Anlys - Are Kurvn klls Descrtes bld. Kurvns ekvtion i prmeterform är och t y(t). t (t) Vis tt (,) y stisfierr uttrycket t t y y.. Integrler och reor... Primitiv funktioner..9. Areberäkningr och tillämpningr. Primitiv funktioner till smmnstt funktioner.8 5. Tillämpningr.... 6. Areberäkningr melln två kurvor.. 7. Grfisk metoder för bestämning v integrler med digitl verktyg.. 8. Mtemtiken i historien Newton och Leibniz..8 9. Fcit Bilder: Foto, geometrisk konstruktioner och digrm v Nils-Görn Mttsson Förfttrn och Bokförlget Borken, Are -
Integrler och reor Teori Vd är en integrl? Inlednde resonemng Vi tänker oss en bil som håller en prktiskt tget konstnt hstighet på 9 km/h i,5 h. Ett hstighettiddigrm över färden ser ut som det högr digrmmet. Vi kn här enkelt besvr frågn hur långt bilen kört. Eftersom s = v t blir sträckn s = 9 km,5 h = 5 km. Vi h ser också tt denn sträck beräkns på smm sätt som ren v den rektngel som begränss v koordintlrn, grfen och den lodrät linjen t =,5. Sträckn som bilen kört motsvrs lltså v ren melln grfen och den vågrät eln. Are -
Ett nnt eempel: En elektrisk ström flyter i en ledre. Strömstyrkn är,8 A och tiden s. Hur stor lddningsmängd hr på den tiden flutit genom ett tvärsnitt v ledren? Vi ser tt dett är smm problem som det föregående. Lddningsmängden, som mäts i storheten coulomb (C) blir,8as =,8 C s = C s som motsvrs v ren under grfen. Problemet blir lite mer komplicert när funktionen inte är konstnt som den vr i de två eemplen. Om hstigheten hos ett föremål i rörelse vrierr på ett oregelbundet sätt, är problemet tt bestämm tillrygglgd sträck under ett visst tidsintervll smm som ovn, nämligen tt bestämm ren under hstighetfunktionens grf. Men vi kommer inte åt ren lik enkelt. Nednstående funktionsgrf visr hur hstigheten vrierr med tiden för ett föremål som sätts i rörelse och som efter,6 sekunder åter är still. Problemet tt bestämm förflyttningen är smm som tidigre, men här är vi hänvisde till tt bestämm ren med någon pproimtiv metod, till eempel ruträkning. Vi sk i dett vsnitt studer hur mn mtemtiskt kn beräkn ren under grfen till en känd funktion. Are -
Antg tt vi hr en funktion f() som är kontinuerlig i ett intervll b. Vi delr in intervllet melln och b i n st delintervll, vrder med längden. Vi ritr därefter in rektnglr med dess intervll som rektnglrns bser. I figuren nedn till vänster ligger dess rektnglr under kurvn genom tt tnger kurvn i en punkt eller genom tt h en hörnpunkt på kurvn. Den punkt som hör till intervll klls u, den som hör till intervll klls u osv. I figuren nedn till höger ligger dess rektnglr över kurvn genom tt tnger kurvn eller genom tt h ett hörn på kurvn. Den punkt som hör till intervll klls ö, den som hör till intervll klls ö osv. Den smmnlgd ren v ll de rektnglr som ligger under kurvn klls en undersumm till funktionen. Om ntlet intervll är 5 st blir undersummn: U = f( u ) + f( u ) + f( u ) + f( u ) + f( u5 ) Den smmnlgd ren v ll de rektnglr som ligger över kurvn klls en översumm till funktionen. Om ntlet intervll är 5 st blir översummn: Ö = f( ö ) + f( ö ) + f( ö ) + f( ö ) + f( ö5 ) Om funktionen f() är kontinuerlig kn mn bevis tt det finns ett tl I som hr egenskpen tt hur mång intervll mn än låter undersummn och översummn konstruers utifrån så gäller: U I Ö Are -
