Introduktion till partiella differentialekvationer
|
|
- Maj Persson
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 KAPITEL 4 Introduktion ti partiea differentiaekvationer 4.1. Några eempe Eempe 4.1. (Den endimensionea värmeedningsekvationen Vi betraktar värmeedningsprobemet (se Kapite 1 i en (oändigt tunn stav av ängd. Låt värmen i punkten vid tidpunkten t ges av u(,t. Antag att värmen i staven vid tiden beskrivs av funktionen f (, och att värmen i ändpunkterna = och = ges av funktionerna h(t, respektive g(t (i praktiken är h och g uppmätta kvantiteter. Då beskrivs u(, t av den s.k. värmeedningsekvationen: u t ku =, t >, < <, u(, = f (, < <, u(,t = h(t, t >, u(,t = g(t, t >. FIGUR Endimensione värmeedning Eempe 4.2. (Den inhomogena endimensionea värmeedningsekvationen Antag att vi har samma system som i föregående eempe, men att vi dessutom tiför värmen v(, t i punkten vid tiden t. Då beskrivs u(, t istäet av den inhomogena värmeedningsekvationen: u t ku = v(,t, t >, < <, u(, = f (, < <, u(,t = h(t, t >, u(,t = g(t, t >. FIGUR Endimensione inhomogen värmeedning v = v(,t 11
2 12 4. INTRODUKTION TILL PARTIELLA DIFFERENTIALEKVATIONER Eempe 4.3. (Den tvådimensionea värmeedningsekvationen Vi betraktar nu värmeedning i ett tvådimensionet område D. Låt värmen i punkten (,y D vid tiden t ges av u(,y,t. Antag att värmefördeningen vid tiden t = beskrivs av funktionen f (,y, och att värmen i randen ti D är konstant (oberoende av tiden och ges av funktionen g(,y (i praktiken så kan man åstadkomma konstant värme på randen genom att tiföra eer eda bort värme. Antag dessutom att värmen v(,y,t tiförs i punkten (,y vid tidpunkten t. Då beskrivs u(,y,t av den tvådimensionea värmeedningsekvationen: u t k ( u + u yy = v(,y,t, (,y D, t >, u(,y, = f (,y, (,y D, u(,y,t = g(,y, (,y D, t >. (,y D D Eempe 4.4. (Den tredimensionea värmeedningsekvationen Vi betraktar nu värmeedning i ett tredimensionet område V. Vi använder samma beteckningar som ovan, förutom att vi även har en z-koordinat. Värmen u(,y,z,t beskrivs av den tredimensionea värmeedningsekvationen: (4.1.1 u t div(kgradu = v(,y,z,t, (,y,z V, t >, u(,y,z, = f (,y,z, (,y,z V, u(,y,z,t = g(,y,z, (,y,z V, t >. ANMÄRKNING 1. Observera att gradienten grad av funktionen u(,y,z ges av vektorn gradu = u = ( ( u,u y,u u z =, u z, u ( = z, z, u. z Om skrivs som vektorn ( =, z,, z ges divergensen div, av ett vektorfät F = (F,F y,f z av divf = F = F + F y z + F z z. Divergensen av gradienten ges därmed av div(gradu = u = 2 u = u = u + u yy + u zz. Atså gäer att om k = k(,y,z är konstant = k så kan (4.1.1 skrivas som ANMÄRKNING 2. Observera att ekvationen u t k ( u + u yy + u zz = v u t k u = v. u t κ u = v i amänhet beskriver en diffusionsprocess. Värmeedning innebär en diffusion (transport av värme, och är ett eempe på en sådan process. Några andra eempe på diffusionsprocesser är Bandning av en vätska i en annan (t.e. mjök i en tekopp.
3 4.1. NÅGRA EXEMPEL 13 Utbredning av en gas i uft (t.e. spridning av en giftig gas i uften. Spridning av eementarpartikar i ett homogent materia (t.e. neutrinos i en kärnkraftreaktor. Eftersom ekvationerna är de samma kommer naturigtvis de metoder vi går igenom för att ösa oika eempe på värmeedningsekvationen kunna användas för aa oika typer av diffusion. En annan PDE som är ika viktig som diffusionsekvationen är vågekvationen, viken vi nu ska se några eempe på. Eempe 4.5. (Den endimensionea vågekvationen Betrakta en vibrerande (eastisk sträng av ängd som sitter fast i båda ändpunkterna. Pacera strängen ängs en -ae och åt u(, t beskriva strängens position vid koordinaten och tiden t. Vid startögonbicket t = ges strängens position och hastighet av funktionerna f ( respektive g(. Strängens vibrationer beskrivs av den endimensionea vågekvationen: u tt ku =, < <, t >, u(,t = u(,t =, t >, u(, = f (, < <, u t(, = g(, < <. FIGUR Vibrerande sträng u(,t Eempe 4.6. (Den tvådimensionea vågekvationen Betrakta ett vibrerande membran som sitter fast i kanterna (t.e. ett trumskinn fastspänt i en trumma. Pacera membranet så att det täcker ett område D i y-panet, och åt u(,y,t beskriva positionen av membranet i punkten (,y vid tiden t. Vid tiden t = ges membranets position och hastighet av funktionerna f (, y respektive g(, y. Membranets vibrationer beskrivs av den tvådimensionea vågekvationen: u tt k ( u + u yy =, (,y D, t > u(,y,t =, (,y D, t > u(,y, = f (,y, (,y D, u t(,y, = g(,y, (,y D.
4 14 4. INTRODUKTION TILL PARTIELLA DIFFERENTIALEKVATIONER FIGUR Vibrerande membran D z z = u(,y,t y D Eempe 4.7. (Den tvådimensionea Lapaceekvationen Antag att vi har ett tvådimensionet område, som i Eempe 4.3, och vi undersöka hur värmefördeningen i systemet ser ut då det uppnått termisk jämvikt, d.v.s. när det gått så ång tid att värmefördeningen inte ängre förändras med tiden. Antag dessutom att vi inte tiför någon värme. Detta innebär att vi ska sätta u t = och v = i Eempe 4.3, viket ger oss Lapaces ekvation, viken kan skrivas på föjande ekvivaenta sätt: (4.1.2 u + u yy =, 2 u =, u =. (Ofta brukar kaas för Lapaces operator, viken är av mycket stor betydese även inom ren matematik. Lösningen u(, y ti (4.1.2 ger värmen i punkten (, y då systemet har uppnått termisk jämvikt. Detta brukar kaas en stationär ösning ti värmeedningsprobemet. Eempe 4.8. (Den tvådimensionea Poissons ekvation Poissons ekvation är en inhomogen Lapaceekvation, viken atså kan skrivas på föjande ekvivaenta sätt: u + u yy = f 2 u = f u = f. Här har vi atså u t = och v(,y,t = 1 f (,y i Eempe 4.3, och vi kan atså toka Poissons k ekvation som värmeedningsekvationen när vi har termisk jämvikt (u t =, samt tiför värmen f (,y i punkten (,y (oberoende av tiden.
