Formelamlg tll Geodetk och fotogrammetrk mätg- och beräkgtekk Vero 015-03-04 Geodetk och fotogrammetrk mätg- och beräkgtekk by Latmäteret m.fl. lceed uder a Creatve Commo Erkäade-Ickekommerell-Igaearbetgar 3.0 Uported Lcee.
1. Jordmodeller E ellp bekrv med hjälp av de två axlara a och b elgt: a b 1 där a är halva toraxel och b är halva lllaxel (e Fgur 1.1. Rotataoellpode bekrv då elgt: a b 1 där, och är gva ett koordatytem med orgo rotataoellpode (ellpodk jordmodell mttpukt (dv. ett geocetrkt kartekt koordatytem, e Fgur 1.1. (1.1 (1. Fgur 1.1. Rotatoellpod med axlara a och b., och utgör ett geocetrkt kartekt koordatytem. vplattge (f på rotatoellpode är deferat om: a b f (1.3 a Sambad för att traformera mella ett färkt koordatytem och ett geocetrkt kartekt koordatytem: ( R h co co ( R h ( R h co (1.4 där R är jordrade (ka approxmera tll 6 370 000 m, φ är färk lattud, λ är färk logtud och h är höjd över färe.
Omvät ambad defera elgt: R h ta ta (1.5 Sambadet för att traformera mella ett geografkt koordatytem (lattud (φ logtud (λ och höjd över ellpode (h och ett geocetrkt kartekt koordatytem är: (1 ( co ( co co ( h e N h N h N (1.6 där N är tvärkrökgrade och e är de förta excetrctete. Dea båda parametrar betäm av ellpode form och defera om: ( 1 e a N f f e (1.7 Det vera ambadet mella karteka koordater och geografka koordater ge av följade formelambad: N p h ae p e ae co co 1 ta ta 3 3 (1.8 där 1 ta,och e p p 1.1. vtådberäkgar Eukldkt avtåd: ( ( ( E d (1.9
Sfärkt avtåd (e beteckgar Fgur 1.: d R (1.10 co, co, co, co(,, (1.11, där R är jordrade (ka approxmera tll 6 370 000 m och ψ är bågavtådet.. Kartprojektoer Fgur 1.. Sfärkt avtåd (d. Omräkg av färka koordater tll koordater Mercator projektoe (N, E: N R l ta 4 E R där färk lattud (φ och färk logtud (λ age radaer. (.1 3. Höjdytem För koverterg mella olka höjdytem aväd: h = höjde över ellpode, H = höjde över geode, och N = geodhöjd. H h N (3.1 Sambad mella höjde över ellpode SWEREF99, geodhöjde SWEN08_RH000 och höjde över havet RH 000 är: H h N (3. RH 000 SWEREF 99 SWEN 08_ RH 000
4. Koordattraformatoer Helmerttraformato (lkformg traformato två dmeoer ge av (e beteckgar Fgur 4.1: E N E N där m är kalfaktor och R är de tvådmeoella rotatomatre. 0 0 E mr (4.1 N Fgur 4.1. Helmerttraformato. De tvådmeoella rotatomatre R är e fukto av vrdge α och defera om: co R (4. co Om ma aväder uttrycket för rotatomatre R formel 4.1 erhåll följade ambad för Helmerttraformatoe: E E E m co N m 0 N N E m N m co 0 (4.3
5. Mätutrutg Sambad mella våglägd (λ, utbredghatghet (c och frekve (f för elektromagetka vågor: Utbredghatghete, c, beräka elgt: c (5.1 f c 0 (5. c där c 0 är ljuhatghete vacuum (,997945810 8 m/ och är brytgdex. Lägdberäkg med mpultrumet: där t är gågtde. d c t 0 (5.3 Lägdberäkg med faklladmätg: d N (5.4 där N är atalet hela våglägder och Δλ är de mot fakllade varade dele av e hel våglägd. Gvet frå faräkare är fakllade, varar mot dea fakllad blr då:, och de reterade dele av e våglägd om (5.5 Det adra mometet är att betämma atalet hela våglägder (N. Om v ekvato (5.4 ätter λ/=u och Δλ/=R, å får v: d NU R (5.6 U kalla ockå för ehetlägd och hela atalet hela våglägder ka beräka om v mäter lägde med olka frekveer. V får då: f : f : d N U R 1 1 1 1 d N U R f : d NU R (5.7 Ekvatoytemet ka löa geom att välja f 1 å att U 1 alltd är törre ä de mätta träcka. Då är N 1 =0 och de förta ekvatoe är d=r 1, och v har e etydg lög av träcka d. Löge begräa dock av upplöge famätge.
