4. Laplacetransformmetoder
|
|
- Ellen Bengtsson
- för 5 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 4. Laplaceraforeoer 4. Differeialekvaioer Differeialekvaioer gör gre för e aeaik bekrivig av aika e i koierlig i åo fragår av exeple i avi 3.. E iffereialekvaio bekriver hr e vi variabel beror av e eller flera ara variabler. Elig reglerekik eriologi kallar vi e beroee variabel för igal och e ara oberoee variablera för iigaler. Efero iigalera är oberoee ka vi för e e e flera iigaler oral beraka e iigal i age geo a låa e övriga iigalera ha koaa väre. E e e kocererae paraerar ka å allä bekriva e e oriär iffereialekvaio av fore g 4. är och är iigal rep. igal a g e gocklig aalik fkio. Sorhee v orige på höga igalerivaa kalla ee origal. Noral är efero oae klle iebära a iigale eriverae effek vore oierae vilke är ovalig i prakike. E e e äg vara e proper e; oae är e ickeproper e. O fkioe g är lijär ka iffereialekvaioe 4. kriva på fore a a a a b b b b 4. Koefficieera a a a b b är eparaerar o karakerierar egekapera ho e lijära ee. Dea paraerar är ie eiga; e ka okala e e gocklig fakor olik oll.ex. å a e av paraerara får väre e. Efero 4. är e :e orige iffereialekvaio åe e gälla a a vilke beer a e kalig å a a alli ka göra. O a förerar a ibla e kalig o gör a. O a eler icke-propra e ka a vi eaik behalig av 4. välja e äå ela icke-förekoae iigalerivaor geo a låa ovarae b- koefficie vara oll. I prakike gäller ofa a b vilke beer a iigalerivaa axiala orig är lägre ä igalerivaa axiala orig. E åa e kalla rik proper. O a väljer kalig å a a ka iffereialekvaioe 4. kriva på aarfore a a a b b b 4.3 Obervera hr koefficieera ere iex är förkippae e erivaora origal. För a erläa e eare eaik behalig kall vi hålla o ill ea origfölj för koefficieera ro a a iiiv kake klle förera e aa origfölj lägre iex för lägre erivaor. 4
2 4. Laplaceraforeoer 4. Differeialekvaioer För lijära e gäller perpoiiopricipe. O fkiopare och båa är löigar ill ekvaio 4. å gäller elig perpoiiopricipe a äve fkiopare o få geo e gocklig lijär kobiaio a b a b är e löig. A å är falle ka lä via geo irek biio i ekvaio 4. eller 4.3. Grläggae aeaik rörae oriära iffereialekvaioer gör e öjlig a löa e lijära iffereialekvaioe 4. eller 4.3 o eparaerara är koaa och iigale har e ågorla ekel for. Löige v igale erhålle å o a av e pariklärlöig och e alläa löige ill ovarae hoogea iffereialekvaio o få är högerlee äe =. E hooge iffereialekvaio ovarar ålee e e a iigal. E åa e kalla e aoo e. A löa lijära iffereialekvaioer e ea eo blir ock e gaka bevärlig procer av bl.a. följae oraker: De aeaika arbee blir bevärlig vi e av högre origal. Meoe erbjer iga bekväa gevägar för a behala aaaa e ppbgga av eklare lijära ele. För prakik haerig av e baerae på lijära iffereialekvaioer koer vi i e följae avie a a pp kopleerae aeaika verkg. För e grläggae lijära aal- och earbee koer eoer baerae på Laplacerafore a ia e ceral roll. Vi oellerig och erik beräkig är eoer baerae på illåbegreppe e vikig gågpk. Tillåoeller behala ärare i kre Procereglerig. För a oivera aväige av Laplaceraforeoer kall vi för e hjälp av raiioella löigeoer era e e bekrive av e ekel lijär iffereialekvaio. Exepel 4.. Segvare för e kvickilvereroeer. Daike för e kvickilvereroeer bekriv av iffereialekvaioe T är är kvickilvre eperar och är ogivige eperar. Aag a eroeer fi oh och a jävikläge råer. Då är är beeckar e koaa eeperare. Aag a eroeer för ioh är eperare är lika e. Hr + förära kvickilvre eperar i eroeer o fkio av ie? De förefaller rilig a aa a eperare förära expoeiell frå ill elig figr 4.. Vi ka korollera ea aagae a beäa hr abb förärige av ker geo a löa iffereialekvaioe. Figr 4.. Segvar för kvickilvereroeer. 4
3 4. Laplaceraforeoer 4. Differeialekvaioer Elig vår hpoe klle förärige ha fore b ae c b är villkore b förhirar a är. Ka iffereialekvaioe ge pphov ill e löig av ea p? Vi korollerar geo a erivera ovaåee rck vilke ger Iäig i iffereialekvaioe ger Tabe b ae abe b b c Efero högra lee är e koa åe ockå vära lee vara lika e aa koa för alla. Dea är ea öjlig o v o Iäig i ger å b b b Ta be ae Tb ae 5 b /T c 6 / T ae 7 Yerligare ve vi a. Dea ger a v Vi får å a förära expoeiell elig 3 4 a 8 / T e 9 är. Obervera a ekvaio 9 ie är e allä oell för eroeer a e löig o gäller för e pecifik förärig av iigale. 4. Laplacerafore Exepel 4. var e cke ekel illraio av e av e probleper o effekiv ka löa e hjälp av e.k. Laplacerafore. Avacerae eoer för aal av oeller rcka e hjälp av Laplacerafore exierar ockå. 4.. Defiiio De igaler o ppräer i aika e är fkioer av ie. Beraka e älige gocklig igal f e e egekape a f för och iegrerbar för. F L f för ifkioe f efiiera å av iegralrcke Laplacerafore f F L e f
4 4. Laplaceraforeoer 4. Laplacerafore är är e koplex variabel var realel är illräcklig or för a iegrale kall kovergera. A ere iegraiogräe age o gräväre i älle för har här ige prakik beele. Ma äger a F är efiiera i Laplaceplae eller -plae ea f är efiiera i iplae. Allä rekoeera a a beeckar ifkioer e å bokäver v geea och era Laplaceraforer e ovarae ora bokäver v veraler. A arbea e Laplacerafore F i älle för e ovarae ifkio f ger avevära förekligar vi behalig av lijära e. Bla aa koer haerige av iffereialekvaioer a ill or el recera ill aiplerigar e algebraika rck. För a Laplacerafore kall ka ja prakik kräv a a ockå ka beräka e ifkio f o ovarar Laplaceraforrcke F. Dea operaio v övergåge frå F ill f kalla iverraforerig. Ma ka via a iverrafore f L F ge av rcke j - f L F e F j 4.5 j är j är e iagiära ehee och är e reell al o bör vara å or a F akar iglarieer v är begräa för alla e örre realel ä. Lckligvi klarar a ig a ekvaio 4.5 vi prakik räkig e Laplacerafore och e är ockå er älla a har behov a aväa efiiioe 4.4. I älle jar a forelaligar.ex. Tore Gafo Igejöraeaik forelalig 5:e pplaga 4 är valige förekoae ifkioer och era Laplaceraforer fi abellerae. Laplaceraforera på. 4 6 och 4 7 är häae r ea forelalig 4:e pplaga. Me hjälp av e åa abell ka a raforera båa vägara. Fkioer o ie fi abellerae ka å go o alli erhålla o ågo kobiaio av abellerae fkioer. Efero Laplaceraforrcke är algebraika rck eför lika kobiaioer och ovarae ppeligar iga örre beräkigäiga proble. 4.. Beräkig av Laplacerafore för ågra ekla fkioer Tro a ifkioer och ovarae Laplaceraforer fi abellerae kall vi illrera aväige av efiiiorcke 4.4 geo a härlea Laplacerafore för ågra ekla e prakik vikiga ifkioer. Obervera a oberoee av hr fkioe f er för å aa f för. Plfkioe E ieal pl o arar vi karakeriera av e koa apli a och e varakighe plläg T e figr 4.. Me hjälp av Laplacerafore efiiio 4.4 få f a F T e a a e T e a T 4.6 T Figr 4.. Plfkio. 4 4