5 4.2. EN ALLMÄN PDE AV ANDRA ORDNINGEN 15 Eempe 4.9. (Den tredimensionea Poissons ekvation u + u yy + u zz = f 2 u = f u = f. I det här faet har vi u t = och v = 1 k f i Eempe 4.4, och den tredimensionea Poissons ekvation kan precis som den tvådimensionea ovan tokas som värmeedningsekvationen vid termisk jämvikt då vi tiför värmen 1 k f (,y,z i punkten (,y,z. ANMÄRKNING 3. Om den tiförda värmen i eempen ovan har negativt tecken ska detta naturigtvis tokas som en nedkyning En amän PDE av andra ordningen En amän partie differentiaekvation (PDE kan skrivas som (4.2.1 G (,t,u,u,u t,u,u t,u tt =. De grundäggande frågorna vi stäer oss är: 1. Eisterar det en ösning ti PDEn? 2. Är ösningen unik? 3. Är ösningen stabi vid små störningar? 4. Vika metoder finns för att konstruera och iustrera ösningar? Eempe 4.1. Probemen i Eempe har unika ösningar, men probemen i Eempe har inte unika ösningar. ANMÄRKNING 4. En PDE av typen (4.2.1 har vanigtvis oändigt många ösningar och den amänna ösningen beror då på ett anta godtyckiga funktioner (jämför att amänna ösningar ti en ODE beror på godtyckiga konstanter. Eempe har ösningarna Ekvationen u t = t u = 1 4 t2 2 + g(t + h(. Eempe har t.e. ösningarna Den tvådimensionea Lapaceekvationen u + u yy =, u(,y = 2 y 2, u(,y = e cosy, u(,y = n ( 2 + y 2.
6 16 4. INTRODUKTION TILL PARTIELLA DIFFERENTIALEKVATIONER ANMÄRKNING 5. En ösning u(, y ti Lapaces ekvation kaas för en harmonisk funktion. För att hitta harmoniska funktioner kan man använda sig av det faktum att om f (z = f (+iy är en anaytisk funktion, d.v.s. om d f (z eisterar, så är readeen u(,y = R f ( + iy, och imaginärdeen v(,y = I f ( + iy dz harmoniska funktioner. I eempet ovan tog vi f (z = z 2, e z respektive ogz Linjäritet-Ickeinjäritet En partie differentiaekvation kan skrivas på formen (* Lu = f, där L är en differentiaoperator. Eempe Låt L = t k 2. Då bir (* 2 u t ku = f, viket är en endimensione värmeedningsekvation (se Eempe 4.2. Eempe Låt Då bir ekvationen (* L(u = u u t + 2tu. u u + 2tu = f (,t. t DEFINITION 4.1. Vi säger att (* är injär om operatorn L har egenskaperna: (1 (2 L(u + v = Lu + Lv, L(cu = clu. Om något av dessa vikor inte är uppfyt säger vi att (* är ickeinjär. Eempe Värmeedningsekvationen i Eempe 4.13 är injär. Bevis: Vi måste undersöka om L = t k 2 uppfyer vikoren (1 och (2 ovan. 2 (1 L(u + v = (2 L(cu = (cu t (u + v t k 2 (cu 2 k 2 (u + v 2 = u t k 2 u = c u t u kc 2 2 = c Och atså, eftersom L uppfyer både (1 och (2 så är ekvationen injär. Lu = f 2 + v t k 2 v = Lu + Lv. 2 ( u t k 2 u 2 = clu.
7 4.5. SUPERPOSITIONSPRINCIPEN 17 Eempe Den partiea differentiaekvationen i Eempe 4.14 är ickeinjär. Bevis: Vi börjar med att testa egenskap (1. L(u + v = (u + v(u + v t + 2t(u + v = uu t + uv t + vu t + vv t + 2tu + 2tv, och Lu + Lv = uu t + 2tu + vv t + 2tv. Eftersom L(u + v (Lu + Lv = uv t +vu t är inte (1 uppfyd och ekvationen är atså ickeinjär Kassificering av PDE En amän injär andra ordningens PDE kan skrivas som (4.4.1 a(,tu tt + b(,tu t + c(,tu + d(,tu t + e(,tu + q(,tu = f (,y, (,t D. Sätt Vi säger att PDEn (4.4.1 är Eiptisk om D(,t < i D, Paraboisk om D(,t = i D, Hyperboisk om D(,t > i D. Eempe D(,t = (b(,t 2 4a(,tc(,t. Betrakta den tvådimensionea Lapaceekvationen u + u yy =. Här är D(,y = = 4 <, och ekvationen är såedes eiptisk. Eempe Betrakta värmeedningsekvationen u t u =. Här är D(,y = 2 4 ( 1 =, och ekvationen är såedes paraboisk. Eempe Betrakta den endimensionea vågekvationen u tt u =. Här är D(,y = ( 1 = 4 >, så ekvationen är hyperboisk Superpositionsprincipen Betrakta en injär och homogen (med i högeredet PDE: (* Lu =. Om (* har ösningar u 1,u 2,... så är också aa injärkombinationer av dessa, ösningar ti (* eftersom u = c 1 u 1 + c 2 u c n u n, Lu = L(c 1 u c n u n = c 1 Lu c n Lu n = + + =. Detta kaas för superpositionsprincipen och gäer även för oändiga summor: u = c 1 u 1 + c 2 u c n u n +
8 18 4. INTRODUKTION TILL PARTIELLA DIFFERENTIALEKVATIONER om vissa konvergensegenskaper gäer 1. Den kontinueriga superpositionsprincipen: Antag att u α (,t uppfyer Lu α = för aa α, a α b, och åt u(,t = Z b a c(αu α (,tdα, där c(α är en godtyckig (integrerbar funktion. Då gäer även att Bevis: Eempe 4.2. Lu =. ( Z b Lu = L c(αu α (,tdα = = Z b a Z b a a c(αlu α (,tdα c(α dα =. Det är enket att verifiera att ( u α (,t = 1 ( α2 ep, t >, < α < 4πkt 4kt uppfyer värmeedningsekvationen u t ku =. Atså uppfys denna ekvation även av funktionen u(,t = 1 Z ( α2 c(α ep ( dα. 4πkt 4kt 4.6. Rättstäda probem Ett randvärdes probem sägs vara rättstät (eng. we-posed om (a (b (c Eempe det eisterar en ösning, ösningen är unik, och ösningen är stabi. Betrakta begynnesevärdesprobemet bestående av ekvationen tisammans med begynnesevärdena u tt + u =, t >, < <, (4.6.1 u(, =, u t(, =, < <. Den unika ösningen ges av den funktion som är konstant : u(,t, t, < <. n 1 T.e. om vi har ikformig konvergens för: sn ( = u j ( u, s n n( = u j( u, etc. för aa förekommande derivator. 1 1
