtioner är: () (b) (c) (d) (e) y(x) = x (x t)y(t)dt y(x) = f (x) + λ k(x t)y(t)dt, där f (x) och k(x) är bestämd funktioner y(x) = λ k(x,t)y(t)dt, där k(x,t) = y(x) = λ ( 3xt)y(t)dt y(x) = f (x) + λ ( 3xt)y(t)dt x( t), x t, t( x), t x En llmän integrlekvtion för en obeknt funktion y(x) kn skrivs som f (x) = (x)y(x) + k(x, t)y(t)dt, där f (x), (x) och k(x, t) är givn funktioner (funktionen f (x) svrr mot en yttre krft) Funktionen k(x, t) klls för kärnn (eng kernel) Det finns olik typer v integrlekvtioner, vi kn klssificeringen en given ekvtion på nednstående sätt Ekvtionen sägs vr v Först sorten om den obeknt funktionen endst förekommer innnför integrltecknet, dvs om (x), och nnrs v Andr sorten Ekvtionen sägs vr en Fredholmekvtion om integrtionsgränsern är konstnt, och en Volterrekvtion om de är vribl Ekvtionen sägs vr homogen om f (x) och nnrs inhomogen Exempel 82 En Fredholmekvtion (Ivr Fredholm): k(x,t)y(t)dt + (x)y(x) = f (x) 67

68 8 INTEGRALEKVATIONER Exempel 83 En Volterrekvtion (Vito Volterr): k(x,t)y(t)dt + (x)y(x) = f (x) Exempel 84 Försäljrens kontrollproblem För tt utnyttj sitt lgerutrymme optimlt vill en försäljre håll sitt vrulger konstnt Det visr sig tt för tt klr v dett måste en integrlekvtion löss Antg tt vi hr följnde definitioner: = mängden vror vid tiden t =, k(t) = återstoden v vror (i procent) vid tiden t, u(t) = hstigheten (vror/tidsenhet) med vilken ny vror köps in, u(τ) τ = mängden inköpt vror under tiden τ Den totl mängden vror i ffären vid tiden t blir då: k(t) + Z t k(t τ)u(τ)dτ, och det finns en konstnt mängd vror i ffären om vi hr, för någon konstnt c, tt k(t) + Z t k(t τ)u(τ)dτ = c För tt t red på hur snbbt ny vror måste köps in (dvs u(t)) för tt håll lgret konstnt måste lltså ovnstående Volterrekvtion v först sorten löss Exempel 85 (Potentil) Låt V (x,y,z) vr potentilen i punkten (x,y,z) härrörnde från en mssfördelning ρ(ξ,η,ζ) i Ω (se Fig 8) Då gäller Z Z Z ρ(ξ,η,ζ) V (x,y,z) = G dξdηdζ Ω r Det omvänd problemet tt bestämm ρ från en given potentil V ger upphov till en integrerd ekvtion Dessutom är ρ och V relterde genom Poissons ekvtion 2 V = 4πGρ FIGUR 8 Potentil från en mssfördelning Ω (x,y,z) r (ξ,η,ζ)

