KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015

KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015 ANDRZEJ SZULKIN 1. Supremum, infimum och kontinuerlig funktioner I ppendix A3 i [PB2] definiers begreppen supremum och infimum. Där viss också tt xiomet om monoton tlföljder är ekvivlent med supremumxiomet. Vi påminner om tt en mängd M klls uppåt begränsd om det finns ett tl b sådnt tt x b för ll x M. Vrje tl b som hr denn egenskp klls en mjornt för M, och det minst v dess tl b (dvs. den minst mjornten) klls supremum v M. På motsvrnde sätt klls en mängd M nedåt begränsd om det finns ett tl sådnt tt x för ll x M, vrje tl med denn egenskp klls en minornt för M, och den störst minornten klls infimum v M. Tlet sup M kn, men behöver inte tillhör mängden M. Om sup M M, säger vi tt supremum nts eller tt M hr ett störst värde (som då är lik med sup M). Om inf M M, så säger vi på motsvrnde sätt tt infimum nts eller tt M hr ett minst värde. Exempel 1. Låt M 1 = ] 1, 1] och M 2 = [ 1, 1[. Då är sup M 1 = sup M 2 = 1 och inf M 1 = inf M 2 = 1. M 1 hr ett störst värde (som är lik med 1) men inget minst värde eftersom 1 M 1 medn 1 M 1. För M 2 är det tvärtom, 1 är minst värdet men det finns inget störst värde i M 2. Supremumxiomet säger tt vrje icke-tom uppåt begränsd mängd M R hr ett supremum (se ppendix A3 i [PB2]). Mn kn vis tt supremumxiomet är ekvivlent med påståendet tt vrje icke-tom nedåt begränsd mängd M R hr ett infimum. Vi utgår från supremumxiomet och visr tt vrje monoton funktion hr ett gränsvärde, egentligt eller oegentligt, då x +. Om M inte är uppåt begränsd, säger mn iblnd tt sup M = +. Mn sätter också inf M = om M inte är nedåt begränsd. Nedn kommer vi tt nvänd den här konventionen. Som vnligt betecknr D f definitionsmängden och V f värdemängden för en funktion f. Sts 1. Låt f vr en funktion sådn tt [, + [ D f för något (dvs. f är definierd för ll x ). Då gäller: (i) Om f är växnde, så är (ii) Om f är vtgnde, så är lim f(x) = A, där A = sup f(x). x + x D f lim f(x) = A, där A = inf f(x). x + x D f 1

2 Vi noterr tt om f inte är uppåt begränsd, så är A = + i (i) och om f inte är nedåt begränsd, är A = i (ii). Bevis. (i) Vi betrktr två fll: f uppåt begränsd och f obegränsd uppåt. Antg först tt f är uppåt begränsd. Låt ε > 0 vr givet. Eftersom A = sup f(x), är f(x) A < A + ε för ll x. Enligt definitionen v supremum finns det ett tl ω sådnt tt f(ω) > A ε (nnrs vore ju sup f(x) A ε). Eftersom f är växnde, är f(x) f(ω) > A ε då x > ω. Smmnfttningsvis: om x > ω, så är A ε < f(x) < A + ε, dvs. f(x) A < ε. Då det för vrje ε > 0 existerr ett tl ω som ovn, hr vi vist tt lim x + f(x) = A. (Noter tt ω är beroende v ε. I llmänhet behöver mn t större ω ju mindre ε är.) Antg nu tt f inte är uppåt begränsd. Då är A = +. Låt c vr ett givet (stort) tl. Eftersom f är obegränsd uppåt, existerr det ett ω sådnt tt f(ω) > c. Om x > ω, är f(x) f(ω). Alltså: för vrje c existerr ett ω sådnt tt om x > ω, så är f(x) > c. Vi hr vist tt lim x + f(x) = +. (ii) viss genom tt modifier resonemnget ovn på ett lämpligt sätt. Sts 2. Om funktionen f är kontinuerlig i det slutn och begränsde