9 4.6. RÄTTSTÄLLDA PROBLEM 19 Låt oss nu ändra ite grand på begynnesevärdena (4.7 ti (4.6.2 u(, =, u t(, = 1 4 sin1 4. Lösningen ti det nya begynnesevärdesprobemet ges av u(,t = 1 8 sin ( 1 4 sinh ( 1 4 t. För stora t gäer att sinh ( 1 4 t är ungefär 1 2 ep( 1 4 t. Den ia förändringen i begynnesevärdet har atså gett upphov ti en förändring i ösningen från en funktion som är konstant ti en ösning som ti beoppet väer eponentiet (från sinh-faktorn, samt oscierar eponentiet mycket (från sinus-faktorn. En verkigt dramatisk förändring! Detta betyder att ösningen inte är stabi, och atså gäer inte (c ovan. Probemet är atså icke rättstät (eng. i-posed. Eempe Visa att randvärdesprobemet u t ku =, < <, < t < T, u(, = f (, < <, u(,t = g(t,u(,t = h(t, < t < T, där f C[,] och g,h C[,T ], har en unik ösning, u(,t, i rektangen R :, t T. Lösning: Vi kommer senare (i Eempe 5.9 konstruera en ösning ti probemet! Antag nu att det finns två skida ösningar ti probemet: u 1 (,t och u 2 (,t. Då måste funktionen w(,t = u 1 (,t u 2 (,t uppfya randvärdesprobemet: w t kw =, < <, < t < T, w(, =, < <, w(,t = w(,t =, < t < T. Bida nu energiintegraen Z E(t = w 2 (,td. Observera att E(t, E( =, och Z Z E (t = 2ww td = 2k ww d = [ 2kww ] Z 2k ( w 2 d = 2k Z ( w 2 d. Funktionen E är atså avtagande från E( =, och eftersom E måste E(t. Detta innebär att även w(,t, d.v.s. u 1 (,t = u 2 (,t för aa,t. Då vi från början antog att ösningarna u 1 och u 2 var skida har vi kommit fram ti en motsägese, och atså har probemet endast en ösning.
10 2 4. INTRODUKTION TILL PARTIELLA DIFFERENTIALEKVATIONER 4.7. Några anmärkningar om Fourierserier Betrakta en funktion f (, < <. Fourierkoefficienterna för f är definierade som a = 1 2 a n = 1 Z Z Z b n = 1 och Fourierserien för f är definierad som S( = a + f (d, ( nπ f (cos ( nπ f (sin n=1 a n cos d, n = 1,2,..., d, n = 1,2,..., ( nπ ( nπ + b n sin. För mer detajer om Fourierserier se avsnitt Se även Fig Antag att f ( är oändigt många gånger deriverbar i intervaet < <, förutom i ett anta diskontinuitetspunkter. Då gäer: (a S( = S( + 2, för aa. (b S( = f ( i de punkter där f är kontinuerig, (c S( = 1 [ f (+ + f ( ] i diskontinuitetspunkter2 2 y f ( (a En diskontinuerig funktion y S( f ( (b Och dess Fourierserie I en graf av en diskontinuerig funktion brukar man indikera det värde funktionen tar i en punkt med en ifyd cirke, och det värde funktionen inte tar med en ofyd cirke 2 Här är f (+ = im y f (y, där vi håer y > då vi tar gränsvärdet, och på samma sätt definieras f (.
11 4.7. NÅGRA ANMÄRKNINGAR OM FOURIERSERIER 21 FIGUR En fyrkantsvåg y k f ( = { k, < <, k, < π π k Eempe Betrakta funktionen f ( från Fig : { k, < <, f ( = k, <. Notera att ( f ( är en udda funktion, d.v.s. f ( = f (. Eftersom cos är jämn bir funktionen f (cos udda och vi vet att en integra av en udda funktion över ett jämnt interva atid nπ bir (den negativa arean tar ut den positiva arean, och atså bir a = a n = för aa n. Och vi har b n = 1 Z ( nπ f (sin d = 1 Z ( nπ Z ( nπ k sin d + k sin d = 2k Z ( nπ sin d D.v.s. = 2k [ ( nπ nπ cos = 2k (1 cosnπ nπ = 2k nπ (1 ( 1n. b 1 = 4k π, b 2 =, b 3 = 4k 3π, b 4 =, b 5 = 4k 5π,..., och Fourierserien för f är atså S( = 4k ( nπ π b n sin = 4k ( 1 (2m + 1π n=1 π m= 2m + 1 sin = 4k ( ( π sin + 1 ( 3π π 3 sin + 1 ( 5π 5 sin +. Se Fig för iustration av några av av de partiea (med bara ett visst anta termer Fourierserierna för S(. ]
12 22 4. INTRODUKTION TILL PARTIELLA DIFFERENTIALEKVATIONER FIGUR Fourierserier y k S 1 ( π π k (a Första termen k y π k π S 1 ( 4k 3π sin3 4k 5π sin5 S 2 ( S 3 ( (b Ytterigare termer
13 4.8. SEPARATION AV VARIABLER Separation av variaber Separation av variaber är en ofta använd metod för att ösa vissa typer av PDE:er och brukar även kaas Fouriers metod. Modeeempe: Lös probemet (1 (2 (3 u t ku =, < <, t >, u(, = f (, < <, u(,t = u(,t =, t >. Att separera variaberna i (1 innebär att vi söker en ösning u(,t viken kan faktoriseras i en de som bara beror på och en de som bara beror på t. För att se om detta är möjigt gör vi en ansats: u(,t = X(T (t, där X och T är de funktioner vi vi hitta. Om vi deriverar u får vi u t(,t = X(T (t och u (,t = X (T (t, och sätter vi in detta i (1 får vi ekvationen: X(T (t kx (T (t =, viken kan skrivas om som T (t 1 T (t k = X ( X(. Eftersom vänsteredet endast beror på t och högeredet endast beror på så måste båda sidorna vara ika med en konstant: T (t 1 T (t k = X ( X( = λ, för någon konstant λ (som vi bestämmer nedan. Istäet för den partiea differentiaekvationen (1 får vi atså två stycken ordinära differentiaekvationer: { T (t = λkt (t, X ( = λx(, med de amänna ösningarna T (t = Ce λkt,och X( = Asin ( ( λ + Bcos λ. Randvärdena (3 ger att antingen är T eer så måste X( = X( =. Då det första aternativet bara ger ösningen som är konstant får vi att X måste uppfya randvikoren X( = X( =, d.v.s. X( = B =, viket säger att B =, och dessutom är ( X( = Asin λ =. ( För att återigen undvika den triviaa ösningen W (d.v.s. med A = måste sin λ =, viket innebär att λ = nπ, n Z +, som är ekvivaent med att λ = n2 π 2 2 för något positivt heta n.