83 SAMBAND MELLAN DIFFERENTIAL- OCH INTEGRALEKVATIONER (AV FÖRSTA ORDNINGEN) 69 82 Integrlekvtioner v fltningstyp Vi sk nu betrkt integrlekvtioner v följnde typ: y(x) = f (x) + k(x t)y(t)dt = f (x) + k y(x), där k y(x) är fltningsprodukten v k och y (se sid 45) Den viktigste tekniken när mn rbetr med fltning är Lplcetrnsformen (se vsnitt 62) Exempel 86 Lös ekvtionen y(x) = x (x t)y(t)dt Lösning: Ekvtionen är v fltningstyp med f (x) = x och k(x) = x Vi observerr tt L(x) = s 2 och Lplcetrnsformering v ekvtionen ger L [y] = s L 2 [x y] = s L [x]l 2 [y] = s 2 L [y], dvs s2 L [y] = + s 2, [ ] och lltså är y(x) = L + s 2 = sinx Svr: y(x) = sinx Exempel 87 Lös ekvtionen y(x) = f (x) + λ k(x t)y(t)dt, där f (x) och k(x) är fixerde, givn funktioner Lösning: Ekvtionen är v fltningstyp, och Lplcetrnsformering ger L [y] = L [ f ] + λl [k]l [y], dvs L [ f ] L [y] = λl [k] [ ] Svr: y(x) = L L [ f ] λl [k] Exempel 88 (83) 83 Smbnd melln differentil- och integrlekvtioner (v Först Ordningen) Betrkt differentilekvtionen (begynnelsevärdesproblemet) y (x) = f (x,y), y(x ) = y Genom tt integrer från x till x får vi dvs x y (t)dt = x f (t,y(t))dt, (832) y(x) = y + f (t,y(t))dt x

7 8 INTEGRALEKVATIONER Å ndr sidn, om (832) gäller ser vi tt y(x ) = y, och genom tt deriver ser vi tt y (x) = f (x,y(x)), vilket innebär tt (83) gäller! Alltså är problemen (83) och (832) ekvivlent Det är fktiskt möjligt tt formuler om mång begynnelse- och rndvärdesproblem som integrlekvtioner och vice vers I llmänhet gäller: Picrds metod (Emile Picrd) Begynnelsevärdesproblem Dynmisk system Volterrs ekvtion Rndvärdesproblem Fredholms ekvtion Problem: Lös begynnelsevärdesproblemet y = f (x,y), y(x ) = A, eller ekvivlent, lös integrlekvtionen : y(x) = A + x f (t,y(t))dt Vi sk nu lös denn integrlekvtion genom tt bild successiv pproximtioner till y(x) Välj en först pproximtion, y(x) = y (x), och beräkn sedn en följd: y (x), y 2 (x),,y n (x) genom Förhoppningen är nu tt y (x) = A + y 2 (x) = A + y n (x) = A + x f (t,y (t))dt, x f (t,y (t))dt, y(x) y n (x) x f (t,y n (t))dt Enligt en känd sts (Picrds sts) vet vi tt under viss villkor på f (x,y) så gäller Exempel 89 Lös ekvtionen y(x) = lim n y n (x) y (x) = 2x( + y), y() = Lösning: (Med Picrds metod) Vi hr integrlekvtionen y(x) = 2t( + y(t))dt,

84 SAMBAND MELLAN DIFFERENTIALEKVATIONER OCH INTEGRALEKVATIONER (AV ANDRA ORDNINGEN) 7 och den först pproximtionen y (x) Vi får då y (x) = y 2 (x) = y 3 (x) = 2t( + y (t))dt = 2t( + y (t))dt = y n (x) = x 2 + x4 2 + x6 6 Och vi ser tt 2t( + )dt = 2t( +t 2 )dt = 2t( +t 2 + 2 t4 )dt = x 2 + 2 x4 + x6 6, + + x2n n! lim y n(x) = e x2 n 2tdt = x 2, 2t + 2t 3 dt = x 2 + 2 x4, ANMÄRKNING 22 Observer tt y(x) = e x2 är den exkt lösningen till ekvtionen (Vis dett!) ANMÄRKNING 23 Om mn kn giss sig till en llmän formel för y n (x) kn denn oft beviss med exempelvis induktion LEMMA 8 Om f (x) är kontinuerlig för x så gäller: Z s BEVIS Låt F(s) = Z s Z s f (y)dyds = f (y)dy Då ser vi tt: f (y)dyds = f (y)(x y)dy F(s)ds = F(s)ds prtiell integrtion} = [sf(s)] x sf (s)ds = xf(x) F() = x = Z s f (y)dy f (y)(x y)dy Z s s f (s)ds y f (y)dy 84 Smbnd melln differentilekvtioner och integrlekvtioner (v ndr ordningen) Exempel 8 (84) Antg tt vi vill lös begynnelsevärdesproblemet u (x) + u(x)q(x) = f (x), x >, u() = u, u () = u Vi integrerr ekvtionen från till x och får u (x) u = [ f (y) q(y)u(y)]dy,

