Formler och Tabeller. Digital signalbehandling
|
|
- Carina Lindqvist
- för 8 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Institutionen för elektro- och informationsteknik Formler och Tabeller Digital signalbehandling Bengt Mandersson Lund 0 Department of Electrical and Information Technology, Lund University, Sweden
2 Innehåll Grundläggande samband 3. Trigonometriska formler Matristeori Kurvformer Några ofta förekommande samband Korrelation Kretsmodeller (en insignal, en utsignal) Några beräkningsmetoder Analog sinussignal genom linjärt, kausalt lter Tidsdiskret sinussignal genom linjärt, kausalt lter Transformer 0. Laplacetransform Laplacetransform av kausala signaler Enkelsidig Laplacetransform av icke-kausala signaler Fouriertransform för tidskontinuerlig signal Z-transformen Z-transform av kausala signaler Enkelsidig Z-transform av icke kausala signaler Fouriertransform för tidsdiskret signal Fourierserieutveckling Kontinuerlig tid Diskret tid Diskreta Fouriertransformen (DFT) Denition Cirkulär faltning Icke-cirkulär faltning med DFT Relation till Fouriertransformen X(f): Relation till Fourierserier Parsevals teorem Några egenskaper hos DFT Några fönsterfunktioner och deras Fouriertransform Sampling av analoga signaler 3 3. Sampling och rekonstruktion Distorsionsmått Vikningsdistorsion vid sampling Periodiseringsdistorsion vid rekonstruktion Kvantiseringsdistorsion Decimering och interpolering Analoga lter 7 4. Filterapproximationer av ideala LP-lter Butterworthlter Chebyshevlter
3 4..3 Bessellter Frekvenstransformationer av analoga lter Tidsdiskreta lter FIR-lter och IIR-lter FIR-lter med fönstermetoden Ekvirippel FIR-lter FIR-lter med minstakvadratmetoden IIR-lter Impulsinvarians Bilinjär transformation Koecientkvantisering Latticelter Spektralskattning 4
4 Grundläggande samband. Trigonometriska formler sin α = cos(α π/) sin(α β) = sin α cos β cos α sin β cos α = sin(α π/) cos(α β) = cos α cos β sin α sin β cos α sin α = sin α sin β = cos(α β) cos(α β) cos α sin α = cos α sin α cos β = sin(α β) sin(α β) sin α cos α = sin α cos α cos β = cos(α β) cos(α β) sin( α) = sin α sin α sin β = sin αβ cos α β cos( α) = cos α cos α cos β = cos αβ cos α β cos α = ( cos α) cos α = (ejα e jα ), sin α = j (ejα e jα ), e jα = cos α j sin α A cos α B sin α = A B cos(α β) där cos β = och β = A A, sin β = B B A B arctan B A om A 0 arctan B A π om A < 0 A cos α B sin α = A B sin(α β) där cos β = och β = B A, sin β = B A A B arctan A B om B 0 arctan A B π om B < 0 Grader Rad sin cos tan cot ± 30 π π 4 60 π π 0 ± 0 3
5 . Matristeori Beteckning av matris A och vektor x En matris A av ordningen mxn och en vektor x med dimensionen n denieras av a a... a n a a... a n A =... a m a m... a mn Matrisen A är symmetrisk om a ij = a ji ij. I betecknar enhetsmatrisen. Transponering av matris A Determinant av matris A B = A T där b ij = a ji (AB) T = B T A T x = a a... a n a a... a n n deta = A = = a... ij ( ) ij detm ij i= a m a m... a mn där M ij är den matris som erhålles om rad i och kolumn j i matrisen A strykes. Speciellt gäller för en x matris: Invers av matris A där C denieras av detab = deta detb deta = a a a a A A = AA = I Speciellt gäller för en x matris: A = deta CT c ij = ( ) ij detm ij (AB) = B A A = deta (om deta#0) ( a a 4 a a ) x x. x n
6 Egenvärden och egenvektorer Egenvärdena (λ i, i =,,..., n) och egenvektorerna (q i, i =,,..., n) är lösningar till ekvationssystemet Aq = λq eller (A λi)q = 0 Egenvärdena kan beräknas som lösningar till karakteristiska ekvationen (sekularekvationen) till A det(λi A) = λ n α n λ n α 0 = 0 det(λi A) kallas karakteristiska polynomet (sekularpolynomet) till A..3 Kurvformer Enhetssteg u(t) = Impulsfunktion δ(t) = { t 0 0 t < 0 { t = 0 0 t # 0 δ(t)dt = Rektangelfunktion p(t) = x(t)δ(t)dt = x(0) t < 0 t > Sinc-funktion Periodisk sinc-funktion sinc x = sin πx πx diric(x, N) = sin ( ) Nx N sin ( ) x Komplex sinus Komplex odämpad sinus e st = e σt e jωt.4 Några ofta förekommande samband Summa av geometrisk serie N a n = n=0 N om a = a N a om a 5 e jωt = cos Ωt j sin Ωt
7 Summation av sinussignal över jämnt antal perioder N n=0 e jπ kn/n = { N om k = 0, ±N,... 0 f.ö..5 Korrelation Korrelation, korskorrelation, spektrum, korspektrum och koherens mellan in- och utsignal y(t) = h(t) x(t) y(n) = h(n) x(n) Y (F ) = H(F ) X(F ) Y (f) = H(f) X(f) r yy (τ) = r hh (τ) r xx (τ) r yy (n) = r hh (n) r xx (n) R yy (F ) = H(F ) R xx (F ) R yy (f) = H(f) R xx (f) r yx (τ) = h(τ) r xx (τ) r yx (n) = h(n) r xx (n) R yx (F ) = H(F ) R xx (F ) R yx (f) = H(f) R xx (f) r xx (τ) = t x(t)x(t τ)dt r xx(n) = l x(l)x(l n) r yx (τ) = t y(t)x(t τ)dt r yx(n) = l y(l)x(l n) γ xx (τ) = E{x(t)x(t τ)} γ xx (n) = E{x(l)x(l n)} γ yx (τ) = E{y(t)x(t τ)} γ yx (n) = E{y(l)x(l n)} Normalfördelade stok.var. X i N(m i, σ i ) E{X X X 3 X 4 } = E{X X } E{X 3 X 4 } E{X X 3 } E{X X 4 } E{X X 4 } E{X X 3 } m m m 3 m 4.6 Kretsmodeller (en insignal, en utsignal) ) Kanonisk form (direkt form II) x(n) b 0 y(n) -a z - v N (n) b -a z - v N- (n) b -a N- b N- z - -a N v (n) b N 6
8 ) Dierensekvation 3) Tillståndsbeskrivning N M y(n) = a k y(n k) b k x(n k) k= k=0 där F = { v(n ) = Fv(n) q x(n) y(n) = g T v(n) d x(n) a k a k... a a.. ; q = ) Systemfunktion g T = (b k,..., b, b ) b 0 (a k,..., a, a ) ; d = b 0 H(z) = b 0 b z b M z M a z a N z N.7 Några beräkningsmetoder ) Faltning y(n) = h x = ) Tillståndsekvation a) Direkt lösning b) Impulssvar c) Systemfunktion k= y(n) = g T F n v(0) h(k)x(n k) = n k=0 k= h(n k)x(k) g T F n k qx(k)u(n ) dx(n) h(n) = g T F n qu(n ) dδ(n) H(z) = g T [zi F] q d 7
9 .8 Analog sinussignal genom linjärt, kausalt lter ) Komplex, icke-kausal insignal x(t) = e jω 0t = (cos(ω 0 t) j sin(ω 0 t)) < t < y(t) = τ=0 h(τ)x(t τ)dτ = ) Komplex, kausal insignal τ=0 h(τ)e jω 0(t τ) dτ = H(s) s=jω0 e jω 0t } {{ } stationär x(t) = e jω 0t u(t) = (cos(ω 0 t) j sin(ω 0 t)) u(t); X(s) = s jω 0 Y (s) = H(s)X(s) = T (s) N(s) 3) Reell, icke-kausal insignal s jω 0 = T (s) N(s) } {{ } transient y(t) = transient H(s) s=jω0 e jω 0t } {{ } stationär H(s) s=jω0 s jω 0 } {{ } stationär x(t) = Re{e jω 0t } = cos(ω 0 t) < t < y(t) = τ=0 4) Reell, kausal insignal h(τ)x(t τ)dτ = τ=0 h(τ) (ejω 0(t τ) e jω 0(t τ) )dτ = = H(s) s=jω0 cos(ω 0 t arg{h(s) s=jω0 }) } {{ } stationär x(t) = Re{e jω 0t } u(t) = cos(ω 0 t) u(t); X(s) = s s Ω 0 Y (s) = H(s)X(s) = T (s) N(s) s s Ω 0 = T (s) C s C 0 N(s) s Ω 0 } {{ } } {{ } transient stationär H(s) s=jω0 = A e jθ ; C = A cos(θ); C 0 = AΩ 0 sin θ y(t) = transient C cos(ω 0 t) C 0 sin(ω 0 t) = Ω } {{ 0 } stationär = transient H(s) s=jω0 cos(ω 0 t arg{h(s) s=jω0 }) } {{ } stationär 8
