Fiberskog som vedråvara. Christina Lundgren
|
|
- Erika Lundqvist
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Fierskog som vedråvr Christin Lundgren 1
2 De senste 1 åren hr en rd forskningsinstser gjorts som fokusert på råvrns kvlitet och egenskper. Mätmetoder för ved- och fieregenskper hr utvecklts och mn hr intressert sig för egenskpern och ståndorten likväl som virkets kvlitet för sågd vr och i ökd utsträckning mss och ppper. Snvuxen s.k. åkermrksgrn, hr studerts och jämförelser melln frodvuxn och senvuxn mteril hr gjorts. Tillväxt och kvlitet hr vrit ord runt vilk mn rest frågetecken. Idéer om ett mer intensivt skogsruk med tät gödslingr och ännu högre tillväxt leder givetvis till frågor om virkets kvlitet. Kommer en volymökning ge en sustntiell ökning v fierråvr eller producers r luft? Kommer firern tt dug till ppper eller är de som upplåst llonger med fierväggr som r trss sönder? Kommer vi tt få en fier som vi känner igen som en grnfier eller kommer vi få en helt ny typ v råvr? I så fll, kn vi hnter den i industrin? I Fierskog etpp 1 hr virke från näringsoptimeringsförsöken i As och Flkliden nlyserts med vseende på ved- och fieregenskper för tt utrön kvliteten som mssråvr. En grundhypotes hr vrit tt eftersom skötselprogrmmen i As och Flkliden är extrem jämfört med vd som kommer tt vr genomförrt i ett prktiskt fierskogsruk kommer resultten indiker inom vilk rmr virket från en i prktisk fierskogsodling kommer tt ligg. I Fierskog etpp hr prediktiv modeller för fieregenskper utvecklts för tt kunn nvänds tillsmmns med tillväxtmodeller för fierskogsodling. En intervjuundersökning riktd mot mssindustrin hr också genomförts för tt krtlägg industrins inställning till virke v den här typen. Den här rpporten redovisr i tre kpitel resultten från dess moment: 1. Ved- och fieregenskper från As och Flkliden. Modeller för ved- och fieregenskper npssningr och tester 3. Fierskog och mss och ppper 1. Ved- och fieregenskper från As och Flkliden Inledning Grnved utgörs till c 9 % v trkeider. I mss- och ppperssmmnhng nvänds ordet firer om rrvedstrkeider och så även i dett dokument. Vedegenskper och fiertvärsnitt från näringsoptimeringsförsöken i As och Flkliden mättes och nlyserdes för tt studer effekten v intensiv gödsling och hög tillväxt på veden och firern. Fullständig resultt finns i Lundgren (3), (vhndling) och Lundgren ( och ). Hur ilds veden och firern? För tt tolk resultten från ved- och fierstudiern är det r tt h någr grundläggnde vedildningsprinciper i minnet. Ved är en inhomogen råvr; egenskpern hos en it ved och en enskild fier eror l.. på vr i stmmen fiern hr ildts. Den störst vrition finns inom årsringen eftersom det är stor skillnd melln vår- och sommrved. Näst käll till
3 vrition är skillnden melln juvenil ved och mogen ved. Virket som ilds i årsringrn närmst märgen, juvenilveden, skiljer sig från veden längre ut. Dett eror på tt tillväxtzonen, kmiet, utveckls och mognr utåt från märg. En viss förändring äger också rum i höjdled vilket inneär tt kmiet mognr snre och ildr mogen ved fortre högre upp i stmmen. Vedegenskper t.ex. fierns storlek, cellväggens tjocklek och veddensiteten följer sålund ett mönster från märg och ut där vi hr sml, kort firer med tunn cellväggr och därigenom lägre veddensitet när märg. Det här grundmönstret kn modifiers genom tt regler tillväxten på olik sätt genom skogsskötsel. Mteril och metoder För nlyser v ved togs prover från ogödslde, evttnde, fstgödslde och näringsevttnde försöksleden i As. I Flkliden hde enrt evttning inte gett någon tillväxtökning vrför det evttnde ledet inte togs med i mterilet från Flkliden. Borrkärnor med 1 mm dimeter togs i rösthöjd på slumpvis utvld träd per försöksled. Ur orrkärnorn sågdes provitr x mm från märg till rk och den mm red tvärsnittsytn finslipdes för tt möjliggör ildnlys v ytn. Firerns tvärsnittdimensioner. (Figur 1) mättes med SilviScn, på CSIRO i Melourne, Austrlien. SilviScn är en pprt konstruerd för tt snt kunn mät fierdimensioner på hel träitr d.v.s. utn tt seprer firern vilket möjliggör nlyser med hänsyn tgen till firerns exkt läge i stmmen. Tvärsnittsdimensioner; cellväggstjocklek, rdiell och tngentiell fierredd smt densitet och mikrofirillvinkeln mättes vr.5: e mm i rdiell riktning och medelvärden per årsring räkndes ut. Figur 1. Exempel på prov som mättes i SilviScn, vy från ovn. Den vertikl linjen mrkerr årsringen som ilddes 19; året då ehndlingrn inleddes i Flkliden. Övre provet kommer från näringsevttningen (IL) och den undre från kontrollen (C). Värden nlyserdes med vrinsnlysmodell där effektern v läge i stmmen från märg och ut, årsringsredd, årsringsnummer från märg, ehndling (gödslt eller inte/evttnt eller inte) testdes simultnt. Resultt och diskussion Smtlig kurvor i figur 1- illustrerr ved- och fieregenskperns utveckling från juvenil till mogen ved. Effekten v gödslingen och/eller evttningen läses därför ut genom tt jämför nivåern på kurvorn från de ehndlde ytorn mot kontrollen. 3
4 Densitet, cellväggstjocklek Kurvorn för densitet och årsringsredd (Figur ) är i princip spegelilder v vrndr. En tumregel säger tt en tillväxtökning på 1 % leder till en procentig minskning v densiteten och den tumregeln verkr funger även för det gödslde mterilet. Cellväggstjockleken är strkt korrelerd med densiteten och kurvorn för densitet och cellväggstjocklek liknr vrndr (Figur och Figur 3). De stor skillndern i cellväggtjocklek melln ehndlingrn indikerr tt vi hr fått en större ndel vårvedsfirer. Å rs r ings r edd sringsredd Densitet, kgm -3 5 Dens it et - s ringsredd, mm Densitet, kgm -3 5 Densitet - sringsredd, mm Figur. sringsredd och densitet för As () och Flkliden (). Kurvorn är i stor delr spegelilder v vrndr. = oehndld kontroll, = fstgödsling, = näringsevttning, =evttning..... Cellväggstjocklek, μm.. 1. Cellväggstjocklek μm Figur 3. Cellväggstjocklek för As () och Flkliden (). = oehndld kontroll, = fstgödsling, = näringsevttning, =evttning. Firerns storlek, redd och längd Fierredden ändrs inte drmtiskt v gödsling. Den effekt på rdiell och i viss mån tngentiell fierredd som kn utläss för frmförllt Flkliden (Figur och Figur 5) eror dels på tt den ökde tillväxten gör tt vi jämför firer längre ut från märgen (F och IL) med firer närmre märg (tätvuxen kontroll) Effekten på den rdiell fierredden eror givetvis också på tt ndelen stor vårvedsfirer hr ökt.