Vd är en integrl? Integrlen v en funktion på ett givet intervll b är det tl I som för ll undersummor och översummor stisfierr olikheten U I Ö övre integrtionsgräns integrnd b Integrl f()d undre integrtionsgräns Modell Beräkning v närmevärden till integrler Eempel Beräkn ett närmevärde till integrlen ( 5 ) d genom tt del intervllet i lik stor delr och gör en uppskttning v felet. Lösning Vrje intervll får längden. Alltså får vi undersummn U och översummn Ö: U=(5 (-5) ) + (5 (-) )+ + (5 (-) ) + +(5 (-) ) +(5 (-) ) + +(5 ) +(5 ) + +(5 ) + (5 ) + +(5 5 ) = Ö=(5 (-) )+(5 (-) ) + +(5 (-) )+(5 (-) ) + +(5 )+(5 ) + +(5 ) + (5 ) + +(5 ) + (5 ) = 9 5 5 Are - 5
Eftersom I ligger melln och 9 kn vi skriv I = 655 Om vi låter ett dtprogrm beräkn över- och undersummor för upp till intervll får vi följnde värden: Antl intervll Undersummn Översummn Integrlen med feluppskttning 5 79 67 58 75 679 6 7 676 5 6 7 675 6, 69, 66,7,5 65, 67,9 66,7, 65,8 67,5 66,7,9 Det verkr troligt tt I med fyr värdesiffror är 66,7 Eftersom undersummor och översummor är reor som hr smm gränsvärde så kn vi formuler hypotesen: b Om f är positiv i hel intervllet b så är f()d ren v området melln grfen till f och -eln. lik med Eempel 5 Beräkn ett närmevärde för ( 5 ) d (= ( 5) d ) genom 5 tt del intervllet i lik stor delr. Lösning I dett fll blir Ö = -65,8 och U = -67,5 och närmevärdet - 66,7,9 Om f är negtiv i hel intervllet b så är b f()d lik med ren v området melln grfen till f och -eln. 5 5 Are - 6
Modell Smbndet integrl och re Eempel Beräkn ( ) d Lösning I figuren här bredvid är funktionen y = + ritd. Aren melln kurvn och - eln i intervllet 5 är ett prllelltrpets med ren 5( + 8)/ =,5 reenheter. 5 Alltså är ( ) d =,5 5 G. Beräkn ett närmevärde till följnde integrler genom tt del in integrtionsintervllet i n lik delr och beräkn överoch undersummor. 5 ) d, n = 5. b) d, n = 5 c) e d, n = 8 G. Beräkn integrlern ) b) f ( ) d med hjälp v figurern nedn c) Are - 7
G. Beräkn ren melln kurvn f(), linjern =, = b och -eln för ) f() = och = smt b = b) f() = 5 och =,5 smt b = G. Sissi prövr ccelertion och retrdtion på sin ny bil. Digrmmet här bredvid visr ett frt-tid-digrm för bilen. ) Vilken ccelertion hde bilen under de först 5 sekundern? b) Vilken retrdtion hde bilen under de sist 5 sekundern? c) Hur långt gick bilen under de 5sekundern? G.5 Sigge rbetr vid ett kärnkrftverk. Digrmmet nedn visr vilken strålning Sigge vrit utstt för under år på denn rbetsplts. Vilken totl stråldos hr hn fått under sitt yrkesverksmm liv? G.6 Figuren visr grfen till funktionen. Beräkn värdet v integrlen (NpD ht 97) f () d. y - - Are - 8
Primitiv funktioner Teori Vd är en primitiv funktion? Inledning De metoder vi hittills hr nvänt för tt beräkn integrler blir oft omständlig och rbetsmm. I dett vsnitt kommer vi tt studer metoden med primitiv funktioner, en metod som i de flest fll är mycket snbbre och effektivre. Vi vet tt funktionen F() = hr derivtn F () = 6. Vi sk nu omvänt bestämm de funktioner som hr givn funktioner till derivtor. Som vi nyss hr settt är funktionen f() = 6 derivt till funktionen F() =. Mn säger då, tt F() = är en primitiv funktion till f() = 6. På smm sätt ser vi tt F() = 5 är en primitiv funktion till f() = 5 och tt F( () =,5 e är en primitiv funktion