Inre krafters resultanter

KOMIHÅG 6: --------------------------------- Torr friktion: F " µn Normalkraftens angrepp?? Risk för glidning eller stjälpning ---------------------------------- Föreläsning 7: Inre krafters resultanter 1 Figur 1 Figur 2 Problem: Två homogena rätblock, vardera med massa m, är sammanfogade med ett tunt limskikt Den sammansatta kroppen hålls i jämvikt med två vertikala (tråd-)krafter P, som angriper i de yttersta övre hörnen; se figur 1 Rätblockens dimensioner framgår av figur 2 Limskiktet påverkar de båda delkropparna På den vänstra delkroppen kan limskiktets kraftverkan representeras av en resultant Hur ser den resultanten ut? Lösning: Frilägg vänstra rätblocket, och ansätt en resultant i någon punkt på kontaktytan Totala kraften ska vara noll (kraftjämvikt), och totala momentet ska vara noll (momentjämvikt) Följaktligen (enligt mekanikens lagar) fås: I den streckade rutan ses ett kraftparsmoment, som representerar limmets kraftverkan Ett kraftparsmoment kan förflyttas till vilken reduktionspunkt som helst

Exempel 2a 2 P h (2b) A En gradvis ökning av belastningen P på lådan görs Undersök vilket villkor för friktionstalet µ som måste gälla för att den belastade lådan ska stjälpa när P växer innan glidning inträffar Lösning: Kraftanalys (dvs rita och identifiera krafter, dvs frilägg ): 2a P h A x mg N (2b) f Kraftjämvikten ger: P " f = 0 och N " mg = 0 Härur kan friktionskraften och normalkraften bestämmas f = P, N = mg Momentjämvikten: Nx " mga " Ph = 0 Härur kan x bestämmas x = a + Ph För gränsen till glidning gäller: P = µmg mg För gränsen till stjälpning, dvs x=2a, gäller: P = a h mg För att stjälpning skall inträffa först då kraften P ökar krävs: a h < µ

Jämviktsläge för flexibla system 3 Fjäderkraft: När en rak fjäder är i vila har den en längd som kallas vilolängd Om en fjäder sitter fast i ena änden och i andra änden påverkas av en dragkraft F drag ändras dess längd En ideal fjäder ändrar sin längd proportionellt mot kraftens styrka, dvs dubbelt så stor förändring av längd för dubbla kraften Sambandet mellan dragkraft och förlängning kan skrivas: F drag = k( x " L)e x, där x anger läget av den rörliga änden, L är vilolängden och k är den så kallade fjäderkonstanten som bestämmer styvheten i fjädern Vektorn e x anger förlängningsriktningen OBS: Fjäderns egen kraft är motsatt riktad dragkraften! Dvs: F fjäder = "k( x " L)e x (fjäderkraften) Ofta betecknas fjäderkraften i denna kurs med F k, där k betyder fjäderkonstanten för fjädern När den rörliga fjäderänden är i (det enda) läget x = L finns ingen kraft i fjädern

Jämviktsläge: Betrakta en massa som hänger i en fjäder med känd vilolängd L och känd fjäderkonstant k Massan påverkas av två krafter, tyngdkraften mge x (neråt i figuren) och en fjäderkraft "k( x " L)e x (uppåt) Vid jämvikt blir totala vertikala kraften noll, dvs "k(x " L) + mg = 0 Den rörliga fjäderänden befinner sig i läget x = L + mg, som även beskriver k jämviktsläget för massan Där kan massan ligga still Jämviktslägen kan vara stabila eller instabila I detta fall är jämviktsläget stabilt 4

PARTIKELKINEMATIK (rörelse) Kinematiska storheter: läge-hastighet-acceleration y 5 r! r m a v x Definitioner: hastighet : v = dr dt = r fart : v = ± v acceleration : a = d2 r dt 2 = r = v Dessutom införs Rörelsemängd: p = mv, dp Newtons 2:a lag: dt = F