5 Vedmätningr gjord i Finlnd (Mäkinen m.fl. ) visr tt de gödslde firern från Flkliden lev c 15 % kortre än firern från kontrollen. Det eror på den ökde ktiviteten i kmiet vid sn tillväxt Rdiell fierredd, μm 3 Rdiell fierredd, μm 3 ( ) Figur. Rdiell fierredd för As () och Flkliden (). = oehndld kontroll, = fstgödsling, = näringsevttning, =evttning. 9 9 Tngentiell fierredd, μm 5 3 Tngentiell fierredd, μm Figur 5. Tngentiell fierredd för As () och Flkliden (). = oehndld kontroll, = fstgödsling, = näringsevttning, =evttning. Mikrofirillvinkel och styrk Mikrofirillvinkeln ligger på en högre nivå för de ehndlde estånden. Dett smmntget med lägre densitet leder till en lägre elsticitetsmodul för de gödslde träden. Grenfrekvensen ökde med gödsling liksom storleken på grenrn. Dett inneär tt hållfstheten sjunker ytterligre för de snvuxn gödslde estånden. Grenvolymen i reltion till stmvedsvolymen vr dock konstnt (Mäkinen m.fl. 1) vilket inneär tt denn prmeter inte ör påverk utnyttjndet för mssindustrin. 5
6 MFA, O MF A, o ( ) Figur. Mikrofirillvinkel för As () och Flkliden (). = oehndld kontroll, = fstgödsling, = näringsevttning, =evttning Elsticitetsmodul, GP Elsticitetsmodul, GP ( ) Figur. Elsticitetsmodul kvistfritt virke för As () och Flkliden (). = oehndld kontroll, = fstgödsling, = näringsevttning, =evttning. Fördelningr Medelvärden per årsring säger inte llt om hur fierråvrn ser ut, speciellt inte i de fll då firern inte följer en symmetrisk normlfördelning. För tt få en ild v hur mycket firer vi får och hur de ser ut hr distriutionern studerts. Figur visr fördelningen v firer enligt cellväggstjocklek för As. Kurvorn är viktde så tt mn direkt i grfen sk kunn jämför fierutfllet i den oehndlde kontrollen med fierutfllet för näringsevttningen. I stort är distriutionerns läge smm för de två försöksleden. Figuren visr förekomst v något tunnre fierväggr i näringsevttningen smtidigt som de llr tjockste cellväggrn skns. Frmförllt ger näringsevttningen fler vårvedsfirer. Här viss exemplet för As men mönstret för Flkliden är i stort smm. Figur 9 visr fierreddsfördelningen för Flkliden. De olik försöksleden hr producert ungefär lik mycket sommrved. Näringsevttningen hr däremot ökt mängden vårvedsfirer mrknt. Vårvedsfirern från näringsevttningen är också förskjutn mot fler stor firer även om spännvidden d.v.s. minoch mxdimetern inte skiljer så mycket melln oehndlt och gödslt. Mönstret för As är liknnde.
7 Vårved Procent Sommrved Cellväggstjocklek, μm Figur. Cellväggstjockleksfördelning för As, = oehndld kontroll, = näringsevttning. Vårved 5 Procent 3 Sommrved Rdiell fierredd, μm Figur 9. Fördelning v firer enligt rdiell fierredd, Flkliden. = oehndld kontroll, = näringsevttning. Fördelningrn är viktde efter producerd volym så tt en direkt jämförelse melln ehndlingrn är möjlig. Torrsustnsproduktion Skillndern i torrsustnsproduktion lir p.g.. den lägre densiteten i ehndlingrn något mindre än skillndern i volym (Figur ).
