Introduktion till statistik för statsvetare

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Introduktion till statistik för statsvetare"

Transkript

1 Stockholms universitet September 2011

2 Balanseringspunkt Låt oss betrakta mätserie 4 för vilken vi antar att mätdata är längder hos rekryter. En strukturell kunskap om dessa längder är av betydelse vid tillverkning av tex uniformer. Men samma problem har klädkedjor som H&M, Zara mfl Vi har nu angett vad som skall mätas dvs vår slumpvariabel är X = längden hos en rekryt Ett mått av intresse för dessa längder är den genomsnittliga längden. Ordet genomsnittligt är mycket vagt och kan ges många tolkningar. Vi skall först använda ordet i betydelsen balanseringspunkt. Låt oss se hur detta mått kan beräknas.

3 Balanseringspunkt (forts) Med balanseringspunkten för två lika vikter, v, på avstånden x 1 och x 2 avses det tal x 2 som är sådant att v (x 1 x 2 ) = v ( x 2 x 2 ) Denna jämviktsekvation har lösningen x 2 = x 1 + x 2 2 Vad blir balanseringspunkten för tre lika vikter, v, på avstånden x 1, x 2 och x 3? För de två första talen finner vi x 2 och balanseringspunkten mellan detta tal, som nu har vikten 2v, och x 3 blir på samma sätt som ovan 2v ( x 2 x 3 ) = v ( x 3 x 3 )

4 Balanseringspunkt (forts) Denna andra jämviktsekvation har lösningen x 3 = x 1 + x 2 + x 3 3 För fyra tal finner vi analogt (beräkningarna överlåts till läsaren) x 4 = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 och för våra 20 längdmätningar erhålls balanseringspunkten x 20 = x 1 + x 2 + x 19 + x = 1 20 (x 1 + x 2 + x 19 + x 20 ) = x i = 843 i=1 5 = 168.6

5 Balanseringspunkt (forts) När vi har många mätningar kommer vi ofta få dubletter, tripletter, osv. Låt oss därför antaga att vi fick n 1 stycken x 1, n 2 stycken x 2,..., n k stycken x k (bland de 20 hittar vi två stycken 154, två stycken 159 och två stycken 170. Resterande längder finns det bara en av). Vi kan nu skriva, n = n 1 + n n k, x n = 1 n n i=1 x i = 1 n k n j x j = j=1 k n j j=1 n x j Inför nu beteckningen ˆp j = n j n där vi kallar ˆp j för normerad pinne. För normerade pinnar gäller k k n j ˆp j = j=1 j=1 n = k j=1 n j n = 1

6 Balanseringspunkt (forts) Allmänt kan vi skriva balanseringspunkten på formen x n = 1 n n x i = i=1 k ˆp j x j = j=1 k x j ˆp j j=1 Den allmänna balanseringspunkten känner vi även igen som det aritmetiska medelvärdet.

7 Spridning I nedanstående figur ser vi dels två lika stora pinnar nära varandra och dels samma pinnar långt ifrån varandra. x 1 = 1 x 2 = +1 x 1 = 100 x 2 = +100

8 Spridning (forts) Ett mått som mäter detta intryck är spridningen (variansen). För de två figurerna definieras denna av ˆσ 2 1 = 2 (x 1j x 1 ) 2 ˆp j respektive ˆσ = (x 2j x 2 ) 2 ˆp j. j=1 j=1 Spridningen i dessa två fall blir ˆσ 2 1 = ˆσ 2 2 = 2 (x 1j x) 2 1 j=1 2 = ( 1)2 + (1) 2 2 = 1 2 (x 2j x) 2 1 j=1 2 = ( 100)2 + (100) 2 2 = Här har vi antagit att pinnarna har storlek 1 2 detta följer av att de är lika och skall summeras till 1.

9 Spridning (forts) Allmänt definerar vi spridningen som ˆσ 2 = 1 n n (x i x) 2 k = (x j x) 2 ˆp j. i=1 j=1 För att få samma sort som för medelvärdet brukar man dra roten ur variansen och får då standardavvikelsen, ˆσ. För vår mätserie 4 finner vi ˆσ 2 = 68.0 ˆσ = 8.2

10 Ordna mätserien i växande storleksordning. Det värde som hamnar i mitten kallas median. en är en annan kandidat för ett genomsnittligt värde. Vad gör vi om det inte finns ett entydigt mittersta tal? Vi tar det aritmetiska medelvärdet av de två mittersta! För vår mätserie 4 har vi 20 mätningar och således blir medianen det aritmetiska medlevärdet av de två mittersta. Vi har ˆm = = 169.5

11 (forts) Allmänt har vi en mätserie x 1, x 2,..., x n och arbetsgången blir 1 ordna i växande storleksordning och beteckna den ordnade mätserien x (1), x (2),..., x (n) och för denna gäller x (1) x (2) x (n). 2 bestäm medianen som x (k) n = 2k + 1 m = x (k) + x (k+1) 2 n = 2k

12 Första och tredje kvartilen en till den första hälften av den sorterade mätserien kallas den första kvartilen, Q 1. en till den andra hälften av den sorterade mätserien kallas den tredje kvartilen, Q 3. Med andra kvartilen, Q 2, menar vi medianen. För vår mätserie 4 erhålls Q 1 = 163, Q 3 = 174.5

13 Kvartilavstånd och räckvidd Vi kan nu definiera ett par enkla spridningsmått Med kvartilavståndet IQR avses skillnaden mellan tredje och första kvartilen IQR = Q 3 Q 1 Med räckvidden (range) avses skillnaden mellan största och minsta värdet R = x (n) x (1) För vår mätserie 4 finner vi IQR = = 11.5 R = = 30

14 Skevhet Begreppet skevhet introduceras enklast med hjälp av figurer y y y x x x Här är figur a) skev åt höger, b) symmetrisk och c) skev åt vänster.