72 8 INTEGRALEKVATIONER och ytterligre en integrtion ger u (s)ds = Och vi Lemm 84 får vi lltså vilket kn skrivs som där u ds + u(x) u = u (x ) + u(x) = u + u (x ) + = F(x) + Z s k(x, y)u(y)dy, [ f (y) q(y)u(y)]dyds [ f (y) q(y)u(y)](x y)dy, f (y)(x y)dy + q(y)(y x)u(y)dy F(x) = u + u (x ) + f (y)(x y)dy, och k(x,y) = q(y)(y x) Dett innebär tt (84) kn skrivs som Volterrekvtionen: u(x) = F(x) + k(x, y)u(y)dy ANMÄRKNING 24 Exempel 8 visr hur en differentilekvtion med begynnelsevärden (ett begynnelsevärdesproblem) kn trnsformers till en integrlekvtion I exempel 82 nedn kommer vi vis tt en integrlekvtion kn trnsformers till en differentilekvtion, men först behöver vi ytterligre ett lemm LEMMA 82 (Leibniz formel) ( Z d b(t) ) u(x, t)dx dt (t) (t) = u t(x,t)dx + u(b(t),t)b (t) u((t),t) (t) (t) BEVIS Låt G(t,,b) = u(x, t)dx, där = (t), b = b(t) Kedjeregeln ger nu Exempel 8 Då blir Låt d dt G = G t(t,,b) + G (t,,b) (t) + G b (t,,b)b (t) = u t(x,t)dx u((t),t) (t) + u(b(t),t)b (t) Z t 2 F(t) = sin(xt)dx t Z t 2 F (t) = cos(xt)xdx + sint 3 2t sint 3 2 t 2 t

85 EN ALLMÄN TEKNIK FÖR ATT LÖSA FREDHOLMS INTEGRALEKVATION AV ANDRA SORTEN 73 Exempel 82 Betrkt ekvtionen (*) y(x) = λ där k(x,t) = k(x, t)y(t)dt, x( t), x t t( x), t x Dvs vi hr y(x) = λ t( x)y(t)dt + λ x( t)y(t)dt x Deriverr vi y så får vi (med hjälp v Leibniz formel) y (x) = λ = λ och ytterligre en derivering ger oss ty(t)dt + λx( x)y(x) + λ ty(t)dt + λ ( t)y(t)dt, x y (x) = λxy(x) λ( x)y(x) = λy(x) x ( t)y(t)dt λx( x)y(t) Dessutom ser vi tt y() = y() = Alltså är integrlekvtionen (*) ekvivlent med rndvärdesproblemet y (x) + λy(x) = y() = y() = 85 En llmän teknik för tt lös Fredholms integrlekvtion v ndr sorten Vi betrktr ekvtionen: (85) y(x) = f (x) + λ k(x, ξ)y(ξ)dξ Antg tt kärnn k(x,ξ) är seprbel, vilket betyder tt vi kn skriv den som Sätter vi in dett i (85) får vi (852) k(x,ξ) = y(x) = f (x) + λ = f (x) + λ n j= n j= n j= α j (x)β j (ξ) α j (x) β j (ξ)y(ξ)dξ c j α j (x) Observer tt y(x) som i (852) ger oss lösningen till (85) så fort vi vet koefficientern c i Hur kn vi nu hitt c i? Multiplicerr vi (852) med β i (x) och integrerr så får vi y(x)β i (x)dx = f (x)β i (x)dx + λ n j= c j α j (x)β i (x)dx,