intervllet [, b], så hr f ett störst och ett minst värde där. Det här är sts 3 i ppendix C i [PB1]. Beviset nedn nvänder begreppen supremum och infimum och är betydligt enklre än i [PB1]. Att rgumentet i [PB1] är svårre beror på tt supremum och infimum inte hr definierts där. Bevis. Låt M = sup x [,b] f(x). Då är M. Enligt definitionen v supremum existerr det en tlföljd (x k ) [, b] sådn tt f(x k ) M (se uppgift 3.10 nedn). Enligt Bolzno- Weierstrss sts (lemm 2 i ppendix C i [PB1]) innehåller (x k ) en konvergent delföljd (x kj ), dvs. x kj ξ för något ξ [, b]. Eftersom f är kontinuerlig, så är lim f(x kj ) = j f(ξ), vilket ger f(ξ) = M. Alltså är M funktionens störst värde. Noter tt i efterhnd ser mn tt M < då värdet f(ξ) är ändligt. För tt vis tt f hr ett minst värde sätter vi m = ovn. inf f(x) och resonerr som x [,b] Anmärkning 1. Det är viktigt tt intervllet är slutet. Om vi hr ett öppet intervll ], b[ och gerr som i beviset ovn, så kn det händ tt x kj ξ, där ξ = eller b, men punktern och b ingår ju inte i definitionsmämgden för f. T.ex. är funktionen f(x) = tn x, x ] π/2, π/2[ kontinuerlig men eftersom M = och m =, sknr f störst och minst värde. Observer tt även funktionen f(x) = x, x ] 1, 1[ sknr störst och minst värde. Här är M = 1 och m = 1 men värden 1 och 1 nts ldrig i intervllet ] 1, 1[. Definition 1. Antg tt ] δ 0, [ D f för något δ 0 > 0. Vi säger tt lim f(x) = A om det för vrje ε > 0 existerr ett δ > 0 (δ δ 0 ) sådnt tt om δ < x <, så är f(x) A < ε. Gränsvärdet lim f(x) definiers på liknnde sätt ( δ < x < ersätts med < x < + δ). x x> x x<

Dess gränsvärden skiljer sig något från höger- och vänstergränsvärden i vsnitt 2.1 i [PB1]. Vnligtvis beteckns gränsvärden med symbolern lim f(x) och lim f(x) x x + ovsett om mn nvänder definitionen ovn eller den i [PB1]. För tt undvik smmnblndning hr vi dock infört här de något ovnlig beteckningrn lim f(x) och lim f(x). Sts 3. Låt f vr en funktion sådn tt D f innehåller en omgivning v punkten. (i) Om f är växnde, så är lim x x< f(x) = A, där A = sup x D f x< (ii) Om f är vtgnde, så är lim x x< f(x) = A, där A = inf x D f x< f(x) och lim x x> f(x) och lim x x> x x< x x> f(x) = B, där B = inf f(x). x D f x> f(x) = B, där B = sup f(x). x D f x> Bevis. Vi visr br först delen v (i) och lämnr övrig delr som övning. Låt ε > 0 vr givet. Enl. definitionen v supremum är f(x) < A + ε för ll x < och det existerr ett δ > 0 sådnt tt f( δ) > A ε. Alltså om δ < x <, så är A ε < f( δ) f(x) < A + ε. Därmed hr vi vist tt för vrje ε > 0 existerr ett δ > 0 sådnt tt om δ < x <, så är f(x) A < ε. Sts 4. En monoton funktion vrs värdemängd är ett intervll är kontinuerlig. Det här är sts 4 i ppendix C i [PB1]. Beviset finns i [PB1] men vi visr stsen ändå för tt gör viss förtydlignden. Bevis. Låt vr en punkt i definitionsmängden för f. Vi visr tt f är kontinuerlig i, dvs. tt lim x f(x) = f(). Låt f vr växnde. Eftersom f(x) f() då x < och f() f(x) då < x, måste A f() B, där A och B är som i (i) i sts 3. Om A < f(), så ntr inte f någr värden i intervllet ]A, f()[ vilket strider mot ntgndet tt V f är ett intervll. Alltså måste A = f(). På liknnde