Definitioner: Diskret stokstisk vribler Utfllet i ett slumpmässigt försök i form v ett reellt tl, betrktt innn försöket utförts, klls för stokstisk vribel eller slumpvribel (oft betecknd ξ, η ) Ett resultt v försöket (utfll v slumpvribeln) klls för observert värde eller observtion (oft betecknt eller y) En stokstisk vribel som kn nt endst ett ändligt eller uppräkningsbrt ntl värden, så klls diskret kn vr oändligt mång En observtion, värdet 9 1 2,2 3 4 5,8 9 12 14 Smtlig möjlig utfll (utfllsrummet) Tillämpd mtemtik III/Sttistik - Sid 42
Beskrivning v en diskret stokstisk vribel En diskret stokstisk vribel, ξ, beskrivs med dess snnolikhetsfördelning En snnolikhetsfördelning sk inneftt dels ll värden,, den kn nt och dels snnolikheten för respektive värde, P(ξ=) Eempel: tärningskst Utfllsrum: {1, 2, 3, 4, 5, 6}; P(ξ=) = 1/6 för ll Eempel: slntsingling (ej högknt) Utfllsrum: {0 = (kron), 1 = (klve)}; P(ξ=) = ½ för ll Jämför: A = kron = 0 Tillämpd mtemtik III/Sttistik - Sid 43
Snnolikhetsfördelning, snnolikhets- och fördelningsfunktion Låt ξ vr en diskret stokstisk vribel som ntr värden: 1 < 2 <... < k <... Snnolikhetsfunktionen (frekvensfunktionen) till ξ, p( k ), definiers som p( ) = P( ξ = ) k Fördelningsfunktionen till ξ, F( k ), definiers som k k k i i= 1 F( ) = P( ξ ) = P( ξ = ) Det gäller också tt: P(ξ= k ) = F( k ) - F( k-1 ) k Tillämpd mtemtik III/Sttistik - Sid 44
Likformig fördelning Det finns N stycken lik snnolik utfll P(ξ= i ) = 1/N N klls för den likformig fördelningens prmeter 1/N...... 1 2 3 k k+1 N N stycken lik snnolik utfll Eempel: ntl ögon vid ett tärningskst Tillämpd mtemtik III/Sttistik - Sid 45
Hypergeometrisk fördelning En mängd innehåller totlt N element, v vilk Np är v speciellt slg (ndelen speciell är p). Välj slumpmässigt, utn återlägg, ett urvl v n element. Låt ξ betecknr ntlet speciell element i urvlet. ξ är då hypergeometriskt fördeld Totlt N element Np är speciell Välj n stycken utn återläggning, ξ är ntlet speciell - speciell Tillämpd mtemtik III/Sttistik - Sid 46
Hypergeometrisk fördelning Med den klssisk definitionen v snnolikhet fås: är ett heltl sådnt tt 0 k Np och 0 n-k N-Np ; ; Tillämpd mtemtik III/Sttistik - Sid 47
Binomilfördelning Ett försök består v n oberoende upprepningr v delförsök. A är en speciell händelse som inträffr med smm snnolikhet p i vrje delförsök. Slumpvribeln ξ betecknr ntlet gånger händelsen A inträffr i hel försöket. ξ är då binomilfördeld n n P( ξ = ) = p (1 p), = 0,1, 2,..., n P(A) = p P(A) = p P(A) = p 1 A 2 A... n A ξ Bin( n, p) A inträffr k gånger vid de n försöken Tillämpd mtemtik III/Sttistik - Sid 48
Poissonfördelning Betrkt händelser A som inträffr slumpmässig i tiden och oberoende v vrndr. Slumpvribeln ξ betecknr ntlet händelser A under ett tidsintervll v fi längd. ξ är då poissonfördeld λ P( ξ = ) = e, =! 0,1, 2,... Po( ) λ ξ λ λ är genomsnittligt ntl händelser A under intervllet Tid Fi tid Fi tid Fi tid - händelse A Tillämpd mtemtik III/Sttistik - Sid 49
