G ru n d b eg repp. Kapitel In tro d u ceran d e ex em pel

Transkript

1 Kapitel 2 G ru n d b eg repp 2.1 In tro d u ceran d e ex em pel För att introducera den problematik och de frågeställningar som är aktuella inom reglertekniken skall v i i det följande betrakta ett par enkla ex empel på reglerproblem. Exempel F a rth å lla re. B etrakta automatisk farthållning i en bil, v ars av sikt är att hålla konstant hastighet. P å grund av ständigt v arierande förhållanden, såsom upp- och nerförsbackar, v arierande v indsty rka, v ägunderlag m.m. bör gaspedalens läge kontinuerligt justeras för att en konstant hastighet skall kunna upprätthållas. För att undersöka hur detta kan åstadkommas bör v i undersöka hur bilens hastighet y beror av de olika ov an beskriv na faktorerna samt hur v i med hjälp av gaspedalens läge kan påv erka hastigheten. För detta behöv er v i en matematisk modell som beskriv er sambandet mellan de ingående storheterna. E n sådan modell kan, åtminstone approx imativ t, bestämmas med hjälp av enkel mekanik. S ituationen kan illustreras enligt fi gur 2.1. E nligt N ew tons tröghetslag gäller am = F (2.1 ) där a = d y/ d t är accelerationen, m är bilens massa och F är den totala kraften som påv erkar bilen i färdriktningen. B ilen påv erkas av följande krafter: M otorns framdriv ande kraft F d. V i antar för enkelhets skull att denna kraft är direkt proportionell mot gaspedalens lägesv inkel u, F d (t) = k u(t) (2.2 ) V i antar således att motorn reagerar ögonblickligen på gaspedalens läge (v ilket giv etv is är en approx imation). 3

2 Gravitationskraftens komponent F g i vägen plan (jfr figur 2.1), där ϕ(t) är vägens lutning (ϕ = 0 motsvarar plan väg). F g (t) = mg sin(ϕ(t)) (2.3) L uftmotstånd (F lu ft ). D enna kraft ökar med stigande hastighet och vi kan som en relativt god approximation anta att den är direkt proportionell mot skillnaden mellan hastigheten y och vindhastigheten v v in d i bilens färdriktning, där b är en luftmotståndskoeffi cient. F lu ft (t) = b[y(t) v v in d (t)] (2.4) Friktionsmotstånd från däck, F f (t). Vi antar att denna kraft, som är riktad mot bilens färdrikting och därför negativ, beror endast av vägunderlaget. Eftersom a = dy/dt ger ekvation (2.1) med F = F lu ft + F d + F g + F f, eller m dy(t) dt = b[y(t) v v in d (t)] + ku(t) + F g (t) + F f (t) (2.5 ) m dy(t) + by(t) = ku(t) + d(t) (2.6 ) dt där d(t) = bv v in d (t) + F g (t) + F f (t). I modellen (2.6 ) anger y den variabel som skall regleras (hastigheten, som skall hållas konstant), u anger den variabel som manipuleras för att påverka systemets beteende (gaspedalens läge), och d(t) anger en yttre störning som påverkar den reglerade variabeln, och som i detta exempel består av vindens inverkan, gravitationskraften och friktionsmotståndet. Vi skall återkomma till problemet hur automatisk farthållning kan åstadkommas, men före det skall vi betrakta ytterligare ett exempel. Modellen (2.6 ) känns igen som en diff erentialekvation, närmare bestämt en linjär diff erentialekvation av första ordningen. D e system som är aktuella inom reglertekniken beskrivs vanligen just av diff erentialekvationer. För att illustrera saken betraktar vi följande exempel. Exempel T emperatu rreg lerin g. Betrakta ett temperaturregleringsproblem enligt figur 2.2. T emperaturen T i ett rum skall hållas konstant trots variationer i yttertemperaturen T y. Värmeförlusterna genom väggarna är direkt proportionella mot temperaturskillnaden T T y, dvs eff ektförlusterna ges av Eff ekt ut = k(t T y ) (2.7 ) 4

3 Figur 2.1: Schematisk illustration av farthållningsproblemet. Temperaturen kan regleras med hjälp av effekten P i ett värmeelement. Vi antar för enkelhets skull att luftens omblandning är god, så att temperaturen kan anses densamma i hela rummet. O m P är mindre än värmeförlusten genom väggarna kommer T att minska, och om P är större än värmeförlusten genom väggarna kommer T att öka. Enligt en enkel energibalans för rummet är Ä ndring av upplagrad energi = [Effekt in] [Effekt ut] (2.8 ) per tidsenhet Den totala mängden luft i rummet är ρv, där ρ är luftens densitet och V är rummets volym. Ä ndringen av upplagrad energi per tidsenhet är således cρv dt dt, där c är luftens specifika värmekapacitet. Vi får alltså cρv dt dt = P k(t T y) (2.9 ) eller cρv dt dt + kt = P + kt y (2.10) Modellen (2.10) kan jämföras med modellen (2.6) i farthållningsproblemet. I modellen (2.10) anger T den variabel som skall regleras (temperaturen), P anger den variabel som manipuleras 5