14 24 4. INTRODUKTION TILL PARTIELLA DIFFERENTIALEKVATIONER Vi har visat att om en ösning ti (1 går att faktorisera som X(T (t då kan den skrivas ( nπ ( K sin ep n2 π 2 kt 2, där n är ett positivt heta och K en konstant. Enigt superpositionsprincipen (avsnitt 4.5 ges den amänna ösningen ti ekvationen (1 och randvärdena (3 av ( nπ ( u(,t = b n sin ep n2 π 2 kt 2, n=1 där Fourierkoefficienterna, {b n } n=1, bestäms av begynnesevikoret (2: (* u(, = f ( = n=1 ( nπ b n sin. Låt nu för enkehetens sku = π och betrakta några eempe på begynnesevärden f ( ti ovanstående probem. Eempe Låt f ( = 2sin+4sin3. Då gäer (* om b 1 = 2, b 2 =, b 3 = 4, b 4 = b 5 = =. Lösningen ti modeeempet är atså u(,t = 2sin(e t + 4sin(3e 9kt. Eempe Låt f ( = 1 = (sin + sin3 + sin5 +. Då gäer (* om b 1 = 4 π π, b 2 =, b 3 = 4 1 π 3, b 4 =, b 5 = 4 1 π 5, b 6 =, etc. Lösningen ti modeeempet är nu u(,t = 4 ( sin(e kt + 1 π 3 sin(3e 9kt sin(5e 25kt + = 4 π n=1 sin((2n 1e (2n 12 kt. Eempe Om vi har en amän begynnesevärdesfunktion f (, π, ges ösningen ti modeeempet av där b n = 1 π u(,t = Z π π n=1 b n sin(nep ( n 2 kt, f u (sinnd = 2 π Z π f (sinnd. Här är f u ( en utökning av f ( ti en udda funktion i intervaet π < < π, dvs f u ( = f ( om > och f u ( = f ( om (se Fig
15 4.9. ÖVNINGSUPPGIFTER 25 FIGUR Konstruktion av en udda utvidgning y f ( f u ( π π 4.9. Övningsuppgifter 4.1. [S] Avgör om föjande differentiaekvationer är injära/ickeinjära: a u t(,t + 2 u (,t =. 2 u b 2 t + u u = f (,t. c u u u t =. 3 u d 3 t + 2 u 2 t + u t = u * Bestäm de områden där föjande partiea differentiaekvationer är hyperboiska, eiptiska eer paraboiska: a u tt + u + 2u = f (,t, (,t R 2. b y 2 ( u + u yy =, R, y >. 2 ( u 2 c t 2 = u c2 r u r r d sin ( u tt + 2u t, t >, r >, och c R en konstant. + cosu = tan, t R, π [S] Låt u(,t, t >, > beteckna temperaturen i en oändigt ång stav med värmeedningskonstant k, och viken upphettas genom att öka temperaturen i ändpunkten så att u(,t = t. Använd det faktum att u α (,t = (4πkt 2 1 e ( α2 4kt är en ösning ti u t ku = för varje α R tisammans med superpositionsprincipen för att bestämma u(,t. D.v.s. bestäm en ösning ti u t ku =, >,t >. u(,t = t, t > Avgör om föjande probem är rättstäda eer ej:
16 26 4. INTRODUKTION TILL PARTIELLA DIFFERENTIALEKVATIONER a u tt = u, u(,t = u(π,t = u(, = u(,π,,t [,π]. b u t ku =, u(,t = u(π,t =, u(, ( = sin, [,π], t >. c u t ku =, u(,t =, u(, = sin, [,π], t >. 2 ( d u t ku =, u(,t = u(π,t =, u(, = sin, [,π], t > [S] a Bestäm Fourierserien för den funktion f ( som i intervaet π < < π ges av f ( = 2. b använd a för att visa att π2 12 = ( 1 k k=1 k * Bestäm Fourierserien för f (t = sint [S] Betrakta en stav av ängd L = 1 med värmeedningskoefficient k = 1. Från början har staven den konstanta temperaturen 1. Vi kyer sedan hastigt ned stavens ändpunkter ti temperaturen, där vi sedan håer temperaturen konstant under eperimentets gång. a Formuera detta probem matematiskt. b Hitta ett uttryck för stavens temperatur i punkten och tiden t. (Ledtråd: för Fourierserieutveckingen av den konstanta funktionen 1 gör en udda periodisk utvidgning i intervaet * Lös föjande probem med hjäp av variabeseparation: u t = u, < < 3, t >, ( 4π u(, = sin(π 2sin 3, < < 3, u(,t = u(3,t =, t > [S] Lös föjande probem: u t = u, < < π, t >, u(, = sin 2, < < π, u (,t = u (π,t =, t > Lös föjande probem u tt = u, < < π, t >, u(, = sin, < < π, u t(, = 1, < < π, u(,t = u(π,t =, t >.
Tentamen i Fourieranalys MVE030 för F2 och Kf2 och Fouriermetoder MVE290 för TM2
MATEMATISKA VETENSKAPER Datum: 24-3-4 Chamers Skrivtid: 8.3-3.3 Teefon: Matteo Moteni 73-8834 Tentamen i Fourieranays MVE3 för F2 och Kf2 och Fouriermetoder MVE29 för TM2 Hjäpmede: Godkänd räknedosa, BETA
Läs merUPPSTÄLLDA SAMBAND SKALL MOTIVERAS (gärna med en enkel skiss). Uppgifterna är inte avsiktligt ordnade efter hur svåra de är.
GÖTEBORGS UNIVERSITET Institutionen för Fysik och teknisk fysik LÖSNINGAR TILL TENTAMEN I FYP34 TILLÄMPAD FOURIERANALYS Tid: Lördag 9 apri 8, k 8 3 3 3 Pats: V Ansvarig ärare: Uf Torkesson, te. 3-77 336
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 11-14, 16/11-28/
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Transformmetoder, 5 hp gy, IT, W, X 2011-10-26 Sammanfattning av föreläsningarna 11-14, 16/11-28/11 2012. Här lär vi oss använda transformer för att
Läs merVi betraktar homogena partiella differentialekvationer (PDE) av andra ordningen
Produktlösningar Vi betraktar homogena partiella differentialekvationer (PDE) av andra ordningen u( u( u( u( u( A B C D E 0 (ekv 0) y y y som är definierad på ett (ändligt eller oändlig rektangulär område
Läs merPartiella differentialekvationer (TATA27)
Partiella differentialekvationer (TATA27) Linköpings universitet Vår termin 2015 Inneåll 1 Introduktion 1 1.1 Notation............................................. 1 1.2 Differentialekvationer......................................
Läs mer= y(0) för vilka lim y(t) är ändligt.
Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF633 Differentialekvationer I och SF637 Differentialekvationer och transformer III Lördagen den 4 februari, kl 4-9 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa
Läs merÖVN 11 & 12 DEL B - DIFFTRANS - DEL2 - SF Nyckelord och innehåll
ÖVN 11 & 12 DEL B - DIFFTRANS - DEL2 - SF1683 HTTP://KARLJODIFFTRANS.WORDPRESS.COM KARL JONSSON Nyckelord och innehåll Partiella differentialekvationer Separation av variabler Operatorer A definierade
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIAL EKVATIONER i) En differentialekvation
Läs merTeori för linjära ordinära differentialkvationer med konstanta koefficienter
Institutionen för Matematik SF1625 Envariabelanalys Läsåret 2016/2017 Teori för linjära ordinära differentialkvationer med konstanta koefficienter 1. FÖRSTA ORDNINGEN Homogena fallet. En homogen linjär
Läs merÖVN 2 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF1683. Inofficiella mål
ÖVN 2 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF1683 KARL JONSSON Nyckelord och innehåll Andra ordningens linjära differentialekvationer Homogena ekvationen Fundamental lösningsmängd, y 1 (t),
Läs merVarför låter musikinstrument
Varför åter musikinstrument så oika? Anders Käén MatematikCentrum LTH anderskaen@gmai.com Sammanfattning Varför är kangen i oika musikinstrument oika när de ger ifrån sig samma ton? Den frågan ska diskuteras
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR, SF676 Differentialekvationer Inledning DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR DIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner. ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER
Läs merLösning till tentamen i SF1633 Differentialekvationer I för BD, M och P, , kl
KTH Matematik Bengt Ek och Olle Stormark. Lösning till tentamen i SF633 Differentialekvationer I för BD, M och P, 008 0 6, kl. 4.00 9.00. Hjälpmedel: BETA. Uppgifterna 5 motsvarar kursens fem moduler.
Läs merPartiella differentialekvationer och randvärdesproblem Separabla PDE Klassiska ekvationer och randvärdesproblem
Partiella differentialekvationer och randvärdesroblem. 12.1. Searabla PDE 12.2. Klassiska ekvationer och randvärdesroblem. 12.3. Värmeledningsekvationen. 12.4. Vågekvationen. 12.5. alace ekvation. Variabelsearation.
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 214-1-24 DEL A 1. Låt f(x) = e x sin x. A. Bestäm alla kritiska (stationära) punkter till funktionen f. B. Avgör vilka av de kritiska punkterna som
Läs mer(y 2 xy) dx + x 2 dy = 0 y(e) = e. = 2x + y y = 2x + 3y 2e 3t, = (x 2)(y 1) y = xy 4. = x 5 y 3 y = 2x y 3.
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Pepe Winkler tel. 018-471 2 89 Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen Ordinära differentialekvationer, 2 poäng 2005-01-10 Skrivtid: 8.00 1.00. Hjälpmedel:
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av
SF166 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 13-3-1 DEL A 1. En svängningsrörelse beskrivs av ( πx ) u(x, t) = A cos λ πft där amplituden A, våglängden λ och frekvensen f är givna konstanter.
Läs merInstitutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud 5B 7, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F. Tentamen fredag 25 maj 27, 8.-3. Förslag till lösningar (ändrat 28/5-7, 29/5-7).
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER i) En differentialekvation
Läs merRita även grafen till Fourierserien på intervallet [ 2π, 4π]. (5) 1 + cos(2t),
Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 24-1-13, kl. 14. 19.. 5B122/2 Diff och Trans 2 del 2, för F, E, T. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. För godkänt betyg 3 krävs 18 poäng, medan
Läs merSF1625 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den 11 januari, 2014
SF65 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den januari, 04 Skrivtid: 9:00-4:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Bengt Ek, Maria Saprykina Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra
Läs merDIFFERENTIALEKVATIONER. INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP
DIFFERENTIALEKVATIONER INLEDNING OCH GRUNDBEGREPP Differentialekvation (DE) är en ekvation som innehåller derivator av en eller flera okända funktioner ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER i) En differentialekvation
Läs mer1. Lös ut p som funktion av de andra variablerna ur sambandet
Matematiska institutionen Stockholms universitet Avd matematik Eaminator: Torbjörn Tambour Tentamensskrivning i Matematik för kemister K den 0 december 2003 kl 9.00-4.00 LÖSNINGAR. Lös ut p som funktion
Läs merFouriers metod, egenfunktionsutvecklingar.
Vårterminen 2002 KONTINUERLIGA SYSTEM, några viktiga begrepp och metoder i kap 3 och H (partiellt) Fouriers metod, egenfunktionsutvecklingar Värmeledning i en begränsad stav med variabelseparation Problem:
Läs merTentamen i Envariabelanalys 1
Linköpings universitet Matematiska institutionen Matematik och tillämpad matematik Kurskod: TATA4 Provkod: TEN Tentamen i Envariabelanalys 4--8 kl. 8.. Inga hjälpmedel. Lösningarna ska vara fullständiga,
Läs merTentamen SF1633, Differentialekvationer I, den 23 oktober 2017 kl
Matematiska Institutionen, KTH Tentamen SF633, Differentialekvationer I, den 23 oktober 27 kl 8.- 3.. Examinator: Pär Kurlberg OBS: Inga hjälpmedel är tillåtna på tentamensskrivningen. För full poäng krävs
Läs mer1. (4p) Para ihop följande ekvationer med deras riktingsfält. 1. y = 2 + x y 2. y = 2y + x 2 e 2x 3. y = e x + 2y 4. y = 2 sin(x) y
1 Matematiska Institutionen, KTH Tentamen SF1633, Differentialekvationer I, den 18 december 2017 kl 08.00-13.00. Examinator: Pär Kurlberg. Betygsgränser: A: 85%. B: 75%. C: 65%. D: 55%. E: 45%. Fx: 42%.
Läs merTentamen, Matematik påbyggnadskurs, 5B1304 fredag 20/ kl
Institutionen för Matematik KTH Mattias Dahl Tentamen, Matematik påbyggnadskurs, 5B134 fredag /8 4 kl. 14. 19. Lösningar 1. Lös differentialekvationen x 3 y + x y xy + y x 3 ln x, x >. Lösning: Motsvarande
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF165 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 15-4-7 DEL A 1. Låt f(x) = arcsin x + 1 x. A. Bestäm definitionsmängden till funktionen f. B. Bestäm funktionens största och minsta värde. (Om du har
Läs merKryssproblem (redovisningsuppgifter).