sätt ser mn tt f() = B. Så A = f() = B. Vi får lim f(x) = f() = lim f(x) vilket är detsmm som tt lim x f(x) = f(). x x< x x> För vtgnde f är beviset likdnt, bortsett från tt viss olikheter ändrr riktning. Det är inte nödvändigt tt [, + [ D f i sts 1 och inte heller tt D f innehåller en omgivning v i sts 3. I sts 1 räcker det tt D f innehåller godtyckligt stor reell tl och i sts 3 tt D f innehåller punkter som ligger godtyckligt när, både till vänster och till höger. Vi vslutr dett vsnitt med ett resultt som vi kommer tt utnyttj i vsnittet om integrler. Sts 5. Låt M 1, M 2 vr två icke-tomm delmängder v R och låt M = M 1 + M 2 = {x 1 + x 2 : x 1 M 1, x 2 M 2 }. Då är sup M = sup M 1 + sup M 2 och inf M = inf M 1 + inf M 2. 3

4 Bevis. Vi visr br det först påståendet. Antg tt M 1 och M 2 är uppåt begränsde och låt x = x 1 + x 2, där x 1 M 1 och x 2 M 2. Eftersom x 1 sup M 1 och x 2 sup M 2, är x 1 + x 2 sup M 1 + sup M 2. Dett gäller för vrje x 1 + x 2 M. Alltså är sup M sup M 1 + sup M 2. Om sup M < sup M 1 + sup M 2, så kn vi hitt x 1 och x 2 som ligger så när sup M 1 resp. sup M 2 tt sup M < x 1 +x 2. Men eftersom x 1 +x 2 M, får vi smtidigt x 1 + x 2 sup M, vilket är en motsägelse. Alltså måste sup M = sup M 1 + sup M 2. Är minst en v mängdern M 1, M 2 obegränsd uppåt, kn inte heller M vr uppåt begränsd. Alltså är sup M = sup M 1 + sup M 2 = + (vis dett i detlj). 2. Riemnnintegrlen Riemnnintegrlen definiers i vsnitt 6.1 i [PB1]. Vi skll dock nvänd en nnn definition som bygger på begreppen supremum och infimum. Låt [, b] vr ett intervll. En trppfunktion Φ definiers genom tt mn nger en indelning = x 0 < x 1 <... < x n 1 < x n = b v [, b] och sedn låter Φ(x) = c k för x k 1 < x < x k och k = 1, 2,..., n, se vsnitt 6.1 i [PB1], där dett precisers. Integrlen v Φ definers som n Φ(x) dx = c k (x k x k 1 ) (i [PB1] nvänds beteckningen I(Φ) i stället för Φ(x) dx). Mn kn, men behöver inte tilldel Φ någr värden i indelningspunktern (värden Φ(x k ) påverkr ju ändå inte värdet Φ(x) dx). Om vi förfinr indelningen, dvs. utökr ntlet indelningspunkter utn tt ändr Φ, så ändrs inte värdet v Φ(x) dx. T.ex. om vi lägger till en ny indelningspunkt x, säg melln x 0 och x 1, får vi v c 1 (x x 0 ) + c 1 (x 1 x ) + n c k (x k x k 1 ) = k=2 n c k (x k x k 1 ) eftersom (x x 0 )+(x 1 x ) = x 1 x 0. Vänsterledet ovn är lik med Φ(x) dx beräknd med hjälp v den ny indelningen (med x som extr indelningspunkt) medn högerledet är den gml Φ(x) dx. Så Φ(x) dx är väldefinierd i den mening tt den br beror på Φ och inte på vlet v indelningen. Vi kommer tt behöv följnde (intuitivt uppenbr) resultt: Hjälpsts 1. Om Φ och Ψ är trppfunktioner sådn tt Φ Ψ på [, b], så är Φ(x) dx Ψ(x) dx. Bevis. Till Φ hör en indelning v [, b] och till Ψ en nnn (indelningrn kn, men behöver inte vr identisk). Nu gör vi en ny indelning genom tt t med ll indelningspunkter, både för Φ och för Ψ. Om den ny indelningen är = x 0 < x 1 <... < x l = b, så är Φ(x) = c k och Ψ(x) = d k för x k 1 < x < x k och k = 1,..., l. Eftersom Φ Ψ, är c k d k. Det följer tt l l Φ(x) dx = c k (x k x k 1 ) d k (x k x k 1 ) = Ψ(x) dx, vilket skulle viss.

