MATLAB-Laboration. Linjär algebra med geometri Handledare: Karim Daho IT-1 Björn Andersson Johannes Nordkvist Erik Isoniemi

Relevanta dokument

Labbrapport - Linjär algebra och geometri

5B1146 med Matlab. Laborationsr. Laborationsgrupp: Sebastian Johnson Erik Lundberg, Ann-Sofi Åhn ( endst tal1-3

Matris invers, invers linjär transformation.

SF1625 Envariabelanalys

Lösningar till linjära problem med MATLAB

Användande av formler för balk på elastiskt underlag

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna

SF1625 Envariabelanalys

MATLAB LABORATION INOM KURSEN LINJÄR ALGEBRA MED GEOMETRI

TENTAMEN. Matematik för basår I. Massimiliano Colarieti-Tosti, Niclas Hjelm & Philip Köck :00-12:00

ORTONORMERADE BASER I PLAN (2D) OCH RUMMET (3D) ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM

ORTONORMERAT KOORDINAT SYSTEM. LÄNGDEN AV EN VEKTOR. AVSTÅND MELLEN TVÅ PUNKTER. MITTPUNKT. TYNGDPUNKT. SFÄR OCH KLOT.

1 e x2. lim. x ln(1 + x) lim. 1 (1 x 2 + O(x 4 )) = lim. x 0 x 2 /2 + O(x 3 ) x 2 + O(x 4 ) = lim. 1 + O(x 2 ) = lim = x = arctan x 1

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen T Erlandsson

x = x = x = x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x = = 20 x = 65 x + 36 = 46

EGENVÄRDEN och EGENVEKTORER

Analys grundkurs B lab 1. Stefan Gustafsson Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.

Rationella uttryck. Förlängning och förkortning

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.

Vilken rät linje passar bäst till givna datapunkter?

Några integraler. Kjell Elfström. x = f 1 (y) = arcsin y. . 1 y 2 Vi låter x och y byta roller och formulerar detta resultat som en sats: cos x = 1

14. MINSTAKVADRATMETODEN

Kan det vara möjligt att med endast

Tentamen 1 i Matematik 1, HF dec 2016, kl. 8:00-12:00

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN Kravgränser 4. Del I, 8 uppgifter utan miniräknare 5. Del II, 9 uppgifter med miniräknare 8

Rätt svar (1p): u A. α β A B. u B. b) (max 3p) I början har endast puck A rörelseenergi: E AB,i = 1 2 m Av 2 A = 1 2 m Au 2 A

Tillämpning av integraler

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper

Materiens Struktur. Lösningar

Gör slag i saken! Frank Bach

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 5-7.

Analys o 3D Linjär algebra. Lektion 16.. p.1/53

Enhetsvektorer. Basvektorer i två dimensioner: Basvektorer i tre dimensioner: = i. Enhetsvektor i riktningen v: v v. Definition: Vektorprodukt

Preliminär version 2 juni 2014, reservation för fel. Tentamen i matematik. Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1

Avsnitt 3. Determinanter. Vad är en determinant? Snabbformler för små determinanter

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 8 juni 2011, Svar och lösningsförslag

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.2

Tillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning.

NATIONELLT KURSPROV I MATEMATIK KURS C VÅREN Del I, 10 uppgifter utan miniräknare 4. Del II, 8 uppgifter med miniräknare 6

Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1

TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013

Integraler och statistik

Volum av rotationskroppar. Båglängd, rotationsytor. Adams 7.1, 7.2, 7.3

9. Bestämda integraler

19 Integralkurvor, potentialer och kurvintegraler i R 2 och R 3

Exponentiella förändringar

Sidor i boken

Lösningar basuppgifter 6.1 Partikelns kinetik. Historik, grundläggande lagar och begrepp

FÖRSÄTTSBLAD TILL TENTAMEN. ELLER (fyll bara i om du saknar tentamenskod): Datum: 21 december Bordsnummer:

Derivata och integral tolkning av definitionerna med hjälp av Maxima. Per Jönsson, Malmö högskola

Lösningsförslag till tentamen i SF1683 och SF1629 (del 1) 23 oktober 2017

INLEDNING: Funktioner (=avbildningar). Beteckningar och grundbegrepp

KTH Teknikvetenskap Fotografi-lab 3

Mekanik för I, SG1109, Lösningar till problemtentamen,

Algebra. Kapitel 5 Algebra

MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR

Associativa lagen för multiplikation: (ab)c = a(bc). Kommutativa lagen för multiplikation: ab = ba.