6. Mätmetoder Formel för e oreterad rktg mella puktera och lyder: E E E arcta( arcta( N N N där ma måte hålla reda på vlke kvadrat rktge lgger. Formel för avtåd har uteedet: (6.1 d ( N N ( E E N E (6. olär mätg Koordatberäkg vd polär mätg ker elgt följade (e Fgur 6.1: N N d co( (6.3 E E d ( akåtobjekt Imätt/utatt detalj d Statopukt Fgur 6.1. olär mätg Ibdg Koordatberäkg vd bdg med följade förutättgar (e Fgur 6.: Gvet: N, E = koordater för pukte N, E = koordater för pukte Mätt: d d = avtådet mella och = avtådet mella och Sökt: N, E = koordater för pukte Fgur 6.. Ibdg
eräka med följade formelambad: co d d d d d = + N E N d co (6.4 E d vvägg Grudprcpe vd avvägg formulera om (e Fgur 6.3: F h h F (6.5 Mätrktg vläg bakåt = vläg framåt = F Höjdkllad h Fgur 6.3. Grudprcpe vd avvägg. Trgoometrk höjdmätg De kompletta formel för trgoometrk höjdmätg mella puktera och lyder (e Fgur 6.4: l z (1 0.14 H H H ( h h l co z (6.6 R där H är höjdkllad och H beteckar höjd. De ta terme är korrektoe för jordkrökg och refrakto. R (jorde krökgrade varerar beroede på var ma befer g på jorde; Sverge ka R ätta tll 6 390 km.
Sgal h h l *co z z l h Itrumet Fgur 6.4. Trgoometrk höjdmätg. 6.1 reaformel rea av e polygo (a där koordatera är käda för begrägpuktera och där begrägljera mella puktera är räta ljer beräka elgt formel: 1 a N ( E E (6.7 1 1 1 där N = N-koordat för e brytpukt på polygoe E = E-koordat för e brytpukt på polygoe, och är atalet brytpukter. Obervera att puktera ka umrera medol (medur ordg (e Fgur 6.5. Fgur 6.5. uktumrerg vd areaformel. Obervera att ta pukte (här 4 ockå får beteckge oll och att förta pukte ockå får beteckge +1 (här 5, där är atalet brytpukter. Detta är ett krav för att dexe formel 6.6 ka bl korrekta.
7 Mätoäkerhet och mta kvadratberäkgar 7.1 Mätoäkerhet Stadardoäkerhete e ekld mätg l e mätere är detamma om tadardavvkele: där l är medeltalet 1 1 u( l u ( l l v ( 1 1 ( 1 1 l (7.1 1 l 1 (7. är atalet mätgar och 1 atalet överbetämgar. v beäm förbättrg. Ett vktat medeltal beräka om: p l p l... p l l p l p 1 1 / p1 p... p 1 1 (7.3 där p beteckar repektve mätg vkt. Motvarghete tll tadardavvkele beäm vktehete tadardoäkerhet och beräka elgt: 1 1 u p l l p v ( 1 1 1 1 (7.4 ur vlke de eklda mätge tadardoäkerhet ka beräka om: u( l u / p (7.5 Sammalagd tadardoäkerhet är e tllämpg av lage om fortplatg av mätoäkerhet på formel: Dea lag lyder: x f ( l, l, l,... (7.6 1 3 u ( xˆ c u ( l c u ( l c u ( l... (7.7 c 1 1 3 3 x De partella dervatora c beäm kälghetfaktorer. Idexet c tår för combed. l Tllämpg av fortplatglage ger följade formler för beräkg av (det ekla medeltalet tadardoäkerhet: och det vktade medeltalet tadardoäkerhet: Utvdgad mätoäkerhet beräka om: u( l u( l / u / (7.8 u( l u / p (7.9 1 95 95 U ( xˆ k u( xˆ (7.10 (för kattge ˆx. k 95 är täckgfaktor och 95 täckggrade %.