10 .9 Tidsdiskret sinussignal genom linjärt, kausalt lter ) Komplex, icke-kausal insignal x(n) = e jω 0n = (cos(ω 0 n) j sin(ω 0 n)) < n < y(n) = h(k)x(n k) = h(k)e jω0(n k) = H(z) z=e jω 0 e jω 0n } {{ } k=0 k=0 ) Komplex, kausal insignal stationär x(n) = e jω 0n u(n) = (cos(ω 0 n) j sin(ω 0 n)) u(n); X(z) = Y (z) = H(z)X(z) = T (z) N(z) 3) Reell, icke-kausal insignal e = T (z) jω 0 z N(z) } {{ } transient y(n) = transient H(z) z=e jω 0 stationär e jω 0n } {{ } e jω 0 z H(z) z=e jω 0 e jω 0 z } {{ } stationär x(n) = Re{e jω 0n } = cos(ω 0 n) < n < y(n) = h(k)x(n k) = h(k) k=0 k=0 (ejω 0(n k) e jω0(n k) ) = 4) Reell, kausal insignal = H(z) z=e jω 0 cos(ω 0 n arg{h(z) z=e jω 0 }) } {{ } stationär x(n) = Re{e jω 0n } u(n) = cos(ω 0 n) u(n); X(z) = Y (z) = H(z)X(z) = T (z) N(z) cos ω 0 z cos ω 0 z z = T (z) N(z) } {{ } transient cos ω 0 z cos ω 0 z z C 0 C z cos ω 0 z z } {{ } stationär H(z) z=e jω 0 = A e jθ ; C 0 = A cos(θ); C = A(sin ω 0 sin θ cos ω 0 cos θ) y(n) = transient C 0 cos(ω 0 n) C C 0 cos(ω 0 ) sin(ω 0 n) = sin(ω 0 ) } {{ } stationär = transient H(z) z=e jω 0 cos(ω 0 n arg{h(z) z=e jω 0 }) } {{ } stationär 9
11 Transformer. Laplacetransform.. Laplacetransform av kausala signaler I nedanstående tabell är f(t) = 0 för t < 0 (dvs f(t) u(t) = f(t)).. f(t) = F(s) = σj σ j F(s)est ds 0 f(t)e st dt. πj ν a ν f ν (t) ν a ν F ν (s) Linjäritet 3. f(at) a F( s a ) Skalning 4. f( t ) F(as) a > 0 Skalning a a 5. f(t t 0 ); t t 0 F(s) e st 0 Tidsförskjutning 6. f(t) e at F(s a) Frekvensförskjutning d n f s n F(s) Derivering dt n t 0 f(τ)dτ s 9. ( t) n f(t) dn F(s) ds n 0. f(t) t s F(s) Integrering Derivation i frekvensplanet F(z)dz Integration i frekvensplanet. lim t 0 f(t) = lim s s F(s) Begynnelsevärdesteoremet. lim t f(t) = lim s 0 s F(s) Slutvärdesteoremet 3. f (t) f (t) = F (s) F (s) t 0 f (τ)f (t τ)dτ = t 0 f (t τ)f (τ)dτ Faltning i tidsplanet 4. f (t) f (t) F πj (s) F (s) = πj σj σ j F (z) F (s z) dz Faltning i frekvensplanet 5. 0 f (t) f (t)dt = σj πj σ j F (s) F ( s)ds Parsevals relation 0
12 6. δ(t) 7. δ n (t) s n 8. s 9. n! t n s n 0. e σ 0t s σ 0. (n )! tn e σ 0t (s σ 0 ) n. sin Ω 0 t Ω 0 s Ω 0 3. cos Ω 0 t s s Ω 0 4. t sin Ω 0 t Ω 0 s (s Ω 0) 5. t cos Ω 0 t s Ω 0 (s Ω 0) 6. e σ 0t sin Ω 0 t 7. e σ 0t cos Ω 0 t Ω 0 (s σ 0 ) Ω 0 s σ 0 (s σ 0 ) Ω 0 8. e σ 0t sin(ω 0 t φ) (s σ 0) sin φ Ω 0 cos φ (s σ 0 ) Ω 0.. Enkelsidig Laplacetransform av icke-kausala signaler Beteckning F (s) = 0 f(t)e st dt Enkelsidig Laplacetransform, f(t) ej nödvändigtvis kausal. F(s) = F (s) För kausala signaler Vid derivering av f(t) erhålles d dt f(t) s F (s) f(0 ) Derivering en gång d n dt f(t) sn F (s) s n f(0 ) s n f () (0 )... f (n ) (0 ) Derivering n gånger
13 . Fouriertransform för tidskontinuerlig signal Ω = πf. w(t) = F {W (F )} = W (F ) = F{w(t)} = W (F )ejπf t df w(t)e jπf t dt. ν a ν w ν (t) ν a ν W ν (F ) 3. w ( t) W (F ) 4. W (t) w( F ) 5. w(at) W ( ) F a a 6. w(t t 0 ) W (F ) e jπf t 0 7. w(t) e jπf 0t W (F F 0 ) 8. w (t) W ( F ) 9. d n w(t) dt n (jπf ) n W (F ) 0. t w(τ)dτ jπf W (F ) om W (F ) = 0 för F = 0. jπt w(t) dw df. w (t) w (t) W (F ) W (F ) 3. w (t) w (t) W (F ) W (F ) 4. w(t) dt = W (F ) df Parsevals relation 5. w (t) w (t)dt = W (F ) W (F )df w (t), w (t) reella 6. δ(t) 7. δ(f ) 8. u(t) jπf δ(f ) 9. e at u(t) ajω
14 0. e a t a a Ω. e jπf 0t δ(f F 0 ). sinπf 0 t j {δ(f F 0) δ(f F 0 )} 3. sinπf 0 t u(t) Ω 0 Ω 0 Ω j 4 {δ(f F 0) δ(f F 0 )} 4. cosπf 0 t {δ(f F 0) δ(f F 0 )} 5. cosπf 0 t u(t) jω Ω 0 Ω 4 {δ(f F 0) δ(f F 0 )} 6. πσ e t /σ e (Ωσ) / 7. e at sinπf 0 t u(t) 8. e a t sinπf 0 t 9. e at cosπf 0 t u(t) 30. e a t cosπf 0 t Ω 0 (jω a) (Ω 0 ) Ω 0 (Ω 0 a Ω ) (Ω a Ω 0) 4a Ω 0 jω a (jω a) (Ω 0 ) a(ω 0 a Ω ) (Ω a Ω 0) 4a Ω 0 3. rect(at) = { för t < a 0 för f.ö. a sinc( F a ) a > 0 3. sinc(at) = sin(πat) πat a rect( F a ) a > rep T (w(t)) = m= w(t mt ) T comb /T (W (F )) 34. T comb T (w(t)) = rep /T (W (F )) T m= w(mt )δ(t mt ) 35. n= c n δ(t nt ) n= T c nδ(f n T ) = c n e jπnt F 3
15 .3 Z-transformen.3. Z-transform av kausala signaler. X (z) = Z[x(n)] = n= x(n)z n Transform. x(n) = Z [X (z)] = πj Γ X (z)zn dz 3. ν a ν x ν (n) ν a ν X ν (z) Inverstransform Linjäritet 4. x(n n 0 ) z n 0 X (z) Skift (n 0 positivt eller negativt heltal) 5. nx(n) z d dz 6. a n x(n) X ( ) z a 7. x( n) X ( ) z 8. [ nl= x(l) ] z z X (z) X (z) Multiplikation med n Skalning Spegling av tidsföljden Summering 9. x y X (z) Y(z) Faltning 0. x(n) y(n) πj Γ Y(ξ)X ( ) z ξ ξ dξ Produkt. x(0) = lim z X (z) (om gränsvärdet existerar) Begynnelsevärdesteoremet. lim n x(n) = lim z (z )X (z) Slutvärdesteoremet (om ROC inkluderar enhetscirkeln) l= x(l)y(l) = πj Γ x(z)y ( ) z z dz Parsevals teorem för reellvärda tidsföljder l= x (l) = πj Γ X (z)x (z )z dz -- 4
16 Talföljd Transform x(n) X (z) 5. δ(n) 6. u(n) z 7. nu(n) z ( z ) 8. α n u(n) αz 9. (n )α n u(n) ( αz ) 0. (n )(n )... (n r ) (r )! α n u(n) ( αz ) r. α n cos βn u(n). α n sin βn u(n) z α cos β z α cos β α z z α sin β z α cos β α z 3. F n u(n) (I z F).3. Enkelsidig Z-transform av icke kausala signaler Beteckning X (z) = n=0 x(n)z n Enkelsidig Z-transform, x(n) ej nödvändigtvis kausal X (z) = X (z) För kausala signaler Vid skift av x(n) erhålles: i) skift ett steg ii) skift n 0 steg (n 0 0) x(n ) z X (z) x( ) x(n ) zx (z) x(0) z x(n n 0 ) z n 0 X (z) x( )z n 0 x( )z n 0... x( n 0 ) x(n n 0 ) z n 0 X (z) x(0)z n 0 x()z n 0... x(n 0 )z 5
17 .4 Fouriertransform för tidsdiskret signal. X(f) = F(x(n)) = Transform = l= x(l)e jπfl ω = πf. x(n) = / π π X(f)ejωn dω 3. = π / X(f)ejπfn df = Inverstransform aν x ν (n) ν a ν X ν (f) Linjäritet 4. x(n n 0 ) X(f) e jπfn 0 Skift 5. x(n)e jπf 0n X(f f 0 ) Frekvenstranslation 6. x(n) cos πf 0 n [X(f f 0) X(f f 0 )] Modulation 7. x(n) sin πf 0 n j [X(f f 0) X(f f 0 )] Modulation 8. x y X(f) Y (f) Faltning 9. x y / / X(λ) Y (f λ)dλ Produkt 0. Parsevals teorem / X(f)Y (f)df för reellvärda tidsföljder l= x(l)y(l) = = /. X(f) = X (e jω ) Om x(n) = 0 för n < n 0 och l= x(l) < (Gäller t.ex.: 8,9,0, och i Z-transformtabellen för α < ). δ(n) 3. δ(n n 0 ) e jωn 0 4. n p= δ(f p) 5. u(n) p= δ(f p) j tan(πf) 6
18 6. f sinc(f n) = f sin(πf n) πf n ( ) rect f p f = Idealt LP-lter 7. 4f sinc(f n) cos(πf 0 n) ( ) rect f f0 p f f n < f < /, n heltal 0 f.ö. ( ) rect f f0 p f Idealt BP-lter 8. πf n cos πf n sin πf n πn jπ(f n) (jπf) p = 0 f.ö. Deriverande"krets f n < f < /, n heltal 9. cos(πf 0 n) p= [δ(f f 0 p) δ(f f 0 p)] 0. α n α α α cos πf. α n cos(πf 0 n) α. p r (n) = [ ] α α cos π(f f 0 ) α α cos π(f f 0 ) n M 0 f.ö. M udda P r (f) = sin(πfm) sin(πf) Rektangulärt fönster 7