Fr.o.m. nu kommer Φ och Ψ lltid tt beteckn trppfunktioner, även när dett inte sägs explicit. Definition 2. Låt f vr en begränsd funktion på intervllet [, b]. Underintegrlen f(x) dx v f över [, b] definiers som supremum v Φ(x) dx m..p. ll trppfunktioner Φ sådn tt Φ f på [, b]. Överintegrlen f(x) dx definiers som infimum v Ψ(x) dx m..p. ll trppfunktioner Ψ sådn tt f Ψ på [, b]. Alltså är f(x) dx = sup Φ f Φ(x) dx För tt förtydlig, om vi sätter { M = och f(x) dx = inf f Ψ } Φ(x) dx : Φ f, Ψ(x) dx. så är M mängden v ll värden som Φ(x) dx kn nt för ll möjlig vl v trppfunktioner Φ f. Alltså är M en uppåt begränsd delmängd v de reell tlen och f(x) dx = sup M <. Vi noterr också tt sup M nts (dvs. sup M M) om och endst om f är en trppfunktion (tänk efter vrför). Motsvrnde gäller för Sts 6. För vrje begränsd funktion f är f(x) dx Bevis. Om Φ f Ψ på [, b], så är Φ(x) dx Ψ(x) dx enligt hjälpsts 1. Eftersom dett gäller för ll sådn Φ och Ψ, är vrje Ψ(x) dx en mjornt för mängden v ll Φ(x) dx, där Φ f. Enl. definitionen v supremum är därför sup Φ f Φ(x) dx Ψ(x) dx. Det följer tt sup Φ f Φ(x) dx är en minornt för mängden v ll Ψ(x) dx sådn tt f Ψ. Alltså är infimum v tlen i högerledet ovn större än eller lik med vänsterledet, dvs. f(x) dx = sup Φ f Vi hr vist vårt påstående. Φ(x) dx inf f Ψ Ψ(x) dx = Definition 3. En begränsd funktion f på [, b] klls integrerbr (eller Riemnnintegrerbr) över [, b] om f(x) dx = Det gemensmm värdet v under- och överintegrlen klls integrlen v f över [, b] och beteckns Hjälpsts 2. Om Φ är en trppfunktion på [, b], så är Φ(x) dx = Φ(x) dx = Φ(x) dx, dvs. Φ är integrerbr över [, b]. Bevis. Enligt definitionen är Φ(x) dx = sup Φ 1 Φ Φ 1(x) dx. Dett supremum nts för Φ 1 = Φ. Alltså är Φ(x) dx = Φ(x) dx. På liknnde sätt viss tt Φ(x) dx = Φ(x) dx. Sts 7. En begränsd funktion f på [, b] är integrerbr över [, b] om och endst om det för vrje ε > 0 existerr Φ, Ψ sådn tt Φ f Ψ på [, b] och Ψ(x) dx Φ(x) dx < ε. 5

6 Villkoret tt det för vrje ε > 0 existerr trppfunktioner Φ och Ψ som ovn är liktydigt med definitionen v integrerbrhet i [PB1] (se definition 2 i vsnitt 6.1 där). Noter tt stsens innebörd är tt f är integrerbr enligt definition 3 ovn om och endst om den är integrerbr enligt definitionen i [PB1]. Bevis. Ant först tt f är integrerbr enligt definition 3, dvs. f(x) dx = Enligt supremums definition kn vi för vrje ε > 0 hitt en trppfunktion Φ f sådn tt f(x) dx ε 2 < Φ(x) dx På smm sätt kn vi enligt infimums definition hitt en trppfunktion Ψ f för vilken Alltså är Ψ(x) dx f(x) dx Ψ(x) dx < f(x) dx + ε 2. ( Φ(x) dx < f(x) dx + ε ) ( f(x) dx ε ) = ε. 2 2 Ant nu tt det för vrje givet ε > 0 existerr Φ, Ψ sådn tt Φ f Ψ och Ψ(x) dx eller omskrivet, Φ(x) dx < ε. Eftersom f(x) dx Φ(x) dx f(x) dx Ψ(x) dx och f(x) dx