Anlys 360 En webbserd nlyskurs Grundbok Integrlklkyl Anders Källén MtemtikCentrum LTH nderskllen@gmil.com
Integrlklkyl (3) Introduktion Vi sk här introducer den bestämd integrlen f(x) dx. Den hr nästn smm symbol som den primitiv funktionen f(x) dx, men mn måste nog håll isär dem. I den endimensionell nlysen gäller den s.k. insättningsformeln F (x) = f(x) dx f(x) dx = F (b) F (), så släktskpet är uppenbrt. Men den bestämd integrlen definiers egentligen på ett helt nnt sätt: mn kn se den som ren under grfen till f, om vi räknr ren med tecken så tt den är negtiv då ren ligger under x-xeln. På ett motsvrnde sätt definiers integrlen v funktioner v två vribler som en volym med tecken, o.s.v. Vi sk här introducer den bestämd integrlen genom insättningsformeln, eftersom det är så vi rbetr med den när vi sk bestämm den. Därefter sk vi se hur den så definierde bestämd integrlen kn tolks som en re med tecken. På vägen ser vi då tt vi till en godtycklig kontinuerlig funktion kn konstruer en primitiv funktion genom tt mät just ren under grfen och får därför tt ll kontinuerlig funktioner hr en primitiv funktion. Slutligen sk vi se lite på hur vi numeriskt kn bestämm en bestämd integrl när vi inte kn bestämm en formel för den primitiv funktionen. En ordentlig genomgång v den bestämd integrlen kräver egentligen tt mn börjr i ndr änden och definierr den som en re eller volym. Dett görs i integrtionsteorin, men det lämnr vi till en egen kurs. Efter tt vi på dett sätt hr bestämt vd en bestämd integrl är, tittr vi närmre på dess tolkning i form v ett gränsvärde v summor, s.k. Riemnnsummor. När vi gör det tittr vi också närmre på vd integrnden egentligen är för typ v objekt och vi ntyder hur tolkningen vi Riemnnsummor hjälper oss tt förstå de prktisk tillämpningrn v integrler. Slutligen generliserr vi den bestämd integrlen lite. Vi kn se den bestämd integrlen som tt vi integrerr en funktion längs ett intervll med vseende på x. Betydelsen v x är tt den mäter båglängd på dett kurvstycke. Mer precist, dx är längden v ett (infinitesimlt) liten bit v intervllet. Dett kn generlisers till tt vi integrerr funktioner (v två vribler) längs pln kurvor med vseende på båglängden, lltså längden v kurvn. Krvet är br tt kurvn är en styckvis C -kurv, så tt vi kn definier båglängden på den. Vi sk se hur dett definiers och tt den prktisk beräkningen v en sådn integrl innebär tt vi beräknr en vnlig bestämd integrl. Den bestämd integrlen Låt f vr en funktion som är kontinuerlig i en omgivning till intervllet [, b]. Om F är en primitiv funktion till f i denn omgivning, kllr vi skillnden F (b) F () för den bestämd integrlen v f över intervllet [, b]. Denn beror uppenbrligen inte på vilken primitiv funktion vi väljer, ty om G är en nnn primitiv funktion till f så vet vi tt G(x) = F (x) + C för någon konstnt C. Det följer tt G(b) G() = F (b) F (). Den bestämd integrlen beror därför endst v f och intervllet [, b] och vi inför därför
Integrlklkyl 2 (3) beteckningen f(x) dx för denn. En nnn beteckning som är oft nvänd är [F (x)] b. Vi hr därför tre olik beteckningr för smm sk: f(x) dx = [F (x)] b = F (b) F (). Av dess sk vi ge den först en lterntiv tolkning i näst vsnitt medn den mellerst är en bekväm kortform v den till höger, som är vår ursprunglig definition. Exempel Vi hr tt 6 3 [ x x 2 3 dx = 3 ] 6 3 = 63 3 33 3 = 63. När mn nvänder den först v beteckningr ovn kn det vr värt tt noter tt det inte spelr någon roll vd mn kllr integrtionsvribeln. Vi hr t.ex. f(x) dx = f(u) du = f(t) dt och så vidre, eftersom i ll fllen är det tlet F (b) F () som sk beräkns. Vi tillåter fllen = och b = under förutsättning tt integrlen får mening som ett gränsvärde. T.ex. sk tolks som f(x) dx X lim f(x) dx = lim (F (X) F ()). X X Exempel 2 Vi hr tt dx x 2 = [ x ] = lim X ( X + ) = 0 + =. På smm sätt tillåter vi tt funktionen f endst är definierd och kontinuerlig på det öppn intervllet ], b[ om vi kn beräkn integrlen över ll intervll [α, β], där < α < β < b, och får ett gränsvärde när α och β b. Nturligtvis behöver vi inte gör gränsövergång i en ände där integrnden f är kontinuerlig.