19 .5 Fourierserieutveckling.5. Kontinuerlig tid En periodisk funktion med perioden T 0, dvs f(t) = f(t T 0 ), kan uttryckas i en serieutveckling enligt där c k = T 0 f(t) = k= c k e jπkf 0t T 0 f(t)e jπkf 0t dt ; F 0 = T 0 Om f(t) reell kan detta också uttryckas där f(t) = c 0 c k cos(πkf 0 t θ k ) = = a 0 k= k= a k cos πkf 0 t b k sin πkf 0 t a 0 = c 0 = T 0 T 0 f(t)dt a k = c k cos θ k = T 0 T 0 f(t) cos(πkf 0 t)dt b k = c k sin θ k = T 0 Eekten ges av (Parsevals relation) För reella signaler gäller också att P = T 0 T 0 f(t) dt = T 0 f(t) sin(πkf 0 t)dt k= c k P = c 0 c k = a 0 (a k b k= k) k=.5. Diskret tid En periodisk funktion med perioden N, dvs f(n) = f(n N), kan uttryckas i en serieutveckling enligt där c k = N N n=0 f(n) = N k=0 jπk n/n c k e f(n) e jπk n/n, k = 0,..., N Serieutvecklingen betecknas ofta med DTFS (discrete-time Fourier series). 8
20 Om f(n) reell kan detta också uttryckas där Eekten ges av ( L f(n) = c 0 c k cos π kn ) k= N θ k = ( ( L = a 0 a k cos π kn ) ( b k sin π kn )) k= N N a 0 = c 0 a k = c k cos(θ k ) b k = c k sin(θ k ) N L = P = N och energin över en period ges av E N = N n=0 N n=0 om N jämn N om N udda f(n) = f(n) = N N k=0 N k=0 c k c k.6 Diskreta Fouriertransformen (DFT).6. Denition OBS: X k = DF T (x n ) = x n = IDF T (X k ) = N N n=0 N n=0 N k=0 e jπ k k 0 N.6. Cirkulär faltning x n N y n = N l=0 x n e jπnk/n k = 0,,..., N Transform X k e jπnk/n n = 0,,..., N Inversion n = N δ(k k 0, (modulo N)) x l y n l,modulon DFT X k Y k Cirkulär faltning Detta betyder att x n - och y n -sekvenserna skall upprepas periodiskt före summationen, dvs utanför intervallet n = 0,,..., N gäller vid summationen att x n ln = x n och y n ln = y n (l = heltal) dvs index beräknas modulo N. Cirkulär faltning betecknas också x(n) y(n). 9
21 .6.3 Icke-cirkulär faltning med DFT Om x(n) = 0 för n [0, L ] och y(n) = 0 för n [0, M ] så är x y = 0 för n [0, N ] där N L M. Faltningen kan beräknas ur där x y = x N y = IDFT(X k Y k ) n = 0,,..., N 0 f.ö. X k = DFT(x(n)) Y k = DFT(y(n)).6.4 Relation till Fouriertransformen X(f): X(k/N) = X k = DF T (x(n)) om x(n) = 0 för n [0, N ] X(k/N) = X k = DF T (x p (n)) allmänt x(n) där x p (n) =.6.5 Relation till Fourierserier om där och X c k = N ( ) k = X k = DF T (x(n)) = N c k N x(n) = x p (n), 0 n N x p (n) =.6.6 Parsevals teorem N n=0 N k=0 nk jπ c k e N < n < nk jπ x p (n)e N k = 0,,..., N l= x(n ln) N n=0 x(n)y (n) = N N k=0 X k Y (k) 0
22 .6.7 Några egenskaper hos DFT Tid Frekvens x(n), y(n) X(k), Y (k) x(n) = x(n N) X(k) = X(k N) x(n ) X(N k) x((n )) N X(k)e jπk/n x(n)e jπn/n X((k )) N x (n) X (N k) x (n) N x (n) X (k)x (k) x(n) N y ( n) X(k)Y (k) x (n)x (n) N (k) N X (k) N n=0 x(n)y (n) N N k=0 X(k)Y (k).7 Några fönsterfunktioner och deras Fouriertransform i) Fönsterfunktionerna centrerade kring origo (M udda) dvs funktionerna är skilda från 0 bara för (M )/ n (M )/ Rektangelfönster: Hanningfönster: Hammingfönster: Blackmanfönster: w rect (n) = W rect (f) = M sin(πfm) Msin(πf) w hanning (n) = cos ( πn ) M W hanning (f) = 0.5 W rect (f) 0.5 W rect ( f ) M ) 0.5 W rect ( f M w hamming (n) = cos ( πn ) M W hamming (n) = 0.54 W rect (f) 0.3 W rect ( f ) M ) 0.3 W rect ( f M w blackman (n) = cos πn 4πn 0.08cos M M
23 W blackman (f) = 0.4 W rect (f) 0.5 W rect ( f Bartlettfönster (triangelfönster): w triangel (n) = W triangel (f) = M 0.5 W rect ( f 0.04 W rect ( f ) M ) M ) M ) 0.04 W rect ( f M n (M )/ ( sin πfm ) M sin(πf) M W rect ii) Fönsterfunktioner denierade för 0 n M (M udda) Hanning Hamming Blackman w hanning (n) = 0.5 cos π ( n M M ( ( )) n = 0.5 cos π M ( ) f för små f ) = w hamming (n) = cos π ( ) n M M πn = cos M w blackman (n) = cos π ( ) n M M 0.08 cos 4π ( ) n M = M Triangelfönster (Bartlett) = cos w triangel (n) = πn 4πn 0.08 cos M ( ) n M M = M
24 3 Sampling av analoga signaler 3. Sampling och rekonstruktion Fouriertransformer Tidskontinuerlig signal: X a (F ) = x a(t)e jπf t dt Tidsdiskret signal: x a (t) = X a(f )e jπf t df X(f) = n= x(n)e jπfn Samplingsteoremet x(n) = / / X(f)ejπfn df För bandbegränsad x a (t), dvs X a (F ) = 0 för F /T gäller x a (t) = Samplingsfrekvens F s = /T. Sampling n= x(n) sin π (t nt ) T (t nt ) π T Rekonstruktion (idealt) x(n) = x a (nt ) ; T = F s ( ) F X(f) = X = F s X a (F kf s ) Fs k= ( ) F Γ(f) = Γ = F s Fs x a (t) = X a (F ) = F s X n= ( ) F Fs Γ a (F ) = ( ) F Γ F s Fs Rekonstruktion med sample-and-hold k= Γ a (F kf s ) x(n) sin π (t nt ) T (t nt ) π T F F s F F s X a (F ) = ( ) F X sin(πf T ) e jπf T HLP (F ) F s Fs πf T Γ a (F ) = ( ) F Γ sin(πf T ) H F s Fs πf T LP (F ) 3
25 Blockschema över D/A omvandling Ideal rekonstruktion x(n) T Lågpass y (t) a -Fs/ Fs/ x(n) Σ δ( t-n T) n x() T y (t) a X(f) n t t F X( ) T Fs Y (F) a f F F Fs/ Fs/ -Fs/ Fs/ y a (t) = Y a (F ) = F s X Rekonstruktion med sample-and-hold x(n) sin π (t nt ) T (t nt ) n= ( ) F Fs π T F F s x(n) h SH (t) Lågpass y a (t) T -Fs/ Fs/ x(n) Σ δ( t-n T) n y a (t) n t t X(f) F X( ) H (F) Y (F) Fs SH a f F F Fs/ Fs/ -Fs/ Fs/ Y a (F ) = ( ) F X F s Fs sin(πf T ) πf T 4 e jπf T HLP (F )
26 3. Distorsionsmått 3.. Vikningsdistorsion vid sampling Spektrum efter antivikningslter: Vikningsdistorstion: Nyttig signaleekt: där 0 F p F s / Signaldistorsionsförhållande: D A = Γ in (F ) F s F p Γ in (F )df Fp D s = Γ in (F )df 0 A: SDR A = D S D A = F p Γ 0 in (F )df Γ in(f )df Fs Fp B: SDR 0 A = min F Fp Γ in (F ) Γ in (F s F ) Vid monotont avtagande spektrum blir SDR 0 A = Γ in(f p ) Γ in (F s F p ) 3.. Periodiseringsdistorsion vid rekonstruktion Periodiseringsdistorsion: Nyttig signaleekt: Signaldistorsionsförhållande: D P = D S = F s/ Fs / A: SDR P = D S D P = B: SDR 0 P = min F <Fs/ 0 Γ ut (F )df Γ ut (F )df F s/ Γ ut (F )df 0 Γ ut(f )df Fs/ Γ ut (F ) Γ ut(f s F ) Ett bra mått ges ofta av SDRP 0 = Γ ut(f p ) Γ ut (F s F p ) där F p svarar mot högsta frekvenskomponenten hos den samplade signalen. 5
27 3.3 Kvantiseringsdistorsion D Q linjär kvantisering, litet SDR Q = Signaleekt D q Kvantiseringsdistorsion vid sinussignal, maximal utstyrning, r bitar SDR Q =.76 6 r[db] Kvantiseringsdistorsion, utstyrning uttryckt i topp- och RMS-värde, r bitar SDR Q = 6 r log där [ V, V ] är kvantiserarens utstyrningsområde. 3.4 Decimering och interpolering Nedsampling med en faktor M Uppsampling med en faktor L ( ) ( ) Apeak V A RMS 0 0 log A peak M y(n) = {... u(0), u(m), u(m)...} Y (f) = M M i=0 U ( ) f i M L w(n) = {... x(0), 0, 0,..., x(), 0, 0,..., x()...} } {{ } } {{ } W (f) = X(fL) L- st L- st 6