15 Skevhet (forts) Hur skapa ett mått för skevhet? Betraktar avståndet till medelvärdet och ta detta höjt till 3. Beräkna talet 3 j=1 (x j x) 3 ˆp j för de tre olika figurerna. Vi finner med x = 4 1 (1 4) (2 4) (9 4)3 1 3 = 30, 2 (3 4) (4 4) (5 4)3 1 3 = 0, 3 (1 6) (8 6) (9 6)3 1 3 = 30. En dimensionslös skevhet definieras av ˆγ 1 = k j=1 (x j x) 3 ˆp j ˆσ 3 = 1 n n i=1 (x i x) 3 ˆσ 3 Framgent avses denna storhet när vi skriver ˆγ 1.

16 Toppighet Begreppet toppighet introduceras även det enklast med figurer y y x x y y 2/5 1/ Figur a) är spetsigare än b) som är spetsigare än c) som är spetsigare än d). x x

17 Toppighet (forts) Hur skapa ett mått för toppighet? Betraktar avståndet till medelvärdet och ta detta höjt till 4. Beräkna talet 3 j=1 (x j x) 4 ˆp j för de fyra olika figurerna. Vi finner med x = 2 1 (1 2) (2 2) (3 2)4 1 8 = 0.25, 2 (1 2) (2 2) (3 2)4 1 4 = 0.5, 3 (1 2) (2 2) (3 2)4 1 3 = , 4 (1 2) (2 2) (3 2)4 2 5 = 0.8. En dimensionslös toppighet definieras av ˆγ 2 = k j=1 (x j x) 4 ˆp 1 j n ˆσ 4 = n i=1 (x i x) 4 ˆσ 4 Framgent avses denna storhet när vi skriver ˆγ 2.

18 För vår mätserie 4 erhålls (x i x) 3 = 3.41 och i= (x i x) 4 = i=1 varför vi erhåller skevheten och toppigheten ˆγ 1 = = och ˆγ 2 = = Bestäm de genomgångna måtten (balanseringspunkt, spridning, varians, skevhet och toppighet) för de övriga mätserierna. Beskriv med egna ord vad de olika måtten står för.

19 169, 172, 159, 170, 154, 159, 184, 177, 181, 166, 170, 167, 164, 168, 174, 171,

2 Dataanalys och beskrivande statistik

2 Dataanalys och beskrivande statistik 2 Dataanalys och beskrivande statistik Vad är data, och vad är statistik? Data är en samling fakta ur vilken man kan erhålla information. Statistik är vetenskapen (vissa skulle kalla det konst) om att

Läs mer

Kvantitativ strategi Univariat analys 2. Wieland Wermke

Kvantitativ strategi Univariat analys 2. Wieland Wermke + Kvantitativ strategi Univariat analys 2 Wieland Wermke + Sammanfattande mått: centralmått n Beroende på skalnivån finns det olika mått, som betecknar variablernas fördelning n Typvärde eller modalvärde

Läs mer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer Innehåll 1 2 Diskreta observationer Kontinuerliga observationer 3 Centralmått Spridningsmått Innehåll 1 2 Diskreta observationer Kontinuerliga observationer 3 Centralmått Spridningsmått Vad är statistik?

Läs mer

Arvodesenkät. Resultat 2014. Egenföretagare. www.dik.se/lonestatistik

Arvodesenkät. Resultat 2014. Egenföretagare. www.dik.se/lonestatistik Resultat 2014 Egenföretagare Arvodesenkät www.dik.se/lonestatistik DIK:s arvodesstatistik för egenföretagare baseras på en årlig enkät som vänder sig till förbundets medlemmar som angett att de bedriver

Läs mer

Två innebörder av begreppet statistik. Grundläggande tankegångar i statistik. Vad är ett stickprov? Stickprov och urval

Två innebörder av begreppet statistik. Grundläggande tankegångar i statistik. Vad är ett stickprov? Stickprov och urval Två innebörder av begreppet statistik Grundläggande tankegångar i statistik Matematik och statistik för biologer, 10 hp Informationshantering. Insamling, ordningsskapande, presentation och grundläggande

Läs mer

Gamla tentor (forts) ( x. x ) ) 2 x1

Gamla tentor (forts) ( x. x ) ) 2 x1 016-10-10 Gamla tentor - 016 1 1 (forts) ( x ) x1 x ) ( 1 x 1 016-10-10. En liten klinisk ministudie genomförs för att undersöka huruvida kostomläggning och ett träningsprogram lyckas sänka blodsockernivån

Läs mer

MVE051/MSG Föreläsning 7

MVE051/MSG Föreläsning 7 MVE051/MSG810 2016 Föreläsning 7 Petter Mostad Chalmers November 23, 2016 Överblick Deskriptiv statistik Grafiska sammanfattningar. Numeriska sammanfattningar. Estimering (skattning) Teori Några exempel

Läs mer

KLEINLEKTION. Område statistik. Lektionens upplägg. Lämplig inom kurserna Matematik 2b och 2c. Engage (Väck intresse) Explore (Upptäck laborera)

KLEINLEKTION. Område statistik. Lektionens upplägg. Lämplig inom kurserna Matematik 2b och 2c. Engage (Väck intresse) Explore (Upptäck laborera) KLEINLEKTION Område statistik. Lämplig inom kurserna Matematik 2b och 2c. Centralt innehåll i Matematik 2b och 2c: Statistiska metoder för rapportering av observationer och mätdata från undersökningar

Läs mer

Innehåll. Frekvenstabell. II. Beskrivande statistik, sid 53 i E

Innehåll. Frekvenstabell. II. Beskrivande statistik, sid 53 i E Innehåll I. Grundläggande begrepp II. Deskriptiv statistik (sid 53 i E) III. Statistisk inferens Hypotesprövnig Statistiska analyser Parametriska analyser Icke-parametriska analyser 1 II. Beskrivande statistik,

Läs mer

Medicinsk statistik I

Medicinsk statistik I Medicinsk statistik I Läkarprogrammet T5 VT 2013 Susanna Lövdahl, Msc, Doktorand Klinisk koagulationsforskning, Lunds universitet E-post: susanna.lovdahl@med.lu.se Medicinsk statistik VT-2013 Tre stycken

