Elektromgnetismens grunder Strömmens riktning Mn definierr tt strömmen går från plus (+) till minus (-). För tt få till stånd en ström måste mn. Spänningskäll 2. Elektriskt lednde ledningr 3. Sluten krets Anlogi med sluten krets: vttenkrets Vätsk Pump Anteckningr uppdterde 8 jnuri 2009. Anteckningrn serr sig till stor del på Tommy Algrens nteckningr som finns tillgänglig på kursens emsid. Elektromgnetism, Ki Nordlund 2009 Elektromgnetism, Ki Nordlund 2009 3 XV. Elektrisk strömmr XV.. Eneten för elektrisk ström Vd är egentligen elektricitet? Melln två ledre finns en krft/längdenet:. El oc strömkällor, tterier Mgnet fält Värme df dl = k 2 r S-eneten för ström mpere A definiers som följnde: Den konstnt strömmen mpere är strömmen som producerr en krft 2 0 7 newton per meter melln två prllell oändligt lång ledre som är i vkuum oc vrs vstånd till vrndr är meter. Konstnten k ges v: 2 F l Vd änder kring en metlltråd som leder elektricitet?. Ledningen lir vrm 2. Det lir en krft melln ledningrn 3. Ett mgnetfält ilds runt ledningen Krft + - Btteri df dl = 2 2 0 7 r () r Elektromgnetism, Ki Nordlund 2009 2 Elektromgnetism, Ki Nordlund 2009 4
XV.2. Elektriskt motstånd XV.3. Elkretsr Elström leder till uppvärming enligt Hel vårt modern smälle grundr sig på elkretsr P = denergi dt = konstnt 2 (2) Denn konstnt r mn gett nmnet resistns : [] = W/A 2 = Ω (Om). Mteril för vilk ovnstående ekvtion gäller klls för omisk mteril. Metller är i llmänet omisk Metllers elektrisk motstånd eller resistns oeroende v strömmen: metll = (T ) cke omisk mterils motstånd eror dessutom v strömmen som går genom dess: = (, T ) esistnsen är i llmänet oeroende v mgnetfält: (M) = konstnt. Undntg: speciell GM-mteril ( gint mgnetoresistns ): årdskivors läsuvud, Noelpris 2007 Elektromgnetism, Ki Nordlund 2009 5 nte r mkroskopisk: också dtorcips är i grunden (extremt komplicerde) elkretsr Modern dtorcip: > 000000000 komponenter som exkt ll fungerr! Symoler för elektrisk komponenter + - Btteri eller spänningskäll Motstånd Kondenstor A Ampermätre Ström i en ledning orsks v en spänningsskillnd melln ledningens ändor [Wikipedi:ntegrted circuit] V Spänningsmätre Elektromgnetism, Ki Nordlund 2009 7 Tempertureroendet v resistns: Ju större spänningsskillnden melln en omisk ledres ändor är, desto större ström går genom ledren Dett klls Oms lg oc skrivs mtemtiskt: Metll Hlvledre Suprledre V = = P (3) T T 0 Tc Dett definierr lvledre oc suprledre! Hlvledres eroende tom. ännu strkre: exponentiellt Orsk i metller: smnd med tomvirtioner T V är spänningen över motståndet: [V] = ΩA = W/A = V (volt). Viktig formler mn får från ekv. (2) oc (3): Orsk i lvledre: lddningsärres ntl Suprledre: resistiviteten är exkt noll vid temperturer som är mindre än den kritisk temperturen T c. Lågtempertursuprledre: T c < 20K; ögtempertursuprledre: T c > 20K Orsk ytterst komplicerd, oc inte ens känd i ögtempertursuprledre! Elektromgnetism, Ki Nordlund 2009 6 P = 2 = V = V 2 (4) Att uppett något med jälp v resistns klls omisk uppettning. : vnlig kokpltt. Elektromgnetism, Ki Nordlund 2009 8