28 4 Analoga lter 4. Filterapproximationer av ideala LP-lter Allmän form på approximationens amplitudfunktion H(Ω) = K g N ( ( ΩΩp ) ) Ω = πf där ( ) g N Ω Ω p Ω Ω p < Ω Ω p > och Ω p är ltrets gränsvinkelfrekvens. Ibland kan det vara lämpligt att normera vinkelfrekvensen med Ω p. Detta svarar mot att man sätter Ω p = i detta avsnitt. 4.. Butterworthlter H(Ω) = K ( ) N Ω Ω p H( Ω) Kurvan går alltid genom dessa punkter 3dB K K Ω p Ω K = amplitudfunktionens maximivärde. K = amplitudfunktionens värde för Ω = 0. Systemfunktionens nämnare är Butterworthpolynom om Ω p =. Dessa polynom nns i Tabell.. För allmänt Ω p gäller H(s) = ( s Ω p ) N an ( s Ω p ) N a ( s Ω p ) där a,..., a N erhålles ur Tabell K
29 Tabell 4. Koecienter a ν i Butterworthpolynom s N a N s N... a s N a a a 3 a 4 a 5 a 6 a Tabell 4. Faktoriserade Butterworthpolynom för Ω p =. För Ω p låt s s/ω p. N (s ) (s s ) 3 (s s )(s ) 4 (s s )(s.84776s ) 5 (s )(s 0.680s )(s.680s ) 6 (s 0.576s )(s s )(s.938s ) 7 (s )(s s )(s.465s )(s.80s ) 8 (s s )(s.0s )(s.6630s )(s.96s ) 4.. Chebyshevlter H(Ω) = K ( ) ε TN Ω Ωp Ripple H( Ω) N udda K K ε N jämn Ω p Kurvan går alltid genom denna punkt Ω OBS! Ej nödvändigtvis 3dB-gräns 8
30 Ripple = 0 log( ε ) db. K = amplitudfunktionens maximivärde. K amplitudfunktionens värde för Ω = 0 då N är jämn. T N ( Ω Ω p ) är Chebyshevpolynom. (Betecknas även med C N ( Ω Ω p )). Dessa nns i Tabell 4.3 för Ω p =. För Ω p låt Ω Ω Ω p i Tabell 4.3. Systemfunktionen H(s) = K a 0 { N udda N jämn ε ( s Ω p ) N an ( s Ω p ) N a0 där ε, a 0,..., a N erhålles ur Tabell 4.4. Pollägena till H(s) nns i Tabell 4.5 för Ω p =. För Ω p multipliceras pollägena med Ω p. Tabell 4.3 Chebyshevpolynom. eller cos(n arccosω) Ω T N (Ω) = cosh(n arccoshω) Ω T N (Ω) = Rekursiv beräkning ( Ω Ω ) N ( Ω Ω ) N T N (Ω) = ΩT N (Ω) T N (Ω) Ω = πf Ω N T N (Ω) 0 Ω Ω 3 4Ω 3 3Ω 4 8Ω 4 8Ω 5 6Ω 5 0Ω 3 5Ω 6 3Ω 6 48Ω 4 8Ω 7 64Ω 7 Ω 5 56Ω 3 7Ω 8 8Ω 8 56Ω 6 60Ω 4 3Ω 9 56Ω 9 576Ω 7 43Ω 5 0Ω 3 9Ω 0 5Ω 0 80Ω 8 0Ω 6 400Ω 4 50Ω 9
31 Tabell 4.4. Koecienterna a ν i Chebyshevlter. 0.5dB ripple (ε = 0.349, ε = 0.). N a 7 a 6 a 5 a 4 a 3 a a a db ripple (ε = 0.509, ε = 0.59). N a 7 a 6 a 5 a 4 a 3 a a a db ripple (ε = 0.765, ε = 0.585). N a 7 a 6 a 5 a 4 a 3 a a a dB ) ripple (ε = 0.998, ε = 0.995). N a 7 a 6 a 5 a 4 a 3 a a a *) Tabellen är uträknad för "exakt"3db, ej för 0 log 3.0dB. Därav ε och a 0 för N =. 30
32 Tabell 4.5. Pollägen för Chebyshevlter. 0.5dB ripple (ε = 0.349, ε = 0.). N = ±j.004 ±j.06 ±j.008 ±j ±j.0 ±j0.4 ±j.0 ±j0.738 ±j.006 ±j ± ±j0.65 ±j0.70 ±j0.807 ±j ±j0.448 ±j0.00 -db ripple (ε = 0.509, ε = 0.59). N = ±j0.895 ±j0.983 ±j0.993 ±j ±j0.966 ±j0.407 ±j0.990 ±j0.77 ±j0.995 ±j ±j0.6 ±j0.66 ±j0.798 ±j ±j0.443 ±j0.98 -db ripple (ε = 0.765, ε = 0.585). N = ±j0.83 ±j0.958 ±j0.98 ±j ±j0.93 ±0.397 ±j0.973 ±0.79 ±j0.987 ±j ±j0.60 ±j0.63 ±j0.79 ±j ±j0.439 ±j dB ) ripple (ε = 0.998, ε = 0.995). N = ±j0.777 ±j0.946 ±j0.976 ± ±j0.904 ±j0.39 ±j0.966 ±0.75 ±j0.983 ±j ±j0.597 ±j0.6 ±j0.789 ±j ±j0.437 ±j0.96 *) Se anmärkning Tabell
33 4..3 Bessellter Bessellter ger en maximalt at grupplöptid. Koecienter till Besselpolynom. n a 0 a a a 3 a 4 a Rötter till Besselpolynom. n ±j ±j ±j ±j ±j ±j ±j ±j ±j4.497 Faktoriserade Besselpolynom n s s 3s (s s )(s.39) 5 4 (s 5.794s 9.403)(s s.4878) 05 5 (s s 4.75)(s s 8.563)(s ) (s s 8.803)(s 7.474s 0.858) (s s 6.540)
34 4. Frekvenstransformationer av analoga lter. Utgå från frekvenserna för kravspecikationen i det analoga högpass-, bandpass- eller bandspärrltret. I det färdiga ltret blir Ω Ω = Ω l Ω u.. Transformera till LP-ltrets frekvenser Ω p =, Ω r. 3. Sök LP-ltrets koecienter. 4. Transformera tillbaka till ursprungsltret (HP, BP, BS) genom att byta s i H(s) enligt nedan. För BP, BS transformeras lämpligen polerna direkt om H(s) ska ges faktoriserad i :a-gradspolynom. Beräkna eventuellt nytt värde på Ω eller Ω (om A B). Α(Ω) LP HP BP BS Α(Ω) Α(Ω) Α(Ω) Ω r Ω Ω r Ω u Ω Ω Ω l Ω uω Ω Ω l Ω Ω Ωu Ω S Ω u s (s Ω l Ω u ) s(ω u Ω l ) s(ω u Ω l ) (s Ω l Ω u ) Framåt Bakåt LP-HP Ω r = Ω u /Ω r Ω r = Ω u /Ω r LP-BP Ω av = (Ω u Ω l )/ Ω r = min( A, B ) Ω = Ω rω av Ω l Ω u Ω av Ω r A = ( Ω Ω l Ω u )/[Ω (Ω u Ω l )] Ω = Ω rω av Ω l Ω u Ω av Ω r B = (Ω Ω l Ω u )/[Ω (Ω u Ω l )] s BP = S LP Ω av ± (S LP Ω av ) Ω u Ω l ) LP-BS Ω av = (Ω u Ω l )/ Ω r = min( A, B ) Ω = Ω av/ω r Ω l Ω u Ω av /Ω r A = Ω (Ω u Ω l )/( Ω Ω l Ω u ) Ω = Ω av/ω r Ω l Ω u Ω av /Ω r B = Ω (Ω u Ω l )/( Ω Ω l Ω u ) s BP = Ω av /S LP ± (Ω av /S LP ) Ω u Ω l ) 33
35 5 Tidsdiskreta lter 5. FIR-lter och IIR-lter FIR-lter IIR-lter H(z) = b 0 b z... b M z M h(n) = { bn 0 n M 0 för övrigt H(z) = b 0 b z... b M z M a z... a N z N h(n) = Z {H(z)} 5. FIR-lter med fönstermetoden Impulssvar h(n) = h d (n) w(n) med önskad impulssvar h d (n) och spektrum H d (ω) (i 0 ω π) och tidsfönster w(n) Lågpass: h d (n) = ω c π ( ) sin ω c n M ( ) ω c n M Bandpass: Högpass: H d (ω) = ( h d (n) = cos (ω 0 H d (ω) = { e jω (M )/ ω < ω c 0 för övrigt n M )) ωc π ( ) sin ω c n M ( ) ω c n M { e jω (M )/ ω 0 ω c < ω < ω 0 ω c 0 för övrigt ( h d (n) = δ n M ) ω c π ( ) sin ω c n M ( ) ω c n M { e jω (M )/ ω > ω H d (ω) = c 0 för övrigt Filtrets spektrum H(ω) = H d (ω) W (ω) och vid gränsfrekvensen ω c är dämpningen 6dB. Vid dimensionering av lter ger nedanstående tabeller en grov approximation av erforderlig längd M. 34
36 Tabell 5. Storlek på huvudlob och sidolob för några vanliga fönsterfunktioner. Approximativ Största Fönster bredd av sidolob huvudlob (db) Rectangular 4π/M -3 Bartlett 8π/M -7 Hanning 8π/M -3 Hamming 8π/M -43 Blackman π/m -58 Tabell 5. Storlek på övergångszon och sidolob för några fönsterfunktioner. Fönster Övergångszonens Största sidolob bredd (Hz) (db) Rektangulärt 0.6/M - Hamming.7/M -55 Blackman 3/M -75 En bättre approximation erhålles med utnyttjande av sambandet (f litet, M stort) sin(πfm) M sin(πf) sin(πfm) πfm (f litet, M stort.) H(f) som funktion av x = (f f c ) M med M = 99, f c = 0. för rektangelfönster, hammingfönster och blackmanfönster ges i guren på nästa sida. 35
37 Dämpningskurvor för fönsterlter 0 x = { (f fc ) M lågpasslter (f f c ) M högpasslter H(f) /db x 0 Dämpning i db Rektangel Hamming Blackman x=(f fc)*m Övergångszon för FIR-lter, konstruerade med fönstermetoden, M = 99 och f c = 0.. x-axel graderad med x = (f f c )M. För högpasslter använd x = (f f c )M. Ger en användbar approximation för M > 0. Bättre approximatioin för stora M. Den lilla guren visar området runt x = 0. Filtren konstruerade med Rektangelfönster Hammingfönster Blackmanfönster 36