till f() = e. För tt övertyg sig om tt dess påståenden är snn, deriverr mn F() och visr på så sätt, tt derivtn är f(). Lägg märke till tt om det finns en primitiv funktion till en viss given funktion finns det därmed oändligt mång primitiv funktioner till denn funktion. Derivtn v en konstnt är lik med, så funktionen f() = 6 är ju derivt till eempelvis funktionern F () = + och F () = 5. Dess funktioner är lltså också primitiv funktioner till f() = 6 och skiljer sig från vrndr br med en konstnt. Funktionen F sägs vr en primitiv funktion till f om och endst om F () = f(). Om F är en primitiv funktion till f() så är även F() + C, där C är en godtycklig konstnt, en primitiv funktion till f() eftersom D[F() + C]= = F () = f(). Are - 9
Funktion Primitiv funktioner Eftersom F() = + C D( + C) = F() = + C D( + C) = + C D( F() = + C) = F() = + C D( + C) = De primitiv funktionern till f() = n, där n är ett nturligt tl, är F()= n+ +C där C är en konstnt. n+ De primitiv funktionern till f() = A n, är F()= A n+ n+ +C. Eempel Bestäm den primitiv funktionen F till f där f( ) 5 + som uppfyller villkoret F() = 5 5 Lösning F( ) C 5 Villkoret F()=/ ger /+/ 5/ + + C=/ vilket ger C=/6 5 Den sökt primitiv funktionen är F() = + - + + 6 Vi hr i eemplet ovn utnyttjt regeln: Om F() och G() är primitiv funktioner till f() och g() så är F() + G() en primitiv funktion till f() + g(). G. Bestäm smtlig primitiv funktioner till ) f() = 5 + 6 b) f() =,7,5 5 d) f() = c) f() = e) f() = ( /) f) f() = (9 ) g) f() = ( + )( ) Are -
G. Bestäm den primitiv funktion F till f som uppfyller villkoret. ) f() = och F() = b) f() = och F() = c) f() =,5 och F() =/ d) f() = / och F() = / e) f() = ( )( +) och F() = 5/6 f) f() = ( ) och F() = / G. En sten ksts rkt upp med strthstigheten m/s. Hstigheten vid tiden t s ges v funktionsuttrycket v(t) = 9,8t. Hur högt över mrken befinner sig stenen vid tiden t s om s() = m? I tbellen nedn ges de primitiv funktioner vi behöver i kurs. Funktion Primitiv funktioner eftersom Potensfunktioner f() = B, F() = B + C D(B + C) = B Eponentilfunktioner f() = B e F() = B e + C D(Be + C) = B e G. Bestäm smtlig primitiv funktioner till ) f() = c) f() = 5 b) f() = ( )( ) 5 d) f() = G.5 Bestäm den primitiv funktion F till den givn funktionen f som uppfyller det villkoret. ) f() =. F() = b) f() =,5 e,. F() = Are -
Areberäkningr och tillämpningr Teori Insättningsformeln b f ()() d F( b) F I figuren nedn hr vi ritt grfen till en kontinuerlig funktion f() i ett koordintsystem. De lodrät linjern går genom punktern (, ) och (, ). Eftersom f() ) är positiv för ll så är ren A() (det grön området) som begränss v de lodrät linjern, grfen och -eln lik med f () d. Vi ritr nu ytterligre en lodrät linje genom punkten ( +, ) som ligger ett kort stycke till höger om punkten (,). Uttrycket A(+) betyder nu ren som begränss v de lodrät linjern genom punktern (, ) och ( +, ), grfen och -eln. Denn re är det grön tillsmmns med det röd området. Differensen A( + ) A() är lltså ren v det röd området. För mycket små värden på är denn re ungefär lik med ren v en rektngel med höjden f(). Alltså är A( + ) A() f(). Are -