f(x) dx får vi genom tt dder olikhetern ovn och nvänd sts 6 0 f(x) dx f(x) dx Ψ(x) dx Ψ(x) dx, Φ(x) dx, Φ(x) dx < ε. Så för vrje ε > 0 är 0 f(x) dx f(x) dx < ε. Men dett kn inträff enbrt om f(x) dx = Vi skll nu studer någr egenskper hos under- och överintegrler och sedn vis tt en kontinuerlig funktion är integrerbr. Vi genomför bevis för underintegrler. Läsren uppmns tt tänk igenom hur detljern ändrs för överintegrler. Sts 8. (i) Om f g på [, b], så är f(x) dx g(x) dx och f(x) dx g(x) dx. (ii) Om < c < b, så är f(x) dx = c f(x) dx+ c f(x) dx och f(x) dx = c f(x) dx+ c Bevis. (i) Om Φ f så är Φ g. Så mängden {Φ : Φ f på [, b]} är en delmängd v {Φ : Φ g på [, b]}. Det följer tt f(x) dx = sup Φ f Φ(x) dx sup Φ g Φ(x) dx = g(x) dx. (ii) Låt Φ vr en trppfunktion på [, b]. Om mn lägger till c som indelningspunkt är Φ, betrktd på intervllet [, c], en trppfunktion på [, c] och Φ, betrktd på intervllet [c, b], en trppfunktion på [c, b]. Givet 2 trppfunktioner, Φ 1 på [, c] och Φ 2 på [c, b], får

mn en trppfunktion Φ på [, b] genom tt sätt Φ(x) = Φ 1 (x) och Φ(x) = Φ 2 (x) på respektive intervll. Låt nu { c } { } M 1 = Φ(x) dx : Φ f och M 2 = Φ(x) dx : Φ f, dvs. M 1 är mängden v ll värden som c Φ(x) dx kn nt för ll möjlig vl v trppfunktioner Φ f, och motsvrnde gäller för M 2. Eftersom Φ(x) dx = c Φ(x) dx + c Φ(x) dx (tänk efter vrför), är { M = M 1 + M 2 = } Φ(x) dx : Φ f. Enligt sts 5 är sup M = sup M 1 + sup M 2. Alltså är f(x) dx = c c f(x) dx + c 7 Om vi definierr f(x) dx = 0 och f(x) dx = b f(x) dx då > b och gör motsvrnde definitioner för överintegrlen, så gäller (ii) ovn för ll, b, c, oberoende v hur de ligger i förhållnde till vrndr. Sts 9 (Integrlklkylens medelvärdessts för under- och överintegrler). Om f är kontinuerlig på [, b], så existerr ett ξ [, b] och ett η [, b] sådn tt f(x) dx = f(ξ)(b ) och f(x) dx = f(η)(b ). Bevis. Eftersom f är kontinuerlig, ntr den ett minst värde m och ett störst värde M på [, b]. Eftersom g(x) = M är en trppfunktion, är g(x) dx = g(x) dx = M(b ) enligt hjälpsts 2. Motsvrnde gäller för h(x) = m. Om vi integrerr olikheten m f(x) M, får vi lltså vilket ger m(b ) = m dx f(x) dx M dx = M(b ), m 1 f(x) dx M. b Eftersom f är kontinuerlig, ntr den ll värden melln m och M enligt stsen om mellnliggnde värden (se sts 1 i ppendix C i [PB1]). Speciellt ntr den värdet 1 b b f(x) dx i en punkt x = ξ. Så 1 b f(x) dx = f(ξ), b vilket skulle beviss. Anmärkning 2. Sts 9 gäller även om b = eller b <. Vrför? Låt f vr en kontinuerlig funktion på [, b] och definier S(x) = x f(t) dt och S(x) = x f(t) dt för x [, b]. Noter tt här är övre integrtionsgränsen x och vi betrktr den som vribel. Vi hr betecknt den oberoende vribeln för integrnden med t i stället för x för tt skilj den från övre integrtionsgränsen.