38 5.3 Ekvirippel FIR-lter Dimensionering av ekviripplelter enligt Remez algoritmen. Approximativt enligt Kaiser. H(f) δp - δp δs f p fs f N = D (δ p, δ s ) f f = f s f p D (δ p, δ s ) = 0 log δ p δ s FIR-lter med minstakvadratmetoden Minimering av ger och M n=0 E = n [x(n) h(n) d(n)] h(n)r xx (n l) = r dx (l) l = 0,..., M E min = r dd (0) M k=0 h(k)r dx (k) där r xx (l) är korrelationsfunktionen för x(n) och r dx (l) är korskorrelationen mellan d(n) och x(n). I matrisform kan detta skrivas R xx h = r dx h = R xx r dx E min = r dd (0) h T r dx 37
39 5.5 IIR-lter Bestämning av IIR-lter utgående från analoga lter Impulsinvarians.. h(n) = h a (nt ) h a (t) = e σ 0t H a (s) = s σ 0 H(z) = e σ 0T z h a (t) = e σ 0t cos Ω 0 t H a (s) = s σ 0 (s σ 0 ) Ω 0 3. H(z) = z e σ 0T cos Ω 0 T z e σ 0T cos Ω 0 T z e σ 0T h a (t) = e σ 0t sin Ω 0 t H a (s) = Ω 0 (s σ 0 ) Ω 0 H(z) = 5.5. Bilinjär transformation Frekvenstransformation (prewarp") z e σ 0T sin Ω 0 T z e σ 0T cos Ω 0 T z e σ 0T F prewarp = T Analog lterkonstruktion i variabeln Ω prewarp. tan(πf) π H(z) = H a (s) där s = T T är en normeringsfaktor (kan oftast väljas =). z z 38
40 5.5.3 Koecientkvantisering Polföryttning då koecienterna a,..., a k ändras a,..., a k p i p i a a p i a k a k Vid normalform (direktform II) gäller 5.6 Latticelter p i a j = p k j i (p i p )(p i p )... (p i p k ) } {{ } k st faktorer (p i p i ) skall ej tas med f 0(n) f (n) f (n)... f M-(n) = y(n) x(n) K K K K K z - z - g 0(n) g (n) Lattice FIR... z - g (n) g (n) M- x(n) f N (n) - f N- (n) K N f (n)... f (n) f 0(n) = y(n) - - K K g (n) N K N z -... K z - g (n) Lattice all-pole IIR g (n) K z - g (n) 0 x(n) f N (n) f N- (n) f (n) f (n)... - K - - N K K f (n) 0 g (n) N v N K N z -... g (n) v K z - g (n) v K z - g (n) 0 v 0... y(n) Lattice-ladder 39
41 A 0 (z) = B 0 (z) = { Am (z) = A m (z) K m z B m (z) B m (z) = K m A m (z) z B m (z) där A m (z) = K m (A m (z) K m B m (z)) A m (z) = Z{α m (n)} med K m = α m (m) B m (z) = Z{β m (n)} Samband mellan A m (z) och B m (z) B m (z) = z m A m (z ) och β m (k) = α m (m k) Lattice-FIR Lattice-all pole IIR Lattice-ladder där och H(z) = A M (z) H(z) = A N (z) H(z) = C N(z) A N (z) = c 0 c z... c N z N A N (z) C m (z) = C m (z) v m B m (z) c m (m) = v m m = 0,,..., N 40
42 6 Spektralskattning Spektralskattning γ xx (m) = E{x(n)x(n m)} autokorrelation Periodogram Γ xx (f) = m= γ xx e jπfm eektspektrum r xx (m) = N P xx (f) = N m n=0 x(n)x(n m) 0 m N N r xx (m)e jπfm = N x(m)e jπfm m= N N m=0 eektspektrum (estimat) autokorrelation (estimat) E{r xx (m)} = ( m ) N γ xx (m) γ xx (m) då N var(r xx (m)) N n= [γ xx(n) γ xx (n m)γ xx (n m)] 0 då N E{P xx (f)} = / / Γ xx (α)w B (f α)dα där W B (f) är Fouriertransformen av Bartlettfönstret ( ) m N var(p xx (f)) = Γ xx(f) om x(n) Gaussisk. Periodogram med DFT: ( ) sinπfn Γ Nsinπf xx(f) då N P xx ( k N ) = N N nk jπ x(n)e N n=0 k = 0,..., N 4
43 Medelvärdesbildning av periodogram Quality factor Q = [E{P xx(f)}] Relativ varians Q Q tid-bandbreddsprodukt. var(p xx (f)) Periodogram f = 0.9 M Q = Bartlett (N = K M) f = 0.9 M Q B = N M Rektangulärt fönster Ingen överlappning Welch (N = L M) f =.8 M Q B = 6 9 N M Blackman/Tukey f = 0.6 M f = 0.9 M Q B = N M Q B = 3 N M Triangulärt fönster 50% överlappning Rektangulärt fönster Triangulärt fönster Upplösning f beräknad i -3dB punkterna från fönstrets huvudlob. 4
1. Vi har givet två impulssvar enligt nedan (pilen under sekvenserna indikerar den position där n=0) h 1 (n) = [ ]
TEKNISKA HÖGSKOLAN I LUND Institutionen för elektro- och informationsteknik Kurskod: ESS00 Tentamen i Digital Signalbehanding Datum: 0 5 Time period: 08.00 3.00 Bedömning: Sex uppgifter. Varje uppgift
Läs merSpektrala Transformer
Spektrala Transformer Kurssammanfattning Fyra kärnkoncept Sampling Faltning Poler och nollställen Fouriertransform Koncept #1: Sampling En korrekt samplad signal kan rekonstrueras exakt, dvs ingen information
Läs merLösningar till Övningsuppgifter
Lösningar till Övningsuppgifter Digital Signal Processing Övningar med svar och lösningar Mikael Swartling Nedelko Grbic Bengt Mandersson rev. 07 Department of Electrical and Information Technology Lund
Läs merExempelsamling Grundläggande systemmodeller. Klas Nordberg Computer Vision Laboratory Department of Electrical Engineering Linköping University
Exempelsamling Grundläggande systemmodeller Klas Nordberg Computer Vision Laboratory Department of Electrical Engineering Linköping University Version: 0.11 September 14, 2015 Uppgifter markerade med (A)
Läs merÖvningsuppgifter. Digital Signal Processing. Övningar med svar och lösningar. Mikael Swartling Nedelko Grbic Bengt Mandersson. rev.
Övningsuppgifter Digital Signal Processing Övningar med svar och lösningar Mikael Swartling Nedelko Grbic Bengt Mandersson rev. 17 Department of Electrical and Information Technology Lund University Introduktion
Läs merSF1635, Signaler och system I
SF65, Signaler och system I Tentamen tisdagen 4--4, kl 8 Hjälpmedel: BETA Mathematics Handbook. Formelsamling i Signalbehandling rosa), Formelsamling för Kursen SF65 ljusgrön). Obs : Obs : Obs : Obs 4:
Läs merExempelsamling Grundläggande systemmodeller. Klas Nordberg Computer Vision Laboratory Department of Electrical Engineering Linköping University
Exempelsamling Grundläggande systemmodeller Klas Nordberg Computer Vision Laboratory Department of Electrical Engineering Linköping University Version: 0.1 August 25, 2015 Uppgifter markerade med (A) är
Läs merLaplace, Fourier och resten varför alla dessa transformer?
Laplace, Fourier och resten varför alla dessa transformer? 1 Bakgrund till transformer i kontinuerlig tid Idé 1: Representera in- och utsignaler till LTI-system i samma basfunktion Förenklad analys! Idé
Läs meri(t) C i(t) = dq(t) dt = C dy(t) dt y(t) + (4)
2 Andra lektionen 2. Impulssvar 2.. En liten krets Beräkna impulssvaret för kretsen i figur genom att beräkna hur y(t) beror av x(t). R x(t) i(t) C y(t) Figur : Första ordningens lågpassfilter. Utsignalen
Läs merTentamen ssy080 Transformer, Signaler och System, D3
Tentamen ssy080 Transformer, Signaler och System, D3 Examinator: Ants R. Silberberg oktober 009 kl. 4.00-8.00 lokal: Johanneberg Förfrågningar: Ants Silberberg, tel. 808 Lösningar: Anslås torsdag okt.