5 4. Laplaceraforeoer 4. Laplacerafore Eheiple Dirac elafkio Vi ka efiiera e ipl o e pl var varakighe T går o oll och var apli a går o oälighee på e åa ä a plarea at har e älig väre olika oll. För eheiple gäller a at rck i ågo läplig ehe. Laplacerafore för e eheipl vi ka erhålla geo Talorerievecklig och gräväreberäkig e a / T i ekvaio 4.6. Vi får T e T T F L li li 4.7 T T T T Tro a iplfkioe har e ill e verklighefräae efiiio har räkae e ipler prakik iebör på åga oråe åo elekrika ekaika och proceekika oråe. För lijära aika e ka oral alla korvariga i förhållae ill ee aik iigaler behala o ipler karakerierae ebar av plarea oberoee av ple exaka for. Tpika exepel är päig- och röpler i elekrika e ökrafer i ekaika e och ijicerig av påräe i eicika och proceekika illäpigar. Eheege E egfkio ka beraka o e pl e oälig varakighe T. Laplacerafore för eheege o har a få å frå 4.6 geo e gräväreberakele o ger Eherape T e F L li 4.8 T E rap är e fkio var väre förära lijär e ie. Eherape är e rap e ligkoefficiee v. Me hjälp av pariell iegraio ka rcke för eherape Laplacerafor beräka elig e e e F L e 4.9 E aba ella e ekla ehefkioera Figr 4.3 illrerar eee ho eheiple eheege och eherape. Noera a iple ka beraka o erivaa av ege och a ege är erivaa av rape. Ovä gäller a ege är iegrale av iple och rape är iegrale av ege. Noera äve e re fkioera Laplaceraforer v / rep. /. Figr 4.3. Eheiple eheege och eherape. 4 5
6 4. Laplaceraforeoer 4. Laplacerafore 4 6
7 4. Laplaceraforeoer 4. Laplacerafore 4 7
8 4. Laplaceraforeoer 4. Laplacerafore Expoeiell avkligae fkio E expoeiell avkligae fkio efiiera f e. De Laplacerafor är a a a a F L e e e e e a 4. a Si- och coifkioer För härleig av Laplaceraforer för i- och coifkioer behöv perpoiioae 4.3 o ge i äa avi. Däröver ka vi ja 4. geo a låa paraeer a vara iagiär. Vi jar Eler ieie för i b o ger jb jb e e i b j är j beeckar e iagiära ehee. Tilläpig av ekvaio 4. ger jb jb b F L ib L e L e j j j jb jb b 4. För cob gäller elig Eler ieie jb jb e e cob och aalog e härleige av 4. få b b F L co L e L e 4. jb jb b j j b 4..3 Räkeregler för Laplaceraforer Arbee e raforer för er koplicerae ifkioer erläa givevi o a käer ill e alläa räkeregler o gäller för Laplaceraforer och ovarae ifkioer. Vi kall här behala e vikigae räkereglera. Sperpoiioae O F och F är Laplaceraforera för ifkioera f och f å gäller a är A och B är gockliga koaer. Bevi: L A f B f A F B F L 4.3 A f B f e A f B f A e f B e f A F B F Iverrafore ppfller aa egekap v A F B F A f B f L
9 4. Laplaceraforeoer 4. Laplacerafore Deriverigae O F är Laplacerafore för f å ge Laplacerafore för ierivaa f f / av L f F f 4.5 är f är ifkioe f : väre är a ärar ig frå egaiva ia. Bevi: Me pariell iegraio erhålle L f e f e f e f F f E cceiv jae av eriverigae ger följae rck för Laplacerafore för :e erivaa f f / av fkioe f : L f F f f f f 4.6 Ekvaioera 4.5 och 4.6 ger e vikigae föräige för Laplacerafore beele i iffereialekvaioaahag. Bore frå begelevärea f f ec. å ovara e eriverig av e ifkio av e liplikaio e Laplacevariabel i Laplaceplae. Laplacevariabel har ålee ora likheer e iffereialoperaor p /. Iegraioae O F är Laplacerafore för f å ge Laplacerafore för ifkioe iegral av L f F 4.7 Bevi: Vi jar beeckige g f o ger g f. Tilläpig av eriverigae 4.5 på fkioe g ger å F L f L g L g g L g L f är g följer av efiiioe på g. Geo cceiv illäpig av 4.7 få Laplacerafore för e -falig iegral: L f F
10 4. Laplaceraforeoer 4. Laplacerafore Däpigae O F är Laplacerafore för f å ge Laplacerafore för e expoeiell a äpae ifkio e f av Bevi: L a e f F a L 4.9 a a a e f e e f e f F a Förkjigae O F är Laplacerafore för f å ge Laplacerafore för fkioe f L v fkioe f förröj e L ieheer e figr 4.4 av L f L e F L 4. Bevi: Me hjälp av variabelbiioe L a geo a f för få L f L e L L f L e f e e f e Gräväreaer f f L Figr 4.4. Oförröj och förröj ifkio f. L L F För e ifkio f och e Laplacerafor F gäller a å väre på ie ovara av ora väre på Laplacevariabel och vice vera. De.k. gräväreaera ger kokrea rck för ea aba. Begeleväreae För e ifkio f och e Laplacerafor F gäller er föräig a F är rik proper li f li F 4. Slväreae För e ifkio f och e Laplacerafor F gäller er föräig a F akar iglarieer v är begräa för alla e icke-egaiv realel li f li F 4. L 4
11 4. Laplaceraforeoer 4. Laplacerafore 4 Övig 4.. Beräka Laplacerafore för ifkioe f 5e 8e 6. Korollera relae e begele- och lväreaera. Övig 4.. Beä e ifkio o har Laplacerafore 8 4e 36. Övig 4.3. Härle Laplacerafore för e förröj ågapl elig figre ea. 4.3 Bekrivig av aika e i Laplaceplae 4.3. Överförigfkioe Beraka e lijära iffereialekvaioe 4.. Aag a iffereialekvaioe aifiera av variabelvärea. O ea illå är av peciell beele ka vi kalla e för e refereillå eller e arbepk. Ofa är ea pk e aioärillå äve kalla forfarigheillå eller jävikläge är alla erivaor är oll e åo påpeka i avi 3.3 behöver ea ie alli vara falle. E illå o aifierar iffereialekvaioe ka relaera ill e refereillå elig är Δ-variablera ager avvikeler frå refereillåe. Iäig av ea variabler i ekvaio 4. ger efer borförkorig av refereillåe och vale a b b b b a a a 4.3 Laplaceraforerig av ekvaio 4.3 ger e beakae av a alla begeleväre för Δ-variablera är oll U b U b U b U b Y a Y a Y a Y 4.4 f Figr 4.5. Sågapl.
12 4. Laplaceraforeoer 4.3 Bekrivig av aika e är Y och U är Laplaceraforera av rep.. E :e erivaa ger ålee vi Laplaceraforerig pphov ill e fakor är begeleillåe är oll. Ekvaio 4.4 ka äve kriva a a a Y b b b b U 4.5 eller kopakare är Y G U 4.6 b b b b B G a a a A 4.7 är ee överförigfkio. Ibla ala äve o överförigoperaor e ea beäig ka vara aige iviae efero båe och G är variabler. Vi er a vi beräkigar i Laplaceplae få ee igal geo liplicerig av e iigal e ee överförigfkio. I ekvaio 4.7 beeckar A överförigfkioe äare och B e äljare. Röera ill ekvaioe A o är ee karakeriika ekvaio kalla ee poler ea röera ill ekvaioe B kalla ee ollälle. Beele av poler och ollälle behala ärare i kapile 5 och 6. Ifall ee iehåller e öi e kapiel 5 å a e ar e i L ia e iigal börjar påverka ee ka i ekvaio 4.4 göra biioe v L är v är e verkliga iigale. Aväig av -variabler a Laplaceraforerig ger U = e L V 4.8 är V är Laplacerafore av v. Överförigfkioe frå V ill Y är å L G e. Exepel 4.. Härleig av överförigfkioe för e kvickilvereroeer. Vi kall härlea överförigfkioe för e kvickilvereroeer o elig exepel 4. ka bekriva e iffereialekvaioe T är är ogivige eperar och är kvickilvre eperar. Vi börjar e a rcka variablera o avvikeler frå e jävikläge och v är och ager avvikelera orlek. Iäig i ekvaio ger T 3 Efero och / å är e koa få T 4 är vi för lighe kll iför iargee. 4
