Elektriska drivsystem Föreläsning 3 - Elektromekaniska omvandlingsprinciper Mattias Krysander Institutionen för systemteknik Linköpings universitet matkr@isy.liu.se 2010-09-30 1/48
Repetition Kunskap om magnetiska kretsar. Modellerat transformatorn som en ideal förlustfri transformator kopplade till impedanser som modellerar transformatorns förlusterna. Förlusterna modelleras som läckflöde, lindningsresistans och järnförlust. Använda kunskapen om magnetiska kretsar och principen att separera en ideal energiomvandlingsprocess med dess förluster på elektromekaniska system. 2/48
Dagens föreläsning 1. Kraft och moment i magnetiska system 2. Energibalans 3. Energi i enkelexciterade magnetiska system 4. Kraft och moment från energibetraktelse 5. Kraft och moment från komplementenergibetraktelse 6. Multiexciterade magnetiska system 7. Kraft och moment i permanentmagnetiserade system 3/48
Kraft och moment i magnetiska system 4/48
Lorentz kraftlag F = q(e+v B) Om E = 0, strömtätheten J = ρv där ρ är laddningstäthet, F v kraft/volymsenhet F v = J B eller per längdelement ds utefter en ledare L med strömmen I som df = I ds v B = Ids B v Lorentz kraftlag fungerar bra när kraften överförs i en elektrisk ledare. 5/48
Lorentz kraftlag - exempel Givet: I = 10A B 0 = 0.02T R = 0.05m L = 0.3m Sökt: T(α). Lösning: F 1 = Wire 1 Ids B = ILB 0 ( ẑ ŷ) = B 0 ILˆx, ˆθ = ˆxsinα+ŷ cosα F θ,1 = B 0 ILsinα F θ,2 = B 0 ILsinα T(α) = R(F θ,1 +F θ,2 ) = 2B 0 ILRsinα = 0.006sinα Nm Moment skapas som vill likrikta magnetfälten. 6/48
Elektromekaniskt energiomvandlingssystem I maskiner verkar kraften i det magnetiska materialet och Lorentz kraftlag är inte enkel att applicera. Både rotorn och statorn skapar magnetfält där flödesriktningarna verkar för att bli parallella. Vinkelskillnaden genererar ett moment. Vi ska kvantifiera momentet/kraften genom att använda principen om energins bevarande. 7/48
Energibalans 8/48
Elektromekaniskt energiomvandlingssystem Vi antar att förlusterna inte beror på energilagrets storlek. Då kan ett elektromekaniskt energiomvandlingssystem beskrivas av ett förlustfritt (idealt) system med externa element som modellerar förlusterna (likhet med den ideala transformatorn). W elec = W mech +W fld +W loss Nu kommer vi betrakta det ideala systemet, dvs W loss = 0. 9/48
Elektromekaniskt energiomvandlingssystem Låt W fld beteckna den lagrade energin i magnetfältet. dw fld dt = ei f fld dx dt dw fld = ei }{{} dt f fld dx }{{} =dw elec =dw mech Differentialen av det elektriska arbetet kan också tecknas mha edt = dλ som: dw fld = i dλ f fld dx Ur detta kan f fld beräknas som funktion av position x, strömmen i och det sammanlänkade flödet λ. 10/48
Energi i enkelexciterade magnetiska system 11/48
Beräkning av den magnetiska energin dw fld = i dλ f fld dx W fld är en potential av λ och x. Det betyder att W fld (λ 0,x 0 ) = dw fld (λ,x) där C är en godtyckligt vald integrationsväg mellan (λ,x) = (0,0) och (λ,x) = (λ 0,x 0 ). C 12/48
Beräkning av den magnetiska energin dw fld = i dλ f fld dx W fld är en potential av λ och x. Det betyder att W fld (λ 0,x 0 ) = dw fld + 2a På väg 2a blir integranden i }{{} dλ f }{{} fld dx = 0 =0 =0, ty λ=0 På väg 2b blir integranden i dλ f fld }{{} dx = i dλ =0 dw fld 2b Detta ger W fld (λ 0,x 0 ) = λ0 0 i(λ,x 0 )dλ 13/48
