Mekanik, kursanteckningar Alex Loiko Freddie Agestam 6 mars 014 Detta verk är licensierat under en Creative Commons Attribution 4.0 International licens. Det innebär att vem som helst får distribuera, remixa, ändra och bygga på verket, även för kommersiella syften, så länge de erkänner oss som upphovsmän. Licenstexten finns på http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/ legalcode Koden finns för närvarande publikt på https://bitbucket.org/alexloiko/skolarbete aloiko@math.su.se, anteckningarna finns på http://www.csc.kth.se/~loiko/ mekanik.pdf LATEX-koden finns på https://bitbucket.org/alexloiko/skolarbete. Om du känner för att bidra (kanske rätta fel eller lägga till exempel) kan du få utvecklingsaccess till gitrepot git@alexl.se:/opt/git/mekanik som koden finns i. Skicka din publika nyckel till mig (Alex) med mail så lägger jag till dig. Anteckningarna skrivs och LATEX:as under föreläsningarna (därav alla fel) och fixas ibland till efter. 1
Fysik... är... roligt... Lars Gråsjö med hypnotiserande röst framför stroboskopmaskin
Innehåll 1 Kursupplägg - munta, tenta, tutorundervisning 5 1.1 Klassrumsinlärning............................ 5 1. Schemat.................................. 5 Mekanik - inledning, repetition av vektorer 5.1 Vektorer.................................. 5 3 Vektorers användning för att beskriva rörelse 6 3.1 Fler dimensioner.............................. 6 4 Mer om rörelse, vektorer och derivator 7 4.1 Att dela upp acceleration i komponenter................ 7 4. Polära koordinater............................. 7 5 4 januari, frl 3, Newtons lagar, kap -3 ( ed) 8 5.1 Lagarnas formulering........................... 8 5. Exempel på krafter............................ 8 5..1 Tyngdkraften (vid jordytan)................... 8 5.. Normalkraft och friktionskraft................. 8 5..3 Gravitation............................ 9 6 Mer om Newtons lagar 10 6.1 Tåg och vagnar.............................. 10 6. Rep och massor.............................. 10 6.3 Månen och jorden............................. 10 6.4 Circkelrörelse med konstant fart..................... 10 6.5 Hästar, pålar och klossar......................... 11 7 Fjäderkraft 11 8 Frl 5: Rörelsemängd 1 8.1 Inledande klickarfråga.......................... 1 8. Definition av rörelsemängd........................ 1 8.3 Rörelsemängd, följd 1: rörelsemängdens bevarande.......... 13 8.3.1 Exempel: På skridskobanan................... 13 8.4 Klickarfråga................................ 13 8.5 Rörelsemängd, följd : Definition av masscentrum........... 13 8.6 Klickarfråga................................ 14 8.7 Hur hittar man masscentrum?...................... 14 9 Frl 6: Forts. rörelsemängd och masscentrum samt impuls 16 9.1 Repetition masscentrum och räkneexempel............... 16 9.1.1 Masscentrum för en rätvinklig triangel - två dimensioner.. 16 9.1. Konstellation med klossar och fjäder - en dimension och variabelbyte............................. 17 9.1.3 Formel för dubbel fjäderoscillation............... 19 9. Impuls................................... 19 9..1 Inledande klickarfråga...................... 19 9.. Definition av impuls....................... 19 3
9..3 Exempel.............................. 0 9..4 Pingisbollen och bowlingklotet................. 0 10 Administrativt 11 Arbete och energi, del I 11.1 Arbete................................... 11. Exempel.................................. 3 11.3 Klickarfråga - jord och bil......................... 3 11.4 Klickarfråga - jord och bil II....................... 3 11.5 Exempel.................................. 3 11.6 Generalisering av arbete till fler dimensioner.............. 4 1 Frl 8: Forts. arbete och energi 5 1.1 Repetition: Definition arbete....................... 5 1. Repetition: Konservativa kraftfält.................... 5 1.3 Klickarfråga................................ 5 1.4 Potential.................................. 5 1.5 Exempel: homogent gravitationsfält................... 6 1.6 Mekanisk energi.............................. 6 1.7 Klickarfråga................................ 6 1.8 Gravitationspotentialen.......................... 7 1.9 Klickarfråga x............................... 8 1.10 Flykthastigheten igen........................... 8 1.11 Potential för fjäderkraft (Harmonisk oscillatorpotential)..................... 8 1.1 Mer administrativt............................. 30 1.13 Repetetition av de senaste föreläsningarna.............. 30 13 Friktion, potentialer och kollisioner 30 13.1 Stabila och instabila punkter med potentialer.............. 30 13. Harmonisk oscillator-potential...................... 31 13.3 Friktion................................... 31 13.4 Exempel: Klossar och plan........................ 3 13.5 Kollisioner................................. 3 13.6 Klickarfråga!................................ 33 13.7 Klickarfråga!............................... 33 13.8 Klickarfråga 3!!.............................. 33 14 Frl 10: Rotationsrörelse del 1 34 14.1 Definition rörelsemängdsmoment.................... 34 14. Exempel.................................. 34 14.3 Klickarfråga................................ 35 14.4 Vridmoment................................ 35 14.5 Varför bra? Rörelsemängdsmoment och vridmoment......... 35 14.6 Exempel.................................. 35 14.7 Efter pausen................................ 36 14.8 Exempel.................................. 36 14.9 Klickarfråga................................ 36 14.10 Keplers andra lag............................. 37 4
