Matematik Fastighetsakademin, 2016 Fjärde upplagen, rev. 1c Tryckt på Fastighetsakademin

Transkript

1 Matematik

2

3 Matematik Fastighetsakademin, 06 Fjärde upplagen, rev. c Tryckt på Fastighetsakademin Fastighetsakademin J A Wettergrens gata 4, 4 0 Västra Frölunda Tel: info@fastighetsakademin.se

4 Förord Varför behöver man repetera matte inför skolstarten? Nio av tio sökande säger att de har glömt den matematik de lärt i skolan och tycker att det är svårt. Men matematik är ett ämne som är grundstenen för många andra ämnen, därför är det viktigt att man repeterar och återupplivar sina kunskaper inför de fortsatta studierna. Kompendiet innehåller många lösta exempel och det finns förutom svar med kommentarer även ledningar och fullständiga lösningar till ett urval av uppgifterna. Kompendiet täcker in allt väsentligt från gymnasiets kurser /A- till /B-nivå, men vi har lagt tonvikten vid de mer grundläggande färdigheterna samt anpassat innehållet för de matematiska förkunskaper som krävs för vidare studier i andra ämnen vid Fastighetsakademin, t.ex. byggnadsteknik och -fysik, installationsteknik, kyl- och värmepumpsteknik, elteknik, investeringskalkylering och företagsekonomi. Du bör försöka att räkna samtliga tal i kompendiet, men särskilt prioritera kapitlen, 5a, 5b, 6, 9, 0 och. Lycka till med dina studier! december 06 Fastighetsakademin

5 Innehållsförteckning Innehållsförteckning Studietips... 9 Allmänna studietips... 9 Matematiska studietips... 0 Strategitips inför problemlösning... 0 Antal decimaler... Avrundning... Överslag... De fyra räknesätten... Inledning... Addition... Subtraktion... 4 Multiplikation... 5 Division... 6 Potenser... 7 Tiopotenser... 8 Stora och små tal... 8 Prefix... Prioriteringsregler... Räkneordning i uttryck... Decimaltal... 5 Miniräknaren eller inte?... 5 Avrundning... 6 Avrundningsregler... 6 Överslagsräkning... 8 Sammanfattning... 9 Antal gällande siffror... 9 Tillämpade beräkningar... Proportionellt... Översikt... Negativa tal... 4 Tallinjen och termometern... 4 Addition av negativa tal... 7 Subtraktion av negativa tal... 8 Multiplikation med negativa tal... 9 Multiplikation... 9 Multiplikation Division med negativa tal Översikt Bråkräkning Hela och delar Addition och subtraktion av bråk Gemensam nämnare Multiplikation av bråk Division med bråk Förkorta och förlänga Översikt a Formler och ekvationer Exempel på problemlösning Fastighetsakademin 5

6 Innehållsförteckning Förenkling av uttryck Formler Ekvationer Ekvationer av första graden med flera obekanta (linjära ekvationssystem) Översikt b Massa, densitet och tryck... 6 Påkänning Procent En procent och hundra procent Vanliga problemtyper: Procent, promille och ppm... 7 Beräkning av procenttal och promille division... 7 Förändringsfaktorn... 7 Procent och procentenheter Beräkning av procentsatsen och nya värdet Vilken procentsats? Tre basproblem Tillämpningar... 8 Översikt Index Konsumentindex Statistik och diagram... 9 Lägesmått... 9 Tabeller... 9 Diagram... 9 Olika typer av diagram... 9 Stolpdiagram... 9 Histogram... 9 Stapeldiagram Cirkeldiagram Linjediagram Missbruk av statistik Geometri Mäta med linjal Omkrets Längdenheter Area Cirklar Cylindrar, koner Mantelarea Areaenheter Volym Volymenheter Trianglar och vinklar... Pythagoras sats... 6 Kvadratrötter... 7 Översikt Fastighetsakademin

7 Innehållsförteckning 0 Trigonometri... 6 Likformighet och skala Likformiga trianglar... 4 Andra likformiga figurer... 4 Lutning Algebraiska uttryck och ekvationer... 5 Algebraiska uttryck... 5 Förstagradsekvationer Problemlösning med förstagradsekvationer Lösa ut variabler i formler Kvadratrötter... 6 Andragradsekvationer Allmänna andragradsekvationer Repetion inför linjära funktioner Att räkna med negativa tal Att multiplicera in ett tal i en parentes och att lösa ut en variabel i en formel Funktionsbegreppet Graf Tabell Formel När är y en funktion av x? Funktion Blandad problemlösning Facit... 8 Fastighetsakademin 7

8 8 Fastighetsakademin

9 Kapitel : Studietips Studietips Allmänna studietips Att studera är ganska krävande och tar tid. Du har nu valt att studera och vi utgår från att du naturligtvis vill lyckas så bra som möjligt! Det är en konst att kunna prioritera rätt och använda sin tid för studier så effektivt som möjligt. För att underlätta detta arbete för dig kommer här ett antal tips som kan vara värdefulla, speciellt om du inte studerat på längre, för att du ska nå ditt mål.. Börja med att fundera över din personliga situation och hur dina studier ska genomföras. Arbetar du hel- eller deltid? Har du barn och familj? Har du någon bra plats för dina studier? Din tid är viktig! För att dina studier ska flyta på så bra som möjligt är det viktigt att vara ekonomisk med tiden och utnyttja den på bästa sätt. Bästa utnyttjande av tiden förutsätter en bra plats för studierna.. När du väljer plats för ditt läsande är det bra om du kan stänga dörren om dig så att du kan vara ifred och koncentrera dig, du har plats för och ordning på dina böcker, pärmar m.m., så att du inte behöver ödsla tid på att leta efter dina saker, du har bra belysning så att du inte blir så trött i ögonen, du möblerar så att det känns trivsamt. Är det någon i klassen som bor i närheten av dig? Arbeta gärna tillsammans om ni kan! Det finns möjlighet att stanna kvar varje dag efter lektionerna och sitta i våra lokaler. Att ha någon i närheten att bolla sina idéer med, få inspiration av, knäcka problem tillsammans med är ovärderlig hjälp.. Utveckla goda arbetsvanor. Se gärna dina studiepass som ett heltidsjobb. Sätt upp delmål som ska nås inom uppsatt tid, avsätt regelbunden tid för varje pass, alla pass är viktiga, räcker inte studietiden får man utöka den. På det här sättet kan alla bli bättre. Skaffa dig en översikt över vad kursen innehåller så att du kan sätta upp dina delmål. Har boken sammanfattningar i slutet av varje kapitel blir det enkelt. Använd skolschema och kursbeskrivning för att planera dina studier så att du är förberedd inför varje lektion och kan ställa frågor kring det du inte förstått. Gör din personliga tidsplanering utifrån dina förkunskaper. 4. Fler tips! Läs igenom och begrunda eventuella lektionsanteckningar så fort som möjligt, och komplettera dem om det är nödvändigt medan du har allt färskt i ditt minne. Räkna och fundera, räkna och begrunda, räkna och reflektera! Att lära sig matematik är som att lära sig ett nytt språk, matematikspråket. Läs boken med pennan i hand; stryk under, kommentera. Är något avsnitt svårt, märk ut var det är (t.ex. skriv sidnumren i bokens pärm) och be om hjälp med det. Traggla inte i timtal om du kör fast på någon uppgift. Lägg bort den ett tag och räkna en annan uppgift i stället. Återkom till den besvärliga uppgiften senare. Gör små pauser eftersom för långa pass gör dig trött. Ät och drick gärna lite mellan varven; hjärnan arbetar ju när du tänker. En promenad, en tur i motionsspåret eller annan fysisk aktivitet är också bra avbrott. Kroppen behöver röra på sig och det du läst och räknat faller på plats under tiden. Fastighetsakademin 9

10 Kapitel : Studietips Matematiska studietips Läs igenom avsnittet om problemlösning nedan och tillämpa de metoder som beskrivs där. Tag för vana att rita och skriva upp det du känner (vet) i frågeställningen på ett papper så klarnar ofta bilden av vad du ska räkna ut. Stryk under dina delresultat och ditt slutresultat. Redovisa till sist svaret separat. Studera noga alla exempel på lösningar. Bli vän med din miniräknare. Olika märken har ibland olika beteckningar för samma funktion. Strategitips inför problemlösning Hur gör man då när man löser ett problem?. Du ska förstå problemet. Vad söker man? Vad är givet? Verkar problemet rimligt? Rita en figur om det går. Inför lämpliga beteckningar.. Gör upp en plan. Har du sett detta tidigare? Har du sett eller löst något liknande förut? Kan du dela in i delproblem? Kan du lösa eventuella delproblem? Vilka fakta saknas? Du måste tänka efter hur du ska lösa problemet och ställa upp de beräkningar du ska göra.. Genomför planen. Du måste genomföra beräkningarna för att få ett resultat. Kontrollera varje steg. Fungerar det inte gör du upp en ny plan. 4. Se tillbaka. Är resultatet rimligt? Kan man lösa problemet på ett annat sätt? Är resultatet eller metoden användbar i andra sammanhang? Steg är viktigt att kunna genomföra. Klarar man inte det får man inget resultat till problemet. Beräkningarna kan utföras med huvudräkning handräkning räknare. Före räknarens tid måste de flesta beräkningar utföras med handräkning. Nackdelar med detta är att de tar lång tid man kan lätt räkna fel verklighetsnära uppgifter kan sällan lösas då de ofta leder till för svåra beräkningar. Vi tar därför hjälp av räknaren för svårare beräkningar. Enkla beräkningar kan du göra i huvudet. Exempel : 7,0 8, utför du med räknare 7 8 räknar du i huvudet 0 Fastighetsakademin

11 Kapitel : Studietips Exempel : 6, / 4, utför du med räknare 6 / 4 räknar du i huvudet. Antal decimaler När vi använder räknare är det naturligt att skriva upp talen med decimaler. Som följande exempel visar måste vi dock se upp med antalet decimaler. Exempel : Jenny köpte 9 äpplen för 7 kr. Vad kostade ett äpple? 7 Räknaren ger kr =, kr 9 Avrundning Vi kan inte svara med 7 decimaler, då mynt för ören är avskaffade. Vid kontantbetalning måste därför talet avrundas till heltal. 7 kr 9 Tecknet betyder ungefär lika Överslag Ofta är det bra att göra ett överslag innan man använder räknare = 9 0 Fastighetsakademin

12 Kapitel : De fyra räknesätten De fyra räknesätten Inledning Varför läser du ämnet matematik? Det är för att du ska kunna lösa matematikproblem av olika slag som du möter i samhället, i arbetslivet och i flera andra ämnen under utbildningen. I vårt vardagsliv påverkas vi alla av matematik och behöver enkla basfärdigheter för att klara oss i samhället. Matematik är en urgammal vetenskap. Från början hade man bara behov av de hela positiva talen, de som vi i dag kallar de naturliga. Naturliga tal är 0,,, o.s.v. Vårt talsystem är det s.k. tiosystemet, som är ett positionssystem. I ett positionssystem är det av avgörande betydelse var siffran står i talet, d.v.s. vilken position den har. 7 betyder , betyder 0, + 0,0 + 0,00 Ordet aritmetik kommer av grekiskans ord för räknekonst. Denna den del av matematiken arbetar vanligen med de hela talen och de fyra enkla räknesätten. Ordet aritmetik används även som sifferräkning ( + ), i motsats till algebra som är bokstavsräkning (a + b). De fyra vanliga räknesätten är: Addition (plus) Subtraktion (minus) Multiplikation (gånger) Division (delat) = term + term = summa 5 7 = 8 term term = differens/skillnad 4 8 = faktor faktor = produkt 5 / 7 = täljare / nämnare = kvot I tiosystemet, även kallat decimaltalsystemet, är basen 0 och siffrorna 0 till 9, med s.k. arabiska siffror: 0,,,, 4, 5, 6, 7, 8 och 9. De arabiska siffrorna infördes i Europa på 00-talet och är de mest använda i världen. Fastighetsakademin

13 Kapitel : De fyra räknesätten Tiosystemet är överlägset andra talsystem när det gäller praktiska beräkningar. Datorer däremot arbetar med -systemet, det binära systemet. Ett binärt talsystem har två som bas och behöver bara två tecken, och 0. Positionsvärdet multipliceras här med två för varje steg åt vänster. Så t.ex. är det binära talet 0 uttryckt i det decimala systemet detsamma som =. Det binära systemet har kommit till användning särskilt inom datatekniken, där alternativen och 0 kan motsvaras av två olika tillstånd hos en elektronisk krets eller ett magnetiskt medium. Addition Att addera är att lägga samman två eller flera tal till ett enda. Räkneoperation = kallas en addition. Två eller flera tal, termer, adderas till en summa. Mellan termerna skrivs plustecken: a + b = s. Term + term = summa. Additionen är vad matematikerna kallar för kommutativ, d.v.s. summan är oberoende av termernas ordningsföljd: a + b = b + a, t.ex. + = + Med vardagligt språk är det enklast att säga: Det spelar ingen roll i vilken ordning man lägger ihop talen för svaret blir det samma i alla fall. Additionen är dessutom associativ, d.v.s. summan av termer kan bildas på olika sätt: (a + b) + c = a + (b + c) Endast storheter av samma slag får adderas. Exempel : cm + 5 cm = 7 cm Exempel : 4 äpple + päron + 5 äpple + 6 päron = 9 äpplen + 8 päron, eller som en ekvation 4a + b + 5a + 6b = 9a + 8b Fastighetsakademin

14 Kapitel : De fyra räknesätten Beräkningar. Ett jämnt naturligt tal slutar på någon av siffrorna. Ett udda naturligt tal slutar på någon av siffrorna. Vilket av talen är störst? Vilket av talen är minst? = = = = = = Subtraktion Genom subtraktion beräknas skillnaden/differensen mellan två tal, eller ett tals överskott över ett annat. Räkneoperationen 4 9 = 5 kallas subtraktion. 4 och 9 kallas termer, och resultatet kallas en differens. Term term = differens Subtraktion och addition är motsatta räknesätt. Subtraktion kan kontrolleras genom en addition: 4 9 = = 4 Provet kallas subtraktionsprovet. Subtraktionen a b = c är riktig, om c + b = a. Endast storheter av samma slag får subtraheras. Exempel : 7 cm 5 cm = cm Exempel : 9a + 6b 5a b = 4a + 4b Beräkningar. 4 6 = =. 7a a = = = = = 4 Fastighetsakademin

15 Kapitel : De fyra räknesätten = 9. 9 = = Multiplikation När man multiplicerar ett tal, är det i verkligheten detsamma som att addera det ett visst antal gånger uppfattas som gånger 4 och skrivs kort 4, 4, 4 eller x 4. Vid ekvationsberäkningarna och användning av formler utelämnas ofta multiplikationstecknet. Det innebär att a = a = a + a. Multiplikation är kommunikativ, d.v.s. ordningen spelar ingen roll: 4 = 4 Multiplikation är associativ. Parenteser kan tas bort och sättas dit godtyckligt i en produkt: 4 = (4 ) = 4 ( ) Multiplikation är distrubutiv över additionen: a(b + c)=ab + ac. Multiplicerar man ett tal med 0 innebär det att man ska ta det 0 gånger vilket ger resultatet 0. Det vill säga: En produkt är 0, då någon av faktorerna är 0: 0 = 0. De sista siffrorna i talen ska stå under varandra i en multiplikation. Det betyder att man inte behöver tänka på heltal, decimaler o.s.v. För att få decimaltalet på rätt ställe i svaren kan man räkna samman antalet decimaler i uppställningen, d.v.s. antal siffror efter decimaltecknet. Beräkningar. 5 8 =. =. 4,5 4,5 = 4. 4,5 00 = 5. 6 = 6.,4 0,6 = 7. 4 = = 9. 0,00 0,4 = 0. Hur flyttas siffrorna i positionssystemet när du multiplicerar ett tal med 0?. Inför en studieresa betalade 0 studenter 85 kr vardera. Hur mycket kostade resan? a) Teckna den uträkning du ska göra. b) Gör en överslagsberäkning.. När man ska sätta kakel över diskbänken, spisen och bänkskåpet går det åt 6 kakelplattor i varje rad. Hur många plattor går det åt om man sätter fyra rader? Fastighetsakademin 5

16 Kapitel : De fyra räknesätten. Du ska armera 4 st pelare på bottenvåningen av ett hus. Varje pelare har 4 st stående, L= 450, samt 4 st byglar 8. a) Hur många blir det sammanlagt till alla pelarna? b) Hur många byglar blir det sammanlagt till alla pelarna? c) Hur mycket väger st, L= 450 mm om,0 m väger 0,95 kg? Division Det finns två typer av division: Delningsdivision: Divisionen är att dela ett givet tal i ett visst antal lika stora delar. Räkneoperationen 8/7 = 4 kallas en division. 8 kallas täljare, 7 kallas nämnare, resultatet av divisionen (4) kallas kvoten. Täljare/nämnare = kvot Innehållsdivision: Divisionen är även att finna hur många gånger ett tal innehålls i ett annat och detta angivs av kvoten. Divisionen kan tecknas som ett bråk med ett kolon (a : b) eller med ett snedstreck (a / b). Även tecknet förekommer. Division och multiplikation är motsatta räknesätt. Man kan inte dividera med 0. Beräkningar. 6 / 7 =. 64 / 8 =. 90 / 0 = 4. 0 / 6 = 6 Fastighetsakademin

17 Kapitel : De fyra räknesätten / 5 = / 5 = 7. Du ska kapa brädor till ett staket som är 8,55 m långt. Bräderna ska sitta med ett avstånd på 50 mm. Hur många brädor ska du kapa till? 8. Två tårtor ska delas på 4 personer. Antag att alla vill ha lika stor del av tårtan. Hur många bitar blir det på varje tårta? 9. Hur flyttas siffrorna i ett positionssystem när du dividerar ett tal med 00? 0. Ett rött månadskort hos Västtrafik kostar 445 kr per månad. Om du istället köper s.k. 00-kort för 00 kr kostar varje resa kr. Hur många enkelresor måste du åka i månaden för att det ska bli billigare att köpa ett månadskort? Potenser En summa där alla termerna är lika kan skrivas som en produkt: = 7 7 gånger En produkt där alla faktorerna är lika kan skrivas som en potens: = 7 7 upphöjt till Observera att 7 och 7 är två olika tal: 7 = och 7 = 4. En potens består av bas och exponent. = exponen ba Exempel : = = 9 Exempel : = = 7 Exempel : 5 = = Exempel 4: 0 = 0 0 = 00 Fastighetsakademin 7

18 Kapitel : De fyra räknesätten Tiopotenser Potenser med talet tio som bas kallas tiopotenser: 0 = 0 0 = 0 0 = 00 0 = = = = = = = = ( miljon). 0 9 =... = ( miljard). 0 =... = ( biljon) Observera att exponenten är lika med antalet nollor i det utskrivna talet. Multiplikation och division Vid multipikation av tiopotenser ska exponenterna adderas. a b a+ b 0 0 = 0 Vid division av tiopotenser ska exponenterna subtraheras. a 0 = 0 b 0 a b Stora och små tal Genom att använda tiopotenser kan man skriva stora tal på ett bekvämt sätt. 6 miljoner = ( miljon = 0 6 ) 6,5 miljoner = 6, ,5 miljoner = 6,5 0 6 De tre talen är av samma storleksordning vilket visar sig genom att exponenterna är lika. Grundpotensform innebär att talet skrivs som en produkt av en tiopotens och ett tal som är större än eller lika med men mindre än = 6,5 0 6 tal mellan och tiopoten Även för att skriva små tal behövs många siffror. Men här visar vi att man även kan skriva små tal i grundpotensform. Tiopotenser med negativ exponent: 0,00 = tusendel = = Fastighetsakademin

19 Kapitel : De fyra räknesätten Men istället för att skriva skriver man = = = = 0 00 = 0 0 = 0 = 0 0 0, = 0 0,0 = 0 0,00 = 0 0,000 = 0 4 0,000 0 = 0 5 0, = 0 6 Beräkningar. Skriv i potensform a) b) 4 4 c). Beräkna a) 6 b) 4 c) 8. Skriv i potensform a) 9 9 b) c) 4. Skriv en potens med a) basen 9 och exponenten 5 b) exponenten och basen 4 5. Skriv i potensform och beräkna a) b) c) 0 0 d) a) 5 b) c) a) 0 + b) 0 c) a) 0, + 0, b) 8 6 c) 4 9. Skriv med vanliga ord a) 4 0 b) 9 0 c) Skriv både som vanligt tal och i tiopotensform 0. a) Fyra tusen b) Åtta miljoner c) Två miljarder. a) Nio hundra b) Fem tusen c) Sju miljoner. a) Två tusen b) Tre miljarder c) Sex tusen Fastighetsakademin 9

20 Kapitel : De fyra räknesätten Skriv i grundpotensform. a) b) 8 00 c) a) b) c) a) b) c) a) b) c) a) 560 b) c) a) 000 b) 00 c) 0 00 Skriv som vanligt tal 9. a) 5 0 b) 5,4 0 c) 5, a) 0 5 b),7 0 4 c), 0. a) 8, 0 b) 8, 0 c) 8,5 0. a), 0 b) 9 0 c), a),5 0 b) 4,5 0 c) 8, a) b) 0 c), Sveriges befolkning är ungefär Skriv detta tal i grundpotensform. 6. Ljuset går med hastigheten 0 8 m/s. Skriv ljusets hastighet utan tiopotens. 7. Runt ekvatorn är det cirka km. Skriv detta i grundpotensform. 8. Jordens ålder beräknas till 4,7 0 9 år. Skriv detta utan tiopotens. Skriv som en potens 9. a) b) c) a) b) c) a) 0 0 b) c) a) 0 0 b) c) 4 0. a) b) Fastighetsakademin