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf Transformmetoder, 5 hp ES, gyl, Q, W 212-1-29 Kryssproblem (redovisningsuppgifter). Till var och en av de tio lektionerna hör två problem som du ska
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e 50k = k = ln 1 2. k = ln = ln 2
SF625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 23--24 DEL A. Den :a januari 26 låstes kg av ett visst radioaktivt ämne in i en källare. Ämnet sönderfaller i en takt som är direkt proportionell mot
Läs merFourierserier: att bryta ner periodiska förlopp
Analys 36 En webbaserad analyskurs Funktionsutvecklingar Fourierserier: att bryta ner periodiska förlopp Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Fourierserier: att bryta ner periodiska
Läs merTentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 08 13
LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Joakim Arnlind Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA9/TEN1) 212-5-22 kl 8 13 Inga hjälpmedel är tillåtna. Varje uppgift kan ge maximalt 3 poäng. Betygsgränser:
Läs merChalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Milo Viviani MVE500, TKSAM-2
Chalmers tekniska högskola Datum: 7--8 kl. 8.. Tentamen Telefonvakt: Milo Viviani MVE5, TKSAM- Tentan rättas och bedöms anonymt. Skriv tentamenskoden tydligt på placeringlista och samtliga inlämnade papper.
Läs merTentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 14 19
LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Joakim Arnlind Tentamen i Anals B för KB/TB (TATA9/TEN1 214-3-21 kl 14 19 Inga hjälpmedel är tillåtna. Varje uppgift kan ge maximalt 3 poäng. Betgsgränser:
Läs mer= e 2x. Integrering ger ye 2x = e 2x /2 + C, vilket kan skrivas y = 1/2 + Ce 2x. Här är C en godtycklig konstant.
Lösningsförslag till Tentamen, SF1633, Differentialekvationer I den 19 december 216 kl 8: - 13: För godkänt (betyg E krävs tre godkända moduler från del I Varje moduluppgift består av tre frågor För att
Läs merIntroduktion till Sturm-Liouvilleteori och generaliserade Fourierserier
KAPITEL 5 Introduktion till Sturm-Liouvilleteori och generaliserade Fourierserier Vi inleder med några förberedande exempel. 5.. Cauchys ekvation Den homogena Euler-Cauchys ekvation (Leonhard Euler och
Läs merLösningsförslag, Tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del 2, för CTFYS2 och CMEDT3, SF1629, den 9 juni 2011, kl.
Lösningsförslag, Tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del 2, för CTFYS2 och CMEDT3, SF629, den 9 juni 2, kl. 8: 3: Uppgift (av 8 (5 poäng. i. sant, ii. falskt, iii. falskt, iv. sant, v.
Läs mer1+v(0)kt. + kt = v(0) . Detta ger sträckan. x(t) = x(0) + v(0) = x(0) + 1 k ln( 1 + v(0)kt ).
. (3 poäng) Antag att en partikel rör sig i ett medium där friktionskraften är proportionell mot kvadraten av hastigheten v(t) R så att dv(t) = k ( v(t) ), t > för en konstant k >. Bestäm v(t) som funktion
Läs merRepetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T
Repetition, Matematik 2 för lärare Ï -2x + y + 2z = 3 1. Ange för alla reella a lösningsmängden till ekvationssystemet Ì ax + 2y + z = 1. Ó x + 3y - z = 4 2. Vad är villkoret på talet a för att ekvationssystemet
Läs merAnalytisk mekanik för MMT, 5C1121 Tentamen, , kl
Kung Tekniska Högskoan 4 Institutionen för Mekanik Anaytisk mekanik för MMT, 5C Tentamen, 4, k 4.-8. Räkneproem Uppgift : En pende estår av en sma homogen stav, av ängd och massa m. Den kan svänga kring
Läs merMatematiska Institutionen L osningar till v arens lektionsproblem. Uppgifter till lektion 9:
Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Inger Sigstam Envariabelanalys, hp --6 Uppgifter till lektion 9: Lösningar till vårens lektionsproblem.. Ett fönster har formen av en halvcirkel ovanpå en
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-1 1. Derivera nedanstående funktioner med avseende på x och ange för vilka x derivatan existerar. Endast svar krävs. A. f(x) = arctan 1 x B.
Läs merSVAR: Det är modell 1 som är rimlig för en avsvalningsprocess. Föremålets temperatur efter lång tid är 20 grader Celsius.
Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF633 Differentialekvationer I Onsdagen den maj 03, kl 0800-300 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar
Läs merLösningar till tentamen i Transformmetoder okt 2007
Lösningar till tentamen i Transformmetoder okt 7. Låt Y (s beteckna Laplacetransformen till funktionen y. Laplacetransformering av den givna ekvationen ger: varav följer att. (a För s > a är Y (s + s Y
Läs merTATA42: Föreläsning 8 Linjära differentialekvationer av högre ordning
TATA42: Föreläsning 8 Linjära differentialekvationer av högre ordning Johan Thim 23 april 2018 1 Differentialoperatorer För att underlätta notation och visa på underliggande struktur introducerar vi begreppet
Läs merDel I. Modul 1. Betrakta differentialekvationen
Lösningsförslag till Tentamen, SF1633, Differentialekvationer I den 24 oktober 2016 kl 8:00-13:00 För godkänt (betyg E) krävs tre godkända moduler från del I Varje moduluppgift består av tre frågor För
Läs merMoment 8.51 Viktiga exempel , 8.34 Övningsuppgifter 8.72, 8.73
Moment 8.5 Viktiga eempel 8.30-8.3, 8.34 Övningsuppgifter 8.7, 8.73 Derivator av högre ordning Hur många gånger kan funktionen f() = 4 + 0 + 5 deriveras? Egentligen hur många gånger som helst! Vi deriverar
Läs merTentamen i SG1140 Mekanik II, Inga hjälpmedel. Lycka till! Problem
Institutionen för Mekanik Nichoas paidis te: 79 748 epost: nap@mech.kth.se hemsida: http://www.mech.kth.se/~nap/ Institutionen för Mekanik Erik Lindborg te: 79 7583 epost: erik@mech.kth.se Tentamen i SG4
Läs merENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS A3/B kl HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar.
LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING ENDIMENSIONELL ANALYS DELKURS A/B 5 6 5 kl 8 INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna skall vara försedda med ordentliga motiveringar.. a) Bestäm Maclaurinpolynomet
Läs mer= 0 vara en given ekvation där F ( x,
DERIVERING AV IMPLICIT GIVNA FUNKTIONER Eempel. Vi betraktar som en funktion av och,,), given på implicit form genom + + 6 0. Bestäm partiella derivator och i punkten P,, ) a) med hjälp av implicit derivering
Läs merSF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 215-1-27 DEL A 4 1. Betrakta funktionen f som ges av f(x) = 1 + x + (x 2). 2 A. Bestäm definitionsmängden till f. B. Bestäm alla intervall där f är
Läs merKTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633.
KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633. Måndagen den 17 oktober 11, kl 8-13. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A
SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 216-6-7 DEL A 1. Låt S vara ellipsoiden som ges av ekvationen x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 5. (a) Bestäm en normalvektor till S i en punkt (x, y, z ) på S.
Läs mer8. Euklidiska rum 94 8 EUKLIDISKA RUM
94 8 EUKLIDISKA RUM 8. Euklidiska rum Definition 8.. En skalärprodukt på vektorrummet V är en funktion som till varje par av element u och v i V ordnar ett reellt tal u v eller u v med följande egenskaper:.