14.10.1 Klickarfråga............................ 37 14.10. Härledning av andra lagen.................... 37 15 Frl 11: Fortsättning rotationsrörelse (del ) 38 15.1 Repetition................................. 38 15. Rotation kring fix axel........................... 38 15.3 Tröghetsmomentet för allmänna kroppar................ 39 15.4 Klickarfråga................................ 39 15.5 Analogi: Jämförelse translation och rotationsrörelse.......... 40 15.5.1 Vinkelhastigheten som en vektor................ 40 15.5. Ny sammanställning....................... 40 15.6 Typfall................................... 40 15.7 Rotationsenergi.............................. 41 15.8 Klickarfråga................................ 41 15.9 Exempel: tröghetsmoment för en stav.................. 41 15.10 Exempel: tröghetsmoment för en skiva................. 41 15.11 Parallellaxelteoremet........................... 4 15.1 Exempel: Konstellation med trissa som inte är masslös......... 4 15.1.1 Kommentar............................ 4 15.1. Uppgift.............................. 4 15.13 Klickarfråga................................ 44 16 Frl 1: Rotationsrörelse, del 3 45 16.1 Repetition................................. 45 16. Rörelsemängdsmomentets två komponenter.............. 45 16.3 Exempel: L z för ett rullande hjul..................... 46 16.4 Vridmomentets två komponenter.................... 46 16.5 Klickarfråga: Konståkaren roterar på isbanan.............. 47 16.6 Exempel: Tunna rullar ned för lutande plan............... 47 17 Frl 13: Rotationsrörelse del 4 / Tröghetskrafter del 1 49 17.1 Avslutning rotationsrörelse........................ 49 17.1.1 Exempel revisited: Tunna rullar ned för lutande plan..... 49 17.1. Föremål som rullar och glider.................. 50 17.1.3 Klickarfråga............................ 50 17. Icke-inertialsystem och tröghetskrafter................. 50 17..1 Repetition inertialsystem..................... 51 17.. Byta inertialsystem........................ 51 17..3 Klickarfråga: skjuta ärtor..................... 5 17..4 Byta från inertialsystem till icke-inertialsystem........ 5 17..5 Exempel: Pendel i en accelererande vagn............ 5 17..6 Väga sig i en accelererande hiss.................. 53 18 Frl 14: Tröghetskrafter del 54 18.1 Administrativt............................... 54 18. Repetition tröghetskrafter........................ 54 18.3 Exempel: cylinder på en accelererande planka............. 54 18.4 Roterande system............................. 55 18.5 Cylindriskt polära koordinater...................... 55 18.6 Klickarfråga................................ 57 5
19 Föreläsning 15, mer om tröghetskrafter 58 19.1 Repetition................................. 58 19. Klickarfrågor: riktningen på Coriolis-kraften.............. 58 19.3 Exempel: jordens rotation och Coreolis-kraften............. 58 19.4 Uppgift: beräkna tröghetsmomentet för en kropp, ÖP 6:6c...... 58 0 Centralkraftsrörelse och Keplers lagar 58 0.1 Centralkraftsverkan mellan två goyckliga massor.......... 59 1 Föreläsning 16, Centralkrafter - fortsättning 60 1.1 Repetition................................. 60 1. Mer om centralkrafter........................... 60 1.3 Energibevarande.............................. 61 1.4 Exempel: inga yttre krafter........................ 61 1.5 Exempel: gravitation........................... 61 Frl 17, relativitetsteori I 6.1 Lite historia................................ 6.1.1 Eter................................ 6.1. Eterns egenskaper........................ 6.1.3 Experiment av Michelso-Morley................ 6. Einstains kritik............................... 6.3 Einsteins postulat............................. 63.4 Galilei-transforationen och dess antaganden.............. 63.5 Rumtidsdiagram.............................. 63 3 Lorentz-transform 64 3.1 Linjär avbildning............................. 64 3. Samtidighetslinjer och världslinjer.................... 64 3..1 Var går B:s samtidighetslinje?.................. 64 3.. Och B:s världslinje?....................... 64 3..3 Einsteins :a............................ 65 3..4 Vi har fler koordinataxlar!.................... 65 4 Frl 18: Speciell relativitet del 66 4.1 Repetition................................. 66 4.1.1 Galileitransformationen..................... 66 4. Lorenz-transformationen......................... 66 4..1 Ljuspuls från origo O vid t = 0 längs x-axeln......... 67 4.. Ljuspuls från origo O vid t = 0 längs y-axeln......... 67 4.3 Klickarfråga................................ 68 4.3.1 Vilka punkter motsvarar t = 0?................ 68 4.4 Längdkontraktion............................. 69 4.5 Klickarfråga: längdkontraktion...................... 69 5 Mer relativitetsteori 70 5.1 Lorentz-transformation.......................... 70 6
6 Tidsdilatation 70 6.1 Tankeexperiment............................. 70 6. Addition av hastigheter.......................... 70 6..1 Hastigheter u, v paralella.................... 71 7 Ännu mer relativitetsteori 7 7.1 Administrativt............................... 7 7. Energi, massa, rörelsemängd....................... 7 7..1 Relativistisk kollision och rörelsemängd............ 7 7.3 En bättre rörelsemängd.......................... 73 7.4 Kollision med riktig rörelsemängd.................... 73 7.5 Massa.................................... 73 7.6 Energi................................... 73 7.6.1 Tolka det?............................. 74 7
8
File: ant-01-0.tex 1 Kursupplägg - munta, tenta, tutorundervisning Examinationen är skriftlig tenta 60%, två muntor 40%. Tenta är 30 poäng, man kan få bonunpoäng från tutordelen. Tentan testar förmågan att lösa problem, muntan kontrollerar att man har tagit till sig de basala kunskapsmålen 1. 1.1 Klassrumsinlärning Använder en teknisk pryl för att anonymt svara på frågor i klassrummet. 1. Schemat Finns på kurshemsidan. Räknestuga torsdag 15 18 i sal FP41 finns inte uppskrivet på schemat. Dessutom 4 onsdagar 15 18, se hemsidan för vilka dagar. Mekanik - inledning, repetition av vektorer Vi repeterar vektorer och introducerar grundläggande begrepp för att beskriva rörelse. Definition 1. Mekanik - läran om att beskriva hur kroppar rör sig under inverkan av krafter..1 Vektorer En vektor betecknar vi som. Längden av en vektor är. Enhetsvektorn betecknas som  = A A Vektorer kan ha komponenter, A = (A x, A y ) vilket står för A = A x î + A y ĵ där î, ĵ är basen för vårat vektorrum. Vektorer kan multipliceras genom kryssprodukt och skalärprodukt. Skalärprodukten mellan a, b är a b = a b cos α Vektorprodukten a b är en vektor v som uppfyller v a, v b och v = a b sin α där α är vinkeln mellan a och b (notera att om man byter plats på a och b, ändras vinkeln från α till π α så sin byter tecken). 1 se häftet basala kunskapsmål i Mekanik 9