21 Kapitel : De fyra räknesätten 4. a) b) Skriv i grundpotensform 5. a) 0,08 b) 0,006 c) 0, a) 0,07 b) 0,0075 c) 0, a) 0, b) 0, c) 0, a) 0,000 6 b) 0, c) 0, a) 0,000 8 b) 0,07 c) 0, a) 0,00 05 b) 0, c) 0, Skriv utan tiopotens 4. a) 7 0 b) 9 0 c) a) 5, 0 b) 4,9 0 5 c), a) 0 b) 4,05 0 c), a) b) 0 c), a) 0 b) 8,07 0 c) 9, Skriv i grundpotensform 46. a) 0,00 b) 0,095 c) 0, a) 0,07 b) 0,00 c) 0, a) 0,09 b) 0, c) 0, a) 0,005 b) 0, c) 0,07 Prefix Då stora och små tal ska skrivas tillsammans med enheter används ofta prefix. De vanligaste prefixen i SI (det internationella måttenhetssystemet) är: T (tera) = 0 = biljon G (giga) = 0 9 = miljard M (mega) = 0 6 = miljon k (kilo) = 0 = tusen m (milli) = 0 = tusendel (mikro) = 0 6 = miljondel ( my ) är en grekisk bokstav n (nano) = 0 9 = miljarddel p (piko) = 0 = biljondel Fastighetsakademin

22 Kapitel : De fyra räknesätten Prioriteringsregler Räkneordning i uttryck Exempel : Martin och Lisa ska beräkna värdet av uttrycket Martin: Det blir 9 5 = 45 Lisa: Nej, det blir = Olika resultat trots att ingen räknat fel. Martin har tagit additionen först och Lisa har börjat med multiplikationen. En beräkning med flera räknesätt måste naturligtvis ge samma resultat oavsett vem som utför den. Räkneordning: Därför har man inom matematiken kommit överens om en räkneordning som innebär att multiplikation går före addition. Lisa hade alltså rätt. Överenskommelse: I uttryck med flera räknesätt beräknar man. först parenteserna. sedan multiplikationer och divisioner. sist additioner och subtraktioner Prioriteringsregler: Vi kallar dessa räkneregler för prioriteringsregler. Exempel : Beräkna a) (7 + ) 5 b) c) 4 + / 4 Parentes en a) (7 + ) 5 = 0 5 = 50 beräknas b) = = Multiplikationen beräknas c) 4 + / 4 = = Division och multiplikation beräknas Så länge det bara är två tal som ska räknas ihop på något sätt är det sällan problem att lösa uppgifterna. Ska du däremot räkna en uppgift där flera räknesätt är med måste du veta i vilken ordning du ska räkna dem, med andra ord hur du ska prioritera dina beräkningar. Man kan testa en räknare med följande exempel: Slå in + 5 = Om resultatet blir 4 kan inte din miniräknare ta hänsyn till prioriteringsreglerna. Om resultatet blir 8 kan du lita på att din miniräknare tar hänsyn till prioriteringsreglerna. Exempel : Beräkna ( + 5) ( + 5) = 7 = Fastighetsakademin

23 Kapitel : De fyra räknesätten Exempel 4: Beräkna Beroende på vilken typ av miniräknare du har måste du använda dig av parenteser = = Exempel 5: Beräkna 6 + ( ) = = = = 8 + ( ) Beräkningar. a) b) c) d) /. a) b) (0 + 0) c) 6 + / d) / 5. a) 4 + b) 9 4 c) d) a) b) 0 6 c) 5 / d) / 5. a) + 5 b) c) 5 5 d) (5 5) 6. a) / 5 b) (5 + 0) / 5 c) 5 / 5 d) 5 / (5 ) 7. a) 4 8 b) 4 8/ c) (4 8) / d) 4 / (8 ) 8. a) b) / c) / 7 6 d) a) b) / / 5 c) 9 / + 7 d) / 4 0. a) / b) 4 / 6 / 4 8 / 5. a) (4 ) + 4 b) ( + 8). Inträdesbiljetter till en djurpark kostar 5 kr för barn och 00 kr för vuxna. Hur mycket ska en grupp på 0 barn och 4 vuxna betala? Resultatet kan tecknas ( ) kr. Beräkna detta resultat.. I personalmatsalen vid en arbetsplats kostar en lunch med Dagens rätt 5 kr. Om man köper ett rabatthäfte får man 0 lunchkuponger för 80 kr. Hur mycket tjänar man Fastighetsakademin

24 Kapitel : De fyra räknesätten per måltid på att köpa rabatthäfte? a) Teckna resultatet. b) Beräkna resultatet. 4. Vilket tal ska stå i den tomma rutan? a) = 0 b) 8 + = 50 c) 4 8 = 0 c) = Vilket av alternativen a c är rätt om du ska räkna ut ? a) I den ordning räknesätten står. b) Först multiplikationerna sedan additionen. c) Först additionen sedan multiplikationerna. 6. Du ska köpa tre förpackningar spaghetti för kr per styck och 5 burkar krossade tomater för fyra kronor per styck. Hur mycket det kostar totalt kan man skriva på en rad så här utan enhet: + 5 = Sedan skriver man svaret med enhet på en rad under det: Svar: Det kostar 7. På bilskolan R&R betalar man 00 kr för teorilektionerna och de obligatoriska körlektionerna. Behöver man fler körlektioner kostar det 0 kr per lektion. a) Lena behöver 4 extralektioner. Vad blir hennes totala kostnad? Totalpriset för henne blir (utan enheter) (fast pris) + (antal lektioner) (pris per lektion) = Svar: Lenas totala kostnad blir (glöm ej enhet) b) Bertil betalar totalt kronor till bilskolan. Hur många extralektioner tog han? Problemet kan lösas i flera steg eller i ett enda svep. Prova båda varianterna! I Med flera steg (utan enheter): Steg ) Kostnad för extralektioner: (totalpris) (fast pris) = Steg ) Antal lektioner: (kostnad för alla lektioner) / (pris per lektion) = II I ett enda svep: Antal lektioner: ( ) / = Svar: Bertil tog extra körlektioner. 8. I en fembarnsfamilj har man en pojke och fyra flickor. Barnens medelålder är 4 år och pojken är 8 år. Vad är flickornas medelålder? Medelåldern är (utan enheter): 4 Fastighetsakademin

25 Kapitel : De fyra räknesätten ( (antal barn) ) / = Svar: Flickornas medelålder är (glöm ej enhet) Decimaltal Det är inte alltid som verkligheten erbjuder heltal. Ofta stöter vi på decimaltal som t.ex. priset för ett anteckningsblock 7,50 kr och målarprover för 9,50 kr. Vid uträkning av heltal och decimaltal ska entalssiffror räknas för sig, tiondelar för sig o.s.v. När man beräknar bråk med miniräknare och utför division får man bråken på decimalform. = 0,75 går jämnt ut. 4 0, tar aldrig slut. 7 Beräkningar. Skriv i decimalform a) 6 tiondelar b) hundradelar c) 5 tusendelar. a) + 6,45 b),5 + 6,4 c) 5 4,8 d) 5 4,85 e) 0,8. a),5 / 0 b) 0,5 c) 8,5 / 00 d) 00 8,5 e) 0,45 / 0 f) 0,45 0 Miniräknaren eller inte? Miniräknaren är ett mycket kraftfullt hjälpmedel för att klara beräkningar, om man vet hur den ska användas. Det finns en mängd olika miniräknare så det är viktigt att veta hur just din miniräknare fungerar. De flesta av dagens räknare klarar prioriteringen, d.v.s. den räknar multiplikation och division före addition och subtraktion. Testa din miniräknare för att se hur den fungerar! / 5 = 9. Får du detta svar på din miniräknare? Varför? Varför inte? Fastighetsakademin 5

26 Kapitel : De fyra räknesätten Avrundning Avrundningsregler Om siffran efter avrundningssiffran är Avrundningssiffr 0,,, eller 4 behåller vi avrundningssiffran 7,4 7,4 5, 6, 7, 8 eller 9 höjer vi avrundningssiffran 7,48 7,5 7,45 7,5 Lägg märket till att enligt våra avrundningsregler avrundas 7,45 till 7,5. Exempel : 6,849 6,85 Avrundning till två decimaler. Efter avrundningssiffran 4 följer en 9. Vi höjer avrundningssiffran ett steg. 74,8 70 Avrundning till tiotal. Efter avrundningssiffran 7 följer en 4. Vi behåller avrundningssiffran. Avrundning är helt enkelt en metod att ersätta ett tal med närmaste decimaltal av önskad noggrannhet genom att stryka alla siffror efter en viss siffra (för heltal: ersätta dem med nollor). Om den första strukna siffran är en fyra eller mindre, ändras inte de siffror som behålls. Om den första strukna siffran är en femma eller mer, ökas den sista kvarvarande siffran med en enhet. T.ex.: Avrundning av,87 till tre decimaler ger,87, till två decimaler,8; avrundning av 8 7 till hundratal ger 8 00; avrundning av 5,8500 till två decimaler ger 5,9. Man bör avrunda endast en gång. Avrunda aldrig delberäkningar. Räkna med tillräckligt antal siffror så slutsvaret ska bli tillräckligt noggrant. Exempel : Avrunda till decimaler. a),456 b) 0,6554 c),6 De avrundade värdena blir då a),45 b) 0,66 c),6 När du gör beräkningar med din räknare bör du ha full noggrannhet så långt som möjligt för att sedan avrunda på slutet. Exempel : 7 kg äpplen kostar 6 kr. Vad kostar 000 kg? 6 Dålig lösning: kg kostar 5,4 5 kr kg kostar: = kr. 6 Bra lösning: kg kostar kr kg kostar: kr. 6 Fastighetsakademin

27 Kapitel : De fyra räknesätten Svar: kr Exempel : Kursen på Belgiska Franc är,5 SEK = 00 BF. Hur många BF får man för 780 kr? SEK = 00 /,5 BF kr = 687,9 690,5 BF Svar: 690 BF Exempel 4: dollar kostar 6,84 SEK. D-Mark kostar 4,4 SEK. Hur många D-Mark får man för 60 dollar? 60 dollar = 60 6,84 SEK = 094,4 SEK 094,4 094,4 SEK = 48 D-Mark 4,4 Svar: 48 D-Mark Fastighetsakademin 7

28 Kapitel : De fyra räknesätten Överslagsräkning En enkel överslagsräkning är ofta tillräcklig för att du ska se om ett resultat är rimligt. Vid en överslagsräkning ersätter man de givna talen med enklare tal så att resultatet blir ungefär det samma, räkningarna går lätt att genomföra i huvudet. Exempel : hg lösgodis kostar 5,60 kr. Hur mycket kostar 8,4 hg? 8,4 hg lösgodis kostar 8,4 5,60 kr. Med räknare Vi diskuterar några olika sätt att göra en överslagsräkning. Olika sätt att avrunda A: 8 5 = 40 Båda faktorerna nedåt. 40 är för litet. B: 9 6 = 54 Båda faktorerna uppåt. 54 är för stort. C: 8 6 = 48 En faktor nedåt, en faktor uppåt. Bäst. Exempel : Hur många US dollar får man för 500 kr om dollar kostar 7,6? Antal dollar = = 00 7,6 8 Vi har ökat både nämnare och täljare. Divisionen går lätt att Med hjälp av en räknare får du 500 / 7,6 96,6 Vårt överslag ligger nära det riktiga resultatet. Vid division får man bästa resultatet om både täljare och nämnare ökas eller minskas. Exempel : Gör en överslagsräkning a) b) 76 9 c) 5,78 9,7 d) 4 / 0,69 a) = 400 b) = 400 c) 5,78 9,7 6 9 = 54 d) = 0,69 0, = Fastighetsakademin

29 Kapitel : De fyra räknesätten Sammanfattning Vid multiplikation: Vid addition: Vid division: Vid subtraktion: Den ena faktorn ökas och den andra minskas., = 40 Den ena termen ökas och den andra minskas = 00 Både täljare och nämnare ökas eller minskas = 00,5 Se till att du får så enkla tal att divisionen går lätt att utföra i huvudet. Båda termerna ökas eller minskas = Antal gällande siffror När man gör beräkningar med miniräknaren ger den ofta ett stort antal decimaler eller många siffror över huvudtaget. Det finns regler för hur man svarar. Man talar om Antalet gällande siffror. Tal Antal gällande siffror 76 76, 76, eller eller 4 eller 5. Det är svårt att veta. 0,00 0, Regeln är följande:. Nollor i slutet av heltal räknas inte. Nollor i slutet av decimaltal räknas. Nollor i början av decimaltal räknas inte. 4. Svara inte med fler gällande siffror än du har i texten. Exempel : Inför julen 996 köpte 5 personer julklappar för sammanlagt kr. För hur mycket handlade var och en? ,44 5 Ett lämpligt svar blir 400 kr, eftersom har gällande siffror. Svar: 400 kr Fastighetsakademin 9

30 Kapitel : De fyra räknesätten Beräkningar. Avrunda,048 till a) heltal b) en decimal c) hundradelar d) tiotal. Gör en överslagsräkning a) b) c),9,8 c), / 0,9. Jonas sprang 00 m på 7 sekunder. Bestäm hans medelhastighet. a) Gör en överslagsräkning. b) Vad visar räknaren? c) Hur ska du svara? 4. Vilket av talen är störst / 9 eller 5 / 9? 5. 0,60 kg medwurst kostar,60 kr. Hur mycket kostar 0,8 kg medwurst? Ibland är miniräknaren ett mycket bra verktyg för långa eller krångliga beräkningar. Det gäller dock att inte ta för givet att räknaren är det enda sättet! För att du ska bli påmind om att hjärnan kan vara din egen privata miniräknare som du bär omkring på hela dagarna föreslås att du arbetar med uppgifterna nedan utan räknare. 6. Vilket tal är närmast 9? Vilket eller vilka tal ligger mellan och,?,5,5,05,5,0 8. Vilka av bråken ligger mellan ½ och? eller eller eller eller Avrunda 48,5 till a) tiotal b) heltal c) en decimal d) hundradelar 0. Vilka beräkningar är orimliga? a) 0,7 7,5 = 5,5 b) 740, = 888 c) 600 0,48 = 768 d) , = 696. Vilket är det bästa närmevärdet? Gör ett överslag. a) 79? , b)? 0, ,. a) 0,5 + 0,5 b) 0,4 0,. a) 0, 4, b) 4, 0, 4. a) b),5 + 0,5 5. Vilka tal är utelämnade om vi räknar a),7,8,9 b),,,? 0 Fastighetsakademin

31 Kapitel : De fyra räknesätten 6. a) 9 5 b) 5 ( 6) Tillämpade beräkningar Exempel 4: En bilist tankar blyfri bensin för 400 kr i en sedelautomat. Bensinen kostar 8, kr per liter. Hur många liter får hon? a) Gör en överslagsräkning. b) Vad visar räknaren? c) Hur ska vi svara? a) Bensin i liter = = 50 8, b) Bensin i liter = 48, , c) Här är det rimligt att svara med hela liter. Vi avrundar 48, Svar: Han får 49 liter bensin. Exempel 5: Johan köper,6 kg äpplen för,50 kr. a) Vad får Pia betala för, kg äpplen på samma ställe och till samma kilopris? b)hur mycket äpplen får Petra för 0 kr? a),6 kg äpplen kostar,50 kr,50 kg äpplen kostar =,50 kr,6, kg äpplen kostar,,50 kr = 5 kr b) kg äpplen kostar,50 kr. 0 För 0 kr får då Petra kg =,6 kg.,50 Svar: a) 5 kr. b),6 kg. kg äpplen kostar,50 kr, kg kostar,50 kr o.s.v. Priset ökar i förhållande till (i proportion till) antalet kg. Proportionellt Vi säger att priset är proportionellt mot antalet kg. Fastighetsakademin

32 Kapitel : De fyra räknesätten Beräkningar. Hur många liter bensin får man för 00 kr om priset är 8, kr/l? a) Gör en överslagsräkning. b) Vad visar räknaren? c) Hur ska du svara?. Johanssons bil gick 49,4 mil på 4,7 liter bensin. Hur stor var bensinförbrukningen i liter/mil?. Berit köper,9 kg äpplen som kostar 9,0 kr/kg. Hur mycket ska hon betala? a) Gör en överslagsräkning. b) Beräkna priset med räknare. 4. Antalet betalande åhörare vid en konsert var 8. Hur stora blev intäkterna då biljettpriset var 95 kr? a) Gör en överslagsräkning. b) Beräkna med räknare. 5. Vilket tal är störst? a) eller b) eller Ordna följande tal i storleksordning med det minsta först., Vad kostar en bit ost som väger 0,84 kg, om kilopriset är 8,75 kr? ton = 000 kg kg = 0 hg kg = 000 g hg = 00 g g = 000 mg 8. På Pelles lastbil får man lasta högst, ton. Hur många järnrör kan Pelle lasta om ett rör väger,7 kg? 9. En pillerburk väger g. Vad väger den fylld med 50 tabletter om varje tablett väger 87 mg? 0. Vad kostar ett års rökning för en person som röker ett halvt paket cigarretter om dagen om ett paket cigarretter kostar 5,50 kr? Fastighetsakademin

33 Kapitel : De fyra räknesätten Översikt Addition 6 + = 9 Term + term = summa Subtraktion 9 4 = 5 Term term = differens Multiplikation 5 4 = 0 Faktor faktor = produkt Division 6 / 6 = 6 Täljare/nämnare = produkt Multiplikation med 0, 00 och 000 Division med 0, 00 eller 000 Vikt 0 45 = = = / 0 = 4,5 45 / 00 = 0, / 000 = 5,6 ton = 000 kg kg = 0 hg = 000 g hg = 00 g Flera räknesätt = 9 (5 + 6) = Tallinjen Vid multiplikation med ett tal och 0, 00 eller 000 flyttas decimaltecknet,, eller steg åt vänster Vid division med 0, 00 eller 000 flyttas täljarens decimaltecken,, eller steg åt vänster När det förekommer flera räknesätt i samma uppgift gör man beräkningarna enligt följande ordning:. först parenteser. sedan multiplikation och division. sist addition och subtraktion Olikhetstecken 5 < 7 8 > 4 Avrundning 5,67 6 6,4 6 5 är mindre än 7 8 är större än 4 Om siffran efter avrundningssiffran är 0,,,, eller 4 så avrundar man neråt. Om siffran efter avrundningssiffran är 5, 6, 7, 8 eller 9 avrundar man uppåt.tecknet betyder ungefär lika med Fastighetsakademin

34 Kapitel : Negativa tal Negativa tal Tallinjen och termometern Talen,,,. Kallas positiva heltal. Sätter vi minustecken framför får vi de negativa talen,,.. De positiva och negativa heltalen bildar tillsammans med talet 0 de hela talen. Vill man speciellt markera att ett tal är positivt kan man skriva t.ex. +7. Du har säkert sett de hela talen utsatta på en termometerskala Tallinje Detta är ett exempel på en tallinje, där negativa tal, talet noll och positiva tal är utsatta Negativa tal Positiva tal Nollpunkten kallas Du ser att ju längre vi går åt höger på tallinjen, desto större blir talen. Ju längre åt vänster man går desto mindre blir talen. är större än men är mindre än. Större än och mindre än skrivs med tecknen > och < Här är > och <. Vi jämför talens storlek på följande sätt: På tallinjen Med symboler I ord ligger till höger om 5 ligger till vänster om > 5 < är större än 5 är mindre än Olikhetstecken Lägg märke till att båda olikhetstecknen > (större än) och < (mindre än) pekar med spetsen mot det mindre talet. För våra förfäder existerade nästan inte negativa tal. Så småningom infördes de negativa talen och har i dag praktisk betydelse. Vi har minusgrader och underskott på konto som vanliga exempel. Fysiker pratar om lägesenergi som kan vara negativ och om potential (spänning i förhållande till jord) som också kan vara negativ. Räknereglerna är enkla. Lika tecken ger plus och olika tecken ger minus. Mer om detta senare i kapitlet. 4 Fastighetsakademin

35 Kapitel : Negativa tal Exempel : =? Temp. är = Temperaturen är 5 och stiger 7. Den blir då. Svar: = Exempel : 4 7 =?.Resultat -. Sjunker 7 steg. Temp. är Svar: 4 7 = Exempel : Sätt ut rätt olikhetstecken, > eller <, mellan talen a) 9 5 b) 9 5 c) 9 d) 6 Svar: a) 9 > 5 b) 9 < 5 c) > 9 d) 6 < Exempel 4: Beräkna (jämför gärna med temperaturskalan) a) 4 5 b) 0 c) d) 8 Svar: a) 4 5 = 9 b) 0 = 7 c) = d) 8 = 0 Exempel 5: ( ) = 6 ( ) ( ) = 6 + ( ) = = 6 0 = 5 4 ( ) ( ) ( ) ( ) = Fastighetsakademin 5

36 Kapitel : Negativa tal Exempel 6: Kalle hade 600 kr på sitt checkkonto. Kalles fru gick genom sta n med en hastighet av 800 kr/h. Hur stort var saldot på Kalles konto 4 timmar senare? = 600 Svar: 600 kr. Exempel 7: Temperaturen var under en vecka i december 8,, 7, +, 5, och 9 Beräkna medeltemperaturen under veckan ( 8) + ( ) + ( 7) + + ( 5) + ( ) + ( 9) 7, 7 Svar: 7, grader Beräkningar. Vilka tal är markerade på tallinjerna? a) b) c) Sätt ut rätt olikhetstecken mellan talen a) 6 9 b) 6 c) d) 9 e) 5 0 f) 0. Beräkna a) 7 b) 7 c) 8 + d) A B C Vilka tal är markerade vid A, B och C? 6 Fastighetsakademin

37 Kapitel : Negativa tal 5. Sätt ut rätt olikhetstecken, > eller <, mellan talen a) 7 b) 5 c) 5 d) e) 0 5 f) Temperaturen är 7. Vad blir den om den a) ökar med 4 b) minskar med 7 c) minskar med 0 d) minskar med 8? 7. Temperaturen är. Vad blir den om den a) ökar med b) minskar med 4 c) ökar med 7 d) minskar med? 8. Beräkna a) 5 b) 5 c) + 5 d) Beräkna a) b) 4 7 c) + 8 d) 7 0. Par på en golfbana är 70 slag. Resultatet 7 slag anges som +. Ange följande resultat på detta sätt. a) Annika 67 slag b) Jesper 7 slag c) Lotta 69 slag d) Tiger 64 slag. Skriv talen i storleksordning med det minsta först. a), 7,, 9 b) 6, 0,, 4 c) 5, 0, d), 9, 0, 6. Ange temperaturändringen med ett positivt eller negativt tal. Starttemperatur Sluttemperatur a) + C + C b) + C + C c) 7 C +7 C d) C 9 C Addition av negativa tal Exempel : Vad blir 5 + ( 0)? Vi vill att man ska kunna addera alla tal i vilken ordning som helst, d.v.s. att; 5 + ( 0) = ( 0) + 5 Om temperaturen är 0 och stiger med 5 blir den nya temperaturen; ( 0 ) + 5 = 5 Vi vet redan att 5 0 = 5 d.v.s. 5 + ( 0) = 5 0 = 5 Fastighetsakademin 7