A()() A Vi dividerr nu båd leden med och får: A()() A f(). Det är lltså troligt ttt lim = f(). Alltså är A'() = f(). Arefunktionen A() är en speciell primitiv funktion v de oändligt mång primitiv funktionern till f(). Eftersom är en godtycklig punkt i intervllet b gäller b A(b) = f ( ) d. Smbndet melln två primitiv funktioner A() och F() är A() = F() + C där C är en konstnt. Alltså är A(b) A() = F(b) F(). Eftersom A() = får vi A(b) = F(b) F(). Uttrycket F(b) F() brukr kortfttt skrivs b F(). b Insättningsformeln lyder: d = F(b) - F() där F() är en godtycklig primitiv funktion till f(). Formeln gäller även om f() är negtiv eller byter tecken i intervllet b. b Modell f () d Eempel Beräkn () d 5 Lösning ( ) d = 5 5 = ( ) ( ) = 5 5 5 57 85 = -6/5 5 Det negtiv värdet innebär tt hel eller merprten v grfen melln = och = ligger under -eln. Kontroller med grfritnde räknre vilket som gäller. Are -
G. Beräkn integrlern ) d b) / d c) d) d d 8 e) d f) ( ) d g) ( ) d h) ( )( ) d V. Beräkn ren som innesluts v grfen till f och -eln om ) f() = ( )( 5) d) f() = 5 b) f() = ( )( + ) c) f() = (/ )( ) V. Bestäm ren v det område som begränss v kurvn och - eln. Kurvn beskrivs v formeln y =,5. Ge svret både ekt och med tre värdesiffror. e) f() = 5 + f) f() = Are -
V. Bestäm ren v det område som begränss v kurvn här bredvid och tngenten till kurvn i mimipunkten. Kurvn beskrivs v formeln y = / +. Ge svret både ekt och med tre värdesiffror. V.5 Grfern till f() och f() + bildr tillsmmns med de lodrät linjern = och = 7 ett område. Hur stort är ren v dett område? V.6 Beräkn ekt förhållndet melln de två reor som innesluts v grfen till y = / / och - eln. V.7 Figuren visr grfen till funktionen y f ( t) t 9. Låt g( ) = f ( t) dt Endst svr fordrs på nednstående uppgifter. y 5-9 -7-5 - - 5 7 9 t - -5 Are - 5
) Bestäm g b) Bestäm störst värdet v g. c) Hr funktionen g någr nollställen i intervllet 9? I så fll vilket/vilk? d) För vilk är g negtiv? (NpD ht 97) V.8 Rit kurvn till funktionen f() = 9 + smt bestäm mimi- och minimipunktern. De lodrät linjern genom =, mimi- och minimipunkten smt kurvn och -eln ger två ngränsnde områden. Beräkn förhållndet melln dess två områdens re. V.9 Grfern med ekvtionern + y = och y = + skär vrndr i punktern A och B. M är den lokl minimipunkten till prbeln. ) Beräkn koordintern för punktern A, B och M. b) Vis tt tringeln MAB är rätvinklig. c) Vis tt ren v området som begränss v de båd kurvorn är,5 gånger större än ren v tringeln MPQ. Längden v ett bord är en egenskp som kn mäts och ges ett tlvärde. Något som kn mäts eller beräkns klls en storhet. Eempel på storheter är frt, strömstyrk, tempertur, tid, mss och tryck. En storhet består v ett mätetl och en enhet. Om lrn är grderde med längdenheter (dvs sträckn melln ko-ordintern (, ) och (, ) smt sträckn melln koordintern (, ) och (, ) är vrder längdenhet) så kn ren under en kurv tt tol-ks som ett ntl reenheter där längdenhet längdenhet=reenhet. Om y-eln är grderd i storheten strömstyrk och -eln i storheten tid så kommer ren under kurvn tt representer Strömstyrk Tid = Lddning. I modulen Anlys-Volym nvänder vi tre lr och resulttet blir volymenheter. längdenhet längdenhet längdenhet = volymenhet Are - 6