6 Greens formel, Stokes sats och lite därtill

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL

Föreläsning 10, Numme K2, GNM Kap 6 Integraler & GNM 8:3C Richardsonextrapolation

Definition. En cirkel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till en given punkt är (*)

Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 08 13

Samling av bevis som krävs på tentan MVE465, 2018

Grundläggande matematisk statistik

Sats 3: Egenskaper. (a) (b) f(x) dx = 2 f(x) dx. (c) (Af(x) + Bg(x))dx. g(x) dx = A. (d) (e) Om a b och f(x) g(x) (f) Triangelolikheten: Om a b

Definition. En cirkel är mängden av de punkter i planet vars avstånd till en given punkt är

UPPTÄCK OCH DEFINIERA SAMBANDET MELLAN TVÅ OMRÅDEN SOM DELAS AV GRAFEN TILL EN POTENSFUNKTION

Skriv tydligt! Uppgift 1 (5p)

Lösningar till tentamen i EF för π3 och F3

TATA42: Tips inför tentan

Sammanfattning, Dag 9

Sfärisk trigonometri

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler

0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien.

LEDNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL 9. Förklaring till dragkraftens storlek är: f

Finaltävling den 20 november 2010

24 Integraler av masstyp

LÖSNINGAR TILL PROBLEM I KAPITEL 4. Masscentrums x-koordinat för den sammansatta kroppen är allmänt. 1 g1 2 g2 3 g3 4 g4.

Tentamen 1 i Matematik 1, HF1903 tisdag 8 januari 2013, kl

Tentamen ellära 92FY21 och 27

Kvalificeringstävling den 2 oktober 2007

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS

AUBER 95 9 jan LÖSNINGAR STEG 1:

Att mäta, hur mäter vi och vilka referenser använder vi?

Nautisk matematik, LNC022, Lösningar

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler

Tentamen i ETE115 Ellära och elektronik, 25/8 2015

Kontrollskrivning 3 till Diskret Matematik SF1610, för CINTE1, vt 2019 Examinator: Armin Halilovic Datum: 2 maj

Mat Grundkurs i matematik 1, del III

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...

Polynominterpolation av kontinuerliga

Frågor för tentamen EXTA50 Samhällsmätning, 9 hp, kl januari, 2015.

Mängder i R n. Funktioner från R n till R p

13 Generaliserade dubbelintegraler

Lösningsförslag till deltentamen i IM2601 Fasta tillståndets fysik. Torsdagen den 15 mars, Teoridel

TATA42: Föreläsning 11 Kurvlängd, area och volym

Transkript:

9) MTLBLbortion Linjär lgebr med geometri Hndledre: Krim Dho 2624 IT Björn ndersson Johnnes Nordkvist Erik Isoniemi MTLB är ett progrm för berbetning v mtemtisk problem. I denn rpport sk vi vis hur nvändndet v MTLB förenklr små och stor mtrisberäkningr och lösndet v linjär ekvtionssstem. MTLBkod bifogs i bilg. linjlgni.m skicks med dett dokument. Innehåll: Uppgift 3.65 )... 2 Uppgift 2 3.68)... 4 Uppgift 3 3.69 )... 6 Uppgift 4... 8 Resultt... 4 Bilg: MTLBkod... 7

29) Uppgift 3.65 ) Resultten i uppgiften sk redoviss i form v två grfer, en grf innehållnde resulttet v f) och p) smt en grf innehållnde skillnden melln f) och p), där f) 7 och p) + + 2 2 + 3 3 smt p) f); p) f); p') f'); p') f') För tt kunn plott grfen för p) behöver vi bestämm konstntern,, 2, och 3. Vi hr fr okänd konstnter och kn v ovn givn dt få frm ett ekvtionssstem med lik mång ekvtioner två från p) respektive p) smt två från p ) respektive p )). Till en börjn räkns f) och dess derivt frm med och. f) 7 f ) 7 6 f) 7 f ) 7* 6 7 f) ) 7 f ) 7*) 6 7 f) f') 7 f) f') 7 Därefter räkns p) och p') frm med och : p) + + 2 2 + 3 3 p ) + 2 2 + 3 3 2 p) + + 2 + 3 p') + 2 2 + 3 3 p) + 2 3 p') 2 2 + 3 3 Ett ekvtionssstem ställs upp med de frmräknde värden. { + + 2 + 3 + 2 2 + 3 3 7 + 2 3 2 2 + 3 3 7