4 för att påverka systemets beteende (effekten till värmeelementet), och T y är en yttre störning som påverkar den reglerade variabeln. Figur 2.2: Schematisk illustration av temperaturregleringsproblemet. Vi har sett att såväl bilen i exempel 2.1 som temperaturen i exempel 2.2 kan beskrivas med hjälp av en differentialekvation. Detta är typiskt för s.k. dynamiska system. I de enkla exemplen ovan fick vi differentialekvationer av första ordningen. I allmänhet brukar systemen emellertid vara mera komplicerade, och man får differentialekvationer av högre ordning. Eftersom systemen i exemplen ovan kan beskrivas av samma typer av ekvationer, så kan reglerproblemen i de båda fallen lösas genom att studera det generella problemet att reglera system som beskrivs av differentialekvationer. Vi behöver alltså inte studera farthållningsreglering, temperaturreglering, osv separat, utan det räcker med att helt generellt studera regleringen av system som beskrivs av en viss typs differentialekvationer. Däremot är givetvis den praktiska implementeringen (såsom mätapparatur m.m.) problemspecifik. U r det ovan sagda följer att reglerteknik är en generisk metodvetenskap som inte är bunden till någon speciell del av tekniken. På engelska talar man om enabling technology, för att betona att det är frågan om en metodik som gör det möjligt att realisera önskade beteenden och funktioner hos tekniska system. I detta avseende har reglertekniken likheter med ingenjörsmatematiken och datatekniken. R eglertekniska problem är viktiga inom alla delar av tekniken och reglerteknik är därför ett ämne som studeras inom fl era ingenjörsområden, såsom: 6

5 Elektroteknik. Reglering av elmotorer, reglering av spänningsaggregat, UPS m.m. Robotik. Reglering av robotar rörelse, automatisk navigation m.m. Mekanik. Varvtalsreglering av motorer, aktivfjädring, ABS bromsar m.m. Processteknik H öga kvalitetskrav på framställda produkter, begränsningen av t.ex. råmaterialanvändning, energiförbrukning och utsläpp till ett minimum skulle inte kunna uppnås utan långt gående reglering och automation av processerna. Reglertekniken utgör ett av de viktigaste verktygen för att uppnå kvalitets- och produktivitetkraven inom processindustrin. Datateknik. Reglering förverkligas i praktiken med hjälp av datorer. Regler- och styrprogrammen är realtidssystem och dessutom ofta inbyggda system. Reglering och automation hör till de viktigaste tillämpningsområdena av datateknik. Reglerproblem är, såsom vi skall se, också av intresse utanför tekniken, t.ex. inom ekonomin eller medicinen. Mera teoretiska aspekter av reglerproblem studeras dessutom i tillämpad matematik. 2.2 Signaler och system Vi har i samband med exemplen ovan talat om variabler, såsom y(t), u(t) osv, som är funktioner av tiden. Sådana variabler kallas signaler, och de kan karakteriseras genom att de innehåller information av olika slag. Signalen y(t) i exempel 2.1 ger t.ex. information om bilens hastighet som funktion av tiden. Förutom signaler har vi sy stem, som kännetecknas av den verkan de har på signaler. Bilen i exempel 2.1 är ett system som beskriver hur signalen y(t) beror av signalerna u(t) och d(t) B lock schema Man brukar ange sambanden mellan olika signaler och system i form av blockscheman. Figur 2.3 visar ett system S med två insignaler, u(t) och d(t), samt en u tsignal y(t). H är är u(t) en sty rsignal, som vi kan manipulera för att påverka systemet, medan d(t) är en störning, som vi ej kan manipulera men som påverkar systemet. Signalen y(t) är en u tsignal från systemet, som vi kan mäta. 7

6 d u S y Figur 2.3: Ett system S med styrsignalen u, störningen d och utsignalen y. Exempel 2.3 Bilen i exempel 2.1 är ett system med styrsignalen u(t) (gaspedalens läge) och störningen F g (gravitationskraften), samt utsignalen v(t) (hastigheten). Själva systemet beskrivs av sambandet mellan insignalerna och utsignalerna, dvs differentialekvationen (2.6). Blockschema är bekväma för att åskådliggöra strukturen hos sammansatta system. K onstruktionen av blockschema kan göras med hjälp av elementen i figurerna Figur 2.4 visar två seriekopplade system, där utsignalen y 1 från systemet S 1 är insignal till systemet S 2. Figur 2.5 visar förgrening av en signal. Observera att signalerna här uppfattas som funktioner eller informationsflöden, och förgreningen skapar således två identiska kopior av signalen u. K ombination av två signaler genom addition eller subtraktion symboliseras med en cirkel enligt figur 2.6. Mera komplexa systemkopplingar kommer att behandlas längre fram. u S 1 y 1 S 2 y Figur 2.4: Seriekopplade system Statiska och dynamiska system Det är viktigt att skilja mellan statiska och dynamiska system. Ett statiskt system kännetecknas av att utsignalen y(t) är beroende av endast insignalens värde u(t) vid samma tidpunkt, dvs y(t) = f(u(t)) (2.11) 8

7 u u u Figur 2.5: Förgrening av signal. där f(u) är funktion. Figur 2.7 visar insignalen och utsignalen hos ett statiskt system, då det sker stegvisa förändring i insignalen. Utsignalen följer insignalen ögonblickligen, utan någon tröghet. I motsats till statiska system har dynamiska system en tröghet som gör att utsignalen y(t) är beroende av tidigare värden på insignalen u, dvs y(t) = F (u(τ),τ t) (2.12) Dynamiska system system kan vanligen modelleras med hjälp av differentialekvationer, av vilka vi sett exempel på i exempel 2.1 och 2.2. Problem 2.1 Beskriv en elektrisk krets bestående av ett motstånd med resistansen R som ett system, där spänningen u(t) över motståndet är insignal och strömmen i(t) är utsignal. Är systemet statiskt eller dynamiskt? Problem 2.2 Beskriv en elektrisk krets bestående av en spole med induktansen L i serie med ett motstånd med resistansen R som ett system, där spänningen u(t) över kretsen är insignal och strömmen i(t) är utsignal. Är systemet statiskt eller dynamiskt? Exempel 2.4 Enk elt d y namisk t sy stem. Betrakta ett dynamiskt system y = Su (2.13) som beskrivs differentialekvationen dy(t) dt + ay(t) = bu(t) (2.14) 9