Läs mer

BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11 ÖVNING 6 (2015-04-22) OCH INFÖR ÖVNING 7 (2015-04-29)

BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11 ÖVNING 6 (2015-04-22) OCH INFÖR ÖVNING 7 (2015-04-29) LUNDS UNIVERSITET, MATEMATIKCENTRUM, MATEMATISK STATISTIK BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11 ÖVNING 6 (2015-04-22) OCH INFÖR ÖVNING 7 (2015-04-29) Aktuella avsnitt i boken: Kap 61 65 Lektionens mål: Du ska

Läs mer

Introduktion till statistik för statsvetare

Introduktion till statistik för statsvetare Olika figurer Stockholms universitet September 2011 Olika typer av data Olika figurer Data nominal, ordinal, intervall och kvot Nominaldata Ordinaldata Intervalldata Kvotdata Med data menar vi jämförbara

Läs mer

Mer om slumpvariabler

Mer om slumpvariabler 1/20 Mer om slumpvariabler Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 4/2 2013 2/20 Dagens föreläsning Diskreta slumpvariabler Vilket kretskort ska man välja? Väntevärde

Läs mer

ÖVNINGSUPPGIFTER KAPITEL 2

ÖVNINGSUPPGIFTER KAPITEL 2 ÖVNINGSUPPGIFTER KAPITEL 2 DATAMATRISEN 1. Datamatrisen nedan visar ett utdrag av ett datamaterial för USA:s 50 stater. Stat Befolkningsmängd Inkomst Marijuana Procent män (miljoner) per person lagligt?

Läs mer

Statistik och epidemiologi T5

Statistik och epidemiologi T5 Statistik och epidemiologi T5 Anna Axmon Biostatistiker Yrkes- och miljömedicin Biostatistik kursmål Dra slutsatser utifrån basala statistiska begrepp och analyser och själva kunna använda sådana metoder.

Läs mer

2.1 Minitab-introduktion

2.1 Minitab-introduktion 2.1 Minitab-introduktion Betrakta följande mätvärden (observationer): 9.07 11.83 9.56 7.85 10.44 12.69 9.39 10.36 11.90 10.15 9.35 10.11 11.31 8.88 10.94 10.37 11.52 8.26 11.91 11.61 10.72 9.84 11.89 7.46

Läs mer

Kvantitativ forskning C2. Viktiga begrepp och univariat analys

Kvantitativ forskning C2. Viktiga begrepp och univariat analys + Kvantitativ forskning C2 Viktiga begrepp och univariat analys + Delkursen mål n Ni har grundläggande kunskaper över statistiska analyser (univariat, bivariat) n Ni kan använda olika programvaror för

Läs mer

Föreläsning 1. NDAB02 Statistik; teori och tillämpning i biologi

Föreläsning 1. NDAB02 Statistik; teori och tillämpning i biologi Föreläsning 1 Statistik; teori och tillämpning i biologi 1 Kursens uppbyggnad 9 föreläsningar Föreläsningsunderlag läggs ut på kurshemsidan 5 lektioner Uppgifter från kursboken enligt planering 5 laborationer

Läs mer

Läs noggrant informationen nedan innan du börjar skriva tentamen

Läs noggrant informationen nedan innan du börjar skriva tentamen Tentamen i Statistik 1: Undersökningsmetodik Ämneskod S0006M Totala antalet uppgifter: Totala antalet poäng Lärare: Mykola Shykula 5 25 Tentamensdatum 2014-05-15 Skrivtid 09.00-14.00 Jourhavande lärare:

Läs mer

Beskrivande statistik

Beskrivande statistik Beskrivande statistik Tabellen ovan visar antalet allvarliga olyckor på en vägsträcka under 15 år. år Antal olyckor 1995 36 1996 20 1997 18 1998 26 1999 30 2000 20 2001 30 2002 27 2003 19 2004 24 2005

Läs mer

Introduktion till statistik för statsvetare

Introduktion till statistik för statsvetare "Det finns inget så praktiskt som en bra teori" November 2011 Vad kursen handlar om Kurslitteratur Examination Betygssättning Betygskriterier Vad kursen handlar om är inte en sedvanlig introduktionskurs

Läs mer

Läs noggrant informationen nedan innan du börjar skriva tentamen

Läs noggrant informationen nedan innan du börjar skriva tentamen Tentamen i Statistik 1: Undersökningsmetodik Ämneskod S0006M Totala antalet uppgifter: Totala antalet poäng Lärare: 5 25 Mykola Shykula, Inge Söderkvist, Ove Edlund, Niklas Grip Tentamensdatum 2013-03-27

Läs mer

F2 Introduktion. Sannolikheter Standardavvikelse Normalapproximation Sammanfattning Minitab. F2 Introduktion

F2 Introduktion. Sannolikheter Standardavvikelse Normalapproximation Sammanfattning Minitab. F2 Introduktion Gnuer i skyddade/oskyddade områden, binära utfall och binomialfördelningar Matematik och statistik för biologer, 10 hp Fredrik Jonsson Januari 2012 I vissa områden i Afrika har man observerat att förekomsten

Läs mer

Deskription (Kapitel 2 i Howell) Moment 1: Statistik, 3 poäng

Deskription (Kapitel 2 i Howell) Moment 1: Statistik, 3 poäng Kognitiv psykologi Moment 1: Statistik, 3 poäng VT 27 Lärare: Maria Karlsson Deskription (Kapitel 2 i Howell) Beskrivande mått, tabeller och diagram 1 2 Tabeller Tabell- och kolumnrubriker bör vara fullständiga

Läs mer

Väntevärde och varians

Väntevärde och varians TNG6 F5 19-4-216 Väntevärde och varians Exempel 5.1. En grupp teknologer vid ITN slår sig ihop för att starta ett företag som utvecklar datorspel. Man vet att det är 8% chans för ett felfritt spel som

Läs mer

Typvärde. Mest frekventa värdet Används framförallt vid nominalskala Ex: typvärdet. Kemi 250. Ekon 570. Psyk 120. Mate 195.

