Grafalgoritmer. Föreläsning 9. Djupet-först-algoritm: Djupet-först-traversering Man besöker utgångsnoden och sedan dess grannar djupetförst

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Grafalgoritmer. Föreläsning 9. Djupet-först-algoritm: Djupet-först-traversering Man besöker utgångsnoden och sedan dess grannar djupetförst"

Transkript

1 rflgorimer öreläning 9 rflgorimer Trverering redden-för och djupe-för Konruer e (min) upppännnde räd inn vägrn från en nod ill ll ndr noder Kore vägen melln vå noder inn mximl flöde inn de mximl flöde melln vå noder jupe-för-rverering Mn eöker ugångnoden och edn de grnnr djupeför rekuriv. Underök en lyrin genom mrker de vägr mn gå med färg. Om grfen innehåller cykler finn de rik för oändlig rverering Löe genom håll red på om noden är eök eller ej. Om noden redn eök gör ingen rekuriv nrop. nd de noder mn kn nå från ugångnoden kommer eök. jupe-för-lgorim: lgorim dephir(node n, rph g) inpu: node n in grph g o e rvered viied(n, g) // Mrk he node viied neighourse! neighour(n, g); for ech neighour in neighourse do if no iviied(neighour) dephir(neighour, g) 5 dephir() dephir() dephir() * C Mrker noden om eök. rnnr = {,, } ej eök, rekuriv nrop. C * Mrker noden om eök. rnnr = {I,, } I ej eök, rekuriv nrop. 7

2 dephir() dephir() dephir() dephir() dephir(i) dephir(i) C Mrker noden om eök. rnnr = {J,, } J ej eök, rekuriv nrop. C Mrker noden om eök. rnnr = {, I} ej eök, rekuriv nrop. dephir(j) I* J K * 9 dephir() dephir() dephir() dephir() dephir(i) dephir(i) C * Mrker noden om eök. rnnr = {C, K,J} C ej eök, rekuriv nrop. dephir(j) dephir() * C Mrker noden om eök. rnnr = {, } ej eök, rekuriv nrop. dephir(j) dephir() dephir(c) dephir() dephir() dephir() dephir() dephir(i) dephir(i) * C Mrker noden om eök. rnnr = {,, C} redn eök ej eök, rekuriv nrop. dephir(j) dephir() dephir(c) dephir() C * Mrker noden om eök. rnnr = {,,, I} ll redn eök. dephir(j) dephir() dephir(c) dephir() dephir()

3 dephir() dephir() dephir() dephir() dephir(i) dephir(i) * C Nod : rnnr = {,, C} ll redn eök dephir(j) dephir() dephir(c) dephir() * C Nod C: rnnr = {, } ll redn eök dephir(j) dephir() dephir(c) 5 dephir() dephir() dephir() dephir() dephir(i) dephir(i) C * Nod : rnnr = {C, K, J} K ej eök, rekuriv nrop. dephir(j) dephir() C Mrker noden om eök. rnnr = {} redn eök. dephir(j) dephir() dephir(k) * 7 dephir() dephir() dephir() dephir() dephir(i) dephir(i) C dephir(j) dephir() C dephir(j) * * 9

4 dephir() dephir() dephir(i) dephir() dephir() C C * I* J K dephir() * C C K I J C Klr! Noer vi fick e upppännnde räd på mm gång. c c c c redden-för-lgorim d e d e d. Mrker noden om eök. rnnrn = {c, e, d} ekuriv nrop c.. Mrker noden om eök. Ing grnnr. Åergå ill, ny nrop e.. Mrker noden om eök. rnnrn = {, c} ekuriv nrop.. Mrker noden om eök. rnnrn = {c} c redn eök, åer ill c redn eök. Åer ill ny nrop d 5. Mrker noden om eök. rnnrn ={e}. edn eök. Åer. c e d e Mn underöker för noden, edn de grnnr, grnnrn grnnr ov. inn rik för oändlig körning här med om mn ine nvänder en mrkör för noden eök. nd noder ill vilk de finn en väg från ugångnoden kommer eök. n kö hjälper o håll red på grnnrn. d e 5

5 redden-för-lgorim: lgorim redhir(node n, rph g) inpu: node n in grph g o e rvered Queue q! empy(); viied(n, g) // Mrk he node viied q! enqueue(n, q); while no iempy(q) do newnode! fron(q) q! dequeue(q); neighourse! neighour(newnode, g); for ech neighour in neighourse do if no iviied(neighour) viied(neighour, g); q! enqueue(neighour, q); C Mrker noden om eök och lägg in den i kön. q = () T frm för elemene (), q = ( ) T edn frm grnnmängden ill S = {,, } 7 C ör vr och en v grnnrn: är ine eök, eök och lägg in i kön q = () C är ine eök, eök och lägg in i kön q = (, ) 9 C C q = (,, ), frm för elemene () q = (, ) T edn frm grnnmängden ill S = {,, C} är ine eök, eök och lägg in i kön q = (,, ) ör vr och en v grnnrn: och är eök C är ine eök, eök C och lägg in C i kön q = (,, C)

6 C q = (,, C), frm för elemene () q = (, C) T edn frm grnnmängden ill S = {,,, I},, och är eök I är ine eök, eök I och lägg in I i kön q = (, C, I) C q = (, C, I), frm för elemene () q = (C, I) T edn frm grnnmängden ill S = {,, I} ör vr och en v grnnrn: ll är eök C q = (C, I), frm för elemene (C) q = (I) T edn frm grnnmängden ill C S = {, } ör vr och en v grnnrn: är eök är är ine eök, eök och lägg in i kön q = (I, ) C q = (I, ), frm för elemene (I) q = () T edn frm grnnmängden ill I S = {,, J} och är eök J är ine eök, eök J och lägg in J i kön q = (, J) 5 C q = (, J), frm för elemene () q = (J) T edn frm grnnmängden ill S = {C, J, K} C och J är eök K är ine eök, eök K och lägg in K i kön q = (J, K) C q =(J, K), frm för elemene (J) q = (K) T edn frm grnnmängden ill J S = {I, } åd är eök q = (K), frm för elemene (K) q = () T edn frm grnnmängden ill K S = {} en är eök. Nu är kön om och lgorimen klr. 7

7 c c c c d e d e d e d e. Mrker noden om eök. q = (), frm för elem ur q. Le red på grnnrn = {c, e, d}. Mrker c om eök. Sopp in i kön q = (c). Mrker e om eök. Sopp in i kön q = (c, e). Mrker d om eök. Sopp in i kön q = (c, e, d) 5. T för ur kön (= c) q = (e, d), c hr ing grnnr. T för ur kön (=e) q = (d). e hr grnnrn = {} Mrker om eök. Sopp in i kön q = (d, ). T för ur kön (=d) q = (). rnnrn redn eök. T för ur kön (=) q = (). rnnrn redn eök. Kön om. Klr! c Kore-vägen-lgorim vid lik vik Om vi hr en grf med lik viker på ll ågr kn mn nvänd en vrin v redden-för rverering för eräkn kore vägen från en nod ill de ndr. lgorim redhir(node n, rph g) inpu: node n in grph g o e rvered Queue q! empy(); viied(n, g) // Mrk he node viied ei(n, ) q! enqueue(n, q); while no iempy(q) do newnode! fron(q) q! dequeue(q); neighourse! neighour(newnode, g); for ech neighour in neighourse do if no iviied(neighour) viied(neighour, g); ei(neighour, gei(newnode)+) q! enqueue(neighour, q); d e 9 C Om ll ågr hr vik I J C K Tidkomplexie ör åde redden-för och djupe-för gäller: Vrje nod eök exk en gång O(n) ör vrje nod följer mn ågrn u från noden för hi grnnrn. e ör vr effekiv O(grd(v)), vär flle är O(n). I oken nvigeringorienerde pec. hr vi O(grd(v)) Mängdorienerd pec. ger O(m) där m=nle ågr i noden ferom grnnmängden ehöver evluer en gång för vrje nod lir komplexieen O(" grd(v)) =O(m) Tol O(n) + O(m) Upppännnde räd åde redden-för och djupe-förrvereringrn gv o upppännnde räd. Om vi pr undn informionen vill äg Måe uök grfpecifikionen med operioner om öder de. Är de miniml? en ol längden i räde k vr miniml. Om vrje kn hr mm vik är räde miniml upppännnde för redden-för rverering. Skp med djupe-för j miniml C Upppännnde räd C Skp med redden-för Miniml

8 Upppännnde räd Hur hnerr mn grfer med viker? Mn öker e upppännnde räd med min möjlig ol längd. e är llå ine en kore-vägen lgorim ör mängdorienerd pecifikion finn Krukl lgorim ör nvigeringorienerd pecifikion finn Prim lgorim Prim lgorim år u på ygg upp e ll örre räd om ill lu pänner upp grfen eller en mmnhängnde komponen v den. Mn väljer i vrje eg en åge med miniml vik. Lik viker måe ehndl konekven. egeln yr hur de färdig räde er u. 5 Prim lgorim:. Välj en nod vilken om hel och mrker den om öppen. Lå den li ro.. Mrker den om ängd.. ör vr och en v (de icke-ängd) grnnrn:. Mrker den om öppen (om den ine är de).. Sopp in den kuell noden, grnnen och viken i en prioriekö. Är vikern lik k de ny elemene lägg in för i kön. (v relionen är #). T frm e elemen ur prioriekön och ild e ny delräd genom lägg in den åge om finn i elemene i räde. OS! Lägg end in ågen om lunoden ine är ängd! Lå ändnoden li den ny kuell noden, äng den och gå ill.. Välj en nod vilken om hel och mrker den om öppen. Lå den li ro. 7 P = ( (C,, ) ). Mrker den om ängd.. ör vr och en v (de icke-ängd) grnnrn:. Mrker den om öppen (om den ine är de).. Sopp in den kuell noden, grnnen och viken i en prioriekö. Är vikern lik k de ny elemene lägg in för i kön. (v relionen är #) 9 5