8 u u 1 + u 2 u 1 u 1 u 2 + u 2 u 2 (a) (b) Figur 2.6: Summering (a) och subtraktion (b) av signaler. Figur 2.8 visar insignalen u(t) och utsignalen y(t) hos systemet för stegvisa förändringar i insignalen. Parametervärdena a = 1, b = 1 har använts i figuren. Vi kan i detta skede göra några kvalitativa observationer av systemets beteende. Observera att på grund av systemets tröghet dröjer det en stund innan utsignalen fått sitt nya värde efter insignalens förändring. Om insignalen u är konstant, dvs u(t) = u 0 = konstant, kommer utsignalen y att asymptotiskt närma sig värdet y = b a u 0 (ty för detta värde är dy/dt = 0 och ingen ytterligare förändring hos y fås). Storheten b a kallas systemets stationära förstärkning. Systemets dynamiska, eller transienta, beteende bestäms å sin sida av parametern a: ju större positivt värde a har, desto snabbare varierar y(t). Detta kan ses om man definierar avvikelsen (differensen) y diff (t) från det nya stationärvärdet efter stegförändringen u 0, dvs y diff (t) = y(t) b a u 0. Eftersom dy diff (t)/dt = dy(t)/dt och ay diff (t) = ay(t) bu 0 ger insättning i (2.14) följande differentialekvation för y diff (t): dy diff (t) dt + ay diff (t) = 0 (2.15) Vi ser att för en given avvikelse y diff (t) gäller att derivatan dy diff (t)/dt = dy(t)/dt är desto större ju större värde parametern a har. Detta innebär att systemet reagerar desto snabbare 10

9 u y tid Figur 2.7: Responsen hos ett statiskt system. ju större värde parametern har. Systemets transienta och stationära responser kan anges mera explicit i systemekvationen genom att skriva denna i formen T dy(t) dt + y(t) = Ku(t) (2.16) där K = b/a är den stationära förstärkningen och T = 1/a kallas systemets tidkonstant, och är direkt proportionell mot den tid som det tar för systemet att reagera för en förändring i insignalen. Trögheten hos dynamiska system beror vanligen på olika typers energiupplagring eller på transportfördröjningar. I farthållningsexemplet är det bilens upplagrade rörelseenergi som ger upphov till trögheten, och i temperaturregleringexemplet är det den i luften lagrade värmeenergin. I Problem 2.2 lagras energi i spolens elektromagnetiska fält. Trögheten gör att insignalen u(t) till ett dynamiskt system påverkar det framtida förloppet hos systemets utsignal y(t). För att kunna reglera och styra dynamiska system är det därför viktigt att ha en modell som beskriver det framtida beteendet hos systemet. 2.3 Systemtekniska ämnen Signaler och system är viktiga inte endast inom reglertekniken, utan mera allmänt inom s.k. systemvetenskaper. Speciellt viktiga är dessa begrepp inom signalbeh andling. Medan 11

10 u y tid Figur 2.8: Respons hos systemet som beskrivs av ekvation (2.14) för stegformiga förändringar i insignalen. man inom reglertekniken använder information i uppmätta signaler för att kunna påverka ett system så att det beter sig på önskat sätt, är man inom signalbehandlingen intresserad av att manipulera själva signalerna, t.ex. för att filtrera bort brus eller komprimering av data som en signal innehåller. Exempel Eff ektreglering i mobiltelefoni. Den mottagna signalstyrkorna från de olika mobiltelefonerna till basstationen hålls konstanta oavsett avståndet till basstationen, jfr figur 2.9. Detta sker genom att basstationen sänder information om den mottagna signalstyrkan till mobiltelefonen, som ändrar effekten på den utsända signalen enligt behov. Detta är ett reglerproblem: mätningar från systemet (styrkan hos mottagen signal) används för att manipulera systemet (den utsända signalens effekt). Exempel S ignalfi ltrering i mobiltelefoni. Signalen mellan basstation och mobiltelefon påverkas på grund av flervägsutbredning, jfr figur Detta kan beskrivas med hjälp av ett system S som påverkar den utsända signalen s: y = Ss (2.17) där y är den vid telefonen mottagna signalen. Den ursprungliga signalen s kan rekonstrueras från den mottagna signalen y genom att bestämma ett filter F, så att ŝ = Fy s (2.18) 12

11 Figur 2.9: Mobiltelefonerna justerar den utsända effekten på basen av den mottagna signalstyrkan vid basstationen. För att kunna bestämma filtret F bör systemet S vara känt. Detta är ett signalbehandlingsproblem: signalen från systemet filtreras för att ta fram den ursprungliga signalen, men själva systemet manipuleras inte. Figur 2.10: Den mottagna signalen y vid mobiltelefonen är förvrängd på grund av flervägsutbredning. Den ursprungliga signalen s kan rekonstrueras genom filtering av y. 13