39) För tt sedn få frm,, 2 och 3 skrivs ekvtionssstemet som ) 2 3 2 3 ) 2 3 ) 7 7 så tt det blir möjligt tt gusseliminer. Genom gusseliminering fås värden för,, 2 och 3.Gusselimineringen görs i MTLB där vi definerr koefficienttmtrisen som och resulttvektorn som B. Vi får då följnde sts i MTLB: \B Vilket ger ) 2 3 ) 2 3 p) 2 + 3 3 Med de resultten får mn svren på polnomet och dess derivt, nämligen p) p') 7 p) p') 7 Skillnden melln funktionern och polnomen blir då f) p) 7 2* + 3* 3 ) f) p) ) 7 2*) + 3*) 3 ) vilket visr tt p) f), p) f). Grfer rits också över polnomet p) 2 + 3 3 och funktionen f) 7, smt skillndern melln dem.

49) Uppgift 2 3.68 ) Vid produktion v kol, bensin och el förbruks energiformer enligt: För tt producer en enhet kol behövs bensin behövs el behövs enheter kol enheter bensin,,,2 enheter el,,2, Mn vill vet hur mcket kol, bensin och el som behövs för tt kunn leverer 35 enheter kol, 63 enheter bensin och 96 enheter el. Vi ser v uppgiftens formulering tt den totl åtgången v en viss energitp är summn v de mängder som förbruks smt energimänden som sk leverers. Den totl mängden kol som krävs är den mängd som leverers smt förbrukningen vid produktion v bensin och olj. De totl mängdern enhetern) bensin och el som krävs ges på smm sätt, frånsett tt dess även kräver lite v sin egen energitp för tt kunn producers. Dett ger följnde ekvtionssstem med tre ekvtioner och tre obeknt: k k + b +,e + 35 b,k +,b +,2e + 63 e,k +,2b +,e + 96 Där k är ntlet enheter kol, b ntlet enheter bensin och e ntlet enheter el som behövs. För tt gör uträkningen lättre omformulering v uttrcket för tt vi på ett lätt sätt sk kunn nvänd MTLBS funktion för gusselimintion) kn vi skriv om uttrcket: k b,e 35,k +,9b,2e 63,k,2b +,9e 96 Dett gör tt vi kn nvänd MTLBs inbggd funktion för gusseliminering. För tt tdliggör dett sätter vi in ovnstående ekvtionssstem i en totlmtris.,,,9,2, 35,2 63,9 96 I MTLB skpr vi en mtris koef och en kolumnvektor leverns. Mtrisen koef innehåller koefficientern i totlmtrisen ovn t.v. om det rk strecket) och kolumnvektorn leverns innehåller summorn t.h. om det rk strecket).

59) I MTLB skriver vi: koef [,,.;.,.9,.2;.,.2,.9]; leverns [35;63;96]; koef \ leverns å dett sätt genomförs gusseliminering. Vi erhåller en kolumnvektor innehållnde de totl mängdern v energiformern: k 5 b 2 e 5 Mn behöver 5 enheter kol, 2 enheter bensin och 5 enheter el för tt kunn leverer 35 enheter kol, 63 enheter bensin och 93 enheter el.