Integrlklkyl 3 (3) Exempel 3 0 dx dx = lim = lim(2 2 α) = 2. x α 0 α x α 0 Vi sk nu ge ett ntl räkneregler för den bestämd integrlen, vilk ll är direkt konsekvenser v dess definition: ) f(x) dx = 0, b) c) d) e) f(x) dx = b cf(x) dx = c f(x) dx, f(x) dx, (f(x) + g(x))dx = f(x) dx = c f(x) dx + g(x) dx, f(x) dx + f(x) dx. c Den sist formeln är ekvivlent med tt F (b) F () = (F (c) F ()) + (F (b) F (c)). Noter tt det finns inget krv på tt c sk ligg melln och b. En nnn viktig observtion är tt om g(x) f(x) i [, b] så gäller tt g(x) dx f(x) dx. Bevis. Vi börjr med fllet tt g(x) = 0 överllt. Då är f(x) 0 och dess primitiv funktion är därför växnde i intervllet, vrför f(x) dx = F (b) F () 0. Ur dett följer sedn tt om f(x) g(x) 0 överllt, så är Dett är påståendet. f(x) dx g(x) dx = (f(x) g(x)) dx 0. En direkt konsekvens v dett är tt om m f(x) M för x b, så gäller tt m b f(x) dx M. Till dess räkneregler kommer sedn formeln för prtiell integrtion: f(x)g(x)dx = [F (x)g(x)] b F (x)g (x)dx, vilken följer direkt ur motsvrnde formel för primitiv funktioner, smt
Integrlklkyl 4 (3) Sts : Stsen om vribelsubstitution Om f är en kontinuerlig funktion och g en deriverbr och strängt monoton funktion sådn tt g(α) = och g(β) = b, så gäller tt f(t) dt = β α f(g(x))g (x)dt. Denn sts följer nturligtvis direkt ur kedjeregeln som tidigre. Hur mn prktiskt kn skriv ut räkningrn frmgår v näst exempel. Exempel 4 0 xdx + x 2 = t = + x 2 dt = 2xdx t(0) =, t() = 2 2 dt [ ] 2 2 t = t = 2. Funktionern g(x) ges lltså här v g(x) = + x 2 men nvänds som en ny vribel t. Integrlen mäter en re Vi sk nu gör en geometrisk tolkning v uttrycket f(x) dx, som i sin tur sk gör det möjligt för oss tt konstruer en primitiv funktion till en godtycklig kontinuerlig funktion. Vi börjr med tt gör en indelning = x 0 < x <... < x n = b v intervllet [, b] i delintervll. Vi hr då tt n F (b) F () = (F (x k ) F (x k )). k= Ur medelvärdesstsen [] och eftersom F = f, följer tt det i vrje intervll [x k, x k ] finns (minst) ett ξ k sådnt tt F (x k ) F (x k ) = f(ξ k )(x k x k ). Högerledet kn tolks som ren v en rektngel med bs v bredd k x = x k x k och höjd f(ξ k ). Noter tt ren här räkns med tecken: om f(ξ k ) < 0 blir ren negtiv. Om vi summerr ll bidrgen får vi tt n f(x) dx = F (b) F () = f(ξ k ) k x. Högerledet åskådliggörs i figuren nedn. k=