Läs mer7. Sampling och rekonstruktion av signaler
Arbetsmaterial 5, Signaler&System I, VT04/E.P. 7. Sampling och rekonstruktion av signaler (Se också Hj 8.1 3, OW 7.1 2) 7.1 Sampling och fouriertransformering Man säger att man samplar en signal x(t) vid
Läs merTentamen i ESS 010 Signaler och System E3 V-sektionen, 16 augusti 2005, kl 8.30 12.30
Tentamen i ESS 00 Signaler och System E3 V-sektionen, 6 augusti 2005, kl 8.30 2.30 Examinator: Mats Viberg Tentamen består av 5 uppgifter som vardera ger maximalt 0 p. För godkänd tentamen fordras ca 20
Läs merUlrik Söderström 20 Jan Signaler & Signalanalys
Ulrik Söderström ulrik.soderstrom@tfe.umu.se 20 Jan 2009 Signaler & Signalanalys Sinusspänning Sinus och cosinus samma form men fasförskjutna Fasförskjutning tidsfördröjning Sinus och cosinus är väldigt
Läs merSignal- och bildbehandling TSBB03
Tentamen i Signal- och bildbehandling TSBB3 Tid: 28-5-29 kl. 8-2 Lokal: TER2 Ansvarig lärare: Maria Magnusson besöker lokalen kl. 9. och.4 tel 73-84 38 67 Hjälpmedel: Räknedosa, medskickad formelsamling,
Läs mer62n 105n) c) cos(3πn) d) sin(3n) e) sin(π. 1.8 Ett analogt elektrokardiogram (EKG) innehåller frekvenser upp till 100 Hz.
Kapitel Övningsuppgifter. Bestäm vilka av följande signaler som är periodiska och bestäm periodtiden. a) cos(.πn) b) cos(π 3 6n 5n) c) cos(3πn) d) sin(3n) e) sin(π )..5 Den analoga signalen x a (t) är
Läs merDigital Signalbehandling
Digital Signalbehandling Institutionen för Elektro- och informationsteknik Övningar och lösningar Proakis bok (upplaga 4) Nedelko Grbić Lund 4 Innehåll Övningsuppgifter 5 Lösningar till övningsuppgifter
Läs merUlrik Söderström 19 Jan Signalanalys
Ulrik Söderström ulrik.soderstrom@tfe.umu.se 9 Jan 200 Signaler & Signalanalys l Sinusspänning Sinus och cosinus samma form men fasförskjutna Fasförskjutning tidsfördröjning Sinus och cosinus är väldigt
Läs merSignal- och bildbehandling TSEA70
Tentamen i Signal- och bildbehandling TSEA70 Tid: 000-03-8 kl. 4-8 Lokaler: Garnisonen Ansvariga lärare: Olle Seger, Maria M Seger besöker lokalerna kl 500 och 700 tel 070/33 79 48 Hjälpmedel: Räknedosa,
Läs merKryssproblem (redovisningsuppgifter).
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Transformmetoder, 5 hp ES, gyl, Q, W 212-1-29 Kryssproblem (redovisningsuppgifter). Till var och en av de tio lektionerna hör två problem som du ska
Läs merKompletterande räkneuppgifter i Spektrala Transformer Komplex analys, sampling, kvantisering, serier och filter Laura Enflo & Giampiero Salvi
Kompletterande räkneuppgifter i Spektrala Transformer Komplex analys, sampling, kvantisering, serier och filter & Giampiero Salvi Komplex analys Om man endast använder den reella tallinjen är det inte
Läs merDiskreta signaler och system
Kapitel 7 Diskreta signaler och system I detta kapitel diskuteras grundläggande teori för diskreta signaler och system. För diskreta signaler introduceras z-transformen, som ligger som grund för representationen
Läs merSF1635, Signaler och system I
SF635, Signaler och system I Tentamen tisdagen 0--, kl 4 00 9 00 Hjälpmedel: BETA Mathematics Handbook Räknedosa utan program Formelsamling i Signalbehandling (rosa), Formelsamling för Kursen SF635 (ljusgrön)
Läs merRÄKNEEXEMPEL FÖRELÄSNINGAR Signaler&System del 2
t 1) En tidskontinuerlig signal x( t) = e 106 u( t) samplas med sampelperioden 1 µs, varefter signalen trunkeras till 5 sampel. Den så erhållna signalen får utgöra insignal till ett tidsdiskret LTI-system
Läs merInnehåll. Innehåll. sida i
1 Introduktion... 1.1 1.1 Kompendiestruktur... 1.1 1.2 Inledning... 1.1 1.3 Analogt/digitalt eller tidskontinuerligt/tidsdiskret... 1.2 1.4 Konventioner... 1.3 1.5 Varför digital signalbehandling?... 1.4
Läs merFacit till Signal- och bildbehandling TSBB
Facit till Signal- och bildbehandling TSBB3 6-5-3 Maria Magnusson Seger, maria@isy.liu.se Kontinuerlig faltning (9p) a) Faltningsoperationen illustreras i figuren nedan. et gäller att x(t λ) e 4(t λ) u(t
Läs merSignal- och bildbehandling TSBB14
Tentamen i Signal- och bildbehandling TSBB4 Tid: -5-8 Lokaler: TER3 Ansvarig lärare: Maria Magnusson besöker lokalen kl. 8.45 och.45 tel 8336, 73-84 38 67 Hjälpmedel: Räknedosa, medskickad formelsamling,
Läs merSignal- och bildbehandling TSEA70
Tentamen i Signal- och bildbehandling TSEA70 Tid: 2003-08-22 kl. 4-8 Lokaler: G36 Ansvarig lärare: Maria Magnusson Seger besöker lokalen kl. 6.00. tel 0702/33 79 48 Hjälpmedel: Räknedosa, OH-film, medskickad
Läs merTIDSDISKRETA SYSTEM SYSTEMEGENSKAPER. Minne Kausalitet Tidsinvarians. Linjäritet Inverterbarhet Stabilitet. System. Tillämpad Fysik och Elektronik 1
TIDSDISKRETA SYSTEM TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 1 SYSTEMEGENSKAPER x[n] System y[n] Minne Kausalitet Tidsinvarians Linjäritet Inverterbarhet Stabilitet TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK,
Läs merDIGITALA FILTER. Tillämpad Fysik Och Elektronik 1. Frekvensfunktioner FREKVENSSVAR FÖR ETT TIDSDISKRET SYSTEM. x(n)= Asin(Ωn)
DIGITALA FILTER TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 1 Frekvensfunktioner x(n)= Asin(Ωn) y(n) H(z) TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 2 FREKVENSSVAR FÖR ETT TIDSDISKRET SYSTEM
Läs merLaplace, Fourier och resten varför alla dessa transformer?
Laplace, Fourier och resten varför alla dessa transformer? 1 Vi har sett hur ett LTI-system kan ges en komplett beskrivning av dess impulssvar. Genom att falta insignalen med impulssvaret erhålls systemets
Läs merSignal- och bildbehandling TSBB14
Tentamen i Signal- och bildbehandling TSBB Tid: 3-5-3 Lokaler: TER Ansvarig lärare: Maria Magnusson besöker lokalen kl. 8.5 och.3 tel 73-8 38 67 Hjälpmedel: Räknedosa, medskickad formelsamling, OH-film,
Läs merDT1130 Spektrala transformer Tentamen
DT3 Spektrala transformer Tentamen 3 Tentamen består av fem uppgifter där varje uppgift maximalt ger 4 p. Normalt gäller följande betygsgränser: E: 9 p, D:.5 p, C: 4 p, B: 6 p, A: 8 p Tillåtna hjälpmedel:
Läs merSignal- och bildbehandling TSBB03
Tentamen i Signal- och bildbehandling TSBB03 Tid: 2006-05-3 kl. 8-2 Lokal: TER2 Ansvarig lärare: Maria Magnusson besöker lokalen kl. 9.40. tel 073-804 38 67 Hjälpmedel: Räknedosa, medskickad formelsamling,
Läs merImpulssvaret Betecknas h(t) respektive h(n). Impulssvaret beskriver hur ett system reagerar
6 Sjätte lektionen 6.1 Transformvärlden 6.1.1 Repetera Rita upp en tankekarta över följande begrepp där du anger hur de hänger ihop och hur de betecknas. Vad beskriver de? Impulssvaret Amplitudsvaret (frekvensgången)
Läs merFöreläsning 6: Spektralskattning: icke parametriska metoder. Leif Sörnmo 4 oktober 2009
Föreläsning 6: Spektralskattning: icke parametriska metoder Leif Sörnmo 4 oktober 2009 1 Metoder för spektralskattning icke-parametriska korrelogram, periodogram fönstring, medelvärdesbildning minimum-varians
Läs merSpektrala Transformer
Spektrala Transformer Fouriertransformer Fourier Gif mig en wågform och jag skola skrifva den som en summa af sinuswågor! Jean-Baptiste Fourier 768-830 Fouriertransformen Transformerar kontinuerliga signaler
Läs merFÖRELÄSNING 13: Analoga o p. 1 Digitala filter. Kausalitet. Stabilitet. Ex) på användning av analoga p. 2 filter = tidskontinuerliga filter
FÖRELÄSNING 3: Analoga o p. Digitala filter. Kausalitet. Stabilitet. Analoga filter Ideala filter Butterworthfilter (kursivt här, kommer inte på tentan, men ganska bra för förståelsen) Kausalitet t oh
Läs merFöreläsning 1: Inledning till Digital signalbehandling i audio & video. Leif Sörnmo 11 mars 2009
Föreläsning 1: Inledning till Digital signalbehandling i audio & video Leif Sörnmo 11 mars 2009 1 Schema Föreläsningar: Måndag 10.15 12.00 i sal E:2311 Fredag 08.15 10.00 i sal E:2311 Övningar: Tisdag
Läs merDT1130 Spektrala transformer Tentamen
DT3 Spektrala transformer Tentamen 6 Tentamen består av fem uppgifter där varje uppgift maximalt ger 4 p. Normalt gäller följande betygsgränser: E: 9 p, D:.5 p, C: 4 p, B: 6 p, A: 8 p Tillåtna hjälpmedel:
Läs merResttentamen i Signaler och System Måndagen den 11.januari 2010, kl 14-19
Resttentamen i Signaler och System Måndagen den 11.januari 2010, kl 14-19 Tillåtna hjälpmedel: Valfri miniräknare (utan möjlighet till trådlös kommunkation). Valfri litteratur, inkl. kursböcker, formelsamlingar.