69) Uppgift 3 3.69 ) Vi sk finn proportionern v olik ingredienser i en deg. g deg innehåller 24, g fett, 55 g kolhdrter, 7,5 g protein och 5 kcl. Tbellen nedn visr de ingående ingrediensern och ders vrudeklrtion g/g): Fett Kolhdrt rotein Kcl Smör 8 8 Socker 4 Vetemjöl 75 35 Skummjölkspulver 5 35 4 Vi sk bestämm receptet för 5 g deg. Vi börjr med tt t red på hur de olik ingrediensern förhåller sig till degen. Dett förhållnde kn vi få frm genom ett ekvtionssstem som visr förhållndet melln de olik ingredienserns innehåll och degens innehåll vid g 8 + 2 + 3 + 4 24, + 2 + 753 + 54 55 + 2 + 3 + 354 7,5 3 + 42 + 353 + 44 5 där är mängden smör förhållnde), 2 mängden socker förhållnde), 3 mängden vetemjöl förhållnde) och 4 mängden skummjölkspulver förhållnde). Som ni ser ställer vi upp ekvtionen så vrje innehållstp t.e. fett) i degen ställs upp på vrje rd. Överst rden visr hur mcket fett degen innehåller, ndr hur mcket kolhdrter, tredje protein och fjärde kcl i förhållnde till deg). Vi överför ekvtionssstemet till en totlmtris och utför gusellimintion i MTLB). 8 8 4 75 35 5 35 4 24, 55 7,5 5 I MTLB skpr vi en mtris och en kolumnvektor B. Mtrisen innehåller ll koefficienter med smm rduppdelning som i totlmtrisen ovn. Kolumnvektorn B innehåller summorn till höger om det rk strecket i totlmtrisen ovn). Vi genomför därefter gusselimineringen genom tt skriv: \B

79) Resulttet är en kolumnvektor som ger, 2, 3 och 4.,3 2,2 3,4 4, Resulttet visr hur de olik ingredienserns mss förhåller sig till degens mss. Vi multiplicerr förhållndet med 5 g eftersom vi sökte receptet för 5 g deg.,3 5,2 5,4 2, 5 Dett ger receptet för 5 g deg: 5 g smör g socker 2 g vetemjöl 5 g skummjölkpulver

89) Uppgift 4 Figur Det först som behövde görs vr tt t frm en vektor som innehöll de ttre belstningrn, förslgsvis genom tt nvänd ekvtionssstemet i eempel.7.se Ekvtionsstem ). I denn uppgift så vr det ndr ttre lster jämfört med eemplet. I uppgiften så vr: 3 5 7 9 ll ndr krfter på nodern vr noll. Se lösning i Figur 3 Figur 2

Ekvtionss stem 99)

9) B 9 9 8 8 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 9 7 5 3 ) ) ) ) När denn vektor vr frmtgen så vr det br tt sätt mtrisen figur 5) lik med belstningsvektorn B och Gusseliminer. Då erhölls vektorn X som innehöll stångkrften på vrje element i fckverket. Det är dock br ett element i den vektorn som vr intressnt, dvs det som vr störst. För tt t frm rätt så gjordes dett i MTLB se kommentrer för mer beskrivning): p []; % Initier krftvektorn krft []; % Initier stångkrftsvektorn for ::2 B [;;;;;;;;;;;;;;;;]; % Bestäm lstvektorn \B % Gusseliminer och stopp lösningen I mkmbs)); % T ut den högst stångkrften ur vektorn p[p ]; % Lägg till I vektorn p krft[krft mk]; % lägg till högst stångkrften för dett i %vektorn krft end plot p,krft) Figur 3

9) Följnde plottning gjordes: 5 5 2 25 3 5 5 2 25 3 35 Krft Miml Stångkrft Miml stångkrftens förändring beroende på krften 2 2 Figur 5 Figur 4 7

29) 4.b e8 är en vektor v dimension 7 där den åttonde sklären är. + + ) 8 ) e b B Där B Fig3 är motsvrnde B som vi tog frm i Figur 3. 4.c Enligt frågns formulering kn vi sätt 8 ) ; e b B + För tt få ensmt multiplicerr vi med inversen till från vänster i båd leden. 8 ) 8 ) 8 ) e b e b e b + + + Vi sätter b och )e8 z z e b + + 8 ) Figur 6 Ekvtion B Fig3

39) 4.d Vid testning v olik värden på i MTLB så såg mn tt den setonde sklären i vektorn jämt är störst. För tt lös ut vilket som generr en miml stångkrft på 2 krftenheter så räcker det med tt koll på den setonde sklären i vektorn. Vi börjr med tt följ rbetsmönstret från föregående uppgift. B b + ) e8 Ekvtion 2 Multiplicerr mn ekvtion 2 från vänster med inversen till mtrisen så får mn lösningen i vänsterledet. b + ) e8 Ekvtion 3 Det vr den setonde sklären som vr intressnt så därför sklärmultiplicerdes med enhetsvektorn e6 v dimension 7. e6 b) e6+ ) e8) e6 Ekvtion 4 Sedn återstod egentligen br tt få över till vänsterledet. I ekvtion 5 hr först väntserledet och högerledet btt plts. Sedn hr först termen i högerledet subtrherts i båd led. Sedn dividerdes båd leden med de 2 sist fktorern i den ndr termen i högerledet i ekvtion 4. Efter dess beräkningr såg ekvtion 4 ut som ekvtion 5. Slutligen återstod br tt dderd till båd led så tt fick stå ensmt. e6 b) e6 ) Ekvtion 5 e8) e6 e6 b) e6 + e8) e6 Ekvtion 6 Efter insättning v värden i MTLB så erhölls följnde värde för : 72,32343559643 72,32 krftenheter