12 2.4 Begreppet återkoppling Vi skall nu titta något närmare på de principer som används för att lösa reglerproblem av den typ som diskuterats ovan. Vi betraktar farthållningsproblemet i exempel 2.1. Bilens hastighet kunde (åtminstone approximativt) beskrivas med differentialekvatioen (2.6), som vi här återger i något modifierad form: dy(t) dt + a 1 y(t) = b 1 u(t) + c 1 d(t) (2.19) där a 1 = b/m, b 1 = k/m och c 1 = 1/m. Anta nu att den önskade hastigheten, eller hastighetens börvärde, är y(t) = r (t.ex. r = 80 km/ h). Enligt modellen (2.19) är y(t) = r om vi väljer insignalen u(t) = 1 b 1 [a 1 r c 1 d(t)] (2.20) ty då är dy/dt = 0 för det önskade värdet y(t) = r. Insignalvalet (2.20) ger således det önskade stationära värdet hos y. Enligt (2.20) och (2.19) ges den transienta responsen, då hastigheten y(t) är olikt r, av dy(t) + a 1 y(t) = a 1 r (2.21) dt Detta är ett system av första ordningen, med en dynamik av den typ som vi hade i exempel 2.4. Om y(t) är olikt r i början, tar det därför en tid innan hastigheten närmat sig r. Trots att ovan beskrivna förfarande verkar att fungera i teorin har den emellertid några uppenbara nackdelar: Metoden kräver att störningen d(t) är exakt känd. M.a.o. skall gravitationskraften F g (t), luftmotståndet bv vind (t) samt friktionsmotståndet F f vara exakt kända för att proceduren skall kunna tillämpas. Vi kunde förstås i princip mäta vägplanets lutning ϕ och bilens massa m, och därmed bestämma F g (t) = mg sin(ϕ(t)). Även luftmotståndet kan uppskattas genom att noggrant bestämma luftmotståndskoefficienten b och vindstyrkan v vind (t). Detta förfarande har den uppenbara nackdelen att den fordrar noggrann kännedom om alla störningar (F g (t), v vind (t), F f osv) och andra faktorer (såsom b) som påverkar den reglerade utsignalen. I praktiken är det emellertid i allmänhet helt orealistiskt att ha fullständig kunskap om alla störningar som påverkar ett system. Även om kännedom om alla faktorer som påverkar y(t) funnes, har vi inte påverkat snabbheten hos dynamiken i ekvation (2.21). Svarets snabbhet bestäms av a 1 = b/m. Om m är stort kan förändringen i hastigheten ske mycket långsamt! Begränsningen med det ovan beskrivna förfarandet är att man försöker bestämma styrsignalen u(t) som en funktion av endast sådana variabler som påverkar den reglerade signalen y(t), 14

13 d r + e u y G c G p Figur 2.11: Ett återkopplat system. men utnyttjar ej mätningar av själva y! Genom att också utnyttja mätning av y(t) får vi information om avvikelsen från det önskade värdet, r y(t). Genom att utnyttja denna mätning kan otillräcklig kunskap om störningarna och systemet kompenseras. Dessutom är det möjligt att göra systemets respons snabbare. Principen att bestämma styrsignalen u(t) som funktion av den reglerade utsignalen kallas återkoppling (eng. feedback; fi. takaisinkytkentä). Situationen illustreras i figur 2.11, som visar hur utsignalen y(t) från systemet G p återkopplas för att bestämma styrsignalen. Kretsen i figur 2.11 kallas återkopplad krets eller sluten krets. Blocket G c kallas regulator. Signalen r är börvärdet eller ledvärdet för utsignalen y, och signalen e(t) = r y(t) (2.22) är regleravvikelsen eller reglerfelet. Det visar sig att återkopplingsprincipen i all sin enkelhet är en mycket kraftfull metod för att påverka dynamiska systems beteende. Vi skall illustrera effekten av återkoppling genom att undersöka vad som händer om vi använder den enkla reglerlagen u(t) = K p [r y(t)] = K p e(t) (2.23) dvs regulatorn är en konstant, G c = K p. Reglerlagen (2.23) kallas proportionell regulator eller helt enkelt P -regulator, eftersom styrsignalen u(t) är direkt proportionell mot regleravvikelsen r y(t). Substitution av (2.23) i systemekvationen (2.19) ger för den slutna kretsen differentialekvationen dy(t) + (a 1 + b 1 K p )y(t) = b 1 K p r + c 1 d(t) (2.24) dt Vi ser att för en konstant stegstörning d(t) = d, konvergerar utsignalen mot det stationära svaret (jfr exempel 2.4) y(t) b 1K p c 1 r + d då t (2.25) a 1 + b 1 K p a 1 + b 1 K p 15

14 För stora värdet på regulatorparametern K p gäller enligt (2.25) y(t) r då t. Förutom det stationära svaret har även den transienta responsen påverkats. Eftersom systemets transienta respons beror av värdet hos storheten a 1 + b 1 K p, kan den i princip göras godtyckligt snabb genom att göra K p stor. Vi har således med den enkla proportionella reglerlagen (2.23) kunnat minska störningarnas inverkan samt gjort systemets transienta respons snabbare utan att mäta störningarna d(t). Resultatet beror inte heller av någon kunskap om systemparametern a 1. Fullständig eliminering av en stegstörnings inverkan kräver emellertid ett oändligt stort värde på K p. Det visar sig att K p i praktiken inte kan göras hur stort som helst, eftersom t.ex. små tidsfördröjningar, som alltid finns i verkliga system, då gör att den slutna kretsen blir instabil. (I farthållningsexemplet har vi t.ex. försummat motorns dynamik.) De begränsningar som stabilitetskravet innebär kommer att diskuteras senare. För att undvika stationära regleravvikelser efter en stegstörning behöver vi i stället för P-regulatorn en reglerlag som kontinuerligt justerar u(t) så länge y(t) är olikt referensvärdet r. M.a.o. skall u(t) ökas så länge y(t) < r och minskas så länge y(t) > r, tills ett sådant värde för u(t) uppnåtts för vilket y(t) = r. Detta är precis vad en människa skulle göra för att reglera y(t) till börvärdet. Matematiskt kan en sådan reglerlag beskrivas med hjälp av en integrator i formen t t u(t) = K i [r y(τ)] dτ = K i e(τ)dτ (2.26) τ= 0 Reglerlagen (2.26) kallas integrerande regulator eller helt enkelt I-regulator. Principen hos en I-regulator är den, att så länge r y(t) > 0 ökar integralens värde, varvid u(t) blir större och får värdet hos y(t) att växa. Detta håller på tills y(t) = r, dvs regleravvikelsen har körts till noll, varefter u(t) har ett konstant värde. En liknande funktion gäller om r y(t) < 0. På detta sätt elimineras inverkan av stegstörningar så att ingen stationär avvikelse fås. Observera att detta har uppnåtts utan att känna till stegstörningens storlek! En svaghet hos I-regulatorn är att eftersom regleravvikelsen r y(t) integreras blir I- regulatorns respons mot reglerfel långsam. I-regulatorns förmåga att eliminera stationära regleravvikelser och P-regulatorns snabba respons kan kombineras i PI-regulatorn u(t) = K p e(t) + K i t τ= 0 τ= 0 e(τ)dτ (2.27) Observera att PI-regulatorn reagerar först då ett reglerfel orsakad av en störning redan förekommer, dvs e(t) = r y(t) 0. För att förekomma en regleravvikelse redan innan den hunnit uppstå inför man därför vanligen ytterligare en deriverande term i regulatorn. På detta sätt fås en PID -regulator, som ges av u(t) = K p e(t) + K i t τ= 0 e(τ)dτ + K d de(t) dt (2.28) 16