Kinematik med vanliga (kartesiska) x, y, z-koordinater: Problem: Rörelsen i planet beskrivs av tidsfunktionerna x(t)= bt, y( t) = c " gt 2 / 2, där b, c och g är konstanter Bestäm hastigheten och accelerationen, samt vinkeln mellan dem Lösning: Först använder vi definitioner med hjälp av de kartesiska koordinaterna x och y ( ) = bt,c " gt 2 / 2 ( x ( t), y ( t) ) = ( b,"gt) v = ( 0,"g) r = x( t),y( t) v = ( ) a = Det är här fråga om en kaströrelse, ty accelerationen är konstant riktad neråt i (vertikal-) planet Vinkeln mellan acceleration och hastighet får man sedan ur skalärprodukten: v a = vacos" b 2 + ( gt) 2 # g#cos" g 2 t = dvs # & gt " = arccos% ( % $ b 2 + ( gt) 2 ( ' När är mellanliggande vinkel 90 grader? 6

Annat val av koordinater: 7 Problem: Låt nu rörelsen i planet beskrivas av de polära koordinaterna r (konstant) och " För likformig cirkelrörelse är "( t) = #t, där " är konstant Bestäm för denna rörelse läge, hastighet och acceleration och vinklarna mellan dessa Lösning: Vi kan nu beskriva läge-hastighet-acceleration som vektorer r = rcos" ( t),rsin" ( t) ( ) ( ) = r cos#t,sin#t ( ) = #r( $sin#t,cos#t) v = $#rsin#t,#rcos#t a = $r# 2 ( cos#t,sin#t) = $# 2 r Läge och hastighet är vinkelräta, ty r v = "r 2 (#cos"tsin"t + sin"tcos"t) = 0 medan läge och acceleration tydligen är anti-parallella Denna rörelse kallas likformig cirkelrörelse v r a

Kinematiska samband: 8 Om bara accelerationen är känd, behöver man integrera för att få hela kinematiken, dvs även läge och hastighet Vi tittar på ett par olika fall: Konstant acceleration a Problem: Hur rör sig en partikel som har accelerationen a? Lösning: Vi väljer lämpliga x, y, z axlar så att a = ( 0,"g,0) Definitionen av accelerationen a : a = dv dt säger att hastigheten v är primitiv funktion till a Dvs v = a t + konst Konstantens värde måste vara hastighetens värde då t = 0 Vi skriver v = a t + v 0 Detta är en vektorekvation Hur ser den ut i komponentform? Slutsats: Om vi vet a måste vi också veta v 0 för att fullständigt veta hastigheten vid en godtycklig tidpunkt!! Om v är känd kan vi använda definitionen v = dr dt för att bestämma läget r Hastigheten är en primitiv funktion av hastigheten: r = 1 2 a t 2 + v 0 t + konstant Konstantens värde är läget vid tidpunkten t = 0 Vi skriver: r = 1 2 a t 2 + v 0 t + r 0 Kallas kaströrelse med a = ( 0,"g,0)!

Tidsberoende acceleration 9 Problem: En partikel rör sig med accelerationsvektorn a ( t) och vet hastighet och läge vid tiden t=0, v 0 respektive r 0 Bestäm den fullständiga rörelsen r ( t) Lösning: Rörelsen i alla rummets riktningar kan bestämmas samtidigt med vektorbeteckningar Definition av acceleration utgående från hastigheten ger: { a = v } " v ( t) = a t' t # ( )dt' + v 0 0 ( ) kan Då är hastigheten känd, i princip, vid alla tidpunkter v t alltså betraktas som en känd funktion Vidare ger definitionen av hastighet utgående från läget: t t $ t' ' { v = r } " r ( t) = # v ( t' )dt' + r 0 = # & # a ( t'' )dt'' ) dt'+v 0 t + r 0 % ( 0 0 0 För en fullständigt känd rörelse behövs antingen: att r ( t) är känd, eller att v ( t) och r 0 är kända, eller att a ( t), v 0 och r 0 är kända