8 Torrsustns, kg C F I IL C F IL As As As As Flk Flk Flk Figur 1. Medelstmmens torrsustnsproduktion frm till Hur förklrs de effekter som finns i grfern? Ved- och fieregenskpern för ett givet mteril estäms v utvecklingen från märg och ut vilket kn nges v ntl årsringr från märg eller vstånd i mm från märg. Tillväxten uttryckt som årsringsredd är strkt korrelerd med de genomsnittlig vedegenskpern för årsringen då den i princip nger hur mycket v vårved respektive sommrved som finns. Olik egenskper hos veden och firern uppvisr lite olik smnd med dess förklrnde vriler. Densitet och cellväggstjocklek är strkt eroende v årsringsredd men årsringsredden förklrr inte llt. Eftersom ndelen sommrved ökr från märg och ut hr vståndet från märg också hr en viss effekt. Fierredden ökr från märg och ut frmförllt eroende på vstånd från märg. Ett snvuxet mteril kommer tt ligg före ett tätvuxet vid smm ålder vilket gör tt dess firer lir större tidigre. När mn jämför mterilen från de olik ehndlingrn med hänsyn tgen till de olik förklrnde vrilern återstår ing eller väldigt små skillnder melln ehndlingsleden. Det etyder tt gödslingen i sig inte hr någon större inverkn på vedildningen utn tt det frmförllt är tillväxtökningen som vgör. Syntes Ved och fieregenskper påverks v ökd tillväxt men förändringrn kn i llt väsentligt förklrs v tillväxt. Gödslingen i sig förändrr inte fiern. Tillväxtökningen på grund v gödsling ger en förskjutning mot fler firer v vårvedskrktär med tunn väggr, större dimetrr och högre mikrofirillvinkr. Firern är också kortre. I As- och Flklidenmterilet hr det snvuxn gödslde virket ved- och fieregenskper som liknr den juvenil veden men skillnden melln kontroll och gödslt är mindre än skillnden melln juvenil och mogen ved. Det etyder tt även en gnsk intensiv gödslingsregim kommer tt producer firer v en typ som finns redn idg. Eftersom det frmförllt är den ökde tillväxten som förklrr vedens förändringr är det intressnt tt sätt in onitetshöjningen i reltion till den skogmrk och råvr vi hr i Sverige
9 i dg. Näringsoptimeringrn i Flkliden inneär i onitetstermer en förflyttning till södr Sverige. För As inneär onitetshöjningen tt vi förflyttr oss utnför lndets gränser Skogsmrk, h Flkliden (C) N. Norrlnd S. Norrlnd Svelnd Götlnd Flkliden (F, IL) As (C) As(F) As(IL) Bonitet m 3 h -1 år -1 Figur 11. Sveriges skogsmrk fördeld på oniteter och onitetshöjningrn till följd v de olik ehndlingrn i As och Flkliden (Grunddt från Riksskogtxeringen och onitetssiffror för As och Flkliden, John Bergh, meddelnde). Dett tnkeexperiment hr dock viss egränsningr t.ex. är ndelen sommrved eroende v vegettionsperiodens längd vilket gör tt veden lir något nnorlund i olik delr v lndet. Referenser Lundgren, C. (3). Wood nd fire properties of fertilized Norwy spruce, Doctorl thesis. Silvestri Swedish University of Agriculturl Sciences. Lundgren, C. (). Cell wll thickness nd tngentil nd rdil cell dimeter of fertilized nd irrigted Norwy spruce. Silv Fennic 3(1): Lundgren, C. (). Microfiril ngle nd density ptterns of fertilized nd irrigted Norwy spruce. Silv Fennic 3(1): Mäkinen, H., P. Srnp, et l. (1). Effect of nutrient optimiztion on rnch chrcteristics in Pice ies (L.) Krst. Scndinvin Journl of Forest Reserch 1(): Mäkinen, H., P. Srnpää, et l. (). Effect of growth rte in fire chrcteristics in Norwy spruce (Pice ies (L.) Krst.). Holzforschung 5(5): 9-. 9
SVERIGES LANTBRUKSUNIVERSITET
SVERIGES LANTBRUKSUNIVERSITET Skyddseffekt mot snytggeskdor för cypermetrin, imidkloprid, lmd-cyhlotrin och Conniflex Smmnställning v försök nlgd 22-26 på As och Tönnersjöhedens försöksprker. Delrpport
Läs merByt till den tjocka linsen och bestäm dess brännvidd.
LINSER Uppgit: Mteriel: Teori: Att undersök den rytnde örmågn hos olik linser och tt veriier linsormeln Ljuskäll och linser ur Optik-Elin Med hjälp v en lmp och en ländre med ler öppningr år vi ler ljusstrålr,
Läs merSlutrapport Jordbruksverket Dnr. 25-12105/10 Kontroll av sniglar i ekologisk produktion av grönsaker och bär
Slutrpport Jordruksverket Dnr. 25-125/ Kontroll v sniglr i ekologisk produktion v grönsker och är Projektledre: Birgitt Svensson, Område Hortikultur, SLU Innehåll sid Smmnfttning 3 Bkgrund / Motivering
Läs merDet energieffektiva kylbatteriet
Croline Hglund, Civ.ing. SP Sveriges Provnings- och Forskningsinstitut, Energiteknik, Borås, croline.hglund@sp.se Per Fhlén, Prof. Inst. för Instlltionsteknik, CTH, Göteorg, per.fhlen@hvc.chers.se Det
Läs merNya regler för plåtbalkar-eurokod 3-1-5
Bernt Johnsson 008-0-5 Ny regler för plåtlkr-eurokod --5 Bkgrund Med plåtlk mens en lk som är uppyggd v smmnsvetsde plåtr på engelsk plted structure. Plåtlkr nvänds när vlsde lkr inte räcker till eller
Läs merTrigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...
Trigonometri Innehåll 1 Rätvinklig tringlr 1 Godtyklig tringlr oh enhetsirkeln 3 Tringelstsern 4 3.1 restsen.............................. 4 3. Sinusstsen.............................. 5 3.3 Kosinusstsen.............................
Läs merFörsök med vallfröblandningar Av Nilla Nilsdotter-Linde SLU, Fältforskningsenheten, Box 7043, 750 07 Uppsala E-post: Nilla.Nilsdotter-Linde@ffe.slu.
Försök med vllfröblndningr Av Nill Nilsdotter-Linde SLU, Fältforskningsenheten, Box 7043, 750 07 Uppsl E-post: Nill.Nilsdotter-Linde@ffe.slu.se Smmnfttning Målsättningen med försöksserien hr vrit tt sök
Läs merAnvändande av formler för balk på elastiskt underlag
Användnde v formler för blk på elstiskt underlg Bilg 2 Sidn 1 v 1 Formler från [ ] hr nvänts i exelberäkningr för någr geometrier och någr lstfll. Dess exempel hr också beräknts med FEM för tt kontroller
Läs merExponentiella förändringar
Eonentiell förändringr Eonentilfunktionen - llmänt Eonentilfunktionen r du tidigre stött å i åde kurs oc 2. En nyet är den eonentilfunktion som skrivs y = e. (Se fig. nedn) Tlet e, som är mycket centrlt
Läs merLångtidssjukskrivna. diagnos, yrke, partiell sjukskrivning och återgång i arbete. En jämförelse mellan 2002 och 2003 REDOVISAR 2004:7.
