Trigonometri Innehåll 1 Rätvinklig tringlr 1 Godtyklig tringlr oh enhetsirkeln 3 Tringelstsern 4 3.1 restsen.............................. 4 3. Sinusstsen.............................. 5 3.3 Kosinusstsen............................. 6 4 Trigonometrisk funktioner 7 4.1 Kosinus, Sinus oh Tngens..................... 7 4. Trigonometrisk ekvtioner..................... 9 4.3 En trigonometrisk formel...................... 10 Smmnfttning Hur gjorde de gml grekern för tt för 000 år sedn (med god noggrnnhet) estämm vståndet till månen? Svret är trigonometri. Vi sk undersök godtyklig tringlr oh finn ett ntl reltioner melln ders vinklr oh sidlängder. nmärkning 0.1. Om inget nnt sägs mäts ll vinklr i grder. Om vi säger etrkt vinkeln v menr vi lltså vinkeln v. 1 Rätvinklig tringlr Betrkt följnde rätvinklig tringel. Vi låter, B oh vr vinklrn som står mot sidorn, oh, respektive. 1
B Kom ihåg hur mn i kurs definierde tngens, sinus oh kosinus: Övning 1. Vis tt tn = sin os. tn = sin = os =. Eftersom vinkelsummn i en tringel är 180 grder, hr mn direkt ur definitionern ovn tt sin(90 ) = os os(90 ) = sin. Tngens, sinus oh kosinus för godtyklig vinklr är inget mn hr i huvudet, men för någr speiell vinklr ör mn lär sig dess värden utntill. Om mn väljer = B = 45 får mn tn 45 = 1 sin 45 = 1 os 45 = 1. Om vi istället etrktr den rätvinklig tringeln med = 60, B = 30 får vi tt tn 60 = 3 sin 60 = 3 os 60 = 1 sin 30 = 1 os 30 = 3. Vi kn noter tt ll tringlr vi tlt om ännu så länge vrit spetsvinklig. Är det intressnt tt gör liknnde sker även om en vinkel är truig? Jvisst! Godtyklig tringlr oh enhetsirkeln Betrkt irkeln i vnlig xy-plnet som hr hr rdie 1 oh mittpunkt i origo:
1.0 0.5 1.0 0.5 0.5 0.5 ntg tt vi mäter ut en vinkel v i positiv riktning (motsols) från punkten (0, 1) oh mrkerr den punkt P = (x, y) där strålen från origo som ges v just vinkeln v skär enhetsirkeln: 1.0 P x,y 0.5 v 1.0 0.5 0.5 0.5 Om v vore mindre än 90 grder skulle vi på följnde sätt få en rätvinklig tringel 1.0 P x,y 0.5 1.0 0.5 0.5 v 0.5 3
Eftersom rdien i enhetsirkeln är 1 så måste i dett fll (lltså då 0 v 90) P = (x, y) = (os v, sin v). Vrför? Övning. Vrför gäller i fllet 0 < v < 90 tt P = (os v, sin v)? Betrkt nu igen ilden ovn där vinkeln v är större än 90 grder. Vi definierr Definition.1. Låt P = (x, y) vr den punkt på enhetsirkeln som svrr mot vinkeln v, där 0 v < 360. Vi sätter då x = os v oh y = sin v. nmärkning.. lltså, om P är en punkt på enhetsirkeln så kllr vi P s x-koordint för kosinus för v oh etknr den x = os v. På smm sätt kllr vi P s y-koordint för sinus för v oh eteknr den med y = sin v. Formlern i näst övning hr mn oft nvändning v. De är enkl oh vis om mn r tänker på definitionern ovn. Övning 3. Låt v vr en vinkel (mätt i grder) 0 v < 360. Om du vill kn du för tt gör det litet enklre för dig tänk tt 0 v < 180. Vis tt sin(180 v) = sin v, os(180 v) = os v. 3 Tringelstsern Vi visr här tre styken entrl resultt vrv ett kn ses som en generlisering v Pythgors sts. 3.1 restsen Om vi hr en tringel med s oh höjd h B h vet vi tt tringels re är h. Men, tänk om vi istället kände till två sidor,, oh oh ders mellnliggnde vinkel, men inte den sist sidn eller de övrig vinklrn. Kn vi då estämm ren? J! Vi kn ju lltid dr höjden h från vinkeln B mot sidn. Eftersom oh är känd vet vi tt h = sin. 4