15 Avsikten med den deriverande termen är att få styrsignalen u(t) att reagera på förändringsriktningen hos y(t), för att på detta sätt kunna motverka en regleravvikelse redan innan den hunnit uppstå. På detta sätt kan regulatorns respons göras snabbare. I praktiken kan den deriverande verkan K d emellertid inte göras hur stor som helst, eftersom regulatorn då blir alltför känslig mot det brus som man alltid har i praktiken. De olika regulatortypernas egenskaper illustreras i figurerna som visar styrsignalen u(t) och utsignalen y(t) för systemet (2.19) efter en stegformad störning. d u y tid Figur 2.12: Responsen hos systemet (2.19) utan reglering för stegformad störning. d u y tid Figur 2.13: Responsen för stegformad störning då systemet (2.19) regleras med en P-regulator (2.23). 17

16 d u y tid Figur 2.14: Responsen för stegformad störning då systemet (2.19) regleras med en I-regulator (2.26). d u y tid Figur 2.15: Responsen för stegformad störning då systemet (2.19) regleras med en PIregulator (2.27). PID-regulatorn är den överlägset vanligaste standardregulatorn för enkla reglerproblem i industrin och andra tekniska system, och den finns implementerad i alla processdatorsys- 18

17 d u y tid Figur 2.16: Responsen för stegformad störning då systemet (2.19) regleras med en PIDregulator (2.28). tem. För mera komplicerade reglerproblem, där systemet som skall regleras har ett mera komplicerat dynamiskt beteende, behövs dock mera invecklade reglerstrategier. En ännu enklare regulatorn är på-av-regulatorn eller O N -O F F -regulatorn. I en på-avregulator har styrsignalen u endast två värden: u max och u min, och värdet bestäms beroende på om systemets utsignal är större eller mindre än ledvärdet, t.ex. { umax om y(t) < r u(t) = om y(t) > r u min (2.29) På-av-regulatorer används i enkla system som ofta har en långsam dynamisk respons, och för vilka det räcker med att y(t) är i närheten av ledvärdet r. Typiska tillämpningar av på-av reglering är olika typer av temperaturregleringsproblem (jfr exempel 2.2), såsom reglering av temperaturen i hus eller bilar, kylskåp, strykjärn, osv. Här slås uppvärmningen på eller av beroende på temperaturen. Det diskontinuerliga funktionssättet hos regulatorn får utsignalen (temperaturen) att svänga kring ledvärdet, men detta kan mycket väl accepteras i de flesta temperaturregleringsproblem. Framkoppling Trots att återkoppling av den reglerade signalen är viktig för att kunna kompensera för inverkan av delvis okända störningar kan information om störningar naturligtvis utnyttjas för att uppnå bättre resultat. I farthållningsexemplet kunde t.ex. information om en 19

18 G f d r + e G c u G p y Figur 2.17: Ett system med återkoppling och framkoppling. störning i form av en kommande uppförsbacke användas för att accelerera redan innan en minskning av hastigheten fås. Denna princip att använda (partiell) kunskap om störningar för att bestämma den manipulerbara styrsignalen kallas framkoppling (eng. feedforward; fi. myötäkytkentä). Figur 2.17 visar ett blockschema av ett reglersystem med framkoppling. 2.5 Digital reglering Regulatorer implementeras idag nästan uteslutande digitalt med hjälp av datorer. Detta innebär att den ovan beskrivna PID-regulatorn kan förverkligas endast approximativt. Figur 2.18 visar ett typiskt digitalt reglersystem. Den kontinuerliga utsignalen y(t) diskretiseras med hjälp av en A/D-omvandlare, som genererar en diskret sekvens, y k = y(kh), k = 0, 1, 2,... (2.30) Här är h samplingstiden (eng. sampling time; fi. näytteenottoväli). Sekvensen y k, k = 0, 1, 2,... processeras sedan digitalt för att generera en diskret styrsignalsekvens u k, k = 0, 1, 2,... till systemet. För system med en kontinuerlig dynamik bör den diskreta styrsignalen omvandlas till en kontinuerlig styrsignal u(t) till systemet. Detta utförs med en D/Aomvandlare, som genererar en styckevis konstant styrsignal enligt u H (t) = u k, kh t < kh + h (2.31) Efter D/A-omvandlaren brukar man ännu ha ett filter H för att utjämna diskontinuiteterna hos u H (t). Den digitala regulatorn G d som beräknar styrsignalen u k ur mätsignalen y k kan bestämmas på olika sätt. Om samplingstiden är kort är en vanlig metod att helt enkelt diskretisera den 20