REDOVISAR 2004:7 Långtidssjukskrivn dignos, yrke, prtiell sjukskrivning och återgång i rbete En jämförelse melln 2002 och 2003 Smmnfttning Kvinnor svrr för 65 procent v de långvrig sjukskrivningrn som
Läs merSF1625 Envariabelanalys
SF1625 Envribelnlys Föreläsning 13 Institutionen för mtemtik KTH 27 september 2017 SF1625 Envribelnlys Anmäl er till tentn Anmäl er till tentn nu. Det görs vi min sidor. Om det inte går, mejl studentexpeditionen
Läs merKan det vara möjligt att med endast
ORIO TORIOTO yllene snittet med origmi ed endst någr få vikningr kn mn få frm gyllene snittet och också konstruer en regelbunden femhörning. I ämnren nr 2, 2002 beskrev förfttren hur mn kn rbet med hjälp
Läs merSkyddseffekt mot snytbaggeskador för Merit Forest, Forester, Hylobi Forest och Conniflex
Skyddseffektt mot snytggeskdor för Merit Forest, Forester, Hyloi Forest och Conniflex Smmnställning v försök nlgd 2-92 9 på As och Tönnersjöhedens försöksprker Delrpport nr 3 Kristin Wllertz & Ulf Johnsson
Läs merBorcilac, en vasslebaserad foderkomponent i smågrisfoder
Borcilc, en vssleserd foderkomponent i smågrisfoder Smmnfttning - Tillsts v,5% Borcilc i ett konventionellt smågrisfoder ökde den dglig tillväxten under två veckor efter vvänjningen med melln 50 och 00
Läs merTyngdkraftfältet runt en (stor) massa i origo är. F(x, y, z) =C (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2
Nr 7, pril -, Ameli 7 Linjeintegrler 7. Idéer och smmnhng I en enkelintegrl summers värden v en funktion v en vriel f() längs ett visst intervll. I en duelintegrl summers värden v en funktion v två vriler
Läs merSlutrapport för projektet
KUNSKAP FÖR LANDETS FRAMTID Slutrpport för projektet Etlering v ekologiskt gräsfrö på hösten i höstvete Puliert 214-3-1 Per Ståhl1, Ann-Chrlotte Wllenhmmr2, Ev Stoltz2, 1 Hushållningssällskpet, Vret Kloster
Läs merGör slag i saken! Frank Bach
Gör slg i sken! Frnk ch På kppseglingsbnn ser mn tävlnde båtr stgvänd lite då och då under kryssrn. En del v båtrn seglr för styrbords hlsr och ndr för bbords. Mn kn undr vem som gör rätt och hur mn kn
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson
Uppsl Universitet Mtemtisk Institutionen Thoms Erlndsson RÄTA LINJER, PLAN, SKALÄRPRODUKT, ORTOGONALITET MM VERSION MER OM EKVATIONSSYSTEM Linjär ekvtionssystem och den geometri mn kn härled ur dess är
Läs merSkriv tydligt! Uppgift 1 (5p)
1(1) IF1611 Ingenjörsmetodik för IT och ME, HT 1 Tentmen Gäller även studenter som är registrerde på B1116 Torsdgen den 1 okt, 1, kl. 14.-19. Skriv tydligt! Skriv nmn och personnummer på ll inlämnde ppper!
Läs merTATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler
TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 5 november 28 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn
Läs merTATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler
TATA42: Föreläsning 4 Generliserde integrler John Thim 29 mrs 27 Vi hr stött på begreppet tidigre när vi diskutert Riemnnintegrler i föregående kurs. Denn gång kommer vi lite mer tt fokuser på frågn om
Läs merGOLV. Norgips Golvskivor används som underlag för golv av trä, vinyl, mattor och andra beläggningar. Här de tre viktigaste konstruktionerna
GOLV Norgips Golvskivor nvänds som underlg för golv v trä, vinyl, mttor och ndr beläggningr. Här de tre viktigste konstruktionern 1. Ett lg golvskivor på träunderlg 2. Flytnde golv med två lg golvskiv
Läs merVilken rät linje passar bäst till givna datapunkter?
Vilken rät linje pssr bäst till givn dtpunkter? Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com Smmnfttning I det här dokumentet diskuterr vi minst-kvdrtmetoden för skttning v en rät linje till dt.
Läs mer14. MINSTAKVADRATMETODEN
4 MINTAKADRATMETODEN Nu sk vi gå igenom någr olik sätt tt lös ekvtionssystemet Ax Om A är m n mtris med m n så sägs systemet vr överestämt och det sknr då i llmänhet lösningr Istället söker mn en pproximtiv
Läs merMånadsrapport juni 2014. Social- och äldrenämnden Äldre- och omsorgsavdelningen
Måndsrpport juni 2014 Socil- och äldrenämnden Äldre- och omsorgsvdelningen 1 Ekonomi och verksmhet 1.1 Resultt per verksmhet 1.1.1 Resultt juni 2014 Intäkter Kostnder Verksmhet Kom. ers. Fsg v verksm.
Läs merSF1625 Envariabelanalys
Modul 5: Integrler Institutionen för mtemtik KTH 30 november 4 december Integrler Integrler är vd vi sk håll på med denn veck och näst. Vi kommer tt gör följnde: En definition v vd begreppet betyder En
Läs merKvalificeringstävling den 2 oktober 2007
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Kvlifieringstävling den oktober 007 Förslg till lösningr 1 I en skol hr vr oh en v de 0 klssern ett studieråd med 5 ledmöter vrder Per är den ende v
Läs merLäsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS
Läsnvisningr för MATEMATIK I, ANALYS Läsnvisningrn är tänkt i först hnd för dig som läser kursen mtemtik I på distns, och de sk vägled dig på din res genom nlysen. Stoffet är i stort sett portionert på
Läs merXIV. Elektriska strömmar
Elektromgnetismens grunder Strömmens riktning Mn definierr tt strömmen går från plus (+) till minus (-). För tt få till stånd en ström måste mn. Spänningskäll 2. Elektriskt lednde ledningr 3. Sluten krets
Läs merTMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013
TMV151/TMV181 Fredrik Lindgren Mtemtisk vetenskper Chlmers teknisk högskol och Göteborgs universitet 19 november 2013 F. Lindgren (Chlmers&GU) Envribelnlys 19 november 2013 1 / 24 Outline 1 Mss, moment
Läs merRäkneövning 1 atomstruktur
Räkneövning 1 tomstruktur 1. Atomerns lägen i grfen (ett mteril som består v endst ett end tomlger v koltomer och vrs upptäckt gv Nobelpriset i fysik, 010) ligger i de gitterpunkter som viss i figuren
Läs merDiskreta stokastiska variabler
Definitioner: Diskret stokstisk vribler Utfllet i ett slumpmässigt försök i form v ett reellt tl, betrktt innn försöket utförts, klls för stokstisk vribel eller slumpvribel (oft betecknd ξ, η ) Ett resultt
Läs merKompletterande formelsamling i hållfasthetslära
Kompletternde formelsmling i hållfsthetslär Görn Wihlorg LTH 004 Spänningstillståndet i ett pln, vinkelätt mot en huvudspänningsriktning ϕ cos ϕ+ sin ϕ + sinϕcosϕ ϕ sinϕ+ cos ϕ Huvudspänningr och huvudspänningsriktningr
Läs merTentamen Programmeringsteknik II Skrivtid: Skriv läsligt! Använd inte rödpenna! Skriv bara på framsidan av varje papper.