38 Kapitel : Negativa tal Addition Att addera talet 0 är det samma som att subtrahera talet ( 0) = 5 0 Subtraktion av negativa tal Exempel : Vad blir 5 ( 0)? Subtraktion Tänk er följande: Ett flygplan flyger 000 m över havet, en bergstopp under flygplanet är 88 m hög, och djupet i havet bredvid berget är 94 m. Havets yta är nollpunkten. Hur högt över berget flyger planet? 000 m 88 m = 8 m Hur högt över havets botten flyger planet? 000 m ( 94) m =? Med logik kan vi räkna ut att ovanstående fråga kan räknas ut med addition. 000 m + 94 m = 94 m Alltså är 00 ( 94) = = 94 På samma sätt är 5 ( 0) = = 5 Att subtrahera talet 0 är det samma som att addera talet 0. 5 ( 0) = Exempel : Beräkna a) 5 + ( ) b) 5 + ( ) c) 5 ( ) d) 5 ( ) a) 5 + ( ) = 5 = b) 5 + ( ) = 5 = 7 Tecknen +( ) ersätts med c) 5 ( ) = 5 + = 7 d) 5 ( ) = 5 + = Tecknen ( ) ersätts 8 Fastighetsakademin

39 Kapitel : Negativa tal Beräkningar. a) 5 + ( ) b) 9 + ( 5) c) 8 + ( ) d) 5 + ( ). a) 4 + ( 6) b) 5 + ( 7) c) 6 + ( ) d) 8 + ( 4). a) 8 ( ) b) 6 ( 4) c) 9 ( ) d) ( ) 4. a) 5 ( 6) b) 7 ( 9) c) 4 ( ) d) 9 ( 5) 5. a) + ( 5) b) 5 + ( 5) c) 5 ( 5) d) 5 ( 5) 6. a) 8 ( ) b) 8 ( ) c) ( 8) d) ( 8) 7. Beräkna temperaturändringen, d.v.s. beräkna differensen av sluttemperatur och starttemperatur. a) b) c) d) Starttemperatur +7 C +9 C C 4 C Sluttemperatur + C C 4 C C Multiplikation med negativa tal Exempel : På vintern är det lätt att förfrysa sig om det är minusgrader och blåser kraftigt. Om en termometer i lä visar 4 C och vindstyrkan är 5 m/s kan de kännas som om temperaturen i C är ( 4) 5 För att få veta hur kallt det kan bli måste vi kunna beräkna ( 4). Vad blir ( 4)? Vi jämför med 4 d.v.s. 4 = På samma sätt får vi ( 4) = ( 4) + ( 4) + ( 4) = Multiplikation ( 4) = Produkten av ett positivt och ett negativt tal är negativ. Fastighetsakademin 9

40 Kapitel : Negativa tal Du vet att 4 = 4 d.v.s. att ordningen mellan faktorerna inte spelar någon roll. Därför är också ( 4) = Detta kunde vi också ha upptäckt med ett mönster. Läs uppifrån och ner. Talen minskar med för varje = 9 = 6 = 0 = 0 ( ) = ( ) = 6 ( ) = 9 ( 4) =... Läs uppifrån och ner. Talen minskar med för varje Här bör det stå Exempel : Vad blir ( ) ( 4)? Vi använder nu ett liknande mönster för att upptäcka resultatet av produkten ( ) ( 4). Läs uppifrån och ner. Talen minskar med ( 4) = ( 4) = 8 ( 4) = 4 0 ( 4) = 0 ( ) ( 4) =? ( ) ( 4) =? ( ) ( 4) =? Läs talen uppifrån och ner. Talen ökar med 4 för varje Om mönstret ska fortsätta, bör efter 0 följa 4, 8,. Nu kan vi svara på Enligt uppställningen ovan gäller Multiplikation ( ) ( 4) = Produkten av två negativa tal är positiv. Division med negativa tal Vad blir 7 / ( 9)? Vi tar hjälp av följande resonemang: 7 / ( 9) = Kvoten av ett positivt och ett negativt tal är negativ. ( 7) / 9 = Kvoten av ett negativt och ett positivt tal är negativ. ( 7) / ( 9) = Kvoten av två negativa tal är positiv. 40 Fastighetsakademin

41 Kapitel : Negativa tal 06 Är divisionen = 4 korrekt? 9 Vi kan kontrollera genom att bilda produkten 4 9. Då 4 9 = 06 är divisionen korrekt. Vi kan nu beräkna temperaturen i det inledande exemplet, exempel, multiplikation. ( 4) 5 = 5 = 6 5 = Temperaturen om man utsätts för full vindstyrka blir C. Exempel. Beräkna a) 8 ( 6) b) ( 5) ( ) c) ( 7) / 8 d) ( 56) / ( 8) Svar: a) 8 ( 6) = 48 b) ( 5) ( ) = 60 c) ( 7) / 8 = 9 d) ( 56) / ( 8) = 7 Fastighetsakademin 4

42 Kapitel : Negativa tal Beräkningar. a) 7 ( 9) b) ( 4) 8 c) ( 6) ( ) d) ( ) 0. a) ( 4) / b) 6 / ( 4) c) ( 8) / ( 9) d) 0 / ( 4). a) 7 ( ) b) ( 0) / 0 c) 65 / ( 5) d) ( 8) ( 5) 4. Vilket tal ska stå i den tomma rutan? a) ( 7) = b) ( 5) = 40 c) ( 4) = 4 d) ( ) = 6 Blandade beräkningar med negativa tal 5. a) 7 b) 7 7 c) 7 0 d) Temperaturen är 5 C. Vad blir den om den a) ökar med b) minskar med c) ökar med 9 d) ökar med 5 7. Ange med ett positivt eller negativt tal en ubåts ändring i höjdled, om dess höjd ändras a) från 0 m till 0 m b) från 40 m till 75 m. 8. a) 9 + ( 7) b) ( 8) c) ( 0) d) 9 + ( 5) 9. a) 5 ( 7) b) ( 4) ( 6) c) 4 / ( 8) d) ( 5) / ( 5) 4 Fastighetsakademin

43 Kapitel : Negativa tal Översikt Tallinjen 0 a) 7 = 4 b) 6 4 = 0 c) 5 + = Addition a) 5 + ( ) = 5 = b) 6 + ( 9) = 6 9 = c) + ( 4) = 4 = 7 Regeln är att framför varje term ska det bara finnas ett tecken. Två olika tecken intill varandra ersätts med ett minustecken. Subtraktion a) ( 4) = + 4 = 7 b) ( 4) = + 4 = c) ( ) = + = Regeln är att ersätta alla dubbla tecken med ett tecken. Två lika tecken intill varandra ersätts med ett plustecken. Multiplikation och division a) 5 ( ) = 5 b) ( ) 4 = 8 c) ( 0) / = 0 d) 0 / ( ) = 5 Regeln är att vid multiplikation eller division med två tal som har olika tecken blir svaret negativt. a) ( ) ( ) = 6 b) ( 4) / ( 7) = Regeln är att vid multiplikation och division av två tal som har lika tecken blir svaret positivt. Fastighetsakademin 4

44 Kapitel 4: Bråkräkning 4 Bråkräkning Ett bråk anger hur stor del av det hela som något är. Med bråk menar man tal av typen /7, /8, /9 o.s.v. De kallas även för rationella tal och skrivs som en kvot n t, där t kallas täljare och n nämnare. Orden är de samma som vid division eftersom det är just division som det handlar om! Bråk kan lätt illustreras geometriskt: Varje del är 6 A + B blir 6 men kan också ses som A + B + C + D blir 6 4 men kan också ses som 6 6 Hela biten blir eller en hel, =. 6 6 Man ser att bråken kan skrivas på många olika, till och med oändligt många olika sätt. 4 = = = o.s.v. 6 9 Hela och delar Om heltal och blandade tal också ingår i räkningarna, gör om dem till bråk så här: 5 5 = och 7 = + 7 = = = = = Addition och subtraktion av bråk Vid addition och subtraktion måste de ingående talen termerna alla vara tredje-delar eller femte-delar eller elfte-delar eller så, d.v.s. ha samma nämnare. Om det inte är så från början, måste man se till att det blir så. (Detta kan jämföras med att de olika talen vid addition och subtraktion inte heller kan anges i olika enheter. Om man t.ex. ska addera 7 mil och 56 km, så måste man först ange de båda talen med samma enhet, 70 km och 56 km eller 7 mil och 5,6 mil.) Exempel : Med alla nämnare lika = = = Med olika nämnare från början där en gemensam nämnare måste skapas, se nedan. 44 Fastighetsakademin

45 Kapitel 4: Bråkräkning Gemensam nämnare Ett bråk förändras inte om täljare och nämnare multipliceras eller divideras med samma tal. Det kan vi använda oss av för att få en gemensam nämnare. Den gemensamma nämnare som ska användas måste vara delbar med de ursprungliga nämnarna (6, 0 och 5 i exemplet ovan). Pröva först med den största nämnaren (0). Pröva sedan med den dubbla och sedan den tredubbla o.s.v. I detta fall går det inte med 0 eftersom 0 inte är delbart med 6. Det går inte heller med 0 av samma skäl, men 0 är delbart med både 6 och 5 (och förstås 0). Vi förlänger då bråken så att alla får nämnaren 0: = = = / = = 0 / Vid dessa beräkningar är kunskaper i multiplikationstabellen värdefulla! 5 Exempel : Beräkna = 9 5 = kallas bråkform, kallas blandform 5 5 Exempel : Beräkna = = Multiplikation av bråk Vid multiplikation behöver man inte bekymra sig om någon gemensam nämnare. (Liksom man inte heller behöver ha samma enhet.) Det är bara att multiplicera täljarna med varandra och nämnarna med varandra. Så här: = = / 5 = = 80 / 5 6 / = = 6 / Eller samma sak på ett litet smartare sätt: / 5 / 5 = = = = = / 0 / 5 4 Exempel : Beräkna a) x /7 b) 7 c) a) = = b) 7 = 7 = = = 9 Fastighetsakademin 45

46 Kapitel 4: Bråkräkning 46 Fastighetsakademin c) = = täljare täljare och nämnare nämnare Division med bråk Inte heller vid division behöver man bekymra sig om någon gemensam nämnare. Man tar helt enkelt det första bråket gånger det andra bråkets inverterade värde (det andra bråket vänt upp och ner). Så här: 6 6 / / 9 / 4 / / 4 = = = = = = = Exempel : Beräkna a) / b) 7 c) 4 7 a) / = = Rimligt då hälften av är b) Du har kanske lärt dig att man går över till multiplikation samtidigt som man inverterar (vänder upp och ner) på det andra bråket = = = Du kanske aldrig har fått lära dig varför man gör så. Nu ska du få veta! Observera att 7 7 = = Man förlänger bråket med 7 : = = = Efter ett tag hoppar man direkt till led. c) = = = Exempel : I en klass på 8 elever är 7 4 pojkar. Av flickorna slutar 4. Hur stor andel av klassen är flickor? Flickorna är 8 7 = st. 4 = slutar.

47 Kapitel 4: Bråkräkning 9 Kvar är 9 flickor och 5 elever. Andelen är. 5 Svar: 9 / 5 Förkorta och förlänga Det är nödvändigt att kunna skriva om bråk vid addition och subtraktion av bråktal. Man säger att man förlänger eller förkortar. Förlängning innebär att man multiplicerar täljare och nämnare med samma tal. Förkortning innebär att man dividerar täljare och nämnare med samma tal. 6 Exempel : Förkorta så långt som möjligt = 8 54 = 9 7 = En modern räknare förkortar automatiskt om man slår in med bråksymboler. Det finns några enkla delningsregler: Alla jämna tal kan delas med. Alla tal vars siffersumma är delbar med är delbara med. 67 har siffersumman ++6+7=8 som är delbart med. 67 = 089 Alla tal som slutar på 0 och 5 är delbara med 5. Om talets siffersumma är delbart med 9 är även talet delbart med =8 som är delbart med = 6 9 Exempel : Förläng 7 med. 7 = = 7 9 Exempel : Beräkna Fastighetsakademin 47

48 Kapitel 4: Bråkräkning Bråken har inte lika nämnare så man måste först se till att de blir liknämniga. Vanligtvis söker man efter den s.k. minsta gemensamma nämnaren, mgn. Här är mgn = 7 9 = = + = = 55 6 Exempel 4: Vilket bråk ligger mitt emellan 9 7 och 9 8? 4 6 Förläng först med. Då får vi och. 8 8 Mittemellan finns 5 5 = Exempel 5: Vilket bråk ligger mittemellan och? = 4 4 Vi jämför nu med Förläng med = och Mitt emellan finns 7 = Beräkningar av bråk. Hur stor andel av respektive figur är skuggad? a) b). Vilket tal är störst? 5/9 eller 5/8? Förklara hur du tänker a) Förläng med 4. b) Förkorta så långt som möjligt Förkorta så lång som möjligt Fastighetsakademin

49 Kapitel 4: Bråkräkning 9 5. Skriv a) i blandad form b) i bråkform 4 6. Beräkna a) 9 7 b) + c) Ett motionsspår är 800 m. På 0 minuter har Petra sprungit /4 av spåret. Hur långt har hon sprungit? 8. Beräkna a) 4 b) c) d) Vår fasad ska muras med 60 skift, till nivån Den första dagen murar laget /4 av väggen. Nästa dag murar de / och den tredje dagen blir det /5 av hela väggen. Räkna ut hur många skift de murade varje dag samt hur många skift som återstod till nivån efter den tredje dagen. 0. Hur många minuter är följande? a) / h b) /4 h c) /4 h d) / h e) /0 h f) /5 h. Skriv bråken i decimalform a) / b) /4 c) /4 d) /5 e) /5 f) /5 g) 4/5 h) /0 i) 9/0. Förklara på ditt eget sätt varför / är större än /4.. Skriv i bråkform på enklaste sättet hur stor del a) 45 st är av 60 st b) 90 st är av 50 st c) 0 st är av 75 st d) 75 st är av 5 st 4. Vilket bråk ska adderas till /7 för att summan ska bli? 5. Rita en bild som visar att 8/ och / är olika namn för samma sak. 6. Vilket skulle du helst vilja ha: / av 400 kr eller /8 av 400 kr? Förklara varför! 7. a) Hur stor andel av kulorna är färgade? b) Hur stor andel av figuren är skuggad? c) Hur stor andel av träden är granar? Fastighetsakademin 49

50 Kapitel 4: Bråkräkning 8. Vilket bråk är störst, /4 eller /5? 9. Skriv ett bråk som anger hur stor andel av figuren som är färgad. a) b) c) d) 0. Förläng a) 7 med 4 b) 9 5 med Förkorta a) med b) med Bestäm i enklaste form förhållandet mellan a) 5 och 5 b) och 0. Hur stor andel av figuren är färgad? Svara i enklaste bråkform. a) b) 4. Förläng bråken så att nämnaren blir 8. a) 9 4 b) a) Hur stor andel av figuren är skuggad? Svara i bråkform. b) Vilket tal kan du förkorta med? c) Förkorta med detta tal. 6. Förkorta a) med b) med Förläng med. (Multiplicera både täljare och nämnare med.) 8. Förklara hur du gör när du a) förkortar 0/5 med 5 b) förlänger 0/5 med 5 9. Lisa färgar / av en cirkel. Per färgar 4/6 av en lika stor cirkel. Vem har färgat mest? Förklara. 0. Förläng följande bråk så att nämnaren blir. a) b) c) d) 6 4. Skriv i enklaste form förhållandet mellan a) 6 och 5 b) och 8 50 Fastighetsakademin

51 Kapitel 4: Bråkräkning. Hur stor andel av figuren är färgad? Svara i enklaste bråkform. a) b). Hur stor andel av en timme är a) 0 minuter b) 45 minuter c) minuter d) 5 minuter? 4. Genom utsläpp och förbränning sprids i Sverige varje år 800 ton bly, varav 500 ton från bilavgaser. Hur stor andel kommer från bilavgaserna? 5. Beräkna och svara i enklaste form. a) + 6 b) a) Skriv i blandad form. b) Skriv i bråkform Rita en figur som visar a) b) Beräkna och svara i enklaste form: 8. a) b) a) + 4 b) a) b) + 5 c) 4 7 d) Skriv i blandad form a) b) 5 c) 4 0 d) 44. Beräkna och svara i blandad form 4 a) + b) Fastighetsakademin 5

52 Kapitel 4: Bråkräkning 45. Skriv talen i bråkform och beräkna a) + b) Anna, Bo och Per delade på en lotterivinst. Anna fick 8 5 och Bo 4 av vinsten. Hur stor andel fick Per? 47. Ge exempel på två olika bråk som har summan a) 6 5 b) 48. Jenny och Sara köper två Trisslotter. Jenny har satsat 0 kr och Sara 0 kr. De vinner 75 kr på den ena lotten. Hur ska de fördela vinsten? 49. Hur mycket är 9 4 av 4 500? 50. Beräkna a) av 75 kr b) 4 av 4 kg c) 7 5 av 560 cm d) 9 7 av 80 elever 5. Johan och Martin har köpt en lott tillsammans. Johan har betalat 5 av lottpriset. Lotten ger en vinst på kr. Hur bör vinsten delas? 5. 4 kg potatis ska delas upp i sex påsar med lika mycket i varje. Hur mycket är a) en sjättedel av 4 kg? b) två sjättedelar av 4 kg? c) fem sjättedelar av 4 kg? 5. Beräkna 7 a) av 70 kg b) av 70 kg c) av 800 kr d) av 800 kr Du ska beräkna 4 av 0 kr. Hur mycket är a) /4 av 0 kr b) /4 av 0 kr? 55. Du ska beräkna 8 5 av 400 m. Hur mycket är a) /8 av 400 m b) 5/8 av 400 m? 56. På en skola går 540 elever. 9 5 av eleverna orienterade på en idrottsdag. Förklara med egna ord hur du beräknar 9 5 av 540 elever. 57. Till en barnföreställning på bio kom 7 personer. 5/8 av dem var barn. a) Hur många barn såg filmen? b) Hur många vuxna såg filmen? 5 Fastighetsakademin

53 Kapitel 4: Bråkräkning 58. Erik skulle cykla 4 km. När han cyklat 5/6 av vägen fick han punktering. Hur långt hade han då kvar? 59. Vilket är mest, av 4 kr eller av 45 kr? Jesper och Jakob tippade tillsammans. En vecka betalade Jesper 5 kr och Jakob 0 kr. Hur ska de fördela tipsvinsten som denna vecka blev 40 kr? 6. Viktor, Lovisa och Jessika är syskon. Viktor är 5 år. Lovisas ålder är 4/5 av Viktors. a) Hur gammal är Lovisa? b) Jessikas ålder är /4 av Lovisas. Hur gammal är Jessika? 6. Lisa, Anna och Niklas målade tillsammans ett staket. Lisa gjorde /7 av arbetet, Anna /5 av arbetet och Niklas resten. De fick 400 kr för hela arbetet. Hur ska de fördela pengarna? Översikt Täljare och nämnare Förlängning Förkortning Addition och subtraktion /5 = täljare/nämnare Bråkets täljare och nämnare multipliceras med samma tal 4/7 = 4 /7 = 8/4 Bråkets täljare och nämnare divideras med samma tal. 8/4 = (8/) / (4/) = 4/7 Addition av bråk som har samma nämnare: 4/5 + /5 = 7/5 = /5 Subtraktion av bråk med samma nämnare: 4 /4 /4 = 5/4 /4 = /4 = / Minsta gemensamma nämnare Jämförelsepris Bråken / och /7 kan förlängas så att de får samma nämnare. Bråken blir då liknämniga. Den minsta gemensamma nämnare blir. Om bråken / och /7 ska adderas fås 7/ + 6/ = / Om kg potatis kostar 8 kr så är jämförelsepriset 8/ = 6 kr/kg Fastighetsakademin 5

54 Kapitel 5a: Formler och ekvationer 5a Formler och ekvationer Fördelen med att använda formler är att de på ett enkelt sätt beskriver hur man alltid kan göra för att lösa ett problem av en viss typ. För att beräkna volymen av ett rätblock använder man formeln: V = b l h där V = volymen b = bredd l = längd h = höjd Exempel : Ett bärlag i ett hus har mått enligt figuren. Det ska vara 0, m högt. Beräkna hur många m betong det går åt till plattan. 5,6 5, Ekvationer används dels för att beskriva samband, dels för att bestämma något vi inte känner. Formler är en typ av ekvation. För att lösa ekvationer krävs att man är noggrann och inte räknar för mycket i huvudet. Det är bättre att skriva ett led i onödan än att räkna fel. Exempel på problemlösning Problemet: En stor kokosboll kostar kr mer än en Mumsmums. Vad kostar en Mums-mums då 5 stora kokosbollar kostar lika mycket som 7 stycken Mums-mums? Förstå problemet Gör upp en plan Genomför planen 4 Se tillbaka Förstå problemet. Vad söks? Vad är givet? Verkar problemet rimligt? Rita en figur om det går. Inför lämpliga beteckningar. Gör upp en plan. Du ska ta reda på vad en Mums-mums kostar. Det är givet att en stor kokosboll kostar kr mer än en Mums-mums och att 7 stycken Mums-mums kostar lika mycket som 5 stora kokosbollar. Problemet verkar rimligt. Pris för Mums-mums: x kr Pris för stor kokosboll: y kr Skriv ut vad som söks: 54 Fastighetsakademin