V. Olj fylls på i en tnk med hstigheten f(t) l/s, där t är tiden i sekunder. Beskriv i ord vd som mens med uttrycket f () t dt = 5. V. När en fjäder drs ut är krften F N proportionell mot fjäderns förlängning m. Det gäller lltså F = k. Smbndet klls Hookes lg och konstnten k fjäderkonstnten. Beräkn det rbete som uträtts när en fjäder för vilken k = 7 N/m drs ut,8 m. V. Den elektrisk energin W(T) under ett tidsintervll t T fås ur integrlen W ()() T T P t dt där P(t) är den elektrisk effekten. En strömkäll levererde effekten P(t) = t, t 5. Hur stor energimängd omsttes under dess 5 sekunder? V. En djurpopultion väer med hstigheten (8 + ) djur/år. Vribeln är ntlet år räknt från det år då popultionen börjde studers. Då vr ntlet djur 5 st. Hur mång djur kn mn förvänt sig tt popultionen består v tio år senre? V. En motorcykel, som hr hstigheten m/s, minskr denn till m/s och håller därefter konstnt hstighet. Hstighetsminskningen sker enligt formeln v(t) = e -,t m/s. Hur långt hinner fordonet på 6 s från och med det ögonblick hstighetsminskningen börjr? V.5 En kondenstor nsluts till en strömkäll. Strömstyrkn vrierr då enligt funktionsuttrycket,e,5. Hur stor lddningsmängd lgrs i kondenstorn under s från nslutningsögonblicket? Are - 7
Primitiv funktioner till smmnstt funktioner Smmnstt funktion Den inre funktionen u() är sin Linjär cos cos Linjär sin sin(+) cos ( ) Linjär Linjär (5 ) Linjär e 5 (-7),7 Linjär Linjär, Linjär, (5 ) Linjär De primitiv funktionern blir eftersom cos( ) cos( ) sin( ) +C D[ +C]= =sin( + ) sin( ) sin( ) cos( ) +C D[ +C]= =cos( ) (5 ) (5 ) (5 ) +C D[ +C] = = (5 ) 5 e +C D[ ( 7),7, ln,,7 5 e +C] = ( 7) + C D[,7,7 +C D[, +C]= ln, e 5 = e 5,7( 7) +C]=,7 ln,, ln,,7 =, (5) (5),, ( )(ln,), +C D[ +C]= ( ) ln, ( ) ln, ( ) ln,,, Linjär ln +C D[ ln +C] = ln(8 5) +C D[ +C] = ( 5) ( 5) 8-5, >,6 Linjär ln(8 5) ( 5) ( 5)(8 5) = =( 7),7 8 5 (5) Den inre funktionen är linjär i ll ovnstående fll. Vi dividerr de primitiv funktionern med derivtn v den linjär inre funktionen för tt få de primitiv funktionern till den yttre funktionen. (5 ) =, Are - 8
G. Bestäm de primitiv funktionern till ) f() = cos + sin b) f() = cos sin i) f() = ( ) 6 sin cos j) f() = sin cos5 c) f() = k) f() = e e - d) f() = l) f() = e ( ) e) f() =. m) f() =e (e e - ) f) f() = 7, n) f() = 7 o) f() = (5 + ), g) f() = ( ) p) f() =, 8 5 h) f() = () 7 G. Bestäm den primitiv funktion till f() som uppfyller det givn villkoret. ) f() = och F() = b) f() = ( ) och F() = / c) f() = - och F(,5) = 5 d) f() = och F() = e) f() = / och F(e) = f) f() = + e - och F() = 7/ g) f() = 7 och F(9) = h) f() = där > -och F() = ln V. Bestäm funktionen F() som är en primitiv funktion till f ()(e e) och för vilken gäller tt F(ln) =. V. Bestäm funktionen F() som är en primitiv funktion till / f ()(e ) och för vilken gäller tt F() =. V.5 Bestäm en primitiv funktion till f() = 5 V.6 Bestäm konstnten k i funktionen f() = k cos + sin så tt F(/6) = F() =.. Are - 9
5 Fler tillämpningr G5. Beräkn integrlern ) sin d b) c) d) / / 6 cosd ( ) d 9 d e) () f) sin d d g) cos( / / ) d V5. Deriver ( ln ). Använd dett resultt för tt lös integrlen e ln d. V5. Beräkn integrlern nedn med ekt svr ) d. b) d. c) ( ) d. d) ( )d. V5. En spole omsluter ett mgnetiskt flöde. Flödet är en funktion v tiden enligt formeln (t) =, - sin(t) Wb. När flödet ändrs inducers i slingn en spänning e V (volt). Denn är en d funktion v tiden enligt e() t. Vrför är den inducerde dt spänningens störst värde,8π - Volt? Are -