Magnetiska energin för linjära system För linjära system gäller λ = L(x)i Exempel på linjära system är de där reluktansen domineras av luftgapets bidrag. Detta är ofta en god approximation för elmaskiner. W fld (λ,x) = λ 0 i(λ,x)dλ = λ 0 λ L(x) dλ = λ2 2L(x) = 1 2 L(x)i2 14/48
Magnetisk energi - exempel Givet: µ, h g, N = 1000 varv, g = 2 mm, d = 0.15 m, l = 0.1 m och i = 10 A. Sökt: Energin W fld (x) där 0 < x < d. 15/48
Magnetisk energi - exempel Lösning: Systemet linjärt, dvs där W fld = 1 2 L(x)i2 L(x) = N2 R tot, R tot = 2g µ 0 A gap, A gap = (d x)l = dl(1 x d ) Detta ger W fld = N2 µ 0 dli 2 (1 x 4g d ) = 236(1 x d ) J 16/48
Generellt: Magnetiska energin uttryck i fältstorheter Det går att visa följande uttryck: W fld = V ( B H db )dv 0 Integralen skall integreras över den volym där det finns magnetfält. Magnetfälten kan beräknas med FEM-metoder. För mjuka magnetiska material gäller och energin kan då tecknas B = µh W fld = V B 2 2µ dv 17/48
Kraft och moment från energibetraktelse 18/48
Kraft och moment från energibetraktelse Antag att vi känner W fld och vill beräkna kraften f fld. Differentialen kan skrivas dw fld = W fld λ dλ+ W fld x x dx λ Ekvationen sann för alla värden på dλ och dx och ger efter jämförelse med dw fld = i dλ f fld dx att i = W fld λ x f fld = W fld x λ Vid roterande system isf translaterande system, ersätts x med θ och f fld mot momentet T fld i formlerna. 19/48
Kraft för linjära system Sedan tidigare vet vi att λ 2 W fld = 1 2L(x) Sätter vi in det i uttrycket för kraft får vi f fld = x (1 λ 2 2L(x) ) = λ2 dl λ 2L 2 dx eller f fld = i2 2 dl dx 20/48
Induktans vs kraft i = 0.75A f fld = i2 2 Kraften drar in mot x = 0 dvs L(x) maximeras liksom λ = L(x)i magnetflödet, medan reluktansen R tot = N 2 /L minimeras. dl dx 21/48
Moment som funktion av vinkel Givet: Induktansen ges av L(θ) = L 0 +L 2 cos(2θ) där L 0 = 10.6mH, L 2 = 2.7mH. Strömmen är i = 2A. Notera induktansens period. Uppgift: Beräkna moment som funktion av θ. Lösning: T fld = i2 2 dl dθ = i2 L 2 sin(2θ) Momentet driver θ mot 0 eller π, dvs maximerar induktansen och minimerar reluktansen. 22/48
Kraft och moment från komplementenergibetraktelse 23/48
Komplementenergi i enkelexciterade system Det går att definiera en annan potential komplementenergin så att kraft/moment beskrivs direkt som funktion av strömmen. Komplementenergin definieras som W fld (i,x) = iλ W fld dw fld = λdi +i dλ (i dλ f flddx) = λdi +f fld dx Identifiering ger dw fld = W fld i λ = W fld i x som är de sökta sambanden. di + W fld x x dx i f fld = W fld x i 24/48
Beräkning av komplementenergin Komplementenergin beräknas analogt med energin som i W fld (i,x) = λ(i,x)di För linjära system beskrivna av λ = L(x)i gäller att Kraften blir i W fld (i,x) = λ(i,x)di = 1 2 L(x)i2 (= W fld ) 0 f fld = W fld x 0 = 1 dl i 2 dx i2 Då kretsmodellering ej tillräcklig, FEM för att beräkna magnetfältet samt använda ( H0 ) W fld = B dh dv H c där H c är den koerciva kraften. V 25/48
Energi vs komplementenergi i enkelexciterade system Anta att x är fix. i0 W fld (i,x) = λ(i, x)di 0 W fld (i,x) = λ0 0 i(λ, x)dλ W fld +W fld = λ 0i 0 Detta betyder att om det råder ett linjärt samband mellan λ och i (och B och H) så gäller att W fld = W fld 26/48