55 Kapitel 5a: Formler och ekvationer Har du sett detta tidigare? Har du sett eller löst något liknande förut? Kan du dela in i delproblem? Kan du lösa eventuella delproblem? Vilka fakta saknas? Genomför planen. Kontrollera varje steg. Stryk under resultat. Fungerar det ej gör du upp en ny plan. Se tillbaka. Glöm inte detta steg! Är resultatet rimligt? Kan man lösa problemet på ett annat sätt? Är resultatet eller metoden användbar i andra sammanhang? Sökt: x Skriv ner de matematiska sambanden mellan x och y som du känner: y = x + () 7x = 5y () Eftersom vi har två obekanta och två ekvationer bör detta gå att lösa. Sätt in uttrycket för y som finns i ekvation () i ekvation (). 7x = 5y 7x = 5(x + ) 7x = 5x + 0 x = 0 x = 5 Planen verkade fungera, vi har räknat ut att en Mums-mums kostar 5 kr. Det verkar rimligt att en Mums-mums kostar 5 kr. För att vara riktigt säker fortsätter man sina beräkningar. Sätt in resultatet x = 5 i ekvation () Då får man att y = 7 Sätt in x = 5 i VL (vänster led) i ekvation () Då får man 7x = 5 Sätt in y = 7 i HL (höger led) i ekvation () Då får man 5y = 5 Eftersom VL = HL har vi räknat rätt. Svar: En Mums-mums kostar 5 kr. Metoden är alltid användbar då man löser linjära ekvationssystem. Denna metod kallas substitutionsmetoden. Det finns fler sätt att lösa detta problem. Fastighetsakademin 55

56 Kapitel 5a: Formler och ekvationer Förenkling av uttryck Formler En formel är en kompakt skriven räkneregel där man använder bokstavsbeteckningar istället för ord för att beskriva vilka samband som finns mellan olika storheter (med storhet menas egenskaper som t.ex. tid, längd, volym, temperatur, strömstyrka). När man gör beräkningar av olika slag lönar det sig ofta att ställa upp en formel. Det kan gälla pengar, volymer, areor, volymer m.m. Du känner säkert till formler som U = R I (Ohms lag), p V = n R T (Allmänna gaslagen), s = v t (hastighetsberäkningar), W = m g h (lägesenergi). Dessa exempel är hämtade från fysiken men det är inte bara naturvetare och tekniker som använder formler. Även inom ekonomi, samhällsvetenskap, medicin och andra områden använder man sig av formler. Som du ser påminner formler mycket om ekvationer. Det är också så att de regler som gäller då man arbetar med ekvationer gäller även vid arbete med formler. Ekvationer Ekvation betyder likhet. En ekvation består av två led åtskilda av ett likhetstecken. Detta likhetstecken är en helig ko som alltid ska gälla. En ekvation har minst ett tal som är okänt. Vanligtvis kallar man ett okänt tal för x men även andra bokstäver kan användas för det okända talet. Finns flera okända tal får varje okänt tal sin egen beteckning. Två huvudspår finns när det gäller att lösa ekvationer, antingen gissar man lösningen eller så räknar man ut den. Sedan kontrollerar man om det är rätt lösning, är det inte det måste man börja om på nytt. Väljer du att räkna ut ekvationens lösning gäller följande regel: Du måste alltid göra samma sak med hela höger led och hela vänster led! Ordet ekvation betyder likhet. En ekvation är en likhet mellan två matematiska uttryck. De två uttrycken skrivs alltså med ett likhetstecken emellan. Uttrycket som står till vänster om likhetstecknet kallas vänstra ledet (VL) och uttrycket som står till höger om likhetstecknet kallas högra ledet (HL). Exempel : x = x + 5 VL HL likhetstecken Ekvationen ovan betyder att två gånger ett obekant tal minskat med tre är lika mycket som samma obekanta tal (en gång) ökat med fem. I detta fall (och i de flesta fall) används bokstaven x för att beteckna det obekanta talet. Att lösa ekvationen innebär att finna ett värde (eller flera värden) som det obekanta talet kan ha, så att vänstra ledet verkligen blir 56 Fastighetsakademin

57 Kapitel 5a: Formler och ekvationer lika med det högra ledet. Ett sådant värde som löser ekvationen kallas en rot till ekvationen. (Lösningen till ekvationen i exemplet ovan är roten x = 8.) Ibland kan man direkt se lösningen, men om det inte går, så är metoden för att finna ekvationens lösning, att skriva om ekvationen efter hand tills x står ensamt i ena ledet (VL eller HL) och det andra ledet endast består av ett tal. (Om man använt någon annan bokstav än x för att beteckna det obekanta talet, så är det förstås den bokstaven som ska stå ensam i ena ledet.) Metoden innebär att efter det att de båda leden eventuellt förenklats så långt möjligt vart för sig, så behandlas båda lika tills målet är nått. Hela tiden måste likheten mellan leden bevaras. Att båda leden behandlas lika betyder exempelvis att båda leden adderas med lika stora tal eller uttryck, båda leden subtraheras med lika stora tal eller uttryck, båda leden multipliceras med lika stora tal eller uttryck, båda leden divideras med lika stora tal eller uttryck. Exempel : Addition x 5 = 7 x = x = Exempel : Subtraktion x + = x + = x = 0 Exempel 4: Multiplikation x = 7 5 x 5 5 = x 5 5 = 7 5 x = 5 Exempel 5: Division 5x = 5 x = 5 x = x = 5 5 x =,4 / 5 Observera att för att lösningar ska bli så lätta att följa som möjligt, så skriver man de efter hand omskrivna ekvationerna under varandra och med likhetstecknen rakt under varandra. Fastighetsakademin 57

58 Kapitel 5a: Formler och ekvationer Ekvationer av första graden med flera obekanta (linjära ekvationssystem) En ekvation är linjär om den eller de obekanta endast förekommer i första potensen. Vid lösning av ekvationer med flera obekanta kan man använda sig av substitutionsmetoden:. Lös ut en obekant i en av ekvationerna (x eller y).. Sätt in detta uttryck i den andra ekvationen. Exempel : x + y = 5 y = x x + (x) = 5 5x = 5 Exempel : 4x + y = 6x y = 7 6x 7 4x + = y = 6x 7 y = x = Substitution är synonym för insättning. En annan metod är additionsmetoden.. Multiplicera vardera ekvationen med lämpliga tal, så att koefficienterna för x (eller y) blir motsatta tal.. Addera ekvationerna ledvis så att x-termerna (eller y-termerna) försvinner. Exempel : 4x + y = 6x y = 7 8x + 6y = 8x 6y = 46x = y = x = 58 Fastighetsakademin

59 Kapitel 5a: Formler och ekvationer Beräkningar med hjälp av formler och ekvationer. x 5 =. x = 6. x / 5 = 4 4. x + 4 = x x 7 = 5x 7 6. x / + x / 6 = 0 7. (x + ) / = 8. x = (x 5) = En tv såldes med 0 % rabatt för kr. Vilket var priset från början?. Antag att ett tal är 0 mer än ett annat tal. Deras summa är 70. Vilka är talen?. Folkmängden i en stad stiger med 4, % till personer. Hur stor var folkmängden innan?. Lars Evert satsade 0 kr och Conny satsade kr på stryktips. De vann 640 kr. Hur ska de fördela vinsten? 4. En gammal klassisk räknefråga En far är 5 år äldre än sin son nu. Om 5 år är han dubbelt så gammal som sonen. Hur gamla är de i dag? 5. Lös ekvationerna a) x + 4 = 5 b) 4x = x + 8 c) (x + ) = (4 x) 6. Lös ekvationerna x x + a) = 7 b) = 7 x + x 7. Lös ekvationen + = 4 8. Lös ut ur varje formel den bokstav som står inom parantes efter formeln. a) s = v t (t) b) v = v 0 + a t (t) c) R = R 0 ( + a t) (t) d) T = L C (C) e) P T V P T = V (V ) 9. Lös ut p ut likheten b + ap = 5p. Det förutsätts att a inte är lika med Vid en löneförhandling diskuterades två olika alternativ. I Månadslönen höjs med 5,0 % + 0 kr II Månadslönen höjs med 7,4 %. Vid vilken månadslön är de två alternativen likvärdiga?. I en by fanns 6 barn vilket var % av alla invånare i byn. Hur många invånare fanns det i byn? Fastighetsakademin 59

60 Kapitel 5a: Formler och ekvationer. Hastighetsmätare visar i regel för mycket, vilket borde innebära att ingen kör för fort. En hastighetsmätare visade sig visa 6,0 % för mycket. Hur stor var den verkliga hastigheten när mätaren visade 0 km/h?. Du har en saltlösning som är 0 %-ig. Lösningen väger 50 g. Hur mycket salt ska du blanda i lösningen för att den ska bli 40 %-ig? 4. Linus hoppade ut genom fönstret. Hans kompis Enok, som hade varit med på fysiklektionerna visste att hastigheten vid fallet, åtminstone till en början, ges av formeln v = g s m/s där g = 9,8 m/s 7 och s sträckan i meter a) Vilken sluthastighet ger sträckan 6,0 m? b) Vilken fallsträcka ger hastigheten 7, m/s? 5. Ta reda på mgn till, 9 och. 6. Effekten i en resistans kan beräknas med formeln U P = där R P = effekten i watt (W) U = spänningen i volt (V) R = resistansen i ohm ( ) Beräkna resistansen om spänningen är 0 V och effekten 60 W. Lös följande ekvationer: 7. a) x + 4 = 0 b) x 5 = 5 c) x + 0 = 0 8. a) x 8 = 9 b) x + 4 = 5 c) x 9 = 0 9. a) x = 8 b) x 5 = 40 c) 60 = x a) x = b) 0 = 4x c) 6x = 5 x. a) = 9 x b) = 0 4 c) x 5 = x. a) x 7 = 50 b) = 0 5 c) 5x = 0. a) 8x = b) 5 + x = 45 c) x 9 = 00 x 4. a) = b) x = 7 c) 50 = 7 + x 5. a) 5x = 00 b) x + 5 = 00 c) x + 5 = 5 6. a) x x 40 = b),5 = c) 8x = a) x + = 7 b) 4x 6 = 4 c) 5x + 0 = Fastighetsakademin

61 Kapitel 5a: Formler och ekvationer x 8. a) x = 8 b) +5 = 8 x c) 0 = a) 4x 4 = 6 b) x + 7 = 9 c) 5 = 5x a) x 7 = x + b) 7x + 6x = 7 + x 4. a) x + 5 = 0 x b) 9x 4x = a) 4x = x + 80 b) 0 + 5x = 4 + x 4. Bestäm värdet av uttrycket x 4y då a) x = 5 och y = b) x = 6 och y = 44. Anders köpte två chokladaskar för sammanlagt 68 kr. Den ena chokladasken kostade gånger så mycket som den andra. Vad kostade den dyraste chokladasken? Lös följande ekvationer: 45. a) x + 9 = 5 b) 4x = a) x + 8 = 6 b) 5x 0 = 0x 47. a) 4x + 7 = x b) x 8 = x a) = x + x 4 b) 80x 0 = 0 0x 49. Titta på balansvågen. I den ena vågskålen ligger fem lika tunga kulor. I den andra skålen ligger likadana kulor och en säck som väger 5 kg. Hur mycket väger en kula? 50. Kostnaden att hyra ett gästrum beror av antalet dagar enligt K = x, där K = kostnad i kr och x = antal dagar. Hur mycket kostar det att hyra gästrummet a) dagar b) en vecka? Hur många dagar har Vanja hyrt gästrummet om det kostar c) 45 kr d) 605 kr? Lös följande ekvationer: 5. a) x + 5x + 8 = b) 6x + 7 4x + 5 = 6 5. a) = 4x 8 + x + b) x + 4x 4 = 6 5. a) 0x + 0 = 6x 60 b) x x = + 8x Lin och Per är tillsammans 44 år. Lin är 6 år yngre än Per. Hur gammal är Lin? 55. a) x = 7 x b) 5,5 = 0 x 56. a) 9 x + 6 = 5x + b) x + = 9x 8 + x Fastighetsakademin 6

62 Kapitel 5a: Formler och ekvationer 57. a) 4x x = 8 x 4 7x b) x 0x + 4 = 0x Bestäm värdet av uttrycket x 5y då a) x = 5 och y = 7 b) x= och y = 59. Vilka av följande uttryck är lika med x? A: x + x B: x + C: + x D: x + x 60. På en säsong har Dennis och Mats sammanlagt gjort mål i fotboll. Hur många mål gjorde Mats om Dennis gjorde a) mål fler än Mats b) dubbelt så många mål som Mats? Översikt Förenkling av ett uttryck Uttrycket x 5 + x 6 består av fyra termer. När man förenklar uttrycket slås likformiga termer ihop. Det förenklade uttrycket blir 4x. Ett förenklat uttryck har så få termer som möjligt. Värdet av ett uttryck Då x har ett bestämt värde t.ex. x = 5 så har uttrycket 4x värdet 4 5 = 0 = 9 Ekvation Prövning av en ekvation En ekvation är en likhet som innehåller en obekant vilken oftast betecknas med x. 5x = x + 6 5x x = 6 x = 6 x = 6 / x = Man kan pröva om x = är en lösning till ekvationen 5x = x + 6. Man ersätter då x med i ekvationens båda led. 5 = + 6 = 5 vilket stämmer, alltså är x = en lösning. 6 Fastighetsakademin

63 Kapitel 5b: Massa, densitet och tryck 5b Massa, densitet och tryck Massan är en kropps materialinnehåll. Den mäts vanligtvis i gram (g), kilogram (kg) eller ton. Enklaste sättet att ta reda på en kropps massa är att väga den. Densiteten anger massan av en viss volym, vanlig enhet är kg/m. Trä (furu, gran) 500 kg/m Betong 400 kg/m Tegel 500 kg/m (även 00 och 700) Stål kg/m Gips 70 kg/m Lättbetong 600 kg/m Beroende på om vi befinner oss på jorden eller månen kommer vi påverkas av olika storlekar på dragningskraften. En stor planet drar mer i oss än vad en liten himlakropp gör. Ju tyngre massa desto mer trycker föremålet på underlaget. Enheten för kraft är N (newton) eller kn och anger hur mycket kraft ett föremål trycker på underlaget. På jorden påverkas en massa på ett kilo av en kraft som är ungefär 0 N (9,8 N). För att beräkna massan används följande formel: m = V där m = massa V = volym = densiteten Exempel : Beräkna massan av en betongbalkfigur med längden 5 m, höjden 600 mm och bredden 50 mm. Beräkna först balkens volym. V = b l h = 0,5 5 0,6 = 0,75 m Beräkna sedan massan. m = V = 0, = 800 kg Påkänning Kraften är i praktiken utspridd över en yta och detta beräknas genom att fördela kraften över anläggningsytan. Påkänning = tryck = kraft/area. Enheten blir N/m vilket även kallas Pascal (Pa). Pascal är en liten enhet där Pa motsvaras av ungefär trycket av ett vanligt papper på ett bord. Fastighetsakademin 6

64 Kapitel 5b: Massa, densitet och tryck Exempel : Med vilken kraft trycker en tvåplansvilla på bottenplattan? Villans massa är 60 ton och bottenplattans area är 0 m. Kraften = 9, = N Påkänningen = trycket = N / 0 m = 5 5 N / m = 5 5 Pa Beräkningar. Beräkna massan av en betongbalkfigur med längden 0 m, höjden 50 cm och bredden 50 mm.. Beräkna massan av en tegelvägg med längden 0 m, höjden,50 m och cm.. Vad väger en gammal stor gran på ett ungefär? Du måste göra en hel del antaganden för att kunna lösa denna uppgift, t.ex. hur hög granen är och vilken diameter den har. 4. Med vilken kraft trycker en container på marken om den väger 980 kg och bottenarean är 4 m? 5. a) Hur mycket tyngd måste parkeringsplatsen totalt tåla om det ska stå 50 bilar á 00 kg inom en area av 50 m? b) Vad blir trycket per m? 64 Fastighetsakademin

65 Kapitel 6: Procent 6 Procent Ordet procent kommer från latinet och betyder hundradelar. En procentare var förr i världen en person som lånade ut pengar mot oskälig ränta. Procenträkning är mycket viktigt och förekommer överallt i samhället. Som exempel kan man ge valresultat, löneökningar, rabatter, moms m.m. Vi kan börja med en liten sann historia: Det var en gång en mattelärare som träffade en gammal elev. Läraren erinrade sig att eleven nog var den sämsta han haft genom tiderna. Eleven såg välmående ut, ja nästan rik ut i sin fina Mercedes. Vad sysslar du med? frågade läraren. Jag gör affärer, blev svaret. Hur går det? frågade läraren, du var inte världsmästare i matte precis. Jag köper kataloger för kr styck och säljer dem för kr styck och på de procenten klarar jag mig bra, blev svaret. När du har gått igenom procentavsnittet kan du säkert kommentera den här historien kritiskt. En procent och hundra procent En jämförelse I en skolmatch i basket mellan Brobyskolan och Dalbyskolan gjorde Brobyskolan 4 poäng på straffkast medan Dalbyskolan gjorde 7 poäng på straffkast. Vilken skola lyckades bäst med straffkasten? Jämför vi antalet poäng blir svaret Brobyskolan. Men är detta en bra jämförelse? Nej, man bör jämföra lagens poäng i förhållande till hur många straffkast lagen hade. Brobyskolan hade 40 straffkast och Dalbyskolan hade 0 straffkast. 4 7 Vi kan då jämföra: med 40 0 Här är svårt att direkt se vilken andel som är störst. Vi uttrycker därför andelarna i decimalform. 4 Brobyskolan: = 0,85 = 85 hundradelar 40 7 Dalbyskolan: = 0,90 = 90 hundradelar 0 Dalbyskolan lyckas bäst med straffkasten. Som du säkert känner till kallar man en hundradel för en procent. För procent använder vi tecknet %. Brobyskolan gjorde alltså poäng i 85 % av straffkasten och Dalbyskolan i 90 % av straffkasten. Varför procent Procent anger hundradelar och är bra att använda när man vill jämföra andelar. Fastighetsakademin 65

66 Kapitel 6: Procent 00 % = = 0,0 00 % = = Procentform Bråkform Decimalform Det hela är 00 % Exempel : 75 % av figuren är färgad. Hur många procent är ofärgad? Svar: Det hela är 00 %. Hela figuren = 00 %. Den ofärgade delen = 00 % 75 % = 5 %. Exempel : Figuren är delad i fem lika stora Hur stor andel av figuren är delar. färgad? Svara i a) bråkform b) decimalform c) procentform Svar: delar av 5 är färgade a) b) = 0, 4 c) 0,4 = 0,40 = 40 % 5 5 Exempel : Hur stor andel av tårtan är inte uppäten? Svara i bråkform, decimalform och procentform. 5 Svar: = 0,65 = 6,5 % 8 Exempel 4: Skriv i procentform med en decimal. Använd miniräknare. a) / b) / Svar: a) = 0,05 =,5 %, % b) = 0, = 66,666...% 66,7 % 66 Fastighetsakademin

67 Kapitel 6: Procent Vid en omröstning på skolor, A och B, i en stad noterades följande resultat. På skola A röstade 588 av 400 elever för att bibehålla kärnkraft, medan motsvarande siffror på skola B var 774 av 800. På vilken skola var andelen kärnkraftsanhängare störst? Vi undersöker bråken 588/ 400 och 774/ 800 A: 588/ 400 = 0,4 = 4/00 B: 774/ 800 = 0,4 = 4/00 På skola B röstade 4 av 00 för kärnkraft och på skola A 4 av 00. Andelen kärnkraftsanhängare är större på skola B. Procent betyder hundradelar och tecknas %. Resultatet blir att skola B har 4 % och skola A har 4 % kärnkraftsanhängare. % = 0,0, % = 0,0, 7 % = 0,7 o.s.v. En del enkla procenttal kan man se som bråk. 5 % = 0,5 = /4, 50 % = 0,50 = /, 75 % = 0,75 = /4, 00 % =,00 =,,5 % = 0,5 = /8 % = 66 % = % är alltså en hundradel. Det innebär att procentsatsen kan skrivas som procentform eller decimalform. Procenttal Decimaltal Bråktal % 0,0 /00 5 % 0,5 5/00 %, /00 Beräkningar. 4 % av en cirkel är färgad, hur många procent är ofärgad?. Hur stor andel av figuren är färgad? Svara i a) bråkform b) decimalform c) procentform. Hur stor andel av figuren är färgad? Svara i a) bråkform b) decimalform c) procentform Fastighetsakademin 67

68 Kapitel 6: Procent 4. Skriv i procentform med en decimal a) b) c) d) 8 5. Hela figuren är 00% Hur stor andel är skuggad? 00% a) b) 50% 80% % av eleverna i en klass är flickor. Hur många procent är pojkar? 7. Skriv i procentform. a) 0,4 b) 0,0 c) 0,0 d) 0,05 8. Skriv i decimalform. a) 65 % b) 7 % c) 70 % d) 70, % 9. Hur stor del av figuren är färgad? Svara i a) bråkform b) decimalform c) procentform 0. Hur stor del av figurerna är färgade? Svara i a) bråkform b) decimalform c) procentform I II. Rita en rektangel. Skugga sedan 40 % av den.. Skriv i procentform med en decimal. 7 5 a) b) c) 8 7 d) 6. Var är arbetslösheten bland byggnadsarbetare störst, i Persboda eller Västerstad? Antal byggnadsarbetare Persboda Västerstad Totalt Fastighetsakademin

69 Kapitel 6: Procent Arbetslösa 9 65 Undersök och diskutera. Fastighetsakademin 69

70 Kapitel 6: Procent Vanliga problemtyper: De problem man ofta stöter på är av tre grundtyper. Det gäller alltså att fundera ut vilken typ av problem är det jag ska lösa? Exempel : Man frågar efter hur många procent en del är av det hela. Hur många procent är 50 kr av 70 kr? Uträkning: 50/70 = 0,5 =,5 % Svar: 50 kr är,5 % av 70 kr Exempel : Man frågar efter hur mycket delen är när man vet procentsatsen och det hela. Hur mycket är 5 % av 60 kr? Uträkning: 0,5 60 = 94,5 Svar: 5 % av 60 kr är 94,5 kr Exempel : Man frågar efter vad det hela är när man känner till procentsatsen och hur mycket procentsatsen motsvarar. 70 % av en summa är 40 kr. Hur stor är summan? Uträkning: 40/0,7 = 600 Svar: Summan är 600 kr Alternativ av exempel kan se ut så här: En vara säljs med 0 % rabatt för 00 kr. Vad var priset före rabatt? Ett mycket vanligt men felaktigt sätt att beräkna det är följande: 0 % av 00 är 0,0 00 = 40 kr. Priset innan var då = 440 kr. En kontroll visar då att 0 % av 440 kr är 0,0 440 = 88 kr. 440 kr 88 kr = 5 kr d.v.s. det blir INTE 00 kr. Så här kan man göra: 0 % rabatt innebär att man betalar 80 %, 80 % motsvarar 00 kr, % motsvarar 00/80 = 5 kr, 00 % motsvarar 00 5 = 500 kr. Fullt pris är alltså 500 kr. Ett annat sätt är att lösa problemet med en ekvation. Man antar att fullt pris är x kr. Eftersom 80 % av priset är 00 kr blir ekvationen: 0,80 x = 00 x = 00/0,80 x = 500 Fullt pris är 500 kr. 70 Fastighetsakademin