Läs merTSDT15 Signaler och System
TSDT5 Signaler och System DATORUPPGIFTER VÅREN 03 OMGÅNG Mikael Olofsson, mikael@isy.liu.se Efter en förlaga av Lasse Alfredsson February, 03 Denna uppgiftsomgång behandlar faltning samt system- & signalanalys
Läs merDT1130 Spektrala transformer Tentamen
DT Spektrala transformer Tentamen 72 Tentamen består av fem uppgifter där varje uppgift maximalt ger 4 p. Normalt gäller följande betygsgränser: E: 9 p, D:.5 p, C: 4 p, B: 6 p, A: 8 p Tillåtna hjälpmedel:
Läs merTentamen i TMA 982 Linjära System och Transformer VV-salar, 27 aug 2013, kl
Tentamen i TMA 982 Linjära System och Transformer VV-salar, 27 aug 2013, kl 8.30-12.30 Examinatorer: Lars Hammarstrand och Thomas Wernstål Tentamen består av två delar (Del I och Del II) på sammanlagt
Läs merTentamen ssy080 Transformer, Signaler och System, D3
Tentamen ssy080 Transformer, Signaler och System, D3 Examinator: Ants R. Silberberg 19 oktober 2011 kl. 08.30-12.30 sal: Hörsalsvägen Förfrågningar: Ants Silberberg, tel. 1808 Lösningar: Anslås torsdag
Läs merSignaler & Signalanalys
Ulrik Söderström ulrik.soderstrom@tfe.umu.se Jan 8 Signaler & Signalanals Sinusspänning Sinus och cosinus samma form men fasförskjutna Fasförskjutning tidsfördröjning Sinus och cosinus är väldigt enkla
Läs merFörsättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings universitet G33(1) TER4(63)
Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings universitet Datum för tentamen 2017-01-07 Sal (2) G33(1) TER4(63) Tid 8-12 Kurskod TSBB16 Provkod TEN2 Kursnamn/benämning Provnamn/benämning Institution
Läs merSpektrala Transformer
Spektrala Transformer Fouriertransformer Fourier Gif mig en wågform och jag skola skrifva den som en summa af sinuswågor! Jean-Baptiste Fourier 1768-1830 Fouriertransformen Transformerar kontinuerliga
Läs merSignal- och bildbehandling TSBB03
Tentamen i Signal- och bildbehandling TSBB03 Tid: 2004-06-0 kl. 8-2 Lokaler: Garnisonen Ansvarig lärare: Maria Magnusson Seger besöker lokalen kl. 9.00 och 0.45. tel 073-804 38 67 Hjälpmedel: Räknedosa,
Läs merTeori... SME118 - Mätteknik & Signalbehandling SME118. Johan Carlson 2. Teori... Dagens meny
Tidigare har vi gått igenom Fourierserierepresentation av periodiska signaler och Fouriertransform av icke-periodiska signaler. Fourierserierepresentationen av x(t) ges av: där a k = 1 T + T a k e jkω
Läs merFöreläsning 1: Signaler, matriser och processer. Leif Sörnmo 28 augusti 2009
Föreläsning 1: Signaler, matriser och processer Leif Sörnmo 28 augusti 2009 1 Optimal Signalbehandling kontra Digital Signalbehandling? stokastisk modellering av signalen, metoddesign baserad på signalens
Läs merSignal- och Bildbehandling FÖRELÄSNING 4. Multiplikationsteoremet. Derivatateoremet
Signal- och Bildbehandling FÖRELÄSNING 4 Fouriertransformen, forts Mer egenskaper av fouriertransformen Enkel tillämpning: Filtrera bort oönskat buller från vacker visselton Fouriertransformen, slutsats
Läs merTillämpad Fysik Och Elektronik 1
FREKVENSSPEKTRUM (FORTS) TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET 1 ICKE-PERIODISKA FUNKTIONER Icke- periodiska funktioner kan betraktas som periodiska, med oändlig periodtid P. TILLÄMPAD FYSIK
Läs merIntroduktion Digitala filter. Filter. Staffan Grundberg. 12 maj 2016
12 maj 216 Innehåll Introduktion Första ordningens system Andra ordningens system Fördröjning Allmänt om filter Butterworthfilter Första ordningens system Andra ordningens system Fördröjning Allmänt om
Läs merLösningsförslag, Tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del 2, för CTFYS2 och CMEDT3, SF1629, den 9 juni 2011, kl.
Lösningsförslag, Tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del 2, för CTFYS2 och CMEDT3, SF629, den 9 juni 2, kl. 8: 3: Uppgift (av 8 (5 poäng. i. sant, ii. falskt, iii. falskt, iv. sant, v.
Läs merDT1120/DT1130 Spektrala transformer Tentamen
DT/DT3 Spektrala transformer Tentamen 86 Tentamen består av fem uppgifter där varje uppgift maximalt ger 4 p. Normalt gäller följande betygsgränser: E: 9 p, D:.5 p, C: 4 p, B: 6 p, A: 8 p Tillåtna hjälpmedel:
Läs merMiniräknare och en valfri formelsamling i signalbehandling eller matematik. Allowed items: calculator, DSP and mathematical tables of formulas
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA Institutionen för Elektro- och Informationsteknik Tentamen 08-05-3 SIGNALBEHANDLING i MULTIMEDIA, EITA50 Tid: 08.00-3.00 Sal: Vic A Hjälpmedel: Viktigt: Miniräknare och en valfri
Läs merKompletterande material till föreläsning 5 TSDT08 Signaler och System I. Erik G. Larsson LiU/ISY/Kommunikationssystem
ompletterande material till föreläsning 5 TSDT8 Signaler och System I Erik G. Larsson LiU/ISY/ommunikationssystem erik.larsson@isy.liu.se November 8 5.1. Första och andra ordningens tidskontinuerliga LTI
Läs merSignal- och Bildbehandling, TSBB14. Laboration 2: Sampling och Tidsdiskreta signaler
Signal- och Bildbehandling, TSBB14 Laboration 2: Sampling och Tidsdiskreta signaler Anders Gustavsson 1997, Maria Magnusson 1998-2013 Avdelningen för Datorseende, Institutionen för Systemteknik Linköpings
Läs merx(t) = sin(ω 0 t) (1) b) Tillåt X(ω) att innehålla diracimpulser (en generalliserad funktion). Vilken signal x(t) har spektrumet X(ω)?
3 Tredje lektionen 3. Frekvensdomänen 3.. Fourier och sinus a) Varför kan vi inte transformera med den vanliga fouriertransformen? = sin(ω t) () b) Tillåt X(ω) att innehålla diracimpulser (en generalliserad
Läs merDigSig AV. Repetition. Leif Sörnmo 10 maj 2007
DigSig AV Repetition Leif Sörnmo 10 maj 2007 1 Syftet med digital filterdesign Att bestämma en realiserbar överföringsfunktion G(z) så att den approximerar en given specifikation på frekvensfunktion. För
Läs merLUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA Inst. för Elektro- och Informationsteknik
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA Inst. för Elektro- och Informationsteknik Tentamen 015-06-05 SIGNALBEHANDLING I MULTIMEDIA, ETI65 Tid: 14.00 19.00 Sal: MA:10, C-J Hjälpmedel: Miniräknare, formelsamling i signalbehandling
Läs merFormelsamling. i kursen Medicinska Bilder, TSBB31. 1D och 2D Fouriertransformer, samt några formler för CT, SPECT, mm
Formelsamling i kursen Medicinska Bilder, TSBB31 1D och 2D Fouriertransformer, samt några formler för CT, SPECT, mm Maria Magnusson, maria.magnusson@liu.se 27 oktober 2016 1 1-D Tidskontinuerliga Fouriertransformer
Läs merFormelsamling i Automationsteknik FK
Formelsamling i Automationsteknik FK Z-transformation Antag att f(k),k = 0,,2, är en tidsdiskret signal Z-transformen av f(k) definieras av Slutvärdesteoremet F(z) = Z(f(k)) = lim k f(k)z k k=0 f(k) =
Läs merGRUNDKURS I SIGNALBEHANDLING (454300), 5sp Tentamen
GRUNDKURS I SIGNALBEHANDLING (454300), 5sp Tentamen 26.02013 kursens övningsuppgifter eller gamla tentamensuppgifter, eller Matlab-, Scilab- eller Octave- programmerbara kalkylatorer eller datorer. 1.
Läs merSignal- och bildbehandling TSBB03, TSBB14
Tentamen i Signal- och bildbehandling TSBB03, TSBB4 Tid: 00-0- Lokaler: G33 Ansvarig lärare: Maria Magnusson besöker lokalen kl. 4.50 och 6.50 tel 073-804 38 67 Hjälpmedel: Räknedosa, medskickad formelsamling,
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 11-14, 16/11-28/
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Transformmetoder, 5 hp gy, IT, W, X 2011-10-26 Sammanfattning av föreläsningarna 11-14, 16/11-28/11 2012. Här lär vi oss använda transformer för att
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 15-18, 30/11-12/
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Transformmetoder, 5 hp ES, gyl, Q, W 0-0-9 Sammanfattning av föreläsningarna 5-8, 30/ - / 0. Z-transformen ska avslutas och sedan blir det tentaförberedelser.