9 P = ( (C,, ), (C,, )) P = ( (C,, ), (C,, ), (C,, )). ör vr och en v (de icke-ängd) grnnrn:. Mrker den om öppen (om den ine är de).. Sopp in den kuell noden, grnnen och viken i en prioriekö. Är vikern lik k de ny elemene lägg in för i kön. (v relionen är #). ör vr och en v (de icke-ängd) grnnrn:. Mrker den om öppen (om den ine är de).. Sopp in den kuell noden, grnnen och viken i en prioriekö. Är vikern lik k de ny elemene lägg in för i kön. (v relionen är #) 5 5 P = ( (C,, ), (C,, ), (C,, 5), (C,, )) P = ((C,, ), (C,, 5), (C,, )). ör vr och en v (de icke-ängd) grnnrn:. Mrker den om öppen (om den ine är de).. Sopp in den kuell noden, grnnen och viken i en prioriekö. Är vikern lik k de ny elemene lägg in för i kön. (v relionen är #) 5. T frm e elemen ur prioriekön och ild e ny delräd genom lägg in den åge om finn i elemene i räde. OS! Lägg end in ågen om lunoden ine är ängd! Lå ändnoden li den ny kuell noden, äng den och 5 gå ill. P = ((,, ), (C,, ), (C,, 5), (C,, )) P = ((C,, ), (C,, 5), (C,, )) P = ((,, ), (C,, ), (C,, 5), (C,, )). ör vr och en v (de icke-ängd) grnnrn:. Mrker den om öppen (om den ine är de).. Sopp in den kuell noden, grnnen och viken i en prioriekö. Är vikern lik k de ny elemene lägg in för i kön. (v relionen är #). ör vr och en v (de icke-ängd) grnnrn:. Mrker den om öppen (om den ine är de).. Sopp in den kuell noden, grnnen och viken i en prioriekö. Är vikern lik k de ny elemene lägg in för i kön. (v relionen är #). T frm e elemen ur prioriekön och ild e ny delräd genom lägg in den åge om finn i elemene i räde. OS! Lägg end in ågen om lunoden ine är ängd! Lå ändnoden li den ny kuell noden, äng den och 55 gå ill. 5

10 P = ((,, ), (C,, ), (C,, 5), (,, ), (C,, )) P = ((C,, ), (C,, 5),(,, ), (C,, )). ör vr och en v (de icke-ängd) grnnrn:. Mrker den om öppen (om den ine är de).. Sopp in den kuell noden, grnnen och viken i en prioriekö. Är vikern lik k de ny elemene lägg in för i kön. (v relionen är #) 57. T frm e elemen ur prioriekön och ild e ny delräd genom lägg in den åge om finn i elemene i räde. OS! Lägg end in ågen om lunoden ine är ängd! Lå ändnoden li den ny kuell noden, äng den och 5 gå ill. P = ((C,, ), (C,, 5), (,, ), (,, ), (C,, )) P = ((C,, 5), (,, ), (,, ), (C,, )) P = ((C,, 5), (,, ), (,, ), (,, ), (C,, )). ör vr och en v (de icke-ängd) grnnrn:. Mrker den om öppen (om den ine är de).. Sopp in den kuell noden, grnnen och viken i en prioriekö. Är vikern lik k de ny elemene lägg in för i kön. (v relionen är #). T frm e elemen ur prioriekön och ild e ny delräd genom lägg in den åge om finn i elemene i räde. OS! Lägg end in ågen om lunoden ine är ängd! Lå ändnoden li den ny kuell noden, äng den och gå ill.. ör vr och en v (de icke-ängd) grnnrn:. Mrker den om öppen (om den ine är de).. Sopp in den kuell noden, grnnen och viken i en prioriekö. Är vikern lik k de ny elemene lägg in för i kön. (v relionen är #) 59 P = ((,, ), (,, ), (,, ), (C,, )) P = ((,, ), (,, ), (,, ), (C,, )) P = ((,, ), (,, ), (,, ), (,, ), (C,, )). T frm e elemen ur prioriekön och ild e ny delräd genom lägg in den åge om finn i elemene i räde. OS! Lägg end in ågen om lunoden ine är ängd! Lå ändnoden li den ny kuell noden, äng den och gå ill.. ör vr och en v (de icke-ängd) grnnrn:. Mrker den om öppen (om den ine är de).. Sopp in den kuell noden, grnnen och viken i en prioriekö. Är vikern lik k de ny elemene lägg in för i kön. (v relionen är #). T frm e elemen ur prioriekön och ild e ny delräd genom lägg in den åge om finn i elemene i räde. OS! Lägg end in ågen om lunoden ine är ängd! Lå ändnoden li den ny kuell noden, äng den och gå ill.

11 P = ((,, ), (,, ), (C,, )) P = ((,, ), (C,, )) P = ((C,, )) P = () Klr!. T frm e elemen ur prioriekön och ild e ny delräd genom lägg in den åge om finn i elemene i räde. OS! Lägg end in ågen om lunoden ine är ängd! Lå ändnoden li den ny kuell noden, äng den och gå ill. eul v Prim lgorim: Sr Slu med # Slu med < Prim lgorim - komplexie Mn gör en rverering v grfen, dv O(m) + O(n). Sen illkommer köoperioner ör vrje åge äer mn in e elemen i kön, inpekerr de och r u de. e lir O(m) Om mn nvänder Hep (priell orer inär räd) får vi O(log m). Tol: O(n) + O(m ) eller O(n) + O(m log m) eroende på implemenion v prioriekön. 5 Krukl lgorim Här väljer mn ockå ågr ll eferom men mn ryr ig ine om form delräd under konrukionen. Mn gör ingen rverering un rer på e nn ä med ågrn. Mn färglägger ågrn för håll red på vilken delgrf de illhör. Krukl lgorim. Skp en prioriekö v ll ågrn uifrån vikern på de.. en för ågen plock frm och ildr den för delgrfen. Nodern färglägg.. Upprep ill kön är om:. T frm en ny åge.. Om ingen v nodern är färgde. ärglägg med ny färg och ild ny delgrf.. Om end en nod är färgd. Ingen rik för cykel uök grfen och färglägg.. Om åd nodern är färgde med olik färg. Välj en v färgern och färg om den ny gemenmm grfen.. Om åd nodern hr mm färg. Ignorer ågen, den kpr en cykel P = ((C,,), (,,), (C,,),(,,), (,,), (C,,5), (,,), (,,), (,,), (,C,) 7

12 9 C 5 P = ((,,), (C,,),(,,), (,,), (C,,5), (,,), (,,), (,,), (,C,) 7 C 5 P = ((C,,),(,,), (,,), (C,,5), (,,), (,,), (,,), (,C,) 7 C 5 P = ((,,), (,,), (C,,5), (,,), (,,), (,,), (,C,) 7 C 5 P = ((,,), (C,,5),(,,), (,,), (,,), (,C,) 7 C 5 P = ((C,,5),(,,), (,,),(,,), (,C,) 7 C 5 P = ((,,),(,,),(,,), (,C,))

13 P = ((,,),(,,), (,C,)) P = ((,,), (,C, )) P = ((,C,)) P = () Krukl lgorim - komplexie ör ege i lgorimen ygger en prioriekö uifrån en ågmängd. Komplexie eror på implemenionen v ågmängden och prioriekön Vrje åge rverer en gång. een kn del in i fyr fll: Tre fll med komplexie O() där ågen kn lägg ill un prolem. fll där en delgrf måe färg om. Komplexie O(n) inn vägen ill en nod redden-för rverering ger o vägrn från en nod ill ll ndr. Om vi prr undn vägen Är de den kore? J, om ll viker lik! nnr då? Vi kommer i på vå lgorimer: loyd hore ph O(N ) ijkr hore ph 77 loyd hore ph ygger på mn repreenerr grfen med hjälp v en mri. (ller kpr en mrirepreenion) C $ $ $ $ $ $ $ $ C $ 5 $ $ $ 5 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 7 loyd hore ph lgorim floyd(rph g) inpu: grph g o find hore ph in // e mrix repreenion! gemrix(g) N! genoofnode(g) for k= o N- for i= o N- for j= o N- (i,j) = min((i,j), (i,k)+ (k,j)) innehåller kore vånden men hur få g på vägen? Spr på mm gång en föregångrmri. e kommer ockå ko O(N ) å den ökr ine komplexieen. 79 Uppderd loyd lgorim floyd(rph g) inpu: grph g o find hore ph in // e mrix repreenion! gemrix(g) N! genoofnode(g) for i = o N- for j = o N- if (i==j or (i,j)==inf) Ph(i,j) = - ele Ph(i,j) = i for k= o N- for i= o N- for j= o N- if ((i,j)# (i,k)+(k,j)) Ph(i,j) = Ph(i,j) ele Ph(i,j) = Ph(k,j) (i,j) = min((i,j), (i,k)+(k,j))