Ortsvektor Givet ett koordinatsystem med origo O och en punkt P, säger vi att vektorn OP (som går från O till P ) är ortsvektor för P. Ortsvektorer är koordinatsystemsberoende. 3 Vektorers användning för att beskriva rörelse Vi introducerar begreppen för att beskriva rörelse i en dimension: Rörelse, (1 dim) Vi studerar en partikel som rör sig längs x-axeln. Partikens position är en funktion av tiden, x(t). Om vi har två tidpunkter t 1, t, med x(t 1 ) = x 1, x(t ) = t blir medelhastigheten mellan t 1 och t är Momentanhastighet v = x t = x 1 x t 1 t = x(t 1) x(t ) t 1 t Medelhastigheten kan användas för att definiera momentanhastiget, som bara beror på en tidpunkt t som x(t) x(t 1 ) x v(t) = lim = lim t 1 t t t 1 t 0 t = x (t) Medelacceleration och momentanacceleration På samma sätt som medelhastighet och momentanhastighet definierar vi medelacceleration och momentanacceleration som a = δv δt och a(t) = v (t) = x (t) 3.1 Fler dimensioner För fler dimensioner (3 eller ett goyckligt antal) låter vi r(t) = (x(t), y(t), z(t)) vara partikelns ortsvektor som fukntion av tiden. Hastighetsvektorn v(t) blir D(r(t), t) = r (t) = dr(t) På samma sätt definieras accelerationsvektorn a(t) som a(t) = v (t) = dv(t) 10
File: ant-01-.tex 4 Mer om rörelse, vektorer och derivator Vi löser röresleekvationer och härleder samband mellan ortsvektor, hastighet och acceleration. Notation är ṙ = v och r = a. 4.1 Att dela upp acceleration i komponenter Om en punkt rör sig längs r(t), betrakta dess position vid en viss tidpunkt t 0. Dela nu upp a(t) i komponenter a + a så att a är till a och â = v. Då finns bara ett sätt att göra det, nämligen: låt a = k v, vi låter tills vidare k vara en variabel. Då måste a = a k v. Dessutom har vi villkoret att a a = 0 dvs v (a k v) = 0 och därmed v a = k Den fysikaliska tolkningen är att a (t) är den komponent av accelerationen som påverkar farten, medan a (t) påverkar vinkeln. Se boken (sid. 6). 4. Polära koordinater Ibland kan det vara praktistk med ett koordinatsystem som beror på föremålets position. Om ett föremål rör sig i planet och i ett visst ögonblick befinner sig på (x, y) (0, 0), skriver vi om (x, y) = (r cos θ, r sin θ) till polärt och formar två nya basvektorer r(θ) = (0, 1) cos θ + (1, 0) sin θ θ(θ) = (0, 1) sin θ + (1, 0) cos θ som är uppenbart ortogonala. Då kan partikelns rörelse r(t) beskrivas så enkelt som r(t) = r(t) r(θ). Vi räknar ut ṙ(t) i polära koordinater: D(r(t), t) = D(r(t), t) r(t) + D( r(t), t)r(t) Vi behöver D( r(t), t). Här verkar Newtons -notation hjälpa något: Det leder till att r(t) =... = ( sin θî + cos θĵ) θ = θ θ ṙ = ṙ r + θ θr Det här kan man också göra för hastighet och θ(t). Se boken sid 7-30. velocity hastighet på svenska, betyder vektorn v = ṙ speed fart på svenksa, betyder v = ṙ Annars mer matte-repetition - polära koordinater, gå mellan polära och kartesiska koordinater. 11
File: anteckningar-mekanik.tex 5 4 januari, frl 3, Newtons lagar, kap -3 ( ed) 5.1 Lagarnas formulering 1. En kropp som inte påverkas av någon yttre kraft förblir i sitt tillstånd av vila eller konstant hastighet. Denna lag kallas även Tröghetslagen. Newtons lagar, speciellt den första, förutsätter att man befinner sig i ett s.k. inertialsystem (eng. inertia=tröghet). Ett inertialsystem är ett icke-accelererande koordinatsystem. En ekvivalent definition är ett system där tröghetslagen gäller.. En massa m som påverkas av den resulterande kraften F accelererar med a, enligt F = ma. Denna lag utgör en definition av kraft. Enhet: 1 N = 1 kg m/s. Lag (1) är egentligen ett specialfall av lag (), men finns med av pedagogiska och historiska skäl. På Newtons tid var det omdebatterat huruvida det behövdes en kraft eller inte för att hålla en kropp i rörelse. 3. Om en kropp A påverkar en kropp B med en kraft F, så påverkar kropp B kropp A med en kraft F. Denna lag säger att krafter kommer i par - varje kraft har en reaktionskraft/motkraft. 5. Exempel på krafter 5..1 Tyngdkraften (vid jordytan) Ett föremål vid jordytan har tyngden F = mg, där g är tyngdaccelerationen. Hur accelererar föremålet vid fritt fall? Den enda kraft som påverkar föremålet är tyngdkraften, så från Newtons andra lag får vi mg = ma och drar slutsatsen a = g. Trivialt, men inte ett självklart resultat, eftersom det inte behöver vara samma massa m i de två fallen. Det visar sig empiriskt att det är samma. I själva verket har de båda massorna två olika namn och vi bär oss åt på olika sätt för att mäta dessa massor. Massan i F = mg kallas för tung massa och kan mätas på en våg. Massan i Newtons andra lag kallas trög massa och för att mäta denna behöver vi accelerera föremålet. 5.. Normalkraft och friktionskraft Normalkraften och friktionskraften är kontaktkrafter. De har sitt upphov i den elektromagnetiska kraften. Normalkraften N är den kraft som hindrar en ett föremål från att tränga igenom ett annat och är lika stor som och motriktad den vinkelräta komposanten av tyngdkraften (men det är inte dess motkraft!). 1
Friktionskraften f motverkar relativ rörelse mellan två kroppar som är i kontakt med varandra. Den växer med den kraft som verkar för rörelsen tills friktionskraften når sitt maximum och den andra kraften blir starkare - en rörelse inleds. Det visar sig empiriskt att f max är proportionell mot normalkraften: f max = µn där µ är friktionskoefficienten. Den friktionskraft som verkar innan rörelsen inleds kallas statisk friktion och den som verkar under rörelsen kallas dynamisk friktion. Det visar sig att f max är lite större än den dynamiska friktionen, men vi kommer inte göra någon distinktion under kursen. Exempel (ex 3.4 i boken ed): En kropp med massan m ligger på ett sluttande plan med friktionskoefficienten µ. Planets vinkel mot marken är α. Vid vilken vinkel börjar kroppen glida? Kraftekvationerna ställs upp koordinatvis enligt Newtons andra lag och resultatet blir att kroppen börjar glida då µ = tan α. Detta ger oss en metod att beräkna µ. 5..3 Gravitation Gravitationskraften är en kraft som verkar på avstånd. Det är en av de fyra fundamentala krafterna; den svagaste av dem. Newton insåg att samma kraft får saker att falla till marken som får månen att rotera kring jorden. Om kropp A och B har massorna M A och M B och påverkar varandra med krafterna F A och F B (som är varandras motkrafter) gäller F A = F B = G M AM B r där G 6, 67 10 11 N m /kg och kallas allmänna gravitationskonstanten. r är avståndet mellan massorna Formeln gäller för punktformiga massor. För stora kroppar kan de beräknas enligt en integral. Sfärisk-symmetriska massor kan ersättas med en punktformig massa i mitten av kroppen. Newton använde ett geometriskt resonemang för detta. Hänvisning till att läsa i boken (avsnitt 3.3.1 i nya boken): varför uppstår tyngdlöshet i en ihålig sfärisk kropp? 13