13 4. Laplaceraforeoer 4.3 Bekrivig av aika e Laplaceraforerig av ea oell ger T 5 är och är Laplaceraforera av rep.. Efero vi aväer Δ-variabler o ager avvikeler frå begeleillåe är. Vi får å eller är är ee överförigfkio. Övig 4.4. E e bekriv av iffereialekvaioe T 6 G 7 G 8 T 5 6 är och ager avvikeler frå e jävikläge. Beä ee överförigfkio Några koveioer rörae i- och igaler Såo ova koaerae få vi beräkigar i Laplaceplae ee igal geo liplicerig av e iigal e ee överförigfkio iga ara erer ka igå i rcke. Vi Laplaceraforerig erhålle e åa lijär rck ea o igalera begeleväre v era väre vi är oll. Dea villkor ppfll aoaik är a aväer Δ-variabler v variabler o ager avvikeler frå e refereillå o gäller vi ipke. Här ager a a bör aväa e gräväre o gäller för variabel är a ärar ig oll frå egaiva ia v väre rax före. Dea har beele ifall fkioe är ikoierlig vi. Efero e är e ofråkolig krav vi beräkigar e överförigfkioer a igalera har ovaäa egekap ae e vara erförå a å är falle äve o e ie klle oäa. Däre ka a o i övig 4.4 eläa bole Δ för a förekla beeckigara. Vi koer ofa a göra å i foräige. O Δ-variabler e bole Δ avä är e ofa för a beoa igalera fikalika akig. I åaa fall är bole a Δ ofa ppage för a beecka verkliga variabler.ex. äväre i procee. De rekoeera a a beeckar ifkioer e å bokäver geea och era Laplaceraforer e ovarae ora bokäver veraler. I bri på leiga boler är e ock ie ovalig a a larvar e ea och aväer aa bol båe för ifkioe och e Laplacerafor. Dea är öjlig för a e valigvi är klar av aahage vilke fkiop e är fråga o. Till exepel vi beräkigar e överförigfkioer är e klar a igalera Laplaceraforer avä. O rik för iförå föreligger ka a iklera argee eller för a age fkiope. När a.ex. gör e Laplaceraforerig ka ea iikio behöva o a aväer aa bol för ifkioe och e Laplacerafor. 4 3
14 4. Laplaceraforeoer 4.3 Bekrivig av aika e De bör äve obervera a båe igalera ifkioer och era Laplaceraforer i allähe har e ehe. Operaioer båe i i- och Laplaceplae bör äre vara ieiorikiga. Speciell bör obervera a förärkige för e e ie är ieiolö o ioch igale har olika eheer Blockchea Vi har rea koi i koak e reglerekika blockchea i kapiel. I ea avi ge e förligare behalig av pika blockcheakopoeer och -kofigraioer a vilka räkeoperaioer e ovarar i Laplaceplae. E lijär aik e e iigale igale och överförigfkioe G ka repreeera grafik e hjälp av e blockchea elig figr 4.6. O a G U G Y Figr 4.6. Blockchea för aik e. ager igalera i blockchea ka a aväa igalera iplaboler åo ill väer i figre eller boler för igalera Laplaceraforer åo ill höger i figre. Oberoee av vilke for o avä gäller abae Y G U 4.9 v överförigfkioe opererar på igalera Laplaceraforer ie på era ifkioer. Ma ka e e blockchea åkålig via hr e aik e bgg pp av ire ele. Vikiga elee i åaa blockchea är korkioer o bekriver aio jäförele och förgreig av igaler. Figr 4.7 viar olika ä a beecka e aio figr 4.8 viar olika ä a beecka e jäförele och figr 4.9 viar e förgreig. Såo fragår v v v v v v Figr 4.7. Tre olika ä a beecka aio. r r r r r r Figr 4.8. Tre olika ä a beecka jäförele. iebär e jäförele e brakio. Obervera a e förgreig ea flerfaligar e igal e förärar ie igale i e olika greara. I figrera avä igalera ifkioer för a illrera räkereglera e aa regler gäller för igalera Laplaceraforer. Korkioera ka givevi geeraliera å a fler ä vå igaler beaka. x x x Figr 4.9. Förgreig. 4 4
15 4. Laplaceraforeoer 4.3 Bekrivig av aika e E ofa förekoae arrageag av ele är eriekopplig eller kakakopplig o illrera i figr 4.. Av ekvaio 4.9 följer v Y G X G G U G G G 4.3 o är överförigfkioe för e aaaa ee io e reckae kore i figr 4.. G x G Figr 4.. Seriekopplig. E aa erkr är parallellkopplig o illrera i figr 4.. Dea iehåller båe e förgreig och e aio. Eleeär algebra ger v G G U Y Y Y G U G U G G G 4.3 o är överförigfkioe för e parallellkopplig. De e faeala erkre io reglerekike är egaiv åerkopplig o illrera i figr 4.. När överförigfkioe i frarikige beecka G och överförigfkioe i åerkopplige beecka H få v G Y G E G G H R H Y R G G 4.3 G H o är e la ee överförigfkio. Proke G H kalla ee kreöverförig och ekvaioe G H är e karakeriika ekvaio. G r e G G H Figr 4.. Parallellkopplig. Figr 4.. Åerkopplig. 4 5
16 4. Laplaceraforeoer 4.3 Bekrivig av aika e Övig 4.5. Härle överförigfkioe frå ill i eaåee blockchea. Figr 4.3. Blockchea för aaa e. 4.4 Löig av iffereialekvaioer E behäig ä a löa lijära oriära iffereialekvaioer är a aväa Laplaceraforeoer. När iffereialekvaioe Laplaceraforera er för er e beakae av iiialillå ka Laplacerafore för e beroee variabel v igale ekel löa e re algebraika eoer. O iffereialekvaioe bekriver e aik e har e e iigal o ockå raforera. Tifkioe för e beroee variabel ka ea erhålla geo iverraforerig av e Laplacerafor. De pika arbegåge illrera i figr 4.4. INITIALPROBLEM i iplae Laplaceraforerig TRANSFORMERAT PROBLEM i Laplaceplae Algebraika operaioer i Laplaceplae LÖSNING i iplae Iver Laplaceraforerig LÖSNING i Laplaceplae Figr 4.4. Arbegåg vi löig av iffereialekvaioer via Laplaceraforerig. Tabeller över Laplaceraforer och ovarae ifkioer ka ja vi iverraforerige e. 4 6 och 4 7. Ifall abelle ie ppar Laplacerafore ifråga ka a geo parialbråkppelig valigvi kriva e o e a av eklare raforer var ifkioer fi i abelle. Elig perpoiioae e avi 4..3 få e öka ifkioe å o a av e eklare Laplaceraforera ifkioer. Efero Laplacerafore av e ifkio iehåller ifkioe begeleväre är Laplacerafore peciell läpa för löig av begeleväreproble iiialväreproble. 4 6
17 4. Laplaceraforeoer 4.4 Löig av iffereialekvaioer 4.4. Begeleväreproble I följae exepel via hr e lijär ara orige iffereialekvaio e giva begelevillkor löe e hjälp av Laplaceraforeoer. Exepel 4.3. Löig av lijär iffereialekvaio e begelevillkor. Lö iffereialekvaioe 5 6 e begelevillkore. Laplaceraforerig ger e jae av eriverigaera 4.5 och 4.6 Y 5Y 6Y Iäig av begelevillkore ger efer hfig Y Dea rck fi ie i kopeie Laplaceraforabell e vi ka eparera äljare erer och efer hfig kriva Y Dea erer fi o pk 7 och 8 i abelle e a och b 3. I elighe e perpoiioae ka vi iverraforera erera var för ig och era relae för a få ifkioe. Relae blir e e e e e e Koroll geo eriverig och iäig i iffereialekvaioe och begelevillkore viar a löige är korrek Tivare för e aik e Tivare för e aik e ka beäa geo iverraforerig är ee överförigfkio och iigale Laplacerafor är käa. Förfarae illrera e följae exepel. Exepel 4.4. Segvare för e föra orige e. E lijär föra orige e e iigale och igale ka bekriva e iffereialekvaioe T K är K är ee aika förärkig och T e ikoa. O å är e löig och vi ka aa a ea illå råer vi. Laplaceraforerig ger å Y G U är K G 3 T 4 7