KOMIHÅG 7: --------------------------------- Flexibla system- jämvikt bara i jämviktslägen Kinematiska storheter: r ( t), v ( t), a ( t) Kinematiska definitioner med begynnelsevillkor ---------------------------------- Föreläsning 8: ALTERNATIVA KOORDINATSYSTEM -Cylindriska koordinatsystem De polära koordinaterna r och " kan beskriva rörelsen i ett xyplan, och z beskriver rörelsen i normalriktningen till planet radiell riktning ut från en z-axel till planet representeras av enhetsvektorn e r : e r = ( cos",sin",0) transversell riktning är den riktning partikeln rör sig om bara dess vinkelkoordinat " i planet ändras Lämplig enhetsvektor fås genom att studera förändringsvektorn de r / d" ( ) e " = de r d" = #sin",cos",0 som är en enhetsvektor Kinematiken i ett fullständigt cylindriskt system: -Läget: r = re r + ze z -Hastighet: v = r = r e r + re r + z e z = r e r + r" de r d" + z e z v = r e r + r" e " + z e z -Acceleration: a = v = r e r + r " e " + r " e " + r " e " + r" e " + z e z Men den näst sista termen kan inte stå som den är Varför? En extra räkning ger: e " = " de " d" = # " e r, så att slutligen: a = ( r " r# 2 )e r + ( r # + 2 r # )e # + z e z 10

11 Problem: Beskriv hastighet, fart och acceleration i en likformig cirkelrörelse med radie R Lösning: Cirkelbanan ligger i ett plan z = 0 Avståndet till centrum och farten är konstanta, dvs v = r e r + r" e " = R" e " Farten kan beskrivas med v = R" Enhetsvektorn e " pekar i tangentens riktning Accelerationen för all plan rörelse kan också skrivas med z = 0: a = ( r " r# 2 )e r + ( r # + 2 r # )e # Eftersom banan är cirkulär med en konstant fart försvinner en del termer Alltså a = " v 2 R e, där v = R" r Accelerationen är riktad in mot banans centrum Vi beräknar storleken av accelerationen: a = v 2 R

12 Exempel: Allmän cirkelrörelse I detta fall är inte farten längre konstant Uttrycket för hastighetsvektorn blir: v = r" e " eftersom r är noll All hastighet är transversell och i den riktningen är komponenten v = r" Accelerationen förenklas till: a = ("r# 2 )e r + ( r # )e # I detta uttryck kan vi byta ut " mot v med hjälp av likheten v = r" # Då får vi a = " v 2 & % $ r ( e r + v e ) Byter vi sedan ut ' riktningarna (radiell, transversell) till de naturliga (tangentiell, normal) riktningarna med e r "#e n och e " #e t, så får vi: a = v 2 r e n + v e t Detta uttryck för accelerationen är mycket användbart

-Naturligt koordinatsystem tangent- och normalriktning Betrakta rörelse längs ett givet spår, typ järnväg En koordinat (sträckan s) 13 Två naturliga riktningar i planet: tangentriktning och normalriktning - Hastigheten v är intimt förknippad med den momentana tangentriktningen och sträckan längs spåret Hastighetens riktningsvektor: e t = v v, där v = v = s Som en följd av dessa två saker kan hastigheten beskrivas fullständigt i det naturliga systemet: v = s e t = ve t Streckan längs spåret kan definieras ur fartens tidsberoende: Exempel: Med konstant fart v längs godtycklig bana blir den tillryggalagda sträckan: s=vt, där t är tidsintervallet

Accelerationen: Under ett kort tidsintervall kan vi betrakta rörelsen från centrum av en tangerande cirkel till banan Inför en tangerande cirkel med radie ", så att z = 0 definierar cirkelns plan Hastigheten är då tangent till cirkelbågen Vi har i detta system v = "# e #, så att v = "# I samma system beskrivs accelerationen som a = ( " # " $ 2 )e r + (" $ + 2 " $ )e $, med " = " = 0, dvs a = "# $ 2 e r + # $ e $ Byter vi ut cylinderriktningarna med de naturliga riktningarna dvs e " = e t och e r = "e n, samt använder v = "#, och v = " #, får vi i det naturliga systemet: a = v e t + v 2 " e n Exempel: Likformig cirkelrörelse Pendelrörelse: 14 För att förstå accelerationen vid likformig cirkelrörelse och vid pendelrörelse har man hjälp av den naturliga uppdelningen a = v e t + v 2 " e n -När farten (v) är konstant eller maximal (alternativt minimal) försvinner tangentkomponenten, ty då är derivatan v = 0 -När farten är noll försvinner normalkomponenten