File: ant-01-7.tex 6 Mer om Newtons lagar 6.1 Tåg och vagnar Tre vagnar A, B, C med samma massa M sitter fast och dras med en kraft F i något som är fäst vid vagn 3. Vilket fäste, AB, BC eller det genom vilket kraften med storkel F verkar på C? A B C F Kraften på hela systemet är F = 3Ma. Kraften på enbart vagn A är F = Ma enligt Newtons :a lag och det är också kraften som spänner fästet. Vi kan titta på vagn och använda Newtons 3 :e lag. 6. Rep och massor En massa M är fäst vid ett rep som har massa m. Repet dras med kraft F. Vilka krafter verkar på massan? Det är ett specialfall av det tidigare problemet. Hela systemet accelererar med a, men vi måste subtrahera massan av repet för att räkna fram kraften på kroppen. Vi utför alla räkningar: Repet påverkas av kraften F = (M + m)a, och massan M verkar på repet med F 1 = Ma från andra hållet. Vi har alltså att a = (M+m)a F M+m, och F 1 = M F M+m = 6.3 Månen och jorden MF M+m M+m = Månen ramlar inte ned för att den har en hög hastighet vinkelrät mot kraften från jorden. Kraften från jorden räcker precis till för att ändra riktningen så att den fortsätter snurra runt i en cirkel. 6.4 Circkelrörelse med konstant fart När en kropp rör sig längs en cirkel med konstant fart har vi v = ωr a c = ω r = v r a c = ω r r = v r r där a c är centripetalacceleration som är riktad mod centrum. Enligt Newtons :a lag är centripetalkraften mv r r. 14
Exempel På en nöjerpark finns en roterande trumma. Den accelererar upp till en viss hastighet med människor i, sedan försvinner golvet. Hur snabbt måsten den rotera för att människorna inte ska ramla ut? De relevanta storheterna är radie R, människomassa m, vinkelhastighet ω och friktionskoefficient µ mellan människa och vägg. Krafterna på personen är mg riktad nedåt, en normalkraft N ut ur väggen som pekar in mot centrum och en friktionskraft f riktad upp som hindrar människan från att glida ned. Personen glider inte, alltså måste f = mg, men vi vet att f Nµ, alltså är Nµ = mg. N är centripetalkraften, den uppfyller N = mω r. Vi har mω rµ ω ω mg g µr g µr 6.5 Hästar, pålar och klossar hästar ska dra loss klossar. W ALL KLOSS F F KLOSS F Pålen verkar på klossen med F enligt newtons 3 :e lag. 7 Fjäderkraft En ideal fjäder verkar med en kraft proportionell mot förskjutningen, F = kx där x är förskjutningen från jämviktsläget och k är en konstant som kallar fjäderkonstanten och beror på fjädern. Sambandet heter Hookes lag efter Robert Hooke som levde på 1600-talet. Om ett objekt pendlar fram och tillbaka fäst i en fjäder längs med x-axeln är enl. Newtons :a lag säger att xk = mẍ. Det är en :a ordningens diffekvation, vars lösningar spänns upp av sin ωt och cos ωt där ω = k m. ω kallas för vinkelfrekvens. Det här går att skriva om som x(t) = A cos(ωg + φ) där A är amplitud och φ kallas fas och beror på hur var i svängningen punkter startar sin rörelse. 15
File: ant-01-9.tex 8 Frl 5: Rörelsemängd 8.1 Inledande klickarfråga En vagn med väggar men inget tak rullar friktionsfritt på ett horisontellt spår. Regn faller vertikalt in i vagnen, som därmed långsamt fylls med vatten. Hur förändras vagnens fart? 1. Farten minskar, eftersom regnvattnet bromsar vagnen.. Farten ökar, eftersom det fallande regnet överför sin fart till vagnen. 3. Farten förblir oförändrad, eftersom regnet faller vertikalt och vagnen rör sig horisontellt. Rätt svar: farten minskar, eftersom vagnens massa ökar. Vagnen måste ge rörelsemängd till vattnet. 8. Definition av rörelsemängd (engelska momentum) Ett föremål med massan m rör sig med hastigheten v. Rörelsemängden p för föremålet definieras som p = mv. Enheten för rörelsemängd är kg m/s. Nu kan Newtons andra lag formuleras som F = dp, vilket var Newtons ursprungliga formulering. F = ma = m dv = d dp (mv) = Betrakta ett antal partiklar som rör sig i ett system. För partikel j blir rörelsemängden p j = m j v j = m j. Kraften på varje partikel blir då f j = dpj. Summan dr av alla krafter som verkar på partiklarna blir f j = j j dp j = d ( j p j ) = dp total Om krafterna som verkar på partiklarna delas upp i yttre krafter (utanför systemet) och inre krafter (inom systemet) och vi observerar då j f j = f j inre + fj yttre = inre yttre dp f j + f j = total j F yttre = dptotal 16
8.3 Rörelsemängd, följd 1: rörelsemängdens bevarande Antag att F yttre = 0, dvs systemet är isolerat. Det följer att dp total = 0 och därmed att p total är konstant. Det sammanfattar vi som: För ett system som inte påverkas av några yttre krafter (isolerat system), så är den totala rörelsemängden oförändrad. 8.3.1 Exempel: På skridskobanan På skridskobanan skjuter/knuffar person 1 och person, som ursprungligen står stilla, iväg från varandra. Det gäller att p fre = p 1 fre + p fre = 0 Efter att de har skjutit ifrån varandra gäller p efter = m 1 v 1 + m v Enligt bevarelselagen måste rörelsemängden bevaras, så då gäller P fre = P efter. Därmed har vi m 1 v 1 + m v = 0 En hastighet kan då lösas ut uttryckt i en annan: 8.4 Klickarfråga v = m 1 m v 1 En lastbil och en bil frontalkrockar, fastnar i varandra och hasar vidare på det isiga underlaget. För vilket av fordonen är förändringen i rörelsemängden störst under kollisionen? 1. Bilen. Lastbilen 3. Båda har samma förändring 4. Det behövs mer information Rätt svar: samma förändring. Resonemang: Rörelsemängden måste bevaras - därför kommer, vid krocken, det ena fordonet överföra en del av sin rörelsemängd till den andra. Förändringen är därför (storleksmässigt) samma för båda fordonen. 8.5 Rörelsemängd, följd : Definition av masscentrum Den totala rörelsemängden kan räknas ut genom r total = j p j = j m j v j = m j dr j = d ( j m j r j ) Definiera masscentrum R cm av systemet som j R cm := m jr j M 17
där M = j m j är systemets totala massa. Då får vi och p total = M dr CM F yttre = M d R CM Vi kallar R CM för systemets masscentrum eller tyngdpunkt. Vi har just skrivit om Newtons andra lag uttryckt i masscentrum: För alla kroppar kan vi i kraftekvationer räkna som om hela kroppen befinner sig i masscentrum, dvs vi kan ersätta ickepunktformiga massor med en punktformig massa i dess centrum. Vi ser speciellt att: Om F yttre = 0 gäller dr CM konstant. Uttryckt i ord: Om inga yttre krafter verkar på ett system rör sig masscentrum rätlinjigt med konstant hastighet. 