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016
Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 216 Skrivtid: 8:-13: Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Mats Boij Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger
Läs mer1. Rita in i det komplexa talplanet det område som definieras av följande villkor: (1p)
TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF TEN Datum: -- Tid: :5-7:5 Hjälpmedel: Formelblad, delas ut i salen Miniräknare (av vilken tp som hels Förbjudna hjälpmedel: Ägna formelblad, telefon, laptop
Läs mer1 dy. vilken kan skrivas (y + 3)(y 3) dx =1. Partialbråksuppdelning ger y y 3
Lösningsförslag till tentamensskrivning i Differentialekvationer och transformer III, SF137 Tisdagen den 11 januari 211, kl 14-19 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant
Läs merProv i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard, tel 070 4 4075 Prov i Matematik Prog: NV, Lär., fristående Analys MN 006-05-4 Skrivtid: 5 0. Hjälpmedel: Skrivdon. Lösningarna skall åtföljas
Läs merFör startpopulationer lika med de stationära lösningarna kommer populationerna att förbli konstant.
Lösningsförslag till tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF633(5B6) Tisdagen den 6 augusti, kl -9 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar
Läs merCrash Course Envarre2- Differentialekvationer
Crash Course Envarre2- Differentialekvationer Mattehjälpen Maj 2018 Contents 1 Introduktion 2 2 Integrerande faktor 2 3 Separabla diffekvationer 3 4 Linjära diffekvationer 4 4.1 Homogena lösningar till
Läs merInlämningsuppgift nr 2, lösningar
UPPALA UNIVRITT MATMATIKA INTITUTIONN Bo tyf Flervariabelanalys K, X m.fl. Höstterminen 8 Inlämningsuppgift nr, lösningar. Visa att ekvationen x + x(y ) + (y ) + z + sin(yz) definierar z som en funktion
Läs merODE av andra ordningen, och system av ODE
ODE av andra ordningen, och system av ODE Exempel på di erentialekvation av andra ordningen (innehåller andra derivata) Pendel beskrives av Newtons andra lag: Kraft = massa Acceleration Acceleration =
Läs merTentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 2) 10 januari 2017 kl. 14:00-19:00. a+bx e x 2 dx
KTH, Matematik Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 2) 10 januari 2017 kl. 14:00-19:00 Tentamen består av åtta uppgifter där vardera uppgift ger maximalt fyra poäng. Preliminära
Läs merINGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar. xy dxdy,
LUNS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING FLERIMENSIONELL ANALYS --3 kl. 8 3 INGA HJÄLPMEEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar.. Beräkna dubbelintegralen y ddy, där är
Läs mery = sin 2 (x y + 1) på formen µ(x, y) = (xy) k, där k Z. Bestäm den lösning till ekvationen som uppfyler begynnelsevillkoret y(1) = 1.
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Pepe Winkler tel. 08-47 32 89 Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen Ordinära differentialekvationer, 2 poäng 2005-2-4 Skrivtid: 5.00 20.00. Hjälpmedel:
Läs merx f x + y f y x. 2 Funktionen f(x, y) uppfyller alltså given differentialekvation.
SF1626 Flervariabelanalys Svar och lösningsförslag till Tentamen 14 mars 211, 8. - 13. 1) Visa att funktionen f, y) = y4 y ) 2 +2 sin är en lösning till differentialekvationen f + y f y = 2f. Lösning:
Läs merTMV225 Kapitel 3. Övning 3.1
TMV225 Kapitel 3 Övning 3. Bestäm gränsvärdet och bestäm δ som funktion av ε. a) lim 3 [ 2 3 + 5] Vi har givet att 3, och då funktionen är kontinuerlig får vi gränsvärdet ȳ 5 genom att stoppa in. Per definition
Läs merx(t) I elimeringsmetoden deriverar vi den första ekvationen och sätter in x 2(t) från den andra ekvationen:
Differentialekvationer II Modellsvar: Räkneövning 6 1. Lös det icke-homogena linjära DE-systemet ( ( 0 e x t (t = x(t + 1 3 e t med elimineringsmetoden. Lösning: den explicita formen av DE-systemet är
Läs mer1. (a) Bestäm funktionen u = u(x, y), 0 < x < a och 0 < y < a, som uppfyller u xx (x, y) + u yy (x, y) = 0
KTH Fysik Tentamen i 5A1306 Fysikens matematiska metoder: PDE-tentamen Fredagen den 8 juni 2007 kl 08.00 13.00 Anteckna på varje blad: namn, utbildningslinje, årskurs och problemnummer. Tillåtna hjälpmedel:
Läs merMVE500, TKSAM-2. (c) a 1 = 1, a n+1 = 4 a n för n 1
MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: 6-- kl. 8.3.3 Tentamen MVE5, TKSAM- Telefonvakt: Olof Giselsson 3 77 535 Tentan rättas och bedöms anonymt. Skriv tentamenskoden tydligt på placeringlista
Läs merLösningsförslag till tentamensskrivning i SF1633 Differentialekvationer I. Tisdagen den 7 januari 2014, kl
Lösningsförslag till tentamensskrivning i SF1633 Differentialekvationer I Tisdagen den 7 januari 14, kl 8-13 Del 1 Modul 1 Befolkningen i en liten stad växer med en hastighet som är proportionell mot befolkningsmängden
Läs merTentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 8 13
LINKÖPINGS UNIVERSITET Matematiska Institutionen Joakim Arnlind Tentamen i Analys B för KB/TB TATA9/TEN1 14--1 kl 8 13 Inga hjälpmedel är tillåtna. Varje uppgift kan ge maximalt 3 poäng. Betygsgränser:
Läs merNågra viktiga satser om deriverbara funktioner.
Några viktiga satser om deriverbara funktioner Rolles sats Differentialkalkylens medelvärdessats (=) 3 Cauchys medelvärdessats Sats Om funktionen f är deriverbar i en punkt x 0 så är f kontinuerlig i samma
Läs merNotera på första tentabladet om du har hemtal tillgodo från tidigare kurs
Fysik KTH TENTAMEN Fysikens matematiska metoder 5A1301/5A1304 Onsdag 003-03-1, kl. 08.00-13.00 Notera på första tentabladet om du har hemtal tillgodo från tidigare kurs Anteckna på varje blad: Namn, utbildningslinje,
Läs merKTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer och transformer III, SF1637.
KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer och transformer III, SF637. Måndagen den 7 oktober, kl 8-3. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att
Läs mer6. Samband mellan derivata och monotonitet
34 6 SAMBAND MELLAN DERIVATA OCH MONOTONITET 6. Samband mellan derivata och monotonitet Antag att funktionen f är deriverbar på ]a,b[. Vi vet att derivatan f ( 0 ) i 0 ]a,b[ är riktningskoefficienten för
Läs merhar ekvation (2, 3, 4) (x 1, y 1, z 1) = 0, eller 2x + 3y + 4z = 9. b) Vi söker P 1 = F (1, 1, 1) + F (1, 1, 1) (x 1, y 1, z 1) = 2x + 3y + 4z.
