Varför låter musikinstrument

Transkript

1 Varför åter musikinstrument så oika? Anders Käén MatematikCentrum LTH Sammanfattning Varför är kangen i oika musikinstrument oika när de ger ifrån sig samma ton? Den frågan ska diskuteras i denna artike genom att vi modeerar ett anta instrument och anayserar hur de toner de producerar är uppbyggda. Matematiskt handar det om att anaysera vågekvationen med oika bivikor.

2 Varför åter musikinstrument så oika? (9) Introduktion Ljud uppstår genom att uften sätts i små svängningar vika fortpantas som tryckvågor ti våra inneröron, där en raffinerad konstruktion i innerörat översätter information ti nervsignaer som uppevs i hjärnan av oss. Skinaden mean buer och en ton är att den senare är en periodisk svängning. Det är frekvensen på denna svängning som definierar viken ton det är. Men samma ton frambringade av oika musikinstrument kan åta vädigt oika. Varför det är så ska vi diskutera i denna artike. Vi ska se hur det förutom grundtonen produceras fer svängningar med andra frekvenser, och att det är vika dessa är, och deras reativa styrka, som bestämmer kangen av ett instrument. Denna förkaring bygger på att vi modeerar de oika musikinstrumenten i form av ganska enka konstruktioner som vi kan anaysera matematiskt. 2 Den svängande strängen Musik frambringas ur en gitarr genom att dess strängar försätts i små svängningar. Via gitarrådan fortpantas dessa svängningar som tryckvågor genom uften. Ett intressant probem i detta sammanhang är att bestämma hur t.ex. strängens ängd eer spänningsgrad påverkar de toner vi får. För att utreda detta ska vi bygga en enke matematisk mode för den svängande strängen. Vi ska diskutera transversea svängningar av en i ändpunkterna fixerad sträng. Med transversea svängningar menar vi sådana där varje punkt på strängen rör sig ortogonat mot strängens vioriktning. För att strängen då ska kunna komma i svängning krävs att den är eastisk, men vi kommer trots det att anta att strängens inre spänning förbir konstant. Denna approximation kräver att utsagen är små. Mer precist betraktar vi en eastisk sträng med masstäthet ρ, spänd mean två punkter på inbördes avstånd (.e.). Antag att strängen, då den sätts i svängning med iten e 2 ampitud, svänger i ett pan. I detta pan fixererar vi ett ortonormerat koordinatsystem u(x, t) Oe e 2 med koordinater x, y, så att strängens vioäge är den räta sträckan mean (, ) och (, ) på x-axen. Låt e x u(x, t) vara avvikesen från jämviktsäget vid tidpunkt t för punkten p strängen vars vioposition är (x, ). Kurvan [, ] x (x, u(x, t)) beskriver då strängens äge vid tidpunkt t. Vårt probem är att bestämma en röreseekvation för funktionen u(x, t).

3 Varför åter musikinstrument så oika? 2 (9) För att göra detta approximerar vi strängen med en diskret sträng. Detta innebär att vi dear in intervaet [, ] i n + ika dear och i varje punkt x k = k/(n + ), k =,..., n sätter en punktmassa m = ρ/n. Dessa punktmassor antas förbundna med en tunn eastisk sträng med försumbar massa, viken är fixerad i ändpunkterna x = och x =. S S α k α k u k u k+ u k u x x k x k x k+ x n Låt S vara spänningen i strängen. Eftersom vi förutsatt att svängningen är av iten ampitud kan vi anta att S är konstant. Om vi bortser från gravitationen och använder beteckningar som i figuren, så påverkas massan i punkten x k, k =,..., n, av kraften S sin α k + S sin α k S(u k u k ) /(n + ) + S(u k+ u k ) /(n + ) = (n + )S (u k 2u k + u k+ ). Här har vi använt approximationen sin α tan α eftersom utsagen är små. Om u k (t) = u(x k, t) är utsaget i punkten x k och q 2 n = (n + )S m = n(n + )S ρ 2 så ger Newtons andra ag föjande system av differentiaekvationer u (t) 2... u (t) u 2(t) (). = 2... u 2 (t) q2 n u n(t) 2 u n (t) Om vi sätter x = och x n+ =, kan detta ekvationssystem skrivas 2 t u(x k, t) = q 2 n(u(x k+, t) 2u(x k, t) + u(x k, t)), k =,..., n där u(, t) = u(, t) =. Inför vi nu h = /(n + ) får vi ekvationerna 2 t u(x k, t) = (h 2 q 2 n) u(x k+, t) 2u(x k, t) + u(x k, t) h 2, k =,..., n. En Tayorutvecking av täjaren i högeredet visar att om u är C 2 i x-variaben och h tiräckigt iten, så bir kvoten ungefär 2 xu(x k, t). Vidare gäer att h 2 q 2 n = (/(n + ))2 n(n + )S ρ 2 S ρ då h.