74 8 INTEGRALEKVATIONER eller ekvivlent c i = f i + λ n j= c j i j Vi hr lltså ett linjärt system med n okänd vribler: c,,c n, och n stycken ekvtioner c i = f i + λ n j= c j i j, i n På mtrisform kn vi skriv dett som (I λa) c = f, där A = n, f = f, och c = c n nn f n c n Någr välkänd fkt från linjär lgebr: Antg tt vi hr ett linjärt ekvtionssystem (*) B x = b Beroende på om högerledet b är nollvektorn eller inte får vi följnde lterntiv Om b = så gäller: ) detb x =, b) detb = (*) hr ett oändligt ntl lösningr x 2 Om b så gäller: c) detb (*) hr en unik lösning x, d) detb = (*) hr ingen lösning eller ett oändligt ntl lösningr Den berömd Fredholms lterntivsts är br en omformulering v ovnstående fkt! Exempel 83 Betrkt ekvtionen (*) y(x) = λ ( 3xξ)y(ξ)dξ Här hr vi dvs Vi får då A = Z k(x,ξ) = 3xξ = α (x)β (ξ) + α 2 (x)β 2 (ξ), β (x)α (x)dx β 2 (x)α (x)dx α (x) =, α 2 (x) = 3x, β (ξ) =, β 2 (ξ) = ξ Z β (x)α 2 (x)dx 3 = 2 β 2 (x)α 2 (x)dx 2,

85 EN ALLMÄN TEKNIK FÖR ATT LÖSA FREDHOLMS INTEGRALEKVATION AV ANDRA SORTEN 75 och λ λ 3 det(i λa) = det 2 λ + λ 2 λ = ±2 Fredholms lterntivsts säger tt vi hr följnde lterntiv: = λ2 4 = λ ±2 λ = 2 λ = 2 då hr (*) enbrt den trivil lösningen y(x) =,och då ser systemet (I λa) c = ut som c + 3c 2 =, c + 3c 2 =, vilket hr ett oändligt ntl lösningr: c 2 = och c 3 = 3, för en godtycklig konstnt Från (852) ser vi nu tt lösningrn y(x) blir y(x) = + 2(3 + ( 3x)) = 6( x) = b( x) Vi drr slutstsen tt vrje funktion y(x) = b( x) är en lösning till (*) Då ser systemet (I λa) c = ut som 3c 3c 2 =, c c 2 =, vilket hr ett oändligt ntl lösningr c = c 2 = för en godtycklig konstnt Från (852) ser vi åter igen tt lösningrn y(x) blir y(x) = 2( + ( 3x)) = 2( 3x) = b( 3x), och vi ser tt vrje funktion y(x) på formen y(x) = b( 3x) är en lösning till (*) Som lltid när mn löser differentil eller integrlekvtioner bör mn kontroller lösningrn genom tt sätt in i dem i ekvtionen, och sätter vi in y(x) = x och y(x) = 3x i (*) får vi bekräftt tt de är lösningr svrnde mot λ = 2 respektive 2 Exempel 84 Betrkt ekvtionen (*) y(x) = f (x) + λ ( 3xξ)y(ξ)dξ Observer tt bsfunktionern α j och β j och därmed även mtrisen A är desmm som i föregående exempel och därmed får vi också det(i λa) = λ = ±2 Fredholms lterntivsts ger oss följnde möjligheter: f (x) dx eller f (x) xdx och λ ±2 Då hr ( ) en unik lösning y(x) = f (x) + λ 2 i= c i α i (x) = f (x) + λc 3λc 2 x,