Kraftberäkning mha energi eller komplementenergi Kraften blir förstås samma oavsett om man baserar den på energin eller komplementenergin f fld = W fld x λ f fld = W fld x Energins och komplementenergins förändring map x. i De gråmarkerade areorna konvergerar då x 0. 27/48
Moment genom reluktansvariation Givet: Geometri, ström, µ. Sökt: a) Moment T som funktion av geometri och ström. b) Moment T som funktion av geometri och flödestätheten B i luftgapen. Lösning: ger att T fld = i2 2 dl dθ, L = N2 = N2 µ 0 (r 1 +0.5g)θh R tot 2g T fld = N2 i 2 µ 0 (r 1 +0.5g)h 4g 28/48
Moment genom reluktansvariation Givet: Geometri, ström, µ. Sökt: a) Moment T som funktion av geometri och ström. b) Moment T som funktion av geometri och flödestätheten B i luftgapen. Lösning: ger att T fld = N2 i 2 µ 0 (r 1 +0.5g)h, Ni = B 2g 4g µ 0 T fld = B2 g(r 1 +0.5g)h µ 0 29/48
Multiexciterade magnetiska system 30/48
Muliexciterat elektromekaniskt system Nu flera elektriska anslutning. Magnetisk energi, komplementenergi, krafter, moment kan härledas analogt med fallet för enkelexciterade system. Energidifferentialen är: dw fld (λ 1,λ 2,θ) = i 1 dλ 1 +i 2 dλ 2 T fld dθ Komplementenergi definieras av: W fld (i 1,i 2,θ) = λ 1 i 1 +λ 2 i 2 W fld vilket leder till att komplementenergidifferentialen är dw fld (i 1,i 2,θ) = λ 1 di 1 +λ 2 di 2 +T fld dθ Jag väljer här att härleda ett uttryck för komplementenergin och 31/48
Muliexciterat elektromekaniskt system - moment, komplementenergi dw fld (i 1,i 2,θ) = λ 1 di 1 +λ 2 di 2 +T fld dθ Vi ser att momentet kan skrivas: T fld = W fld (i 1,i 2,θ) θ i1,i 2 Återstår att teckna komplementenergin W fld. Välj att integrationsväg så att θ : 0 θ 0 först. Då blir komplementenergin: i 0 W fld (i0 1,i2,θ 0 0 2 i 0 ) = λ 2 (0,i 2,θ 0 1 )di 2 + λ 1 (i 1,i2,θ 0 0 )di 1 0 0 32/48
Muliexciterat elektromekaniskt linjärt system Linjärt gäller λ 1 = L 11 i 1 +L 12 i 2 λ 2 = L 12 i 1 +L 22 i 2 Sätt in i formeln för komplementenergin W fld (i 1,i 2,θ) = = i2 0 i2 0 λ 2 (0,i 2,θ)di 2 + i1 0 λ 1 (i 1,i 2,θ)di 1 = i1 L 22 (θ)i 2 di 2 + L 11 i 1 +L 12 i 2 di 1 = 0 = i2 2 2 L 22 + i2 1 2 L 11 +i 1 i 2 L 12 Sätt in i formeln för moment T fld (i 1,i 2,θ) = W fld θ = i2 2 i1,i 2 2 dl 22 dθ + i2 1 dl 11 2 dθ +i dl 12 1i 2 dθ 33/48
Muliexciterat elektromekaniskt system - exempel Givet: L 11 = (3+cos2θ) 10 3 H L 12 = 0.3cosθ H L 22 = 30+10cos2θ H i 1 = 0.8 A i 2 = 0.01 A Sökt: Momentet T fld (θ). Lösning: dl 11 dl 22 T fld (θ) = i2 1 2 dθ + i2 2 2 dθ +i dl 12 1i 2 dθ = = 1.64 10 3 sin2θ 2.4 10 3 sinθ 34/48
Muliexciterat elektromekaniskt system - exempel Moment som verkar för att likrikta magnetfälten (mutual interaction) eller maximera ömseinduktansen. Samma frekvens som den mekaniska frekvensen. Stabilt jämviktsläge då fälten är likriktade, dvs θ = 0. Instabilt jämviktsläge då fälten är motriktade, dvs θ = ±π. Maximalt moment då fälten ortogonala, dvs θ = ±π/2. 35/48
Muliexciterat elektromekaniskt system - reluktansmoment Reluktansmoment Verkar för att maximera självinduktanserna. (minimera reluktansen) Dubbla mekaniska frekvensen. Stabilt jämviktsläge vid reluktansminimum, dvs θ = 0, ±π. Instabilt jämviktsläge vid reluktansmaximum, dvs θ = ±π/2. Maximalt moment då reluktansändringen är störst/radian θ = π/4+nπ/2. 36/48