Diskret fördelningr med Mthemtic Om ; ; = ) = PDF[HypergeometricDistribution[n,Np,N],] ) = = CDF[HypergeometricDistribution[n,Np,N],] Om ; = ) = PDF[BinomilDistribution[n,p],] ) = CDF[BinomilDistribution[n,p],] Om (λ) = ) = PDF[PoissonDistribution[λ],] ) = CDF[BinomilDistribution[λ],] Tillämpd mtemtik III/Sttistik - Sid 50
Hypergeometrisk, binomil- och poissonfördelning Approimtionsregler Hyp(N, n, p) n/n < 0,1 p+n/n < 0,1 n > 10 λ = np Bin(n, p) λ = np n > 10 p < 0,1 Po(λ) Tillämpd mtemtik III/Sttistik - Sid 51
Kontinuerlig stokstisk vribler En kontinuerlig stokstisk vribel kn nt ll värden i ett intervll. T.e Ω =, eller Ω = { : 0<<1} Utfllen ligger oändligt tätt vilket medför tt inget utfll kn nts med positiv snnolikhet. Fördelningsfunktionen får följnde utseende Definition F () = f (t)dt ξ ξ Om det finns en funktion f() så tt (*) gäller sägs ξ vr en kontinuerlig stokstisk vribel och f() klls täthetsfunktion (frekvensfunktion). (*) Tillämpd mtemtik III/Sttistik - Sid 52
Frekvens- och fördelningsfunktion Frekvensfunktionen definiers genom P( ξ ) = f ( t) dt Fördelningsfunktionen definiers som F( ) = P( ξ ) = f ( t) dt f() kn ses som fördelning v snnolikhetsmss. Snnolikheten för utfll inom och + är ungefär f() Tillämpd mtemtik III/Sttistik - Sid 53
f Frekvens- och fördelningsfunktion Egenskper: ( ) 0 och f ( t ) d t = 1 F ( ) = P ( ξ ) = f ( t ) d t och F ' ( ) = f ( ) b P ( < ξ b ) = f ( t ) d t = F ( b ) F ( ) P ( ξ > ) = f ( t ) d t = 1 F ( ) P ( ξ = ) = 0, för ll Tillämpd mtemtik III/Sttistik - Sid 54
Tillämpd mtemtik III/Sttistik - Sid 55 Rektngelfördelning (likformig) Frekvensfunktionen är konstnt i ett intervll, och noll utnför b f() 1/(b-) b F() 1 < < = < < = b b b F övrigt för b b f 1 0 ) ( 0 1 ) ( ), ( eller ), ( b U b R ξ ξ
Eponentilfördelning En stokstisk vribel är Eponentilfördeld om den hr frekvens- och fördelningsfunktion enligt nedn 2 f() λ = 2 f ( ) 0 < 0 0 = F( ) = λe 0 1 e λ λ < 0 0 1 λ = 1 ξ Ep( λ) Eempel där eponentilfördelningen kn nvänds som modell: Tiden melln 2 α-prtiklr vid rdioktivt sönderfll. Livslängder på elektronikkomponenter Tillämpd mtemtik III/Sttistik - Sid 56
Normlfördelningen Normlfördelningen är vnligt förekommnde Den bestäms v två prmetrr, väntevärde, µ, smt stndrdvvikelse, σ - < µ <, σ >0 Utfllsrum: - < < ξ N ( µ, σ ) f ( ) = σ 1 2π 2 2 ( e µ ) /( 2σ ) 1 2 2 ( t µ ) /( 2σ ) F( ) = e dt σ 2π Tillämpd mtemtik III/Sttistik - Sid 57
Normlfördelningen För normlfördelningen är F() omöjlig tt beräkn utn numerisk metoder (den går inte tt lös ut lgebriskt) Därför finns tbeller för N(0,1), vilken hr fördelningsfunktionen 1 t / Φ( ) = e 2 2 dt 2π Om N (, ) så gä llertt P( ) = Φ( ) ξ µ σ ξ σ µ ξ µ N ( 0, 1) σ Φ Tillämpd mtemtik III/Sttistik - Sid 58 ( ) = 1 Φ( )
Tillämpd mtemtik III/Sttistik - Sid 59
Kontinuerlig fördelningr med Mthemtic Om ; ) = = CDF[UniformDistribution[{,b}],] Om ) = =CDF[EponentilDistribution[ ],] Om (µ;σ) ) = = CDF[NormlDistribution[µ; ],] Tillämpd mtemtik III/Sttistik - Sid 60