Grundläggnde ekvtioner om kretsrs eteende kn ärleds väsentligen utgående från energins evrelselg. Motstånd kopplde i serie Krets med tre motstånd kopplde i serie Effekten som förruks i dess motstånd då strömmen går genom kretsen: P totlt = 2 + 2 + 3 2 = ( + + 3 ) 2 2 3 Ekvivlent krets Denn krets kn nu ersätts med endst ett motstånd som ger smm motstånd som de tre tillsmmns P totlt = 2 Vi ser lltså tt motstånd kopplde i serie kn dders för tt ge det totl motståndet = + +... + N (5) Spänningskällor En idel spänningskäll r ingen resistns melln polern, men i verkligeten så finns det lltid en inre resistns som måste ekts. del upp en verklig käll så tt den r en idel spänningskäll oc en inre resistns i. Yttre motståndet kn också gör något nyttigt, ex. lmp, motor, dtor. På smm sätt som för spänningsfördelren, får vi E = ( + i ) = + i = V + i V = E i - + i Verksmm spänningen som källn ger, V, är mindre ju större strömmen är! Kortslutning för tt en spänningskäll skll funger r, måste strömmen i kretsen E/ i i Om minskr, ökr strömmen genom kretsen till ett mximivärde mx = E/ i. Dett klls för kortslutning: förstör tteriet oc kn t.om. orsk rnd. Säkringr V mx V Elektromgnetism, Ki Nordlund 2009 9 Elektromgnetism, Ki Nordlund 2009 Spänningsfördelre En spänningsfördelre: spänningskäll oc två motstånd Spänningen för spänningskälln eteckns är med E som r smm enet som spänning V, volt. Strömmen i kretsen får vi från: E = = ( + ) E = + Spänningsskillnden meln oc lir då - + V Spänningskällor i serie För fler spänningskällor kopplde i serie kn mn räkn iop den totl spänningen på liknnde sätt som för motstånd: E = E + E 2 + E 3 + = X j Också de intern resistnsern kn summers på liknnde sätt: = i, + i,2 + i,3 + = X j E j (6) j (7) V = = E + Noter lltså tt mn är uttryckligen mäter spänning: mätningen påverkr inte kretsens funktion lls Vi ser tt med en spänningsfördelre, kn vi få olik värden på spänningen V (0< V E), genom tt ändr på de två motståndrns värden. Dett kn nvänds i kretsr för tt sänk spänningen. Elektromgnetism, Ki Nordlund 2009 0 Elektromgnetism, Ki Nordlund 2009 2
XV.4. esistivitet Betrkt nu en omisk ledre som ett ojekt med ändlig storlek Dett möjliggör tt definier resistns per mterilmängd mterilkonstnt. figurens geometri är strömmen proportionell till re A oc inverst proportionellt till längd L: A/L. Dett ger från V = tt resistnsen L/A. Proportionlitetskonstnten klls för mterilets resistivitet: ρ [ρ] = Ωm. Dett är en konstnt för ett mteril då den efinner sig i smm tempertur oc fs. Den totl resistnsen ges v formeln: = ρ L A Oft nvänds också det invers värdet på resistiviteten, sos klls för konduktiviteten: L (8) modern dtorcips r ledrn dimensioner v storleksordningen 00 nm oc spänningr kring någr volt. Ant tt en delkomponent i en dtorcip är en rätlocksformd kopprledre med längden L = 000 nm oc redden oc öjden B = H = 50 nm. Om en konstnt spänning på 5 V sätts över ledningen, ur länge skulle det t tt den etts upp till kopprs smältpunkt om ingen värmeledning skulle ske till omgivningen? Lösning: Omisk uppettningseffekten är nu (från ekvtion 4 oc 8) Effekt är energi över tid, så: P = V 2 = V 2 ρ L A = V 2 BH ρl E t = P = V 2 BH E t = ρl V 2 = EρL BH V 2 BH ρl För tt eräkn ur länge det tr tt nå smältpunkten, kn vi nvänd den specifik värmekpciteten: (jfr. lärooken kpitel.4): (0) () σ = ρ (9) c = E M T = E ρ m Volym T = E ρ m LBH T (2) där vi etecknt densitet med ρ m för tt skilj från resistiviteten ρ. Elektromgnetism, Ki Nordlund 2009 3 Elektromgnetism, Ki Nordlund 2009 5 värden: Ämne esistivitet ρ (Ωm) Ledre Silver (Ag).5 0 8 (metller) Koppr (Ag).6 0 8 Järn (Fe) 8.9 0 8 Kolnnorör (C)* 0 6 Semimetll Vismut (Bi) 30 0 8 Hlvledre Kisel (Si) 30 Grfit (C) 6 0 5 soltor Gls 0-0 3 Dimnt (C) 0 8 Beror på typen v nnoröret, dett för metllisk Semimetll definiers elt enkelt som en metll med sämre ledningsförmåg än de vnlig. Härifrån kn vi lös ut E som funktion v c: oc sätt in dett i ekvtionen för tiden: E = cρ m LBH T (3) t = cρ mlbh T ρl V 2 BH = cρ ml 2 T ρ V 2 (4) För