Deinitionsmängd FUNKTIONER. DEFINITIONSMÄNGD OCH VÄRDEMÄNGD. Deinition En unktion (eller vbildning ) rån en mängd A till en mängd B är en regel som till någr element i A ordnr högst ett element i B. Att unktionen vbildr vbilds på betecknr vi eller ( ) =. Om () säger vi tt är bilden v originlen. Att är en unktion rån A till B betecknr vi på öljnde sätt : A B Mängden A är unktionens strtmängd (eng: initil set ). Mängden B är unktionens målmängd (eng: inl set trget set ) : A B Deinitionsmängden (eng: domin) D till unktionen är mängden v ll originler dvs mängden v ll på vilk tillämps (den gul mängden i gren). Värdemängden (eng: rnge) V är mängden v ll bilder som ås då genomlöper deinitionsmängden eller mer precis V ( ) : D }. { Noter skillnden melln strtmängden och deinitionsmängen; värdemängden V och målmängden B ). Generellt gäller: D Aoch V B. Sid v
Deinitionsmängd I envribelnls som stndrd gäller öljnde överenskommelse: Om vi inte nger på eplicit sätt deinitionsmängden ör en unktion =() menr vi tt unktionens deinitionsmängd består v ll reell ör vilk () är ett reellt tl. Dvs vi menr tt D ( i ett sådnt ll) är den störst möjlig deinitionsmängden ör (). Eempel. Låt : R R där ( ). För den här unktionen är strtmängden= R målmängden = R deinitionsmängden=[-] och värdemängden =[0] Eempel. (Ett diskret eempel) För unktionen som deiniers med hjälp v gren gäller: : A B strtmängden=a= { 4 } målmängden = B { b c d e} deinitionsmängden är D { } värdemängden är V { c}. ================================================================ I den här kursen (Envribelnls) betrktr vi reell unktioner = () v en reell vribel med ndr ord både och är reell tl. Alltså i vår kurs gäller otst : R R För tt deinier en unktion måste vi nge. unktionens deinitionsmängd D. och. ett uttrck = () ( dvs en regel som till vrje D ordnr ekt ett reellt tl () ). Lägg märke till tt vi kn beteckn vribler med ndr bokstäver: T e vi betrktr ( ) 8 R och g( t) t 8 t R som två lik unktioner Sid v
Deinitionsmängd Funktionens värdemängd V ärr mängden vv ll () då vrier inom deinitionsmängden dvs V { ( ) : D } D Deinitionsmängden ör unktionen ( ) i iguren till höger är ( 8 ] D medn värdemängden består v två intervll V ( 4) [68] Gren till en unktion G är mängden m vv ll punkter ( ( )) ) då vrierr inom deinitionsmängden dvs G= {( ( )) : }. Motsvrnde kurv i -plnet klls unktionskurv. För vrje i deinitionsmängden D hr vi ekt en punkt ( ()) på unktionsgren. D igur A igur B () Kurvn i igur A är en unktionskurv ( ör vrje reellt tl = hr vi högst en motsvrnde punkt på unktionskurv. [Om ligger i deinitionsmängden dåå hr vi ekt en motsvrnde punkt på unktionskurvn.] Kurvn i igur B (en ellips) ärr INTE en unktionskurv ( ör minst ett = hr vi minst två motsvrnde punkter på gren. ------------------------------------------------------- Sid v
Deinitionsmängd Två unktioner ( ) : D och g ( ) : D är lik om och endstt om D D och () g() ör D ll D. T e [5] och [0] är två olik unktioner. RESTRIKTION AV EN FUNKTION. Låt och g vr två unktioner med deinitionsmängder respektive B där B A. Om ( ) g( ) ör ll B säger vi tt g är restriktionen v unktionen till B. A Med ndr ord en restriktion g hr smm regel som ( uttrck ()= =g() ) men deinitionsmängd ( B A ). hr en mindre T e. Om ( ) D g med deinitionsmängden D [ 5] [ 4] då är g restriktionen v unktionen till [ 4] och g( ) med Eempel : Rit unktionen därr. Bestäm unktionens värdemängd. Lösning: Funktionens deinitionsmängd är mängden v ll reell tl sådn tt. Alltså D D { R } som vi skriver på kortre sätt D [ ). Vi ritr den del v prbeln. därr Lägg märke till tt punkten ( 4) inte tillhör gren. Vi ser tt 0 4. Därmed är unktionens värdemängd { R : 0 4} V Vi skriver på kortre sätt Eempel : V [0 4). Sid 4 v