18 4. Laplaceraforeoer 4.4 Löig av iffereialekvaioer är ee överförigfkio. Kvickilvereroeer i exepel 4. och 4. är ålee e lijär föra orige e e förärkige. O iigale förära egforig frå ill eg vi v o ; eg 4 å är ea eg eg gåger å or o e eheeg och har elig avi 4.. eller pk i kopeie Laplaceraforabell Laplacerafore eg U 5 Iäig av G och U i ekvaio ger Keg Keg / T Y 6 T / T Elig pk 9 eller 6 i Laplaceraforabelle är ovarae ifkio / T K e 7 eg Här har liko vi Laplaceraforerig av egförärige äve perpoiioae ja ärare beä e regel o äger a Laplacerafore för e ifkio liplicera e e koa är lika e ifkioe Laplacerafor liplicera e aa koa. De härlea egvare har givevi aa for o egvare för kvickilvereroeer o härlee geo irek löig av iffereialekvaioe i exepel 4.. Övig 4.6. Beä eheegvare v vare är iigale är e egförärig av orleke för ee i övig Parialbråkppelig Laplacerafore för e ifkio.ex. e beroee variabel i e iffereialekvaio e give iigal och giva begeleväre ka valigvi kriva i fore b b b b B F 4.33 a a a A De o Laplacerafore F varae ifkioe f ka a ofa fia irek i abellverk eller o i exepel 4.3 efer e ekel eparerig av äljare erer i elighe e perpoiiopricipe. O ea ie hjälper ka a göra e parialbråkppelig. För e Laplacerafor Y iehållae e öi L å a Y F e ka a för beäa f frå F och ärefer f L elig förkjigae. Vi parialbråkppelig av ekvaio 4.33 erök för o äljare graal är ire ä äare graal. I prakike gäller å go o alli a v a ee är rik proper. Sklle å ie vara falle iviera äljarpoloe e äarpoloe å a e äljarpolo erhålle e lägre graal ä äare. L 4 8
19 4. Laplaceraforeoer 4.4 Löig av iffereialekvaioer Me hjälp av e åa poloiviio ka Laplacerafore kriva B F F 4.34 A är A är aa äarpolo o i ekvaio 4.33 och B är e polo e lägre graal ä A. I foräige aa ärför. Elig perpoiioae ka poloe F iverraforera kil för ig och e relerae ifkioe f aera ill ree av löige. Märk a f koer a beå av e eller flera erer ovarae e ipl och ierivaor av ipler. Speciell e eare är ovalig i prakike. Exepel 4.5. Poloiviio Beraka e raioella fkioe 3 4 F. 3 De ka e hjälp av poloiviio kriva på fore O vi aväer e klaika iviioppällige ara ppälligar är liggae ole och rappa er procere på följae ä. Relae är ålee 3 B 43 A F B 5 F 3. 3 Ekvaioera 4.5 och 4.6 a pkera 6 och 8 i Laplaceraforabelle ger ifkioe 3 f 3 5e 3 är är eheiple. Fakorierig Näa eg är a fakoriera poloe A elig A p p p 4.35 är p k k är e cke reella och koplexa röera ill e karakeriika ekvaioe A. O röera p är iika alla röer är olika ora och reella ka F kriva o k Ck F F 4.36 p k k 4 9
20 4. Laplaceraforeoer 4.4 Löig av iffereialekvaioer är C k k är koaer o bör beäa. Ifall e karakeriika ekvaioe har lipla reella röer reella röer o är lika ora ka F kriva o r Ck Ck F F k 4.37 p p k r kr är pr pk k r är r cke lika ora röer. I prakike förekoer ock älla lipla röer. Ifall koplexa röer förekoer ppräer ea o koplexkojgerae ropar p j är j är e iagiära ehee. Vi fakorierige av A ka e åa ropar aalå ill fakor. E er C C bör å iklera i parialbråkppelige av F. Ifall p och och reella pr p är e koplexkojgera ropar och röera p k k r är lipla a ree av röera är iika och reella få parialbråkppelige r Ck Ck C C k k pr kr pk 4.38 F F Mlipla koplexa röer ka äve haera e koer ie a behala i ea kr. Alla erer i parialbråkppelige av F är åaa a era iverraforer ekel hia i kopeie Laplaceraforabell på. 4 6 och 4 7. Elig perpoiioae är e öka fkioe f a av e ekila iverraforera. Beäig av koaera C k Koaera C k ka beäa på flera olika ä. Efero parialbråkppelige bör gälla för gockliga väre på variabel ka a äka ig a biera cke läplig vala olika väre på i parialbråkppelige och beäa C k k r e ekvaioer o ppår. E aa era allä eo är a förläga parialbråkppelige v liplicera båa lee e A och ärefer förkora bor äarrcke. De å erhålla rcke åe vara lika e B. Koaera C k ka å beäa r e ekvaioer o ppår är a kräver a parialbråkppelige kall gälla kil för varje poe av. Ifall röera är iika och reella beä C k ekla elig B li Ck pk 4.39 pk A Obervera a fakor p ka förkora bor o ovarae fakor i A. k k 4
21 4. Laplaceraforeoer 4.4 Löig av iffereialekvaioer Exepel 4.6. Rapvare för e föra orige e. Vi kall beäa e å kallae rapvare för e föra orige e. Iigale är e rap vilke iebär a e förära lijär e ie elig abae b är b är e koa. Elig exepel 4.4 har e föra orige e överförigfkioe K G T För e rap e ligkoefficiee b gäller i elighe e ekvaio 4.9 a e har Laplacerafore b U Uigale ge å av Kb Y G U 3 T Dea Laplacerafor fi i kopeie Laplaceraforabell e vi kall här illrera hr vi ka fia löige geo parialbråkppelig och iverraforerig av rea käa Laplaceraforer. Näare i ekvaio 3 är färig fakoriera; vi har e ekel ro / T och e bbelro. I elighe e ekvaio 4.37 gör vi å parialbråkppelige Kb T C C C 3 T 4 Förlägig e T ger Kb C T C T C3 5 Dea rck åe gälla kil för varje poe av vilke ger : Kb C C Kb : C CT C KbT : CT C3 C3 KbT 6 Iäig i ekvaio 4 och viare iäig i ekvaio 3 ger KbT Kb KbT Y 7 T Me hjälp av pkera och 5 i Laplaceraforabelle få å KbT Kb KbTe Kb T Te 8 / T / T Efer a iiialeffekera ö ärar ig igale ålee e rap e ligkoefficiee Kb. Direk illäpig av pk 7 i Laplaceraforabelle ger givevi aa var. 4
22 4. Laplaceraforeoer 4.4 Löig av iffereialekvaioer Övig 4.7. Iverraforera följae fkioer e hjälp av parialbråkppelig: a 3 F a b F b
4. Laplacetransformmetoder
4. Laplaceraforeoer 4. Differeialekvaioer Differeialekvaioer gör gre för e aeaik ekrivig av aika e i koierlig i åo fragår av exeple i avi 3.. E iffereialekvaio ekriver hr e vi variael eror av e eller flera
Läs mer(sys1) Definition1. Mängden av alla lösningar till ett ekvationssystem kallas systemets lösningsmängd.
Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR Lijär ekvioem. Guelimiio LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM GAUSSELIMINATION Vi erkr e lijär ekvioem med oek m m m m () och m ekvioer: E lföljd (-ippel) är e löig ill eme om uiuioe ifierr
Läs merSOS HT10. Punktskattning. Inferens för medelvärde ( ) och varians (σ 2 ) för ett stickprov. Punktskattningen räcker inte!
aa O HT0 ervallkag uwe@mah.uu.e h://www.mah.uu.e/uwe/o_ht0 ervallkag rouko ere ör meelväre () och vara (σ ) ör e ckrov kag av är är kä kag av är är okä me or kag av är är okä och e heller or *A kaa e aaravvkele
Läs merNOLLRUMMET och BILDRUMMET till en linjäravbildning. MATRISENS RANG. DIMENSIONSSATSEN.
Ari Hliloic: EXTRA ÖVNINGAR NOLLRUMMET och BILDRUMMET ill e lijärildig. MATRISENS RANG. DIMENSIONSSATSEN. NOLLRUM (Kerel (kär i kuroke Defiiio. Lå T r e lijär ildig frå R ill R. Mägde ll ekorer i R o ild
Läs mer1 av 12. (sys1) ELEMENTERA OPERATIONER Vi får göra följande elementära operationer med ekvationer utan att ändra systemets lösningsmängd:
Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR v Lijär ekvioem Guelimiio LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM GAUSSELIMINATION Vi erkr e lijär ekvioem med oek m m m m () m ekvioer: E lföljd (-ippel) är e löig ill eme om uiuioe ifierr
Läs merEkvationen (ekv1) kan bl. annat beskriva värmeledningen i en tunn stav där u( x, betecknar temperaturen i punkten x vid tiden t.