Tentmen Progrmmeringsteknik II 014-10-4 Skrivtid: 1400 1900 Tänk på följnde Skriv läsligt! Använd inte rödpenn! Skriv r på frmsidn v vrje ppper. Börj lltid ny uppgift på nytt ppper. Lägg uppgiftern i ordning.
Läs merHjälpreda. Lathunden 1. Dimensionering Virkeskvaliteter Fuktkvotsklasser Träskydd Virkessortiment Limträsortiment Tabeller. Lathunden Virkesåtgång
Hjälpred Lthunden Virkesåtgång Dimensionering Virkeskvliteter Fuktkvotsklsser Träskydd Virkessortiment Limträsortiment Teller 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 13 14 Lthunden 1 Lthunden 2 Sommrhus Tjjkovski,
Läs merFrågor för tentamen EXTA50 Samhällsmätning, 9 hp, kl januari, 2015.
FÖRSÄTTSBLAD Institutionen för Nturgeogrfi och Ekosystemvetenskper Institutionen för Teknik och Smhälle Frågor för tentmen EXTA50 Smhällsmätning, 9 hp, kl. 8-13 12 jnuri, 2015. Denn tentmen rätts nonymt.
Läs merMateriens Struktur. Lösningar
Mteriens Struktur Räkneövning 1 Lösningr 1. I ntriumklorid är vrje N-jon omgiven v sex Cl-joner. Det intertomär vståndet är,8 Å. Ifll tomern br skulle växelverk med Coulombväxelverkn oh br med de närmste
Läs merSfärisk trigonometri
Sfärisk trigonometri Inledning Vi vill nvänd den sfärisk trigonometrin för beräkningr på storcirkelrutter längs jordytn (för sjöfrt och luftfrt). En storcirkel är en cirkel på sfären vrs medelpunkt smmnfller
Läs merGeometri. 4. Fyra kopior av en rätvinklig triangel kan alltid sättas ihop till en kvadrat med hål som i följande figur varför?
Geometri 1. Linjen är isektris till vinkeln. Sträkorn, oh är lik lång. Hur stor är vinkeln? vgör utn mätningr! 4. Fyr kopior v en rätvinklig tringel kn lltid sätts ihop till en kvdrt med hål som i följnde
Läs merCampingpolicy för Tanums kommun
1(8) Cmpingpolicy för Tnums kommun 1. Bkgrund Strömstds och Tnums kommuner diskuterde gemensmt sin syn på cmpingverksmhetern i respektive kommun år 2003 och kunde då se ett stort behov v tt en likrtd syn
Läs mer13.9.2006 Dnr 6/002/2006. Till pensionsstiftelser som bedriver tilläggspensionsskydd och är underställda lagen om pensionsstiftelser
FÖRESRIFT 13.9.2006 Dnr 6/002/2006 Till pensionsstiftelser som edriver tilläggspensionsskydd och är underställd lgen om pensionsstiftelser FÖRSÄRINGSTENIS BERÄNINGR OCH DERS BERÄNINGSGRUNDER FÖR PENSIONSSTIFTELSER
Läs merUnder årens lopp har många lärare och forskare beskrivit hur nybörjarstudenterna
B. Grevholm, J. Lundqvist, L-E. Persson & P. Wll Ett mentorprojekt för gymnsieelever i Luleå Hur får vi fler gymnsieelever intresserde v tt örj läs mtemtik vid universitetet? Den frågn hr mång mtemtiklärre
Läs merGEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.
GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet. v Någr v de storheter som förekommer inom nturvetenskp kn specificers genom tt ders mätetl nges med ett end reellt tl. Exempel på sådn storheter, som klls sklär
Läs merSPEL OM PENGAR FÖR - EN FRÅGA FÖR SKOLAN? VERKTYG, ÖVNINGAR OCH KUNSKAPSBANK FÖR ARBETE MED SPEL OM PENGAR I SKOLAN
Övningr och verktyg för år 7-9 och gymnsiet SPEL OM PENGAR - EN FRÅGA FÖR SKOLAN? ANPASSAT FÖR BLAND ANNAT SVENSKA, SPEL I KONSTHISTORIEN BILD, MATEMATIK OCH SAMHÄLLSKUNSKAP IILLEGALT SPEL VERKTYG, ÖVNINGAR
Läs merRektangulär kanal, K. Produktbeteckning. Beteckningsexempel. Sida A (se storlekstabell) Sida B (se storlekstabell)
K Rektngulär knl, K Produkteteckning Produkt K c d Sid A (se storlekstell) Sid B (se storlekstell) Längd 1=2000 mm 2= 1250 mm 3= 1000 mm 4= 600 mm 5= Löpnde längd nges i klrtext (mx 2500 mm) 1= Skrv i
Läs merGeneraliserade integraler
Generliserde integrler Mtemtik Breddning 2.5 Frm till denn punkt hr vi endst studert integrler där funktionen som skll integrers vrit begränsd. Dessutom hr det intervll över vilket vi integrerr vrit begränst
Läs merListor = generaliserade strängar. Introduktion till programmering SMD180. Föreläsning 8: Listor. Fler listor. Listindexering.