71 Kapitel 6: Procent Procent, promille och ppm Promille betyder tusendelar och betecknas. ppm betyder miljondelar och betecknas ppm (ppm = part per million). Promille används ofta när man talar om koncentrationen ren alkohol i blodet medan ppm används när man talar om t.ex. föroreningar. Förkortningar av typen ppm, ppb och pphm ska undvikas enligt en svensk standard (SS 0 6 8). (ppm, ppb och pphm betyder part per million, part per billion (miljard) resp. part per hundred million.) Att vi fortfarande använder ppm beror på dess vida spridning i arbetslivet. Problemtyper: Hur mycket är 7 % av 800? Hur mycket är 7 av 800? Hur mycket är ppm av 8 kg? I 000 m vatten finns liter av en förorening. Hur många ppm blir det? Procent kan översättas med hundradel(ar). På samma sätt kan promille översättas med tusendel(ar) och ppm med miljondel(ar). Procent, promille och ppm är alltså inte enheter på samma sätt som kg och mil utan står egentligen i stället för en division med hundra, tusen respektive en miljon. När vi har förändringar brukar man tala om ökning eller minskning med ett visst antal procent, men om man beskriver förändringen med en indexserie, så anger indextalet till hur många procent något ökat eller minskat jämfört med basåret (då index är 00). Beräkning av procenttal och promille division Hur många procent (promille, ppm) är 5 g av,000 kg? Lösning: Man dividerar med det man jämför med d.v.s. med det som tänks vara 00 % (i detta fall,000 kg = 000 g). Så här 5 g 000 g = 0,005 = 0,5 % = 5 = ppm På samma sätt, om något ökar från 000 g till 005 g får man 005 g 000 g =,005 = 00,5 % Beräkningar. Skriv i decimalform a) b) 5, c) ppm d) 5 ppm. Beräkna a),5 av b) 5 ppm av I ett land med invånare föddes ett år barn. Hur många promille var det av hela befolkningen? 4. Hur många ppm är g av kg? Fastighetsakademin 7

72 Kapitel 6: Procent 5. Skriv i promilleform a) 0,007 b) 0,00 6 c) 0,0 d) 0, Hur många promille är a) 0,5 ml av 5 ml? b) 75 kr av kr? 7. a) Skriv 8 i decimalform. b) Beräkna 8 av kr. 8. a) Skriv,5 i decimalform. b) Beräkna,5 av kr. 9. Skriv i ppm-form a) 0,000 9 b) 0, Hur många ppm är a) g av 400 kg b) 0,5 m av 5 km?. a) Uttryck 5 ppm i decimalform. b) Beräkna 5 ppm av kg.. promille av folkmängden i Sverige är norrmän. Beräkna antalet, då folkmängden är Vid en kontroll av en bensinpump visade mätaren 50,0 l då man fyllt på 50, l. Hur många promille fel visade mätaren? 4. Ett ägg som väger 60 g innehåller 0,7 mg järn. Bestäm järnhalten i ägget uttryckt i ppm. 5. I en förorenad sjö uppmättes DDT-halter på 400 ppm hos fiskarna. Hur mycket DDT innehåller en gädda på, kg? 6. Högsta tillåtna nitrithalt i köttvaror sänktes år 98 från 00 ppm till 50 ppm. Hur många gram nitrit får,4 kg kött högst innehålla? 7. Födelsetalet i ett land ökade från,5 promille till,5 promille. Ange ökningen i a) promilleenheter b) promille Förändringsfaktorn Förändringsfaktorn,005 betyder en ökning (till 00,5 % och) med 0,5 %. Om vi i stället har en minskning från 000 g till 995 g får man: 995 g 000 g = 0,995 = 99,5 % Förändringsfaktorn 0,995 betyder en minskning (till 99,5% och) med 0,5 %. Exempel : Kalles lön är 400 kr per månad. Den stiger med 8 %. Beräkna den nya lönen. Metod. Startlön: 400 kr Höjning: 0, = 99 kr Ny lön: = 9 kr 7 Fastighetsakademin

73 Kapitel 6: Procent Metod. Gammal lön = 00 % Ökningen 8 % innebär att den nya lönen är 08 % av den gamla lönen. Ny lön =, = 9 kr,08 kallas tillväxtfaktor eller förändringsfaktor. Exempel : En TV kostar kr. Den säljs med 8 % rabatt. Beräkna det nya priset. Metod. Pris = kr Rabatt = 0, = 9 kr Nytt pris = = kr Metod. Man betalar 00 % 8 % = 9 % av priset. 0, = kr d.v.s. samma som i metod men enklare. Här är tillväxtfaktorn 0,9. Exempel : Lisas lön var 000 kr. Den höjdes i tre steg, varje gång med 5 %. Beräkna slutlönen. Metod. Startlön = 000 kr Höjning = 0, = 600 kr Ny lön = = 600 kr Höjning = 0, = 60 kr Ny lön = = 0 kr Höjning = 0,05 0 = 66,50 kr Slutlön = ,50 = 89,50 kr Metod. 000,05,05,05 = 000,05 = 89,50 kr Man kan multiplicera ihop flera tillväxtfaktorer i rad. Exempel 4: Ett pris ökar från 50 kr till 65 kr. Hur många procent är höjningen? Metod. Ökning = = 5 kr. ökning 5 = ursprungspris 50 Metod. det nya priset det gamla priset =0,0 =0 % 65 = =,0 d.v.s. ökning med 0 % 50 Exempel 5: Ett pris sjunker från 75 kr till 60 kr. Hur många procent är det? Fastighetsakademin 7

74 Kapitel 6: Procent Metod. Sänkning = = 5 kr Andel = 5/75 = 0,0 = 0 % Metod. 60/75 = 0,80 = 80 % d.v.s. sjunker med 0% Som du ser kan man förenkla en del problemlösning med hjälp av tillväxtfaktorn, men problemen kan också lösas på andra men ofta mer tidskrävande sätt. Exempel 6: Till vilket belopp växer a) 000 kr på 5 år om räntan är 8 % Lösning: 000,08 5 = 7 kr b) kr insatt vid Jesu födelse år 0 mot % ränta på 996 år. Lösning:,0 996 = kr d.v.s. ungefär 4 miljoner. c) Samma krona som i b) men mot 5 % ränta. Lösning:, =, kr eller utskrivet kr. Här ligger den svenska statsskulden i lä! Procent och procentenheter. Man skiljer mellan procent och procentenheter. När t.ex. riksbanken sänker diskontot från 5,0 % till 4,5 % säger man att sänkningen är 0,5 procentenheter medan sänkningen i procent är 0,5/5 = 0,0 = 0 %. Vid en enkät på en skola svarade 40 % av eleverna att de hade en dator hemma. Året därpå svarade 60 % att de hade en dator. Två ortstidningar redovisade andra årets undersökning på olika sätt. Vilken tidning har redovisat förändringen korrekt? A-Kuriren Antalet datorer i hemmen ökar med 0 % B-Posten Antalet datorer i hemmen ökar med 50 % xxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxxxxxx Om ett pris på 40 kr ökar till 60 kr kan vi säga att ökningen är 0 kr eller ökningen är 0/40 = 0,5 = 50 % En prisändring kan vi uttrycka i kronor eller procent. På ett liknande sätt kan vi uttrycka förändringar av en procentsats. Om en procentsats ökar från 40 % till 60 % säger vi att ökningen är 0 procentenheter eller ökningen är 0/40 = 0,5 = 50 % 74 Fastighetsakademin

75 Kapitel 6: Procent Du ser att B-Posten ger korrekt information. A-Kuriren skulle ha skrivit Antalet datorer i hemmen ökar med 0 procentenheter. Exempel : Banken sänkte räntesatsen från 5 % till 4,4 %. Hur stor var räntesänkningen i a) procentenheter b) procent? Uträkning: a) Sänkning från 5 % till 4,4 %. Sänkningen var 0,6 på 5. Sänkningen var 0,6 procentenheter. sänkningen 0,6 b) = = 0, = % gamla värdet 5 Svar: a) 0,6 procentenheter b) % Beräkningar. Räntesatsen på ett bankkonto är 4 %. Vad blir den nya räntesatsen om den a) höjs med procentenhet? b) sänks med 0,5 procentenheter?. Med hur många procentenheter har räntesatsen ändrats om den ändras a) från 7 % till 0 %? b) från 4,5 % till %?. Arbetslösheten ökade under ett år från 8 % till 0 %. Hur stor var ökningen i a) procentenheter? b) procent? 4. Räntesatsen på ett lån är %. Vilken blir den nya räntesatsen om den a) höjs med procentenheter? b) sänks med procentenhet? 5. Skatten höjdes för vissa inkomster från 50 % till 55 %. Hur många procentenheter höjdes skatten? 6. En försäljares provision ändras vid en löneförhandling från 5 % till 0 %. a) Hur många procentenheter ökar provisionen? ökningen b) Beräkna ursprunglig provision c) Hur många procent ökar provisionen? 7. Marknadsandelen för ett bilmärke ökade från 0 % till %. Hur stor var ökningen i a) procentenheter? b) procent? 8. En butik lämnade ett år 5 % i återbäring. Året därpå sänktes återbäringen till 4 %. Hur stor var sänkningen i a) procentenheter? b) procent? 9. Födelsetalet i ett land ökade med 0, procentenheter till, %. a) Vilket var födelseantalet före ökningen? b) Hur stor var ökningen i procent? Fastighetsakademin 75

76 Kapitel 6: Procent 0. Enligt en väljarundersökning minskade moderaternas andel av väljarkåren från 0 % till 7 %. Två tv-kanaler sa så här TV-: Moderaterna minskar med 0 % Q-TV: Moderaterna minskar med % Vilken TV-kanal presenterar nyheten korrekt? Förklara. 76 Fastighetsakademin

77 Kapitel 6: Procent Beräkning av procentsatsen och nya värdet Problem: Beräkning av procentsatsen Vi vet gamla värdet och nya värdet. Vi vill veta förändringen i procent. Exempel : Pia fick vid en utförsäljning köpa en moped som kostar kr för 4 00 kr. Hur många procents rabatt fick Pia?. Rabatten i kr = kr 4 00 kr = 400 kr. Rabatten i procent = rabatten 400 = = 0,5 = 5 % gamla priset Svar: Pia fick 5 % rabatt. När du ska beräkna hur stor en förändring är i procent ska du ställa upp: ökningen gamla värdet eller min skningen gamla värdet Problem Beräkning av nya värdet Vi vet gamla värdet och förändringen i procent. Vi vill veta nya värdet. Exempel : En CD-spelare kostar 700 kr. Vad kostar den om priset höjs med 5 %?. Gamla priset = 700 kr. Ökning i kr = 5 % av 700 kr = 0,5 700 kr = 05 kr. Nya priset = 700 kr + 05 kr = 805 kr Svar: CD-spelaren kostar 805 kr efter prisökningen. När du ska beräkna det nya värdet vid en förändring ska du ställa upp: nya värdet = gamla värdet + ökningen nya värdet = gamla värdet minskningen eller Beräkningar. En CD-skiva som kostar 50 kr säljs för 5 kr. a) Hur stor är rabatten i kronor? b) Hur stor är rabatten i procent? Fastighetsakademin 77

78 Kapitel 6: Procent. Ett månadskort för buss kostade 50 kr. Man beslutade att höja priset med %. a) Hur stor blev höjningen i kronor? b) Vad kostade månadskortet efter höjningen?. En bilist ökar hastigheten från 50 km/h till 70 km/h. Med hur många procent ökar den? 4. En person som väger 80 kg bantar bort 0 % av vikten. Vad väger han sedan? 5. Vid en längdhoppstävling ökade Mattias sitt personliga rekord från 600 cm till 60 cm. Bestäm a) ökningen i cm, b) ökningen i procent. 6. En jacka för 400 kr säljs med 0 % rabatt. a) Bestäm rabatten i kronor. b) Bestäm det nya priset. 7. Ett flygplans hastighet sänks från 750 km/h till 600 km/h. Med hur många procent sjunker farten? 8. Folkmängden i en kommun är Hur stor blir den om den a) ökar med %? b) minskar med %? 9. Beräkna den procentuella ändringen när ett pris ändras a) från 00 kr till 50 kr, b) från 50 kr till 00 kr. 0. För en begagnad bil betalar Martin kr. Värdeminskningen per år uppskattas till 0 %. Vad bör då bilen vara värd ett år senare?. Matilda sätter in 000 kr på ett konto i en bank. Banken ger,5 % i årsränta. Hur mycket har Matilda på kontot efter år?. Skriv text till en procentuppgift som ger beräkningen a) ,5 60 b) 800 0, Vilken procentsats? Tre basproblem procentsatsen delen det hela 0% av 00 kr = 60 kr Vi söker procentsatsen Exempel : Hur många procent är 60 kr av 00 kr? 78 Fastighetsakademin

79 Kapitel 6: Procent delen = det hela Svar: 0 % = 0,0 = 0 % Vi söker delen Exempel : Hur mycket är 0 % av 00 kr? % av 00 kr är /00 av 00 kr = kr Men 0,0 00 kr = kr, d.v.s. % av 00 kr = 0,0 00 kr = kr, och 0 % av 00 kr = 0 0,0 00 kr = 0,0 00 kr = 60 kr Vi kan direkt skriva 0 % av 00 kr = 0,0 00 kr = 60 kr Svar: 60 kr 0 0,0 = Överför till decimalfor Vi söker det hela Exempel : 0 % av en summa är 60 kr. Hur stor är summan? 0 % av en summa är 60 kr. % av summan är 60/0 kr = kr 00 % av summan är 00 kr = 00 kr Svar: 00 kr Beräkningar. Hur många procent är a) 9 g av 45 g b) ton av 55 ton?. Beräkna a) 5 % av 40 kr b) 6 % av 850 kr. a) % av ett tal är 0. Vilket är talet? b) 5 % av en sträcka är m. Hur lång är sträckan? 4. a) Hur många procent är 60 kr av 000 kr? b) Hur mycket är 5 % av kr? c) 6 % av ett tal är 8. Vilket är talet? 5. a) Hur mycket är 8,5 % av km? b) 9 % av ett tal är 6. Vilket är talet? c) Hur många procent är 405 m av m? 6. Hur många procent är 7 kr av 88 kr? a) Hur många kronor är delen? Fastighetsakademin 79

80 Kapitel 6: Procent b) Hur många kronor är det hela? delen c) Beräkna och besvara frågan. det hela 7. Hur många procent är a) av 5 b) av c) 5 av 5 d) 7 av 600? 8. Hur mycket är % av 750 kr? a) Skriv % i decimalform. b) Ställ upp hur man beräknar % av 750 kr. c) Gör beräkningen och besvara frågan 9. Beräkna a) 0 % av 40 b) 5 % av 400 c) 6 % av d) % av % av ett tal är 750 a) Vad är % av talet? b) Vad är 00 % av talet? c) Vilket är alltså talet?. a) % av ett tal är 60. Vilket är talet? b) % av ett tal är 60. Vilket är talet? c) 40 % av ett tal är 60. Vilket är talet?. Hur många procent är a) 70 kr av 50 kr? b) 70 g av 875 g?. Beräkna a) 6 % av 75 miljoner b) 75 % av 4 m 4. a) Hur många procent är av 60? b) 8 % av ett tal är 4. Vilket är talet? c) Hur mycket är 0 % av 50? 5. a) Hur mycket är 90 % av 740? b) Hur många procent är 4 av 56? c) 9 % av ett tal är 6. Vilket är talet? 6. Beräkna a) 4 % av 50 kr b) 4,4 % av 500 mm c) 6, % av 400 m d) 8,5 % av 00 l 7. Hur många procent är a) 408 kg av 000 kg? b) 5 9 personer av personer? 8. a) % av en sträcka är 40 m. Hur lång är sträckan? b),5 % av ett kapital är kr. Hur stort är kapitalet? 9. a) Hur många procent är 484 g av 800 g? b) Beräkna 4, % av 000 km. c) 8,5 % av ett kapital är 45 kr. Hur stort är kapitalet? 0. Pelle räknar ut 0,5 av 90 såhär: 0, 90 = 9 Vad gör han för fel? 80 Fastighetsakademin

81 Kapitel 6: Procent. Hur vet du vilket av bråken som är ungefär lika med a) 00 % b) 50 % c) 5 % d) 0 %? Fastighetsakademin 8

82 Kapitel 6: Procent Tillämpningar Vi söker procentsatsen Exempel : Vid en trafikkontroll körde av 5 bilar för fort. Hur många procent var det? Svara med hela procent. Miniräknar Avrunda till delen = = 0, ,7 = 7 % hela 5 Kontroll: 7 % av de 5 bilarna körde för fort = 0,7 5 =,69 Svar: 7 % av bilarna körde för fort. Vi söker delen Exempel : Paola har 000 kr på ett bankkonto där räntesatsen är 4 %. Vad får hon i årsränta? Årsräntan = 4 % av 000 kr = 0, kr = 480 kr. årsräntan 480 Kontroll: = = 0,04 = 4 % kapitalet 000 Svar: Årsräntan är 480 kr. Vi söker det hela Exempel : Vid en bokrea sänktes alla priser med 40 %. På en bok sänktes priset med 80 kr. Vad hade boken kostat? 40 % av det gamla priset = 80 kr 80 % av det gamla priset = kr = kr % av det gamla priset = 00 kr = 00 kr Kontroll: 40 % av 00 kr = 0,40 00 kr = 80 kr Svar: Boken hade kostat 00 kr. 8 Fastighetsakademin

83 Kapitel 6: Procent Beräkningar. I en skola var 468 av 040 elever flickor. Hur många procent av eleverna var flickor?. Emma har kr på ett bankkonto där räntesatsen är %. Vad får hon i årsränta?. Mattias fick 84 kr för årets bensinkvitton. Hur mycket har han köpt för om återbäringen är %? 4. Årsräntan för ett lån på kr är 5 50 kr. Beräkna räntesatsen. 5. Vid en kvalitetskontroll av olika typer av skruvar var 0,67 % defekta. Hur många var defekta om man testade 00 st? 6. Pernilla fick 50 kr i årsränta på ett bankkonto med kr. Vilken var räntesatsen? a) Vilken årsränta fick Pernilla? b) Vilket kapital hade hon? årsräntan c) Beräkna kapitalet d) Besvara frågan. 7. Vid en realisation kan Erik köpa en freestyle med 0 % rabatt. Ordinarie pris var 550 kr. Hur stor var rabatten i kronor? a) Skriv 0 % i decimalform. b) Ställ upp hur du kan beräkna 0 % av 550 kr c) Utför beräkningen och svara på frågan. 8. Petras månadslön höjs med 4 %. Den ökar då med 540 kr. Hur stor var månadslönen före löneökningen? a) Hur mycket är 4 % av månadslönen? b) Hur mycket är % av månadslönen? c) Hur mycket är 00 % av månadslönen? d) Vilken var alltså månadslönen före löneökningen? 9. 6 personer sökte en kurs. Man tog in 9 st. Hur många procent kom in på kursen? 0. Under en realisation sänks priserna med 5 %. Bestäm rabatten i kronor om ordinarie priset är 840 kr.. Jens hoppade 55 cm i höjd i sitt första hopp. I andra hoppet ökade han höjden med 8 cm. Hur stor var ökningen i procent? Svara med en decimal.. Annika har ett lån där räntesatsen är %. Hur stort är lånet då räntesatsen är 5 50 kr?. Skriv text till en procentuppgift som ger beräkningen a) 0, = 70 b) 0, = 0 4. Skriv i procentform a),08 b),5 c) 8/5 Fastighetsakademin 8

84 Kapitel 6: Procent 5. Skriv i decimalform a) 5 % b) 70 % c) 406 % 6. År 977 kostade en biobiljett 5 kr. I början av år 998 betalade Lena 75 kr för en biobiljett på Filmstaden. Hur många procent är 75 kr av 5 kr? 7. Beräkna 08 % av 400 kr. 8. Skriv i procentform a),09 b),85 c) 5/4 9. Skriv i decimalform a) 0 % b) 40 % c) 545 % 0. Hur många procent är 75 kr av 40 kr?. Beräkna 40 % av 0 kr.. Skriv i procentform a) 0,5 b),5 c),5 d),85. Skriv i decimalform a) 76 % b) 76 % c) 40 % d) 48 % 4. Skriv i procentform a) 4/5 b) 5/4 c) 9/4 d) 6/5 5. En filmrulle kostade 8 kr år 974 och 6 kr år 994. Hur många procent är 6 kr av 8 kr? Pr iset994 a) Teckna b) Beräkna kvoten och besvara frågan. Pr iset Beräkna 5 % av kr. a) Skriv 5 % i decimalform b) Teckna den beräkning du ska göra. c) Gör beräkningen och besvara frågan. 7. Beräkna 08 % av 000 m. a) Skriv 08 % i decimalform b) Teckna den beräkning du ska göra. c) Gör beräkningen och besvara frågan. 8. Hur många procent är a) 0 kr av 5 kr b) 5 kr av 0 kr? 9. Beräkna a) 08 % av 000 kr b) 0 % av 80 kr 0. Längden av ett par slalomskidor bör vara 5 % av skidåkarens längd. Hur långa - skidor bör a) Filip ha som är 80 cm lång b) Emma ha som är 60 cm lång? 84 Fastighetsakademin