Armi Halilovi: EXRA ÖVNINGAR Värmeledigsekvaioe VÄRMEEDNINGSEKVAIONEN Vi berakar följade PDE u x u x k (, ) (, ), < x (ekv), där k> är e kosa Ekvaioe (ekv) ka bl aa beskriva värmeledige i e u sav
Läs merOmtentamen med lösningar i IE1304 Reglerteknik Fredag 12/
Omeme me löigr i IE Reglerekik Freg /6 5.-. Allmä iformio Emior: Willim Sqvi. Avrig lärre: Willim Sqvi, el -79 7 mpu i, Temeuppgifer ehöver ie åerläm är u lämr i i krivig. Hjälpmeel: Räkre/rfräkre. ure
Läs merMekaniska vibrationer. Hjulupphängning. Fria odämpade svängningar. Svängningstiden för pendelrörelsen. Approximationen sin
--9 Meaisa vibraioer Hjulupphäi ria oäpae sväiar Sväisie för peelrörelse 9 7 S e ( S) r ( ) P; e r e 7 9 De aeaisa peel (parielpeel) ( ) (...) 7 Approxiaioe si Rörelseevaioe.99.9.97 si.9.9.9 P ; si, (
Läs merFöreläsning 3: Fler grafalgoritmer. Kortaste vägar mellan alla noder
Föreläning 3: Fler grafalgorimer Korae vägar mellan alla noder Maximal flöde i graf Bipari machning Korae vägar mellan alla noder Dijkra och Bellman-Ford algorimer beräknar korae avånd från en nod ill
Läs merFormler, grundläggande statistik
Formler, grudläggade aiik Medelvärde N X μ σ Sadardavvikele, populaio Sadardavvikele, ickprov Sadardavvikele, räkevälig z Z-poäg z z r Pearo korrelaio, urpruglig r Pearo korrelaio, räkeväligare Oe ample
Läs merBilaga 6.1 Låt oss studera ett generellt andra ordningens tidsdiskreta system
Bilaga 6. Lå oss sudea e geeell ada odiges idsdiskea sysem [] [] [ ] [ ] [ ] [ ] y y x x x y Vi besämme öveföigsfukioe i -plae Figu B6.. Tidsdiske sysem på gudfom,, blockschema [ ] [ ] Lå oss fomulea om
Läs merSannolikhetslära statistisk inferens F10 ESTIMATION (NCT )
Stat. teori gk, vt 2006, JW F10 ESTIMATION (NCT 8.1-8.3) Ordlita till NCT Iferece Slutledig, ifere Parameter Parameter Saolikhetlära tatitik ifere Hittill har vi ylat med aolikhetlära. Problem av type:
Läs mer1 av 10. (sys1) ELEMENTERA OPERATIONER Vi får göra följande elementära operationer med ekvationer utan att ändra systemets lösningsmängd:
Armi Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR v Lijär ekviosssem. Gusselimiio LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM GAUSSELIMINATION Vi erkr e lijär ekviosssem med oek m m m m ss) och m ekvioer: E lföljd -ippel) s s s är e lösig ill
Läs mer95%-igt konfidensintervall för andel kalsongbärare i populationen: Slutsats: Med 95% säkerhet finns andelen kalsongbärare i intervallet 38-48%
UPPGIFT 1 Vi slumpmässigt urval har varje iivi e kä saolikhet att komma me i urvalet Resultatet går att geeralisera till populatioe är ma gjort slumpmässigt urval UPPGIFT A) Kostatterme: De som ite får
Läs merTentamen del 2 i kursen Elinstallation, begränsad behörighet ET1020 2014-08-29
Tetame del 2 i kure Elitallatio, begräad behörighet ET1020 2014-08-29 Tetame omfattar 60 poäg. För godkäd tetame kräv 30 poäg. Tillåta hjälpmedel är räkedoa amt bifogad formelamlig Beräkigar behöver bara
Läs merUNDERRUM. LINJÄRA KOMBINATIONER. BASER. LINJÄRT SPANN (eller linjärt hölje) Definition 1. (LINJÄR KOMBINATION) Exempel 1.
LINJÄRA KOMBINATIONER. BASER. LINJÄRT SPANN (eller linjär hölje Definiion. (LINJÄR KOMBINATION Lå V ara e ekorrm. En ekor w är linjär kombinaion a,,, nn om de finn kalärer (al,,, nn å a ww nn nn Eempel.
Läs merAlgoritmer, datastrukturer och komplexitet
Algorimer, daarukurer och komplexie Övning Anon Grenjö grenjo@cc.kh.e okober 20 Anon Grenjö ADK Övning okober 20 / 38 Överik Kurplanering F2: Grafer: MST och Dijkra Ö4: Dynamik programmering F3: Grafer:
Läs merPROV 5 Skogars ekologi och användning
Helingfor univerie Urvalprove 3.5. Agrikulur-forveenkapliga fakuleen POV 5 Skogar ekologi och användning Man ka få min poäng i urvalprove å a han eller hon för vardera A- och B-delen får min 5 poäng. Om
Läs merF10: Strömreglering (PE-Kap 3)
F10: Strömreglerg PE-Kap 3 Allmät om trömreglerg V har tgare tttat om hatgat på trömreglerg och lte mer etalj på varvtalreglerg. Varvtalreglerg av eletra maer bygger tor omfattg på valg reglerteor och
Läs merBeställare: Skanska Sverige AB genom Tommie Gutén A ntal sidor: 10. Projektansvarig: Niklas Jakobsson Datum:
i M3- Riig ä föäig fö E Bäll: S Sig AB g Ti Gé A l i: j: 3 jig: Nil Jb D: 7-- O il Sällig ågäfölg O jbiig Aibyå h S Sig AB g Ti Gé få i ppg äll i löig bli ll fö ppfyll hög illå ljiå h fö y lägh i O il.
Läs mervara ett polynom där a 0, då kallas n för polynomets grad och ibland betecknas n grad( P(
Armi Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Polyom POLYNOM OCH ALGEBRAISKA EKVATIONER Defiitio Polyom är uttrycket av type a a a 0 ( där är ett icke-egativt heltal) Defiitio Låt P( a a a0 vara ett polyom där a 0, då
Läs merTentamen i EJ1200 Eleffektsystem, 6 hp
Elekro- och yeeknik Elekrika akiner och effekelekronik Sefan Ölund 7745 Tenaen i EJ00 Eleffekye, 6 hp Den 5:e augui 008, 4.00-9.00 i al K5, K5 och K53 Räknedoa och aeaik handbok (Bea) får använda. Tenaen
Läs merBegreppet rörelsemängd (eng. momentum)
Begreppe rörelsemägd (eg. momeum) Två fra parklar med massora m och m och hasgheera v och v påverkar varadra de skuggade område. Efer a ha påverka varadra har de hasgheera v och v. Hasghesförädrge Dv och
Läs merär ett tal som betecknas det(a) eller Motivering: Determinanter utvecklades i samband med lösningsmetoder för kvadratiska linjära system.
Armi Hlilovi: EXTRA ÖVNINGAR Determiter DETERMINANTER A Determiter v r orige Determite v e mtris A följe är ett tl som etes eta eller Eempel: 6. oh efiiers eligt Motiverig: Determiter utveles i sm me lösigsmetoer
Läs merBröderna fara väl vilse ibland (epistel nr 35)
Brödera fara väl vilse ilad (epistel r 35) Text musik: Carl Michael Bellma Teor 1 8 6 Arr: Eva Toller 2008 Teor 2 6 8 Basso 1 8 6.. Basso 2 8 6 1.Brö- der - a fa - ra väl vil - se i-lad om gla - se me
Läs merVad är det okända som efterfrågas? Vilka data är givna? Vilka är villkoren?
Problemlösig. G. Polya ger i si utmärkta lilla bok How to solve it (Priceto Uiversity press, 946) ett schema att följa vid problemlösig. I de flod av böcker om problemlösig som har följt på Polyas bok
Läs merFörslag till beslut. Sammanfattning. Till Exploateringsnämnden
2009-09-0 DNR E2008--029 Britta Eliao Avelig för projektutvecklig Telefo: 08-08 26 6 britta.eliao@expl.tockholm.e Till Exploaterigäm 2009-- Markiig iom fatighet Örby : vi kv Stillbil i Högal till AGA Ga
Läs merNORDENS STÖRSTA MÖTESPLATS FÖR MOTORBRANSCHENS SERVICE- OCH EFTERMARKNAD
NORDENS STÖRSTA MÖTESPLATS FÖR MOTORBRANSCHENS SERVICE- OCH EFTERMARKNAD 15 18 ji 2020, Sv Mä i Göbg A N R E D! N E R T P P TO y fi fö i fö v ll. D ö ä På A väx fä 1 i v ll. i j il i f ä 847 D glbl i i
Läs merKTH/ICT IX1501:F7 IX1305:F2 Göran Andersson Statistik: Skattningar
KTH/ICT IX50:F7 IX305:F Göra Adero goera@th.e Statiti: Sattigar Statiti Vi all u tudera obervatioer av toatia variabler. Vad blev det för värde? Dea obervatioer alla ett ticprov (ample). Iom tatitie fi
Läs merGenomsnittligt sökdjup i binära sökträd
Iformatiostekologi Tom Smedsaas 10 augusti 016 Geomsittligt sökdjup i biära sökträd Detta papper visar att biära sökträd som byggs upp av slumpmässiga data är bra. Beteckigar och defiitioer Defiitio De
Läs mer2009-11-20. Prognoser
29--2 Progoser Progoser i idsserier: Gissa e framida värde i idsserie killad geemo progoser i regressio: De framida värde illhör ie daaområde. fe med e progosmodell är a göra progos, ie a förklara de hisoriska
Läs merH1009, Introduktionskurs i matematik Armin Halilovic POLYNOM, POLYNOMDIVISION, ALGEBRAISKA EKVATIONER, PARTIALBRÅKSUPPDELNING. vara ett polynom där a
POLYNOM, POLYNOMDIVISION, ALGEBRAISKA EKVATIONER, PARTIALBRÅKSUPPDELNING Defiitio Polyom är ett uttryck av följade typ P( ) a a a, där är ett icke-egativt heltal (Kortare 0 P k ( ) a a 0 k ) k Defiitio
Läs merKorrelatio n : Korrelation Korrelation är samma sak som faltning med. Signal- och Bildbehandling FÖRELÄSNING 12
Sigal- oc Bildbeadlig FÖELÄSNING Korrelaio (D) Korskorrelaio (ofa kalla bara korrelaio) Auokorrelaio oc effekspekrum Brus Lijära ssem LTI-ssem (Lijär idsivaria ssem) Differeial- oc differes-ekvaioer (kursiv)
Läs merKapitel 4.1. 4101, 4102, 4103, 4104 Exempel som löses i boken. = = = = 1. 4105 a) n a1 + a a a = = = = a a a
Kompletterde löigförlg och ledigr, Mtemtik 000 kur C, kpitel Kpitel. 0, 0, 0, 0 Exempel om löe i boke. 0 ) 7 0 + + + 6 + 8 + 06 ) +, + 6 6 + + + 69 69 + +, + + 6 6+ 9 8+ + 07 Se boke ledig. Kotkt di lärre
Läs merTrygghet kring hållplatser Ett framtaget verktyg vid trygghetsanalysering i samband med hållplatser och dess närmaste omgivning
å å ä Ö öö ö ö Ö ö å å ä Ö ö Ö ö Ö Ö ö å å å å ä å å ö ö ä å å ä å ä å ä å å ä å å ö å ö ä ö å ä ä å å ö ä ö ö å ä ö ää ä ä ä å å ö ä å å ä å å ä ö ä åä å ä ö ä å ä å å ö ö å ö ö ö ö å å ä ä ö ö å ä ö
Läs merIdrottsprofilerad utbildning i spåren av en avreglerad skola
GOTHENBURG STUDIES IN EDUCATIONAL SCIENCES 355 Idrottsprofilerad utbildning i spåren av en avreglerad skola Magnus Ferry GOTHENBURG STUDIES IN EDUCATIONAL SCIENCES 355 Idrottsprofilerad utbildning i
Läs mer= BERÄKNING AV GRÄNSVÄRDEN ( då x 0 ) MED HJÄLP AV MACLAURINUTVECKLING. a) Maclaurins formel
Tillampigar av Taylor- och Maclauriuvcklig ERÄKNING AV GRÄNSVÄRDEN då MED HJÄLP AV MACLAURINUTVECKLING a Maclauris forml f f f f f f L R!!! f c där R och c är al som liggr mlla och! Amärkig Efrsom c liggr
Läs merProgrammering Emme-makro rvinst_ic.mac version 2
Uppdragsr: 10109320 2008-08-27 Seh Svalgård PM Programmerig Emme-makro rvis_ic.mac versio 2 Iehållsföreckig Förusäigar...2 Beräkigsuryck...2 Daabaser...4 Marisplaser...4 Aropsparamerar...6 Udaa...6 L:\705x\_SAMSAM\3_Dokume\36_PM\PM
Läs merTentamen med lösningar i IE1304 Reglerteknik Måndag 16/
Tetme me löigr i IE4 Reglertei Måg 6/ 9.-. Allmä iformtio Emitor: Willim Sqvit. Avrig lärre: Willim Sqvit, tel 8-79 4487 Cmpu Kit, Tetmeuppgifter behöver ite återläm är u lämr i i rivig. Hjälpmeel: Räre/rfräre.