koppr är värmekpciteten c = 385 J/kgK (vi ntr nu tt den är oeroende v tempertur, vilket nog iofs. inte stämmer), densiteten ρ m = 8960 kg/m 3 oc smältpunkten 358 K så T = 358 300 = 058 K. nsättning v dess oc de övrig värden (L = 000 0 9 m, ρ =.6 0 8 Ωm oc V = 5 V) ger t =.460 0 4 s = 0.5ms (5) Alltså skulle kopprtråden rinn sönder s.g.s. omedelrt utn värmeledning! Uppettning är ett llvrligt prolem i modern dtorer! Noter tt uppettningstiden eror på L2 : desto mindre L, desto snre uppettning! Jfr. mkroskopisk tråd: L = 0.0 m t = 4600 s = 4 timmr! Elektromgnetism, Ki Nordlund 2009 4 Elektromgnetism, Ki Nordlund 2009 6
Strömdensitet Strömdensitet: ström dividert med den vinkelrät ren som strömmen går igenom J = Are för vilken gäller följnde; r(0) = konstnten P =, oc r() = + Q = Q =, vilket också är riktningskoefficienten (dr/dx) för linjen. Vi r då tt ekvtionen för ren som en funktion v positionen x är A(x) = πr(x) 2 = π + 2 ( ) x«(8) fll strömdensiteten inte är konstnt i en ledre, definiers den som J = lim A 0 A n där riktningen för strömdensiteten är vinkelrät mot reeneten A, där n är enetsvektorn för ytnormlen. Den totl strömmen som går genom en ledre fås genom tt integrer strömdensiteten över el tvärsnittsren Z = J da (6) Are J n Totl resistnsen för locket får vi genom integrtion = Z 0 d = ρ π Z 0 dx ( + Q x) 2 (9) där Q (= ) konstnten nvänds för tt gör formeln kortre. För tt integrer dett, nvänder vi liketen «d Q = (20) dx + Qx ( + Qx) 2 Vi skriver lltså integrlen i ekvivlent form = ρ Z Q dx (2) πq ( + Qx) 2 0 vilket ger = ρ πq 0 ( + Qx) = ρ» πq + Q (22) Elektromgnetism, Ki Nordlund 2009 7 Elektromgnetism, Ki Nordlund 2009 9 En kpd kon r öjden oc dess snittytor r rdiern oc, se ild. Mterilets resistivitet är ρ oc nt tt strömtäteten genom vrje tvärsnittsyt är oeroende v vståndet till symmetrixeln. Härled en formel för kroppens resistns melln snittytorn. = ρ π( ) = ρ π» = ρ + π( )» Är resulttet rätt? fll vi r en cylinder (kon med = ) får vi tt = ρ Are = ρ π (23) (24) 2 vilket är OK! Lösning Vi nvänder ekvtionen: d = ρ dx A för tt eräkn den totl resistnsen. För tt få ren som en funktion v positionen, eräknr vi först rdien för konen som en funktion v x, dien r är en linjär funktion v x Konens die x r(x) = P + Q x (7) Elektromgnetism, Ki Nordlund 2009 8 Elektromgnetism, Ki Nordlund 2009 20
esistnsens tempertureroende esistiviteten för en metll ökr vnligtvis när temperturen ökr. En linjär funktion kn eskriv dett r: ρ(t ) = ρ [ + α(t T )] (25) ρ är resistiviteten given vid temperturen T oc α är resistivitetskoefficienten värden: Mteril α [K ] Aluminium 0.0039 Grfit -0.0005 Koppr 0.0393 Konstntn 0.0000 Tolv likdn motstånd är kopplde i en ku till en krets som viss i figuren. Vd är resistnsen melln två örn som är digonlt motstående till vrndr, (melln punktern oc )? Lösning En ekvivlent krets är kretsen redvid, där vi ser tt det ekvivlent motståndet för de tre motstånden när är /3, vilket också är det ekvivlent motståndet för de tre motstånden när. De 6 motstånden i mitten kn ges ekvivlent som /6. Nu får mn det totl motståndet melln oc som en seriekoppling = 3 + 6 + 3 = 5 6 Exmpel En luminiumtråds resistns vid 0 C är 00 Ω. Vd är dess resistns vid 50 C? 50 = 0 [ + α(50 0)] 00 Ω[ + 0.004 50] 20 Ω Elektromgnetism, Ki Nordlund 2009 2 Elektromgnetism, Ki Nordlund 2009 23 Motstånd kopplde prllellt För prllellt kopplde motstånd är spänningsskillnden smm för ll mot- stånd, vilket ger tt strömmen genom motståndet i är: i = V / i. Totl strömmen är då lik med den ström som skulle gå i