85 Kapitel 6: Procent. Vikt: 08 gram Fett: 5 gram. Nio gram mer än vad de flesta behöver totalt på en dag. Hur många procent av dagsbehovet fett får man då man äter detta?. 50 % av 000 kr är A: 000 kr, B: 500 kr, C: 000 kr? Kan du utan att räkna säga vilket svar som är rätt? Förklara!. Ordna följande tal i storleksordning med det minsta först.,05 50 % /0 7/5 4. Bestäm förändringsfaktorn. Gamla värdet Nya värdet a) b) 0 4 c) 80 7 d) Hur stor är förändringen i procent? Gamla värdet Nya värdet a) 8 5 b) 5 8 Beräkna procentsatsen med en decimal om inget annat sägs. 6. Hur stor är förändringen i procent då förändringsfaktorn är a),0 b),0 c),08 d),80? 7. Hur stor är förändringen i procent då förändringsfaktorn är a) 0,95 b) 0,90 c) 0,85 d) 0,60? 8. Hur stor är förändringen i procent då förändringsfaktorn är a) 0,96 b), c),65 d) 0,49? 9. Ett pris ökar från 48 kr till 60 kr. a) Bestäm förändringsfaktorn. b) Hur stor är ökningen i procent? 40. Ett pris minskar från 60 kr till 5 kr. a) Bestäm förändringsfaktorn. b) Hur stor är minskningen i procent? 4. Vid en realisation sänktes priset på ett par jeans från 480 kr till 84 kr. a) Bestäm förändringsfaktorn. b) Bestäm prissänkningen i procent. Fastighetsakademin 85

86 Kapitel 6: Procent 4. En firmas omsättning sjönk från kr till kr. a) Bestäm förändringsfaktorn. b) Bestäm minskningen i procent. 4. Tolka följande förändringsfaktorer som en procentuell ökning eller minskning. a),5 b) 0,875 c),04 d) 0, Den tillåtna blyhalten i bensin har sänkts från 0,40 mg/l till 0,5 mg/l. Med hur många procent sänktes värdet? 45. Priset på en vara steg från 400 kr till 950 kr. Bestäm prishöjningen i procent. 46. a) Bob Beamon höjde 968 världsrekordet i längdhopp från 85 cm till 890 cm. Ange höjningen i procent. b) År 99 höjde Mike Powell rekordet till 895 cm. Hur stor var denna höjning i procent? 86 Fastighetsakademin

87 Kapitel 6: Procent Översikt Hur mycket är alltsammans om 5 % av det är 45 m? 5 % av alltihop är 45 m 45 m % av alltihop är 5 45 m (00 % av) alltihop är 00 = 00 m 5 En kvot av två storheter eller tal anges ibland i procentform, särskilt då man vill ange storleksförhållanden t.ex. vid en förändring. Procenttecknet (%) utläses procent och betyder hundradelar. I procenträkning arbetar man med tre grundbegrepp: Det totala: hela mängden, hela beloppet o.s.v. Det totala svarar mot en hel eller 00/00 eller 00 %. Procentsatsen: %, 7 %,,5 % o.s.v. Procentsatsen anger, hur många hundradelar man ska ta av det totala. % anger, att man ska ta hundradelar o.s.v. Procentdelen: en del av det totala (mängden, beloppet o.s.v.). Talet före procenttecknet anger antalet procentenheter. Storhetsförhållanden kan även anges i promille, som tecknas och betyder tusendelar. En storhet ändras med ett visst procenttal. Man kan då beräkna det nya värdet genom att multiplicera det ursprungliga värdet med en tillväxtfaktor (förändringsfaktor). T.ex. 0 plus 0 % av 0 blir 0, = 44. Vid ökning är denna faktor större än, vid minskning är mindre än. Procent 7 % = 7/00 = 0,007 procentform, bråkform, decimalform Det hela = = 00 % Hälften = / = 50 % En fjärdedel = /4 = 5 % Vi söker procentsatsen a) procentsatsen = delen/hela Om elever av 5 är sjuka, så är /5 = 0, = % av eleverna sjuka. b) procentsatsen = förändringen /värdet från början Vi vet procentsatsen Antag att priset för en vara ökar från 0 kr till 6 kr. Förändringen är då 6 kr. Ökning i % = 6/0 = 0,0 = 0 %. 5 % av 400 kr = 0,5 400 = 00 kr eller /4 av 400 kr = 00 kr Fastighetsakademin 87

88 Kapitel 6: Procent Ränta Ränta = kapital räntesats tid där tiden är uttryckt i år. Räntan under en månad = / av årsräntan 88 Fastighetsakademin

89 Kapitel 7: Index 7 Index Index används i två betydelser inom matematiken. Dels är det beteckningen för det lilla eller de små tal som står nertill till höger om en bokstavsbeteckning t.ex. som de tal som används för att numrera rötterna när man anger lösningen till en ekvation med flera rötter (x, x o.s.v.), dels avses de indextal i en indexserie som används för att visa hur priser, intäkter eller kostnader förändras med tiden. Det är index i denna senare betydelse som detta handlar om. När vi har förändringar brukar man tala om ökning eller minskning med ett visst antal procent, men om man beskriver förändringen med en indexserie, så anger indextalet till hur många procent något ökat eller minskat jämfört med basåret (då index är 00). Något procenttecken skrivs aldrig efter indextalet. En typisk indexserie kan se ut så här: (I detta fall är också de priser som ligger till grund för indexserien angivna.) År (basår) Index Pris,50 kr 5,75 kr 5,00 kr 8,00 kr Priset år 970 (,50 kr) är enligt indextalet 86 % av priset vid basåret, år 980, (5,75 kr) (86 % fås genom att ta,50/5,75) och därmed är priset år % 86 % = 4 % lägre än basårspriset. Priset år 990 (5,00 kr) är på samma sätt (5,00/5,75) 59 % av priset vid basåret och därmed är det 59 % 00 % = 59 % högre än basårspriset och priset år 000 (8,00 kr) är 78 % av priset vid basåret och alltså 78 % 00 % = 78 % högre än basårspriset. (Observera att detta inte innebär att den procentuella ökningen från år 990 till år 000 skulle kunna beräknas genom att subtrahera 78 med 59, utan den måste beräknas på vanligt sätt med hjälp av förändringsfaktorn 78/59 =, eller ännu hellre 8,00/5,00 =, d.v.s. ökningen är %.) Fastighetsakademin 89

90 Kapitel 7: Index Konsumentindex Det i Sverige mest kända indextalet är säkert KPI Konsumentprisindex. KPI bygger inte på en varas prisutveckling utan på flera varors prisutveckling. Varje månad räknas indextal fram för olika varugrupper och dessa indextal vägs sedan samman till medelvärdet KPI. Vägningstalen (vikterna) sätts med hänsyn tagen till de olika varugruppernas tyngd i ett normalhushålls budget. KPI används som ett mått på inflationen och för att styra storleken på olika avgifter till och ersättningar och bidrag från exempelvis samhället och försäkringar. Tidigare användes 949 som basår för KPI. Numera är basåret 980. För att illustrera principen vid beräkning av vägda indextal följer här ett förenklat exempel. I exemplet antas normalpersonen år (basåret) leva på,0 kg bananer och,0 liter mjölk om dagen. Bananerna kostade då 0 kr/kg och mjölken 5 kr/l. År lever han på,5 kg bananer och 0,5 liter mjölk om dagen och priserna har ändrats till kr/kg för bananerna och 7 kr/l för mjölken. År (basår) Kilopris för bananer 0 Index (avseende bananpriset) 00 0 Kostnad per dag för bananer 0 = 0 kr,5 = 7,50 kr Literpris för mjölk 5 7 Index (avseende mjölkpriset) Kostnad per dag för mjölk 5 = 5 kr 0,5 7 =,50 kr Sammanvägt index = ,5 0 +,5 40,4 7,5 +,5 Resultatet kan tyckas inte helt rättvisande. Om man i stället hade räknat på totalkostnaden direkt, hade man ju fått ett indextal på 4 (/5), som ju är klart mer än. Vanligen är dock förändringarna i konsumtionsmönstret mindre än i exemplet ovan, och då blir det inte så stor skillnad. 90 Fastighetsakademin

91 Kapitel 8: Statistik och diagram 8 Statistik och diagram Lägesmått Exempel : Vid en undersökning i en klass på 5 elever noterades för varje elev antalet syskon. Resultatet blev:,,, 4, 0, 0,,,,,,,,, 5. Man kan beskriva materialet med olika mått.. Medelvärde: Betecknas med x. Medelvärdet = summan avallaobservationer antalet observationer 0 Här blir x = =, 5 d.v.s. medelvärdet är syskon/elev.. Typvärde: Betecknas med T. Typvärdet = Den vanligaste observationen. Här blir T = (5 st ettor). Typvärdet är.. Median: Betecknas med Md. Median = värdet i mitten när man ordnat materialet i storleksordning 0,0,,,,,,,,,,,,4,5 7 st Median 7 st Md = d.v.s. medianen är. Medelvärdet är det vanligaste lägesmåttet. Medianen används när det förekommer ett litet antal kraftigt avvikande värden i materialet, t.ex. löner i ett företag. Observera att medianen räknas ut på olika sätt beroende på om man har ett jämt eller udda antal observationer. Exempel : Beräkna medelvärde, median och typvärde för materialet nedan. a), 7, 6, 8, 5, 0, 8 b),,, 5, 9, 7, 7, 4 a) Ordna materialet i storleksordning:, 5, 6, 7, 8, 8, x = = 6,5 7 7 T = 8, Md = 7 b) Storleksordning:,,, 4, 5, 7, 7, 9 8 x = = 8 4, T = 7, Md = = 4, 5 Fastighetsakademin 9

92 Kapitel 8: Statistik och diagram Exempel : I en klass fanns 0 pojkar. Deras skonummer var i tur och ordning 4, 4, 44, 46, 4, 4, 4, 4, 4, 9. Vilket lägesmått skulle du svara med? Här är nog typvärdet eller möjligen medianen det bästa måttet. T = 4 och Md = 4. Exempel 4: Bestäm sju tal med medianen 0 och medelvärdet. Det finns många lösningar på problemet. Talens summa är 7 = ligger i mitten. Man kan tänka sig talen, 7, 9, 0,, 6, 7. Exempel 5: I en klass med 0 elever blev medelvärdet för klassen 8,0 poäng. De 0 pojkarna hade medelvärdet 6 poäng. Beräkna flickornas medelvärde. Medod. Poängsumman för hela klassen är 0 8 = 540 poäng. Pojkarna har 0 6 = 0 poäng. Flickorna har då = 0 poäng, vilket ger medelvärdet 0 / 0 = poäng. Metod. Antag att flickornas medelvärde är x poäng x Ekv. = x = 540 0x = 0 x = Svar: poäng Mycket statistik redovisas i form av tabeller eller diagram. Detta gäller alla ämnesområden. Därför är det viktigt att kunna avläsa både tabeller och diagram. Tabeller Exempel : Hur stort är förädlingsvärdet för den kemiska industrin? Näringsgren Arbetsställen Förädlingsvärde, 000 kr Livsmedel m.m Textil m.m Trävaru Massa m.m Kemisk industri Järnverk m.m Verkstadsindustri Fastighetsakademin

93 Kapitel 8: Statistik och diagram Svar: Förädlingsvärdet är kr Diagram Exempel : Hur många bilar av märket Opel nyregistrerades under 994? Antal Nyregistreringar Svar: Drygt Opelbilar nyregistrerades Olika typer av diagram Det finns flera olika diagramtyper som förekommer ofta. Några av de vanligaste är cirkeldiagram, stapeldiagram, stolpdiagram och histogram. Vilket man använder beror på vilken typ av data och vad man vill visa med statistiken. Stolpdiagram Ett stolpdiagram visar frekvenserna av rangordningsbara observationer (d.v.s. tal) som stolpar eller vertikala streck. Exempel : När tolv matcher var spelade i en bandyserie var antalet matcher med visst antal mål fördelade enligt vidstående diagram. Antal matcher 4 Vi ser till exempel att det blev tre mål gjorda i två av de spelade matcherna Antal gjorda mål Stolpdiagram används när man har några få heltalsvärden. Histogram Ett histogram visar frekvensen av observationer av en rangordningsbar storhet inom ett intervall. Att dela in observationerna i intervall kallas för att klassindela materialet. Alla intervall ska vara lika stora. Histogrammet nedan visar hur många vedträn, med en längd inom ett givet intervall, som det fanns i en vedtrave. Histogramet visar t.ex. att det var 5 vedträn i längder mellan 6 och 7 cm. Antal vedtr än längd (cm ) Fastighetsakademin 9

94 Kapitel 8: Statistik och diagram Histogram används när man har: Stora material Stor spridning Låga frekvenser på enskilda observationer 94 Fastighetsakademin

95 Kapitel 8: Statistik och diagram Exempel på material: Vid en fartkontroll (max 50 km/h) uppmätte polisen farten hos 50 bilister. Resultatet blev: Största värde = 59 (Tant Hedvigs sonson, 8) Minsta värde = 5 (Tant Hedvig, 8) Differens 59 5 = 54 Man bör dela in materialet i klasser. Antalet klasser kan variera från 5 till 5. Klasserna bör vara lika breda. Antag att klassbredden är 5. Antalet klasser blir då. Då kan vi välja klasserna (5 0), (0 5), (5 0) o.s.v. Här får man ett problem. Var ligger t.ex. 0? Man kan bestämma sig för att 0 hör till antingen 5 0 eller till 0 5. Om man låter 0 höra till en speciell klass måste det framgå klart och tydligt hur man ska placera 0. Ett sätt är följande: Klass 5 x < 0 0 x < 5 5 x < 0 0 x < 5 5 x < 0 0 x < 5 5 x < x < x < x < x < 60 Frekven s Klassmitt 7,5,5 7,5,5 7,5,5 7,5 4,5 47,5 5,5 57,5 Frekvens km/h Klassmitten använder man när man vill beräkna ett medelvärde för materialet. Räknar man med klassmitterna blir medelvärdet 7,8 och på hela materialet blir medelvärdet 7,. Stapeldiagram För att relatera frekvenser till observationer som inte är rangordningsbara t.ex. egenskaper, platser, företeelser etc. kan stapeldiagram användas. Stapeldiagrammet till höger visar resultatet från ett prov i MaA. Vi ser bland annat att elever fick betyget väl godkänt. Fastighetsakademin 95

96 Kapitel 8: Statistik och diagram Värdet på observationen är ord. I detta fall kan de räknas upp i någon sorts värderingsordning, Icke Godkänd, Godkänd och så vidare men det behöver inte vara så. Exempel: I ett kvarter som omfattar 0 hus noterades varje hus färg. Färg Antal Röd 7 Gul 4 Vit 6 Grön Antal hus Röd Gul Vit Grön Cirkeldiagram Ett cirkeldiagram är bra när man vill visa relativ frekvens. Storleken på varje cirkelsektor visar andelen varje post utgör av hela materialet. Diagrammet nedan visar t.ex. hur stor andel av den totala konsumtionen av bananer som befolkningen i Svealand, Götaland respektive Norrland står för. (Diagrammet är fingerat) Vi använder oss av samma material som i exemplet ovan. Här gäller det att räkna ut hur stor tårtbit varje färg får. Observera att varv = 60 grader. En lämplig tabell är följande: Färg Antal Andel Vinkel Röd 7 7/0=0,5 0,5 60 = 6 Gul 4 4/0=0,0 0,0 60 = 7 Vit 6 6/0=0,0 0,0 60 = 08 Grön /0=0,5 0,5 60 = 54 Vinkelsumman bör bli ungefär 60. Avrunda inte förrän du kommer till vinkel. Med hjälp av passare och/eller bara gradskiva ritar man följande diagram. 96 Fastighetsakademin

97 Kapitel 8: Statistik och diagram Linjediagram Används när man vill illustrera t.ex. morgontemperaturen i Östersund under en vecka. Missbruk av statistik Missbruk av statistik är tyvärr väldigt vanligt. Man kapar diagram för att försöka påskina att det är stora skillnader mellan material när skillnaden är försumbar. Exempel : Vid ett tillfälle publicerade LT ett diagram där det framgick att LT var mycket större än lokalkonkurenten ÖP. Det såg ut ungefär så här. Man kan lätt få intrycket att LT har gånger så stor upplaga som ÖP, när det i själva verket rörde sig om ett fåtal exemplar, typ LT ex ÖP ex. Ett annat sätt att illustrera är att låta en -dimensionell figur se ut som en -dimensionell. Exempel : Vi kan anta att Pripps säljer dubbelt så mycket som Spendrups av en viss ölsort. Diagrammet kan då se ut så här. Här är höjd och bredd fördubblad men volymen av Prippsburken blir inte dubbelt så stor som Spendrupsburken för volymen blir x x = 8 gånger större. Fastighetsakademin 97

98 Kapitel 8: Statistik och diagram När du läser i dagstidningen och ser diagram så var uppmärksam på hur de är ritade. Det är lätt att bli lurad. Beräkningar. En enkät besvarades av 60 personer. Cirkeldiagrammet visar hur svaren fördelar sig. a) Hur många procent svarade Vet ej? b) Hur många personer svarade Vet ej? Ja 45 % Nej 0 % Vet ej. En resebyrå visar i cirkeldiagrammet hur deras charterresenärer väljer resmål. a) Vilket resmål är populärast? b) Vilket resmål är minst populärt? c) Vilket resmål väljer ungefär 5 % av resenärerna? d) Hur många procent av de sålda resorna går till Spanien eller Portugal? Grekland Frankrike Italien Portugal Spanien. En stickprovsundersökning visade att storlekarna för T- tröjor i en skola fördelade sig enligt cirkeldiagrammet. Man beställer 800 skoltröjor. Ungefär hur många bör vara a) M b) L c) S d) XL? 4. Bilarnas hastighet vid en trafikkontroll redovisas i ett histogram. Du ser att 5 bilar hade en hastighet i intervallet km/h. Hur många hade en hastighet a) i intervallet km/h b) större än 90 km/h? Antal bilar Hastighet km/h 5. På ett företag med flextid mellan kl och kl på morgonen undersökte man en dag hur dags de anställda kom till arbetet. Resultatet visas i histogrammet. a) Hur många av de anställda kom före kl. 8.5? b) Hur många arbetade den dagen? c) Hur många procent av de anställda kom före kl. 8.5? Antal Ankomst vid flextid Tid kl 8.00 kl 8.0 kl Fastighetsakademin

99 Kapitel 8: Statistik och diagram d) Hur många procent av de anställda kom efter kl. 8.0? Fastighetsakademin 99

100 Kapitel 8: Statistik och diagram 6. Linjediagrammet visar medeltemperaturen under årets månader för Jokkmokk och Visby. a) Vilken månad har högst medeltemperatur i Jokkmokk och i Visby? b) Vilken månad har lägst medeltemperatur i Jokkmokk och i Visby? c) Vilken månad är temperaturskillnaden mellan orterna störst/minst? d) Vilka månader har samma medeltemperatur i Visby/Jokkmokk? e) Vilken är den största ökningen i medeltemperatur från en månad till nästa på de båda orterna? Temperatur C 0 Medeltemperatur Visby Jokkmokk 0 J F M A M J J A S O N D 7. Av diagrammet ser du att det i grupp a går 0 pojkar. a) Hur många flickor går det i grupp a? b) Hur många flickor går det i grupp b? c) Hur många pojkar går det i grupp b? d) Är det lika många pojkar som flickor i någon grupp? e) I vilka grupper går det fler pojkar än flickor? Antal Grupp Antal elever som läser Kurs A Pojkar Flickor a b c d 8. Diagrammet visar resultaten för Petra och Erik på fyra prov i matematik. Erik hade 0 poäng på prov. a) Hur många poäng hade Petra på prov? b) Hade de lika många poäng på något prov? c) På vilka prov hade Petra fler poäng än Erik? d) Hur många fler poäng hade Petra än Erik på prov? Poäng Resultat på prov Erik Petra Prov Prov Prov Prov 4 00 Fastighetsakademin

101 Kapitel 8: Statistik och diagram 9. Fanns det fler Saab än Volvo på parkeringen på a) måndagen b) tisdagen? Antal Bilmärken på skolans parkering Volvo Saab 0 Övriga Måndag Tisdag 0. Diagrammet visar temperaturen kl..00 på C dagen i Gävle och i Örebro under en vecka i mars månad. a) Punkten P visar att det var 4 C i Gävle på söndagen. Punkten Q visar söndagens termperatur i Q P 4 Örebro. Vilken var den? b) Vilken var temperaturen i Örebro på fredagen? c) Vilka dagar var temperaturen högre i Örebro än i Gävle? d) Hur stor var temperaturskillnaden på måndagen? e) Hade Gävle och Örebro samma temperatur någon av dagarna? Temperatur Sö Må Ti On To Fr Lö Gävle Örebro Dag. a) Vilket kvartal sålde A och B lika mycket? b) Vilka kvartal sålde A mer än B? c) Vilka kvartal sålde B mer än A? d) Vilket kvartal var skillnaden i försäljningssumma störst? e) Beräkna den totala försäljningssumman under de fyra kvartalen för A och för B. 5,0 4,0,0,0,0 Kvartal Summa ( kr) A B Försäljning 4 Försäljningssumman i kr för Andersson och Bengtsson under fyra kvartal.. a) Hur stor är mannens syreupptagningsförmåga vid 50 år? b) Hur stor är kvinnans syreupptagningsförmåga vid 50 år? c) Vid vilken ålder är mannens syreupptagningsförmåga som störst? d) När är kvinnans syreupptagningsförmåga,0 liter/min? e) När ökar mannens syreupptagningsförmåga hastigast? 4,0,5,0,5,0,5,0 0,5 Liter/min Ålder Syreupptagning Kvinnor Män Så här ändras den maximala syreupptagningen för måttligt tränade personer i åldern 4 65 år. år Fastighetsakademin 0