Typvärde. Mest frekventa värdet Används framförallt vid nominalskala Ex: typvärdet. Kemi 250. Ekon 570. Psyk 120. Mate 195. Lägesmått Det kan ibland räcka med ett lägesmått för att beskriva datamaterial Lägesmåttet kan vara bra att använda då olika datamaterial skall jämföras Vilket lägesmått som skall användas: Typvärde Median

Läs mer

4.2.1 Binomialfördelning

4.2.1 Binomialfördelning Ex. Kasta en tärning. 1. Vad är sannolikheten att få en 6:a? 2. Vad är sannolikheten att inte få en 6:a? 3. Vad är sannolikheten att få en 5:a eller 6:a? 4. Om vi kastar två gånger, vad är då sannolikheten

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A13 (4 poäng) Lördag 11 november 2006, Kl

Tentamen i Statistik, STA A13 (4 poäng) Lördag 11 november 2006, Kl Tentamen i Statistik, STA A13 ( poäng) Lördag 11 november 00, Kl 09.00-13.00 Tillåtna hjälpmedel: Bifogad formelsamling, approximationsschema och tabellsamling (dessa skall returneras). Egen miniräknare.

Läs mer

ÖVNINGSUPPGIFTER KAPITEL 2

ÖVNINGSUPPGIFTER KAPITEL 2 ÖVNINGSUPPGIFTER KAPITEL 2 DATAMATRISEN 1. Datamatrisen nedan visar ett utdrag av ett datamaterial för USA:s 50 stater. Stat Befolkningsmängd Inkomst Marijuana Procent män (miljoner) per person lagligt?

Läs mer

F9 Konfidensintervall

F9 Konfidensintervall 1/16 F9 Konfidensintervall Måns Thulin Uppsala universitet thulin@math.uu.se Statistik för ingenjörer 18/2 2013 2/16 Kursinformation och repetition Första inlämningsuppgiften rättas nu i veckan. För att

Läs mer

Är sjukvården jämställd och går det åt rätt håll?

Är sjukvården jämställd och går det åt rätt håll? Inledning Som titeln antyder är syftet med den här undersökningen att ta reda på om svensk hälso- och sjukvård är jämställd. Det är en fråga som kan analyseras utifrån olika perspektiv, vilka i huvudsak

Läs mer

6-2 Medelvärde och median. Namn:

6-2 Medelvärde och median. Namn: 6-2 Medelvärde och median. Namn: Inledning Du har nu lärt dig en hel del om datainsamling och presentation av data i olika sorters diagram. I det här kapitlet skall du studera hur man kan karaktärisera

Läs mer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer

Statistik 1 för biologer, logopeder och psykologer Innehåll 1 Grunderna i sannolikhetslära 2 Innehåll 1 Grunderna i sannolikhetslära 2 Satistik och sannolikhetslära Statistik handlar om att utvinna information från data. I praktiken inhehåller de data

Läs mer

LULEÅ TEKNISKA UNIVERSITET Ämneskod S0006M Institutionen för matematik Datum Skrivtid

LULEÅ TEKNISKA UNIVERSITET Ämneskod S0006M Institutionen för matematik Datum Skrivtid LULEÅ TEKNISKA UNIVERSITET Ämneskod S0006M Institutionen för matematik Datum 2008-06-04 Skrivtid 0900 1400 Tentamen i: Statistik 1, Undersökningsmetodik 7.5 hp Antal uppgifter: 5 Krav för G: 15 Lärare:

Läs mer

Experimentella metoder, FK3001. Datorövning: Finn ett samband

Experimentella metoder, FK3001. Datorövning: Finn ett samband Experimentella metoder, FK3001 Datorövning: Finn ett samband 1 Inledning Den här övningen går ut på att belysa hur man kan utnyttja dimensionsanalys tillsammans med mätningar för att bestämma fysikaliska

Läs mer

Föreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012

Föreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012 Föreläsning 1 Repetition av sannolikhetsteori Patrik Zetterberg 6 december 2012 1 / 28 Viktiga statistiska begrepp För att kunna förstå mer avancerade koncept under kursens gång är det viktigt att vi förstår

Läs mer

Läs noggrant informationen nedan innan du börjar skriva tentamen

Läs noggrant informationen nedan innan du börjar skriva tentamen Tentamen i Statistik 1: Undersökningsmetodik Ämneskod S0006M Totala antalet uppgifter: Totala antalet poäng Lärare: Mykola Shykula 5 25 Tentamensdatum 2014-05-15 Skrivtid 09.00-14.00 Jourhavande lärare:

Läs mer

STOCKHOLMS UNIVERSITET HT 2007 Statistiska institutionen Johan Andersson

STOCKHOLMS UNIVERSITET HT 2007 Statistiska institutionen Johan Andersson 1 STOCKHOLMS UNIVERSITET HT 2007 Statistiska institutionen Johan Andersson Skriftlig omtentamen på momentet Statistisk dataanalys I (SDA l, beskrivande statistik) 3 högskolepoäng, ingående i kursen Undersökningsmetodik

Läs mer

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 7 september 2016

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 7 september 2016 SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 4 KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER Tatjana Pavlenko 7 september 2016 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Repetition av diskreta stokastiska variabler. Väntevärde

Läs mer

Föreläsning 1. 732G60 Statistiska metoder

Föreläsning 1. 732G60 Statistiska metoder Föreläsning 1 Statistiska metoder 1 Kursens uppbyggnad o 10 föreläsningar Teori blandas med exempel Läggs ut några dagar innan på kurshemsidan o 5 räknestugor Tillfälle för individuella frågor Viktigt

Läs mer

Analys av medelvärden. Jenny Selander , plan 3, Norrbacka, ingång via den Samhällsmedicinska kliniken

Analys av medelvärden. Jenny Selander , plan 3, Norrbacka, ingång via den Samhällsmedicinska kliniken Analys av medelvärden Jenny Selander jenny.selander@ki.se 524 800 29, plan 3, Norrbacka, ingång via den Samhällsmedicinska kliniken Jenny Selander, Kvant. metoder, FHV T1 december 20111 Innehåll Normalfördelningen