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del, flervariabel, för F1. Tentamen onsdag 7 maj 9, 1.-19. 1. Låt F (x, y, z) sin(x + y z) + x + y + 6z. a)
Läs merSAMMANFATTNING TATA41 ENVARIABELANALYS 1
SAMMANFATTNING TATA4 ENVARIABELANALYS LÄST SOM EN DEL AV CIVILINGENJÖRSPROGRAMMET I INDUSTRIELL EKONOMI VID LITH, HT 04 Senast reviderad: 05-06-0 Författare: Viktor Cheng INNEHÅLLSFÖRTECKNING Diverse knep...3
Läs merCampus och distans Flervariabelanalys mag ATM-Matematik Mikael Forsberg och Yury Shestopalov (Mikael Forsberg)
ATM-Matematik Mikael Forsberg och Yury Shestopalov 734-4 3 3 (Mikael Forsberg) Campus och distans Flervariabelanalys mag3 7 6 5 Skrivtid: 9:-4:. Inga hjälpmedel förutom bifogad formelsamling. Lösningarna
Läs merInstitutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1202/2 Diff och Trans 2 del 2, för F och T.
Institutionen för matematik KTH Tentamensskrivning, 3-5-6, kl. 14. 19.. 5B1/ Diff och Trans del, för F och T. Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook. För godkänt betyg 3 krävs 18 poäng, medan för betyg
Läs merTentan , lösningar
UPPALA UNIVERITET MATEMATIKA INTITUTIONEN Bo tyf Flervariabelanalys K, X m.fl. Höstterminen 2008 Tentan 2008-12-16, lösningar 1. Avgör om det finns någon punkt på ytan (x 1) 2 + 2(y 1) 2 + 2z 8 som är
Läs merMatematik 5 svar. Kapitel Test Blandade uppgifter Kapitel a) dy
Matematik 5 svar Kapitel 3... 1 Test 3... 26 Blandade uppgifter... 29 Kapitel 3 3101. a) y (x) = 2x y(x) = x 2 + C b) y (x) = x 2 x + 1 y(x) = x3 x2 + x + C 3 2 c) y x 2 + 2 = 0 y = x 2 2 y(x) = x3 2x
Läs mer+ 5a 16b b 5 då a = 1 2 och b = 1 3. n = 0 där n = 1, 2, 3,. 2 + ( 1)n n
Repetition, Matematik I.. Bestäm koefficienten vid 2 i utvecklingen av ( + 2 2 ) 5. 2. Bestäm koefficienten vid 2 i utvecklingen av ( + ) n för n =, 2,,.. Beräkna a 5 5a 2b + 5a 2b 2 5a 2 b + 5a 6b 2b
Läs merLösningsförslag till tentan i 5B1115 Matematik 1 för B, BIO, E, IT, K, M, ME, Media och T,
Institutionen för Matematik, KTH. Lösningsförslag till tentan i 5B5 Matematik för B, BIO, E, IT, K, M, ME, Media och T, 8.. Visa att påståendet P n : n + n < 4 n är sant för n =,, 4.... (a) P : + = 4 +
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Föreläsning 9 Institutionen för matematik KTH 16 september 2016 Homogena injära ODE m konst koeff Sist: homogena linjära ODE med konstanta koefficienter. Första ordningens sådan ekvation kan skrivas y
Läs mer(2xy + 1) dx + (3x 2 + 2x y ) dy = 0.
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Marko Djordjevic Prov i matematik Civilingenjörsprogrammen Ordinära differentialekvationer, 2 poäng 2006-03-06 Skrivtid: 9.00 1.00. Tillåtna hjälpmedel: Skrivdon,
Läs mer= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF163, ifferential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen torsdag 19 augusti 21, 14. - 19. Inga hjälpmedel är tillåtna. Svar och
Läs merInstuderingsfrågor i Funktionsteori
Instuderingsfrågor i Funktionsteori Anvisningar. Avsikten med dessa instuderingsfrågor är att ge Dig möjlighet att fortlöpande kontrollera att Du någorlunda behärskar kursens teori. Om Du märker att Du
Läs merTentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1.
Institutionen för matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola Niklas Eriksen Tentamen i tmv6c och tmv5c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt Lösningar 9--6. Lös initialvärdesproblemet x
Läs merTATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer
TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer Johan Thim 0 januari 207 Introduktion En differentialekvation (DE) i en variabel är en ekvation som innehåller både
Läs mer, x > 0. = sinx. Integrera map x : x 3 y = cosx + C. 1 cosx x 3. = kn där k är. k = 1 22 ln 1 2 = 1 22 ln2, N(t) = N 0 e t. 2 t 32 N 1.
Lösningsförslag till tentamensskrivning i Diff & Trans I, 5B Lördagen den januari, kl 9-4 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och resonemang är
Läs merx ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f
Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud SF160, Differential- och integralkalkyl II, del 2, flervariabel, för F1. Tentamen onsdag 0 maj 2012, 8.00-1.00 Förslag till lösningar 1. Bestäm tangentplanet
Läs merProv i matematik Distans, Matematik A Analys UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Distans, Matematik A Analys 23 2 5 Skrivtid: -5. Hjälpmedel: Gymnasieformelsamling. Lösningarna skall åtföljas av förklarande
Läs merLösningsförslag, tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del 1, för CTFYS2 och CMEDT3, SF1629, den 19 oktober 2011, kl. 8:00 13:00.
Lösningsförslag, tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del, för CTFYS2 och CMEDT3, SF629, den 9 oktober 20, kl. 8:00 3:00 av 8 3 poäng. Svar: i. sant, ii. falskt, iii. sant, iv. sant, v.
Läs merSF1626 Flervariabelanalys Tentamen 14 mars 2011,
SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 14 mars 2011, 08.00-13.00 Skrivtid: 5 timmar Inga tillåtna hjälpmedel Eaminator: Hans Thunberg Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maimalt fyra poäng. På
Läs merGripenberg. Mat Grundkurs i matematik 1 Tentamen och mellanförhörsomtagning,
Mat-. Grundkurs i matematik Tentamen och mellanförhörsomtagning,..23 Skriv ditt namn, nummer och övriga uppgifter på varje papper! Räknare eller tabeller får inte användas i detta prov! Gripenberg. Skriv
Läs merLösningsförslag till TATA42-tentan
Lösningsförslag till TATA-tentan 8-6-.. Då ekvationen är linjär av första ordningen löses den enklast med hjälp av integrerande faktor (I.F.). Skriv först ekvationen på standardform. (+ )y y + y + + y
Läs mer