V5.5 När en gs epnderr från volymen V till V uträttr den ett rbete W som kn beräkns med integrlen W V pdv, där p är gsens tryck. Vid konstnt tempertur gäller Boyles lg som lyder pv = C, där C är en konstnt. ) V Vis tt rbetet ges v uttrycket W C ln V vid epnsion under konstnt tempertur. b) En gs med volymen,55 m och trycket 5 kp utvidgr sig till volymen,75 m under konstnt tempertur. Beräkn det uträttde rbetet ( P = N/m ). V5.6 Spänningen över en kondenstor vid tiden t ges v uttrycket t i() t dt u() t. Strömstyrkn vid tiden t är i(t) och C kpcitnsen C. Beräkn u(t ) då i(t) = i sin(t + ), C =, F och i =, ma. V5.7 Vi vet tt jorden ttrherr ett föremål med mssn m kg med krften F = G M m, där jordens mss M = 5,977 kg, r grvittionskonstnten G = 6,67 - Nm /kg och r m vståndet från föremålet till jordens centrum. Jordrdien är 6,7 6 m. ) Vilken energi går det åt tt lyft en rket som väger,5 kg från mrken till en höjd v, m? b) Vilken hstighet måste en rket få vid strten från jordytn för tt inte fångs in v jordens tyngdkrftfält? Ledning: Rörelseenergin W kin = mv gränsvärdet r lim() r F d, R = jordens rdie. R V måste vr större än Are -
6 Beräkning v ren melln två kurvor Teori Aren melln två kurvor Antg tt vi två funktioner f() ) och g() som båd är kontinuerlig i ett intervll b. Vi önskr beräkn ren som omslutes v de båd kurvorn smt de lodrät linjern = och = b. Eftersom b ren melln kurvn f() och -eln är f ( ) d och ren melln b kurvn g() och -eln är b g ( ) d så måste den inneslutn ren b b melln kurvorn vr: f () d g ( ) d eller [ f ( ) g( )] d b Hur vet vi då tt b Bevis: Eftersom f () d så är b b b f ( ) d g ( ) d (eller [()()] f g d )? f ( ) d g ( ) d = [F(b) G(b)] [F() G()]. Eftersom F() G() är en primitiv funktion till b b b är f ()() d [()()] g d b Mn kn även vis tt: k f ()() d b c b f ()()() d f d f c b b = F(b) F() och g() d = G(b) G() f g d d b b [()()] f kf d och g d Are -
G6. Beräkn den i figuren nedn mrkerde ren, om f() = + och g() = G6. Beräkn ren v det begränsde området melln kurvorn y = och y =. G6. Beräkn ren v det begränsde området i först kvdrnten melln kurvorn y = och y =. G6. Beräkn ren v det område som begränss v vågrät eln, linjen y =, kurvn y = ( ) och linjen =. G6.5 Beräkn ren v det område som begränss v kurvorn y = och y = 5. G6.6 Hur stor re hr det område som begränss v kurvn y = sin, och den linje som går genom origo och kurvns mimipunkt? G6.7 Kurvn y = sin,, och linjen y =,5 bildr ett område. Beräkn dess re. Are -
V6.8 Beräkn ren v det skuggde området. V6.9 Beräkn smmnlgd ren v de områden som innesluts v de två utritde kurvorn. V6. Kurvorn y = e - och y = e bildr tillsmmns med linjen y = ett område. Beräkn dess re. Are -
7 Grfisk metoder för bestämning v integrler med digitl verktyg Teori Trpetsmetoden för beräkning v integrler b Om vi vill beräkn ett närmevärde till f ( ) d, så kn vi t e del in intervllet melln och b i n stycken prllelltrpetser enligt figuren nedn. Om vi kllr = och b = n+ så stämmer beteckningrn på de lodrät linjern i figuren. Det först prllelltrpetset hr sin hörn i punktern (, ), (, ), (, f( )) och (, f( )). Det ndr prllelltrpetset hr sin hörn i punktern (, ), (, ), (, f( )) och (, f( )). Det sist prllelltrpetset hr sin hörn i punktern ( n, ), ( n+, ), ( n, f( n )) och ( n+, f( n+ )). Alltså blir ren v det först prllelltrpetset: () b ( f( ) + f( )) n Alltså blir ren v det ndr prllelltrpetset: () b ( f( ) + f( )) n Are - 5
