Tentamen i matematisk statistik för MI/EPI/DI/MEI den 19 dec 2012

Transkript

1 Tentamen i matematisk statistik för MI/EPI/DI/MEI den 19 dec 01 Uppgift 1: Ett företag tiverkar säkerhetsutrustningar ti biar. Tiverkningen är föragd ti fyra oika änder, A, B C och D. I and A finns 0% av företagets produktion, i and B 5%, i and C 0% och i and D den resterande deen. Man vet sedan tidigare att 90% av utrustningarna som kommer från A har en ivsängd som är minst 5 år. Motsvarande andear för B, C och D är 95%, 97% och 99%. Hea företagets tiverkning samas i ett stort centraager innan några utrustningar säjs vidare ti kund. När en bifabrik köper företagets säkerhetsutrustningar så får den enheter från aa fyra änderna. Anta att man väjer ut en utrustning sumpmässigt från bifabrikens ager. a) Vad är sannoikheten att den utvada utrustningen håer minst 5 år? b) Om säkerhetsutrustningen håer minst 5 år, hur stor är sannoikheten att den kommer från and D? Uppgift : Ti en grossist evereras b. a. en kartong med 50 jutomar i porsin. Fyra av jutomtarna har bivit kantstötta i everansen och måste returneras ti fabriken. Ytterigare sex har bara bivit ite skavda så att den röda färgen har försvunnit på någon fäck. Dessa tomtar kan säjas ti reducerat pris. Resterande fyrtio tomtar är oskadade. Anta att man sumpmässigt väjer ut fyra jutomtar från everansen. a) Vad är sannoikheten att man inte får någon tomte, som är kantstött? b) Vad är sannoikheten att man får exakt en tomte som är kantstött och exakt en som är ite skavd? c) Vad är sannoikheten att man får högst en tomte som är kantstött och högst en som är skavd? (8 poäng) Uppgift : Anta att en fuga sätter sig på en mätsticka, som är graderad mean 0 och 5 cm. a) Vad är sannoikheten att den sitter närmare markeringen 0 än 5? b) Vad är sannoikheten att fugan sitter minst tre gånger så ångt från 0 som från 5? Uppgift : När man kastar varpa siktar man på en pinne nedsatt i marken. Varpan (en specie sorts sten) ska komma så nära pinnen som möjigt. Anta att man kastar varpan utefter en 7 meter ång inje med avsikten att komma så nära pinnen som möjigt. Pinnen identifieras med värdet 0 medan ξ är den faktiska andningspunkten för varpan. Frekvensfunktionen för andningspunkten kan skrivas enigt föjande: f(x) 0.75(1 x ) 0 för för a x övrigt a Kasta varpan 10 gånger. Beräkna variansen för anta gånger som varpan hamnar närmare pinnen än 0.5m.

2 Uppgift 5: Ett mejeri vi kontroera densiteten på förpackad vispgrädde och väger därför 196 gräddförpackningar. Vikterna, ξ, (i gram) anses vara oberoende stokastiska variaber med väntevärdet E(ξ) och standardavvikesen 1.60 gram. Beräkna P ( ξ E( ξ) < 0.0) där ξ är medevärdet av de 196 gräddförpackningarnas vikter. Uppgift 6: Anta att man genomförde ett faktorförsök där de faktorerna A, B och C användes. I varje försökssituation användes 5 repikat. När ett försök hade pågått tiräckigt änge avbröts det och man användes sig då av de värden som framkommit dittis. Detta hände i försök, 5 och 6, viket gör att dessa värden ser ite konstiga ut. Vid anaysen användes ändå dessa värden på samma sätt som de övriga. Föjande försöksresutat erhös: Mede- Standard- A B C värde avvikese Föjande effekter beräknades A 86.5 B AB 06.5 ABC a) Använd ovanstående för att bestämma de resterande effekterna. b) Beräkna ett 99%-igt referensinterva för effekterna. c) Ange en matematisk mode för ovanstående situation där enbart signifikanta effekter ingår. Uppgift 7: Anta att man vi bestämma en ämpig provtagningspan som går genom punkterna (p , L(p) 0.95) och (p 0.05, L(p) 0.10) på OC-kurvan. a) Bestäm en enke provtagningspan som uppfyer detta genom att använda det bifogade binomiafördeningsnomogrammet. b) Bestäm en dubbe provtagningspan som uppfyer detta.

3 Uppgift 8: För en process som är under statistisk kontro är p %. Man tar dagigen 00 enheter för kontro och använder p-diagram med -sigma-gränser. a) Vad är genomsnittigt anta inprickade punkter i kontrodiagrammet fram ti ett faskarm, ARL? b) Vad är sannoikheten att en pötsig ändring ti p 6% upptäcks 1) vid första provgruppen efter ändringen? ) vid någon av de tre första provgrupperna efter ändringen?