Integrlklkyl 5 (3) y x x 2... x k ξ k x k+... b x Av figuren verkr det som tt summn v rektngelreorn är lik stor som ren under kurvn. [2] Vi vill därför tolk f(x)dx = Aren under grfen y = f(x) över [, b]. Vi nvänder här uttrycket ren under grfen till tt men ren melln grfen och x- xeln, räknd positiv om grfen ligger ovnför x-xeln och negtiv om grfen ligger under x-xeln. Även om vi nu gjort dett troligt, så hr vi inte vist det strängt. För det måste vi nämligen först definier vd vi menr med ren under grfen och sedn dr slutstsen tt resonemnget ovn ger resulttet. Denn diskussion lämns till en diskussion om den s.k. Riemnn-integrlen, vilket är det begrepp som fyller igen hålen i resonemngen ovn. Det vi åstdkommit är tt vi fått en definition v f(x) dx även om vi inte hr en primitiv funktion till f, under förutsättning tt ren under grfen är väldefinierd. Men nu visr det sig tt vi kn nvänd denn definition till tt konstruer en primitiv funktion till en godtycklig kontinuerlig funktion. För tt gör dett låter vi f vr en kontinuerlig funktion på [, b] och vi definierr S(x) = x f(t) dt, x b. Här beräkns högerledet lltså som ren under grfen till f. Vi sk då vis tt S är en primitiv funktion till f.
Integrlklkyl 6 (3) För tt vis tt S är deriverbr i punkten c skriver vi S(x) S(c) = x c f(t) dt = H(x)(x c), där höjden H(x) är npssd så tt rektngeln som hr som bs det intervll som hr ändpunkter c och x och höjd H(x), hr smm re (räknd med tecken) som området (grått i figuren) under grfen över intervllet [c, x]. Men vi ser då tt H är en kontinuerlig funktion i x = c; dess värde i x = c är helt enkelt H(c) = f(c). Dett därför tt min [c,x] f(x) H(x) mx f(x) [c,x] H(x) c x och om f är kontinuerlig i c gäller tt mx [c,x] f(x) min [c,x] f(x) 0 då x c. Men dett visr både tt S är deriverbr och tt S är en primitiv funktion till f. Dett resultt klls Anlysens huvudsts och säger lltså tt vrje kontinuerlig funktion hr en primitiv funktion som definiers v tt vi beräknr ren under dess grf från en strtpunkt. Om vi byter strtpunkt ändrr vi endst ren med en konstnt. Exempel 5 Det går inte tt hitt en primitiv funktion till funktionen f(x) = e x2 som kn uttrycks i de elementär funktionern. Anlysens huvudsts säger emellertid tt det finns en primitiv funktion; en sådn kn definiers genom S(x) = x 0 e t2 dt och beräkns lltså genom tt vi beräknr ren melln grfen y = e x2 över intervllet [0, x]. och x-xeln Ett sätt tt definier den nturlig logritmen Det som krkteriserr den nturlig logritmen ln x är tt den är noll då x = och tt dess derivt är /x. Men det betyder tt vi hr tt ln x = x Vi kn fktiskt nvänd dett till tt definier den nturlig logritmen. Vi hr ju ovn sett tt högerledet definierr en deriverbr funktion vrs derivt är /x och funktionen är 0 då x = eftersom vi då integrerr endst över en punkt. Vi sk nu se vilk egenskper den funktion får som vi definierr på dett sätt (mer precist sk vi se tt vi ur denn definition kn härled logritmens ll egenskper). dt t.