Alltså blir ren v det sist prllelltrpetset: () b n Alltså blir summn v ll prllelltrpetserns re: () b n [f( ) + f( ) + f( ) + f( n ) + f( n+ )]. Ju större värde på n vi nvänder oss v desto bättre närmevärde får vi på b f( )d ( f( n ) + f( n+ )) Digitlt kn mn finn ett stort ntl pplets (bilden är från GeoGebr-progrmmet _Anlys-77 Funktionsstudier) där mn kn vrier ntl intervll och därmed få önskd noggrnnhet på den integrlens värde. Konstntern. (=),. (=b), -, (=c) och 7.6 (=d) kn vriers med en glidre och därmed få ett stort ntl polynom upp till tredje grden. Are - 6
G7. Använd ett digitlt hjälpmedel för tt beräkn ) d b) d. G7. Om f() = sin, vd är då ) f (,) b) f ()? c) Deriver funktionen utn symbolräknre. sin G7. Om f() = e, hr en primitiv funktion,5e - (-cos - sin ) vilket värde hr då integrlen G7. Låt g() dt t sin e d ) Tolk med figur vd g() kn betyd. b) Bestäm med hjälp v din räknre ett närmevärde till g(). Endst svr fordrs. (NpD vt 99) 6 Are - 7
M temtiken i historien Newton och Leibniz Isc Newton (6-77) kom från byn Woolsthorpe i östr Englnd. Eftersom hn inte visde något större intresse för jordbruk skickdes hn till Trinity College i Cmbridge för tt studer nturvetenskp där hn träffde den mångsidige professorn i mtemtik Isc Brrow. Efter någr år återvände hn hem på grund v tt pesten härjde i Englnd. Väl hemm blommde hns fllenhet för nturvetenskp ut. Hn gjorde en mängd epokgörnde upptäckter men hde svårt för tt publicer sig. Först 687 utgv Newton Nturfilosofins mtemtisk principer. (Hn hde då återvänt till Cmbridge där hn efterträdde Brrow som mtemtikprofessor.) I dett verk behndls meknikens rörelselgr. Vidre behndlr skriften den llmänn grvittionsteorin. I och med Kopernikus heliocentrisk system uppstod problemet om vilk krfter som håller kvr plnetern i ders bnor runt solen smt, om inte jorden är världens centrum, vd som är orsken till kropprs tyngd. För tt kunn bevis grvittionslgen behövdes ny mtemtisk redskp. Newton nvände sig v begreppet fluioner i sin skrift The October 666 Trct on Fluions. Om vi hr en kurv y = f() och en rörlig punkt P på denn, så är koordintern och y beroende v tiden, t. Newtons fluioner är synonym med Leibniz symboler d dt och dy. Newton skrev i stället för d och y i stället för dy dt dt dt. Are - 8
Som så mång ndr vetenskpsmän under 6-tlet vr Newton påverkd v den mgisk trditionen. Det hr vist sig tt Newton ägnde minst lik stor tid åt lkemistisk eperiment som åt meknikens lgr. I lkemin frmlägger hn en prtikelteori som hr stor likheter med Demokritos. Atomern är hård och oföränderlig små prtiklr. Newtons och mång ndr filosofers tomteorier kom tt under 7-tlet besegr Descrtes syn på mterien som oändligt delbr. Särskilt nvändbr blev Newtons prtikelteori för kemin. Denn väer sig strk i slutet på 7- tlet tck vre frnsmnnen Lvoisiers betonnde v ekt mätningr, formuleringen v en modern grundämnesteori och lgen om mteriens oförstörbrhet. De klssisk tomteoriern kom tt vr strk änd till 8- tlets slut. I sitt verk Opticks ntr t e Newton tt det vit solljuset består v ytterst fin prtiklr. Sklden Pope hyllde Newton med följnde rder: Nture nd Nture s lws ly