4 Varför åter musikinstrument så oika? 3 (9) Motiverade av detta ska vi för den kontinueriga svängande strängen anta att utsagen u(x, t) uppfyer vågekvationen 2 t u = c 2 2 xu, x, t >, c = S/ρ och randvikoren u(, t) = u(, t) =. För att vi fuständigt ska känna u måste vi dessutom veta dess begynneseäge u(x, ) och dess begynnesehastighet t u(x, ). Anmärkning Vågekvationen är en matematisk mode för den svängande stränge. Ifa det är en bra eer dåig mode kan endast avgöras experimentet. För en gitarrsträng visar sig modeen bra medan den för en pianosträng inte beskriver verkigheten tiräckigt exakt. Vi återkommer ti det ängre fram. Anmärkning Vad gör vi då om modeen inte visar sig tiräckigt bra? T.ex. om svängningarna inte är tiräckigt små. Ett första steg kan vara att gå igenom modeen och se om vi gjorde några approximationer som kanske var oämpiga. Den grundäggande ekvationen för den k:te punktmassan var m 2 t u(x k, t) = S(sin α(x k, t) sin α(x k, t)), där α(x k, t) = α k (t). Skriver vi m = ρ s där s är ängden mean den k :te och k:te punktmassan, så gäer att x = s cos α(x k, t) och om vi dividerar ekvationen med m och åter x får vi att (2) 2 t u = c 2 cos α x sin α = c 2 cos 2 α x α. Här är nu α(x, t) den vinke som tangenten ti funktionen x så det gäer att u(x, t) gör med x-axen, (3) tan α = x u. Approximationen vi använde ovan var att sin α tan α, viket direkt edde ti vågekvationen. Om vi inte vi göra den approximationen, deriverar vi (3): och stoppar in det i (2), viket ger x α = cos 2 α 2 xu, 2 t u = c 2 cos 4 α 2 xu. Om vi sutigen använder att + tan 2 α = / cos 2 α får vi föjande icke-injära differentiaekvation: 2 t u = c 2 ( + ( x u) 2 ) 2 2 xu. Denna ekvation borde atså fungera bättre vid ite större utsag (dock antas t.ex. atjämt att spänningen är konstant), men vi ska inte diskutera den mer här.

5 Varför åter musikinstrument så oika? 4 (9) 3 Övertonsserien för en svängande sträng Probemet att bestämma röresen av en svängande sträng kan enigt diskussionen i föregående avsnitt matematiskt formueras på föjande sätt. Vi säker en funktion u(x, t) sådan att u och t u är kontinuerig för x, t, 2 xu, och 2 t u är definierade och kontinueriga för x, t >, och (4) 2 t u = c 2 2 xu, x, t > (5) u(, t) = u(, t) =, t >, (6) u(x, ) = f(x), t u(x, ) = g(x), x. Här är c = S/ρ, där S är spänningen i strängen och ρ dess masstäthet. De givna funktionerna f och g antas kontinueriga och uppfyer (7) f() = f() = f() = g() =, viket svarar mot att strängen är fixerad i ändpunkterna från början. Det räcker att betrakta probemet (4)-(6) i speciafaet = π och c =. Det amänna faet kan nämigen återförs på detta genom att vi sätter (8) U(x, t) = u( x π, t πc ). Funktionen U uppfyer då ekvationen t 2 U = xu 2 och U(x, ) = f(x/π), t U(x, ) = g(x/π). cπ Antag nu att u(x, t) är en ösning ti probemet (4)-(6) med = π, c =. Funktionen x u(x, t) bir för varje fixt t > en C 2 funktion på intervaet x π som uppfyer u(, t) = u(π, t) =. Funktionen kan därför utveckas i en ikformigt konvergent sinusserie (9) u(x, t) = där () b n (t) = π 2 b n (t) sin(nx) n= u(x, t) sin(nx)dx. För att bestämma koefficienterna b n (t) deriverar vi två gånger under integratecknet i () och får, om vi använder (4) och (5), b n(t) = 2 π = 2 π 2 t u(x, t) sin(nx)dx = 2 π u(x, t) 2 x sin(nx)dx = n 2 b n (t). 2 xu(x, t) sin(nx)dx