Läs mer

En typisk medianmorot

En typisk medianmorot Karin Landtblom En typisk medianmorot I artikeln Läget? Tja det beror på variablerna! i Nämnaren 1:1 beskrivs en del av problematiken kring lägesmått och variabler med några vanliga missförstånd som lätt

Läs mer

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3 Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3 Kontinuerliga sannolikhetsfördelningar (LLL Kap 7 & 9) Department of Statistics (Gebrenegus Ghilagaber, PhD, Associate Professor) Financial Statistics

Läs mer

LULEÅ TEKNISKA UNIVERSITET Ämneskod S0006M Institutionen för matematik Datum Skrivtid

LULEÅ TEKNISKA UNIVERSITET Ämneskod S0006M Institutionen för matematik Datum Skrivtid LULEÅ TEKNISKA UNIVERSITET Ämneskod S0006M Institutionen för matematik Datum 2009-06-05 Skrivtid 0900 1400 Tentamen i: Statistik 1, Undersökningsmetodik 7.5 hp Antal uppgifter: 6 Krav för G: 12 Lärare:

Läs mer

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2

Algebra & Ekvationer. Svar: Sammanfattning Matematik 2 Algebra & Ekvationer Algebra & Ekvationer Parenteser En parentes När man multiplicerar en term med en parentes måste man multiplicera båda talen i parentesen. Förenkla uttrycket 42 9. 42 9 4 2 4 9 8 36

Läs mer

Finansiering. Föreläsning 6 Risk och avkastning BMA: Kap. 7. Jonas Råsbrant

Finansiering. Föreläsning 6 Risk och avkastning BMA: Kap. 7. Jonas Råsbrant Finansiering Föreläsning 6 Risk och avkastning BMA: Kap. 7 Jonas Råsbrant jonas.rasbrant@fek.uu.se Föreläsningens innehåll Historisk avkastning för finansiella tillgångar Beräkning av avkastning och risk

Läs mer

LULEÅ TEKNISKA UNIVERSITET Ämneskod S0006M Institutionen för matematik Datum Skrivtid

LULEÅ TEKNISKA UNIVERSITET Ämneskod S0006M Institutionen för matematik Datum Skrivtid LULEÅ TEKNISKA UNIVERSITET Ämneskod S0006M Institutionen för matematik Datum 2008-12-22 Skrivtid 0900 1400 Tentamen i: Statistik 1, 7.5 hp Antal uppgifter: 5 Krav för G: 11 Lärare: Jour: Robert Lundqvist,

Läs mer

The Title. The Author. The Date

The Title. The Author. The Date The Title The Author The Date ii Innehåll Vad statistik handlar om. Modeller............................ 3. Tre typer av medelvärden.................. 4.. Median........................ 5.. Typvärde.......................

Läs mer

TMS136. Föreläsning 7

TMS136. Föreläsning 7 TMS136 Föreläsning 7 Stickprov När vi pysslar med statistik handlar det ofta om att baserat på stickprovsinformation göra utlåtanden om den population stickprovet är draget ifrån Situationen skulle kunna

Läs mer

Idag. EDAA35, föreläsning 4. Analys. Kursmeddelanden. Vanliga steg i analysfasen av ett experiment. Exempel: exekveringstid

Idag. EDAA35, föreläsning 4. Analys. Kursmeddelanden. Vanliga steg i analysfasen av ett experiment. Exempel: exekveringstid EDAA35, föreläsning 4 KVANTITATIV ANALYS Idag Kvantitativ analys Slump och slumptal Analys Boxplot Konfidensintervall Experiment och test Kamratgranskning Kursmeddelanden Analys Om laborationer: alla labbar

Läs mer

F5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT , samt del av 5.4)

F5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT , samt del av 5.4) Stat. teori gk, ht 006, JW F5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT 5.1-5.3, samt del av 5.4) Ordlista till NCT Random variable Discrete Continuous Probability distribution Probability distribution function Cumulative

Läs mer

Föreläsning 12: Regression

Föreläsning 12: Regression Föreläsning 12: Regression Matematisk statistik David Bolin Chalmers University of Technology Maj 15, 2014 Binomialfördelningen Låt X Bin(n, p). Vi observerar x och vill ha information om p. p = x/n är

Läs mer

Statistisk undersökning och jämförelser mellan några volumetriska kärl. XXXXXXX

Statistisk undersökning och jämförelser mellan några volumetriska kärl. XXXXXXX Statistisk undersökning och jämförelser mellan några volumetriska kärl. XXXXXXX Prov för nivå Väl Godkänd i statistik/kvalitetskontroll 1c) Gör de beräkningar som krävs för bestämning av validitet och

Läs mer

Det är tänkt att varje elev eller grupp ska få en egen kopia av provresultaten och en egen datablankett att fylla i.

Det är tänkt att varje elev eller grupp ska få en egen kopia av provresultaten och en egen datablankett att fylla i. Aktivitetsbeskrivning Denna aktivitet går igenom grundläggande statistikhantering på en grafräknare. De olika läges- och spridningsmåtten bör åtminstone delvis redan vara bekanta för eleverna. Aktiviteten

Läs mer

LYCKA TILL! Omtentamen i Statistik A1, Institutionen för Farmaceutisk Biovetenskap Institutionen för Farmaci

LYCKA TILL! Omtentamen i Statistik A1, Institutionen för Farmaceutisk Biovetenskap Institutionen för Farmaci Institutionen för Farmaceutisk Biovetenskap Institutionen för Farmaci Omtentamen i Statistik A1, 2013 08 15 Skrivtid: 3 timmar (08:00 11:00) Ansvarig lärare: Åsa Johansson poäng = 45 p Betyg (U/G/VG):

Läs mer

Biostatistik: Begrepp & verktyg. Kvantitativa Metoder II: teori och tillämpning.