1 Introduktion till progrmmering SMD180 Föreläsning 8: Listor 2 Listor = generliserde strängr Strängr = sekvenser v tecken Listor = sekvenser v vd som helst [10, 20, 30, 40] # en list v heltl ["spm", "ungee",
Läs merVÅRT MILJÖARBETE MILJÖ HÄLSA SÄKERHET ENERGI 2006
VÅRT MILJÖARBETE MILJÖ HÄLSA SÄKERHET ENERGI 2006 SCA GRAPHIC SUNDSVALL ETT SCA FOREST PRODUCTS FÖRETAG 1 I KORTHET SCA GRAPHIC SUNDSVALL SCA Grphic Sundsvll tillverkr klorfri sulftmss, CTMP och psorbtionsmterilet
Läs merMånadsrapport september 2013. Individ- och familjeomsorg
Måndsrpport september 2013 Individ- och fmiljeomsorg Innehållsförteckning 1 Ekonomi och verksmhet... 3 1.1 Resultt per verksmhet... 3 1.2 Volymer, sttistik och kostndsnyckeltl... 5 Individ- och fmiljeomsorg,
Läs merAllmän studieplan för utbildning på forskarnivå i ämnet medicinsk vetenskap (Dnr /2017)
Allmän studiepln för utbildning på forskrnivå i ämnet medicinsk vetenskp (Dnr 3-3225/2017) Gäller fr.o.m. 1 jnuri 2018 Fstställd v Styrelsen för forskrutbildning 2017-09-11 2 Allmän studiepln för utbildning
Läs merMATEMATISKT INNEHÅLL UPPGIFT METOD. Omvandla mellan olika längdenheter. METOD BEGREPP RESONEMANG. Ta reda på omkrets. 5 Vilken omkretsen har figuren?
Kn du dett? Uppgiftern här är tänkt tt nvänds för utvärdering v hur elevern tillägnt sig kpitlets mtemtisk innehåll. Låt elevern, prvis eller i mindre grupper, lös uppgiftern tillsmmns och förklr för vrndr
Läs merEvighetskalender. 19 a) nyårsdagen var år 2000 b) julafton kommer att vara på år 2010 c) de första människorna landade på månen, 20 juli 1969
Evighetsklender Vilken veckodg vr det när du föddes? På vilken veckodg fyller du 18 år? Med den här evighetsklendern kn du t red på det. Gör så här när du sk t red på veckodgen: Lägg ihop följnde fyr tl:
Läs merLösningsförslag till deltentamen i IM2601 Fasta tillståndets fysik. Teoridel
Lösningsförslg till deltentmen i IM601 Fst tillståndets fysik Gitter och bs i dimensioner Fredgen den 18 mrs, 011 Teoridel 1. ) Den primitiv enhetscellen är den minst enhetscell som ger trnsltionssymmetri
Läs merTATA42: Föreläsning 12 Rotationsarea, tyngdpunkter och Pappos-Guldins formler
TATA4: Föreläsning 1 Rottionsre, tngdpunkter och Pppos-Guldins formler John Thim 15 november 18 1 Rottionsre När vi sk beräkn rottionsre kommer vi tt utför liknnde mnövrr som vi gjorde för rottionsvolmer,
Läs merEfterbesiktning Termografi
Efteresiktning Termogrfi Beksinvägen 15 Utförd v Joel Heinze, Certifierd yggtermogrför DNV oh Certifierd energiexpert Kvlifierd Energikompetens AB Dtum:2012-04-18 Allmänt om termogrfering Avvikelser: Termogrfering
Läs merKOMMLIN FILIPSTADS. Fax: 0590-615 99 E-post: kommun@fi lipstad.se. Revisionsrapport angående gemensam administrativ nämnd
FILIPSTADS KOMMLIN Dtum 2013-03-12 För kdnnedom: Kommunstyrelsen Kommuffillmhige Revisionsrpport ngående gemensm dministrtiv nämnd Vi hr, tillsmmns med revisorem i Kristinehmns, Krlskog och Storfors kommuner
Läs merErfarenheter av projekt och program i Västra Götaland
Utvärderingsrpporter 2012:04 Regionl utveckling Erfrenheter v projekt och progrm i Västr Götlnd En metnlys v utvärderingr v projekt och progrm inom tillväxtrbetet i Västr Götlnd. Anlysen är genomförd v
Läs merSammanfattning, Dag 9
Smmnfttning, Dg 9 Idg studerde vi begrepp sklärprudokt (eller innerprodukt), norm och ortogonlitet på ett llmänt vektorrum. Vi börjde med en kort repetition på smm begrep för vektorrummet R 3. I rummet
Läs merDefinition. En cirkel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till en given punkt är
Armin Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR Andrgrdskurvor NÅGRA VIKTIGA ANDRAGRADSKURVOR: CIRKEL, ELLIPS, HYPERBEL OCH PARABEL CIRKEL Definition. En irkel är mängden v de punkter i plnet vrs vstånd till en given punkt
Läs mer19 Integralkurvor, potentialer och kurvintegraler i R 2 och R 3
Nr9,3mj-5,Ameli 9 Integrlkurvor, potentiler och kurvintegrler i R och R 3 9. Integrlkurvor En integrlkurv r(t) ((t), (t)) till ett vektorfält F(, ) är en kurv där vektorfältet är en tngent till kurvn i
Läs merMatris invers, invers linjär transformation.
Mtris invers, invers linjär trnsformtion. Påminnelse om mtris beräkningr: ddition, multipliktion med sklärer och mtrisprodukt Algebrisk egenskper hos mtrisddition och multipliktion med ett tl (Ly Sts..,
Läs merMEDIA PRO. Introduktion BYGG DIN EGEN PC
BYGG DIN EGEN PC MEDIA PRO Introduktion Dett är Kjell & Compnys snguide till hur Dtorpketet MEDIA PRO monters. Att ygg en dtor är idg myket enkelt oh kräver ingen tidigre erfrenhet. Det ehövs ing djupgående
Läs merProgrammeringsguide ipfg 1.6
Progrmmeringsguide ipfg 1.6 Progrmmeringsklr i-ört pprter (CIC, knl, fullonh) Progrmmeringsklr kom-ört pprter CS-44 Phonk-version Progrmmeringsklr miropprter CS-44 Phonk-version 1 2 1 2 1 2 ipfg 1.6 stndrd
Läs merFinita automater, reguljära uttryck och prefixträd. Upplägg. Finita automater. Finita automater. Olika finita automater.