6 Varför åter musikinstrument så oika? 5 (9) Löser vi den uppkomna differentiaekvationen får vi att () b n (t) = a n cos(nt) + b n n sin(nt), där a n = b n () och b n = b n(), atså (2) a n = 2 π Vi kan skriva () på formen f(x) sin(nx)dx, b n = 2 π g(x) sin(nx)dx. b n (t) = A n sin(nt + δ n ), där A 2 n = a 2 n + ( b n n )2, för en ämpig vinke δ n. Det föjer att om probemet med den svängande strängen har en ösning så ges denna av (3) u(x, t) = A n sin(nt + δ n ) sin(nx), x π, t. n= Vi måste stäa vissa krav på f och g för att (3) verkigen ska definiera en ösning ti probemet (4) (6). Lösningen måste vara tiräckigt deriverbar för att uppfya vågekvationen. Om f C 2, g C är sådana att vikoren (7) är uppfyda och det dessutom gäer att f () = f () =, så finns verkigen en C 2 funktion u(x, t) i x, t som uppfyer (4) (6). Då f och g inte uppfyer dessa förutsättningar är det inte säkert att serien i (3) definierar en två gånger differentierbar funktion. Om f bara är styckvis C och f() = f() = så är emeertid högeredet i (3) ikformigt konvergent och dess summa u(x, t) är en kontinuerig funktion som kaas en svag ösning ti probemet (4) (6). Som nästa exempe och anmärkningen efter det visar är även svaga ösningar ti probemet med den svängande strängen av intresse. Exempe Om vi drar ut en sträng av ängd i dess mittpunkt ett itet stycke h från jämviktsäget och sedan säppa den, får vi, som en ideaiserad mode, föjande probem att ösa där 2 t u = c 2 2 xu, u(, t) = u(, t) =, u(x, ) = f(x), t u(x, ) =, f(x) = /2 { 2xh/, om x /2, 2h( x)/, om /2 x. Låt oss först betrakta probemet med = π och c =. Ur (2) får vi då att b n = och a n = 2 π f(x) sin(nx)dx = 2 nπ { = 4h π 2 cos(nx)dx + nπ 2 π 2 f(x) x cos(nx) dx = 2 nπ } ( ) cos(nx)dx h = 8h π 2 n 2 sin nπ 2. f (x) cos(nx)dx

7 Varför åter musikinstrument så oika? 6 (9) Det föjer att b n (t) = a n cos(nt), och atså u(x, t) = 8h π 2 ( ) k cos((2k + )t) sin((2k + )x), x π, t. (2k + ) 2 Detta är ösningen på probemet då = π och c =. För godtyckiga och c får vi enigt (8) u(x, t) = 8h π 2 ( ) k (2k + ) cos((2k + )πct 2 ) sin((2k + ) πx ), x, t, viket atså är ösningen på det ursprungiga probemet. Den är emeertid endast en svag ösning. Anmärkning Exempet är tänkt att vara en matematisk formuering av vad som händer då man drar en gitarrsträng åt sidan i dess mittpunkt och sedan säpper den. Exempet vore ite mer reaistiskt om f var mer rundad kring x = /2, säg oändigt många gånger deriverbar. Motsvarande funktion bir då en äkta ösning ti vågekvationen. Den kommer i praktiken att skija sig obetydigt från den ösning vi fick fram i exempet. Mer precist, tag t.ex. f N (x) = N a n sin nπx, x, som är oändigt många gånger deriverbar. Då gäer att motsvarande ösning u N ti probemet i exempet med f = f N är en äkta ösning ti vågekvationen och vi har att f N f ikformigt då N. Vidare gäer att u(x, t) u N (x, t) 8h π 2 N+ (2k + ) 2 då N, så u N u ikformigt då N. Det vore onaturigt att inte betrakta u som en ösning ti det fysikaiska probemet. Det är därför vi infört begreppet svag ösning. Låt oss nu titta på ösningsformen (3). Den innebär att u kan skrivas som en summa av egensvängningar, d.v.s. funktioner på formen A n sin( nπct + δ n ) sin nπx. Vi har här återgått ti våra ursprungiga variaber x och t. Motsvarande egenfrekvenser ges av nπc = nc 2π 2. De oika egenfrekvenserna svarar mot de rena toner som strängen kan frambringa: grundtonen har frekvensen c/2, medan de övriga fås ur övertonsserien c 2, 2c 2, Vi noterar också egensvängningarnas utseende: 3c 2,..., nc 2,...

8 Varför åter musikinstrument så oika? 7 (9) grundtonen :a övertonen 2:a övertonen 3:a övertonen etc. Anmärkning Egensvängningen ti den n:te övertonen har n stycken s.k. nodpunkter. Dessa är de punkter, förutom ändpunkterna, som förbir oröriga under svängningen, nämigen punkterna x k = k/n, k =,..., n. Anmärkning Skinaden mean en ton och buer är att den förra är en periodisk svängning. Funktionen u representerar en ton, ty den är periodisk med frekvens c/2. När vi spear ett A på en gitarr, innebär detta att u ska ha frekvensen 44 Hz. Eftersom c = S/ρ där S är strängens spänning och ρ dess masstäthet, ska då gäa att (4) 2 S ρ = 44. Här kan vi variera samtiga parametrar S, ρ och för att uppnå detta. Vi bestämmer ρ genom att väja ut den av de sex strängarna vi ska spea på. Vi väjer genom att bestämma var på strängen vi ska sätta fingret och sutigen kan S varieras genom att vi använder stämskruvarna. Notera emeertid att även om (4) är uppfyd så kan kangen på tonen variera mycket beroende av hur de oika frekvenserna i övertonsserien framträder. Vi återkommer ti det i nästa avsnitt. 4 Strängens kinetiska och potentiea energi En punkt med massan m och hastigheten v har en kinetisk energi som är mv 2 /2. För den diskreta strängen ovan betyder detta att massan i punkten x k har den kinetiska energin ρ 2n ( tu(x k, t)) 2. Den totaa kinetiska energin bir summan av dessa. Men den summan är en Riemannsumma, och om vi åter n konvergerar den mot ρ( 2 tu) 2 dx. Den kontinueriga strängens totaa energi vid tidpunkt t ges därför av (5) T (t) = 2 Om vi definirar (6) U(t) = 2 ρ ( t u(x, t)) 2 dx. S ( x u(x, t)) 2 dx