8 Sts 10 (Anlysens huvudsts för under- och överintegrler). Om funktionen f är kontinuerlig på [, b], så är funktionern S och S deriverbr och S (x) = f(x) = S (x) för < x < b. Stsen beviss exkt på smm sätt som sts 9 i kpitel 6 i [PB1]. Läs igenom beviset där och försök tt inse vrför resonemnget går igenom för under- och överintegrler. Sts 11 (Kontinuerlig funktion är integrerbr). Om f är kontinuerlig på [, b], så är f integrerbr över [, b]. Bevis. Eftersom S (x) = S (x) för < x < b enligt sts 10, så är S(x) = S(x) + C, där C är en konstnt (se följdsts 1 i vsnitt 3.5 i [PB1]). Men eftersom S() = S() = 0, måste C vr lik med 0. Så S(x) = S(x) för ll x [, b]. Dett gäller speciellt för x = b, vilket ger Därmed är stsen bevisd. f(t) dt = S(b) = S(b) = f(t) dt. Att vi hr f(t) och inte f(x) ovn spelr ingen roll, för integrlens värde är oberoende v den bokstv med vilken mn betecknr vribeln under integrtionstecken. Så f(x) dx = f(t) dt = och detsmm gäller för överintegrler och integrler. f(u) du =... Sts 12 (Insättningsformeln). Om f är kontinuerlig på [, b] och om F är en primitiv funktion för f, så är f(t) dt = F (b) F (). Dett är sts 10 i kpitel 6 i [PB1]. Eftersom vi nu vet tt kontinuerlig funktioner är integrerbr, behöver vi inte bry oss om under- och överintegrler här. Vi skll också vis tt monoton funktioner är integrerbr, ovsett om de är kontinuerlig eller ej. Sts 13. Låt f vr en funktion som är monoton på [, b]. Då är f integrerbr över [, b]. Bevis. Antg tt f är växnde (för vtgnde f är beviset likrtt och lämns åt läsren). Eftersom f() f(x) f(b) för ll x [, b], är f begränsd. Del in intervllet [, b] i n lik lång delr. Vi får = x 0 < x 1 <... < x n = b, där x k x k 1 = (b )/n. Låt Φ(x) = f(x k 1 ) och Ψ(x) = f(x k ) för x k 1 < x < x k, k = 1,..., n (rit en figur). Eftersom f är växnde, är Φ(x) = f(x k 1 ) f(x) f(x k ) = Ψ(x) för x k 1 < x < x k.

9 Alltså är Φ f Ψ. Vidre är Ψ(x) dx = n Φ(x) dx = n f(x k )(x k x k 1 ) (f(x k ) f(x k 1 )) b n n f(x k 1 )(x k x k 1 ) = b n [(f(x 1) f(x 0 )) + (f(x 2 ) f(x 1 )) +... + (f(x n ) f(x n 1 ))] = b n (f(x (b )(f(b) f()) n) f(x 0 )) =. n Låt ε > 0 vr givet. Väljer vi n tillräckligt stort, får vi Ψ(x) dx Alltså är f integrerbr enligt sts 7. Φ(x) dx = (b )(f(b) f()) n < ε. Slutligen visr vi följnde resultt: Sts 14. Låt f och g vr två begränsde funktioner på intervllet [, b]. Då gäller: (i) (f(x) + g(x)) dx f(x) dx + g(x) dx och (f(x) + g(x)) dx f(x) dx + g(x) dx. (ii) Om f och g är integrerbr, så är f+g integrerbr och (f(x)+g(x)) dx = f(x) dx+ g(x) dx. Bevis. (i) Låt Φ 1 f och Φ 2 g. Eftersom (Φ 1(x) + Φ 2 (x)) dx = Φ 1(x) dx + Φ 2(x) dx (se uppgift 3.23 nedn), får vi = sup Φ 1 f Φ 2 g f(x) dx + g(x) dx = sup Φ 1 f (Φ 1 (x) + Φ 2 (x)) dx sup Φ f+g Φ 1 (x) dx + sup Φ(x) dx = Φ 2 g Φ 2 (x) dx (f(x) + g(x) dx. Den först och den tredje likheten ovn gäller enligt definitionen v underintegrlen. Den ndr likheten följer ur sts 5. Olikheten gäller eftersom Φ 1 f, Φ 2 g medför tt Φ 1 + Φ 2 f + g, dvs. supremum till höger ts över minst lik mång funktioner som supremum till vänster. Olikheten för överintegrler viss på liknnde sätt. Vis den som övning och lägg speciellt märke till vrför olikheten går åt ndr hållet. (ii) Eftersom f och g är integrerbr, får vi från (i) (f(x) + g(x)) dx f(x) dx + (f(x) + g(x)) dx g(x) dx = f(x) dx + (f(x) + g(x)) dx. g(x) dx Den sist olikheten gäller eftersom underintegrlen lltid är mindre än eller lik med överintegrlen, se sts 6. Då vänsterledet är lik med högerledet, måste ll olikheter

10 ovn vr likheter. Alltså är f + g integrerbr och integrlen v summn är lik med summn v integrlern. Ett begrepp som är viktigt men som inte ts upp här är Riemnnsumm. Läsren hänviss till vsnitt 6.2 i [PB1]. Litterturförteckning [PB1] A. Persson och L.-C. Böiers, Anlys i en vribel, Studentlittertur 2010 (3:e upplgn). [PB2] A. Persson och L.-C. Böiers, Anlys i fler vribler, Studentlittertur 2005 (3:e upplgn).

11 3. Teoriövningr Annemrie Luger och Andrzej Szulkin x 3.1. Vis tt lim = 1 och lim x x + 1 x (x2 x) = genom tt nvänd definitionen på gränsvärde resp. oegentligt gränsvärde. 3.2. Vis: Om lim f(x) existerr, så är f begränsd för stor x, dvs. det finns ett ω x sådnt tt f är begränsd för x > ω. 3.3. Jämför följnde påstående med Sts 2 (6) i vsnitt 2.1 i [PB1]: lim(f(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x). x x x Är påståendet ovn helt korrekt? Om inte, vd är det som skns? Ge ett motexempel i så fll. 3.4. Vis tt för en föjld ( n ) n 1 gäller följnde impliktion: n då n = n då n. Gäller impliktionen åt ndr hållet? Vis den eller ge ett motexempel. Tips: Den omvänd tringelolikheten kn hjälp. 3.5. ) Vis följnde påstående: b) Är följnde påstående snt? 1 lim f(x) = = lim x x f(x) = 0. 1 lim g(x) = 0 = lim x x g(x) =. Ge ett bevis eller ett motexempel. 3.6. Formuler och bevis en motsvrighet till sts 1, sid. 1, för gränsvärdet lim f(x). x 3.7. Betrkt följnde mängder. Är de begränsde? Bestäm supremum och infimum och ifll de existerr även störst och minst värde i de ngivn mängdern. { } ) M 1 = 2 ( 1) n n : n = 1, 2, 3,... b) M 2 = { x R : x 2 < 4 } c) M 3 = { x R : x 3 8 } 3.8. Vd kn mn säg om en mängd M om mn vet tt sup M = inf M? 3.9. Vis följnde olikheter för supremum och infimum v funktioner f : R R och g : R R: sup x R (f + g)(x) sup x R f(x) + sup g(x), x R inf (f + g)(x) inf f(x) + inf g(x). x R x R x R Ge exempel på f och g för vilk olikhetern är strikt (dvs. < resp. > gäller). 3.10. Om sup M = R så finns det en föjld (x n ) n 1 med x n M sådn tt x n då n. Anmärkning: Dett är en viktig egenskp hos supremum v en mängd.