Läs mer12. Rekreation. Nationella mål Kapitlet om rekreation berör de nationella folhälsomålens nionde målområde om fysisk aktivitet.
12. Naionella mål Kapile om rekreaion berör de naionella folhälomålen nionde målområde om fyik akivie. Kommunen övergripande mål Kommunen ka ge goda föruäningar för e variera ubud av friid- och kulurliv.
Läs merLycka till! I(X i t) 1 om A 0 annars I(A) =
Avd Matematisk statistik TENTAMEN I SF955 f d 5B555 DATORINTENSIVA METODER ONSDAGEN DEN AUGUSTI 008 KL 400 900 Examiator: Guar Eglud, tel 790746 Email: guare@mathkthse Tillåta hjälpmedel: Formel- och tabellsamlig
Läs merElektronik. Kapacitanser, induktanser, transienter. Översikt. Kapacitanser och induktanser. Plattekondensator
Elekronik Överik Kapacianer, indukaner, raniener Piero Andreani Iniuionen för elekro och informaioneknik Lund univerie Kapacianer () och indukaner (L) Srömmar och pänningar i kapacianer och indukaner Ömeiga
Läs merKVADRATISKA MATRISER, DIAGONALMATRISER, MATRISENS SPÅR, TRIANGULÄRA MATRISER, ENHETSMATRISER, INVERSA MATRISER
rmi Hlilovi: EXR ÖVNINGR v Ivers mtriser KVDRISK MRISER, DIGONLMRISER, MRISENS SPÅR, RINGULÄR MRISER, ENHESMRISER, INVERS MRISER KVDRISK MRISER Defiitio E mtris me rer oh oloer, lls vrtis typ Defiitio
Läs merLinjär Algebra (lp 1, 2016) Lösningar till skrivuppgiften Julia Brandes
Lijär Algebra (lp 1, 2016) Lösigar till skrivuppgifte Julia Brades Uppgift 1. Betecka mägde av alla matriser med M(). Vi har e elemetvist defiierad additio av två matriser A, B M(). De är defiierad geom
Läs merTentamen del 2 i kursen Elinstallation, begränsad behörighet ET
Tetame del 2 i kure Elitallatio, begräad behörighet ET1013 2013-06-03 Tetame omfattar 60 poäg. För godkäd tetame kräv 30 poäg. Tillåta hjälpmedel är räkedoa amt bifogad formelamlig Beräkigar behöver bara
Läs merLINJÄRA AVBILDNINGAR AV PUNKTER OCH PUNKTMÄNGDER
ri Hlilovic: EX ÖVNING Lijär vildigr v pukägder LINJÄ VBILDNING V PUNKE OCH PUNKMÄNGDE vildig v e puk Vi hr defiier lijär vildigr ell vå vekorru Vi k forell erk puker so orsvekorer och däred erk vildigr
Läs merR app o r t T A n a l y s a v f as t p r o v. Ut f ä r dad A le xa n d e r G i r on
S i da 1 (13 ) A n k o m s tdatum 2016-05 - 31 T y r é n s AB Ut f ä r dad 2016-06 - 08 A le xa n d e r G i r on P r o j e kt Ka b el v e r k e t 6 B e s tnr 268949 P e t e r M y nd es B ac k e 16 118
Läs merRäkning med potensserier
Räkig med potesserier Serier (termiologi fis i [P,4-4]!) av type P + + + + 4 +... k ( om < ) k + + + + P 4 4 +... k k! ( e för alla ) k och de i [P, sid.9, formler 7-] som ärmast skulle kua beskrivas som
Läs merFörsöket med trängselskatt
STATISTISKA CENTRALBYRÅN m 1(5). Nilo Trägelkatt Förlag frå Ehete för pritatitik Ehete för pritatitik förelår att å kallad trägelkatt ka täcka i KI frå och med idex aveede jauari 26. Trägelkatte ave då
Läs merVILLA VÄNERN EN SUCCÉ I VÄST - SÄLJSTART SNART I DESSA OMRÅDEN. BEKVÄMT BOENDE I SMÅSTADSIDYLL PÅ ÖSTRA ÄNGARNE, ALE
HIINGEN OMMARKAMPANJ PÅ GARAREGAPORAR Vj 4 35 j j 9:- RING FÖR KONAFRI HEMBEÖK! O I 23, H 3-5 69 www! * I! A I E K 2, 3-5 57 @ *G NUMMER 6 juni 22 I LOKALA LIVILMAGAIN Nj N Ä U V! -,,, ö! B ö ö j -! V,
Läs merTentamen i Sannolikhetsteori III 13 januari 2000
STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISK STATISTIK Louise af Klitberg Lösigar Tetame i Saolikhetsteori III 13 jauari 2000 Uppgift 1 a) Det mest detaljerade utfallsrummet är med uppebara beteckigar Ω = {(B1, B2),
Läs merHYPOTESPRÖVNING. De statistiska metoderna som används för att fatta denna typ av beslut baseras på två komplementära antaganden om populationen.