9 Varför åter musikinstrument så oika? 8 (9) och antar att u C 2, så gäer att d (T (t) + U(t)) = ρ t 2 u t u dx + S dt txu 2 x u dx = ρ t u t 2 u dx S t u xu 2 dx = ρ t u( t 2 u c 2 xu)dx 2 =. Vi har här använt att t 2 u = c 2 xu 2 och att c 2 = S/ρ. I den andra ikheten partiaintegrerade vi i den andra integraen och använde att t u(x, t) = för x = och x =, viket är en konsekvens av (5). Vi har såedes att (7) T (t) + U(t) = E, där E är en konstant, nämigen strängens totaa energi. Det föjer att vi kan betrakta U(t) som strängens potentiea energi vid tidpunkt t, atså den energi som agrats i systemet och kan frigöras i form av kinetisk energi. Eftersom den totaa energin är oberoende av tiden, har vi (8) E = T () + U() = ρ 2 g(x) 2 dx + S 2 Exempe 2 I Exempe är g = och { f 2h/, om < x < /2, (x) = 2h/, om /2 < x <. Atså är E = 2h2 S. f (x) 2 dx. Låt oss nu anta att = π och c =. Då är S = ρ och (8) ger att E = ρ 2 (g(x) 2 + f (x) 2 )dx. Här kan vi använda Parsevas forme på högeredet. Om a n, b n definieras som i (2), så gäer att 2 π g(x) 2 dx = b 2 2 π π n, f (x) 2 dx = n 2 a 2 π n. Detta ger att E = ρπ 4 (b 2 n + n 2 a 2 n) = ρπ 4 n 2 A 2 n, A 2 n = ( b n n )2 + a 2 n. För amänna värden på c och gäer naturigtvis en iknande forme. Vi ser att den totaa energin är summan av energierna i de rena toner som tonen är en överagring av, atså (med = π, c = ) E = E n, där E n = ρπn2 A 2 n. 4 Det är E n som bestämmer med viken styrka den n:te övertonen framträder, och det är dessas reativa styrkor som bestämmer kangen av en ton. Notera att kangen beror av begynnesevikoren u(x, ) och t u(x, ), och därför kan sägas vara en faktor som skijer en skickig musiker från en mindre skickig.

10 Varför åter musikinstrument så oika? 9 (9) 5 Hur skijer sig en gitarr och ett piano åt? En pianosträng är en svängande sträng, fixerad i ändpunkterna. Den borde därför ha samma övertonsserie som en gitarrsträng, givet att grundtonen är densamma. Bestämmer vi emeertid experimentet övertonsserien för en pianosträng finner vi att denna avviker betydigt från den för en gitarrsträng, speciet vid höga övertoner. Diskrepansen ökar ju ägre tonen är. Figuren ti höger visar hur en experimentet funnen övertonsserie för ett A (hedragen) kan se ut jämfört med den harmoniska serien (streckad), som gäer för en gitarrsträng. För att få en bättre mode för en pianosträng observerar vi att den är gjord av meta på sådant sätt att den får en viss stehet. Den är därför inte fuständigt Hz eastisk, viket var förutsättningen när vi ovan diskuterade den svängande strängen. Vi kan modeera detta genom att åta den återstäande kraften vid ett utsag u(x, t) vara summan av de krafter som orsakas av spänningen och steheten. Dessa är av formen S 2 xu respektive K 4 xu. Efter division med masstätheten ρ eder detta oss ti en röreseekvation för pianosträngen på formen n (9) 2 t u = c 2 2 xu B 4 xu, där B är en positiv konstant som utgör ett mått på strängens motstånd mot böjning. Om strängen har ängden kan man som randvikor ta t.ex. (2) u(, t) = u(, t) =, 2 xu(, t) = 2 xu(, t) =, t >. Det andra vikoret innebär att strängen, förutom att vara fixerad i ändpunkterna, är fritt rörig kring dessa. För att bestämma u(x, t) antar vi för enkehets sku att = π och c = och sätter Lu = B xu 2 + xu. 2 Det är då ätt att med partiaintegratoner se att om u och v är funktioner av x sådana att u(x) = v(x) = u (x) = v (x) = för x = och x = π, så gäer att Vidare kontroeras ätt att (Lu, v) = (u, Lv) där (u, v) = 2 π u(x)v(x)ds. Le n = (n 2 + Bn 4 )e n om e n (x) = sin(nx). Eftersom u(, t) = u(π, t) = kan vi utvecka u(x, t) i en ikformigt konvergent sinusserie u(x, t) = där b n (t) = (u(., t), e n ). Här gäer att b n (t) sin(nx), b n(t) = ( 2 t u(., t), e n ) = (Lu(., t), e n ) = (u(., t), Le n ) = (n 2 + Bn 4 )b n (t).