ekvivlentmotståndet: X i i = = V = V + V + V 3 +... (26) Dett ger storleken på det ekvivlent motståndet som = X i i = + + 3 +... (27) 2 3 2 3 XV.5. Kircoffs lgr Kircoffs lgr tillåter tt eräkn spänningsskillndern oc strömmrn i enkl elektrisk kretsr. Enkl etyder är tt komponentern är v någr grundläggnde typer: motstånd, kondenstorer, mm. som klls pssiv komponenter. Den först lgen säger tt: Totl ntlet lddningr evrs vid vrje knutpunkt X i = 0 (28) i 2 3 = 2+ 3 Mest ström går genom det motstånd som r den minst resistnsen Totl motståndet är mindre än för det minst motståndet i kretsen. Ekvivlent krets = + 2 + 3 Den ndr lgen eskriver ur lddningsärrns (elektroner) potentilskillnd i en krets ändrr. En lddningsärre som går runt kretsen ett elt vrv, måste vr i smm potentil som innn. Summn v potentilskillndern runt en krets är noll X V i = 0 (29) i Elektromgnetism, Ki Nordlund 2009 22 Elektromgnetism, Ki Nordlund 2009 24
För tt ättre förstå dess lgr, tittr vi på ett pr exempel: ilden nedn, r vi två spänningskällor oc tre motstånd: E = 2.0 V, E 2 = 8.0 V, = 4.0 Ω, = 4.0 Ω, 3 = 2.0 Ω. Beräkn strömmen genom vrje motstånd. vilket är exkt smm ekvtioner som erölls med Kircoffs ndr lg. Vilken metod mn nvänder, kn envr själv estämm. Ekvtionern lir färre men lite mer komplicerde med enrt Kircoffs ndr lg. 2 2 Vi tittr på spänningsskillndern över vrje komponent runt kretsen. Kirscoffs ndr lg ger följnde ekvtioner, där den övre ekvtionen får vi då vi följer med örjn vid E 3 E ( 2 ) = 0 E 2 2 3 ( 2 ) = 0 där potentilskillnden är positiv då strömriktningen är från till + genom en spännings-käll. Potentilskillnden för ett motstånd är lltid negtiv då mn följer strömmen. nsätt-ning v värden ger tt strömmrn lir =.25 A 2 = 0.50 A Elektromgnetism, Ki Nordlund 2009 25 Elektromgnetism, Ki Nordlund 2009 27 Negtiv strömmen för 2 etyder tt riktningen vr fel vld. Den går lltså i motstt riktning än vd som är ritt i figuren. Slutlig strömmrn genom vrje motstånd lir ( ) =.25 A ( ) = 2 =.75 A ( 3 ) = 2 = 0.5 A Vi kn också gör eräkningrn i föregående exempel med jälp Kircoffs först lg. 2 2 3 3 Energin som går förlord då elektrisk energi lir till värme i en ledre klls joulevärme. dett exempel, skll vi plner ur elektricitetsförsörjningen till en std orde sköts. ilden redvid ser vi en scemtisk ild v situtionen. Stden eöver en effekt på 00 MW. Beräkn strömmen i ledningrn melln stden oc krftverket oc ur mycket effekt som går förlord i ledningrn, ifll spänningen över ledningrn är ) 2.5 0 5 V oc ).0 0 4 V Lösning Strömmen i ledningrn är = P V Krftverk oc effekten i ledningrn som går till värme är P = 2 Totl resistnsen för ledningrn är = (5+5) Ω = 0 Ω vilket ger ) 5 5 Std E 3 = 0 E 2 2 3 + 3 = 0 = 2 + 3 vilket ger, då 3 = - 2, tt de två överst ekvtionern lir E ( 2 ) = 0 E 2 2 3 ( 2 ) = 0 ) = 00 06 W 2.5 0 5 V = 400 A P = (400 A) 2 0 Ω =.6 0 6 W = 00 06 W.0 0 4 V = 04 A Elektromgnetism, Ki Nordlund 2009 26 Elektromgnetism, Ki Nordlund 2009 28
P = (0 4 A) 2 0 Ω = 0 9 W fllet ) ser vi tt värmeeffekten som går förlord är.6 0 6 W / 00 0 6 W 00% =.6 % v nyttoeffekten som går till stden, fllet ) är effekten förlord i ledningrn som värme tio gånger större än effekten som stden får, ( 0 9 W / 00 0 6 W 00% = 000 % ). Det lönr sig lltså tt överför elektrisk energi vid så ög potentil som möjligt för tt minimer strömmen oc därmed effektförlustern i ledningrn. Å ndr sidn inneär ögre spänning tt det eövs större oc därmed dyrre trnsformterer i stden för tt sänk spänningen till 220 V, så det el lir en kostndslns Elektromgnetism, Ki Nordlund 2009 29