Finit utomter, reguljär uttryck och prefixträd Algoritmer och Dtstrukturer Mrkus Sers mrkus.sers@lingfil.uu.se Upplägg Finit utomter Implementtion Reguljär uttryck Användningr i Jv Alterntiv till inär
Läs merAtt välja trä. Innehåll. Från skog till planka Skogsbruk 3 Sågverk 5
Att välj trä Innehåll Från skog till plnk Skogsruk 3 Sågverk 5 Egenskper hos furu och grn Träets uppyggnd och struktur 6 Styrk 7 Värmeegenskper 8 Brndegenskper 8 Motståndskrft mot nedrytning 8 Virkeskvliteter
Läs merGauss och Stokes analoga satser och fältsingulariteter: källor och virvlar Mats Persson
Föreläsning 14/9 Guss och tokes nlog stser och fältsingulriteter: källor och virvlr Mts Persson 1 tser nlog med Guss och tokes stser 1.1 tser nlog med Guss sts Det finns ett pr stser som är mycket när
Läs merIntegraler och statistik
Föreläsning 8 för TNIU Integrler och sttistik Krzysztof Mrcinik ITN, Cmpus Norrköping, krzm@itn.liu.se www.itn.liu.se/krzm ver. 4 - --8 Inledning - lite om sttistik Sttistik är en gren v tillämpd mtemtik
Läs mer1. (6p) (a) Använd delmängdskonstruktionen för att tillverka en DFA ekvivalent med nedanstående NFA. (b) Är den resulterande DFA:n minimal? A a b.
UPPSAA UNIVERSITET Mtemtisk institutionen Slling (070-6527523) PROV I MATEMATIK AUTOMATATEORI 18 okt 2012 SKRIVTID: 8-13. HJÄPMEDE: Ing. MOTIVERA AA ÖSNINGAR NOGGRANT. BETYGSGRÄNSER: För etygen 3, 4 respektive
Läs merSkapa uppmärksamhet och få fler besökare till din monter!
Skp uppmärksmhet och få fler esökre till din monter! För tt vinn den tuff tävlingen om uppmärksmheten, på en plts där hel rnschen är smld, gäller det tt slå på stor trummn och tl om tt du finns. Till en
Läs mer9. Bestämda integraler
77 9. Bestämd integrler Låt f vr en icke-negtiv, begränsd funktion på [,b]. Vi hr lltså 0 f(x) ll x [,b] för någon konstnt B. B för Problem: Beräkn ren A v den yt som begränss v kurvn y = f(x), x b, x-xeln
Läs mera sin 150 sin 15 BC = BC AB 1.93 D C 39º 9.0
18 Trigonometri Övning 18.1 I tringeln är sidorn och lik lång. Tringelns störst vinkel är 10. eräkn förhållndet melln sidorn och. Svr med tre gällnde siffror. Mätning i figur godts ej. Tringeln är likbent.
Läs merN atom m tot. r = Z m atom
Räkneövning fri elektroner och reciprok gittret 1. Silver, Ag, hr fcc-struktur, tomnummer 47, tomvikten 17,87 u, yttre elektronkonfigurtionen 4d 1 5s 1 och densiteten 149 kg/m 3. ) Beräkn tätheten n v
Läs merIntegralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna
CTH/GU STUDIO TMVb - / Mtemtisk vetenskper Integrlen Anlys och Linjär Algebr, del B, K/Kf/Bt Inledning Mn kn inte lltid bestämm integrler f() d ekt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproimtioner. T.e. e
Läs merVarför är. kvinnor. mer sjukskrivna. änmän. -just här? Reflektioner och ett fortsatt lärande
Vrför är kvinnor mer sjukskrivn änmän -just här? Reflektioner och ett fortstt lärnde Smmnställning v vunnen kunskp och reflektioner Under tre dgr hr 29 medrbetre från sex myndigheter i norr Västmnlnd fördjupt
Läs merTentamen i Databasteknik
Tentmen i Dtsteknik lördgen den 22 oktoer 2005 Tillåtn hjälpmedel: Allt upptänkligt mteril Använd r frmsidn på vrje ld. Skriv mx en uppgift per ld. Motiver llt, dokumenter egn ntgnden. Oläslig/oegriplig
Läs merTentamen ellära 92FY21 och 27
Tentmen ellär 92FY21 och 27 201-08-22 kl. 8 13 Svren nges på seprt ppper. Fullständig lösningr med ll steg motiverde och eteckningr utstt sk redoviss för tt få full poäng. Poängen för en helt korrekt löst
Läs merKontinuerliga variabler
Kontinuerlig vribler c 005 Eric Järpe Högskoln i Hlmstd Antg tt vi kunde mät med oändligt stor noggrnnhet hur stor strömstyrk en viss typ v motstånd klrr. Ing mätningr skulle då vr exkt lik. Om vi mätte
Läs merAssociativa lagen för multiplikation: (ab)c = a(bc). Kommutativa lagen för multiplikation: ab = ba.
Rtionell tl Låt oss skiss hur mn definierr de rtionell tlen utifrån heltlen. Förutom tt det ger en inblick i hur mtemtiken är uppbyggd, är dett är ett br exempel på ekvivlensreltioner och ekvivlensklsser.
Läs merORIENTERINGSRAPPORT Långtidseffekter på skogsproduktion efter askåterföring och kalkning Preliminära resultat från en pilotstudie
MILJÖRIKTIG ANVÄNDNING AV ASKOR 1107 ORIENTERINGSRAPPORT Långtidseffekter på skogsproduktion efter skåterföring och klkning Preliminär resultt från en pilotstudie Ulf Sikström, Stffn Jcobson, Ulf Johnsson,
Läs merInduktion LCB 2000/2001
Indution LCB 2/2 Ersätter Grimldi 4. Reursion och indution; enl fll n 2 En tlföljd n nturligtvis definiers genom tt mn nger en explicit formel för uträning v n dess 2 element, som till exempel n 2 () n
Läs mer6 Formella språk. Matematik för språkteknologer (5LN445) UPPSALA UNIVERSITET
UPPSALA UNIVERSITET Mtemtik för språkteknologer (5LN445) Institutionen för lingvistik och filologi VT 2014 Förfttre: Mrco Kuhlmnn 2013 (mindre revision Mts Dhllöf 2014) 6 Formell språk Det mänsklig språket
Läs merTentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00
Tentmen i Mtemtik, HF9 9 dec 6, kl. 8:-: Emintor: Armin Hlilovic Undervisnde lärre: Erik Melnder, Jons Stenholm, Elis Sid För godkänt betyg krävs v m poäng. Betygsgränser: För betyg A, B, C, D, E krävs,
Läs merIntegraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper
CTH/GU LABORATION MVE6 - / Mtemtisk vetenskper Inledning Integrler Iblnd kn mn inte bestämm integrler exkt utn mn får nöj sig med tt beräkn pproximtioner. T.ex. e x dx kn inte beräkns exkt, eftersom det
Läs merUttryck höjden mot c påtvåolikasätt:
Sinusstsen Beviset i PB gger å tre resultt som nog få gmnsieelever är förtrogn med. Vrje tringel hr en s.k. omskriven cirkel en cirkel som går genom ll tre hörnen : C Uttrck höjden mot c åtvåoliksätt:
Läs merTillämpad Matematik I Övning 4
HH/ITE/BN Tillämpd Mtemtik I, Övning 8 6 Tillämpd Mtemtik I Övning 6 8 Allmänt Övningsuppgiftern, speciellt Tpuppgifter i först hnd, är eempel på uppgifter du kommer tt möt på tentmen. På denn är du ensm,
Läs merMatematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister. Matematisk statistik slumpens matematik. Exempel: Utsläpp från Källby reningsverk.