11 Varför åter musikinstrument så oika? (9) Ur detta fås att b n (t) = A n sin(f n t + δ n ) där f n = n + Bn 2. Här är f n /2π egenfrekvenser för den n:te egensvängningen och resutatet stämmer bra med den experimentea erfarenheten i figuren ovan. 6 Modeer av några båsinstrument Vi ska nu vända oss mot båsinstrument istäet. Principen för ett båsinstrument är att man genom att båsa i instrumentet sätter uften i ett resonantrör i ongitudine svängning, atså en våg som svänger i röresens riktning. Härigenom kommer endast vissa speciea svängningsfrekvenser att resonera och bida stående vågor. Det är de svängningarna som bidar sjäva tonen de övriga dör snabbt ut. Resonantröret kan vara öppet eer sutet i ändpunkterna, och viket det är bestämmer vika toner som ingår i den periodiska svängning som uppkommer. I en ände där röret är öppet måste en stående våg ha en buk, medan där det är sutet måste det ha en nod. Vi börjar diskussionen om sådana instrument med att kort diskutera uftvågor i en cyindrisk pipa, vika spear en viktig ro i sådana instrument. Betrakta atså en tunn rak pipa av ängden och beteckna med x avståndet ängs pipan från den ena ändpunkten. Om p är ufttrycket och u är uftens strömningshastighet i x-axens riktning så är det rimigt att anta att inuti pipan beror p och u endast av x och tiden t. Under förutsättning att variationerna i p och u är små kan man då häreda föjande par av differentiaekvationer 2 t p + c 2 ρ x u =, ρ t u + x p =. Här är ρ uftens viodensitet och c judhastigheten (vid 2 och normat atmosfäriskt tryck är denna 344 m/s.) Av dessa ekvationer föjer att både p och u uppfyer vågekvationen 2 t p = c 2 2 xp, 2 t u = c 2 2 xu. Här räcker det att ösa vågekvationen för en av p och u, eftersom den andra enket fås ur de ursprungiga ekvationerna när så är gjort. De randvikor som man vanigen har är att pipan är suten eer öppen i vardera ändpunkten. I en tisuten ände är hastigheten u = och atså x p =. I en öppen ändpunkt brukar man anta att trycket är konstant ika med det omgivande atmosfäriska trycket, viket betyder att x u = i en öppen ände. Exempe 3 En enke föjt fungerar på så sätt att en sma uftström båses förbi en skarp kant, varigenom det uppkommer jud med en mängd oika frekvenser. Inuti föjten bidas, via refektion, en stående våg och därför kommer uftströmmen omväxande att gå på ovansidan och undersidan av den skarpa kanten. Pipans båda ändar är öppna, så för en föjt har vi randvikoren x u(, t) = x u(, t) =.

12 Varför åter musikinstrument så oika? (9) Här är pipans ängd, viket är från inbåsningsstäet ti det första öppna sidohået. Med dessa randvikor får vågekvationens ösningarna formen u(x, t) = A + A n sin( nπct + δ n ) cos( nπx ). Vi ser att övertonsserien är densamma som för en svängande sträng. Den stående vågen börjar med en buk och sutar med en buk vid det första öppna ufthået eer där instrumentet sutar. (Egentigen har man också n =, men detta svarar mot den konstanta termen och ger atså ingen svängning.) grundtonen :a övertonen 2:a övertonen 3:a övertonen etc. Exempe 4 I en panföjt eer en orgepipa med ock kan ses som ett smat cyindriskt rör som är tisutet i ena änden och öppet i den andra. I sådana instrument begränsas på motsvarande sätt resonanserna av en svängningsbuk där uften båses in och en svängningsnod där instrumentet sutar (botten på en panföjt och ocket på en orgepipa). Ti samma kategori hör träbåsinstrument med suten äppipa, såsom karinetten. Om röret har ängden med den tisutna änden i origo, innebär detta randvikoren u(, t) = x u(, t) =. Låt U(x, t) = u(2x/π, 2t/πc). Då öser U vågekvationen med c = och med samma randvikor, fast för = π/2. En, eventuet svag, ösning ti detta probem kan skrivas U(x, t) = A n sin((2n + )t + δ n ) sin((2n + )x), x π 2, t, där A n och δ n bestäms av begynnesedata U(x, ) och t U(x, ). Detta betyder att u(x, t) kan skrivas som en överagring av egensvängningar A n sin((2n + ) πct + δ n ) sin((2n + ) πx 2 2 ). Funktionen u får perioden 4/c i t och atså är c/4 frekvensen för den grundton instrumentet astrar. Dess övertonsserie bir c 4, 3c 4, 5c (2n + )c,...,, och egensvängningarna får utseendet