Eftersom vi nu funnit höjden oh hr sen får vi tt ren är formulerr det som en sts: sin. Vi Sts 3.1 (restsen). ntg tt i nednstående tringel sidorn oh smt vinkeln är känd. Då ges tringelns re T v T = sin. B 3. Sinusstsen Betrkt en tringel B oh ntg tt vi känner till vinklrn oh smt sidn (se exempel i kursok s.199). Kn vi då estämm sidn? J, det kn vi. Vi visr först en sts oh sedn följer vårt resultt. Sts 3. (Sinusstsen). För en godtyklig tringel 5
B gäller tt sin = sin B = sin. Bevis. Från restsen följer tt ren T för tringeln ges v T = sin = sin B = sin. Dett gäller eftersom det inte spelr någon roll vilk sidor oh vinklr vi väljer då vi nvänder restsen. Om vi multiplierr över ll likheter med får vi sin = sin B = sin. Om mn till slut dividerr med så följer resulttet. Följdsts 3.3. ntg tt i tringeln B vinklrn oh smt sidn är känd. Då kn vi estämm sidn. Övning 4. Bevis följdstsen. Tips: nvänd stsen ovn. 3.3 Kosinusstsen Vi sk nu vis ett resultt som generliserr Pythgors sts. Sts 3.4 (Kosinusstsen). För en godtyklig tringel 6
B gäller tt = + os. Bevis. Se kursoken s.06. Övning 5. Vd händer om vinkeln är rät? 4 Trigonometrisk funktioner Vi hr sett tt tngens, sinus oh kosinus kn nvänds för tt studer tringlr. Vi hr etrktt enhetsirkeln oh definiert kosinus oh sinus som x respektive y-koordintern för punkter på enhetsirkeln som svrr mot vinklr v med 0 v < 360. Dess trigonometrisk storheter är dok nvändr till myket mer än tt r studer tringlr. 4.1 Kosinus, Sinus oh Tngens Kom ihåg hur vi definierde os v oh sin v för en vinkel v med 0 v < 360: vi lät dem vr x- respektive y-koordintern för den punkt P på enhetsirkeln som svrr mot vinkeln v mätt i motsols från den positiv delen v x-xeln. Kn vi i enhetsirkeln prt om vinklr v som är större än eller lik med 360 grder, eller mindre än 0 grder? J det kn vi. En vinkel som är större än 360 grder mäter vi ut genom tt gå runt mer än ett vrv i irkeln. Vinkeln 390 grder till exempel skulle vi mät ut genom tt först gå runt ett vrt oh sedn stnn då vi gått ytterligre 30 grder i först kvdrnten. Men, om vi mrkerr den punkt på enhetsirkeln som denn vinkel svrr mot får vi preis smm punkt som vi skulle fått om vi tgit vinkeln 30 grder istället. Om vi prtt om negtiv vinklr hde vi gjort på liknnde sätt, men istället mätt medsols. Vi sk nu gör något vågt oh definier kosinus oh sinus för helt godtyklig vinklr: Definition 4.1. Låt v vr en godtyklig vinkel oh etrkt den punkt P = (x, y) där strålen från origo som ges v vinkeln v skär enhetsirkeln. Vi sätter x = os v oh y = sin v. 7
nmärkning 4.. Noter tt definitionen ger tt os(v + k 360) = os v oh sin(v + k 360) = sin v gäller för ll vinklr v oh heltl k. Mn säger tt sin v oh os v är periodisk funktioner med period 360 grder. Mn definierr även tngens för en godtyklig vinkel v som tn v = sin v os v. Oserver dok tt tn v endst är definiert då os v 0. Nu kn mn ju fråg sig vd dett sk vr r för, men fktum är tt de trigonometrisk funktionern tn v, sin v oh os v förekommer överllt. De dyker nturligt upp då mn eskriver till exempel rottioner oh svängningr. De trigonometrisk funktionern hr en del trevlig egenskper mn ör lär sig. Vi skriver ned dem som en sts. Sts 4.3. För en godtyklig vinkel v