Integrlklkyl 7 (3) Det först vi ser är tt ln x är positiv då x > och negtiv då x < och noll då x =. Vidre gäller tt xy dt x t = du u = ln x y vilket mn ser genom tt gör vribelbytet t = yu. Men då ser vi tt xy dt t = y dt t + xy y dt t = y dt t + Dett är inget nnt än den grundläggnde logritmlgen Vi kn vis den ndr logritmlgen på ett motsvrnde sätt: x y ln(xy) = ln x + ln y. ln x y = y ln x dt x t = yu y du x ydu = u y u där vi gjorde vribelbytet t = u y i integrlen. x = y ln x, Vi hr därmed härlett logritmens viktigste egenskper, de som gör den så nvändbr. När vi hr den nturlig inversen kn vi nturligtvis konstruer dess invers. Den så uppkomn funktionen blir exponentilfunktionen exp(x). Som invers till logritmen ser vi tt den får egenskpen tt exp = exp och tt exp(0) =. Vidre följer direkt ur logritmlgrn tt exp(x + y) = exp(x) exp(y) och (exp(x)) y = exp(yx). Ur dess ser vi sedn tt exp(x) = e x där e = exp(). Därmed hr vi fyllt igen ett hål i kpitlet Om exponentilfunktioner och logritmer, genom tt vi hr vist tt det verkligen finns en funktion som löser problemet y (x) = y(x), y(0) =. dt t. Anmärkning Det kn vr intressnt tt noter tt x t α dt = xα α = eα ln x α ln x då α 0. Om numerisk beräkning v integrler Om vi inte kn beräkn en integrl f(x) dx
Integrlklkyl 8 (3) genom tt finn en primitiv funktion, hur gör mn då för tt beräkn den? Det finns ett flertl numerisk metoder för dett ändmål. En enkel sådn klls trpetsmetoden och tillgår på följnde sätt. Först delr vi in intervllet i n delr: = x 0 < x <... x n = b och inför beteckningen y k = f(x k ) för funktionsvärdet i indelningspunktern. Oft väljer mn indelningspunktern så tt vrje delintervll [x k, x k ] hr smm längd, men det är inte nödvändigt och iblnd inte ens önskvärt. Trpetsmetoden innebär nu tt mn i intervllet [x k, x k ] ersätter funktionskurvn med den rät linje som förbinder ändpunktern (x k, y k ) och (x k, y k ) (se figuren nedn). Aren v det så uppkomn prllelltrpetset är då y k + y k (x k x k ). 2 y x x 2 x 3 x 4 b x Summerr vi ll dess trpetsreor får vi tt ren under polygonkurvn blir n y k + y k (x k x k ). 2 k= Dett ger en pproximtion v integrlen, dvs n y k + y k f(x)dx (x k x k ). 2 k= Hur br denn pproximtion är, är en nnn fråg som vi inte bryr oss om här. Om delintervllen [x k, x k ] ll är lik, med intervllängd x = x k x k, blir denn formel gnsk enkel. Utom i ändpunktern förekommer y k två gånger i summn, vilket betyder tt det då gäller tt f(x)dx ( y 0 + y n 2 n + y k ) x. k=
Integrlklkyl 9 (3) Exempel 6 Låt oss pproximtivt beräkn d (lltså ln 2) genom tt del in intervllet [, 2] i 5 lik stor delintervll och nvänd trpetsformeln på dett. Vi får då följnde värdetbell Trpetsformeln blir i dett fll dx x x k :.0.2.4.6.8 2.0 y k :.000 0.833 0.74 0.625 0.556 0.500.00 + 0.500 0.2 ( + 0.833 + 0.74 + 0.625 + 0.556) = 0.695 2 vilket därför blir ett närmevärde på integrlen. Det exkt värdet, till tre decimler, är 0.693. Integrlen är en oändlig summ Vi hr sett tt integrlen f(x)dx nturligt tolks som en re. Det är emellertid för mång tillämpningr inte det sätt mn sk tolk integrlen på. I vår diskussion såg vi tt vi också hde tt n f(x)dx = f(ξ i ) i x, i x = x i x i i= för någr tl ξ i [x i, x i ]. Vi kn