13 Varför åter musikinstrument så oika? 2 (9) grundtonen :a övertonen 2:a övertonen 3:a övertonen etc. Anmärkning Förhåandena mean frekvenserna är oika för föjten och karinetten. De får därför oika kangfärg viket gör det möjigt för oss att utan svårighet avgöra om en viss ton (som har grundtonens frekvens) kommer från en föjt eer en karinett. Anmärkning Att grundtonens frekvens haveras om en pipa är suten i ena änden, jämfört med om båda ändarna är öppna är en havsanning. I reaiteten sänks tonen inte fut en oktav. Detta beror på att trycket inte omedebart utjämnas i en öppen ände och att därför randvikoret x u = inte är exakt uppfyt. 7 Trummor är svängande membran Låt oss nu betrakta ett svängande membran. Mer precist, åt Ω vara ett öppet begränsat område i ett pan M. Antag att dess rand Ω är fixerad i panet M men att membranet i sig är eastiskt och kan sättas i små svängningar som är vinkeräta mot M. Detta är modeen för en trumma. Då är Ω en cirkeskiva, men vi börjar med en amännare diskussion. Om u(x, t) är avvikesen för en punkt från sitt jämviktsäge x Ω vid tidpunkten t gäer att (2) 2 t u = c 2 u i Ω, där u = 2 u + 2 2u kaas Lapaceoperatorn och där c 2 = (membranets inre spänning)/masstätheten. Här är x = (x, x 2 ) koordinaterna för en punkt m.a.p. ett ortonormerat koordinatsystem i panet M. För funktioner av en rumsvariabe har vi att u(x, t) = 2 xu(x, t), så ekvationen (2) är en vågekvation för funktioner av två rumsvariaber (och tid). Detta kan motiveras på samma sätt som för den svängande strängen. Vi övertäcker Ω med ett nätverk av små kvadrater vars sidor är identiska eastiska strängar av ängd h och sätter i varje hörn en punktmassa. På samma sätt som för den svängande strängen häreder vi röreseekvationen för detta diskreta membran och åter sedan h. Det diskreta membranets ekvationer övergår då i vågekvationen (2) på samma sätt som skedde för den svängande strängen. Att randen av Ω är fixerad i panet M betyder att vi har randvikoren (22) u(x, t) = då x Ω.

14 Varför åter musikinstrument så oika? 3 (9) För att försöka finna en ösning på probemet med det svängande membranet på en form svarande mot t.ex. (3) för den svängande strängen, ska vi angripa probemet på ett amänt och ganska informet sätt. Vi antar att det går att skriva ösningen på (2) på formen u(x, t) = a k (t)e k (x), k= (där x = (x, x 2 ), men åt oss förtränga det också för stunden), där varje term också öser (2) och (22). Då ska det för varje k gäa att k(t)e k (x) = c 2 a k (t) e k (x) a k (t) c 2 a k (t) = e k(x) e k (x) a (i varje fa i punkter där ingen av nämnarna är no). Men vänsteredet beror på t och högeredet på x, viket betyder att båda kvoterna måste vara en konstant. Kaa denna för λ k. Då ska vi atså des ha att e k (x) = λ k e k (x), e k = då x Ω, des att a k(t) = c 2 λa k (t). Låt oss först titta på den första av dessa ekvationer. Den innebär att funktionen e k (x) är en egenfunktion ti operatorn med randvikoret (22) med det tihörande egenvärdet λ k. Om vi inför skaärprodukten (u, v) = u(x)v(x)dx, Ω så ser vi att om u och v är C 2 funktioner som uppfyer randvikoret (22), så ger partiaintegration m.a.p. x och x 2 att (23) ( u, v) = ( x u x v + x2 u x2 v)dx = (u, v). Ω En första konsekvens av detta är att om två egenfunktioner e j och e k hör ti oika egenvärden λ j och λ k, så gäer att (λ j λ k )(e j, e k ) = ( e j, e k ) (e j, e k ) =, dvs egenfunktioner ti oika egenvärden är nödvändigtvis ortogonaa. Eftersom meanedet i (23) är negativt då u = v får vi också att det det egenfunktionen e k gäer att λ k (e k, e k ) = ( e k, e k ) <, viket visar att aa egenvärdena λ k är negativa, och atså kan skrivas λ k = µ 2 k. Frågan är nu om vi kan finna en motsvarande föjd av egenfunktioner e k (x) som utgör en ortonormerad bas i ett ämpigt funktionsrum (t.ex. rummet av kontinueriga funktioner på Ω). Svaret är att detta är atid möjigt, åtminstone om randen Ω inte är atför kompicerad. När vi vä har bestämt e k och tihörande egenvärden ser vi att a k (t) = A k sin(µ k ct + δ k ), och atså att ösningen på (2) (22) ges av en funktion på formen (24) u(x, t) = A k sin(µ k ct + δ k )e k (x), x Ω, där konstanterna A k och δ k bestäms av u(x, ) och t u(x, ).