14 k C $ $ $ $ $ $ $ $ C $ 5 $ $ $ 5 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ Vi hr hi en korre väg melln och C. Vilken är den? Vilken är vägen melln och? k C 7 C C - C - C C C C C C C Lå o le i vår föregångrmri. (ör enkelheen kull hr jg kod om iffrorn ill movrnde noder på OHilden.) - C C C - C - C C C - C - Om vi vill hi vägen melln och C gör mn å här: Ti på kolumnen för. Le red på rden för C. är er vi. Sedn ir vi i kolumnen för och rden C där er vi C. Vägen är llå --C. På mm ä er vi kore vägen melln och är ---C- (med kond 5). ijkr lgorim Söker kore vägen från en nod n ill ll ndr noder. ungerr enr på grfer med poiiv viker. Lå vrje nod h följnde riu Viied om lir nn när vi hi en väg ill den ince värde på den kore vägen frm ill noden Pren eferen ill föregångren på vägen lgorim dijkr(node n, rph g) inpu: grph g o find hore ph ring from node n n.viied! rue; n.dince! ; n.pren! null; Pqueue q! empy(); q! iner(n,q); while no iempy(q) v! inpec-fir(q); q! delee-fir(q); d! v.dince; neighourse! neighour(v, g); for ech w in neighourse do newi! d + geweigh(v,w); if no iviied(w) w.viied!rue; w.dince!newi; w.pren!v; q! iner(w,q); ele if newi < w.dince w.dince!newi; w.pren!v; q!upde(w,q) ijkr lgorim rue,, null Vi rr i. Säer värden i noden. Skpr Kö och oppr in q = ((rue,,null)). rue,, null Tr frm v ur kön v = (rue,,null) och q = (). d = Le edn frm grnnrn = {, } ör grnne : newi = + =. j eök. q = ((rue,,)) rue,, ör grnne : newi = + =. j eök. q = ((rue,,), (rue,,)) 5

15 rue,, null rue,, rue,, Tr frm v ur kön v = (rue,,) och q = ((rue,,)). d = Le edn frm grnnrn = {,,C,} ör grnne : newi = + =. j eök. q = ((rue,,), (rue,,)) rue,, null rue,, rue,, rue,, ör grnne : newi = + =. j eök. q = ((rue,,), (rue,,), (rue,,)) 7 rue,, null rue,, rue,, rue,, rue,, ör grnne C: newi = + =. j eök. q = ((rue,,), (rue,,), (rue,,) C(rue,,)) rue,, null rue,, rue,, rue,, rue,, rue,, ör grnne : newi = + =. eök. > gör inge. Tr frm v ur kön v = (rue,,) och q = ((rue,,), (rue,,), C(rue,,)) d = Le edn frm grnnrn = {, } ör grnne : newi = + =. eök. > gör inge. ör grnne : newi = + = 9. j eök. q = ((rue,,), (rue,9,), (rue,,), C(rue,,)) 9 9 rue,, null rue,, rue,, rue,, rue, 9, rue,, rue,, Tr frm v ur kön v = (rue,,) och q = ((rue,9,), (rue,,),c(rue,,)) d = Le edn frm grnnrn = {, C} ör grnne : newi = + =. eök. > gör inge. ör grnne C: newi = + =. eök. <!! C.dince= C.pren = q = ((rue,9,), (rue,,),c(rue,,)) rue,, null rue,, rue,, rue,, rue, 9, rue,, rue,, Tr frm v ur kön v = (rue,9,) och q = ((rue,,),c(rue,,)) d = 9 Le edn frm grnnrn = {, C} ör grnne : newi = 9+ =. eök. > gör inge. ör grnne C: newi = 9+5 =. eök. > gör inge Tr frm v ur kön v = (rue,,) och q = (C(rue,,)) d = Le edn frm grnnrn = {, } ör grnne : newi = + =. eök. > gör inge. ör grnne : newi = + =. j eök. q = (C(rue,,), (rue,,)) 9 9

16 rue,, null rue,, rue,, rue,, rue, 9, rue,, rue,, rue,, Tr frm v ur kön v = C(rue,,) och q = ((rue,,)) d = Le edn frm grnnrn = {,,, } ör grnne : newi = + = 9. eök. 9> gör inge. ör grnne : newi = + =. eök. > gör inge ör grnne : newi = + = 5. eök. 5<!!.dince=5.pren = C q = ((rue, 5,C)) rue,, null rue,, rue,, rue,, rue, 9, rue,, rue,, rue, 5, C ör grnne : newi = +5 =. eök. >9 gör inge. Tr frm v ur kön v = (rue, 5,C) och q = () d = 5 Le edn frm grnnrn = {, C} ör grnne : newi = 5+ =. eök. > gör inge. ör grnne C: newi = 5+ = 9. eök. 9> gör inge Snn lgorimen klr. 9 9 ijkr lgorim - komplexie Vi äer in vrje nod i kön en gång. Tol n*o(iner) Vi r u vrje nod ur kön en gång. Tol n*o(delee-fir) Vi kn ehöv uppder elemen i kön. Mximl m gånger, m*o(upde) Oorerd li n*o()+n*o(n) + m*o() = O(n ) +O(m) Hep n*o(log n)+n*o(log n) + m*o(log n) = O((n+m)log n) Om mr implemenion 95 loyd v. ijkr loyd O(n ) hir den kore vägen melln ll noder. ijkr O((n+m) log n) med hep, hir kore vägen melln en nod och ll ndr. Måe kör N gånger för få mm reul om loyd. v O(n(n+m) log n). Är äre på or gle grfer. 9 löde i en grf ikd grf med viker c v,w, om nger flödekpcie över ågen (v,w). Kpcieen kn.ex. vr mängden väk om kn flöd genom e rör, mximl mängden rfik på en väg eller kommunikionkpcieen i e dornä. rfen hr vå noder (ource) och (ink) och uppgifen är eräkn de mximl flöde melln och. enom vrje åge (u,v) kn vi mximl h e flöde på c(u,v) enheer. ör vrje node v gäller de ol inkommnde flöde måe vr lik med de ugående flöde. 97 löde i en grf flödenäverk eår v n rikd grf Viker c(u,v) om kll kpcieer på ågrn Ickenegiv viker Två peciell noder Källn (ource), eeckn, en nod un ingående ågr vloppe (ink) eeckn, en nod un ugående ågr 9

17 Kpcie och flöde löde är en funkion på knern:! flöde! c(u, v) löde in ill noden = flöde u ur noden Värde/vlue: e kominerde flöde in ill vloppe. 99 Mximumflöde prolem ive e näverk N, hi e flöde med mximl värde exempel på mximl flöde Värde = 5 örärnde (ugmening) flöde Näverk med flödevärde Nu hr flödevärde ök ill!! örärnde väg (ugmening ph) rmårikde ågr flöde(u, v) < c(u, v) löde kn ök! kårikde ågr flöde(u,v) > löde kn mink! Öknde väg u u v v Mximl flödeeoreme + lgorim flöde hr mximum värde om och end om näverke ine hr någon förärnde väg. ord & ulkeron lgorimen: Iniilier näverke med noll flöde nrop meoden findlow() om definier "" Om de finn förärnde vägr: "" " Hi en v dem "" " Ök flöde "" " nrop (rekuriv) findlow() Iniier näverke med nollflöde. Kpcieern i vr ovn ågrn och flöde i grön nedn ågrn. Skick igenom e enheflöde genom näverke. lödevägen mrker med rö och de förärde flödevärden i lå.

18 Skick yerligre e enheflöde genom näverke. Skick e enheflöde genom den förärnde vägen. Nu finn de ing fler förärnde vägr. llå Skick igenom yerligre e enheflöde genom näverke. Noer de finn yerligre en förärnde väg om går genom knen i mien. Vi hr hi de näverk mximl flöde! 5 Hur gör mn mer pecifik? Hur ve mn de finn en förärnde väg? Hur ve mn vilken v de förärde vägrn mn k för? Lä mer i oken. (-, $) ör vägen från ill : märk om ängd och (-, $) (dv ine öppn från någon nod flöde kn förändr oändlig) (-, $) ågrn från rverer, nodern i ndr änden mrker öppn och märk med der mximl kpcie och ä in i prio-kön. (, ) (, ) " q = (, ) 7 (-, $) ör noden från kön () och mrker ängd. e ågr underök i ur och ordning. (, ) (, ) ågen (,) leder ill ängd nod och (, ) leder ill öppen nod - inge händer. ågen (,) leder ill en ny nod om mrker (, ) (, ) Nu hr vi nå frm ill, rvereringen vry. Mn följer egen kå ill och mrkerr ågrn midig om nodern vmrker. (-, $) (-, $) (, ) (, ) ndr vägen från ill : märk om ängd och (-, $) ågrn från rverer. ferom vägen ill ine (, ) kn ök mer runr vi i den. q=() ör noden från kön () och mrker ängd. e ågr underök i ur och ordning. ågen (,) leder ill ängd nod - inge händer. " ågen (,) leder ill en ny nod (klänge) om kn mrker med mximl de nuvrnde flöde, dv (, ). " ågen (,) leder ill en ny nod om mrker (, ). q=(,) (, ) 9

19 (-, $) (, ) (, ) ör noden från kön () och mrker ängd. e ågr underök i ur och ordning. ågen (,) och (, ) leder ill ängd noder och (, ) ill en öppen nod - (, ) inge händer. ör noden från kön (). Vi hr nå. Trverering vry och vi går kå och vmrkerr ll. Om vi nu föröker örj om igen å hir vi inge ny eferom åde (,) och (,) unyj mximl.