därför tolk integrltecknet som en uppmning tt summer uttryck på formen f(x)dx; fktum är tt integrltecknet är just ett svängt S för summ. För tt gör dett lite mer konkret sk vi försök tolk uttrycket f(x)dx. Vi vet tt tngenten till grfen y = f(x) i punkten x = ges v ekvtionen y f() = f ()(x ). Skriv dy = y f() och dx = x, så tt dett blir dy = f ()dx. Det innebär tt om vi går dx steg från i x-led och följer tngenten, så kommer vi tt förflytts dy steg i höjdled. Vi inför därför begreppet differentil, definierd v df() = f ()dx. (, f()) f() Tolkningen v differentilen är tt df() tlr om hur mycket vi ändrr y-värdet längs tngenten när vi går från till + dx i x-led. Vi ser tt dett utgör en pproximtion v hur mycket vi ändrr f då vi ändrr x med storleken dx, förutstt tt dx är liten, lltså v f() = f( + dx) f(). dx df()
Integrlklkyl 0 (3) Exempel 7 Vi hr tt cos (x) = sin x, vilket betyder tt d(cos x) = sin x dx. Låt nu F vr en primitiv funktion till f, så tt df (x) = f(x)dx, Vi kn då skriv f(x)dx = df (x) = F (b) F (). Dett är behändigt tt nvänd t.ex. när mn prtilintegrerr. Vi hr tidigre skrivit formeln för prtilintegrtion som f (x)g(x)dx = f(x)g(x) f(x)g (x)dx, men med hjälp v differentilen kn vi skriv den som g(x)df(x) = f(x)g(x) f(x)dg(x). Exempel 8 Vi hr tt x 2 sin x dx = x 2 d( cos x) = x 2 ( cos x) ( cos x)d(x 2 ) = 2 x cos x dx x 2 cos x = 2 x d(sin x) x 2 cos x = 2(x sin x sin x dx) x 2 cos x = cos x + 2x sin x x 2 cos x + C. Men den stor poängen med denn diskussion är tt den hjälper oss tt se när och hur integrler dyker upp i tillämpningr. Det hndlr då om tt bygg storheter genom tt lägg ihop delr som vi kn beräkn. Ett enkelt exempel är volymen v rottionskroppr. Exempel 9 Om vi roterr grfen y = f(x), x b runt x-xeln uppstår en kropp. Dess volym kn beräkns med hjälp v en integrl på följnde sätt. Argumentet beskrivs i text nedn, och finns grfiskt illustrert i en figur efter texten. Vi tänker oss tt vi snittr kroppen med pln som går vinkelrät mot rottionsxeln (lltså x-xeln). Snittet som ligger på vståndet x från origo består v en cirkeskiv med rdien f(x) och centrum på rottionsxeln, så dess re är därför lik med A(x) = πf(x) 2. Vrje snitt tänker vi oss hr en tjocklek dx, vilken vi tr som väldigt
Integrlklkyl (3) liten. Då får snittet en volym, som beräkns genom dv (x) = A(x)dx = πf(x) 2 dx. Den totl volymen v kroppen får vi genom tt summer dess skivor, vilket enligt resonemnget ovn innebär tt vi sk beräkn integrlen V = dv (x) = πf(x) 2 dx. Anmärkning Resonemnget är lite suspekt, eftersom vi i prktiken låter tjockleken vr noll. Men om vi tänker på det som tt vi hr tunn skivor vrs volym vi pproximerr med A(x)dx, så får vi en pproximtion v integrlen i form v en Riemnnsumm. En pproximtion som br bli bättre om vi gör ännu tunnre skivor. Dett resonemng görs solitt i kpitlet om Riemnnintegrlen. y dx y = f(x) f(x) x x Snittets dimensioner: Are: πr 2 = π[f(x)] 2 Tjocklek: dx Volym: dv = Are tjocklek = π[f(x)] 2 dx Integrtion längs en kurv För tt vidre illustrer integrlen som en summ sk vi utvidg den till tt definier och beräkn integrtion längs en kurv i plnet. Dett kommer tt vr en generlisering