8.6 Klickarfråga Personerna A och B står på varsin vagn och kastar bollar. Vagnarna befinner sig från början i vila på horisontellt friktionsfritt underlag. Person A kastar sina bollar åt vänster mot en vägg fastsatt på vagnen och de studsar elastiskt. Person B kastar sina bollar åt höger. Hur kommer vagnarna röra sig? 1. A åker åt höger och B åt vänster. Båda åker åt vänster 3. A är stilla; B åker åt vänster 4. Ingen rör sig Rätt svar: båda åker åt vänster. Resonemang: tänk på system A som att en boll lämnar vagnen åt höger. Därför måste det bete sig likadant som system B. Ett populärt alternativ var också att A skulle vara stilla, därför att man vid kastandet av bollen får en rörelse åt höger och vid studsen får man en rörelse åt höger, så att dessa tar ut varandra. Detta är emellertid fel. Misstaget man gör är att eftersom tåget har en intial rörelse åt höger, så kommer bollen ha en högre hastighet relativt tåget vid studsen och det är denna extra hastighet som tar ut tågets rörelse åt höger. Annorlunda uttryckt: Rörelsemängden måste bevaras i det koordinatsystem som rör sig åt höger i tågets initiala hastighet, som inte är samma som markens system! 8.7 Hur hittar man masscentrum? Vid betraktandet av ett antal partiklar definierande vi systemets masscentrum som R CM = 1 m j r j M där M = j m j. Nu vill vi definiera masscentrum för en kropp. Om vi delar in den i masselement δm kommer vi få samma uttryck som ovan. Gör vi en oändligt fin indelning får vi en integral: R CM = 1 rdm M j 18
Men vi vill inte integrera över massan, så vi gör en omskrivning med densitet, som vi betecknar w, och får substitutionen dm = wdv. R CM = 1 rwdv M Om kroppen är homogen, dvs densiteten konstant: R CM = w rdv = 1 rdv = 1 M V V Exempel på detta kommer nästa lektion. V V V V (x, y, z)dv 19
File: ant-01-31.tex 9 Frl 6: Forts. rörelsemängd och masscentrum samt impuls 9.1 Repetition masscentrum och räkneexempel Vi definierade masscentrum R CM för ett system med partiklar som R CM = j m ir i. Poängen var att F yttre = M d R CM. Vi generaliserade resonemanget till icke-punktformiga massor med en oändligt fin indelning av kroppen i masselement och en integration över dessa för att få kroppens masscentrum. För tredimensionella kroppar får man då en volymsintegral (tre led) av en funktion av positionsvektorn (tre komponenter), dvs nio integrationer. I vanliga fall behöver vi inte beräkna masscentrum med multipelintegral - vi betraktar föremål som är symmetriska i alla led utom ett. Ex en symmetrisk vas behöver man bara integrera längs symmetrilinjen (z-led). 9.1.1 Masscentrum för en rätvinklig triangel - två dimensioner Här följer ett exempel i två dimensioner - fyra integrationer. Uppgiften går att lösa enkelt med geometriskt resonemang, men här kommer en lösning med integration, för att demonstrera förfarandet vid integration i flera dimensioner. Problem: Vi betraktar en triangel med rät vinkel i origo och höjden a (i y-led) och basen b (i x-led). Var är dess masscentrum? Eftersom det är en D-figur gör vi en areaintegral: R CM = 1 rda = 1 ( ) (x, y)dy dx A A A Vi behöver först hitta integrationsgränserna. Området begränsas av y-axeln, x-axeln och linjen y = a b x + a. Vi sätter integrationsgränserna så att integrationsgränsen i y-led beror av x - därför ska vi integrera över y-led först. Integralen blir alltså: ( 1 b ) a b x+a (x, y)dy dx A Integration av första vektorkomponenten, x: Inre integralen: integration över y: a b x+a 0 Yttre integralen: integration över x: b 0 ( ax b 0 0 (x, y)dy = [xy] a b x+a 0 = ax b + ax ) ] b + ax dx = [ ax3 3b + ax = ab 0 3 + ab = ab 6 Integration av andra vektorkomponenten, y: 0
b 0 Inre integralen: integration över y: a b x+a 0 [ yb ydy = ] a b x+a Yttre integralen: integration över x: 0 = 1 ( a x b ) + a a x b ( 1 a x ) [ b + a a x a x 3 dx = b 3b + xa a x ] b = 1 ( a ) b b 0 3 + ba a b = a b 6 Slutsats: Vi har beräknat integraluttryckets x- och y-koordinat och vi har arean för triangeln: A = ab. Det ger oss: R CM = 1 ( ) ab A 6, a b = ( ) ( ab 6 ab 6, a b a = 6 3, b ) 3 Masscentrum är alltså i ( a 3, b 3 ), medianernas skärningspunkt. 9.1. Konstellation med klossar och fjäder - en dimension och variabelbyte I bland kan det vara fördelaktigt med ett variabelbyte. I följande problem betraktar vi ett system i rörelse, där vi söker att beskriva systemets rörelse, och observerar att masscentrum rör sig med konstant hastighet. Ett byte till koordinatsystem som rör sig med masscentrum förenklar våra beräkningar. Problem: Betrakta två lika massor m i ett plan i x-led (positiv riktning åt höger), förbundna med en fjäder. Masscentrum, som då är mitt på fjädern, befinner sig vid x = 0, vänstra massan vid x 1 och högra vid x. Vid tiden t = 0 sparkar någon till den högra massan så att den får en momentan hastighet v 0. Fjädern har längd l och fjäderkonstanten k. Hur kommer systemet röra sig? Strax efter t = 0: Vänstra massan är stilla och högra massan rör sig med v 0. Därför måste masscentrum, beläget mitt mellan dem, röra sig med v0. Efter t = 0 verkar inga yttre krafter på systemet och därför måste masscentrum, X CM, röra sig med konstant hastighet. Vi har: dx CM = v 0 d X CM = 0 Byte av koordinatsystem: Välj nytt koordinatsystem x som följer med masscentrum. (Detta är ett inertialsystem eftersom masscentrum rör sig med konstant hastighet.) Vi väljer beteckningar som förut: x = 0 är vid masscentrum (konstant), vänstra massans koordinat är x 1 och högra massans koordinat är x. Vi ser att x 1 = x och att klossarnas ursprungliga hastigheter v 0,1 resp v 0, i detta system är v 0, = v 0 apostroferna indikerar annat koordinatsystem. De är inte derivator. 1
v 0,1 = v 0 Detta nya koordinatsystem, x, relaterar till det gamla, x, genom x = x v 0t Rörelsen uttryckt i nya koordinatsystemet: Fjädern kommer oscillera och påverka massorna med krafter som vi kallar F 1 respektive F. Fjäderkraften kommer vara k gånger hela förskjutningen (vilket inte är uppenbart, se resonemang nedan!). Vi betraktar systemets inre krafter, massornas krafter på fjädern, F 1 och F. Newtons andra lag: F = k(x x 1 l) = k(x 1 l) F 1 = F k(x 1 l) = md x Inför en ny vektor s för att beskriva förskjutningen av vänstra massan. s := x 1 l och skriv om ekvationen för Newtons andra lag ks = m d s och lös ut accelerationen: d s = k m s Men detta är en differentialekvation som vi vet hur vi ska lösa. Lösningarna ges av s(t) = A sin ωt + B cos ωt k där ω = m. Bivillkor: Vid t = 0 är förskjutningen 0 och hastigheten v 0,1 = v0 : s(0) = 0 B = 0 s (0) = v 0 Aω = v 0 A = v 0 ω Lösning Vänstra massan rör sig alltså enligt s(0) = v 0 sin ωt ω k m. I prim-koordinatsystemet x kommer vi få en oscil- med vinkelfrekvensen ω = lerande rörelse av massorna in/ut från masscentrum. I det ursprungliga koordinatsystemet x får vi denna rörelse plus en translation åt höger med konstanta hastigheten v 0.