15 Varför åter musikinstrument så oika? 4 (9) Exempe 5 Låt oss se vad detta betyder om vi ersätter Ω med det endimensionea intervaet [, π]. Randen är då de två punkterna, π och randvikoret atså att u(, t) = u(π, t) =. Funktionen e k (x) ska vara sådan att e (x) + µ 2 e(x) =, med randvikoren e() = e(π) =. Detta går endast om µ = k för något positivt heta k. Vi får atså µ k = k och e k (x) = sin(kx). Detta svarar mot den svängande strängen vi diskuterade tidigare. Antag att egenvärdena är ordnade så att < µ µ 2... Vi ser då att membranets grundton har frekvensen µ c/2π och den k:te övertonen har frekvensen µ k c/2π. I amänhet kan vi inte ge enka snygga former för egenvärdena λ k och ej heer kan vi hoppas på att uttrycka egenfunktionerna i tabuerade eementära funktioner, utan man är hänvisad ti att numeriskt beräkna dessa. Undantag ti denna rege är om Ω har någon form av symmetri. Ett sådant exempe är en cirkeskiva. Exempe 6 Låt Ω vara enhetscirkeskivan i R 2. I poära koordinater (r, θ) innebär egenvärdesprobemet då att vi vi bestämma ta λ = µ 2 < och funktioner e(r, θ) sådana att r 2 (r r(r r e) + 2 θe) = µ 2 e, e(, θ) = för aa θ π, där e(r, θ) är en 2π-periodisk funktion i θ. Det innebär att vi kan skriva e(r, θ) = c n (r)e inθ, c n (r) = e(r, θ)e inθ dθ. 2π π En kort räkning visar nu att det betyder att c n (r) ska vara en ösning ti ekvationen r 2 c n(r) + rc n (r) + (µ 2 r 2 )c n (r) =. Eftersom c n (r) är begränsad nära r = betyder det att c n (r) = A n J n (µr), där J n (x) är den s.k. n:te Bessefunktionen. Dessa är iustrerade i figuren nedan för några små värden på n n = n = n = 2 n = 3 2 x

16 Varför åter musikinstrument så oika? 5 (9) Vikoret e(, θ) = för aa θ innebär att J n (µ) =, så µ ska vara ett av J n :s oändigt många nostäen {µ nm } m=: m = m = 2 m = 3 m = 4 m = 5 n = n = n = Då n motsvaras varje egenvärde µ 2 nm av två injärt oberoende egenfunktioner c nm J n (µ nm r) cos(nθ), c nm J n (µ nm r) sin(nθ), där c nm är en normeringskonstant. För n = bortfaer den andra typen och egenfunktionerna är mutiper av J (µ m r). Detta ger oss föjande figurer för de första egensvängningnarna. (n, m) = (, ) (n, m) = (, 2) (n, m) = (, 3) (n, m) = (, ) (n, m) = (, 2) (n, m) = (, 3) (n, m) = (2, ) (n, m) = (2, 2) (n, m) = (2, 3) Figurerna är ritade för J n (µ nm r) cos(mθ), och de grå områdena svänger i motsatt riktning mot de vita områdena. Nodinjerna i figurerna, d.v.s. de kurvor som inte rör sig under svängningen, bidar vad som kaas Chadni:s figurer. I detta fa består nodinjerna av cirkar och räta injestycken.

17 Varför åter musikinstrument så oika? 6 (9) Anmärkning Övertonsfrekvenserna förhåer sig inte på något numeriskt enket sätt ti grundtonsfrekvensen. Detta kan ses som en förkaring ti varför en trumma inte åter ika musikaisk som t.ex. en gitarr eer karinett. Anmärkning Probemet med att ösa (2) med randvärdet (22) för icke-cirkuära områden har betydese för även för t.ex. en gitarr. Gitarrsträngen är ju spänd över en resonansåda, vars uppgift är att förstärka judet. Den ideaa gitarrådan svarar ika bra på aa frekvenser som strängen frambringar, men så sker inte i verkigheten. Lådan har nämigen sina egenfrekvenser och egensvängningar och frekvenser som igger nära dessa förstärks mer än de som igger ångt ifrån. Detta gör att resonansådan ändrar kangen på tonen. Det är därför en konst att bygga bra gitarrer och fioer. Nedan visas Chadnifiguren för en gitarr, experimentet framtagen genom att ådan har täckts med sand, viken samas i nodinjerna när den vibrerar. Ju högre frekvens egensvängningen har, desto fer områden deas ådan in i av nodinjerna. 8 D Aemberts forme Som avsutning på den här diskussionen om hur man kan uppfatta ösningarna ti vågekvationen i form av toner, åt oss föja upp en annan infasvinke. Vi vet 3 att vågekvationen i ett havrum, med s.k. Cauchydata, 2 t u = c 2 2 xu, x R, t >, u(x, ) = f(x), t u(x, ) = g(x), x R, har en entydig ösning som ges av d Aemberts forme u(x, t) = ( f(x + ct) + f(x ct) + 2 c x+ct x ct ) g(s)ds. Om f inte är i C 2 eer g inte i C ger detta en svag ösning ti probemet. Vi ska nu se hur denna ekvation kan användas ti att ösa de probem som invoverar en rumsvariabe