76 8 INTEGRALEKVATIONER 2 där c och c 2 är (den unik) lösningen till systemet ( λ)c + 3 2 λc 2 = f (x)dx, f (x) dx eller 2 λc + ( + λ)c 2 = Z x f (x)dx f (x) xdx och λ = 2 Då får vi systemet 3c 3c 2 = c c 2 = Z f (x)dx, x f (x)dx, och eftersom vänsterledet för den övre ekvtionen är en multipel v vänsterledet för den undre så finns det ingen lösning om f (x)dx, och det finns oändligt ntl lösningr om x f (x)dx = 3 f (x)dx,vilket ger lösningrn Z x f (x)dx 3 f (x)dx Vi kn låt 3c 2 =, och då blir 3c = + y(x) = f (x) 2[c α (x) + c 2 α 2 (x)] [( = f (x) 2 3 + ) f (x)dx + 3 ] 3 ( 3x) = f (x) 2 ( ) 2 f (x)dx 3 3 2x 3 f (x) dx eller f (x) xdx och λ = 2 Då får vi systemet 4 c + 3c 2 = c + 3c 2 = Z f (x)dx, x f (x)dx Eftersom vänsterleden här är identisk så skns lösningr om och nnrs hr vi oändligt mång lösningr Låt c 2 =, c = 3 lösningen x f (x)dx = 5 x f (x)dx = [ y(x) = f (x) + 2 3 Z ] f (x)dx + ( 3x) = f (x) 2 f (x)dx + 6( x) x f (x)dx f (x)dx =, λ ±2 Då är y(x) = f (x) den unik lösningen f (x)dx =, λ = 2 Då får vi systemet 3c 3c 2 =, c c 2 =, c = c 2 =, f (x)dx, f (x)dx, då får vi

86 INTEGRALEKVATIONER MED SYMMETRISKA KÄRNOR 77 6 för en godtycklig konstnt Vi hr lltså oändligt mång lösningr på formen y(x) = f (x) 2[ + ( 3x)] = f (x) 2( 3x) x f (x)dx = f (x)dx =, λ = 2 Då får vi systemet c + 3c 2 =, c + 3c 2 =, c 2 =, c = 3, för en godtycklig konstnt Vi hr lltså oändligt mång lösningr på formen y(x) = f (x) + 2[3 + ( 3x)] = f (x) + 6( x) Betrkt ekvtionen (*) y(x) = λ där 86 Integrlekvtioner med symmetrisk kärnor k(x, ξ)y(ξ)dξ, k(x,ξ) = k(ξ,x) är reell och kontinuerlig Vi sk nu se hur vi kn npss teorin från föregående vsnitt till det fllet tt k(x,ξ) inte är seprbel men symmetrisk Om λ och y(x) uppfyller ekvtionen (*) säger vi tt λ är ett egenvärde och y(x) är en tillhörnde egenfunktion Vi hr följnde sts SATS 83 Följnde gäller för egenvärden och egenfunktioner till (*): (i) Om λ m och λ n är ett egenvärden med tillhörnde egenfunktioner y m (x) och y n (x) så gäller: λ n λ m y m (x)y n (x)dx =, dvs egenfunktioner tillhörnde olik egenvärden är ortogonl (y m (x) y n (x)) (ii) Egenvärden λ är reell (iii) Om kärnn k inte är seprbel så finns det oändligt mång egenvärden λ,λ 2,,λ n, med < λ λ 2 och lim λ n = n (iv) Till vrje egenvärde hör det som mest ett ändligt ntl linjärt oberoende egenfunktioner BEVIS (i) Vi hr y m (x) = λ m k(x,ξ)y m (ξ)dξ, och y n (x) = λ n k(x,ξ)y n (ξ)dξ,

78 8 INTEGRALEKVATIONER vilket ger Vi drr slutstsen tt y m (x)y n (x)dx = λ m y n (x) k(x,ξ)y m (ξ)dξdx ( ) = λ m y n (x)k(k,ξ)dx y m (ξ)dξ ( ) [k(x,ξ) = k(ξ,x)] = λ m k(ξ,x)y n (x)dx y m (ξ)dξ ( ) = λ m y n (ξ) y m (ξ)dξ λ n = λ m λ n och om λ m λ n måste lltså y m (x)y n (x)dx = y m (ξ)y n (ξ)dξ ( λ ) m y m (x)y n (x)dx =, λ n Exempel 85 där Lös ekvtionen y(x) = λ k(x, ξ)y(ξ)dξ, k(x,ξ) = x( ξ), x t, ξ( x), ξ x Från Exempel 82 vet vi tt integrlekvtionen är ekvivlent med y (x) + λy(x) = y() = y() = Om λ > hr vi lösningrn y(x) = c cos λx + c 2 sin λx, y() = c = och y() = c 2 sin λ =, vilket ger tt ntingen är c 2 = (vilket endst ger den trivil lösningen y ) eller så är λ = nπ för något heltl n, dvs λ = n 2 π 2 Egenvärden är lltså och de motsvrnde egenfunktionern är Observer tt om m n så gäller tt λ n = n 2 π 2, y n (x) = sin(nπx) sin(nπx) sin(mπx)dx =