HPOTESPRÖVNING De tatitika metodera om aväd för att fatta dea typ av belut baera på två komplemetära atagade om populatioe. Partiet produkter har atige de utlovade kvalitete eller å har de de ite. Atige
Läs merVI HJÄLPER DIG ATT SKAPA FRAMGÅNGSRIKA MÖTEN. [ eskilstunaconvention.se ]
VI HJÄLPER DIG ATT SKAPA FRAMGÅNGSRIKA MÖTEN [ ekiluacoveio.e ] ESKILSTUNA har ära 00 000 ivåare. Regioe har e ark föreagarradiio, e rik muikliv, och e expaiv högkola. Käd bl a för Aa, Guif, Ke, Parke
Läs merTillåtna hjälpmedel: Eget handskrivet formelblad (A4), utdelad tabellsamling, miniräknare med tömt minne Studenterna får behålla tentamensuppgifterna
UMEÅ UNIVERSITET Ititutioe för matematik tatitik Statitik för lärare, MSTA8 PA LÖSNINGSFÖRSLAG 004-0-8 LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN I MATEMATISK STATISTIK Statitik för lärare, poäg Tillåta hjälpmedel:
Läs merKvinnors arbetsmiljö. Rapport 2012:11. Tillsynsaktivitet 2012 inom regeringsuppdraget om kvinnors arbetsmiljö. Delrapport
Kviors arbesmiljö Tillsysakivie 12 iom regerigsuppdrage om kviors arbesmiljö Delrappor Rappor 12:11 12-5-9 1 (9) Ehee för mäiska och omgivig Chrisia Josso, 8-73 94 18 arbesmiljoverke@av.se Delrappor Tillsysakivie
Läs merKURV- OCH YTAPPROXIMATION MED POLYNOM
KURV- OCH YTAPPROXIMATION MED POLYNOM Magus Bodesso Isiuioe för Daaveeskap 999-02-04, 200-02-0 (red), 2003-02-05 (red) Allmä om kurvapproximaio med polyom Dea papper ersäer framsällige i HB: 35-354, FvD:
Läs mer1. BERÄKNING AV GRÄNSVÄRDEN ( då x 0 ) MED HJÄLP AV MACLAURINUTVECKLING. n x
BERÄKNING AV GRÄNSVÄRDEN ( då ) MED HJÄLP AV MACLAURINUTVECKLING a) Maclauris formel ( ) f () f () f () f ( ) f () + f () + + + +!!! ( ) f ( c) där R och c är tal som ligger mella och ( + )! Amärkig Eftersom
Läs mer5.1.1 z-transform av impuls δ[n] Låt oss se på z-transformen för en impuls [ n]
5 Sigaler och em i -lae Vi har hiill e å igaler och em i id- och revelae och de egeaer vi har ommi ram ill viar aleraiva ä a beriva och aalera igaler och em. Dea meoder har doc ie via ig eciell avädbara
Läs merKapitel 3-4. Kapitel 3, Integralrelationer repetition energiekvationen. Kapitel 4, Differentialrelationer
Kaiel 3-4 Kaiel 3, Inegralrelaioner reeiion energiekaionen Kaiel 4, Differenialrelaioner Berakelsesä maeriella eriaan koniniesekaionen imlsekaionen energiekaionen Reeiion, Kaiel 3 Ssem: En samling maeria
Läs mer4. Uppgifter från gamla tentor (inte ett officiellt urval) 6
SF69 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMER II - ÖVNING 4 KARL JONSSON Iehåll. Egeskaper hos Fouriertrasforme. Kapitel 3: Z-Trasform.. Upp. 3.44a-b: Bestämig av Z-trasforme för olika talföljder.. Upp.
Läs merElektronik. Kapacitanser, induktanser, transienter. Översikt. Kapacitanser och induktanser. Plattekondensator
Elekronik Överik Kapaianer, indukaner, raniener Piero Andreani Iniuionen för elekro oh informaioneknik Lund univerie Kapaianer () oh indukaner (L) Srömmar oh pänningar i kapaianer oh indukaner Ömeiga indukaner
Läs merBALLERINA. Prima. look
b Mi TOP-li få TOPMl- äl! Ciy lic Ciy iy C y C P i c i f y li c y l äl li b J ä! Cy ä äi pi ö: bäppfyll j få böj bö M j P A i C b fö i! i l x c Hli TOPMl li å f Hli J äl i äl li på äll c ö cl jbb på ll
Läs merTENTAMEN. Datum: 11 feb 2019 Skrivtid 8:00-12:00. Examinator: Armin Halilovic Jourhavande lärare: Armin Halilovic tel
Kus: HF9, Matematik, atum: feb 9 Skivti 8:-: TENTAMEN momet TEN aals Eamiato: Ami Halilovic Jouhavae läae: Ami Halilovic tel 8 79 8 Fö gokät betg kävs av ma poäg Betgsgäse: Fö betg A, B, C,, E kävs, 9,
Läs merStatistisk analys. Vilka slutsatser kan dras om populationen med resultatet i stickprovet som grund? Hur säkra uttalande kan göras om resultatet?
Statistisk aalys Vilka slutsatser ka dras om populatioe med resultatet i stickprovet som grud? Hur säkra uttalade ka göras om resultatet? Mats Guarsso Tillämpad matematik III/Statistik - Sida 83 Exempel
Läs merLINJÄR ALGEBRA II LEKTION 4
LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 4 JOHAN ASPLUND Iehåll Egevärde, egevektorer och egerum 2 Diagoaliserig 3 Uppgifter 2 5:4-5a) 2 Extrauppgift frå dugga 2 52:8 4 52:3 4 Extrauppgift frå teta 4 Egevärde, egevektorer
Läs merPingsteld över Maramba, Zambia
Nyhesbrev Nr 10 2014 Jesus är desamme i går och idag och i evighe. (Hebr. 13:8) Pigseld över Maramba, Zambia Maramba är e kåksad srax uaför sade Livigsoe i Zambia. I dea yhesbrev vill jag rapporera frå
Läs merGOSPEL PÅ SVENSKA 2. Innehåll
GOSPEL PÅ SVENSKA 2 Innehåll Kom oh se 7 Lovsung vår Gud 8 Barmhärtige Gud 10 Igen 11 är min Herde 1 Ditt Ord estår 16 redo 18 När delar 21 Herre hör vår ön 2 Vår ader 2 ör mig 26 O Herre längtar 28 Hallelua,
Läs merParkera lätt och rätt i Varberg. Information och kartor över allmänna parkeringsplatser.
och i V Ifoio och o pip. i å phu L i i på upp och f f i pi. Å i i i åo å pihu. D fi o o i pip, uo i åo iu få o. I pi i phu I å pihu h i if oo if y piy, o u f i o. Ko i iiy och påj i pi uoi i if. Hå ui
Läs merR app o r t T A n a l y s a v f as t p r o v. Ut f ä r dad P e r S a mu el s s on
S i da 1 (14 ) A n k o m s tdatum 2018-07 - 09 M R M K on s u l t AB Ut f ä r dad 2018-07 - 16 P e r S a mu el s s on T a v as tg a t a n 34 118 24 S to ck ho lm S w e d en P r o j e kt B e s tnr S p å
Läs merKarin Liungmantext Georg Riedelmusik
Kari Liugmatext Georg Riedelmusik Iehåll: Du ka lilla mäiska 1 E främmade röst 9 ag fälte 1 Vad hälper det 1 Med rädsla förväta Kleke till livet 6 Det fis e sköhet 30 äst vid orde 35 Det allra största
Läs merModell för fukt på vind Enligt figuren kan en energi balans ställas upp:
Mode för fk på d Eg fgre ka e eerg aas säas pp: förs för I fgre eda sas defoera för ärme oh fkaas. Om fgres koeoer föjs r ärmeaase (ge maera aas ha ågo ärmekapae (myke förekad mode oh ge sråg på sda eer
Läs merKOORDINATVEKTORER. BASBYTESMATRIS
Armin Hlilovic: EXTRA ÖVNINGAR KOORDINATVEKTORER ASYTESMATRIS yemri Koordiner för en vekor i en given Om (vv vv vv nn ) är en för vekorrumme ( eller underrumme) V då gäller följnde: Vrje vekor i rumme
Läs merProblem 2 löses endast om Du hade färre än 15 poäng på duggan som gavs arctanx sin x. x(1 cosx) lim. cost.
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska istitutioe Abrahamsso 7-6796 Prov i matematik IT, W, lärarprogrammet Evariabelaalys, hp 9-6-4 Skrivtid: : 5: Tillåta hjälpmedel: Mauella skrivdo Varje uppgift är värd maimalt
Läs merSida 1 av 12. vara ett inkonsistent system (= olösbart system dvs. ett system som saknar lösning). b =.
Sida av MINSAKVADRAMEODEN Låt a a a a a a a a a vara ett ikosistet sste ( olösart sste dvs. ett sste so sakar lösig). Vi ka skriva ssteet på fore A (ss ) där a a... a a a... a A, och............. a p a
Läs merDatum: 11 feb Betygsgränser: För. Komplettering sker. Skriv endast på en. finns på omslaget) Uppgift. Uppgift 2 2. Uppgift. Beräkna.