12 3.11. Vis: Om två kontinuerlig funktioner överensstämmer i ll rtionell punkter, så överensstämmer de i ll punkter, dvs. f, g : R R kontinuerlig och f(x) = g(x) för ll x Q = f g. Tips: Till vrje reellt tl x 0 finns en föjld (q n ) v rtionell tl som konvergerr mot x 0. 3.12. Ge exempel på följnde två diskontinuerlig funktioner f och g på intervllet [0, 1]: ) f(0) = 0, f(1) = 1 och f(ξ) är inte lik med 1 2 för något ξ [0, 1], b) g(0) = 0, g(1) = 1 och g ntr ll värden melln 0 och 1. Vd säger dett om stsen om mellnliggnde värden? 3.13. Ge exempel på en diskontinuerlig funktion f sådn tt D f = [0, 1] och värdemängden V f är ett intervll. Strider dett mot sts 4, sid. 3? 3.14. Ge exempel på en kontinuerlig funktion f som inte är monoton men hr en invers. Finns det sådn funktioner om definitionsmängden D f är ett intervll? 3.15. Använd derivtns definition för tt beräkn derivtor v följnde funktioner: f 1 (x) = x, f2 (x) = x 2 + 1, f 3 (x) = sin(x 2 ). 3.16. Låt g vr en begränsd funktion med definitionsmängden [ 1, 1]. Sätt f(x) = x 2 g(x). Vis tt f är deriverbr i x = 0 och f (0) = 0. 3.17. Om två deriverbr funktioner f och g definierde på intervllet [ 1, 1] vet mn följnde: f( 1) > g( 1), f(0) < g(0) och f(1) > g(1). Låt h(x) = f(x) g(x). Hur mång nollställen (minst) måste h h? Finns det säkert en punkt ξ sådn tt h (ξ) = 0? Om det gör det, måste det vr ett loklt mximum, loklt minimum eller ingetder? 3.18. Ge exempel på en funktion f som hr följnde egenskper: f är kontinuerlig på [, b], deriverbr på ], b[ utom i en punkt, i ingen punkt ξ ], b[ är f(b) f() = f (ξ)(b ). 3.19. Ge exempel på en funktion f som uppfyller ntgnden i medelvärdesstsen och för vilken det finns oändligt mång ξ sådn tt f(b) f() = f (ξ)(b ). 3.20. * Vis tt om f är två gånger deriverbr i R och f (x) > 0 för ll x, så är ntingen lim x f(x) = eller lim x f(x) =. Kn lim x f(x) =? Ge ett exempel eller vis tt dett inte kn inträff. Tips: Om f > 0, vd kn mn säg om f? 3.21. * Låt f : ]0, [ R vr en funktion som är deriverbr och lik med sin invers, dvs. f(x) = f 1 (x) för ll x > 0. Vis tt f(ξ) = ξ för något ξ > 0. Vis också tt ntingen är f (ξ) = 1 eller är f(x) = x för ll x > 0. Tips: f är strängt monoton. Vd kn mn säg om f ifll f(x) > x för något x > 0? 3.22. Låt funktionen f vr integrerbr över [, ] för något > 0. ) Vis: f är udd = b) Vis: f är jämn = c) Beräkn: π 2 π 2 f(x) dx = 0 f(x) dx = 2 ( x 2 + ln π + x ) cos x dx π x 0 f(x) dx

3.23. Vis tt om Φ och Ψ är två trppfunktioner, så är (Φ(x)+Ψ(x)) dx = Φ(x) dx+ Ψ(x) dx. 3.24. Vis tt om Φ är en trppfunktion, så är Φ(x) dx = Φ(x) dx (se hjälpsts 2, sid. 5). 3.25. Definier funktionen f genom tt sätt f(x) = 0 då x är rtionellt och f(x) = 1 då x är irrtionellt. Beräkn f(x) dx och Är f integrerbr över intervllet [0, 1]? 3.26. Vis sts 8, sid. 6 för överintegrler. 3.27. Vis nlysens huvudsts (sts 10, sid. 6) för under- och överintegrler. 3.28. Vis olikheten för överintegrler i sts 14, sid. 9. 3.29. Definier funktionern f och g genom tt sätt f(x) = 0 då x är rtionellt och f(x) = 1 då x är irrtionellt smt g(x) = 1 då x är rtionellt och g(x) = 0 då x är irrtionellt. Vis tt sträng olikheter gäller i del (i) v sts 14, sid. 9 vid integrtion över intervllet [0, 1]. 13