KOORDINATVEKTORER. BASBYTESMATRIS

KOORDINATVEKTORER. BASBYTESMATRIS Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR KOORDINATVEKTORER ASYTESMATRIS yemri Koordiner för en vekor i en given Om (vv vv vv nn ) är en för vekorrumme ( eller underrumme) V då gäller följnde: Vrje vekor i rumme

Läs mer

I detta avsnitt ska vi titta på den enklaste formen av ekvationer de linjära.

I detta avsnitt ska vi titta på den enklaste formen av ekvationer de linjära. STUDIEAVSNITT 4 EKVATIONER I de vni k vi i på den enkle formen v ekvioner de linjär. ALGEBRAISK LÖSNING AV EKVATIONER Meoden när mn löer ekvioner v för grden, llå ekvioner om innehåller -ermer men ej ermer

Läs mer

1. M öt et s öp pn an d e S ve n fö r k la r a r mö t et ö p p nat k lo c k a n 13. 5 0 i me d le ms k o nt o r et.

1. M öt et s öp pn an d e S ve n fö r k la r a r mö t et ö p p nat k lo c k a n 13. 5 0 i me d le ms k o nt o r et. Styrels e möte 7mars 2010 Bila gor: 1. D ago r d ning 2. N är va r o lis t a 1. M öt et s öp pn an d e S ve n fö r k la r a r mö t et ö p p nat k lo c k a n 13. 5 0 i me d le ms k o nt o r et. 2. F o rma

Läs mer

Byt till den tjocka linsen och bestäm dess brännvidd.

Byt till den tjocka linsen och bestäm dess brännvidd. LINSER Uppgit: Mteriel: Teori: Att undersök den rytnde örmågn hos olik linser och tt veriier linsormeln Ljuskäll och linser ur Optik-Elin Med hjälp v en lmp och en ländre med ler öppningr år vi ler ljusstrålr,

Läs mer

Tentamen i Eleffektsystem 2C1240 4 poäng

Tentamen i Eleffektsystem 2C1240 4 poäng Tentmen i Eleffektytem C40 4 poäng Ondgen 5 december 004 kl 4.00-9.00 (Frågetund: 5.00, 6.00 och 7.30) Hjälpmedel: En hndkriven A4-id, Bet eller Joefon, fickräknre. Endt en uppgift per bld! Teern lämn

Läs mer

I detta avsnitt ska vi titta på den enklaste formen av ekvationer de linjära.

I detta avsnitt ska vi titta på den enklaste formen av ekvationer de linjära. STUDIEAVSNITT EKVATIONER I de vsni sk vi i på den enklse fomen v ekvione de linjä. ALGEBRAISK LÖSNING AV EKVATIONER Meoden nä mn löse ekvione v fös gden, llså ekvione som innehålle -eme men ej eme v pen,,...

Läs mer

AUBER 95 9 jan LÖSNINGAR STEG 1:

AUBER 95 9 jan LÖSNINGAR STEG 1: AUBER 95 9 jn AR. Den finit utomten nedn ccepterr ett språk L över = {, }. A B ε Konstruer ) ett reguljärt uttryck för L. ) L = ( ( ) ) = ( ) ) en reguljär grmmtik för L S A S A c) en miniml DFA för L.

Läs mer

Listor = generaliserade strängar. Introduktion till programmering SMD180. Föreläsning 8: Listor. Fler listor. Listindexering.

Listor = generaliserade strängar. Introduktion till programmering SMD180. Föreläsning 8: Listor. Fler listor. Listindexering. 1 Introduktion till progrmmering SMD180 Föreläsning 8: Listor 2 Listor = generliserde strängr Strängr = sekvenser v tecken Listor = sekvenser v vd som helst [10, 20, 30, 40] # en list v heltl ["spm", "ungee",

Läs mer

Exponentiella förändringar

Exponentiella förändringar Eonentiell förändringr Eonentilfunktionen - llmänt Eonentilfunktionen r du tidigre stött å i åde kurs oc 2. En nyet är den eonentilfunktion som skrivs y = e. (Se fig. nedn) Tlet e, som är mycket centrlt

Läs mer

Varumärkesfrämjande möjligheter

Varumärkesfrämjande möjligheter Kitmän, Stockholm 18 & 19 februri 2015 Vrumärkefrämjnde möjligheter Tck vre hundrtl uttällre och en mä om växer vrje år, hr ponring blivit ett utmärkt ätt tt kilj ig från ndr och befät in tällning om ett

Läs mer

Jag vill inte vara ensam

Jag vill inte vara ensam Jg ill ine r ensm Krl-Gunnr Sensson G =132 f l m n o u s s s z f l l u z mp n s s n s s n s s n s s s s n s s n s s mps s n s s n s s n s s n s s n s s n ff s s s s s s s s s s s s mp s s s s s s s s s

Läs mer

x 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46

x 12 12 = 32 12 x 11 + 11 = 26 + 11 x 20 + 20 = 45 + 20 x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x + 10 10 = 15 10 11 + 9 = 20 x = 65 x + 36 = 46 Vilket tl sk stå i rutn så tt likheten stämmer? + Lös ekvtionen så tt likheten stämmer. = + 9 = + = + = = Det sk stå 9 i rutn. Subtrher båd leden med. r -termen sk vr kvr i vänstr ledet. Skriv rätt tl

Läs mer

Så här gör du? Innehåll

Så här gör du? Innehåll hp dvd writer Så här gör du? Innehåll hur vet jg vilket progrm jg sk nvänd? 1 svensk hur kopierr jg en skiv? 2 hur överför jg min nd till en skiv? 4 hur skpr jg en dvd-film? 9 hur redigerr jg en video-dvd-skiv?

Läs mer

Skogstorp i framtiden

Skogstorp i framtiden I SKOGSTORP www.skogstorp.om/soildemokrtern Skogstorp i frmtiden Redovisning v enkät genomförd under perioden Novemer- Deemer 2005. 1. Tyker Du liksom fler v oss tt det ehövs yggs en förifrt utnför skogstorp?

Läs mer

Analys grundkurs B lab 1. Stefan Gustafsson Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013

Analys grundkurs B lab 1. Stefan Gustafsson Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013 Anlys grundkurs B lb 1 Stefn Gustfsson Per Jönsson Fkulteten för Teknik och Smhälle, 13 1 Viktig informtion om lbortionern Lbortionsdelen på kursen i kursen Anlys grundkurs B exminers genom tt mn gör två

Läs mer

Nämnarens kryptoskola fördjupning

Nämnarens kryptoskola fördjupning Nämnren krypokol fördjupning 24. Språkiik foräning Som ni åg i de föregående vnien, underläde de väldig mycke ve vr klrexen ord börjr och lur och därmed hur lång de är. Mn måe föruä krypören ockå ve de

Läs mer

C100-LED Duschhörn med LED-Belysning

C100-LED Duschhörn med LED-Belysning SVENSKA C100-LE uschhörn med LE-elysning COPYRIGHT CAINEX A ARUMSPROUKTER, LJUNGY, SWEEN MONTERINGSANVISNING Totl höjd: 1900 mm 6 mm härdt gls A 900 800 700 884 784 684 C 900 800 800 884 784 784 39 8 Prod.#

Läs mer

Nya regler för plåtbalkar-eurokod 3-1-5

Nya regler för plåtbalkar-eurokod 3-1-5 Bernt Johnsson 008-0-5 Ny regler för plåtlkr-eurokod --5 Bkgrund Med plåtlk mens en lk som är uppyggd v smmnsvetsde plåtr på engelsk plted structure. Plåtlkr nvänds när vlsde lkr inte räcker till eller

Läs mer

Rapport gällande LUS- resultat under höstterminen 2011

Rapport gällande LUS- resultat under höstterminen 2011 Rpport gällnde LUS- resultt under höstterminen 2011 Kommunen hr sedn mång år tillk eslutt tt ll låg- och mellnstdieskolor sk gör ett läsutvecklingstest (LUS) på vrje rn en till två gånger per termin. Dett

Läs mer

Råd och hjälpmedel vid teledokumentation

Råd och hjälpmedel vid teledokumentation Råd och hjälpmedel vid teledokumenttion Elektrisk Instlltörsorgnistionen EIO Innehåll: Vd skiljer stndrdern åt När sk vilken stndrd nvänds Hur kn gmml och ny stndrd kominers Hur kn dokumenttionen förenkls

Läs mer

SLING MONTERINGS- OCH BRUKSANVISNING

SLING MONTERINGS- OCH BRUKSANVISNING SLING MONTERINGS- OCH BRUKSANVISNING FOC_SLING_1107 Introduktion Dett är en ruksnvisning för det dynmisk rmstödet SLING som monters på rullstol, stol eller nnn nordning. SLING tillverks v FOCAL Meditech,