gäller tt 1. sin( v) = sin v. os( v) = os v 3. sin(v + 180) = sin v 4. os(v + 180) = os v 5. sin(180 v) = sin v 6. os(180 v) = os v Vidre gäller för ll k Z oh ll vinklr v l 90, där l är ett udd heltl, tt 7. tn(v + k 180) = tn v. nmärkning 4.4. Punkt 7 säger tt funktionen tn v är periodisk med period 180 grder. tt mn i punkt 7 måste nt tt v inte är en heltlsmultipel v 90 grder är förstås för tt os v sk vr skilt från noll. Bevis. Beviset lämns som övning. Tips: rgumenter utifrån enhetsirklen oh kom ihåg definitionern v os v oh sin v. Övning 6. Hur ser grfen till funtionern f(x) = os x, g(x) = sin x oh h(x) = tn x ut? Test med din räknre. Grfen för tn x skiljer sig litet från de ndr två, vrför? Övning 7. nge värdemängd för funktionern från R till R som ges v. f(x) = sin x. g(x) = os x 8
4. Trigonometrisk ekvtioner tt lös ekvtioner som innehåller trigonometrisk uttryk skiljer sig en smul från det vi sett tidigre. ntg till exempel tt vi vill finn ll lösningr till ekvtionen sin x = 1. Vi vet tt x = 30 är en lösning. Men, x = 30 + 360 måste ju vr en lösning det med eftersom vi sett tt sin x = sin(x + k 360) för ll heltl k. Vi inser tt tl x = 30 + k 360, k Z, ll är lösningr till ekvtionen ovn, frågn är om det kn finns fler. Exempel 1. Lös ekvtionen sin x = 1. Lösning: Om x är en lösning till ekvtionen så är lltså sin x = 1. Det etyder tt vinkeln x ger oss en punkt på enhetsirkeln vrs y-koordint är sin x = 1. Om vi först håller oss till vinklr 0 x < 360 ser vi tt x måste vr x = 30 eller x = 150 = 180 30 (tänk nog på vrför!). Någr fler lösningr med 0 x < 360 kn inte finns. Då inser vi på grund v periodiiteten hos sin x tt x = 30 + k 360, k Z, oh x = 150 + k 360, k Z är smtlig lösningr till ekvtionen. Exempel. Lös ekvtionen sin 3x = 1. Lösning: Vi kn nästn kopier lösningen ovn, r vi tänker efter litet. Om x är en lösning till ekvtionen så är lltså sin 3x = 1. Det etyder tt vinkeln 3x ger oss en punkt på enhetsirkeln vrs y-koordint är sin 3x = 1. Om vi först håller oss till vinklr 0 3x < 360 ser vi tt 3x måste vr 3x = 30 eller 3x = 150 = 180 30 (tänk nog på vrför!). Någr fler lösningr med 0 3x < 360 kn inte finns. Då inser vi på grund v periodiiteten hos sin 3x tt 3x = 30 + k 360, k Z, oh 3x = 150 + k 360, k Z. Genom tt nu divider med 3 får vi tt smtlig lösningr till ekvtionen ges v x = 10 + k 10, k Z, oh x = 50 + k 10, k Z är smtlig lösningr till ekvtionen. 9
4.3 En trigonometrisk formel Vi sk härled någr trigonometrisk identiteter som är prktisk tt h lnd nnt när mn hndsks med trigonometrisk uttryk oh då mn vill komm åt viss derivtor. Kom ihåg från tidigre kurser tt vståndet d melln två punkter, (x 1, y 1 ) oh (x, y ) säg, i plnet ges v uttryket d = (x 1 x ) + (y 1 y ). Det är oft prktist tt istället studer kvdrten v d d = (x 1 x ) + (y 1 y ) (1) för tt slipp den stor kvdrtroten. Det här är ju snt för ll punkter i plnet så vi kn till exempel låt (x 1, y i ) = (os v, sin v) vr en punkt på enhetsirkeln oh (x, y ) = (0, 0) vr origo. Vd händer med ekvtionen (1) i dett fll? Eftersom rdien i enhetsirkeln är 1 får vi 1 = (os v) + (sin v). () Denn ekvtion rukr v nturlig skäl klls för den trigonometrisk ettn. Istället för (os v) oh (sin v) skriver mn oftst os v oh sin v. Detsmm gäller för högre potenser än. 10