Biostatistik: Begrepp & verktyg. Kvantitativa Metoder II: teori och tillämpning. Biostatistik: Begrepp & verktyg Kvantitativa Metoder II: teori och tillämpning Lovisa.Syden@ki.se BIOSTATISTIK att hantera slumpmässiga variationer! BIO datat handlar om levande saker STATISTIK beskriva

Läs mer

STOCKHOLMS UNIVERSITET VT 2009 Statistiska institutionen Jörgen Säve-Söderbergh

STOCKHOLMS UNIVERSITET VT 2009 Statistiska institutionen Jörgen Säve-Söderbergh STOCKHOLMS UNIVERSITET VT 2009 Statistiska institutionen Jörgen Säve-Söderbergh Skriftlig tentamen på momentet Statistisk dataanalys I (SDA l), 3 högskolepoäng ingående i kursen Undersökningsmetodik och

Läs mer

LULEÅ TEKNISKA UNIVERSITET Ämneskod S0002M, MAM801, IEK600,IEK309 Institutionen för matematik Datum 2009-12-17 Skrivtid 0900 1400

LULEÅ TEKNISKA UNIVERSITET Ämneskod S0002M, MAM801, IEK600,IEK309 Institutionen för matematik Datum 2009-12-17 Skrivtid 0900 1400 LULEÅ TEKNISKA UNIVERSITET Ämneskod S0002M, MAM801, IEK600,IEK309 Institutionen för matematik Datum 2009-12-17 Skrivtid 0900 1400 Tentamen i: Statistik A1, 15 hp Antal uppgifter: 6 Krav för G: 13 Lärare:

Läs mer

Laboration 1. i 5B1512, Grundkurs i matematisk statistik för ekonomer

Laboration 1. i 5B1512, Grundkurs i matematisk statistik för ekonomer Laboration 1 i 5B1512, Grundkurs i matematisk statistik för ekonomer Namn:........................................................ Elevnummer:.............. Laborationen syftar till ett ge information

Läs mer

LMA521: Statistisk kvalitetsstyrning

LMA521: Statistisk kvalitetsstyrning Föreläsning 5 Föregående föreläsningar Acceptanskontroll: Konsten att kontrollera producerade enheter så att man kan garantera kvalitet samtidigt som kontrollen inte blir för kostsam att genomföra Dagens

Läs mer

BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11, VT-16, VT2 ÖVNING 3, OCH INFÖR ÖVNING 4

BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11, VT-16, VT2 ÖVNING 3, OCH INFÖR ÖVNING 4 LUNDS UNIVERSITET, MATEMATIKCENTRUM, MATEMATISK STATISTIK BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11, VT-16, VT2 ÖVNING 3, 216-4-6 OCH INFÖR ÖVNING 4 Övningens mål: Du ska förstå begreppet slumpvariabel och skilja

Läs mer

Beskrivande statistik Kapitel 19. (totalt 12 sidor)

Beskrivande statistik Kapitel 19. (totalt 12 sidor) Beskrivande statistik Kapitel 19. (totalt 12 sidor) För att åskådliggöra insamlat material från en undersökning används mått, tabeller och diagram vid sammanställningen. Det är därför viktigt med en grundläggande

Läs mer

Matematik 2b 1 Uttryck och ekvationer

Matematik 2b 1 Uttryck och ekvationer Matematik 2b 1 Uttryck och ekvationer Repetera grunderna i ekvationslösning Lära dig parentesmultiplikation, kvadreringsreglerna och konjugatregeln Lära dig lösa fullständiga andragradsekvationer Få en

Läs mer

4 Diskret stokastisk variabel

4 Diskret stokastisk variabel 4 Diskret stokastisk variabel En stokastisk variabel är en variabel vars värde bestäms av utfallet av ett slumpmässigt försök. En stokastisk variabel betecknas ofta med X, Y eller Z (i läroboken används

Läs mer

Beskrivande statistik

Beskrivande statistik Beskrivande statistik Sorina Barza Department of Mathematics, Karlstad University, Sweden October 5, 2010 Vad är beskrivande statistik? Sammanställning av statistiska material Vad är beskrivande statistik?

Läs mer

LÖNESTATISTIK. Att använda. Lönestatistik

LÖNESTATISTIK. Att använda. Lönestatistik LÖNESTATISTIK Att använda Lönestatistik INNEHÅLL Lönestatistik... 3 Vad visar lönestatistiken... 4 Heltidslön... 4 Medellön... 5 Medianlön... 5 Percentil... 6 Att jämföra olika grupper... 7 Procent...

Läs mer

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M

Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Tentamen i Matematisk statistik Kurskod S0001M Poäng totalt för del 1: 25 (8 uppgifter) Tentamensdatum 2012-01-13 Poäng totalt för del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid 09.00 14.00 Lärare: Adam Jonsson, Ove

Läs mer

Tentamen i Sannolikhetslära och statistik Kurskod S0008M

Tentamen i Sannolikhetslära och statistik Kurskod S0008M Tentamen i Sannolikhetslära och statistik Kurskod S0008M Poäng totalt för del 1: 25 (12 uppgifter) Tentamensdatum 2012-12-19 Poäng totalt för del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid 09.00 14.00 Lärare: Adam Jonsson

Läs mer

Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen

Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen Lektionsanteckningar 11-12: Normalfördelningen När utfallsrummet för en slumpvariabel kan anta vilket värde som helst i ett givet intervall är variabeln kontinuerlig. Det är väsentligt att utfallsrummet

Läs mer

Finns det över huvud taget anledning att förvänta sig något speciellt? Finns det en generell fördelning som beskriver en mätning?