Muliexciterat elektromekaniskt system - totala momentet Totala momentet: Stabilt jämviktsläge i θ = 0,±π. Notera att reluktansmomentet dominerar nära θ = ±π vilket gör stabiliserar jämviktspunkten trots nästan motriktade fält. Vid dominansskiftet mellan reluktansmomentet och momentet som genereras av icke-parallella fält finns en instabil jämviktspunkt. 37/48
Kraft och moment i permanentmagnetiserade system 38/48
Magnetisk krets med permanentmagnet Tidigare har vi studerat kretsar med mjuka magnetiska material, här kommer vi studera kretsar med permanentmagneter. Formlerna för energi/komplementenergi gäller inte i detta fall ty det finns magnetisk energi i kretsen när i = 0 och det är storleken på den som vi ska härleda. En generell ansats och en för linjära magnetiska material. I båda fallen ska vi återanvända till tidigare resultat genom att introducera en fiktiv lindning. 39/48
Beräkning av den magnetiska komplementenergin Sedan tidigare vet vi att dw fld = λ f di f +f fld dx Låt I f0 vara den ström som krävs för att den totala mmk ska bli 0. Då gäller W fld (I f0,x) = 0 Antag att vi vill vet komplementenergin i (i f = 0,x) så ges den av W fld (0,x) = 0 λ f (i f,x)di f 40/48
Linjär permanentmagnet modellerad som mmf + reluktans F e +H m d = 0 F e +Hd +(Ni) equiv = 0 (Ni) equiv = H m d Hd (1) B m = µ R (H m +H c) B = µ R H B = B m H = H m +H c Sätt in i (1) så fås (Ni) equiv = H cd. 41/48
Magnetisk krets med permanentmagnet - exempel (a) magnetisk krets (b) ekvivalent krets Givet: N 1 = 1500, W = 4 cm, W 1 = 4.5 cm, D = 3.5 cm, d = 8 mm, g 0 = 1 mm, µ R = 1.06µ 0, H c = 940 ka/m. Sökt: a) Kraften då i 1 = 0 A och x = 3 mm. b) Strömmen i 1 för att släcka ut magnetflödet. 42/48
Magnetisk krets med permanentmagnet - exempel Lösning: Nu kan vi använda de vanliga formlerna för linjära system för att bestämma kraften. Eftersom i 1 = 0 så gäller f fld = W fld x där W fld = 1 iequiv 2 Li2 equiv Induktansen kan bestämmas enligt vilket ger W fld = 1 2 L = N2 R tot (Ni) 2 equiv f fld = 1 (Ni) 2 equiv dr tot R tot 2 R 2 tot dx 43/48
Magnetisk krets med permanentmagnet - exempel där f fld = 1 2 (Ni) equiv = H cd (Ni) 2 equiv R 2 tot dr tot dx R tot = R x +R g0 +R m R x = x µ 0 W 1 D R g0 = g 0 µ 0 WD Numeriskt blir kraften f fld = 703N R m = d µ R WD 44/48
Magnetisk krets med permanentmagnet - exempel (a) magnetisk krets (b) ekvivalent krets Givet: N 1 = 1500 d = 8 mm, H c = 940 ka/m. Sökt: b) Strömmen i 1 för att släcka ut magnetflödet. Lösning: i 1 = (Ni) equiv N 1 = H cd N 1 = 5.01 A 45/48
Sammanfattning 46/48
Modell av ett elektromekaniskt system Förluster kan nu läggas till externt och differentialekvation härledas för det totala systemet. 47/48
Att ta med sig från föreläsningen Grundprinciper för elektromekanisk omvandling mellan ström och spänning till kraft och sträcka. Bygger på separering av en ideal förlustfri omvandling plus externa element som modellerar förluster. Beräkning av kraft/moment: 1. Teckna differentialen av energin/komplementenergin. 2. Identifiera kraft/moment-samband som en partialderivata. 3. Beräkna energi/komplementenergin genom integrering av differentialen. 4. Beräkna kraft/momentet mha energi/komplementenergin. Samma tillvägagångssätt för enkel/multipel-exciterade system samt system med permanentmagneter. 48/48