102 Kapitel 8: Statistik och diagram. Vilka månader var nederbörden a) större i Jönköping än i Haparanda b) större i Haparanda än i Jönköping c) Lika i Jönköping och Haparanda? (mm) 00 Nederbörd 990 Vilken var den högsta och den lägsta nederbörden i d) Jönköping e) Haparanda? Jönköping Haparanda f) Vilka tre månader var skillnaden i nederbörd störst? J F M A M J J A S O N D MÅNAD Linjediagrammet visar nederbörden i mm under årets månader 990 i Haparanda och Jönköping. 4. Den 5 maj 998 presenterade Dagens Nyheter följande opinionsundersökning: Så här tycker partierna om k ärnkraftsavvecklingen Procent Starta avvecklingen omedelbart Starta avvecklingen senare v s c fp m kd mp 54 I vilka partier vill en majoritet starta avvecklingen av kärnkraft omedelbart? 5. Vi antar att länderna har lika många kvinnor som män. a) Grekland har 0 miljoner invånare. Hur många av männen i Grekland röker? b) Italien har 58 miljoner invånare. Hur många av kvinnorna i Italien röker? c) Sverige har 8,8 miljoner invånare. Hur många fler kvinnor än män röker i Sverige? d) I vilket av de tre länderna är andelen rökare minst? 54 % % 46 % 8 % Andel m än resp. kvinnor som röker i olika länder. 0 6 % % GREKLAND ITALIEN SVERIGE 6. a) Med hur många procent ökade antalet fyrlingfödslar från 99 till 99? b) Med hur många procent minskade antalet fyrlingfödslar från 99 till 99? Antal Fyrlingf ödslar i Sverige Fastighetsakademin

103 Kapitel 8: Statistik och diagram 7. Hur förändrades antalet trillingfödslar från 987 till 99? Svara i procent. Antal Trillingf ödslar i Sverige a) Sex spelare i ett basketbollag hade längderna: 85 cm, 86 cm, 89 cm, 9 cm, 9 cm och 97 cm. Beräkna medelvärdet av deras längder. b) Kalle som går i sexan och är 48 cm lång fick på träning vara med i laget. Antalet spelare blir nu sju. Vilken är deras medellängd? 9. Bestäm medianen till talen a) 8,, 9, 7, b) 8,, 9, 7,, Fastighetsakademin 0

104 Kapitel 9: Geometri 9 Geometri Mäta med linjal Att mäta med linjal, måttband eller tumstock är en viktig del av de geometriska kunskaperna. En vanlig linjal brukar vara ungefär dm lång medan längden på måttband varierar väldigt. Vanliga geometriska figurer som används är rektangeln, kvadraten, cirkeln och triangeln. Rektangeln har fyra sidor och alla vinklar är räta, d.v.s. 90. Exempel på rektanglar är våra dörrar, fönster och golvytor. Kvadraten är en speciell form av rektangel där alla fyra sidorna är lika långa. Cirkeln är rund med konstant avstånd från centrum till ytterkant. Triangeln har tre hörn och tre sidor. Omkrets Kalle ska lägga kantsten runt parkeringsplatsen. Platsen har de mått som figuren visar. 9 (m) 7,5 6 4,5 5 Måtten är angivna i meter eftersom det finns ett m inom parentes i figurens övre högra hörn. Hur mycket kantsten går det åt? Vi adderar och får 9 m + m + 6 m + 4,5 m + 5 m + 7,5 m = 45 m. Detta kallas för figurens omkrets. Omkrets = summan av alla sidornas längder. 04 Fastighetsakademin

105 Kapitel 9: Geometri Cirkelns area beräknas med hjälp av ett matematiskt värde som kallas för pi och betecknas med den grekiska bokstaven. Omkretsen av en cirkel är diametern = d. Längdenheter Längden är en grundläggande geometrisk storhet, exempelvis avståndet mellan en sträckas båda ändpunkter. Längden betecknas vanligen I eller S och mäts i längdenheter. SI-enhet är en meter ( m). Hur stor omkrets har triangeln? För att kunna addera triangelns sidor krävs att de mäts i samma enhet. Omvandla till cm eller mm. 56 mm = 5,6 cm Omkretsen = 5, =,6 cm. mil = 0 km km = 000 m m = 0 dm dm = 0 cm cm = 0 mm Area Att beräkna en yta är detsamma som att beräkna en area. Det kan t.ex. vara en golvyta eller en trädgårdsarea. Beroende på vilken form ytan har används en del olika formler. Ett enkelt golv har ofta formen av en rektangel. Vad är arean på golvet? Arean = basen höjden = 4 9 = 6 m Ett parallellogram beräknas på samma vis, enda problemet är att ta reda på höjden. Figuren visar en parallellogram med basen 4 cm och höjden cm. Lägg märke till att höjden går vinkelrät mot basen och att det inte är sidan som är höjden. Om vi flyttar den mörkare delen som figuren visar, får vi istället en rektangel med samma bas och höjd som parallellogrammen. Vi får alltså parallellogrammens area genom att multiplicera basen med höjden. Fastighetsakademin 05

106 Kapitel 9: Geometri Triangelns area beräknas med formeln: basen höjden Area = Detta kan man bevisa genom att använda ett parallellogram och dela det som figuren visar. Var och en av trianglarna har en area som är hälften så stor som parallellogrammens area. Cirklar Det finns många sätt att beskriva en cirkel. Ett alternativ är att säga att det är någonting helt runt. Matematikerna väljer att definiera en cirkel som mängden av de punkter i ett plan, vilka ligger på ett bestämd avstånd, r, från en bestämd punkt, M, i planet, är en kurva som kallas cirkel. Olika beskrivningar av samma sak M är cirkelns medelpunkt eller centrum. Radie (r) är en sträcka från medelpunkten till en punkt på cirkeln. Kurvans längd kallas cirkelns omkrets eller periferi. Omkretsen för en cirkel är: r (pi) är ett slags irrationellt tal (transcendent), dess närmevärde med 5 decimaler är,459. En cirkelbåge är en sammanhängande del av cirkeln. Arean för en cirkel är r eller d /4 vilket är samma sak. Cylindrar, koner En cylinder är en kropp, som begränsas av en cylindrisk yta (mantelytan) och två parallella plan (basytorna). Cylinderns höjd = avståndet mellan basytorna. Då man i dagligt tal talar om cylinder avser man oftast en rak cirkulär cylinder. En liksidig cylinder är en rät cirkulär cylinder, vars axelsnitt utgöres av en kvadrat. 06 Fastighetsakademin

107 Kapitel 9: Geometri Rak cirkulär cylinder Rak cirkulär kon Mantelarea Om du lindar papper kring en cylinder, klipper av det så att det passar precis och rullar ut pappret har du mantelarean. A = d h Ordet area kommer från latin och betyder egentligen öppen plats, jämn plan, plan yta. Tidigare användes begreppet yta, men idag föredras ordet area som mått på en figurs ytinnehåll. Arean betecknas vanligen A eller S och mäts i areaenheter. SI enhet är en kvadratmeter ( m ). Areaenheter I många sammanhang vill man veta hur stort ett område är. Man ska kanske flytta till en ny lägenhet, lägga ett nytt golv eller måla om köket. Då man anger ett områdes storlek, anger man dess area i t.ex. kvadratmeter. En kvadrat med sidan m har arean m. m = 00 dm dm = 00 cm cm = 00 mm Lägg märke till att omvandlingstalet för areor är 00 medan den är 0 för längder. Exempel : Beräkna arean av rektangeln. Sidorna är och 5 cm. A = b h = 5 = 5 cm Exempel : Beräkna mantelarean av ett cylindriskt rör med rördiametern 8 cm. Röret är m långt. A = d h =, = cm. Exempel : Hur stor är den cirkulära mattans area? Radien är,5 m. A = r =,5 = 7, m Beräkningar. Vilken sträcka måste man känna till för att kunna räkna ut arean av en cirkel?. I vilken enhet svarar man enklast när man räknat ut arean av en cirkel med diametern 6 dm? Fastighetsakademin 07

108 Kapitel 9: Geometri. En cirkel har radien 4 m och en kvadrat har sidan 7, m. Vilken av figurerna har en area närmast 50 m? 4. Vad blir arean av en rektangel med sidorna,4 m och 56 cm? Volym För att beräkna en volym av en kub eller ett rätblock används formeln: V = A b Det innebär att arean av golvet multipliceras med höjden. Ordet volym kommer från det latinska ordet volumen som betyder skriftrulle ; krök(ning), av volvo vrida runt, rulla runt ), storhet för den del av rummet som uppfylls av en solid kropp. Volymen betecknas vanligen V. Volym mäts i volymenheter, och en volymenhet är volymen av en kub vars sidlängd är en längdenhet. SI-enheten är en kubikmeter ( m ) med en liter ( l) som tilläggsenhet. För att beräkna volymen av en cylinder multipliceras bottenarean med höjden. V = r h Volymen av en sfär beräknas som 4 r /. Volymenheter Ofta mäts volym i m eller liter, men det beror givetvis på vilken enhet som passar bäst i situationen. 08 Fastighetsakademin

109 Kapitel 9: Geometri m = 000 dm = cm = mm dm = 0,00 m cm = 0, m liter = dm Exempel : Beräkna arean av en kub med sidan m. A = l b h = s s s = = m Exempel : En varmvattenberedare har formen av en cylinder med måtten m hög, diametern är m. A = r V = A h = r h =,4 0,5 =,55 m =, dm = 55 dm = 5 liter. Fastighetsakademin 09

110 Kapitel 9: Geometri Beräkningar. Nederbörden, i form av regn, som faller på ett tak med arean 40 m rinner via stuprännor och rör ned i tunnor. Vid ett tillfälle regnade det mm på en timme. Hur stor volym vatten rann ner i stuprören under denna timme?. En vattentoalett spolar 0 l vatten vid varje spolning. a) Hur många dm är det? b) Efter hur många spolningar har man spolat bort m?. En flaska vaccin innehåller 50 ml. a) Vid varje vaccination ges cm. Hur många ml ges då? b) Hur många vaccinationer räcker flaskan till? 4. Vad heter figurerna i bilden? a) b) c) 5. Använd rätt formel och räkna ut varje kropps volym V = B h V = B h / (B = Bottenytans area) 0 Fastighetsakademin

111 Kapitel 9: Geometri Trianglar och vinklar Du känner säkert till att vi mäter vinklar i grader. varv motsvarar 60. En normal tårtbit är mellan 0 och 45. Det är praktiskt att ge vissa vinklar namn. En vinkel är spetsig om den ligger mellan 0 och 90. Den är rät om den är 90 och den är trubbig om den ligger mellan 90 och < V < 90 V = < V < 80 För att mäta vinkar används gradskivor. Vinkelns storlek i figuren är 60. När två linjer skär varandra bildas vertikalvinklar. Här är V V och V V4 vertikalvinklar. V V är s.k. sidovinklar. V + V = 80. Ett annat namn är supplementvinklar (tillsammans 80 ). Fastighetsakademin

112 Kapitel 9: Geometri När en tredje linje skär två parallella linjer bildas alternatvinklar, V V och likbelägna vinklar V V. Speciella trianglar:. Liksidig. Alla sidorna är lika stora och alla vinklar 60.. Likbent. Två sidor är lika stora och basvinklarna är lika stora. Höjden i dessa två trianglar delar basen mitt i tu. Exempel : Beräkna vinkeln V. Triangelns vinkelsumma ger V = 80 V = 94 Svar: V = 94 Exempel : Hur stor är vinkelsumman i en a) 4-hörning b) 7-hörning a) Man delar upp fyrhörningen i trianglar. Vinkelsumman blir = 60 Fastighetsakademin

113 Kapitel 9: Geometri b) Man delar upp 7-hörningen i 5 trianglar. Vinkelsumman blir då 5 80 = 900 Svar: a) 60 b) 900 Beräkningar. Mät vinklarna.. Bestäm storleken av den okända vinkeln i trianglarna. a) b) c) d) e) f). Bestäm den okända vinkeln i fyrhörningarna. a) b) Fastighetsakademin

114 Kapitel 9: Geometri 4. Bestäm vinkeln B i sjötomten ABCD. 5. En tomt ABCD går delvis in över en sjö. Mått och vissa vinkelbestämningar framgår av kartskissen. Bestäm vinklarna A och B. 6. Från punkt A observeras en m hög lodrät mast, BC. Bestäm vinklarna B och C. 7. Hur stor är vinkeln v? a) b) 8. Från ett fönster högst upp på en fyr ser man sträckan mellan två roddbåtar A och B under synvinkeln 8. Båtarna ligger i rät linje med fyren. Från B ser man fönstret under höjdvinkeln 47. Under vilken höjdvinkel syns fönstret från A? 4 Fastighetsakademin

115 Kapitel 9: Geometri 9. Bestäm vinklarna x och y. a) b) c) d) 0. I en triangel ABC är vinkeln A dubbelt så stor som vinkel B och 0 grader större än vinkeln C. Beräkna vinklarna.. Beräkna triangelns minsta vinkel x, genom att utnyttja att vinkelsumman i en triangel är 80. a) b). I en triangel är vinklarna x, 4x och 80. Bestäm triangelns vinklar.. Vinkelsumman i en triangel är 80. Ställ upp en ekvation och bestäm triangelns vinklar. a) b) Fastighetsakademin 5

116 Kapitel 9: Geometri Pythagoras sats Ibland kan man behöva konstruera en rät vinkel. Detta går att göra med tumstocken genom att vika den i förhållande :4:5. Alltså 0, 40 och 50 cm. Pythagoras sats: Summan av kateternas kvadrater är lika med kvadraten på hypotenusan. a + b = c 6 Fastighetsakademin

117 Kapitel 9: Geometri Kvadratrötter Om man vet längden av två sidor i en rätvinklig triangel, kan man beräkna den tredje sidan med Pythagoras sats. Exempel : Vi ska ta reda på längden av sidan x i triangeln. Pythagoras sats ger x² + ² = ² x² + 44 = 69 x² = x² = 5 Vi söker ett tal som multiplicerat med sig själv blir 5. Du inser att 5 är ett sådant tal eftersom 5² = 5. Även 5 duger, eftersom ( 5)² = ( 5) ( 5) = 5. Kvadratroten ur x är det positiva tal vars kvadrat är x. Kvadratroten ur x skrivs x I detta fall vet vi att x är större än 0, eftersom längder anges med positiva tal. Detta ger oss x = 5 x = 5 Svar: Längden av sidan x är 5 cm. Exempel : Beräkna arean av en likbent triangel med sidorna 5 cm, 5 cm och 6 cm. Drag en höjd. Den delar basen mitt itu. Antag att höjden är x cm. Pythagoras sats ger: x² + ² = 5² x² = 5² ² x² = 6 x = 6 x = 4 Arean blir 6 4 = Fastighetsakademin 7

118 Kapitel 9: Geometri Svar: Arean blir cm² Beräkningar. I samband med att man sätter ut hörnpunkterna till en ny garageuppfart kan det vara viktigt att vinklarna blir räta. Det kan man kontrollera med hjälp av pythagoras sats. Gör det! Längden är 4 40 mm, bredden är 80 mm och diagonalen är ungefär 8 54 mm.. Beräkna triangelns hypotenusa.. Beräkna omkrets och area av följande områden. a) b) 4. Bestäm x då man vet att rektangelns omkrets är 48 cm. 5. Bestäm x då man vet att triangelns omkrets är 8 m. 6. Bestäm x då man vet att fyrhörningens omkrets är 85 m. 7. Bestäm x då man vet att rektangelns omkrets är 40 cm. 8 Fastighetsakademin

119 Kapitel 9: Geometri a) b) 8. Rektangeln och triangeln har lika stor omkrets. Bestäm x. 9. Skriv ett uttryck för omkretsen och förenkla detta. a) b) 0. Skriv ett uttryck för omkretsen och förenkla detta. a) b). Rektangeln har omkretsen 48 m. Beräkna x.. Bilden visar en fyrhörning med sidorna s, s, s och 4s. Beräkna omkretsen då s =,6 m.. Triangeln och rektangeln har lika stor omkrets. Ställ upp en ekvation och beräkna x. 4. Beräkna arean av det skuggade området. Fastighetsakademin 9

120 Kapitel 9: Geometri 5. Rektangeln har omkretsen 8 m. Beräkna rektangelns area. 6. Beräkna omkrets och area av rektangeln och triangeln. a) b) 7. Beräkna trianglarnas omkrets och area. a) b) 8. Beräkna omkrets och area av parallellogramen och parallelltrapetset. a) b) 9. a) Hur får du rektangelns omkrets? b) Ställ upp och beräkna omkretsen. c) Hur får du rektangelns area? 0 Fastighetsakademin

121 Kapitel 9: Geometri d) Ställ upp och beräkna arean. 0. a) Hur får du triangelns omkrets? b) Ställ upp och beräkna omkretsen. c) Hur får du triangelns area? d) Ställ upp och beräkna arean.. Beräkna omkrets och area av kvadraten och rektangeln. a) b). Beräkna trianglarnas omkrets och area. a) b). Figuren visar en parallellogram. a) Ställ upp hur du beräknar omkretsen. b) Beräkna omkretsen. c) Ställ upp hur du beräknar arean. d) Beräkna arean. 4. Beräkna parallellogrammens omkrets och area. Fastighetsakademin

122 Kapitel 9: Geometri 5. Trianglarna har lika stor area. Förklara varför. 6. Rita en rektangel med omkretsen 8 cm och en area som är mindre än 5 cm². Kontrollera att din rektangel uppfyller villkoren. 7. Beräkna avståndet mellan B och C fågelvägen över sjön. 8. Ett av rummen har måtten 400 cm 50 cm. Pontus mätte rummets ena diagonal till 656 cm. Har rummets golv räta vinklar? 9. Ytterdörren är 95 cm bred och 00 cm hög. Kan man ta in en spånskiva genom dörren om skivans mått är 0 cm 00 cm? Fastighetsakademin

123 Kapitel 9: Geometri 0. Hur högt når äppelplockarstegen, om den är,6 m lång och den på marken står, m från trädet?. Taknocken befinner sig 5, m över marken. Hur lång måste en stege minst vara för att nå upp till en punkt 0,5 m under taknocken, om nedre änden ska stå, m från väggen?. Man ska bygga en altan med plattor. Altanen markeras först med snören. För att kontrollera om vinklarna blivit räta lägger Sofia ut en m lång tumstock mellan två sidor. Hon mäter sidorna i den triangel som hon får. De blev 70 cm och 5 cm. Var vinkeln vid hörnet rät?. En torkvinda för tvätt har 70 cm långa armar. Klädstrecket som spänns upp på armarna bildar en kvadrat. En rulle klädstreck innehåller 0 m. Räcker den till torkvindan? 4. Markisduken är fäst vid en 70 cm lång metallarm. Hur många centimeter duk kan man släppa ut, då armen i utfällt läge är vinkelrät mot väggen? Fastighetsakademin

124 Kapitel 9: Geometri Översikt Månghörningar Omkrets Area Längdenheter Rektangel, kvadrat, parallellogram, romb och triangel är exempel på månghörningar. Omkretsen av en månghörning = summan av alla sidornas längder. Rektangelns area = b h Kvadratens area = s s Parallellogrammens area = b h Triangelns area = b h / mil = 0 km = m km = 000 m m = 0 dm dm = 0 cm cm = 0 mm Area enheter m = cm dm = 00 cm cm = 00 mm Vinklar Spetsig vinkel Vinklar mäts i grader. Ett helt varv är 60 En spetsig vinkel är mindre än 90 0 < v < 90 Trubbig vinkel En trubbig vinkel är större än < v < 80 Rät vinkel En rät vinkel är exakt 90 v = 90 Vinkelsumman i en triangel Vinkelsumman i en triangel är alltid 80 4 Fastighetsakademin

125 Kapitel 9: Geometri Fastighetsakademin 5

126 Kapitel 0: Trigonometri 0 Trigonometri På din räknare har du tre tangenter märkta sin, cos och tan. Nu ska vi som en orientering visa dig vad de står för och hur det kan användas vi beräkningar i rätvinkliga trianglar. I en rätvinklig triangel ABC gäller: Sinus är en kvot Sinus för den spetsiga vinkeln A är förhållandet mellan (kvoten mellan) motstående sida (till A) och hypotenusan. motstående sida(till A) sin A = hypotenusan Denna kvot beror bara av vinkelns storlek och inte av triangelns storlek. Bestäm sin 0 I triangeln ABC (ovan) är vinkeln A = 0. Mäter du sidorna, finner du att BC = 5 mm och AB = 70 mm. motstående sida(till A) 5 sin 0 = = = 0, 5 hypotenusan 70 Räknaren Sätt räknaren på grader (deg) och kontrollera att 0 sin ger 0,5. Cosinus (cos) och tangens (tan) definieras på liknande sätt som sinus (sin). Med figurens beteckningar blir det sin A = a/c cos A = b/c tan A = a/b Försök uttrycka dessa definitioner i ord! Några exempel Trigonometri används ofta för att bestämma sträckor och vinklar som inte går att mäta direkt. Exempel : På stranden till en älv mäter vi upp en sträcka AC = 4 m och bestämmer en punkt B på andra stranden så att vinkeln C blir rät. Därefter mäter vi vinkeln A och får 58. Hur bred är älven? Vi låter BC = x m Kvoten x/4 är lika med tan 58,6 x =,6 4 x = 4,6 Med 6 Fastighetsakademin

127 Kapitel 0: Trigonometri x = 67, Svar: Älven är 67 m bred. Exempel : Figuren visar en skiss till ett uterum. Hur stor är takets lutningsvinkel v? sin v = 0,75 4,5 = 0,7647 Hur får vi vinkeln v när vi vet sinus för v? Det är den omvända (inversa) proceduren till att bestämma sin v då du vet v. 0,7647 inv sin ger 0,64 Svar: Vinkeln är 0,. Exempel : Beräkna vinkeln v. 9 Definitionen av tangens ger tan v = 7 Räknaren (ställd på räkning i grader) ger 7,8 Vi avrundar till två siffror v 7. Svar: Vinkeln v är 7. Exempel 4: Beräkna längden av den sträcka som markerats med x. a) b) a) Definitionen av sinus ger sin 8 = 4 x x = 4 sin 8 Räknaren ger 5,857 x 6 Svar: Sträckan är 6 cm b) Definitionen av cosinus ger cos = 47 x Fastighetsakademin 7