19 kontinuerliga systemmodellen eller reglerlagen genom att approximera derivator med finita differenser och integraler med summor. Om vi inför derivata-approximationen dy(t) dt 1 [y(t + h) y(t)] (2.32) h fås t.ex. för systemet som beskrivs av differentialekvationen (2.19) den diskreta approximationen 1 h [y(kh + h) y(kh)] + a 1y(kh) = b 1 u(kh) + c 1 d(kh) (2.33) eller y(kh + h) + (ha 1 1)y(kh) = hb 1 u(kh) + hc 1 d(kh) (2.34) Införs beteckningarna y k = y(kh), u k = u(kh), d k = d(kh) och a d = ha 1 1, b d = hb 1, c d = hc 1 fås y k+ 1 + a d y k = b d u k + c d d k (2.35) vilket är en differensekvation av första ordningen. De kontinuerliga standardregulatorerna har sina diskreta motsvarigheter, så att en diskret (digital) P-regulator ges av u k = K p e k, (2.36) en digital I-regulator ges av och en digital PID-regualtor ges av k u k = K i e n (2.37) n=1 k u k = K p e k + K i e n + K d [e k e k 1 ] (2.38) n=1 Den digitala PID-regulatorn brukar implementeras i en s.k. differensform, u k = u k 1 + K p [e k e k 1 ] + K i e k + K d [e k 2e k 1 + e k 2 ] (2.39) där summan i uttrycket (2.38) eliminerats genom att subtrahera u k 1 från u k. Exempel D igital effektreglering i mobiltelefoni. Ett enkelt exempel på hur en digital I-regulator fungerar är effektregleringen i mobiltelefoni, jfr exempel 2.5 och figur 2.9. Låt u k beteckna effekten hos den utsända signalen under tidsintervalllet k, och låt y k vara styrkan hos den mottagna signalen under samma tidsintervall. Man strävar till att signalstyrkan vid mottagaren har ett givet värde r. Eftersom signalens 21

20 r k e k u k u H (t) G d D/A + H u(t) G p y(t) A/D y k Figur 2.18: Digitalt reglersystem. dämpning varierar som funktion av avstånd och terräng bör effekten hela tiden ändras så att önskad mottagen signalstyrka kan upprätthållas. Enda sättet att på ett tillfredsställande sätt uppnå detta i praktiken är via återkoppling, så att u k ökas så länge y k < r och minskas så länge y k > r. Detta motsvarar digital I-reglering enligt k u k = K i [r y n ] n=1 där K i > 0. Reglerlagen kan även skrivas i formen u k = u k 1 + [r y k ] vilket explicit visar att reglerlagen har de önskade egenskaperna, dvs u k > u k 1 om r y k > 0 och u k < u k 1 om r y k < Exempel på återkoppling Återkoppling är en mycket kraftfull metod för att påverka systems beteende även i sådana fall då systemets dynamik eller störningarna är endast ofullständigt kända. Såsom vi sett kan t.ex. regleravvikelsen pga en okänd stegstörning fullständigt elimineras med en integrerande regulator. Det är därför naturligt att återkopplingsprincipen utnyttjas också i flera sammanhang utanför tekniken. I nästan alla processer som kan beskrivas med de mycket generella begreppen signaler och system finner man återkoppling av signaler. Viktiga exempel finns bl.a. inom ekonomiska och biologiska system. Exempel Å terkoppling i v ardagen. När vi går eller cyklar håller vi oss upprätta genom att använda den information som våra sinnen ger oss. Utan denna återkoppling skulle vi mycket snabbt tappa balansen och falla. 22

21 När vi griper ett föremål återkopplar vi visuell information av föremålets läge i förhållande till handen. Robotar kan på liknande sätt styras av visuell information från en digitalkamera för att gripa föremål. Vi justerar temperaturen i en dusch genom att känna på temperaturen och manipulera varm- eller kallvattenkranen tills rätt temperatur fås. En föreläsare får återkoppling eller feedback (fi. palaute ) från åhörarna via frågor, kritik, diskussioner o.dyl. Om han beaktar denna feedback har vi ett sluten krets som kan konvergera till ett, förhoppningsvis bättre, tillstånd. Utan sådan återkoppling vet föreläsaren ej vad åhörarna får ut av föreläsningen. En studerande är missnöjd med sitt tentresultat och förbereder sig bättre till följande tillfälle. Den studerande använder tentresultatet för återkoppling så att önskat resultat uppnås. En hund jagar en katt. Detta kan tolkas som återkoppling där kattens position är börvärdet för hunden. På liknande sätt söker en målsökande missil sig till ett rörligt mål. Du skall behandla andra så som du själv vill bli behandlad. Inom ekonomin finns flera fenomen som kan beskrivas i form av dynamiska system. Detta gäller t.ex. nationalekonomin eller aktiemarknaden, vars respons till olika variabler uppvisar en tröghet. I de ekonomiska systemen finns också flera exempel på återkopplingsmekanismer. Exempel Återkoppling i nationalekonomin. Den ekonomiska aktiviteten kan styras på olika sätt, t.ex. med hjälp av skattenivån. Med en god politik kan ekonomisk aktivitet stimuleras under en lågkonjunktur genom skattesänkningar, medan överhettning inom ekonomin kan reduceras genom skattehöjningar under en högkonjuktur. Ekonomin är emellertid ett dynamiskt system, som reagerar på förändringar med en viss tröghet. Det är därför viktigt att göra förändringar av olika slag vid rätta tidpunkter. Politiker som fattar beslut om skatter är emellertid också dynamiska system i sin beslutsfattning. Därför är det vanligt att förändringarna görs när det redan är för sent: skattelättnader introduceras när konjunkturerna redan svängt till högkonjunktur, och höjda skatter införs först under lågkonjunkturen. I denna situation gör återkopplingen från eknomin till beslutsfattning konjunktursvängningarna snarare kraftigare än mindre. Inom biologin finns flera viktiga processer och fenomen, som kan förstås och analyseras inom ramen för teorin om dynamiska system och återkoppling. Detta beror på att livet i hög grad går ut på att reagera på omgivningen, och är därför på sätt och vis en stor reglerprocess. Viktiga återkopplingsprocesser inom biologin finns i synnerhet inom fysiologin, 23