87 HILBERT-SCHMIDTTEORI FÖR ATT LÖSA FREDHOLMEKVATIONEN 79 87 Hilbert-Schmidtteori för tt lös Fredholmekvtionen Vi sk nu beskriv ett tillväggångssätt för tt lös en Fredholmekvtion v typen: (*) y(x) = f (x) + λ k(x, t)y(t)dt LEMMA 84 (Hilbert-Schmidths lemm) Antg tt det finns en kontinuerlig funktion g(x) sådn tt F(x) = k(x, t)g(t)dt, där k är symmetrisk (dvs k(x,t) = k(t,x)) Då kn F(x) utveckls i en Fourierserie som F(x) = n= c n y n (x), där y n (x) är de normerde egenfunktionern till ekvtionen (Se sts 83) y(x) = λ k(x, t)y(t)dt SATS 85 (Hilbert-Schmidts sts) Antg tt λ inte är ett egenvärde till (*) och tt y(x) är lösningen till (*) Då gäller y(x) = f (x) + λ n= f n λ n λ y n(x), där λ n och y n (x) är egenvärden och egenfunktioner till den motsvrnde homogen ekvtionen (dvs (*) med f ) och f n = f (x)y n (x)dx BEVIS Från (*) ser vi direkt tt y(x) f (x) = λ k(x, ξ)y(ξ)dξ, och enligt H-S lemm (84) kn vi utveckl y(x) f (x) i en Fourierserie: där Alltså hr vi c n = y(x) f (x) = n= c n y n (x), (y(x) f (x))y n (x)dx = y(x)y n (x)dx f n y(x)y n (x)dx = f n + (y(x) f (x))y n (x)dx ( ) = f n + λ k(x, ξ)y(ξ)dξ y n (x)dx ( ) k(x,ξ) = k(ξ,x)} = f n + λ k(ξ,x)y n (x)dx y(ξ)dξ = f n + λ y n (ξ)y(ξ)dξ λ n

8 8 INTEGRALEKVATIONER Alltså gäller och vi drr slutstsen tt dvs vi kn skriv y(x) som y(x)y n (x)dx = f n λ λ n = λ n f n λ n λ, c n = λ n f n λ n λ f n = λ f n λ n λ, y(x) = f (x) + λ n= f n λ n λ y n(x) Exempel 86 Lös ekvtionen där λ n 2 π 2, n =,2,, och y(x) = x + λ k(x, ξ)y(ξ)dξ, k(x,ξ) = x( ξ), x ξ, ξ( x), ξ x Lösning: Från Exempel 85 vet vi tt de normliserde egenfunktionern till den homogen ekvtionen y(x) = λ k(x, ξ)y(x)dξ är y n (x) = 2sin(nπx), svrnde mot egenvärden λ n = n 2 π 2, n =,2, Dessutom ser vi tt Vilket ger f n = f (x)y n (x)dx = x 2sin(nπx)dx = ( )n+ 2 nπ y(x) = x + 2λ π n= ( ) n+ n(n 2 π 2 λ) sin(nπx), λ n2 π 2 Slutligen observerr vi tt genom tt nvänd i stort sett smm idéer som tidigre kn vi också vis följnde sts (se även (7, pp 246-247)) SATS 86 Låt f och k vr kontinuerlig funktioner och definier opertorn K gernde på funktionen y(x) som Ky(x) = k(x, ξ)y(ξ)dξ, och definier sedn positiv potenser v K som K m y(x) = K(K m y)(x), m = 2,3,