Läs mer

UPPTÄCK OCH DEFINIERA SAMBANDET MELLAN TVÅ OMRÅDEN SOM DELAS AV GRAFEN TILL EN POTENSFUNKTION

UPPTÄCK OCH DEFINIERA SAMBANDET MELLAN TVÅ OMRÅDEN SOM DELAS AV GRAFEN TILL EN POTENSFUNKTION OLIVI KVRNLÖ UPPTÄCK OCH DEINIER SMNDET MELLN TVÅ OMRÅDEN SOM DELS V GREN TILL EN POTENSUNKTION Konsultudrg rågeställning I den här ugiften sk vi undersök smbndet melln reorn i en kvdrt med sidn l.e. i

Läs mer

V Ä G E N T I L L V A T T E N w w w. a v a n t i s y s t e m. s e

V Ä G E N T I L L V A T T E N w w w. a v a n t i s y s t e m. s e VÄGEN TILL VATTEN v n i y m Vn vi in kn J ordn vnillgångr är norm, mn Grundvn är n dl v vn räknr mn bor nö, i och lvn blir vig krlopp d br 3% kvr för vår vnförörjning När yvn rängr nd i mrkn rn d och blir

Läs mer

SPEL OM PENGAR FÖR - EN FRÅGA FÖR SKOLAN? VERKTYG, ÖVNINGAR OCH KUNSKAPSBANK FÖR ARBETE MED SPEL OM PENGAR I SKOLAN

SPEL OM PENGAR FÖR - EN FRÅGA FÖR SKOLAN? VERKTYG, ÖVNINGAR OCH KUNSKAPSBANK FÖR ARBETE MED SPEL OM PENGAR I SKOLAN Övningr och verktyg för år 7-9 och gymnsiet SPEL OM PENGAR - EN FRÅGA FÖR SKOLAN? ANPASSAT FÖR BLAND ANNAT SVENSKA, SPEL I KONSTHISTORIEN BILD, MATEMATIK OCH SAMHÄLLSKUNSKAP IILLEGALT SPEL VERKTYG, ÖVNINGAR

Läs mer

Räkneövning 1 atomstruktur

Räkneövning 1 atomstruktur Räkneövning 1 tomstruktur 1. Atomerns lägen i grfen (ett mteril som består v endst ett end tomlger v koltomer och vrs upptäckt gv Nobelpriset i fysik, 010) ligger i de gitterpunkter som viss i figuren

Läs mer

Mer av livet. Riksten Friluftsstad.

Mer av livet. Riksten Friluftsstad. i n h Mer v livet. Riksten Friluftsst. v i r r 0 e e 20100818 20:34:58 Skön småstskänsl Riksten Friluftsst växer och blir en stsel me skön småstskänsl. Me fler byggherrr och rkitekter kommer en nturlig

Läs mer

...trött på att hacka is?

...trött på att hacka is? NYHET!...ö på hck i? 65 lie fik ven ifi ne ill c -30 emoyd 3 å gni Tillvekd i Sveige 2.950 k inkl mom DEN SVENSKA UPPFINNINGEN THERMOBAR ä e högkvliiv venk om finn i ju olek. ThemoBen uvecklde upungligen

Läs mer

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL PASS. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL. Tl, bråktl och decimltl Vd är ett tl för någonting? I de finländsk fmiljern brukr det vnligtvis finns två brn enligt Sttistikcentrlen (http://www.tilstokeskus.fi/tup/suoluk/suoluk_vesto_sv.html).

Läs mer

upp maskinen och kontrollera komponenterna Strömkabel Bärark/ Bärark för plastkort Dvd-skiva

upp maskinen och kontrollera komponenterna Strömkabel Bärark/ Bärark för plastkort Dvd-skiva Snguide Strt här ADS-2100 Läs igenom Produktsäkerhetsguiden innn du ställer in mskinen. Därefter läser du igenom Snguiden så tt du kn ställ in oh instller mskinen på rätt sätt. VARNING VARNING indikerr

Läs mer

Vad styr planering av lekplatsutbud i svenska kommuner?

Vad styr planering av lekplatsutbud i svenska kommuner? SJÄLVSTÄNDIGT ARBETE VID LTJ-FAKULTETEN Lndkpingenjörprogrmme Vd yr plnering v lekplubud i venk kommuner? En udie v 12 lekplprogrm Mi Blücher Sverige Lnbrukuniverie Fkuleen för Lndkpplnering, rädgård-

Läs mer

Sångerna är lämpliga att framföra vid bröllop, speciella fester och romantiska tillfällen för Kärlekens skull... GE 11176

Sångerna är lämpliga att framföra vid bröllop, speciella fester och romantiska tillfällen för Kärlekens skull... GE 11176 FÖROR So en sträng å gtrren och so tonern dn vs..., så börjr texten Ulrk Neuns underbr Kärleksvls. Vd kn vr ljuvlgre än gtrrens sröd och nnerlg ton so tllsns ed sången kn sk sådn stänng och rontsk tosfär.

Läs mer

Det energieffektiva kylbatteriet

Det energieffektiva kylbatteriet Croline Hglund, Civ.ing. SP Sveriges Provnings- och Forskningsinstitut, Energiteknik, Borås, croline.hglund@sp.se Per Fhlén, Prof. Inst. för Instlltionsteknik, CTH, Göteorg, per.fhlen@hvc.chers.se Det

Läs mer

FORMELLA SPRÅK, AUTOMATER OCH BERÄKNINGSTEORI ÖVNINGSUPPGIFTER PÅ REGULJÄRA SPRÅK

FORMELLA SPRÅK, AUTOMATER OCH BERÄKNINGSTEORI ÖVNINGSUPPGIFTER PÅ REGULJÄRA SPRÅK FORMELLA SPRÅK, AUTOMATER OCH BERÄKNINGSTEORI ÖVNINGSUPPGIFTER PÅ REGULJÄRA SPRÅK Förord Dett kompendium innehåller övningr inom reguljär språk för kursen Formell språk, utomter och eräkningsteori som

Läs mer

Rektangulär kanal, K. Produktbeteckning. Beteckningsexempel. Sida A (se storlekstabell) Sida B (se storlekstabell)

Rektangulär kanal, K. Produktbeteckning. Beteckningsexempel. Sida A (se storlekstabell) Sida B (se storlekstabell) K Rektngulär knl, K Produkteteckning Produkt K c d Sid A (se storlekstell) Sid B (se storlekstell) Längd 1=2000 mm 2= 1250 mm 3= 1000 mm 4= 600 mm 5= Löpnde längd nges i klrtext (mx 2500 mm) 1= Skrv i

Läs mer

Tentamen i Databasteknik

Tentamen i Databasteknik Tentmen i Dtsteknik lördgen den 22 oktoer 2005 Tillåtn hjälpmedel: Allt upptänkligt mteril Använd r frmsidn på vrje ld. Skriv mx en uppgift per ld. Motiver llt, dokumenter egn ntgnden. Oläslig/oegriplig

Läs mer

Var är tvålen. o dk sj jz kkk. um ba - um. um um um um 2 4 j. stan - na upp ett tag och grub - bla, är det nå n som sett min tvål?

Var är tvålen. o dk sj jz kkk. um ba - um. um um um um 2 4 j. stan - na upp ett tag och grub - bla, är det nå n som sett min tvål? är våle Pver Rel rr. Erc Srby Spr Al1 Al 2 Ter Bss 1 Bss 2 Spr f f D G =80 Al f f D 1 Al f f D 2 Ter f f D l M Bss 1 jz d sj jz u b - u u - j u b - u u j s j jz u b - u u s j jz f f f N s v-drr ge- l-ve

Läs mer

Lamellgardin. Nordic Light Luxor INSTALLATION - MANÖVRERING - RENGÖRING

Lamellgardin. Nordic Light Luxor INSTALLATION - MANÖVRERING - RENGÖRING INSTALLATION - MANÖVRERING - RENGÖRING Se till tt lmellgrdinen fästes i ett tillräckligt säkert underlg. Ev motor och styrutrustning skll instllers v behörig elektriker. 1 Montering Luxor monters med de

Läs mer

13.9.2006 Dnr 6/002/2006. Till pensionsstiftelser som bedriver tilläggspensionsskydd och är underställda lagen om pensionsstiftelser

13.9.2006 Dnr 6/002/2006. Till pensionsstiftelser som bedriver tilläggspensionsskydd och är underställda lagen om pensionsstiftelser FÖRESRIFT 13.9.2006 Dnr 6/002/2006 Till pensionsstiftelser som edriver tilläggspensionsskydd och är underställd lgen om pensionsstiftelser FÖRSÄRINGSTENIS BERÄNINGR OCH DERS BERÄNINGSGRUNDER FÖR PENSIONSSTIFTELSER

Läs mer

Sjung och läs nu Bacchi böner (sång nr 57)

Sjung och läs nu Bacchi böner (sång nr 57) Sung läs nu Bacchi öner (sång nr 57) ext musik: Carl Michael Bellman Arr: Eva oller 009 Soprano 1 Soprano. Alto 1 Alto enor 1.Sung läs nu 1.Sung läs nu 1.Sung läs nu Bac - chi ö - ner, Bac - chi Bac -

Läs mer

Sfärisk trigonometri

Sfärisk trigonometri Sfärisk trigonometri Inledning Vi vill nvänd den sfärisk trigonometrin för beräkningr på storcirkelrutter längs jordytn (för sjöfrt och luftfrt). En storcirkel är en cirkel på sfären vrs medelpunkt smmnfller

Läs mer

24/09/2013. Talrepresentationer" Digital Aritmetik Unsigned Integers Signed Integers" Positiva Heltal" Addition" Heltal" Addition"

24/09/2013. Talrepresentationer Digital Aritmetik Unsigned Integers Signed Integers Positiva Heltal Addition Heltal Addition 24/9/23 Slide! Per Lindgren! EISLAB! Per.Lindgren@ltu.e! Digitl Aritmetik Unigned Integer Signed Integer" Originl Slide! Ingo Snder! KTH/ICT/ES! ingo@kth.e! Tlrepreenttioner" Ett tl kn repreenter inärt

Läs mer

1. Tvätta händerna och abborrens yttre samt använd rent material. Lägg abborren på skärbrädan framför dig. Studera dess utseende.