22 i cellernas funktion samt inom ekosystemen. En viktig skillnad mellan tekniska och biologiska system är, att medan man i tekniska system konstruerar en regulator för att få en önskad funktion, så har i biologiska system hela den återkopplade kretsen uppstått samtidigt, genom olika evolutionsmekanismer. Det därför inte alltid självklart vad som är regulator och vad som är det reglerade systemet, utan återkopplingsmekanismens funktion är snarare att göra hela systemet mindre känsligt för externa störningar. Teorin för dynamiska system och återkoppling kan i dessa fall bidra till att skapa en förståelse för systemets funktion. Följande exempel ger en uppfattning om vilken roll dynamiska system och återkoppling spelar inom biologin. Exempel K roppens temperaturreglering. Kroppstemperaturen hålls mycket konstant oavsett ansenliga variationer i yttre temperatur och den genererade energin p.g.a fysisk aktivitet. Detta åstadkoms genom återkoppling så att blodets temperatur påverkar kroppens uppvärmnings- och avkylningsmekanismer, såsom svettning, mekanisk skakning och blodcirkulationen i de yttre blodkärlen. Utan återkoppling från temperaturen skulle konstant kropppstemperatur inte kunna upprätthållas. Exempel R eglering av blodets glukoshalt. Det faktum att blodets glukoshalt hålls mycket konstant har kunnat förklaras genom en fysiologisk återkopplingsmekanism. Halten glukos i blodet är så gott som konstant, ca 5 mmol/l, oavsett stora variationer i tillförd glukos, såsom när man äter sötsaker. Detta möjliggörs genom att en glukoshalt som överstiger 5 mmol/l leder till generering av insulin, som avlägsnar glukos från blodet, medan en glukoshalt som understiger 5 mmol/l leder till generering av ett annat hormon, glukagon, som i sin tur stimulerar avsöndringen av glukos från muskler och övriga organ till blodet. Detta är ett exempel på återkopplad reglering: den variabel som skall hållas vid ett konstant värde (glukoshalten) påverkar variabler (insulin- och glukagonhalterna) som i sin tur reglerar glukoshalten. En detaljerad analys av kroppens glukosreglering har visat att regleringen fungerar som en I-regulator, och kan kompensera mot konstanta belastningsstörningar som påverkar glukoshalten. Defekter i denna återkopplingsmekanism har allvarliga följder och leder till olika typer av diabetes. Exempel R eglering av proteinsyntes i c ellerna. Proteinsyntesen i cellerna styrs av cellkärnornas DNA. Syntesen av ett givet protein äger rum då aktuell gen är aktiv, varvid motsvarande nukleidsyresekvens i kärnans DNA översätts till proteinets aminosyresekvens. Ett protein framställs i korrekta mängder och vid rätta tidpunkter genom återkoppling: aktiviteten hos generna regleras av proteinkoncentrationerna. För att förstå cellernas funktion bör man reda ut återkopplingsmekanismerna. De dynamiska processerna i en cell är emellertid synnerligen komplicerade, och ett av de viktigaste målen inom cellbiologin för tillfället är att kartlägga dessa processer. Denna strävan har gett upphov till ett nytt tvärvetenskapligt område, den s.k. systembiologin. 24

23 Exempel Reglermekanismer i biosfären. Biosfären innehåller en del intressanta återkopplingsmekanismer som är viktiga för att förstå globala egenskaper såsom jordens klimat eller atmosfärens och oceanernas sammansättningar. Betrakta t.ex. följande fakta: Atmosfärens sammansättning har hållits praktiskt taget konstant den tid det funnits liv på land. Syrehalten är t.ex. vid det bekväma värdet 21 vol-%. Om värdet understeg ca 15 vol-% skulle en tändsticka slockna och vi skulle kvävas pga syrebrist, och om det översteg 25 vol-% skulle vegetationen självantändas. Den konstanta halten är anmärkningsvärd, eftersom syre reagerar med andra ämnen, och utan ett tillskott som exakt kompenserar den reagerade syremängden skulle halten ej kunna förbli konstant. Man vet att oceanernas salthalt har hållit sig mycket konstant under den tid det funnits liv i havet. Salthalten är vid en nivå som är lämplig för oceanernas djur- och växtliv. Den konstanta salthalten är anmärkningsvärd eftersom floder ständigt tillför nya mineral till oceanerna. I kombination med avdunstningen skulle detta leda till en gradvis ökning av salthalten (jämför Döda Havet). Det finns alltså någon mekanism som avskaffar salt från oceanerna som kompenserar för salttillförseln. J ordens medeltemperatur har hållit sig mycket konstant de senaste ca 3.5 miljarder åren, med en maximal avvikelse på ca ±5 C. Under samma period har solens strålning ökat med ca 30%. Man kan räkna ut att denna ökning i solens strålning skulle ge upphov till en betydande höjning av jordens medeltemperatur (flera tiotals grader) utan någon mekanism som motverkar denna höjning. Orsakerna till ovan beskrivan förhållanden är olika typer av biologisk aktivitet, som inför återkopplingsmekanismer. Ännu för 30 år sedan var den allmänt accepterade uppfattningen den, att biologiska organismer endast passivt adapterar sig till den omgivande miljön, och att det är just därför som miljön i varje enskilt fall är lämplig för djur- och växtlivet där. Man har först relativt nyligen, under de senaste åren, insett att situationen är mera komplicerad än så, och att den globala miljön även påverkas av biosfären genom olika sorters återkopplingar. Denna insikt har möjliggjorts dels tack vare ett nytt globalt perspektiv på jorden som helhet, och dels tack vare en ökad förståelse av dynamiska system. I de ovan nämnda exemplen har man följande typers återkoppling från biosfären: Atmosfärens sammansättning hålls konstant av biosfären. Syre tillförs atmosfären genom de gröna växternas fotosyntes. En ökning av syrehalten ökar biologisk aktivitet (såsom förmultning) och bränder, vilka förbrukar syre. En minskning av syrehalten åter gör de syreförbrukande processerna långsammare. 25