Läs merBeskrivning av signaler i frekvensdomänen - sammanfattning
Beskrivning av signaler i frekvensdomänen - sammanfattning Bengt Carlsson Systems and Control Dept of Information Technology, Uppsala University January 21, 2010 Abstract Detta material ger en sammanfattning
Läs merSystem. Z-transformen. Staffan Grundberg. 8 februari 2016
Z-transformen 8 februari 2016 Innehåll Z-transformen Tidsdiskreta LTI-system Överföringsfunktioner Frekvensegenskaper Z-transformen Z-transformen av en tidsdiskret signal y[n] ges av Y (z) = Z[y] = y[n]z
Läs merFrekvensplanet och Bode-diagram. Frekvensanalys
Frekvensplanet och Bode-diagram Frekvensanalys Signaler Allt inom elektronik går ut på att manipulera signaler genom signalbehandling (Signal Processing). Analog signalbehandling Kretsteori: Nod-analys,
Läs merSignal- och bildbehandling TSEA70
Tentamen i Signal- och bildbehandling TSEA70 Tid: 2003-0-0 kl. 4-8 Lokaler: Examinator: U Maria Magnusson Seger Ansvarig lärare: Olle Seger besöker lokalen kl. 5 och 7. tel 259, 0702/337948 Hjälpmedel:
Läs merSignaler några grundbegrepp
Kapitel 2 Signaler några grundbegrepp I detta avsnitt skall vi behandla några grundbegrepp vid analysen av signaler. För att illustrera de problemställningar som kan uppstå skall vi först betrakta ett
Läs merSYSTEM. Tillämpad Fysik Och Elektronik 1 SYSTEMEGENSKAPER. Minne Kausalitet Tidsinvarians. Linjäritet Inverterbarhet Stabilitet. System.
SYSTEM TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET SYSTEMEGENSKAPER System y(t) y[n] Minne Kausalitet Tidsinvarians Linjäritet Inverterbarhet Stabilitet TILLÄMPAD FYSIK OCH ELEKTRONIK, UMEÅ UNIVERSITET
Läs merTSDT18/84 SigSys Kap 4 Laplacetransformanalys av tidskontinuerliga system. De flesta begränsade insignaler ger upphov till begränsade utsignaler
9 Stabilitet för energifria LTI-system Marginellt stabilt system: De flesta begränsade insignaler ger upphov till begränsade utsignaler Kap 2, bild 4 h t h( t) dt /< < t gäller för marginellt stabila LTI-system
Läs merDigitala filter. FIR Finit Impulse Response. Digitala filter. Digitala filter. Digitala filter
Digitala filter Digitala filter FIR Finit Impulse Response Digitala filter förekommer t.ex.: I Matlab, Photoshop oh andra PCprogramvaror som filtrerar. I apparater med signalproessorer, t.ex. mobiltelefoner,
Läs merDT1130 Spektrala transformer Tentamen
DT3 Spektrala transformer Tentamen 5 Tentamen består av fem uppgifter där varje uppgift maximalt ger p. Normalt gäller följande betygsgränser: E: 9 p, D:.5 p, C: p, B: 6 p, A: 8 p Tillåtna hjälpmedel:
Läs merSpektrala Transformer
Spektrala Transformer Tidsdiskreta signaler, kvantisering & sampling Tidsdiskreta signaler Tidskontinuerlig signal Ex: x(t) = sin(ωt) t är ett reellt tal ω har enheten rad/s Tidsdiskret signal Ex: x(n)
Läs merMiniräknare, formelsamling i signalbehandling.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA Inst. för Elektro- och Informationsteknik Tentamen 05-0-4 DIGITAL SIGNALBEHANDLING, ESS040 Tid: 4.00 9.00 Sal: Sparta B, D Hjälpmedel: Miniräknare, formelsamling i signalbehandling.
Läs merSignal- och bildbehandling TSBB14
Tentamen i Signal- och bildbehandling TSBB4 Tid: 2-8-7 Lokaler: TER Ansvarig lärare: Maria Magnusson besöker lokalerna kl. 5.5 och 6.45 tel 73-84 38 67 Hjälpmedel: Räknedosa, medskickad formelsamling,
Läs merSpektralanalys - konsten att hitta frekvensinnehållet i en signal
Spektralanalys - konsten att hitta frekvensinnehållet i en signal Bengt Carlsson, Erik Gudmundson och Marcus Björk Systems and Control Dept. of Information Technology, Uppsala University 7 november 013
Läs merKontrollskrivning i TSDT84 Signaler & System samt Transformer för D
Institutionen för Systemteknik Dept. Of EE 1( 7 ) Kontrollskrivning i TSDT84 Signaler & System samt Transformer för D Provkod: KTR1 Tid: 2016-01-04 kl. 14.00-18.00 Lokal: Lärare: Hjälpmedel: Bedömning:
Läs merKTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633.
KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633. Måndagen den 17 oktober 11, kl 8-13. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar
Läs merKontrollskrivning i TSDT84 Signaler & System samt Transformer för D
Institutionen för Systemteknik Dept. Of EE 1( 7 ) Kontrollskrivning i TSDT84 Signaler & System samt Transformer för D Provkod: KTR1 Tid: 2015-10-26 kl. 14.00-18.00 Lokal: TER3, TER4, G36 Lärare: Lasse
Läs merSignal- och bildbehandling TSBB14
Tentamen i Signal- och bildbehandling TSBB Tid: --, kl. - Lokaler: U, U, U Ansvarig lärare: Maria Magnusson besöker lokalen kl.. och. tel. Hjälpmedel: Räknedosa, medskickad formelsamling, OH-film, sa och
Läs merSammanfattning TSBB16
Sammanfattning TSBB16 Frekvensfunktion =H(omega) Kombinationen av amplitud och faskarakteristik är unik. H(ω) = D(ω) e^jψ(ω)=y(t)/x(t). Detta är frekvensfunktionen. H(ω)=utsignal/insignal D(ω) = H(ω).
Läs mer2 Ortogonala signaler. Fourierserier. Enkla filter.
Ortogonala signaler. Fourierserier. Enkla filter. ktuella ekvationer: Se formelsamlingen och förberedelsehäftet. För effektivvärdet av en summa av N ortogonala signaler gäller: ν rms = ν rms1 + ν rms +...
Läs merSignal- och bildbehandling TSEA70
Tentamen i Signal- och bildbehandling TSEA70 Tid: 00-05-8 kl. -8 Lokaler: G, G Ansvarig lärare: Maria Magnusson Seger besöker lokalen kl. 5 och 7. tel Hjälpmedel: Räknedosa, OH-film, medskickad formelsamling
Läs merTSBB16 Datorövning A Samplade signaler Faltning
Name: ID number: Passed: LiU-ID: Date: TSBB16 Datorövning A Samplade signaler Faltning Utvecklad av Klas Nordberg Computer Vision Laboratory, Linköping University, Sweden 24 augusti 2015 Introduktion Denna
Läs merSignal- och bildbehandling TSBB14
Tentamen i Signal- och bildbehandling TSBB Tid: 205-0-, 8-3 Lokaler: U, U3, U Ansvarig lärare: Maria Magnusson besöker lokalerna kl. 9.30 och.30 tel 073-80 38 67 Hjälpmedel: Räknedosa, medskickad formelsamling,
Läs merSyntes av digitala filter
Kapitel 8 Syntes av digitala filter 8. Digitala filter I kapitel 7 hade vi sambandet (7.8) för ett linjärt system, enligt vilket utsignalens z-transform är insignalens transform multiplicerad med systemets
Läs merTSKS21 Signaler, Information och Bilder Lab 2: Digitalisering
TSKS21 Signaler, Information och Bilder Lab 2: Digitalisering Mikael Olofsson 8 februari 2017 Fyll i detta med bläckpenna Laborant Personnummer Datum Godkänd 1 1 Allmänt Denna laboration syftar till att
Läs mer5. Några viktiga summations- och integrationsformler.
Institutionen för matematik, KTH 050928 Arbetsmaterial 4 för 5B209/25:2/HT05/E.P. 5. Några viktiga summations- och integrationsformler. Först en repetition: 5. Geometriska serier För godtyckliga komplexa
Läs merSignal- och bildbehandling TSEA70
Tentamen i Signal- och bildbehandling TSEA Tid: -- kl. - Lokaler: G3 Ansvarig lärare: Henrik Turbell besöker lokalen kl..3 tel Adm. assistent: Ylva Jernling tel Hjälpmedel: Räknedosa, OH-film, medskickad
Läs merSpektrala Transformer
Spektrala Transformer Tidsdiskreta signaler, kvantisering & sampling Tidsdiskreta signaler Tidskontinuerlig signal Ex: x(t) = sin(ωt) t är ett reellt tal ω har enheten rad/s Tidsdiskret signal Ex: x(n)
Läs merVad gör vi när vi bara har en mätserie och ingen elegant matematisk funktion? Spektrum av en samplad signal. Trunkering i tiden
Vad gör vi när vi bara har en mätserie och ingen elegant matematisk funktion? 1 Spektrum av en samplad signal Samplingsprocessen kan skrivas som Fouriertranformen kan enligt linjäritetsoch tidsskiftsatsen
Läs merTentamen SF1633, Differentialekvationer I, den 23 oktober 2017 kl
Matematiska Institutionen, KTH Tentamen SF633, Differentialekvationer I, den 23 oktober 27 kl 8.- 3.. Examinator: Pär Kurlberg OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen. För full poäng krävs
Läs merImplementering av digitala filter
Kapitel 9 Implementering av digitala filter Som vi sett i kapitel 8 kan det behövas ett mycket stort antal koefficienter för att representera ett digitalt filter. Detta gäller i synnerhet FIR filter. Det
Läs merTransformer och differentialekvationer (MVE100)
Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet Matematik 25 januari 2011 Transformer och differentialekvationer (MVE100 Inledning Fouriertransformen Fouriertransform är en motsvarighet till Fourierserier
Läs merFörsättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings universitet KÅRA T1 T2 U2 U4
Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings universitet Datum för tentamen 2016-10-28 Sal (5) KÅRA T1 T2 U2 U4 Tid 8-12 Kurskod TSBB16 Provkod TEN2 Kursnamn/benämning Provnamn/benämning Grundläggande
Läs merTSDT08 Signaler och System I Extra uppgifter
TSDT08 Signaler och System I Extra uppgifter Erik G. Larsson ISY/Kommunikationssystem december, 2008 P. Ett LTI system har impulssvaret och matas med insignalen ht) = e 2t ut) xt) = e 3t ut) + cosπt +
Läs mer