Intitutionen för tillämpa mekanik, halmer teknika högkola öningar ENAMEN I ÅFASESÄRA F MA 081 19 AUGUSI 015 i och plat: 8.30 1.30 i M huet. ärare beöker alen ca 9.30 amt 11.30 jälpmeel: 1. ärobok i hållfathetlära: an unh, Grunläggane hållfathetlära, Stockholm, 000.. anbok och formelamling i hållfathetlära, K, eller utrag ur enna; vi Int. for tillämpa mekanik utarbeta formelamling. 3. Publicerae matematika, fyika och teknika formelamlingar. Metagna böcker får innehålla normala marginalanteckningar, men inga löningar till problemuppgifter. öa anteckningar i övrigt är inte tillåtna. Vi tvekamma fall: kontakta krivningvakten innan hjälpmelet använ. 4. ypgokän miniräknare. ärare: Peter Möller, tel (77) 1505 öningar: Anlå vi ingången till intitutionen lokaler, plan 3 i norra trapphuet, Nya M huet, 0/8. Se även kurhemian. Poängbeömning: Varje uppgift kan ge maximalt 5 poäng. Maxpoäng på tentan är 5. Betyggräner: 10 14p ger betyg 3; 15 19p ger betyg 4; för betyg 5 kräv mint 0p. Ytterligare 1 poäng ge för varje korrekt löt inlämninguppgift uner kuren gång (lp 4 015) ock kräv ovillkorligen mint 7 poäng på tentamen. För att få poäng på en uppgift ka löningförlaget vara läligt och upptälla ekvationer/amban motivera (et ka vara möjligt att följa tankegången). Använ entyiga beteckningar och rita tyliga figurer. Kontrollera imenioner och (är å är möjligt) rimligheten i varen. Reultatlita: Grankning: Anlå 4/8 015 på amma tälle om löningarna. Reultaten än till betygexpeitionen enat 4/9. iag 1/9 1 00 13 00 amt torag 3/9 1 00 13 00 på int. (plan 3 i norra trapphuet, nya M huet). Uppgifterna är inte ornae i vårighetgra 1 015 08 19/PWM
1. f( x) 0 x En axel av ett lineärt elatikt material me kjuvmoul G, är fixera i ina båa änar. Axeln läng är och en belata av ett förelat vrimoment 0 f x f( x), är f är en given kon- 0 tant (moment/läng). Betäm törta vriningvinkeln om axeln har ett maivt cirkulärt tvärnitt me iameter. (5p). Spänningarna i en punkt i en elatik kropp har betämt till σ x σ y τ xy 46 MPa, τ xz τ yz 3 MPa, amt σ z 0 MPa. a: Beräkna äkerheten mot platicering enligt von Mie hypote, om materialet träckgrän vi enaxlig ragning är σ 60 MPa (1p) b: Betäm pänningarna på ytan (genom punkten) me normalvektorn n 1 1 0 (1p) c: Vilken är en törta kjuvpänning om uppträer (på något plan) i punkten? (3p) 3. En lineärt elatik balk me läng och kontant böjtyv- q Q Q het belata me en jämnt förela lat q ( Q är S x kraftreultanten och minutecknet betyer att kraften är 0 rikta neåt). ögra änen av balken är telt infät, mean en väntra ian är elatikt infät me tyvheten S ; v infätningmomentet vi vänter äne är proportionellt mot balken rotation vi x 0, är proportionalitetkontanten är S. Betäm nittmomentet M( x) och tvärkraften ( x) i balken för fallet å S -----. (5p) 015 08 19/PWM
4. Balken i föregåene uppgift har ett U tvärnitt me höjen, breen och gotjocklek t. åt 50, t ----- och 10 z y t betrakta tvärnittet om tunnväggigt ( t «). a: I ett vit tvärnitt läng balken har nittmomentet beräk- 19Q nat till M ----. Betäm törta rag ( σ > 0 och tryckpänning ( σ < 0 ) i nittet. Uttryck 300 varen i Q och. (3p) b: I ett annat nitt läng balken, har kjuvpänningen i e vertikal elarna av tvärnittet beräknat till τ( z) 9Q. ur tor är tvärkraften i etta tvärnitt? (Biraget från en 0 4 ( 9 16z ) horiontella elen (me bre ) kan förumma). (p) 5. P En ram betår av en vertikal el AB och en horiontell el B; båa elarna har amma län och B, böjtyvhet. Vi A är ramen fat inpän och vi belata en av en kraft ar vekninglinje bilar vinkeln mot horiontalplanet. itta e vink-, lar om gör förkjutningen av är parallell me kraften verkninglinje. Enat böjeformationer A behöver beakta.(5p) ϕ f( x) öning 1: Me kontant vrityvhet GK få vriningvinkeln om löningen till (For- GK f melamling i ). är har vi 0 x π 4 f( x) och tvärnittfaktorn K -- (Formelamling i 6), å 3 16f efter integrationer få 0 x 3 ϕ( x) A + Bx --. Ranvillkoren och ger repektive 0 3πG 4 ϕ( 0) 0 ϕ( ) 0 A 0 16f 16f, å 0 B ----. Vi har å att för, å 3πG 4 ϕ( x) ---- x 3πG 4 -- x -- 3 ϕ x 1 0 -- 3 ϕ max ϕ 3 3f 0 9 3πG 4 x x 3 015 08 19/PWM