87 HILBERT-SCHMIDTTEORI FÖR ATT LÖSA FREDHOLMEKVATIONEN 8 Då gäller tt ekvtionen hr lösningen y(x) = f (x) + λ k(x, ξ)y(ξ)dξ y(x) = f (x) + n= Denn typ v serieutveckling klls för en Neumnn serie Exempel 87 Lös ekvtionen Lösning: (vi Neumnn serier): vilket ger K(x) = K 2 (x) = K n (x) = y(x) = x + λ n K n ( f ) y(x) = x + λ (x ξ)y(ξ)dξ n= (x ξ)ξdξ = x3 3! (x ξ) ξ3 x5 dξ = 3! 5! ξ 2n x2n+ (x ξ) dξ = (2n )! (2n + )!, λ n K n (x) = x + λ x3 x5 + λ2 3! 5! + + x 2n+ λn (2n + )! + Lösning (vi Lplcetrnsformen): Vi ser tt opertorn K = (x ξ)y(ξ)dξ är en fltning v funktionen y med identitetsfunktionen x x, dvs K(x) = (t t y)(x), vilket innebär tt L[K(x)] = L[x]L[y], och eftersom y(x) = x + λk(x) får vi och inverterr vi trnsformen får vi L (y) = L (x) + λl (x)l (y) = s 2 + λ s L 2 (y) L (y) = s 2 λ = ( 2 λ s λ ) s +, λ y(x) = 2 λ ( e λx e λx ) Observer tt vi får smm lösning ovsett metod Dett inses enklst genom tt titt på Tylorutvecklingen v den ndr lösningen Mer precist så hr vi e λx = λx + ( ) 2 ( ) 3 λx λx +, 2 3! e λx = + λx + ( ) 2 ( ) 3 λx + λx +, 2 3!

82 8 INTEGRALEKVATIONER dvs y(x) = = ( ) 2 e λx e λx λ ( 2 2 λx + 2 ( ) 3 2 ( ) 5 λx + λx + ) λ 3! 5! = x + λ x3 x5 + λ2 3! 5! + 88 Övningsuppgifter 8 [S] Skriv om följnde ndr ordningens begynnelsevärdesproblem som en integrlekvtion u (x) + p(x)u (x) + q(x)u(x) = f (x), x >, u() = u, u () = u 82 Betrkt begynnelsevärdesproblem u (x) + ω 2 u(x) = f (x), x >, u() =, u () = ) Skriv om denn ekvtion som en integrlekvtion b) Använd Lplcetrnsformen för tt nge lösningen för en llmän f (x) med Lplcetrnsform F(s) c) Ange lösningen u(x) för f (x) = sint med R, ω 83 [S] Skriv om begynnelsevärdesproblemet y (x) + ω 2 y =, x, y() =, y () = som en integrlekvtion v Volterrtyp smt nge de lösningr som dessutom uppfyller y() = 84 Skriv om rndvärdesproblemet y (x) + λp(x)y = q(x), x b, y() = y(b) = som en integrlekvtion v Fredholmtyp (Ledtråd: Använd y(b) = för tt bestämm y ()) 85 [S] Låt α och betrkt snnolikheten tt ett slumpvis vlt heltl melln och x hr sin störst primfktor x α Då x går denn fördelning mot en fördelning med fördelningsfunktionen F(α), den sk Dickmnfunktionen (observer tt F(α) = för α ) Funktionen F(α) är lösning till följnde integrlekvtion Z α ( ) t F(α) = F dt, α t t Beräkn F(α) för 2 α