1. Tvätta händerna och abborrens yttre samt använd rent material. Lägg abborren på skärbrädan framför dig. Studera dess utseende. 1 st färsk orre - Denn kn du köp i en livsmedelsutik som hr fiskdisk. Koll så tt den inte livit rensd (men hr de oftst inte livit). Aorren ör helst väg 250 g eller mer, nnrs kn det li lite pilligt. 1 st

Läs mer

Bröderna fara väl vilse ibland (epistel nr 35)

Bröderna fara väl vilse ibland (epistel nr 35) Brödera fara väl vilse ilad (epistel r 35) Text musik: Carl Michael Bellma Teor 1 8 6 Arr: Eva Toller 2008 Teor 2 6 8 Basso 1 8 6.. Basso 2 8 6 1.Brö- der - a fa - ra väl vil - se i-lad om gla - se me

Läs mer

Programmeringsguide ipfg 1.6

Programmeringsguide ipfg 1.6 Progrmmeringsguide ipfg 1.6 Progrmmeringsklr i-ört pprter (CIC, knl, fullonh) Progrmmeringsklr kom-ört pprter CS-44 Phonk-version Progrmmeringsklr miropprter CS-44 Phonk-version 1 2 1 2 1 2 ipfg 1.6 stndrd

Läs mer

Hjälpreda. Lathunden 1. Dimensionering Virkeskvaliteter Fuktkvotsklasser Träskydd Virkessortiment Limträsortiment Tabeller. Lathunden Virkesåtgång

Hjälpreda. Lathunden 1. Dimensionering Virkeskvaliteter Fuktkvotsklasser Träskydd Virkessortiment Limträsortiment Tabeller. Lathunden Virkesåtgång Hjälpred Lthunden Virkesåtgång Dimensionering Virkeskvliteter Fuktkvotsklsser Träskydd Virkessortiment Limträsortiment Teller 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 13 14 Lthunden 1 Lthunden 2 Sommrhus Tjjkovski,

Läs mer

Mening med ditt liv G/H. o n G/H

Mening med ditt liv G/H. o n G/H =132 J f s s Meg ed d v /H s s s Kr-ur Svesso 1.De vr e gåg e - e po so yc-e v - e vr för 2.To-år - e gc så sbb för-b, h ev - de v - e så - so h / s s ss s s s s J J f b J f J p o o o J p o o o b s s s

Läs mer

2. Optimering Linjär programmering

2. Optimering Linjär programmering . Optimering Linjär programmering Ett optimeringprolem etår av: En målfunktion, f(), var maimum, eller minimum ka öka. En eller flera -varialer (elutvarialer om man tr över). Normalt okå ett antal ivillkor

Läs mer

KAPITEL 1.10 BESTÄMMELSER OM TRANSPORTSKYDD

KAPITEL 1.10 BESTÄMMELSER OM TRANSPORTSKYDD 2 112/213 KAPITEL 1.1 BESTÄMMELSER OM TRANSPORTSKYDD Bestämmelser om trnsportskydd och förpliktelser i smnd med trnsport v frlig ämnen finns i TFÄ-lgen smt i 6, 8 5 mom., 15 1 mom. 5 och 6 punkten och

Läs mer

Induktion LCB 2000/2001

Induktion LCB 2000/2001 Indution LCB 2/2 Ersätter Grimldi 4. Reursion och indution; enl fll n 2 En tlföljd n nturligtvis definiers genom tt mn nger en explicit formel för uträning v n dess 2 element, som till exempel n 2 () n

Läs mer

Lokala föreskrifter för att skydda människors hälsa och miljön

Lokala föreskrifter för att skydda människors hälsa och miljön STYRDOKUMENT Dum Beecnin Sid 1(4) Godänd/nvri Kommunfumäie Verion 2013-12-09 Lo förerifer för ydd männior hä och mi Lo förerifer för ydd männior hä och mi för Krmfor ommun meddede v ommunfumäie den 9 december

Läs mer

N = {i}: noder (hörn) Graf: G = (N, B) Definitioner. Väg: Sekvens av angränsande bågar. Cykel: Väg som startar och slutar i samma nod.

N = {i}: noder (hörn) Graf: G = (N, B) Definitioner. Väg: Sekvens av angränsande bågar. Cykel: Väg som startar och slutar i samma nod. Polyeder 0 x, 0 x, 0 x, x + x + x, x + x + x Grafdefinitioner N = {i}: noder (hörn) = {(i, j)}, i N, j N: bågar (kanter) Graf: G = (N, ) efinitioner Väg: Sekvens av angränsande bågar. ykel: Väg som startar

Läs mer

MEDIA PRO. Introduktion BYGG DIN EGEN PC

MEDIA PRO. Introduktion BYGG DIN EGEN PC BYGG DIN EGEN PC MEDIA PRO Introduktion Dett är Kjell & Compnys snguide till hur Dtorpketet MEDIA PRO monters. Att ygg en dtor är idg myket enkelt oh kräver ingen tidigre erfrenhet. Det ehövs ing djupgående

Läs mer

Campingpolicy för Tanums kommun

Campingpolicy för Tanums kommun 1(8) Cmpingpolicy för Tnums kommun 1. Bkgrund Strömstds och Tnums kommuner diskuterde gemensmt sin syn på cmpingverksmhetern i respektive kommun år 2003 och kunde då se ett stort behov v tt en likrtd syn

Läs mer

TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013

TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013 TMV151/TMV181 Fredrik Lindgren Mtemtisk vetenskper Chlmers teknisk högskol och Göteborgs universitet 19 november 2013 F. Lindgren (Chlmers&GU) Envribelnlys 19 november 2013 1 / 24 Outline 1 Mss, moment

Läs mer

Slutrapport Jordbruksverket Dnr. 25-12105/10 Kontroll av sniglar i ekologisk produktion av grönsaker och bär

Slutrapport Jordbruksverket Dnr. 25-12105/10 Kontroll av sniglar i ekologisk produktion av grönsaker och bär Slutrpport Jordruksverket Dnr. 25-125/ Kontroll v sniglr i ekologisk produktion v grönsker och är Projektledre: Birgitt Svensson, Område Hortikultur, SLU Innehåll sid Smmnfttning 3 Bkgrund / Motivering

Läs mer

Steg och impuls. ρ(x) dx. m =

Steg och impuls. ρ(x) dx. m = Seg och impuls Punkmssor, punklddningr och punkkrfer hr llid en viss ubredning även om den är lien. En mer verklighesrogen beskrivning v en punkmss m är en densie ρ(x) som är skild från noll på e mycke

Läs mer

Innan du kan använda maskinen ska du läsa den här Snabbguiden så att maskinen ställs in och installeras på rätt sätt.

Innan du kan använda maskinen ska du läsa den här Snabbguiden så att maskinen ställs in och installeras på rätt sätt. Snguide Strt här DCP-585CW Innn du kn nvänd mskinen sk du läs den här Snguiden så tt mskinen ställs in oh instllers på rätt sätt. VARNING Tlr om hur du sk gör för tt förhindr personskdor. Anslut INTE USB-keln

Läs mer

Evighetskalender. 19 a) nyårsdagen var år 2000 b) julafton kommer att vara på år 2010 c) de första människorna landade på månen, 20 juli 1969

Evighetskalender. 19 a) nyårsdagen var år 2000 b) julafton kommer att vara på år 2010 c) de första människorna landade på månen, 20 juli 1969 Evighetsklender Vilken veckodg vr det när du föddes? På vilken veckodg fyller du 18 år? Med den här evighetsklendern kn du t red på det. Gör så här när du sk t red på veckodgen: Lägg ihop följnde fyr tl:

Läs mer

Integraler. Integraler. Integraler. Integraler. Exempel (jfr lab) Integrering i Matlab. Från labben: Informationsteknologi. Beräkningsvetenskap I/KF

Integraler. Integraler. Integraler. Integraler. Exempel (jfr lab) Integrering i Matlab. Från labben: Informationsteknologi. Beräkningsvetenskap I/KF Inegrler Från len: Inegrler Beräkningsveenskp I/KF Trpesformeln oc Simpsons formel Inegrler Inegrler Från len: Från len: Adpiv meod (dpiv Simpson) Formler för feluppskning (division med (Trpes) respekive

Läs mer

Lösningsförslag till finaltävlingen den 19 november 2005

Lösningsförslag till finaltävlingen den 19 november 2005 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Lösningsförslg till finltävlingen den 19 novemer 2005 1 Vi utvecklr de åd leden och får ekvtionen vilken efter förenkling kn skrivs x 3 + xy + x 2 y

Läs mer

Monteringsanvisning. Bakåtvänd montering. Godkänd höjd 61-105 cm. Maximal vikt 18 kg. UN regulation no. R129 i-size. Ålder 6 mån - 4 år. 1 a.