24 Den salt som tillförs oceanerna med floder och förvittring avlägsnas av mikro-organismer som binder mineral (bl.a. i sina skal) och sedimenteras på havets botten. Ju mera salt, desto flera mikro-organismer, vilket håller salthalten nere. Jordens medeltemperatur regleras via vegetationens inverkan: en höjd temperatur får växter som reflekterar infallande strålning att öka i antal, eftersom den lokala temperaturen är något lägre i närheten av dessa växter; en sjunkande temperatur åter får växter som absorberar infallande strålning att öka i antal, eftersom den lokala temperaturen är något högre vid dessa växter. Slutresultatet blir globalt att temperaturförändringar pga av variationer i infallande strålning motverkas: en ökad strålning ger upphov till en vegetation som reflekterar mera strålning, och en minskning av strålningen ger upphov till en vegetation som absorberar mera strålning. I vart och ett av fallen bidrar således biosfären med en återkopplingsmekanism som motverkar förändringar helt enkelt genom den inverkan som dessa förändringar har på biosfärens aktivitet. För att förstå de globala förhållandena på jorden bör dessa återkopplingar beaktas. Teorin att biologisk aktivitet påverkar atmosfärens och oceanernas sammansättningar och även klimatet kallas Gaia-teorin (från Gaia jordens gudinna i grekisk mytologi). Fenomenet är analogt med de fysiologiska reglerprocesserna, och man har därför också infört begreppet planetär fysiologi. Gaia-teorin har intressanta implikationer för diskussionen av miljöproblem, inte minst för den av människan förorsakade växthuseffekten. Teorin säger å ena sidan att biosfären har en förmåga att kompensera för inverkan av störningar, inklusive de som människan åstadkommer. Å andra sidan säger oss teorin också att denna förmåga är beroende av speciella återkopplingsmekanismer i miljön. Det är därför speciellt viktigt att värna om att naturens återkopplingsmekanismer hålls intakta. Om dessa mekanismer skadas kan följderna vara drastiska. Kunskapen om mekanismerna är ännu ganska bristfällig, men klart är att vegetation, såsom tropikernas regnskogar eller oceanernas plankton, spelar en viktig roll. 2.7 Negativ och positiv återkoppling I samtliga exempel hittills har effekten av återkopplingen varit att motverka förändringen hos ett system. Man talar i detta fall om negativ återkoppling. Om vi ändrar tecknet hos regulatorn G c i figur 2.11 kommer återkopplingens effekt att vara den omvända: en förändring i utsignalen påverkar insignalen i en riktning som ger upphov till en ännu större utsignalförändring. Detta kallas positiv återkoppling. Medan negativ återkoppling stabiliserar ett system vid ett önskat tillstånd, har positiv återkoppling motsatt verkan: systemet fås att snabbt driva ifrån starttillståndet. Positiv återkoppling har begränsad användning inom tekniken, men förekommer allmänt i andra situationer. Några exempel får belysa funktionen hos positiv återkoppling. 26

25 Autokatalys i kemiska reaktioner. Slutprodukten fungerar även som en katalysator för tidigare reaktionssteg, och därmed försnabbar reaktionen. Autokatalys förekommer allmänt i biokemiska reaktioner. Inom ekonomin finns en mängd positivt återkopplade processer. Ett exempel är introduktionen av nya produkter på marknaden. Försäljningen av t.ex. en mobiltelefon med nya egenskaper får fart först då tillräckligt många människor redan skaffat sig produkten. Detta är positiv återkoppling från produktens utbreddhet till försäljningen. En liknande återkoppling inom ekonomin gynnar stora producenter: en hög volym gör det möjligt att framställa billigare produkter och satsa på produktutveckling, med en ytterligare volymökning till följd. De rika blir allt rikare, de fattiga allt fattigare. återkoppling! Ett negativt exempel på positiv 2.8 Litteratur Det finns ett antal utmärkta läroböcker i reglerteknik. Nedan ges några svenskspråkiga böcker i området. En praktisk och mycket elementär introduktion till reglertekniska idéer ges av Hägglund (1997). Mera teoretiska introduktioner ges av Lennartson (2001), Glad och Ljung (1989), Schmidtbauer (1995) och Thomas (1992). Harnefors och medarbetare (2004) ger en generellare introduktion till signaler och system, som förutom reglerteknik också behandlar grunderna i signalbehandling. De icke-tekniska exemplen på reglerprocesser som i korthet beskrivits i avsnitt 2.6 inbegriper alltför omfattande problemområden för att kunna behandlas på grundkursnivå. För den intresserade kan vi nämna t.ex. Khoo (2000), som beskriver reglermekanismer i fysiologiska system. Gaia-teorin introducerades av den brittiske kemisten James Lovelock (1982). En kvantitativ behandling av dynamiska system och återkopplingsmekanismer i atmosfären och oceanerna diskuteras bl.a. i Kump och medförfattare (2000). Referenser Harnefors, Lennart, Holmberg, Johnny, Lundq vist, Joop (2004). Signaler och system. Liber AB. Hägglund, Tore (1997). Praktisk processreglering. Studentlitteratur. Khoo, Michael (2000). Physiological C ontrol Systems. IEEE Press. Kump, L. R., Kasting, J. F., C rane, R. G. (2000). T he E arth System. Prentice Hall. Lennartson, Bengt (2001). R eglerteknikens grunder. Studentlitteratur. Ljung, Lennart, Glad, Torkel (1989). R eglerteknik. Grundläggande teori Studentlitteratur. 27

26 Lovelock, James (1982). Gaia: A New Look at Life on Earth. Oxford University Press. Schmidtbauer, Bengt (1995). Analog och digital reglerteknik. Studentlitteratur. Thomas, Bertil (1992). M odern reglerteknik. Liber AB. 28