18 Varför åter musikinstrument så oika? 7 (9) ovan. Som exempe återvänder vi ti probemet med den svängande strängen, dvs det matematiska probemet 2 t u = c 2 2 xu, x, t >, u(x, ) = f(x), t u(x, ) = g(x), x, u(, t) = u(, t) =, t >. Vi antar här att f() = f() = g() = g() =. För att använda detta ti att ösa våra probem på kompakta interva går man tiväga som föjer. Metoden iustreras i exempet som kommer efter diskussionen. Vi börjar med att utvecka funktionerna f(x) och g(x) ti udda, 2-periodiska funktioner f(x) och g som är definierade på hea den reea axen, där f(x) bir en C 2 -funktion och g(x) en C funktion. Låt ũ(x, t) vara ösningen på Cauchyprobemet 2 t u = c 2 2 xu, u(x, ) = f(x), t u(x, ) = g(x). För fixt t bir ũ(x, t) en udda, 2-periodisk funktion av x. För att inse att den bir udda, observerar vi att U(x, t) = ũ( x, t) också öser probemet, ty f och g är udda. Eftersom ösningen är entydigt bestämd, är såedes ũ( x, t) = ũ(x, t). På samma sätt ser vi att ũ(x + 2, t) = ũ(x, t), ty båda eden öser tide-probemet. Genom att sätta x = i identiteten ũ( x, t) = ũ(x, t) inser man att ũ(, t) =. Att även ũ(, t) = föjer om man sätter x = i identiteten ũ(x +, t) = ũ(x, t) = ũ( x, t). (Här har vi använt att ũ är 2-periodisk och udda som funktion av x.) Vi ser att restriktionen u(x, t) av ũ(x, t) ti x öser probemet ovan. Exempe 7 Betrakta probemet 2 t u = c 2 2 xu, u(, t) = u(, t) =, u(x, ) = f(x), t u(x, ) =, där f(x) = { 2xh/ x /2 2h( x)/ /2 x. Låt f(x) vara den udda, 2-periodiska funktion på R som är ika med f(x) då x. h /2 h Enigt diskussionen ovan och d Aemberts forme ges då (den svaga) ösningen u(x, t) av u(x, t) = 2 ( f(x + ct) + f(x ct)).

19 Varför åter musikinstrument så oika? 8 (9) I syfte att rita grafen för u(x, t) för fixt t noterar vi att x u(x, t) är medevärdet av riktningskoefficienterna för f i de två punkter på reea axen vars avstånd ti x är ct. Om t.ex. t < /2c föjer ur detta att 2h/ < x < /2 ct x u(x, t) = x /2 < ct, 2h/ /2 + ct < x < varur vi får att grafen för u(x, t) för fixt t < /c ser ut som h( 2ct/) /2 ct /2 + ct Amänt konstrueras grafen för u(x, t) för fixt t > på föjande sätt. Vi utgår från paraeogrammen OABC i föjande figur A h O /2 /2 B h C Beteckna med L en inje som är parae med x-axen och fyttbar i vertikaed. Låt först L gå genom punkten A och förskjut sedan L nedåt tis den når C. Förfytta sedan L uppåt igen ti sen når A o.s.v. Gör detta med jämn fart så att en cyke (från A ti C och tibaka ti A) tar tiden 2/c. Vid varje tidpunkt skär då L paraeogrammen OABC i precis två punkter. Kaa dessa P och Q. Poygonen OP QB är då grafen för u(x, t) vid denna tidpunkt. A P Q O B C

20 Varför åter musikinstrument så oika? 9 (9) Anmärkning Lösningen ovan är samma (svaga) ösning som i Exempe. Vi såg ovan att en C 2 ösning ti Cauchyprobemet ovan är entydigt bestämd av f och g. Om vi nu rundar av funktionen f i exempet ovan genom att ersätta den med en funktion av formen f N i anmärkningen efter Exempe, så ger atså d Aemberts metod samma ösning som metoden med Fourierserie. Eftersom i båda faen de svaga ösningarna kan fås som gränsvärden då N av de ösningar som svarar mot f N så måste de överensstämma. Man kan naturigtvis också övertyga sig om detta genom att Fourierutvecka ösningen i exempet ovan. Anmärkning De två oika beskrivningarna av samma ösning i Exempe och Exempe 7 kan sägas representera vad två oika sinnesorgan (öra respektive öga) uppfattar då strängen svänger. Noteringar. Bukar och noder för stående vågor diskuteras i Om kompexa ta och funktioner. 2. En häredning finns i kapitet Några partiea differentiaekvationer med vågösningar. 3. Från kapitet Några partiea differentiaekvationer med vågösningar