Monteringsanvisning. Bakåtvänd montering. Godkänd höjd 61-105 cm. Maximal vikt 18 kg. UN regulation no. R129 i-size. Ålder 6 mån - 4 år. 1 a. 1 6 d c e Monteringsnvisning f h g i j k l m 7 8 10 2 3 9 c e d Bkåtvänd montering Godkänd höjd 61-105 cm 4 5 11 12 Mximl vikt 18 kg Ålder 6 mån - 4 år UN regultion no. R129 i-size 8 9 Tck för tt du vlde

Läs mer

Facit - Tänk och Räkna 6a

Facit - Tänk och Räkna 6a Fit - Tänk oh Räkn I tlens värl - - - - - - Åttiosextusen trehunrfem Åttiosextusen trehunrfem 8 0 9 089 8 8 8 0 9 80 9 9 9 80 0 99 098 99 099 99 00 89 899 89 900 89 90 008 009 00 9 999 0 000 0 00 90 988

Läs mer

Med EMC och ABB i nästa sekel

Med EMC och ABB i nästa sekel Med EMC och ABB i näs sekel Elekromgneisk kompiilie (EMC) eyder vrje produk rer i sin elekromgneisk omgivning un sörs och un orsk sörningr i någon nnn urusning, speciell medi som rdio, moil elefoner, elevision

Läs mer

Konsekvensutredning enligt förordning (2007:1244) om konsekvensutredning vid regelgivning Regeländring Problembeskrivning Effekter av regleringen

Konsekvensutredning enligt förordning (2007:1244) om konsekvensutredning vid regelgivning Regeländring Problembeskrivning Effekter av regleringen Länsstyrelsen GOTLANDS LÄN 0-0- --, - 0- och - 0- () Trafikverket Gotlandskontoret Polismyndigheten Gotland Region Gotland, Samhällsbyggnadsförvaltningen Regelrådet i Stockholm Konsekvensutredning enligt

Läs mer

Reklamplatser som drar till sig uppmärksamhet och besökare till din monter på Fotomässan.

Reklamplatser som drar till sig uppmärksamhet och besökare till din monter på Fotomässan. PLTS ÖR EVENT LOO Reklmpltser som drr till sig uppmärksmhet och esökre till din monter på otomässn. Älvsjö 20 INORMTION Specifiktion för grfiskt mteril rfisk enheten ehöver h tryckfärdig originl senst

Läs mer

Facit - Tänk och Räkna 4a

Facit - Tänk och Räkna 4a Vår tl Fit Tänk oh Räkn 9 9 69 996, 997, 998 998, 999, 000 6 6699, 6700, 670, 670, 670, 670 67 m, 67 m, 67 m 800 m, 900 m, 000 m 900 m, 90 m, 90 m NAF 06 7 9 d 6 8 e 7 76 f 8 8 d 6 e 0 f 8 9 7 8 88 d 80

Läs mer

Fader Bergström, stäm upp och klinga (epistel nr 63)

Fader Bergström, stäm upp och klinga (epistel nr 63) Fader Bergström, stäm upp klinga (epistel nr 6) ext musik: Carl Michael Bellman Soprano 1 Soprano 2 lto enor.. Berg - ström, stäm upp.. Berg - ström, stäm upp.. Berg - ström, stäm upp kling - a, öpp -

Läs mer

Repetitionsuppgifter i matematik

Repetitionsuppgifter i matematik Lärrprogrmmet Ingång Mtemtik och Lärnde Repetitionsuppgifter i mtemtik Inför vårterminens mtemtikstudier kn det vr r tt repeter grundläggnde räknefärdigheter. Dett mteril innehåller uppgifter inom följnde

Läs mer

Allmän information (1 av 1)

Allmän information (1 av 1) ASI Uppföljning ASI Uppföljning är en stndrdintervju för uppföljning v personer i missruks- och eroendevård. Den nvänds för tt stämm v personens sitution och hjälpehov smt för uppföljning v instser. Intervjun

Läs mer

Kallelse till årsstämma i Samfälligheten Askträdet

Kallelse till årsstämma i Samfälligheten Askträdet Kllelse till årsstämm i Smfälligheten Askträdet Hej, Vrmt välkomn till års stämm för medlemmrn i Smfälligheten Askträdet; Torsdg mrs 9. på Förskoln Tårpilsgränd Väl mött, Styrelsen . Vl v mötesordförnde

Läs mer

definitioner och begrepp

definitioner och begrepp 0 Cecili Kilhmn & Jokim Mgnusson Rtionell tl Övningshäfte Avsnitt definitioner och egrepp DEFINITION: Ett rtionellt tl är ett tl som kn skrivs som en kvot melln två heltl och där 0. Mängden rtionell tl

Läs mer

Skol-SM för unga maskinförare...

Skol-SM för unga maskinförare... Skol-SM för ung mskinförre... -Klixelever åke ner ill Alves för ävl om mäsrieln i mskinkörning! Skol-SM för ung mskinförre nordns årligen run om i Sverige för kor skicklig förre i hjullsre, grävmskin och

Läs mer

Starta här HL-2135W /

Starta här HL-2135W / Snguide Strt här HL-2135W / HL-2270DW (endst EU) Läs den här Snguiden när du sk instller och konfigurer mskinen innn du nvänder den för först gången. På http://solutions.rother.com/ kn du se Snguiden även

Läs mer

bruksanvisning/ user manual

bruksanvisning/ user manual bruksanvisning/ user manual IBU 54 - IBU 54 RF L ä s d e n n a b r u k s a n v i s n i n g f ö r s t! B ä s t a k u n d, T a c k f ö r a t t d u h a r v a l t a t t k -p ö pra o deun k t C. y lvii n dhao

Läs mer

Finita automater, reguljära uttryck och prefixträd. Upplägg. Finita automater. Finita automater. Olika finita automater.

Finita automater, reguljära uttryck och prefixträd. Upplägg. Finita automater. Finita automater. Olika finita automater. Finit utomter, reguljär uttryck och prefixträd Algoritmer och Dtstrukturer Mrkus Sers mrkus.sers@lingfil.uu.se Upplägg Finit utomter Implementtion Reguljär uttryck Användningr i Jv Alterntiv till inär

Läs mer

Daiseikai Polar Luft/luft värmepump

Daiseikai Polar Luft/luft värmepump Diseiki Polr Luft/luft värmepump Användrmnul Inomhusenhet: RAS-10SKVP-ND RAS-13SKVP-ND RAS-16SKVP-ND Utomhusenhet: RAS-10SAVP-ND RAS-13SAVP-ND RAS-16SAVP-ND Jnuri 2007 Tck för tt Du vlt tt invester i en

Läs mer

6 Formella språk. Matematik för språkteknologer (5LN445) UPPSALA UNIVERSITET

6 Formella språk. Matematik för språkteknologer (5LN445) UPPSALA UNIVERSITET UPPSALA UNIVERSITET Mtemtik för språkteknologer (5LN445) Institutionen för lingvistik och filologi VT 2014 Förfttre: Mrco Kuhlmnn 2013 (mindre revision Mts Dhllöf 2014) 6 Formell språk Det mänsklig språket

Läs mer

Försök med vallfröblandningar Av Nilla Nilsdotter-Linde SLU, Fältforskningsenheten, Box 7043, 750 07 Uppsala E-post: Nilla.Nilsdotter-Linde@ffe.slu.

Försök med vallfröblandningar Av Nilla Nilsdotter-Linde SLU, Fältforskningsenheten, Box 7043, 750 07 Uppsala E-post: Nilla.Nilsdotter-Linde@ffe.slu. Försök med vllfröblndningr Av Nill Nilsdotter-Linde SLU, Fältforskningsenheten, Box 7043, 750 07 Uppsl E-post: Nill.Nilsdotter-Linde@ffe.slu.se Smmnfttning Målsättningen med försöksserien hr vrit tt sök

Läs mer

> VD har ordet: Frösunda satsar på anhörigfrågorna > Frösunda främjar kvinnors företagande i Indien > 5 frågor: Sofia Hägg-Jegebäck

> VD har ordet: Frösunda satsar på anhörigfrågorna > Frösunda främjar kvinnors företagande i Indien > 5 frågor: Sofia Hägg-Jegebäck > VD r ordet: Frösund stsr på nörigfrågorn > Frösund främjr kvinnors företgnde i Indien > 5 frågor: Sofi Hägg-Jegebäck APRIL 2015 Nyetsbld med ktuell informtion till dig som rbetr i Frösund. VD HAR ORDET

Läs mer

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister. Matematisk statistik slumpens matematik. Exempel: Utsläpp från Källby reningsverk.