9.1.3 Formel för dubbel fjäderoscillation Det nämndes inte på lektion, men hur kom vi fram till den formel vi använde för fjäderkraften ovan? Freddies resonemang följer. En fjäder oscillerar med klossar i båda ändarna, inte nödvändigtvis lika tunga. Inga yttre krafter verkar på systemet och därför rör sig masscentrum med konstant hastighet. Vi står i koordinatsystemet som rör sig med masscentrum i origo (ett inertialsystem). Oscillationen kommer ha en fixpunkt i masscentrum (annars skulle masscentrum förskjutas och det vet vi att det inte gör). Tidigare har vi betraktat fjäderoscillation med en fixpunkt i ena änden och i andra änden oscillerande massa. Då ges fjäderkraften som bekant av F = k x (där x är fjäderns förskjutning från viloläget). Oscillerande massor i båda ändarna är ett nytt scenario och vi måste resonera oss fram till en formel för detta. Vi vet att denna oscillation har en fixpunkt och kan därför reducera detta scenario till det bekanta: Vi väljer att betrakta fjädern som uppdelad i två vid fixpunkten, x = 0. Vi kommer då ha krafter på massorna som ges av k gånger fjäderändarnas/massornas respektive förskjutning från sina vilolägen (vilolägena är ju konstanta i detta koordinatsystem). So far, so good, men man får inte begå misstaget att tro att detta är alla krafter. Våra två sub-system är ju inte isolerade: vid fixpunkten finns spännkraft åt båda hållen. (Att de inte är isolerade kan man också inse genom att deras masscentrum accelererar.) Systemens interna fjäderkrafter överförs tydligen från det ena systemet till det andra, så den totala fjäderkrafter måste vara summan av de interna. Om vi har förskjutningarna x 1 och x, kommer den totala kraften vara F = k( x 1 + x ). Alltså, en fjäder som oscillerar med vikter i båda ändarna kommer ha sin fixpunkt i masscentrum och påverka massorna med fjäderkraft av storlek F = k x, där x är längdförändringen av hela fjädern. 9. Impuls 9..1 Inledande klickarfråga Du släpper en 1 kg sten från 5 m höjd. Vilken kraft har stenen på marken när den landar? 1. 5 N. 10 N 3. 50 N 4. 50 N 5. Inte möjligt att avgöra ur den givna informationen. Rätt svar: Inte möjligt att avgöra (första gången det är rätt!). Vi saknar inbromsningstiden eller något som skulle kunna leda oss till den, ex inbromsningssträckan. Det är en impuls som stoppar rörelsen. Lärdomen här är att inte förväxla kraft med impuls. 9.. Definition av impuls Newtons andra lag kan skrivas som F = dp 3
t 0 F (t ) = dp = p(t) p(0) Denna integral, kraften med avseende på tiden, kallas impuls. (I äldre notation (och ofta på Wikipedia) kallas rörelsemängd för impuls, men så säger vi inte längre.) Detta samband, impulsen är förändringen i rörelsemängd, kallas impulslagen. 9..3 Exempel En person med massa M hoppar från en höjd h ned till marken. Hen är i luften tiden t f (f=fall) och kommer upp i hastigheten v 0. Inbromsningen (från kontakt till marken till det att man har stannat) tar tiden t b (b=broms) under vilken personens tyngdpunkt sjunker s i höjdled. Antag att hens bromskraft F konstant under inbromsningen (förenkling). Vi söker F (h, s). Vi har konstant kraft så integralen är enkel, en multiplikation: F t b = Mv 0 Accelerationen antogs vara konstant under inbromsningen, så medelhastigheten är v 0 : s = v 0 t b och vi kan lösa ut inbromsningstiden: t b = s v 0 Därmed kan vi lösa ut kraften från ekvationen för impulsen: F = M v 0 = Mv 0 t b s Vi tar fram t f analogt med t b och får ett uttryck för v 0 : Alltså v 0 = gt f = g h v 0 v 0 = gh F = Mv 0 s = Mgh s Exempel: En person hoppar från 1 m höjd. Antag att hen böjer mycket på benen och sjunker ned 0,5 m. Då blir kraften Mg. Antag nu att hen hoppar väldigt stelt och bara sjunker ned 1 cm. Då blir kraften 100 Mg. Det senare alternativet är inte rekommenderat. 9..4 Pingisbollen och bowlingklotet En pingisboll och ett bowlingklot kommer farande mot dig, med samma rörelsemängd. Du använder samma kraft för att stanna var och en av dem. Hur jämför sig tiden som krävs för att stanna dem? 1. Pingisbollen tar längre tid 4
. Samma 3. Pingisbollen tar kortare tid Rätt svar: samma tid - de har ju samma rörelsemängd och det är allt som är relevant. Hur jämför sig inbromsningssträckan? 1. Pingisbollen rör sig kortare. Samma 3. Pingisbollen rör sig längre Rätt svar: Pingisbollen rör sig längre. Inbromsningstiden är ju samma, men pingisbollen rör sig snabbare initialt, så den behöver en längre inbromsningssträcka. Nästa vecka (hela): arbete och energi. 5
File: ant-0-03.tex 10 Administrativt Examination på de 4 första kategorierna. Efternamn L ska examineras av David. Redovisa problem muntligt efter förberedelse på vit tavla inför examinatorn. Två godkända betyg, godkänd och väl godkänd. För att bli väl godkänd ska det framgå att man har förstått något, inte bara rabblar utantill. För att bedöma om du är godkänd eller väl godkänd kan examinatorn ställa en följdfråga. Se lappen med kunskapsmål. Ett slupas ur varje kategori. Examinationen är 40% av slutbetyget. 11 Arbete och energi, del I 11.1 Arbete Arbete kommer vi ihåg från gymnasiet: om en kälke flyttas horisontellt från en punkt a till en punkt b med avstånd b a = s och kraft F vars horisontella komponent är F, definieras arbetet som W ab = F s = F s Arbete har enheten Joule, betecknat J och kan skrivas i SI-enheter som Newtonmeter, 1J = 1Nm. Vi kan generalisera definitionen av arbete. Antag att kraften inte är konstant, utan beror på position. Vi rör oss i en dimension. En partikel flyttas från punkte a till punkten b genom att en kraft F (x) (beror på position) verkar på den. Då definieras arbetet genom W ab = b a F (x)dx (1) Nu antar vi att F (x) är den resulterande kraften. Det kan vi göra för att det är rörelse i en dimension. Sedan använder vi Newtons :a lag och skriver om F (x) som. Då har vi m d v W ab = m b a t(b) t(a) F (x)dx = dv v = m m b a t(b) m dv dx = () dv t(a) = ( ) vt(b) v t(a) Sammanfattningsvis kom vi fram till något som heter arbete-energi-teoremet. Det formuleras som W ab = K b K a där K a = mv är den kinetiska energin vid tidpunkten a. 6