128 Kapitel 0: Trigonometri Räknaren ger 9,858 x 9,858 Svar: Sträckan är 40 cm. Exempel 5: När vi står 0 meter från ett träd så uppmäts vinkeln v i figuren till 5. Vilken höjd har trädet? I figuren är x motstående katet till vinkeln v medan sidan som är 0 meter lång är närliggande katet (den närliggande kateten är den sida som både bildar rät vinkel med en annan sida i triangeln och som dessutom spänner upp vinkeln v. Med hjälp av formeln ovan får vi ekvationen: tan( 5 ) = x 0 5 tan ger avrundat,5.,5 = x 0 För att få x fritt på höger sida måste vi multiplicera upp 0. Vi får: 0,5 = x och med huvudräkning kan vi exempelvis räkna,5 = 4,7. Svar: Trädet är 4,7 m högt. Exempel 6: Hur stora är vinklarna v och u i figuren? Med hjälp av formeln får vi ekvationen (varför?): 4,7 tan( v) = 0 Tan för något okänt ska alltså bli 4,7 / 0 = (4,7 / ) / 0 =,5 / 0 =,5,5 inv tan ger att vinkeln då måste vara 5. Eftersom summan av vinklarna i en triangel alltid är 80 så får vi vinkeln u = = 9. Svar: Vinkeln v = 5 och vinkeln u = 9. 8 Fastighetsakademin

129 Kapitel 0: Trigonometri I exemplet ovan använder vi den inversa funktionen till tangens för att få fram vinkeln: tan. Blanda inte ihop denna med tan. Tan är baklängesfunktionen till tan. Tan använder vi när vi känner vinkeln och vill ha ut sidan medan tan används när vi känner sidorna och vill ha ut vinkeln. Fastighetsakademin 9

130 Kapitel 0: Trigonometri Exempel 7: Bestäm vinklarna v och u i figuren. 7,0 tan( v) = 0,0 tan(v) = 0,70 v = tan (0,70) v 5 Eftersom summan av vinklarna i en triangel alltid är 80 så får vi vinkeln u = Svar: Vinkeln v = 5 och vinkeln u = 55. Beräkningar. Använd måtten i figuren nedan för att med två decimaler bestämma a) sin 5 b) cos 5 c) tan 5. Använd din räknare för att bestämma a) sin 5 b) cos 5 c) tan 5. Ställ upp och beräkna tan A och tan B (två decimaler). a) b) 4. Bestäm sin v och cos v (två decimaler). a) b) 0 Fastighetsakademin

131 Kapitel 0: Trigonometri 5. Beräkna längden som markeras med x. a) b) 6. Beräkna längden av de sidor som markerats med x. a) b) 7. Bestäm den obekanta vinkeln v i hela grader. a) b) 8. Bestäm den obekanta vinkeln v i hela grader. a) b) 9. Hur högt är trädet? 0. Hur långt är avståndet AB över sjön om vinkeln A är 56 och sträckan AC är 640 m?. En viadukt går över en motorväg. Bestäm lutningen v (hela grader). Fastighetsakademin

132 Kapitel 0: Trigonometri Fastighetsakademin

133 Kapitel 0: Trigonometri. Under vilken vinkel sker nedfarten?. Figuren nedan visar en plan genomskärning av ett tak. Hur högt är fönstret AB? 4. Bestäm trädets höjd, då a = 8 m, u = 9 och v =. 5. För att en 9,0 m lång stege ska stå säkert när den reses mot en vägg får vinkeln med markplanet ej understiga 64 och ej överstiga 78. Bestäm stegens kortaste respektive längsta avstånd till väggen, då den är i säkert läge. 6. Använd måtten i figuren för att bestämma a) sin 5 b) cos 5 c) tan 5 7. Använd miniräknare för att bestämma a) sin 5 b) cos 5 c) tan 5 (Jämför med värdena i föregående uppgift.) Fastighetsakademin

134 Kapitel 0: Trigonometri 8. Bestäm flaggstångens höjd BC. 9. Bestäm avståndet AC över viken. 0. Hur hög är masten BC, om linan AB = 9 m?. Bestäm vinkeln v, med en decimal, då a) tan v = 0,675 b) sin v = 0,675. Bestäm vinkeln v, med en decimal, då a) tan v = 9 b) cos v = 7. En,8 m hög käpp kastar en 4,7 m lång skugga. Bestäm vinkeln v. 4. Bestäm de med v markerade vinklarna. a) b) 4 Fastighetsakademin

135 Kapitel 0: Trigonometri 5. Bestäm de med v markerade vinklarna. a) b) 6. En av kateterna i en rätvinklig triangel är 7 mm. Motstående vinkel är 7. Hur lång är den andra kateten? 7. Bestäm älvens bredd AB. 8. I en likbent triangel är höjden 0 centimeter och vinkeln mot den avvikande sidan 48 grader. Beräkna triangelns area. 9. Lös ut x i x x a) tan v = b) tan v = c) tan q 5 d) tan v = e) tan v = 5x f) tan x 0. a) I figuren till vänster visas en halv kvadrat. Motivera varför tan 45 =. b) I figuren till höger visas en halv liksidig triangel. Motivera varför tan 60 =.. Beräkna triangelns area. q v = x x v = 5. Beräkna sträckan x i figuren.. I en triangel har gjorts de fyra mätningar som beskrivs i figuren. a) Visa att minst en av dessa mätningar måste vara felaktig. b) Beräkna ett riktigt värde på längden av sträckan AH om du vet att de andra tre värdena är korrekta. Fastighetsakademin 5

136 Kapitel 0: Trigonometri 4. Ange en formel för den rätvinkliga triangelns area uttryckt i a och v. a) b) 5. Ange vinklarna i nedanstående båda likbenta trianglar. a) b) 6. Bestäm vinkeln v om a) tan v = 5 b) 0,5 tan 0,5v = 7. Beräkna med hjälp av sinus längden x hos en katet i dessa trianglar. a) b) 8. Beräkna med hjälp av cosinus längden y hos den andra kateten i ovanstående trianglar. 9. Hur kan du i senaste övningen beräkna längderna y med hjälp av sinus i stället för cosinus? 40. Bestäm med hjälp av sinus vinkeln u i dessa trianglar. a) b) 4. Bestäm med hjälp av cosinus vinkeln v i trianglarna i föregående uppgift. Kontrollera att svaren i denna och föregående övning inte motsäger varandra. 4. En brant trappa till ett sovloft i en sportstuga ska tillverkas. Hur lång ska trappan vara om höjdskillnaden är,45 m och vinkeln mot golvet är 5? 6 Fastighetsakademin

137 Kapitel 0: Trigonometri 4. Antag att vi befinner oss på ett fartyg i punkten A och går i riktning mot C. Vi bestämmer vinkeln u till 6. Efter en stund befinner vi oss i punkten B. Vi vet då att avståndet s är 700 m och mäter vinkeln v, v = 4. Vi ska nu bestämma avståndet från B till fyren F. a) Uttryck BC i x. b) Uttryck AC i x. c) Bestäm x. d) Bestäm BF. Fastighetsakademin 7

138 Kapitel 0: Trigonometri 44. I en rätvinklig triangel är hypotenusan c och en av de spetsiga vinklarna v. Uttryck de båda kateterna med hjälp av c och v. 45. I triangeln är en bisektis dragen. Beräkna längden hos sträckan x i figuren. 46. Ange exakta värden på sin v, cos v och tan v om v är a) 45 b) 0 c) Förklara varför följande samband gäller a) sin(90 v) = cos v b) cos(90 v) = sin v 48. Bestäm det exakta värdet på a) (sin 60 ) + (cos 60 ) b) sin 45 cos 45 c) (cos 0 ) (sin 0 ) 49. Bestäm med hjälp av miniräknaren a) tan( ) b) 00 tan( ) c) 0 tan(8 ) d) 57 tan(45 ) 50. Ställ först upp en ekvation med x för följande trianglar. Beräkna sedan längden på sidan markerad med x. Bestäm också triangelns area. a) b) c) d) 5. Ställ upp ekvationer och beräkna därefter storleken på vinklarna v. a) b) c) 5. Bestäm arean i hektar med två decimaler för figurena. a) b) 8 Fastighetsakademin

139 Kapitel 0: Trigonometri 5. Bilden till höger är en skiss på ett skogsskifte format som en rätvinklig triangel. Bilden är i skalan : a) Använd linjal för att bestämma skiftets areal i hektar. Beräkna sedan hur många ekplantor som ska beställas om området ska planteras med 000 ekplantor per hektar. (Vid planteringen blandas sedan ekplantorna med rader av gran.) b) Beräkna vinkeln i den nedre spetsen på triangeln. 54. Ett relaskop har en spaltöppning på 0 mm och en kedjelängd som gör att spalten vid användning hamnar 50 cm från ögat. Beräkna hur stor vinkeln v är (figuren nedan är inte skalenlig). Fastighetsakademin 9

140 Kapitel : Likformighet och skala Likformighet och skala En bild av något verkligt kan vara olika stor i förhållande till det som avbildats men ska ha samma form, d.v.s. den ska vara likformig med det som avbildats. Om bildens storlek är samma som storleken av det som avbildats sägs skalan vara (naturlig). Om bilden är mindre än det som avbildats är då skalan mindre än och om bilden är större är skalan större än. När man talar om skala avses vanligen detsamma som längdskala d.v.s. det är förhållandet mellan sträckors längder som avses. Ibland talar man emellertid om areaskala och volymskala i stället. Med hjälp av skalor förstorar eller förminskar man. Kameran är ett exempel på hur man förminskar, mikroskopet ett exempel på hur man förstorar. I byggsammanhang är förminskning av linjer det vanliga. Tittar du på en ritning är skalan för det mesta utskriven. Exempel : En vägg är i verkligheten mm lång. Hur lång ska den vara på en ritning i skala :50. Den ska då förminskas 50 gånger /50 = 00 mm Exempel : Ett avstånd på en ritning :50 är 5 mm lång. Hur långt är avståndet i verkligheten? Den ska göras 50 gånger större. Alltså ska man multiplicera med = 50 mm. Man mäter aldrig på en ritning för att bygga efter det måttet, men för uppskattningar fungerar det bra. Bilden i mitten nedan är ett utsnitt ur en textboks övre vänstra hörn i naturlig storlek (i skala ). Bilden till vänster är en likformig avbildning i skala / (0,67) och bilden till höger är en likformig avbildning i skala 8. Skalan / ( 0,67) kan också skrivas / = = /,5 eller med det Skalan kan också skrivas eller med det Skalan 8 kan också skrivas 8 eller med det 40 Fastighetsakademin

141 Kapitel : Likformighet och skala speciella skrivsättet :,5 speciella skrivsättet : speciella skrivsättet 8: Lägg märke till att kolon (:) används i stället för bråkstreck och att när det gäller förminskning så står det till vänster om kolontecknet (tänk på kartor) och när det gäller förstoring så står det till höger om kolontecknet. (De tre här nämnda skalorna utläses: ett till ett komma fem, ett till ett resp. åtta till ett ) Förminskade bilder av text förekommer på s.k. mikrofilm. Exempelvis finns gamla arkiv sparade på detta sätt. I detta fall brukar skalan vara mellan :0 och :48. Likformiga trianglar Låt oss börja med att titta på en av den plana geometrins enklaste figurer triangeln. Kännetecknande för likformiga trianglar är att motsvarande vinklar är lika och att detta också räcker som villkor för att trianglarna ska vara likformiga. I figuren nedan syns två likformiga trianglar. Om man betraktar triangeln till höger (den större) som en bild av den till vänster så är skalan :. Om man å andra sidan betraktar triangeln till vänster (den mindre) som en bild av den till höger så är skalan :. Om man i stället talar om areaskalan så är den uppenbarligen (räkna småtrianglarna) 9: resp. :9. För trianglar såväl som för alla andra figurer gäller att areaskalan är kvadraten på längdskalan (längdskalan upphöjd till ) och volymskalan är kuben på längdskalan (längdskalan upphöjd till ). (Så om längdskalan är :5, så är areaskalan :5 och volymskalan :5 och om längdskalan är 6:, så är areaskalan 6: och volymskalan 6:.) Exempel : Vid ett visst ögonblick en solig dag bildar ett träd en skugga som är 8.5 meter lång. Samtidigt får en person som har en längd av 00 cm en skugga som är precis 00 cm. Hur högt är trädet? Här har vi ett exempel på likformig avbildning. Vinklarna i de två trianglarna kommer att bli lika stora. Vidare kommer relationerna mellan sidorna att bli desamma. Följande ekvation kan därmed ställas upp (sidan x ska förhålla sig till 00 på samma sätt som sidan 850 förhåller sig till 00): x 850 = Fastighetsakademin 4

142 Kapitel : Likformighet och skala x = 00 x = 850 x = Svar: Trädet är 7,0 m högt. Andra likformiga figurer För de flesta figurer gäller att det inte räcker att kontrollera att motsvarande vinklar är lika för att veta att figurerna är likformiga (har samma form), utan man måste också kontrollera att förhållandet mellan olika sträckor är lika. Exempelvis måste ju förhållandet mellan längd och bredd hos två rektanglar vara lika för att rektanglarna ska vara likformiga. Å andra sidan är alla cirklar likformiga. Figurerna nedan är två rektanglar med enbart 90 -vinklar, dessa är ändå inte likformiga eftersom sidorna inte är i bestämt förhållande till varandra! Exempel 4: Om man känner motsvarande sträckor (ett par räcker) i två likformiga figurer kan skalan beräknas. Om man å andra sidan känner skalan och en sträcka i en figur så kan motsvarande sträcka i den andra figuren beräknas. Figurerna nedan är likformiga. ABCDEF ~ A B C D E F Skalan vid avbildningen från vänster till höger (förstoring) är A F 4,5 = = (:) AF,5 Skalan vid avbildningen från höger till vänster (förminskning) är AF,5 = = ( 0,) (:) A F 4,5 4 Fastighetsakademin

143 Kapitel : Likformighet och skala a och b är båda förstoringar av motsvarande sträckor och fås genom beräkningarna a =, = 6,6 och b =, = 9,6 x, y och z är alla förminskningar av motsvarande sträckor och fås genom beräkningarna 4,8 6,0 0,5 x = 4,8 = =,6, y = 6,0 = =,0 och z = 0,5 = =,5 Följande samband gäller alltså: sträckani avbildningen (längd)skalan = sträckani det som avbildas sträckan i avbildningen = (längd)skalan sträckan i det som avbildas Exempel 5: När man orienterar använder man en karta som är likformig med verkligheten. Skala :0 000 betyder att verkligheten är gånger större än bilden. Hur långt är det mellan myrstackar i verkligheten om avståndet på en karta i skala :5 000 är,4 cm? Avståndet i verkligheten blir, = cm = 860 m Svar: 860 m Beräkningar. En triangels sidor är 7,0 cm, 0 cm och cm. I en annan triangel, likformig med den första, är den kortaste sidan 0,5 cm. Bestäm längden av de övriga sidorna i den andra triangeln.. De två fyrhörningarna är likformiga. Beräkna längden av de sidor som betecknats med x, y och z.. Skuggan av ett lodrätt träd är 8 m. Samtidigt finner Nina, som är 70 cm lång, att hennes skugga är,6 m. Hur högt är trädet? 4. En femkrona på,0 m avstånd ser ungefär lika stor ut som månen. Femkronans diameter är 8,0 mm och månens 470 km. Beräkna med hjälp av detta månens avstånd från jorden. 5. Beräkna längden av den med x markerade sträckan. Fastighetsakademin 4

144 Kapitel : Likformighet och skala 6. Nedanstående figurer visar likformiga avbildningar. Bestäm längden på sidan markerad med x. a) b) 7. Figuren nedan visar två likformiga femhörningar. Hur långa är sidorna a, b, c och d? Avrunda svaren till heltal. 44 Fastighetsakademin

145 Kapitel : Likformighet och skala 8. På en karta i skala : är ett flygfält cm långt. Hur långt är det i verkligheten? 9. Beräkna följande: Kartan över Vättern och dess omgivningar är i skala : Det innebär att en sträcka på kartan är miljon gånger längre i verkligheten. Askersund a) Visingsö är ungefär cm lång på kartan. Hur lång är ön i verkligheten? I cm? I m? I km? I mil? Karlsborg Motala b) Hur långt är det från Karlsborg till Motala? Fågelvägen? Närmsta bilväg? c) Tänk dig att det blåser 5 m/s på Vättern. Räkna om till enheten km/h. Hjo Visingsö Vättern Ödeshög Gränna Huskvarna Jönköping 0. Olle vill räkna ut höjden på Uppsala domkyrkas torn. Han mäter längden av den skugga som tornen ger på marken och finner att den är 0 m. Den vinkel som solstrålarna bildar med marken är 4. Hur höga är tornen?. På en ritning i skala :00 är verkligheten förminskad 00 gånger. En stege är 5 cm lång på ritningen. Hur lång är den i verkligheten?. En modell av ett flygplan är gjord i skalan :85. Flygplanets verkliga längd är 4,5 m. Hur lång är modellen?. På en affisch är ett armbandsur avbildat i skala :. Urtavlan, som är cirkelrund, har i verkligheten diametern,8 cm. Vilken diameter har urtavlan på affischen? 4. Bilden visar ett rör i genomskärning. Hur stor är yttre diametern i verkligheten, om röret är avbildat i skala a) : b) 5:? 5. Ange i ord vad det betyder att skalan är a) :50 b) 8: 6. Är modellen större eller mindre än föremålet om skalan är a) :4 b) 4: c) : d) 50:? Fastighetsakademin 45

146 Kapitel : Likformighet och skala 7. Eiffeltornet i Paris är ungefär 00 m högt. Hur hög blir en modell av Eiffeltornet om skalan är a) :00 b) : 500? 8. Beräkna skottkärrans längd i verkligheten då modellen är gjord i skalan : Blomklockan är 8 mm hög på bilden. Hur hög är den i verkligheten, om skalan är a) : b) :? 0. En tändsticka är 5 cm. Den ska avbildas i skala :5. a) Ska tändstickan förstoras eller förminskas? b) Ställ upp hur du beräknar bildens längd. c) Hur lång blir bilden av tändstickan?. En 5 cm lång tändsticka avbildas i skala 4:. a) Ska tändstickan förminskas eller förstoras? b) Ställ upp hur du beräknar bildens längd. c) Hur lång blir bilden av tändstickan?. Blir bilden av ett föremål större eller mindre då det avbildas i skala a) 6: b) :6 c) :9 d) 9:?. Ett tennisracket är avbildat i skala :7. a) Ställ upp hur du beräknar den verkliga längden. b) Hur lång är racketet i verkligheten? 4. Insekten är avbildad i skala :. a) Är insekten större eller mindre i verkligheten? b) Ställ upp hur du beräknar den verkliga längden. c) Hur lång är insekten i verkligheten? 5. Bestäm diametern i den cirkel man får då cirkeln i figuren avbildas i skala a) 4: b) 6: c) : d) : 6. I rektangeln är sidorna 4 cm och cm. Hur långa blir rektangelsidorna om de avbildas i skala a) : b) : 46 Fastighetsakademin

147 Kapitel : Likformighet och skala 7. Figuren visar bilden av ett hjul som avbildats i skala :0. a) Är hjulet större eller mindre i verkligheten? b) Ställ upp hur du beräknar hjulets verkliga radie. c) Bestäm den verkliga radien. 8. Tärningen på bilden har kanten,5 cm. Hur lång är kantlinjen i verkligheten om skalan är :? 9. Basketbollen är avbildad i skala :5. Vilken diameter har den i verkligheten? 0. Mät rektangeln och rita den i skala a) : b) :. Parkeringsplatsen är avbildad i skala :00. Vilka mått har den i verkligheten?. Fågelvägen mellan Ekudden och Albacken är mm på en karta i skala : Hur långt är det i verkligheten?. Vägen mellan Ekudden och Albacken är 650 m. Hur lång är den på en karta i skala :50 000? 4. Fågelvägen mellan Björkuddden och Granbo är 5 mm på en karta i skala : Hur stort är avståndet i verkligheten? 5. Vägen mellan Enbacken och Granbo är 400 m. Hur långt blir det på en karta i skala :50 000? Fastighetsakademin 47

148 Kapitel : Likformighet och skala 6. Ingrid mäter på en fjällkarta hur långt hon gått under dagen. Vägen är 6,5 cm på kartan. Skalan är : Hur lång var dagsetappen? 7. Avståndet mellan Stockholm och Oslo är 6 mm på en karta i skala : Hur många mil är det i verkligheten? 8. En sträcka är 60 mm på en ritning. Hur lång är sträckan i verkligheten om skalan är a) :5 b) :40 c) :00 d) :500? 9. Man mäter upp en avloppsledning till 40 mm på en ritning. Skalan är :50. Hur många meter rör behövs till ledningen? 40. Ett rum är mm långt. Bestäm rummets längd på en ritning i skala a) :0 b) :5 c) :50 d) :00 4. På en ritning över en lägenhet i skalan :40 har ett sovrum måtten 90 mm 75 mm. Ange rummets verkliga mått. 4. Bestäm den skala som föremålet avbildats i. Föremålets längd Bildens längd a) 8 cm cm b) 0 mm 6 mm 4. Skolgården är 00 m lång. På en karta är längden 80 mm. Vilken skala har kartan? 44. I vilken skala är skuven avbildat? a) b) 4 mm Naturlig storlek mm 48 mm 45. Ett häftstift är 8,5 mm högt. I vilken skala avbildas det, om höjden är a) 4 mm b),7 mm 46. En tennsoldat är 50 mm hög. Medelsoldaten är 75 cm lång. I vilken skala kan man säga att tennsoldaten är gjuten? 47. Fågelvägen mellan Stockholm och Visby är 9 mil. På en karta mätte man avståndet till 76 mm. Vilken är skalan? 48 Fastighetsakademin

149 Kapitel : Lutning Lutning I vissa tekniska tillämpningar brukar man använda begreppet lutningsprocent som mått på en vinkel. Det kan t.ex. handla om ifall en maskin ska orka upp för en backe. Motstående katet Lutningspr ocenten = = Närliggande katet a b Observera att detta innebär att lutningsprocenten är detsamma som tangens för backens vinkel. I praktiken kan det ofta vara svårt att mäta sträckan b i figuren. I stället kan man då mäta sträckan c. Sträckorna b och c kommer nämligen att vara ungefär lika långa om vinkeln är liten vilken den oftast är i praktiken. Notera också att i en triangel där a och b är lika stora så kommer lutningsprocenten att bli 00 %. I byggsammanhang anges lutningen på ett antal olika sätt. Den horisontella längden är 7 och höjden är. Lutningen är 5 %. Lutningen är 5. Fastighetsakademin 49