49) Resultt Uppgift p) 2 + 3 3 Uppgift 2 Mn behöver 5 enheter kol, 2 enheter bensin och 5 enheter el för tt kunn leverer 35 enheter kol, 63 enheter bensin och 93 enheter el. Uppgift 3 Receptet för 5 g deg: 5 g smör g socker 2 g vetemjöl 5 g skummjölkpulver

59) Uppgift 4 5 5 2 25 3 5 5 2 25 3 35 Krft Miml Stångkrft Miml stångkrftens förändring beroende på krften B + + ) 8 ) e b B Figur 6 B Fig3 7

69) C + z där b och z )e8 D 72,32343559643 72,32 krftenheter

79) Bilg: MTLBkod clc, cler % %Uppg % %Vi löser det med guselimintion %p),p),p')7,p')7 [,,,;,,,;,,2,3;,,2,3]; B [;;7;7]; C\B %Gusselimintion disp',,2,3)') %För tt få prdligre grf öks värdet intervllet,5 X :.5:; %Vektorer f) och p) för plottning X 2 * X + 3 * X.^3; FX X.^7; plotx, X, X, FX), legend')', 'F)') %Skillnd melln f) och p) difff FX X; figure2) plotx, difff), title'diff F) och )') % %Uppg 2 % %enligt ekvss i rpporten koef [,,.;.,.9,.2;.,.2,.9]; leverns [35;63;96]; %Utskrift v mängdern disp'totlt krävs') dispkoef\leverns) disp'kol, bensin, el') % %Uppg3 % %Känd dt sätts ingreddeklrtion [8,,,;,,75,5;,,,35;8,4,35,4]; ndelvidg [24.;55;7.5;5]; %Ingrediensförhållndet beräkns på w grm deg är...) inggredforhllnde ingreddeklrtion\ndelvidg; %receptet för 5g deg skrivs ut recept 5.* inggredforhllnde

% %Uppg 4 % cler, cler b sqrt2)/2; [ ]; ; % krften i led på nod 5 b [; ; ;; ; ; ;; ; ; ;; ; ; ;;]; % vektorn som innehåller informtion om % belstningrn på ll noder p []; krft[]; bb/; for ::3 hl [; ; ;; ; ; ;; ; ; ;; ; ; ;;]; \hl;% gusseliminering. b. p[p ];% Stopp in i en vektor som kommer tt nvänds till plottning och tbellering mkmbs));% ett uttrck som tr ut störst stångkrften ur lösningen krft[krft mk]; % stopp in miml stångkrften för vrje värde på i en vektor som kommer % tt nvänds vid plottning och tbellering end figure3) %plott stångkrften på eln och krften på eln plotp,krft,72,2,':or'),lbel'krft '),lbel'miml Stångkrft'),title'Miml stångkrftens förändring beroende på krften '); %rutnät grid on hold on disp'tbell med och tillhörnde stångkrft') [p' krft'] % Tbell med i vänstr kolumnen och stångkrften i den högr kolumnen b [; ; ;; ; ; ;; ; ; ;; ; ; ;;]; % Vektorn b då är e8 [; ; ;; ; ; ;; ; ; ;; ; ; ;;]; % enhetsvektor e8 med dimension 7 e6 [; ; ;; ; ; ;; ; ; ;; ; ; ;;]; % enhetsvektor e6 med dimension 7 89)

99) formt long 2 dotinv)*b,e6))/dotinv)*e8,e6)+ ); % ekvtion 6 i rpporten. %Ger värdet för då miml stångkrften är 2 krftenheter disp'det värde på som generr en miml stångkrft på 2 krftenheter:') disp) ndersson m.fl. Linjär lgebr med goemetri. Studentlittertur, 999.