11. Exempel Betrakta ett objekt som faller mot vertikalt mot marken. En kropp befinner sig i koordinaten z = h med en startfart v 0 riktad nedåt. Vi vill enkelt räkna ut farten v mark när kroppen når marken. Det är bara F g med storlek mg som verkar på kroppen. Arbete-energi-teoremet säger att mv mark mv 0 Om v 0 = 0, får vi att v mark = gh. = 0 11.3 Klickarfråga - jord och bil h F dz = mg ( h) = mgh En bil accelererar från stillastående. Hur ändras jordens rörelsemängd? Svaret är att den ändras lika mycket som jorden. Det ser vi för att jorden och bilen utgör ett slutet system vars totala rörelsemängd inte ändras. 11.4 Klickarfråga - jord och bil II En bil accelererar från stillastående. Hur ändras jordens energi? Den ändras inte lika mycket som bilens. Det ser vi genom att skriva jordens energiskillnad som m(v jord ) den gamla. 11.5 Exempel m(v jord) där v jord är den nya hastigheten och v jord är Vi skjuter iväg en projektil m från jordens yta och struntar i luftmotstånd. Projektilen skjuts iväg från höjd a = R jord med hastighet v 0 och vi tittar på den igen i en punkt med höjd b = R 1 där den har hastighet v 1. AE-teormet säger att 1/(mv 1 v 0) = Kraften är en konstant gånger 1 r. Fortsätter: R1 R1 R1 R jord F dr F dr = K R jord r dr ( 1 = K 1 ) R jord R 1 R jord 1 Konstanten K är GM jord m där G är gravitationskonstanten, M jord är jordens massa och m är föremålets massa. Om vi antar att v 1 = 0 har vi v0 ( 1 = GM jord 1 ) R jord R 1 Flyttar runt för att lösa ut R 1 och får R 1 = 1 1 R v 0 (3) jord GM jord 7
Problemet går såklart att lösa även utan AE-teoremet. Vi kan använda Newtons :a lag, lösa differentialekvationen för position av tid och tolka lösningen. Här blev räkningarna enklare, men resultatet gav inte lika mycket information om banan av objektet uttryckt i tid. Grovt skissat med newtons lagar har vi d r(t) = A r(t) vilken har lösningar r(t) = Bt + C log t för konstanter A, B, C. Vi kan också tolka ekvation 3. Nämnaren blir 0 om v 0 = jorden blir det v 0 1.1 10 4 m/s. Detta kallas flykthastigheten. GMjord R jord. För just 11.6 Generalisering av arbete till fler dimensioner Igen rör sig ett objekt längs någon bana r som börjar i r a och slutar i r b. Vid varje punkt påverkas föremålet av en kraft F (r) som beror på r. Komponenten av F som verkar i samma riktning som banan är F dr. Integralen från ekvation 1 ser nu ut såhär: W ab = b Vi försöker använda samma resonemang som i ekvation : a F (r) dr (4) W ab =... variabelbyten, algebra... = K b K a (5) Det finns en komplikation: om vi ska använda AE-teoremet i fler dimensioner som vi använde det i 1 dimension, behöver vi veta vilken bana objektet rör sig med. Men när man känner till det har man redan löst problemet. Som tur så är väldigt många praktiska vektorfält konservativa och kan använda sig av fundamentalsatsen för linjeintegraler. Sats 1. Krafter som kan uttryckas på formen är konservativa. Bevis. Vi räknar b a f(r) r dr = F (r) = f(r) r b a W ab = b a F (r) dr = f(r) r (drr + rdθ θ) = b a f(r)dr vilket är en 1-dimensionell integral som bara beror på r och inte kan vara vägberoende. Nästa gång definieras potentiell energi. 8
File: ant-0-05.tex 1 Frl 8: Forts. arbete och energi Onsdag 5 februari, kl 10-1. 1.1 Repetition: Definition arbete En partikel rör sig i rummet längs en positionsvektor r, från punkt a till punkt b. En kraft F verkar på partikeln längs banan. W ab = b a F dr Om F är den resulterande kraften som verkar på partikeln, kan vi visa att arbeteenergi-teoremet gäller. Nettoarbetet W ab ges av W ab = K b K a Men för att använda beräkna W ab i arbete-energi-teoremet behöver vi känna till vägen, vilket vi ofta inte gör. För s.k. konservativa kraftfält behöver vi inte det. 1. Repetition: Konservativa kraftfält Ett konservativt kraftfält är sådant att arbetsintegralen endast beror på kurvans ändpunkter. Ett central-kraftfält är ett som kan skrivas på formen F (r) = f(r) r dvs en skalär funktion gånger en radiell enhetsvektor. Vi visade: Centralkrafter är konservativa. 1.3 Klickarfråga Ett kraftfält med krafter symmetriskt pekande ut från origo, med ökande magnitud längre bort från origo - är det konservativt? Svar: ja, eftersom det är en centralkraft. 1.4 Potential För konservativa kraftfält definierar vi den potentiella energifunktionen (potentialen) U(r) U(r b ) U(r a ) = b a F dr = b a F dr Det är en kurvintegral, eftersom vi måste gå längs någon kurva, men eftersom det är ett konservativt kraftfält, spelar det ingen roll vilket. Av denna anledning kan man också välja att skriva en vanlig integral i stället för en kurvintegral. Observera att vi har definerat potentialen genom en differens, inom valda gränser. Vi kan också göra följande mer abstrakta definition, med en indefinit integral: U(r) = F dr 9
I denna primitiva funktion får man själv välja konstant - dvs var man sätter sin nollnivå, U = 0. 1.5 Exempel: homogent gravitationsfält Vi betraktar ett (approximativt) homogent kraftfält, jordens gravitation vid markytan. Vi inför en basvektor k pekandes uppåt. Då ges kraften av F = mg k. U(r) = F dr = mg 1.6 Mekanisk energi Arbete-energi-teoremet säger: Om F (r) konservativt: Detta ger ( k b a b a ) + dyĵ + dz k dxî = mg dz = mgz + C F dr = K b K a F dr = U b + U a K b + U b = K a + U a Definition Total mekanisk energi E := K + U. För ett system som endast påverkas av konservativa kraftfält är den mekaniska energin bevarad. Alltså E a = E b. OBS: Detta är inte samma sak som den totala energins bevarande. 1.7 Klickarfråga Kalles stöddiga lillasyster Lisa bestämmer sig för att kasta en boll dubbelt så högt som sin bror. Hur mycket större utgångsfart än sin bror måste hon ge bollen? (a) Ca 1,5 ggr så stor (15) (b) Ca dubbelt så stor (10) (c) Ca 4 ggr så stor (16) (d) Inget av ovanstående (5) Rätt svar (a), ggr så stor. För att komma upp i dubbla lägesenergin när bollen vänder (och därmed komma dubbelt så högt) behövs också dubbla initiala rörelseenergin. K Lisa = K Kalle mv Lisa = mv Kalle v Lisa = v Kalle Om man antager att Lisas arm är ungefär lika lång som Kalles, hur mycket starkare måste hon vara för att bollen ska komma dubbelt så högt? 30