Deinitionsmängd Låt. Bestäm unktionens deinitionsmängd ( dvs den störst möjlig deinitionsmängd) och värdemängd. Rit gren till unktionen.. Lösning. är ett reellt tl om och endst om 0. Funktionen ntr ll värden 0 Svr : D [ 0 ) V [ 0 ) Deinitionsmängd ör elementär unktioner. ) Följnde elementär unktioner är deinierde ör ll reell 5 7 sin cos rctn rccott där 0 t e e 5 polnom n n 0 n är ett nturligt tl. b) Funktionen c ) ln() är är deinierdd om 0 d) är deinierd om 0 deinierd om 0 e ) rcsin är deinierd om ) rccos är deinierd om g ) Potensunktionen där är ett reellt tl är deinierd åtminstone ör >0. I ) Om eponent är positivt heltl då är deinierd ör ll Sid 5 v
Deinitionsmängd 4 t e unktionen hr D ( ) II ) Om eponent är negtivt heltl då är deinierd ör ll 0 4 t e unktionen är deinierd ör ll 0 4 III) Om eponent är ett positivt tl men inte heltl då är t e unktionen är deinierd ör ll 0. III) Om eponent är negtivt tl men inte heltl då är / t e unktionen är deinierd ör ll 0. deinierd ör ll 0 deinierd ör ll 0 Anmärkning: Lägg märke till tt öljnde två unktioner och inte hr smm deinitionsmängd: är deinierd ör ll även negtiv t e 8 medn är deinierd ör 0. De två unktioner är lik endst ör 0. Alltså är korrekt endst om 0!!! Eempel : Bestäm deinitionsmängden till 5 8 sin 4cos e rctn rccot Svr : D ( ) R (R= mängden v ll reell tl) Sid 6 v
Deinitionsmängd. Funktionen u() är deinierd om u() 0. Eempel 4: Bestäm deinitionsmängdenn till Lösning. 0. Svr: D [ ) Eempel 4: Bestäm deinitionsmängdenn till Lösning. 0. ör ll. D Svr: D ( ) Eempel 5: Bestäm deinitionsmängden n till sin Lösning. sin 0 k k där k 0 Svr: Funktionen är deinierd om k k där k 0. Funktionen ln( u( )) är deinierd om u( ) 0. Eempel 6. Bestäm deinitionsmängdenn till ln( 4) Lösning. 4 0 eller Svr: D D ( ) ( ) 4. Den rtionell unktionen p( ) q( ) är deinierd om q() 0. Sid 7 v
Deinitionsmängd Eempel 7. Bestäm deinitionsmängden till 4 9 Svr: Funktionen är deinierd om 5. Funktionen sin tn är deinierd om cos 0 cos dvs om k 6. Funktionen cos cot är deinierd om sin 0 sin dvs om k Eempel 7. Bestäm deinitionsmängden till tn( ) Lösning. cos( ) 0 k k 6 Svr: Funktionen är deinierd om k 6 7. Funktionen rcsin( u( )) u ( ) är deinierd om 8. Funktionen rccos( u( )) u ( ) är deinierd om Eempel 8. Bestäm deinitionsmängden till rccos( ) Sid 8 v
Deinitionsmängd Lösning. Svr: D [ ] Eempel 9. Bestäm deinitionsmängden till unktionen 4. Lösning: 4 ) Funktionen är deinierd om 0. 0 4 0 + + + 0 + 4 + 0 ej + de Deinitionsmängden : D ( 0] ( ) Eempel 0. Bestäm deinitionsmängden ör ln(6 5 ) Lösning: b) Villkor : 6 5 0 0 6 5 0 ( 5)( ) 0 ( 5)( ) 0( teckenstudium) 5 0 ( ) 0 ( teckenstudium) 0 eller Sid 9 v
Deinitionsmängd Båd villkoren är upplld ör 5. Svr: < < 5 Eempel. Bestäm deinitionsmängden ör unktionen ( ) ln( ) rcsin( ) e sin Lösning: Villkor : 0 Villkor : Villkor och ger: Svr: Eempel. Bestäm deinitionsmängden ör unktionen ( ) ln( ) rccos( ) 4 4 cos Lösning: Villkor : 0 Villkor : ( vi dderr +) Villkor och ger: Svr: Eempel. Bestäm deinitionsmängden ör unktionen ( ) ln( ) e 6 Sid 0 v
Deinitionsmängd Svr: 4 Eempel 4. Bestäm deinitionsmängden ör unktionen ( ) ln(50 ) sin( 4) rctn Svr: 5 Sid v