öning a: Effektivpänningen enligt von Mie kan beräkna irekt me e givna pänningarna (Formelamling i 14 eller unh ekv 1 4): σ e 19,8 MPa. Säkerheten mot platicering blir å σ -----,0 σ e öning b: Bila pänningtenorn enligt unh ekv 9 6: S 46 46 3 46 46 3 3 3 0 MPa. Spänningvektorn på ytan me normalen n 1 1 0 ( ) är å Sn 0 0 0 (unh ekv 9 8). Efterom pänningvektorn är en noll vektor, är båe normal och kjuvpänning på ytan noll: (unh ekv 9 9,31). öning c: Den törta kjuvpänningen få om halva killnaen mellan törta och minta huvupänningen (unh ekv 1 1). uvupänningarna få om egenvärena till pänningtenorn: et( S σi) 0 ger ( σ) ( σ 7σ 3888) 0. Vi finner σ 0 och σ 36 36 108 MPa 108 ( 36) ( ± + 3888) MPa och får τ 36 MPa max ---- MPa 7 MPa σ τ 0 öning 3: Vi beräknar här nittmomentet genom M( x) (unh ekv 7 65), är w är bal- ken tranveralförkjutning; ean få tvärkraften om ( x) x M (unh ekv 7 3). ranveralförkjutningen få genom att löa elatika linjen ekvation; me kontant böjtyvhet har vi här (Formelamling i 3) 4 x 4 Q. Integrera 4 ggr: 3 3 A Qx Ax B Qx w Ax + --- -- + Bx + Qx3 --- w 6 Ax 3 -- 6 Bx + -- + x + D --- Qx4 4 Ranvillkoren: Momentjämvikt vi ett nitt M A + M( 0) 0, är infätningmomentet är x 0 ger att M( 0) w'' ( 0) w' ( 0) M A Sw' ( 0) M A w w S ----- och nittmomentet är M( 0) x 0 x 0 x 0. Detta ger o ranvillkoret x w x 0 x 1 w -- 0. Övriga ranvillkor är geometrika; vi har trivialt w( 0) 0, w( ) 0, amt 0. x 0 4 015 08 19/PWM
Vi finner nu integrationkontatern A Q B 5 Q ---- 60 Q - D 0 60 Qx och får å momentet M( x) --- Ax B Q - 30 x 60 -- 4 x -- + 1 amt tvärkraften M Q --- 5 5 x -- öning 4a: Av ett böjane moment kring y axeln få normalpänningen σ Mz I y (unh ekv 7 6). För att beräkna z y areatröghetmomentet kring y axeln ( I y ) och hitta max/min z tp η för z koorinaten, måte vi fört hitta yt tyngpunkten läge i z le. Statika momentet kring en axel η läng tvärnittet unerkant är S η Az zp t ---, är är tvärnittytan; man finner. + t 0 A 4t z zp --- 4 Areatröghetmomentet få nu me Steiner at (unh ekv 7 4): t 3 I y -- t z, är e två förta termerna är biraget från en horion- 1 tp t3 + + -- + t --- z 1 tp 5 3 t tella elen; om tunnväggighet beakta kan förta termen förumma och man får I y -----. 1 4 19Q 19Q Efterom M ---- < 0 få tört ragpänning för z : 300 min σ max,rag σ ---- 4 300 4 ---- 4 4 Stört tryck få i ovankant: σ max,tryck σ 3 4 57 Q - 4 19Q --- öning 4b: Kraften F i en av e vertikala elarna, få om kraftreultanten av kjuvpänningen i elen: F 3 4 9Qt τtz. värkraften är alltå 0 4 ( 9 16z 9Q ) z --- 00 3 9 16 z -----z 3 3 4 3Q 3 4 10 4 3 4 4 F 3Q 5 öning 5: Komponentuppela kraften i en vertikal och horiontell el: Pin amt P h Pco. Vi beräknar förkjutningarna och p h i e två P h kraftkomponenterna repektive riktningar och beräknar vinkeln tan ----. p h å att ph 5 015 08 19/PWM
Vi använer här atigliano at för att beräkna förkjutningkomponenterna vi : W Pv amt p h W Ph, (unh ekv 15 96) är en elatika energin me hänyn taget till enbart böjning är W M -- (unh ekv 15 44); (integrationen gör över hela bärverket). Vi öker nu et böjane momentet M i ramelarna. Snitta på ett avtån x från. Momentjämvikt ger att M( x) x och vi har ockå att x amt 0. P h N M P h Snitta på ett avtån y neanför B. Vi får här att M( y) P h y, x 0 å och y. P h Vi får nu W M M 1 -- Pv ----- ----- P Pv v x + ( P h y) y 0 0 0 y N B M P h 1 ----- 4 3 P h 3 P 3 --- ----- --- ( 8in 3co) 3 6 M och p h ----- P3 --- ( co 3 in). Ph 6 Vi får å ekvationen för e ökta vinklarna: ---- p h 8in 3co. Detta förenkla enkelt till ----- tan co 3in inco + ( in) ( co) 0. Övergång till ubbla vinkeln ger in co 0 eller tan 1, π om har löningen -- + nπ, n 0, 1,,, v -- + n π. Me få löningarna 4 8 -- n 0, 1, och 3,5, 11,5, 05,5 amt 9,5 6 015 08 19/PWM