(a) Ca 1,5 ggr så stark (9) (b) Ca dubbelt så stark (31) (c) Ca 4 ggr så stark (8) (d) Inget av ovanstående (1) Rätt svar (b), ggr så stor. När hon kastar bollen ska den nå dubbla potentialen U i höjdled. Alltså behöver hon en dubbelt så stor kraft eftersom det är ett linjärt förhållande: U(x) = F dx. Alternativt resonemang: Hon behöver utveckla dubbla kinetiska energin och därmed utföra ett dubbelt så stort arbete. Det är också ett linjärt förhållande: W ab = h 0 F dx. Ett felaktigt resonemang är följande: Hon behöver ge bollen gånger rörelsemängden, så därför krävs gånger kraften. Det blir fel, eftersom man förväxlar kraft och impuls. Förändringen i rörelsemängden ges av impulsen och Lisas kraft kanske inte verkar under samma tid. I själva verket ser vi, då vi vet från energiresonemanget att hon behövde dubbla kraften, att hennes kraft verkar under 1 av tiden (om vi antar att kraften är konstant). p = I = F t = F t 1.8 Gravitationspotentialen Vi betraktar en himlakropp med massan M. Vi har en annan mindre himlakropp på avståndet r med massan m. Positiv riktning för basvektorn r är från den stora till den lilla himlakroppen. Vi har en gravitationskraft F som verkar på den lilla himlakroppen. Kraften ges av: F (r) = f(r) r = G mm r r Potentialen ges då av: U(r) = F dr = f(r)dr = = GmM 1 r dr = = GmM 1 r + C Integrationen ger oss som vanligt en konstant - var vi sätter vår nollnivå. Vi väljer att sätta nollnivån för potentialen i oändligheten, vilket man ofta gör. Välj U( ) = 0 C = 0. U(r) = GmM r Potentialen är då omvänt proportionell mot negativa avståndet; den går från till 0. (Rita en graf är bra - det hjälper en att kontrollera sina resultat.) Vi provar i stället att låta nollnivån vara vid markytan på den stora himlakroppen. Låt R beteckna stora himlakroppens radie. Välj U(R) = 0 C = GmM R. U(r) = GmM r 31 + GmM R
Då får vi en förskjutning av grafen i höjdled. Dvs den går fortfarande från, men växer och närmar sig asymptotiskt GmM R. Hur ska vi tolka det? Potentialen, relativt markytan, kan alltså inte bli större än så. 1.9 Klickarfråga x Fråga 1 Diagrammet visar gravitationspotentialen vid månen. Nollnivån är vald vid månens yta. Ett föremål skjuts rakt upp från månens yta med energin E och når då höjden h innan den vänder. Vad händer om samma föremål skjuts ut med energin E? Från potential-sträcka-diagrammet framgår att E > GmM R. Rätt svar: Det återvänder inte och fortsätter i väg bort från månen i oändligheten. Fel svar: Den stannar i oändligheten. Det framgick från diagramet att energin, med vilken föremålet sköts iväg, var större än GmM R. Vi har att mekaniska energin E total = K(r) + U(r), där r är avståndet från månen. Men E total > U(r) r = K(r) > 0 r Dvs föremålet kommer alltid ha kvar rörelseenergi och kommer därmed inte stanna. Om ursprungliga energin hade varit exakt GmM R hade föremålet stannat i oändligheten. Vi har alltså hittat flykthastigheten igen, som vi gjorde förra föreläsningen, fast då med ett resonemang kring arbete. Fråga Föremålet skjuts upp med halva energin, vad händer? Den vänder innan den når höjden h/. Eftersom potentialen är omvänt proportionell mot negativa avståndet. Det innebär att, vilket också syns tydligt i potentialdiagrammet, att en halvering av energin innebär mindre än halva avståndet. 1.10 Flykthastigheten igen Denna gång med användande av kinetisk energi: K flykt = U( ) = GmM R mv flykt v flykt = Vilket är samma formel som vi nådde förut. = GmM R GM 1.11 Potential för fjäderkraft (Harmonisk oscillatorpotential) Vi betraktar en fjäder på horisontalt plan, men koordinatsystem x. Fjädern är i jämvikt vid x = 0. I ena änden är fjädern fast; i andra änden sitter massan m. Vi vet från Hookes lag att fjäderkraften ges av F (x) = kx. U(x) = F (x)dx = k 3 R xdx = kx + C
Välj U(0) = 0 C = 0, vilket ger U(x) = kx 33
File: ant-0-07.tex Anteckningar från 7 februari 014. 1.1 Mer administrativt 4 frågor slumpas ut från de 4 första kunskapsmålen. Examinatorn meddelar direkt efter examinationen vilket betyg studenten har uppnått. 1.13 Repetetition av de senaste föreläsningarna Vi har definierat arbete utfört av kraftfält på partikel då den förflyttas från en punkt a till b. De definierades som b a F (r)dr. Vi har bevisat Arbete-Energi-teoremet som säger att nettoarbetet W ab utfört av kraftfältet från a till b är W ab = K b K a - skillnaden i kinetisk energi. Om F är konservativ, dvs att arbetet inte beror på vägen, bara vilka punkter partikeln rör sig mellan kan arbetsintegralen skrivas som b a F dr = U b + U a och U x kan väljas på ett entydigt sätt upp till en konstant. I fallet med konservativt kraftfält har vi visat att en partikels totala energi E = U +K alltid är bevarad. 13 Friktion, potentialer och kollisioner 13.1 Stabila och instabila punkter med potentialer Antag att en potentialfunktion är given i ett visst problem. Vi antar att problemet har 1 dimension. Vi har alltså en graf mellan x och U(x). Hur kan vi få reda på kraften i en viss punkt? Från definitionen som integral är kraften negativa derivatan av potentialfunktionen. Dvs kraften verkar på så sätt att partikeln hamnar i en grop (lokalt minimum) av potentialen. Betrakta extrempunkterna till potentialen. Dessa punkter kallas för jämviktspunkter. I dessa punkter är kraften 0 och partikeln kan befinna sig i vila. Definition. En punkt x är ett jämviktsläge om du dx = 0. Jämviktslägen kan vara stabila eller instabila. Stabila jämviktslägen är lokala minima, instabila inte är lokala minima (en terasspunkt är instabil). I ett stabilt jämviktsläge kommer en kropp tillbaka till jämviktsläget om dess position ändras. 34