Relibility nlysis in engineering pplictions Etremvärdesfördelningr Mimum och minimum Structurl Engineering - Lund University 1
Etremvärdesfördelningr Vrible lod, q Mvärdet under referensperioden Q 1 Q 1 Q 3 Q 4 Q 5 Q 6 Δ 1 Δ2 Δ3 Δ 4 Δ 5 Δ6 Time Referensperiod Structurl Engineering - Lund University 2
Etremvärdesfördelningr 1 F Q (), F q () q: klls ögonblicksfördelning, prent distribution. Q: är m fördelningen, beskriver hur de miml värden v q är fördelde under en given referensperiod. Structurl Engineering - Lund University 3
Etremvärdesfördelningr Referensperiod är den tid som lstens mvärde bestäms under, vnligen 1 år. Anledning till tt del in i referensperioder är: 1. Klimtrelterde lster såsom snö eller vind kn bäst beskrivs som en stokstisk process, tt del in lstern i referensperioder innebär tt de blir sttionär. 2. Lsten blir då den indels i referensperioder oberoende melln olik referensperioder, te. snö. 3. Längden på referensperioden är strkt koppld till lsters krkteristisk värden och säkerhetsinde. Structurl Engineering - Lund University 4
Etremvärdesfördelningr Eempel: Låt säg tt ögonblicksfördelningen för sjulig fordon är normlfördeld med medelvärde 40 ton och cov15%. Hur ser då fördelningsfunktionen ut för årsmimum v sjulig fordon under förutsättningen tt det kommer 20000 resp. 80000 sjulig fordon under ett år? Structurl Engineering - Lund University 5
Etremväderfördelningr Ögonblicksfördelning M fördelning 20000 fordon/år M fördelning 80000 fordon/år Structurl Engineering - Lund University 6
Etremvärdesfördelningr Return period, Återkomstperiod Krkteristisk värden för vribl lster är definierde som 98% frktilen v årsmimumfördelningen Referens perioden är lltså 1 år. Det innebär tt snnolikheten tt överskrid det krkteristisk värdet är 2 % vrje år. Structurl Engineering - Lund University 7
Etremvärdesfördelningr Return period, Återkomstperiod Återkomstperioden, T är för den krkteristisk lsten 50 år. Dett skll tolks som tt lster större än det krkteristisk värdet uppkommer i medeltl en gång på 50 år. T 1 (1 F ( )) X Structurl Engineering - Lund University 8
Klssisk etremvärdes teori Den klssisk etremvärdes teorin härstmmr från en fördelning, M n enligt nedn: { X, X X n} M n m 1 2... Där X 1, X 2,.X n är likfördelde och oberoende stokstisk vribler från en fördelning X. X klls prent distribution. Structurl Engineering - Lund University 9
Klssisk etremvärdes teori Antg tt X är stndrd normlfördeld N(0,1) och tt M n m(x n ). 1,6 1,4 n1000 n10000 1,2 1 n100 fx() n 0,8 n10 0,6 0,4 N(0,1) 0,2 0-1 0 1 2 3 4 5 6 Structurl Engineering - Lund University 10
Klssisk etremvärdes teori 4 3 men vlue 2 1 st ndrd devit ion 0 1 2 3 4 log( n) Då n ökr, ökr medelvärdet medn spridningen minskr. Structurl Engineering - Lund University 11
Klssisk etremvärdes teori Vd hr då M n för fördelningsfunktion? M [ F ( ] n F n ( ) ) X Där F X är fördelningsfunktionen för den ursprunglig stokstisk vribeln X. Det visr sig tt ekvtionen ovn konvergerr mot en symptotisk fördelning då n går mot oändligheten. Structurl Engineering - Lund University 12
Structurl Engineering - Lund University 13 Klssisk etremvärdes teori Det finns tre sådn symptotisk mfördelningr: ( ) b G ep ep ( ) ( ) b b G b G > α ep 0 ( ) ( ) b G b b G > 1 ep α Typ 1, Gumbel Typ 2, Fréchet Typ 3, Weibull, b och k är skl-, läges- respektive formprmeter