Tetame i Matematisk aals, HF5 atum: feb Skivti: 8:-: Läae: Maia Aakela, Joas Steholm, Ami Halilovic Eamiato: Ami Halilovic Jouhavae läae: Ami Halilovic tel 8 7 8 Fö gokät betg kävs av ma poäg Betgsgäse:
Läs merKorrelationens betydelse vid GUM-analyser
Korrelatoes betydelse vd GUM-aalyser Hela koceptet GUM geomsyras av atagadet att gåede mätgar är okorrelerade. Gude betoar och för sg att ev. korrelato spelar, me ger te mycket vägledg för hur ma då ska
Läs mer101. och sista termen 1
Lektio, Evariabelaalys de ovember 999 5.. Uttryck summa j uta summasymbole. j + Termera är idexerade frå j = till j = och varje term är blir j j+. Summa Skriver vi upp summa uta summasymbole blir de +
Läs merCONSTANT FINESS SUNFLEX
Luex terrassarkiser. Moterigs- och bruksavisig CONSTNT FINESS SUNFLEX 5 6 Markises huvudkopoeter och ått Placerig av kobikosol rklockor och justerig Parallelljusterig vädig och skötsel Huvudkopoeter och
Läs merLösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1
Lösigar och kommetarer till uppgifter i. 407 d) 408 d) 40 a) 3 /5 5) 5 3 0 ) 0) 3 5 5 4 0 6 5 x 5 x) 5 x + 5 x 5 x 5 x 5 x + 5 x 40 Om det u är eklare så här a x a 3x + a x) a 4x + 43 a) 43 45 5 3 5 )
Läs merMedborgarnas synpunkter på skattesystemet, skattefusket och Skatteverkets kontroll Resultat från en riksomfattande undersökning hösten 2006
M y å y, S R å ö ö 2006 R 2007:3 3 Fö S ö 1996 å ö å å ö. Uö ä å ä: Mä ( ä) ä. Mä ä å y y,, ä ä å y S ä. I å 2006 å ö ä y, (ä). D (ä) 2007:4, M y å S ä. Uö y : ö ö ä y S, ö ö ö å S,, ä ä å ä å y ö. Fä
Läs merc n x n, där c 0, c 1, c 2,... är givna (reella eller n=0 c n x n n=0 absolutkonvergent om x < R divergent om x > R n n lim = 1 R.
P Potesserier Med e potesserie mear vi e serie av type c x, där c, c, c,... är giva (reella eller komplexa) kostater, s.k. koefficieter, och där x är e (reell eller komplex) variabel. För varje eskilt
Läs merLinköpings tekniska högskola IKP/Mekaniksystem Mekanisk värmeteori och strömningslära. Exempeltentamen 3. strömningslära, miniräknare.
Exempeltetame 3 (OBS! De a te ta m e ga vs i a ku rse delvis bytte i eh å ll. Vis s a u ppgifter s om i te lä gre ä r a ktu ella h a r dä rför ta gits bort, vilket m edför a tt poä gs u m m a ä r < 50.
Läs merFärgscheman Bengal [by Jez]
Vilke färg har egale? Färgchema Begal [y Jez] 24 24 33 24 32 24 31 vartpotted (ru) eal lyxpoit potted eal mik potted eal epia potted 22 22 33 22 32 22 31 vartmarle (ru) eal lyxpoit marle eal mik marle
Läs merBorel-Cantellis sats och stora talens lag
Borel-Catellis sats och stora tales lag Guar Eglud Matematisk statistik KTH Vt 2005 Iledig Borel-Catellis sats är e itressat och avädbar sats framför allt för att bevisa stora tales lag i stark form. Vi
Läs merθx θ 1 om 0 x 1 f(x) = 0 annars
Avd. Matematisk statistik TENTAMEN I SF903 SANNOLIKHETSLÄRA OCH STATISTIK FÖR 3-ÅRIG Media TIMEH TORSDAGEN DEN TREDJE JUNI 200 KL 4.00 9.00. Examiator: Guar Eglud, tel. 790 74 06 Tillåta hjälpmedel: Läroboke.
Läs mer5. Linjer och plan Linjer 48 5 LINJER OCH PLAN
48 5 LINJER OCH PLAN 5. Lijer och pla 5.. Lijer Eempel 5.. Låt L ara e lije i rummet. Atag att P är e pukt på L och att L är parallell med e ektor, lijes riktigsektor. Då gäller att e pukt P ligger på
Läs merSÖDRA FLERBOSTADSH USEN
Bjöovä, 181130- Göyfko SÖDR LERBOSTDSH USEN Nl vl k ä Dv fälkk hä Bv k Ej y öy k p l ä fj lo Bk Växä på jälkl, 200-600 v y k ä l c p o p Ö fö Håjo y Hlvöpp håjo y: Tääck//jöl/k 363,7 2 k p l ä fj lo Håjo
Läs merTENTAMEN Datum: 18 aug 11 TEN2: TRANSFORMMETODER
TENTAMEN Daum: aug TEN: TRANSFORMMETODER Program:. Daa/ lkro och. Gamla udr Mdicikkik Kur: MATEMATIK Kurkod HF, H Skrivid::5-:5 Hjälpmdl: Formlblad dla u låmpl och miiräkar av vilk p om hl. Lärar: Armi
Läs merUppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 26, 9/2 2011: y + ay + by = h(x)
Uppsala Uiversitet Matematiska Istitutioe Bo Styf Evariabelaalys, 0 hp STS, X 200-0-27 Föreläsig 26, 9/2 20: Geomgåget på föreläsigara 26-30. Att lösa de ihomogea ekvatioe. De ekvatio vi syftar på är förstås
Läs merFöreläsning 3. 732G04: Surveymetodik
Föreläsig 3 732G04: Surveymetodik Dages föreläsig Obudet slumpmässigt urval (OSU) Populatiosparametrar och stickprovsstatistikor Vätevärdesriktighet Ädliga och oädliga populatioer Medelvärde, adel Kofidesitervall
Läs merEgna funktioner. Vad är sin? sin är namnet på en av många inbyggda funktioner i Ada (och den återfinns i paketet Ada.Numerics.Elementary_Functions)
- 1 - Vad är si? si är amet på e av måga ibyggda fuktioer i Ada (och de återfis i paketet Ada.Numerics.Elemetary_Fuctios) si är deklarerad att ta emot e parameter (eller ett argumet) av typ Float (mätt
Läs merKontrollskrivning 3 i SF1676, Differentialekvationer med tillämpningar. Tisdag kl 8:15-10
KH Matematik Kotrollskrivig 3 i SF676, Differetialekvatioer med tillämpigar isdag 7-5-6 kl 8:5 - illåtet hjälpmedel på lappskrivigara är formelsamlige BEA För godkäd på module räcker 5 poäg Bara väl motiverade
Läs mer1. M öt et s öp pn an d e S ve n fö r k la r a r mö t et ö p p nat k lo c k a n 13. 5 0 i me d le ms k o nt o r et.
Styrels e möte 7mars 2010 Bila gor: 1. D ago r d ning 2. N är va r o lis t a 1. M öt et s öp pn an d e S ve n fö r k la r a r mö t et ö p p nat k lo c k a n 13. 5 0 i me d le ms k o nt o r et. 2. F o rma
Läs mer( ) ( θ( n) 1. Ett kausalt tidskontinuerligt filter F har tillståndsekvationen
gamla eor maem me E, fk, del B () CTH&GU, maemaik Teame i maemaiska meoder fk, del B, TMA98, -8-, kl 85-5 Hjälpmedel: Formelsamlig (delas u, lämas illbaka efer skrivige) Bea Ej räkedosa Telefo: Rolf Liljedal,
Läs merE I T. Efficient & Integrated Transport. EIT - Efficient & Integrated Transport Processes. Projektkonferens
EIT - Efficie & Iegraed Trapor FFI Traporeffekivie i Projekkofere 2011-0-1 Se Lidgre, Odee Swede 1 Måläig och bakgrud EIT-projeke hadlar om hur rapor/logiikföreag kommuicerar med ia kuder (B2B-relaioer).
Läs mer= x 1. Integration med avseende på x ger: x 4 z = ln x + C. Vi återsubstituerar: x 4 y 1 = ln x + C. Villkoret ger C = 1.
Lösigsförslag till tetamesskrivig i Matematik IV, 5B0 Torsdage de 6 maj 005, kl 0800-00 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Hadbook Redovisa lösigara på ett sådat sätt att beräkigar och resoemag är lätta att
Läs mer27. NATURLJUD. o k k o k k k. p k k k kz k k o k k k k k k n k k k. k o k. a f4 Fredrik: kk k. k dk. a f4 4 j. k n. k n k k. k n k n k n.
27. NATURLJUD 171 a f4 Fredri: 4 o o p z o o Hysch-hysch! Tys-ta u! Ett ljus som är-mar sej! O ja, det är di-tör. Göm er på stört! Å Pirater: a f4 4 j m 4 j j m l l d d u om-mer visst di - tör! Å ej, u
Läs merDagens förelf. Arbetslöshetstalet. shetstalet och BNP. lag. Effekter av penningpolitik. Tre relationer:
Blanchard kapiel 9 Penninmänd, Inflaion och Ssselsänin Daens förelf reläsnin Effeker av penninpoliik. Tre relaioner: Kap 9: sid. 2 Phillipskurvan Okuns la AD-relaionen Effeken av penninpoliik på kor och
Läs merDigital signalbehandling Fönsterfunktioner
Istitutioe för data- och elektrotekik Digital sigalbehadlig Fösterfuktioer 2-2-7 Fösterfuktioer aväds för att apassa mätserie vid frekvesaalys via DFT och FFT samt vid dimesioerig av FIR-filter via ivers
Läs merENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING VI. Föreläsning VI. Mikael P. Sundqvist
Föreläsig VI Mikael P. Sudqvist Aritmetisk summa, exempel Exempel I ett sällskap på 100 persoer skakar alla persoer had med varadra (precis e gåg). Hur måga hadskakigar sker? Defiitio I e aritmetisk summa
Läs mer