Mtemtisk sttistik för B, K, N, BME och Kemister Föreläsning 1 John Lindström 1 september 2014 John Lindström - johnl@mths.lth.se FMS086/MASB02 F1 2/26 Exempel Tillämpningr Signlbehndling Mtemtisk sttistik
Läs merLamellgardin. Nordic Light Luxor INSTALLATION - MANÖVRERING - RENGÖRING
INSTALLATION - MANÖVRERING - RENGÖRING Se till tt lmellgrdinen fästes i ett tillräckligt säkert underlg. Ev motor och styrutrustning skll instllers v behörig elektriker. 1 Montering Luxor monters med de
Läs merEXAMENSARBETE. Styckefall och svällning vid sprängning av inspända bergprover. Jonas Edin Lars Martinsson. Luleå tekniska universitet
EXAMENSARBETE 2008:206 CIV Styckefll och svällning vid sprängning v inspänd bergprover Jons Edin Lrs Mrtinsson Luleå teknisk universitet Civilingenjörsprogrmmet Väg- och vttenbyggndsteknik Institutionen
Läs merDelrapport från projekt Kontroll av sniglar i ekologisk produktion av grönsaker och bär, 2010.
Delrpport från projekt Kontroll v sniglr i ekologisk produktion v grönsker oh är, 21. Projektledre: Birgitt Svensson Kort projekteskrivning Sniglr, främst den spnsk skogssnigeln, Arion lusitnius, men även
Läs merKTH Teknikvetenskap Fotografi-lab 3
KTH Teknikvetenskp Fotogrfi-lb 3 Svrtvitt kopieringsrbete, tonreproduktion Kurs: SK2380, Teknisk Fotogrfi Kjell Crlsson & Hns Järling Tillämpd Fysik, KTH, 2015 1 För tt uppnå en god förståelse och inlärning
Läs merGuide - Hur du gör din ansökan
Guide - Hur du gör din nsökn För tt komm till nsökningswebben går du in på www.gymnsievlsjuhärd.se och klickr på Ansökningswebb. Men innn du går dit läs igenom informtion under Ansökn och Antgning. Ansökningswebben
Läs mer13. Energimetoder. r R
13. Energimetoder 13.1 eräkn nedböjningen under lsten å kvrtscirkelbågen med krökningsrdien. Tg hänsyn till xil, skjuv och böjdeformtion. ågen hr ett mssivt cirkulärt tvärsnitt med rdien r «; mterilet
Läs merTentamen i ETE115 Ellära och elektronik, 4/1 2017
Tentmen i ETE5 Ellär och elektronik, 4/ 07 Tillåtn hjälpmedel: Formelsmling i kretsteori. Oserver tt uppgiftern inte är sorterde i svårighetsordning. All lösningr skll ges tydlig motiveringr. v 0 i 0 Beräkn
Läs merNATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 2005 3. Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 4. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6
Kurs plnering.se NpMC vt005 (5) Innehåll Förord NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN 005 Del I, 0 uppgifter utn miniräknre 4 Del II, 8 uppgifter med miniräknre 6 Förslg på lösningr till uppgifter
Läs merRöstens ålder. - en auditiv & akustisk studie. Susanne Schötz
D-uppsts i fonetik FON 44 Institutionen för lingvistik Lunds Universitet Juni 21 Hndledre: Prof. Göst Bruce Röstens ålder - en uditiv & kustisk studie Susnne Schötz Innehållsförteckning 1 Introduktion
Läs mer> VD har ordet: Frösunda satsar på anhörigfrågorna > Frösunda främjar kvinnors företagande i Indien > 5 frågor: Sofia Hägg-Jegebäck
> VD r ordet: Frösund stsr på nörigfrågorn > Frösund främjr kvinnors företgnde i Indien > 5 frågor: Sofi Hägg-Jegebäck APRIL 2015 Nyetsbld med ktuell informtion till dig som rbetr i Frösund. VD HAR ORDET
Läs merLösningar basuppgifter 6.1 Partikelns kinetik. Historik, grundläggande lagar och begrepp
Lösningr bsuppgifter 6.1 Prtikelns kinetik. Historik, grundläggnde lgr och begrepp B6.1 1-2) Korrekt 3) elktig (Enheten skll inte vr med här; om exempelvis m 2 = 10 kg, så är m 2 g = 98,1. Uttrycket m
Läs merFinaltävling den 20 november 2010
SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svensk Mtemtikersmfundet Finltävling den 20 november 2010 Förslg till lösningr Problem 1 Finns det en tringel vrs tre höjder hr måtten 1, 2 respektive 3 längdenheter? Lösning
Läs merPASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL
PASS. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL. Tl, bråktl och decimltl Vd är ett tl för någonting? I de finländsk fmiljern brukr det vnligtvis finns två brn enligt Sttistikcentrlen (http://www.tilstokeskus.fi/tup/suoluk/suoluk_vesto_sv.html).
Läs mervara n-dimensionella vektorer. Skalärprodukten av a och b betecknas a b ) vara tvådimensionella vektorer. Skalärprodukten av a och b är
Armin Hliloic: EXTRA ÖVNINGAR Sklärprodkt och ektorprojektion SKALÄRPRODUKT. EGENSKAPER. GEOMETRISK TOLKNING. PROJEKTION AV EN VEKTOR PÅ EN RÄT LINJE Sklärprodkt i R n, R och R : Definition. Låt,,...,
Läs mer