7. Mta-kvadratutjämg med matrer Ivere tll e *-matr beräka elgt: 1 b11 b1 1 b b1 b b b b b b b b 1 11 1 1 1 11 Obervatoekvatoera vd elemetutjämg formulera om: (7.11 xˆ l v (7.1 xˆ l v xˆ l v 11 1m 1 1 1 1 m m där (*m är koeffcetmatre, om ager ambadet mella tycke mätgar l och m tycke obekata, om katta av ˆx. Vektor v ehåller förbättrgara. Geom att löa ormalekvatoera: där T beteckar matre beteckar vktmatre: T T xˆ l (7.13 : trapoat, erhåll mta-kvadratkattgara: T -1 T x ˆ ( l (7.14 (7.15 0 11 0 om, lkom ehetmatre, är e dagoalmatr, där p. Vktehete tadardoäkerhet ge av (jfr 7.4: och kattgara vara-kovaramatr av: u T v v m ˆ ˆ ˆ u ( x1 u( x1, xm T -1 xˆ u u( xˆ, ˆ ˆ m x1 u ( xm Skattgara korrelato ka mäta med (jfr 7.3: (7.16 Q ( (7.17 u( xˆ, ˆ ( ˆ, ˆ x j u x x j j u ( xˆ u ( xˆ u( xˆ ( ˆ u x j (7.18 och tadardoäkerhete för e (ljär fukto ˆ fx av de obekata ge av: j u ( fxˆ fq T ˆ u T -1 T xf f( f (7.19
7.3 Regreo och korrelato Ljär regreo går ut på att apaa e rät lje (e Fgur 7.1: y a bx (7.0 tll parva mätdata två erer. Obervera att v här aväder matematka deftoer på x och y. y y = a + bx a x Grudformel (8.1 ger ekvatoytemet: Fgur 7.1. Ljär regreo 1 x1 y1 v1 aˆ bˆ 1 x y v (7.1 Utfrå detta ka ma eda beräka kattgara på parametrara a och b, oäkerhetmått etc. på edvalgt maér. Det f dock ett bättre ätt, e eda. Kovarae mella två mäterer: u( x, y 1 ( x x( y y 1 (7. mäter grade av amvarato. Korrelatokoeffcete är e ormerad kovara, ett tal mella -1 och +1, om beräka om (jfr 7.18: xy 1 ( x x( y y ( x x ( y y 1 1 (7.3 Med hjälp av dea torhet ka formel för ljär regreo krva om tll: uy ( y y xy ( x x (7.4 ux ( om edat utyttjar medeltale ( x, y, tadardavvkelera ( u( x, u( y amt korrelatokoeffcete. Ljeapage är megfull bara om 0,7 (grov tumregel. xy xy
7.4 Jämförele med termolog matematk tattk GUM-termer lage om fortplatg av mätoäkerhet medeltalet tadardoäkerhet tadardoäkerhet, u( tadardoäkerhet kvadrat, u ( överbetämgar Motvarade tradtoella termer är e tllämpg av Gau approxmatoformler medelvärdet tadardavvkele tadardavvkele vara frhetgrader