Föreläsning 6: Spektralskattning: icke parametriska metoder. Leif Sörnmo 4 oktober 2009

Transkript

1 Föreläsning 6: Spektralskattning: icke parametriska metoder Leif Sörnmo 4 oktober

2 Metoder för spektralskattning icke-parametriska korrelogram, periodogram fönstring, medelvärdesbildning minimum-varians maximum-entropi parametriska (redan beskrivna i Kap 4-6) frekvensskattning sk signalrumsmetoder (Pisarenko, MUSIC, m.fl.) 2

3 Spektralanalys en konstart? Leder alltid samma data till samma spektrum? Svaret på denna, något banala, fråga är naturligtvis nej. Mycket stora skillnader kan i vissa fall erhållas. Se exemplet nedan där två olika metoder (icke-parametrisk resp parametrisk) använts på samma signal. Bra att veta är hur spektrumet ser ut redan innan man skattar det åtminstone på ett ungefär så att man kan välja lämplig metod! 3

4 Spektraltäthet två definitioner Spektraltäthet kan definieras som Fouriertransformen av autokorrelationsfunktionen r x (k), P x (e jω ) = k= r x (k)e jωk eller som väntevärdet för Fouriertransformen på signalen x(n), P x (e jω ) = lim E N 1 N N 1 n=0 x(n)e jωn Man kan visa att dessa definitioner är identiska om man gör det snälla antagande att r x (k) avtar som 2 lim N 1 N N k= N k r x (k) = 0 4

5 Visa gärna detta! Utnyttja följande samband: N 1 k=0 N 1 l=0 r x (k l) = N 1 k= N +1 (N k )r x (k)

6 Skattning av spektraltäthet korrelogram och periodogram Skattningen baserad på r x (k) korrelogram, definieras av ˆP x,kor (e jω ) = N 1 k= N +1 där r x (k) erhålles från den ändliga signalen med x N (n) = ˆr x (k) = 1 N x(n) ˆr x (k)e jωk 0 n < N 0 för övrigt n= x N (n + k)x N (n) 5

7 Skattningen baserad på x(n) periodogram, fås genom att strunta i väntevärdet, dvs ˆP x,per (e jω ) = 1 N N 1 n=0 x(n)e jωn 2 = 1 N X N(k) 2

8 Liktydighet mellan skattning baserad på korrelogram och periodogram Om standardsättet att skatta autokorrelationsfunktionen används (även känd som skattningen med bias ) i korrelogrammetoden, dvs ˆr x (k) = 1 N N 1 k n=0 x N (n + k)x N (k) så kan man visa att korrelogrammet och periodogrammet ger identiska skattningar av spektraltätheten! Se Föreläsning 1. 6

9 Egenskaper hos periodogrammet Viktiga spektrala egenskaper kan studeras utifrån det kvadratiska medelfelet, ε = E [ ˆP x (f) P x (f) 2]. Detta fel kan delas upp i två användbara mått: bias(ˆp x (f)) = E [ˆP x (f) ] P x (f) varians(ˆp x (f)) = E [ ˆP x (f) E[ˆP x (f)] 2] vilket följer av följande omskrivning, ε = E [ ˆP x (f) E[ˆP x (f)] + E[ˆP x (f)] P x (f) 2] = E [ ˆP x (f) E[ˆP x (f)] 2] + E[ˆP x (f)] P x (f) 2 +2Re(E[ˆP x (f) E[ˆP x (f)]] [E[ˆP x (f)] P x (f)]) = varians(ˆp x (f)) + bias(ˆp x (f)) 2 Konsistens: En skattning sägs vara konsistent om både bias och varians går mot noll när antalet observationer N ökar. 7

10 Periodogrammets bias Bias beräknas på följande vis: E [ˆP x (e jω ) ] = E = = N 1 k= N +1 N 1 k= N +1 N 1 k= N +1 där w B (k) är ett sk Bartlett fönster w B (k) = N k N ˆr x (k)e jkω E[ˆr x (k)]e jkω r x (k)w B (k)e jkω k N 0 för övrigt 8

11 Bias kan lättare tolkas i frekvensplanet, E [ˆP x (e jω ) ] = 1 2π P x(e jω ) W B (e jω ) där F-transformen av Bartlettfönstret är [ ] sin(nω/2) 2 W B (e jω ) = 1 N sin(ω/2)

12 Periodogrammets bias 2 Diagrammet nedan visar W B (e jω ) för olika signallängder N. 0 W B (e jω ) för N=16 och log10(p(f)) [db] normerad vinkelfrekvens och kan användas för att introducera viktiga begrepp inom spektralanalysen, nämligen: 9

13 Eftersom funktionen W B (e jω ) går mot en impuls när N så är periodogrammet asymptotiskt unbiased, lim N E[ˆP x (e jω ) ] = P x (e jω ) Vi har följande viktiga begrepp&observationer: huvudloben smetar ut frekvenserna i den skattade spektraltätheten och leder till att näraliggande frekvenser flyter samman. Huvudlobens bredd avtar med ökande N. sidlober förorsakar läckage av effekt från huvudloben till intilliggande frekvenser. Sidloberna ska vara så små som möjligt. upplösning är den noggrannhet med vilken två olika frekvenser kan separeras. Teoretiskt sett, kan inte frekvenser på avstånd mindre än 1/N separeras; i praktiken är upplösningen sämre. 10