Den generell etremvärdes fördelningen, GEV De tre mfördelningrn kn slås smmn till en fördelning klld den generell etremvärdesfördelningen med fördelningsfunktion enligt nedn. F X (, k,, b) 1/ k ep( (1 k( b) / ) ) ep( ep( ( b) / )) if if k k 0 0 k ( b) < > 0, b och k är fördelningens prmetrr. Structurl Engineering - Lund University 14
Den generell etremvärdesfördelningen, GEV Prmetern k klls etremvärde inde 0,25 0,2 k0,5 Om k0, Gumbel fx() 0,15 0,1 k-0,5 Om k>0, Weibull, m b+(/k) k0 0,05 0 0 5 10 15 20 25 Om k<0, Fréchet Structurl Engineering - Lund University 15
Den generell etremvärdesfördelningen, GEV Mimum v GEV fördelde vribler är stbil under mimum formtion. Om X 1, X 2,.X n är likfördelde och oberoende GEV fördelde vribler och M n m{x 1, X 2,.X n }. Så är M n också GEV fördeld med prmetrr enligt nedn. k 0 k0 b n k n k k n n b + (1 n k k ) b n n b + ln(n) Structurl Engineering - Lund University 16
Den generell etremvärdesfördelningen, GEV Krkteristisk värden k b + (1 ( ln( FX ( ))) k b ln( ln( FX ( ))) k ) för k för k 0 0 Structurl Engineering - Lund University 17
Structurl Engineering - Lund University 18 Etremvärdesfördelningr Två specilfll: Mimum v n likfördelde norml- eller eponentilfördelde vribler kommer båd bli Gumbel fördelde med fördelningsfunktionen: b e X e F ) ( Eponentilfördeld och b är Gumbel fördelningens prmetrr Normlfördeld m X e F 1 ) ( ln(n) m b m ( )n b f n F b X X 1 1 1 1 F X och f X är normlfördelningens fördelningsfunktion respektive täthetsfunktion
Peks Over Thresholds, (POT) En metod tt uppsktt kvntiler utnför uppmätt dt. Fältmoment generert v fordon i en fritt upplgd blk med spännvidden 30 m. 4000 3000 Moment [knm] 2000 1000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Number of les Structurl Engineering - Lund University 19
Peks Over Thresholds, (POT) FX Empirisk fördelningsfunktion för momentet 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 Moment [knm] Structurl Engineering - Lund University 20
Peks Over Thresholds, (POT) Moment större än tröskelvärdet, u Anpssning v (moment-u) till eponentilfördelning Moment [knm] 3585 3485 3385 3285 3185 3085 FX 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 Events Fitted dist. 2985 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Number of les 0 0 100 200 300 400 500 600 Moment-u [knm] Structurl Engineering - Lund University 21
Peks Over Thresholds, (POT) Om ntlet händelser som överskrider en viss nivå under referensperioden är Poisson fördelt och differensen melln händelsern som överskrider nivån och nivån är eponentilfördeld går det tt vis tt de överskridnde händelsern är Gumbel fördelde med prmetrrn och b enligt nedn. b m u + m ln( λ u ) m: prmetern i den npssde eponentilfördelningen. u: tröskelvärdet λ u : intensiteten v händelser som överskrider den vld nivån, tröskeln. Structurl Engineering - Lund University 22
Peks Over Thresholds, (POT) Den Generell Preto fördelningen F X (, k, ) GPD GPD 1 1 k GPD GPD 1 k GPD k b GEV GEV GEV k λ GPD u GPD k GPD GEV k GPD GPD u och λ är tröskelvärdet respektive det förväntde ntlet händelser som överskrider tröskelvärdet. Structurl Engineering - Lund University 23
Etremvärde Etremvärdesfördelningr kn också bestämms genom etrpoltion och simulering. Structurl Engineering - Lund University 24