Integrlklkyl 2 (3) v integrlen f(x) dx, men när mn de fcto sk beräkn en sådn integrl återförs problemet på tt bestämm en sådn integrl. Vi sk börj med tt definier båglängden v ett kurvstycke γ = {c(t) = (x(t), y(t)), t [, b]}. Dett är en funktion s(x, y) som mäter hur långt det är längs kurvn från en ändpunkten, säg c(), till punkten (x, y) på kurvn. Om vi tolkr t som en tid, så ges frten vid tiden t v uttrycket c (t). Frten gånger tiden är sträckn, så i ett litet tidsintervll [t, t + dt] bör vi hinn sträckn ds = c (t) dt. Summerr vi ll sådn små delsträckor får vi den totl båglängden som L = c (t) dt. Anmärkning Det finns ett ekvivlent sätt tt definier båglängden som är intressnt i sig själv. Vi börjr då med tt definier ett polygon som en kurv som består v rät delstycken. Längden v en sådn beräkns enkelt: om hörnpunktern är (x i, y i ) så ges vståndet melln (x i, y i ) och (x i, y i ) enligt Pytgors sts v L i = (x i x i ) 2 + (y i y i ) 2 och den totl längden v polygonet blir då L P = n i= L i. Om vi nu väljer dess punkter på vårt kurvstycke så tt (x i, y i ) = c(t i ), så kn vi skriv dett som L P = n (x(ti ) x(t i )) 2 + (y(t i ) y(t i )) 2. i= Men nu ger medelvärdesstsen tt x(t i ) x(t i ) = x (ξ i )(t i t i ) med t i ξ i t i, och likdnt för y. Vi ser därför tt om vi gör indelningen finre och finre så får vi tt L P x (t) 2 + y (t) 2 dt = L. Vi ser tt vi får smm integrl tt beräkn med denn härledning. Exempel 0 Vi sk räkn ut längden v kurvn γ = {(3t 2, 3t t 3 ); t 2}. Deriverr vi prmetriseringen får vi tt c (t) = (6t) 2 + (3 3t 2 ) 2 = 3 + 3t 2, så längden ges v c (t) dt = 2 γ (3 + 3t 2 )dt = 0.
Integrlklkyl 3 (3) Följnde exempel visr nu vrför det kn finns nledning tt integrer en funktion m..p. båglängden. Exempel Vi tänker oss tt kurvstycket γ i en krt beskriver en väg i ett bergigt lndskp. Om vi vill kör en bil längs den vägen så tt vi håller frten konstnt hel tiden, kommer bensinförbrukningen (L/mil) tt vrier i olik punkter på γ: i uppförsbckr går det åt mer bensin än i nedförsbckr, och hur mycket beror v hur brnt bcken är. Om vi fixerr vilken hstighet vi sk åk med, kn vi tänk oss tt det finns en funktion, definierd på vägen men ingen nnnstns, sådn tt f(x, y) ger bensinförbrukningen i punkten (x, y) på γ. Vi vill nu beräkn den totl bensinförbrukningen längs hel vägen. Om vi kör en miniml sträck ds från punkten (x, y), så kommer bensinförbrukningen på den lill delsträckn tt vr f(x, y)ds. Om vi summerr ll sådn bidrg får vi den totl bensinförbrukningen längs vägen. Genom tt generliser diskussionen i exemplet leds vi till tt för funktioner f som är kontinuerlig på ett kurvstycke γ definier en integrl, som vi betecknr f(x, y)ds. Om γ = {c(t), t b} kn vi beräkn denn integrl med hjälp v formeln Dett därför tt ds = c (t) dt. γ γ f(x, y)ds = f(c(t)) c (t) dt. Exempel 2 Låt oss integrer funktionen f(x, y) = x + y längs kurvstycket i föregående exempel. Då gäller tt f(c(t)) = 3t 2 +3t t 3 och eftersom c (t) = 3+3t 2 får vi tt 2 f(x, y)ds = (3t + 3t 2 t 3 )(3 + 3t 2 )dt = 8.3. γ Noteringr. Se kpitlet Anlys v polynomfunktioner. 2. Vilket de också är, eftersom i vrje rektngel gäller tt den vit ren under kurvn är precis lik stor som den grå ren ovnför kurvn. Dett p.g.. vårt speciell vl v ξ k i intervllet [x k, x k+ ].