Finns det över huvud taget anledning att förvänta sig något speciellt? Finns det en generell fördelning som beskriver en mätning? När vi nu lärt oss olika sätt att karaktärisera en fördelning av mätvärden, kan vi börja fundera över vad vi förväntar oss t ex för fördelningen av mätdata när vi mätte längden av en parkeringsficka. Finns

Läs mer

Några extra övningsuppgifter i Statistisk teori

Några extra övningsuppgifter i Statistisk teori Statistiska institutionen Några extra övningsuppgifter i Statistisk teori 23 JANUARI 2009 2 Sannolikhetsteorins grunder 1. Tre vanliga symmetriska tärningar kastas. Om inte alla tre tärningarna visar sexa,

Läs mer

Medicinsk statistik I

Medicinsk statistik I Medicinsk statistik I Läkarprogrammet T5 VT 2014 Susann Ullén FoU-centrum Skåne Skånes Universitetssjukhus Medicinsk statistik Varför behöver Ni kunskap i medicinsk statistik? Självständigt arbete Framtida

Läs mer

SVÄNGNINGSTIDEN FÖR EN PENDEL

SVÄNGNINGSTIDEN FÖR EN PENDEL Institutionen för fysik 2012-05-21 Umeå universitet SVÄNGNINGSTIDEN FÖR EN PENDEL SAMMANFATTNING Ändamålet med experimentet är att undersöka den matematiska modellen för en fysikalisk pendel. Vi har mätt

Läs mer

SKOGLIGA TILLÄMPNINGAR

SKOGLIGA TILLÄMPNINGAR STUDIEAVSNITT 3 SKOGLIGA TILLÄMPNINGAR I detta avsnitt ska vi titta på några av de skogliga tillämpningar på geometri som finns. SKOGSKARTAN EN MODELL AV VERKLIGHETEN Arbetar man i skogen klarar man sig

Läs mer

Kapitel 4. Kontinuerliga slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar. Sannolikhetslära och inferens II

Kapitel 4. Kontinuerliga slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar. Sannolikhetslära och inferens II Sannolikhetslära och inferens II Kapitel 4 Kontinuerliga slumpvariabler och deras sannolikhetsfördelningar 1 Kontinuerliga slumpvariabler En slumpvariabel som kan anta alla värden på något intervall sägs

Läs mer

Miniprojektuppgift i TSRT04: Femtal i Yatzy

Miniprojektuppgift i TSRT04: Femtal i Yatzy Miniprojektuppgift i TSRT04: Femtal i Yatzy 22 augusti 2016 1 Uppgift I tärningsspelet Yatzy används fem vanliga sexsidiga tärningar. Deltagarna slår tärningarna i tur och ordning och försöker få vissa

Läs mer

Tentamen Statistik och dataanalys 1, 5p Institutionen för matematik, natur- och datavetenskap, Högskolan i Gävle

Tentamen Statistik och dataanalys 1, 5p Institutionen för matematik, natur- och datavetenskap, Högskolan i Gävle Tentamen Statistik och dataanalys 1, 5p Institutionen för matematik, natur- och datavetenskap, Högskolan i Gävle Lärare: Mikael Elenius, 2006-08-25, kl:9-14 Betygsgränser: 65 poäng Väl Godkänt, 50 poäng

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 1, 4p 12 november 2005, kl

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 1, 4p 12 november 2005, kl Karlstads universitet Institutionen för informationsteknologi Avdelningen för statistik Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 1, 4p 1 november 005, kl. 09.00-13.00 Tillåtna hjälpmedel: Bifogad formel-

Läs mer

Bearbetning och Presentation

Bearbetning och Presentation Bearbetning och Presentation Vid en bottenfaunaundersökning i Nydalasjön räknade man antalet ringmaskar i 5 vattenprover. Följande värden erhölls:,,,4,,,5,,8,4,,,0,3, Det verkar vara diskreta observationer.

Läs mer

Finansmatematik II Kapitel 3 Risk och diversifiering

Finansmatematik II Kapitel 3 Risk och diversifiering STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Avd. för Matematisk statistik Thomas Höglund Version 04 0 8 Finansmatematik II Kapitel 3 Risk och diversifiering 2 Finansmatematik II Risk och diversifiering

Läs mer

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 1, 4p 27 mars 2004, kl

Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 1, 4p 27 mars 2004, kl Karlstads universitet Institutionen för informationsteknologi Avdelningen för statistik Tentamen i Statistik, STA A13 Deltentamen 1, 4p 7 mars 004, kl. 09.00-13.00 Tillåtna hjälpmedel: Ansvarig lärare:

Läs mer

Kap 3: Diskreta fördelningar

Kap 3: Diskreta fördelningar Kap 3: Diskreta fördelningar Sannolikhetsfördelningar Slumpvariabler Fördelningsfunktion Diskreta fördelningar Likformiga fördelningen Binomialfördelningen Hypergeometriska fördelningen Poisson fördelningen

Läs mer

4.1 Grundläggande sannolikhetslära

4.1 Grundläggande sannolikhetslära 4.1 Grundläggande sannolikhetslära När osäkerhet förekommer kan man aldrig uttala sig tvärsäkert. Istället använder vi sannolikheter, väntevärden, standardavvikelser osv. Sannolikhet är ett tal mellan

Läs mer

Liten handledning i Excel och StarOffice Calc i anslutning till Datorövning 1

Liten handledning i Excel och StarOffice Calc i anslutning till Datorövning 1 STOCKHOLMS UNIVERSITET 2004-11-04 MATEMATISK STATISTIK Sannolikhetslära och statistik för lärare Liten handledning i Excel och StarOffice Calc i anslutning till Datorövning 1 Programmet StarOffice Calc

Läs mer

Datorlaboration 1 Deskriptiv statistik med hjälp av MS Excel vers. 2010

Datorlaboration 1 Deskriptiv statistik med hjälp av MS Excel vers. 2010 v. 2015-01-07 ANVISNINGAR Datorlaboration 1 Deskriptiv statistik med hjälp av MS Excel vers. 2010 Detta häfte innehåller kortfattade anvisningar om hur ni använder Excel under denna laboration. Be om hjälp

Läs mer

Tillämpad statistik (A5), HT15 Föreläsning 6: Några övriga urvalsmetoder

Tillämpad statistik (A5), HT15 Föreläsning 6: Några övriga urvalsmetoder Tillämpad statistik (A5), HT15 Föreläsning 6: Några övriga smetoder Ronnie Pingel Statistiska institutionen Senast uppdaterad: 2015-11-11 Några övriga smetoder OSU-UÅ (med eller utan stratifiering) förutsätter