88 ÖVNINGSUPPGIFTER 83 86 Betrkt Volterrekvtionen u(x) = x + µ (x y)u(y)dy ) Beräkn de först tre nollskild termern i Neumnnserien för lösningen b) Ange lösningen till ekvtionen (tex genom tt nvänd ) för tt få frm en gissning och sedn verifier denn) 87 [S] Lös: x = e x ξ y(ξ)dξ 88 Använd Lplcetrnsformen för tt lös: ) y(x) = f (x) + λ b) y(x) = + e x ξ y(ξ)dξ e x ξ y(ξ)dξ 89 [S] Skriv ned en Neumnnserie för integrlekvtionen u(x) = f (x) + λ u(t)dt, smt nge lösningen till ekvtionen för f (x) = e x e 2 + 2 och λ = 2 8 * Lös ) y(x) = x 2 + b) y(x) = x 2 + λ ( 3xξ)y(ξ)dξ, ( 3xξ)y(ξ)dξ för ll värden på λ 8 [S] Lös följnde integrlekvtion då ) f (x) =, b) f (x) = sinx, c) f (x) = sin2x u(x) = f (x) + λ Z π sin(x) sin(2y) u(x)dy 82 Betrkt ekvtionen u(x) = f (x) + λ u(t)dt, x ) Vis tt för f (x) hr ekvtionen endst den trivil lösningen i C 2 [,] b) Ange en funktion f (x) sådn tt ekvtionen hr en icke-trivil lösning för ll värden på λ smt beräkn denn

84 8 INTEGRALEKVATIONER 83 [S] Låt > och betrkt integrlekvtionen u(x) = + λ θ(x y + )(x y)u(y)dy, x Använd Lplcetrnsformen för tt bestämm egenvärden och de tillhörnde egenfunktionern till denn ekvtion 84 * Strömmen i en LRC-krets med L = 3, R = 2, C = 2 (SI-enheter) och där vi pplicerr en spänning vid tiden t = 3 uppfyller följnde integrlekvtion I(t) = 6θ(t )(t ) + 2t + 3 Bestäm I(t) med hjälp v Lplcetrnsformen Z t (2 + 5(t y))i(y)dy 85 [S] Betrkt återigen försäljrens kontrollproblem (Exempel 84) Antg tt du vid tiden t = hr ntl vror i lger smt tt vrorn säljs med konstnt hstighet så tt ll vror säljs slut på tiden T Låt nu u(t) vr den hstighet (vror/tidsenhet) med vilken vi måste köp in ny vror för tt konstnt h stycken vror i lger ) Skriv ut integrlekvtionen som beskriver u(t) b) Lös denn och beräkn u(t) b) u(t) = T et/t 86 * ) Skriv integrlekvtionen (*) y(x) = λ k(x, ξ)y(ξ)dξ, där x( ξ), x ξ, k(x,ξ) = ξ( x), ξ x, som ett rndvärdesproblem b) Hitt egenvärden och de normerde egenvektorern till (*) Lös ekvtionen y(x) = f (x) + λ k(x, ξ)y(ξ)dξ, där k(x,ξ) är som i ) och λ n 2 π 2 för c) f (x) = sin(πkx), k Z, och d) f (x) = x 2 87 [S] Betrkt Fredholmekvtionen u(x) = f (x) + λ Z 2π cos(x +t)u(t)dt Bestäm lösningr för ll värden på λ smt nge eventuell villkor som krävs på f (x) för tt lösningr sk exister 88 Vis tt ekvtionen sknr icke-trivil lösningr Z π g(s) = λ (sinssin2t)g(t)dt

88 ÖVNINGSUPPGIFTER 85 89 [S] Lös integrlekvtionen sins = π Z u(t) t s dt, där Z innebär tt vi betrktr principlvärdet v integrlen (eftersom integrnden hr en singulritet i t = s) (Ledtråd: Använd residuestsen på integrlen Z e it s t dt) 82 Ange Lplcetrnsformen till den icke-trivil lösningen för följnde integrlekvtion Z s ( g(s) = s 2 t 2) g(t)dt Ledtråd: Skriv om kärnn på fltningsform och nvänd deriveringsregeln