4 Lösningar ti Matematisk statistik den 19/1-1 Uppgift 1: Låt A, B, C respektive D beteckna att säkerhetsutrustningen är tiverkad i and A, B, C respektive D. Låt vidare L betyda att utrustningen har en ivsängd på minst 5 år. P(A) 0.9 P(B) 0.5 P(C) 0.0 P(D) P(L A) 0.90 P(L B) 0.95 P(L C) 0.97 P(L D) 0.99 a) P(L) P(L A) P(A) + P(L B) P(B) + P(L C) P(C) + P(L D) P(D) P(L D) P(D) b) P(D L) (Bayes sats) P(L) Uppgift : N 50 n Kantstötta Skavda 6 Hea a) P(ingen kantstött) b) P(en kantstött och en skavd) c) Det finns fyra fa som uppfyer vikoret att högst en är kantstött och högst en är skavd. Vikoret högst en innebär no eer en. Låt K, S och H beteckna kantstött, skavd respektive he jutomte. De fyra faen kan de skrivas som (K0, S0, H) och (K0, S1, H) och (K1, S0, H) och (K1, S1, H) Motsvarande sannoikheter bir P(K0, S0, H) + P(K0, S1, H) + P(K1, S0, H) + P(K1, S1, H)

5 Uppgift : ξ anta cm från 0:an på en 50 cm ång inja. ξ är R(a, b) R(0, 50) a) P(närmare 0 än 50) P(nedre havan) P(ξ < 5) b) P(minst gånger så ångt från 0 som från 50) P(övre fjärdedeen av injaen) P(ξ > 50 ) 1 P(ξ < 7.5) Uppgift : ξ andningspunkten för varpan räknat från pinnen Bestäm variansen för anta av 10 kast som kommer närmare pinnen än 0.5m. η anta kast som kommer närmare pinnen än 0.5m η är Bin(n, p) Bin (10, p) där p beräknas med hjäp av frekvensfunktionen f(x). Beräkna värdet på a a a x a (1 x )dx 0.75 x 0.75[(a ) ( a a a ( a) )] 1 a a a 1 Om a hade varit mindre än 0.5 så hade p bivit p ( 1 x ) dx 0.75 x ( ) x [( ) ( 0. 5 ( 0. 5) )] Atså, η är Bin(10, ) Var(η) np(1 p) ( ).18 Uppgift 5: ξ vikt S(ξ) 1.60 gram n 196 förpackningar E( ξ ) E(ξ) Var( ξ ) Var( Var( ξ) 1.6 n 196 P ( ξ E( ξ) < 0.0) P ( 0.0< ξ E( ξ) < 0.0) P ( ξ E( ξ) < 0.0) P( ξ E( ξ) < 0.0) P(Z < ) (1 P( Z < ) P(Z < 1.75)

6 Uppgift 6: a) C AC BC 1.5 (5 1) (5 1) (5 1)1090. b) sp df Eftersom n > 0 använd normafördeningsapproximation Ett 99%-igt referensinterva 0 ± ± 85.0 c) Faktorerna B och C samt samspeet BC ger signifikant effekter ŷ ŷ B C BC M + xb + xc + xbc x B x C x BC där M Uppgift 7: a) Skärningspunkten mean injerna igger inte exakt på ett entydigt värde för n och c utan bir ungefär n10 och c. b) Kvoten p /p / Detta medför enigt tabeen ängst bak i formesamingen att vi ska väja provtagningspan 5 för aternativ, dvs n n 1. Den dubba provtagningspan som passar bäst är c 1 1, c och r 1 r 5. Vidare finner vi sambandet 0.77 n1 0.01n 0.77 p1 1% n1 77 n n p1 1 En ämpig provtagningspan bir då n 1 77, n 15, c 1 1, c och r 1 r 5.

7 Uppgift 8: p 0.0 och n 00 a) Om vi använder ett p-diagram andeen defekta enheter får vi föjande styrgränser p(1 p) S ö p n CL p 0.0 p(1 p) S u p n P(faskarm) 1 L(p) P(pˆ < 0.00) + P(pˆ > ) P(Z < ) + 0.0(1 0.0) P(Z < ) P(Z < ) + 1 P(Z <) 1 P(Z <) + 1 P(Z <) 0.0(1 0.0) ARL 1 L(p) b) P(arm) P(pˆ < 0.00) + P(pˆ > ) P(Z < (1 0.06) P(Z < ) P(Z <.6) + 1 P(Z < 0.7) 0.06(1 0.06) P(Z <0.7) 0.67 ) + 1) P(arm vid första provgruppen efter ändringen) 0.67 ) P(vid någon av de tre första provgrupperna efter ändringen) P(arm vid första provgruppen) + P(arm vid andra provgruppen) + + P(arm vid tredje provgruppen)