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister. Matematisk statistik slumpens matematik. Exempel: Utsläpp från Källby reningsverk. Mtemtisk sttistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 1 John Lindström 1 september 2014 John Lindström - johnl@mths.lth.se FMS086/MASB02 F1 2/26 Exempel Tillämpningr Signlbehndling Mtemtisk sttistik

Läs mer

s mobile Gigaset SL100 /150 colour Issued by Information and Communication mobile Haidenauplatz 1 D-81667 Munich

s mobile Gigaset SL100 /150 colour Issued by Information and Communication mobile Haidenauplatz 1 D-81667 Munich BA SL100/150 colour 01.04.2004 16:04 Uhr Seite 1 s mobile Issued by Informtion nd Communiction mobile Hidenupltz 1 D-81667 Munich Siemens AG 2004 All rights reserved. Subject to vilbility. Rights of modifiction

Läs mer

StyleView Scanner Shelf

StyleView Scanner Shelf StyleView Scnner Shelf User's Guide Mximl vikt: 2 ls ( kg) SV-vgn & Huvud-enhet Alterntiv - LCD-vgnr Alterntiv 2 - Lptop-vgnr Alterntiv 3 - Väggspår Alterntiv 4 - Bksid v SV-vgn 3 6 7 Reduce Reuse Recycle

Läs mer

EasyMP Multi PC Projection-bruksanvisning

EasyMP Multi PC Projection-bruksanvisning EsyMP Multi PC Projection-bruksnvisning Innehåll 2 Om EsyMP Multi PC Projection Olik typer v möten med EsyMP Multi PC Projection... 5 Håll möten och nvänd fler bilder...5 Håll fjärrmöten över ett nätverk...

Läs mer

Lektion 3 Projektplanering (PP) Fast position Projektplanering. Uppgift PP1.1. Uppgift PP1.2. Uppgift PP2.3. Nivå 1. Nivå 2

Lektion 3 Projektplanering (PP) Fast position Projektplanering. Uppgift PP1.1. Uppgift PP1.2. Uppgift PP2.3. Nivå 1. Nivå 2 Lekion 3 Projekplanering (PP) as posiion Projekplanering Rev. 834 MR Nivå 1 Uppgif PP1.1 Lieraur: Olhager () del II, kap. 5. Nedan följer alla uppgifer som hör ill lekionen. e är indelade i fyra nivåer

Läs mer

T-konsult. Undersökningsrapport. Villagatan 15. Vind svag nordvästlig, luftfuktighet 81%, temp 2,3 grader

T-konsult. Undersökningsrapport. Villagatan 15. Vind svag nordvästlig, luftfuktighet 81%, temp 2,3 grader Unersökningsrpport Villgtn 15 Vin svg norvästlig, luftfuktighet 81%, temp 2,3 grer Dtum: 2011-12-19 Beställre: Sven Svensson Kmeropertör: Tom Gisserg Aress Telefon E-post Hemsi Spikrn 152 070 338 47 70

Läs mer

Till Dig. 11 kärleksverser tonsatta av Lasse Dahlberg. pianoarrangemang Jonas Franke-Blom. Blåeld musik 2012 www.blaeld.se

Till Dig. 11 kärleksverser tonsatta av Lasse Dahlberg. pianoarrangemang Jonas Franke-Blom. Blåeld musik 2012 www.blaeld.se Till Dig 11 kärleksverser tonsatta av Lasse Dahlerg pianoarrangemang Jonas ranke-blom Blåeld musik 2012 laeldse Innehåll Till dig Allt, allt ag ägde Idyll Trollunden Melodi Adagio Och får ag aldrig äga

Läs mer

En krona dagen om dag ona om r e k n n E E n n k e g o r a d m o a n

En krona dagen om dag ona om r e k n n E E n n k e g o r a d m o a n g E o E E o g o Ambssörr/profilr Jököpigs Sör IF Rlf Eström Björ Norqvist Mukl IFK Uvll IK Ovol HK Coutry Flkbrgs FF Örgryt IS Värmo IK Brg Skoftbys IF GK Kroppskultur Dgrfors IF Gfl IF Äglholms FF Ljugskil

Läs mer

Ett förspel till Z -transformen Fibonaccitalen

Ett förspel till Z -transformen Fibonaccitalen Ett förspel till Z -trnsformen Fibonccitlen Leonrdo Pisno vnligen klld Leonrdo Fiboncci, den knske störste mtemtiker som Europ frmburit före renässnsen skrev år 10 en bok (Liber bci) i räknelär. J, fktiskt.

Läs mer

Innovation GAT med guldkant

Innovation GAT med guldkant Innovtion GT med guldknt Med nytänknde och uppfinningsrikedom hr bubbelbdkret nu tgits till en helt ny nivå. tt bdkr ur GTs Innovtion-serie ger dig fler vlmöjligheter, enklre funktioner och mssge utöver

Läs mer

XIV. Elektriska strömmar

XIV. Elektriska strömmar Elektromgnetismens grunder Strömmens riktning Mn definierr tt strömmen går från plus (+) till minus (-). För tt få till stånd en ström måste mn. Spänningskäll 2. Elektriskt lednde ledningr 3. Sluten krets

Läs mer

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 TMV /2015 Matematiska vetenskaper

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 TMV /2015 Matematiska vetenskaper CTH/GU LABORATION TMV7-4/5 Mtemtisk vetenskper Inledning Integrler Iblnd kn mn inte bestämm integrler exkt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproximtioner. T.ex. e x dx kn inte beräkns exkt, eftersom det

Läs mer

Nr 3/4 20 PYSSEL! LÄSARFOTON. Så hjälper du igelkotten

Nr 3/4 20 PYSSEL! LÄSARFOTON. Så hjälper du igelkotten N KLUBBE 13 Nr 3/4 20 PYSSEL! LÄSARFOTON Så hjälper du igelkotten i vinter 1 Hej! u är den tiden på året N då djuren förbereder sig för den kll vintern. Mång fåglr flyger långt långt bort till vrmre länder.

Läs mer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1 LINJÄR ALGEBRA II LEKTION JOHAN ASPLUND INNEHÅLL. VEKTORRUM OCH DELRUM Hel kursen Linjär Algebr II hndlr om vektorrum och hur vektorrum (eller linjär rum, som de iblnd klls) beter sig. Tidigre hr mn ntgligen

Läs mer

Skapa uppmärksamhet och få fler besökare till din monter!

Skapa uppmärksamhet och få fler besökare till din monter! Skp uppmärksmhet och få fler esökre till din monter! För tt vinn den tuff tävlingen om uppmärksmheten, på en plts där hel rnschen är smld, gäller det tt slå på stor trummn och tl om tt du finns. Till en

Läs mer

Ett centrum för utbildning rörelseanalys som saknar motstycke

Ett centrum för utbildning rörelseanalys som saknar motstycke lg och E cenrum för ubldnng r m rörelenly om knr moycke g ne lg D ne Domnque Fle Den 11 mj beg jg mg ll Nork lgerener Fredrkd för e fler eenden nren beök. Guro och Mru Hedenberg nämmer hel den krk om dnngen

Läs mer

Matte KONVENT. Ma te ma tik. Länktips: Mattecentrum.se Matteboken.se Formelsamlingen.se Pluggakuten.se. Innehåll: Pluggtips Formelsamling Kursprov

Matte KONVENT. Ma te ma tik. Länktips: Mattecentrum.se Matteboken.se Formelsamlingen.se Pluggakuten.se. Innehåll: Pluggtips Formelsamling Kursprov Mtte KONVENT Plgg tillsmmns inför de ntionell proen i mtemtik M te m tik Länktips: Mttecentrm.se Mtteoken.se Formelsmlingen.se Plggkten.se 5 Innehåll: Plggtips Formelsmling Krspro I smrete med retsgirorgnistionen

Läs mer

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2011 3. Kravgränser 4. Del I, 8 uppgifter utan miniräknare 5. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 8

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2011 3. Kravgränser 4. Del I, 8 uppgifter utan miniräknare 5. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 8 Kurs plnering.se NpMC vt011 1(9) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 011 Krvgränser 4 Del I, 8 uppgifter utn miniräknre 5 Del II, 9 uppgifter med miniräknre 8 Förslg på lösningr

Läs mer

Lödda värmeväxlare, XB

Lödda värmeväxlare, XB Lödd värmeväxlre, XB Beskrivning/nvändning XB är en lödd plttvärmeväxlre utveckld för nvändning i fjärrvärmesystem t ex, luftkonditionering, värme, tppvrmvtten. XB lödd plttvärmeväxlre tillverks med fler

Läs mer

SF1625 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys Modul 5: Integrler Institutionen för mtemtik KTH 30 november 4 december Integrler Integrler är vd vi sk håll på med denn veck och näst. Vi kommer tt gör följnde: En definition v vd begreppet betyder En

Läs mer

upphängning, sy»tam A,B.G./ med stolpar utanför spåren, soligt ritning

upphängning, sy»tam A,B.G./ med stolpar utanför spåren, soligt ritning Tillhör Kungl. Maj sts beslut den 26 november 1946«K u ngl. Kommunikationsdepartementet Ink. Konmu Koll«Blektr. Byrån 15 okt. 1947 till Dnr. 651 k / U Kortfattad tekninsk beskrivning över Saltholmen-Göteborgs

Läs mer