Läs mer

Experimentella metoder 2014, Räkneövning 1

Experimentella metoder 2014, Räkneövning 1 Experimentella metoder 04, Räkneövning Problem : Tio mätningar av en resistans gav följande resultat: Mätning no. Resistans (Ω) Mätning no Resistans (Ω) 0.3 6 0.0 00.5 7 99.98 3 00.0 8 99.80 4 99.95 9

Läs mer

Mata in data i Excel och bearbeta i SPSS

Mata in data i Excel och bearbeta i SPSS Mata in data i Excel och bearbeta i SPSS I filen enkät.pdf finns svar från fyra män taget från en stor undersökning som gjordes i början av 70- talet. Ni skall mata in dessa uppgifter på att sätt som är

Läs mer

Systemkonstruktion Z3 (Kurs nr: SSY-046)

Systemkonstruktion Z3 (Kurs nr: SSY-046) Systemkonstruktion Z3 (Kurs nr: SSY-046) Tentamen 23 oktober 2008 em 14:00-18:00 Tid: 4 timmar. Lokal: "Väg och vatten"-salar. Lärare: Nikolce Murgovski, 772 4800 Tentamenssalarna besöks efter ca 1 timme

Läs mer

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH MER ON VÄNTEVÄRDE OCH VARIANS. KOVARIANS OCH KORRELATION. STORA TALENS LAG. STATISTIK.

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH MER ON VÄNTEVÄRDE OCH VARIANS. KOVARIANS OCH KORRELATION. STORA TALENS LAG. STATISTIK. SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIK FÖRELÄSNING 6 MER ON VÄNTEVÄRDE OCH VARIANS. KOVARIANS OCH KORRELATION. STORA TALENS LAG. Tatjana Pavlenko 12 september 2017 PLAN FÖR DAGENS FÖRELÄSNING Repetition

Läs mer

Sambandsmått. Centralmått. Det mest frekventa värdet. Det mittersta värdet i en rangordnad fördelning. Aritmetiska medelvärdet.

Sambandsmått. Centralmått. Det mest frekventa värdet. Det mittersta värdet i en rangordnad fördelning. Aritmetiska medelvärdet. PM315 HT016 Emma äck Formelsamling Centralmått Typvärde T Median Md ritmetiska medelvärdet Det mest frekventa värdet Det mittersta värdet i en rangordnad fördelning = n Spridningsmått Variationsvidd (Range)

Läs mer

Hämtning av sekundärdata och introduktion till Excel

Hämtning av sekundärdata och introduktion till Excel Metod och analys, 7.5hp 1 Hämtning av sekundärdata och introduktion till Excel Hämta sekundärdata från SCB Excels utformning Summera rader och kolumner Beräkna kohorter Låsning av celler Kopiera rader

Läs mer

Statistiska metoder för säkerhetsanalys

Statistiska metoder för säkerhetsanalys F3: Slumpvariaber och fördelningar Diskret Kontinuerlig Slumpvariabler Slumpvariabler = stokastiska variabler = random variables = s.v. Heter ofta X, Y, T. Diskreta kan anta ändligt eller uppräkneligt

Läs mer

Föreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 5 HT06

Föreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 5 HT06 Föreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 5 HT06 Bengt Ringnér September 20, 2006 Inledning Detta är preliminärt undervisningsmaterial. Synpunkter är välkomna. 2 Väntevärde standardavvikelse

Läs mer

Parade och oparade test

Parade och oparade test Parade och oparade test Andrew Hooker Division of Pharmacokinetics and Drug Therapy Department of Pharmaceutical Biosciences Uppsala University Hypotesprövning: möjliga jämförelser Jämförelser mot ett

Läs mer

Sannolihhet. och statistik. Vad är möjligt och vad är inte möjligt? Kommer tåget fram i tid? Blir det regn imorgon? Vi bedömer ständigt risker eller

Sannolihhet. och statistik. Vad är möjligt och vad är inte möjligt? Kommer tåget fram i tid? Blir det regn imorgon? Vi bedömer ständigt risker eller - ^^s^^^^'^^ Sannolihhet och statistik Vad är möjligt och vad är inte möjligt? Kommer tåget fram i tid? Blir det regn imorgon? Vi bedömer ständigt risker eller chanser för att olika händelser ska inträffa.

Läs mer

Kursnamn: Vetenskapsteori och grundläggande forskningsmetod

Kursnamn: Vetenskapsteori och grundläggande forskningsmetod KOD: Kurskod: PM1303 Kursnamn: Vetenskapsteori och grundläggande forskningsmetod Ansvarig lärare: Magnus Lindwall Tentamensdatum: 2013-10-02 kl. 12:30 16:30 Tillåtna hjälpmedel: Miniräknare Tentan består

Läs mer

Provmoment: Tentamen 2 Ladokkod: 61ST01 Tentamen ges för: SSK06 VHB. TentamensKod: Tentamensdatum: Tid:

Provmoment: Tentamen 2 Ladokkod: 61ST01 Tentamen ges för: SSK06 VHB. TentamensKod: Tentamensdatum: Tid: Vetenskaplig teori och metod Provmoment: Tentamen 2 Ladokkod: 61ST01 Tentamen ges för: SSK06 VHB 7,5 högskolepoäng TentamensKod: Tentamensdatum: 2012-11-09 Tid: 09.00-11.00 Hjälpmedel: Inga hjälpmedel

Läs mer

Föreläsning 5. Funktioner av slumpvariabler. Ett centralt resultat.

Föreläsning 5. Funktioner av slumpvariabler. Ett centralt resultat. Föreläsning 5. Funktioner av slumpvariabler. Ett centralt resultat. Jesper Rydén Matematiska institutionen, Uppsala universitet jesper.ryden@math.uu.se 1MS008, 1MS777 vt 2016 Ytterligare begrepp Viktiga

Läs mer

Lär lätt! Statistik - Kompendium

Lär lätt! Statistik - Kompendium Björn Lantz Lär lätt! Statistik - Kompendium Studentia 006 Björn Lantz och Studentia Ladda ner kompendiet gratis på ISBN 87-7681-080-1 Studentia Innehållsförteckning Innehållsförteckning 1. Introduktion

Läs mer