14 Periodogrammets varians Ett allmänt uttryck för variansen är svårbestämt. Utifrån antagandet att signalen x(n) är normalfördelad, vit med mv noll och varians σ 2 v kan följande olustiga resultat härledas, Var [ˆP x (e jω ) ] P 2 x (ejω ) Periodogrammet är alltså inte en konsistent skattning av P x (e jω ) eftersom variansen inte går mot 0 då N. Följande två frågor är centrala i den följande beskrivningen av ickeparametriska metoder: Hur kan vi minska sidlobernas inverkan? Vad kan vi göra för att minska periodogrammets varians? 11

15 Modifierat periodogram Den ursprungliga skattningen är implicit baserad på ett rektangulärt fönster w R (n), dvs där ˆP x,per (e jω ) = 1 N w R (n) = N 1 n=0 x(n)w R (n)e jωn 1 0 n < N 0 för övrigt Val av andra fönstertyper kan minska sidlobernas inverkan (men samtidigt bredda huvudloben). Det modifierade periodogrammet ges av ˆP x,mod (e jω ) = 1 NU N 1 n=0 där normeringsfaktorn U ges av U = 1 N x(n)w(n)e jωn N 1 n=0 w(n)

16 Rektangulärt fönster 2 Rektangulärt fönster 0 Rektangulärt fönster magnitud i db k normerad frekvens 13

17 Exempel på fönster Nedan presenteras några av de vanligast förekommande fönstrena vid beräkning av det modifierade periodogrammet: Fönster Rektangulär w(k) = 1 Bartlett w(k) = (N k )/N Hanning w(k) =.5 +.5cos( πk N ) Hamming w(k) = cos( πk Blackman w(k) = cos( N 1 πk ) +.08cos( N 1 2πk ) Definition (N är fönsterlängd) N 1 ) 14

18 Fönster Bredd på Nivå på huvudlob (3dB) sidlob (db) Rektangulär 0.9 (2π/N) -13 Bartlett 1.3 (2π/N) -25 Hanning 1.4 (2π/N) -32 Hamming 1.3 (2π/N) -43 Blackman 1.7 (2π/N) -58

19 Exempel på fönster tidsutseende 1 Bartlettfönster 1 Hammingfönster k k 1 Hanningfönster 1 Blackmanfönster k k 15

20 Exempel på fönster frekvensegenskaper 0 Bartlettfönster 0 Hammingfönster magnitud i db magnitud i db normerad frekvens normerad frekvens 0 Hanningfönster 0 Blackmanfönster magnitud i db magnitud i db normerad frekvens normerad frekvens 16

21 Bartletts metod Denna metod minskar variansen hos periodogrammet genom att 1. segmentera signalen och 2. medelvärdesbilda alla enskilda periodogram, dvs följt av ˆP (i) x,per(e jω ) = 1 L ˆP x (e jω ) = 1 K L 1 n=0 K 1 n=0 x i (n)e jωn ˆP (i) x,per(e jω ) 2 Bartletts metod utgår vanligen från en signal med längden N som segmenteras i konsekutiva delsignaler, x i (n) = x(n + il) ; n = 0,..., L 1, i = 0,..., K 1 17

22 Bartletts metod 2 Det slutliga uttrycket för Bartlett-skattningen blir då där N = KL. ˆP B (e jω ) = 1 KL K 1 i=0 L 1 n=0 x(n + il)e jωn 2 Vi noterar att Var [ˆP x (e jω ) ] = 1 (i) Var[ˆP x,per(e jω ) ] 1 K K P2 x (ejω ) vilket innebär att skattningens varians går mot 0 då N och alltså är ˆP x (e jω ) en konsistent skattning. 18

23 Welchs metod...bygger vidare på de två föregående teknikerna genom att 1. segmentera signalen så att segmenten till viss del överlappar med varandra, 2. fönstra varje enskilt segment innan periodogrammet beräknas, och slutligen 3. medelvärdesbilda periodogrammen. Welch-skattningen definieras av: ˆP W (e jω ) = 1 KLU K 1 i=0 L 1 n=0 w(n)x(n + id)e jωn där D anger överlappningen mellan successiva segment. 2 19

24 Blackman-Tukeys metod Till skillnad från tidigare metoder utgår denna från fönstring av ˆr x (k) istället för direkt på x(n) och definieras av ˆP x,bt (e jω ) = M k= M ˆr x (k)w(k)e jωk Detta fönster beror på olika förskjutningar k hos ˆr x (k) istället för på tidssignalen och kallas därför laggfönster (istället för tidsfönster). Laggfönster måste ha en icke-negativ Fouriertransform, dvs W(e jω ) > 0 ω, för att inte producera en ofysikalisk (negativ) spektralskattning. Detta inses lättast i frekvensplanet, ˆP x,bt (e jω ) = 1 2π π π ˆP x,per (e ju )W(e j(ω u) )du dvs faltningen mellan ˆP x,per (e jω ) och W(e jω ). 20

25 Blackman-Tukeys metod, forts BT-skattningens bias bestäms av E [ˆP x,bt (e jω ) ] = 1 2π P x(e jω ) W(e jω ) och dess varians av Var [ˆP x,bt (e jω ) ] P 2 x(e jω ) 1 N M k= M och bär sig alltså i stora drag åt som Welchs metod. w 2 (k) 21

26 Slutsatser En spektralskattning kan ha lägre varians mot att dess upplösning försämras (dvs. ökad bias). Segmentering ger lägre varians men kortare signaler som resulterar i sämre spektral upplösning. 22

27 Tillämpning solfläckar 23

28 Solfläckar subtraktion av mv Följande exempel visar vikten av att subtrahera medelvärdet innan periodogrammet beräknas. Notera att toppen vid 0.11 Hz nu är betydligt mera framträdande efter DC subtraktion. 24