hid in night God sid: Let Newton be, nd ll ws light Émilie du Chtelet (76 79) Under Ludvig den XIV, som regerde 66-75, styrdes Frnkrike enväldigt. Mång människor regerde under denn tid mot vnstyret. Men det fnns ing eller få politisk idéer eller institutioner som kunde t upp kritiken. Tck vre Voltires resor till Englnd i börjn v 7-tlet kom dock mång frnsk filosofer i kontkt med Lockes smhälls-filosofi och Newtons nturvetenskp. Vi kn här observer tt enligt Voltire själv så vr det hns smbo, den mtemtiskt begåvde Émilie du Chtelet, som gjort honom uppmärksm på Newtons teorier och som skrivit merprten v ders gemensmm bok Élements de l philosophie de Newton. Are - 9
Gottfried Wilhelm von Leibniz (66-76) föddes i Leipzig där hr redn som 5-åring börjde vid universitetet. Hns fr vr professor i morlfilosofi Hn vr verksm inom filosofi och vetenskp men vr också det prktisk livets mn. Hn vr nturforskre, mtemtiker, historiker, jurist, diplomt, ämbetsmn. Under sin resor som diplomt kom Leibniz oft till Pris. Där studerde hn mtemtik och fysik för Christin Huygens. Leibniz kom tt förkst den meknistisk tomistisk världsbilden som den utformts v blnd ndr Newton. Hn kritiserde även Newtons teori om ett bsolut rum och en bsolut tid, enligt vilken rummet är en oändlig "behållre" som skulle eister även om det inte funnes någr kroppr, liksom tiden skulle eister även om världen ldrig hde skpts. I mtemtiken införde Leibniz något som hn kllde infinitesimlen d. Dett vr ett tl som inte vr noll men smtidigt mindre än vrje positivt tl. Därefter definierde hn derivtn f () till en funktion som f () = f ()() d f d. Leibniz mende tt infinitesimler är så små, bsolut sett, i jämförelse med ll ndr tl tt de kn försumms, på smm sätt som golfbollens storlek är försumbr i jämförelse med solens storlek. Begreppet infinitesiml blev ifrågstt v filosofen George Berkeley som strkt kritiserde Newtons och Leibniz syn på infinitesiml storheter. Även om infinitesimlen vr ett högst kontroversiellt begrepp så fungerde det väl i en mängd tillämpningr. Are -
Fcit G. G. ) U = + + + + = 6,6. Ö = + + + + 5 = 8,8. (U + Ö)/ = 7,6 Resultt: d 5 7, b) U =, +,, +,, +, 6, +, 8, = =,58 Ö =,, +,, +, 6, +, 8, + +, =, (U + Ö)/ =,56. Resultt: d,5 c) U = e -,5+e -,5,5+e -,5+ + e -,5,5 + e,5+ e,5,5+ e,5 + + e,5,5 = 5,59 Ö=e -,5,5 + e -,5 + + e -,5,5 + e,5 + e,5,5 + e,5 + e,5,5+ + e,5 = 9,8 (U + Ö)/ = 7,. Resultt: ) f ( ) d = 5 + 5 5 = 7,5 b) f ( ) d = (5 + 5 5 ) =,5 e d 7, c) f ( ) d = + 6 = 5 G. ) A = + (,5) = b) A= =5,5 G. 5 ) 5 m/s,7 m/s 5. b) 5 m/s 5, m/s. 55 c) [ + 5 5 + 5 5 ] m = 65 m - Are -
G.5 Totl stråldosen i msv motsvrs v ren under grfen. (65 5) Alltså blir totl stråldosen = msv = msv. ( ) G.6 f () d G. ) 6 6 F() = 6 C C 6 b) 6 F() =,5 C c) F() = C C 6 d) f() = F() = C C 6 9 e) f() = ( /) = 9 + /9; 9 F() = C C 9 9 f) f() = (9 ) = 8 8 8 8 + ; F() = C = 7 9 + + C g) f() = ( +)( ) = 9; F() = 9 C G. ) F() = C ; F() = +C = C =. Sökt primitiv funktionen är F(). b) F() C ; F() = C = Sökt primitiv funktionen är F() Are -
c) F(),5 C C ; F() = / C C. Sökt primitiv funktionen är F(). d) F() C 6 F() C C 7. 6 Den sökt primitiv funktionen är F() 7. 6 e) f() = ( )( +) = + ; F() = C ; ( )( ) F() = 5/6 ( ) C = 5 C = 6. Sökt primitiv funktionen är F() =. f) f() = ( ) = 9 6 + F() = 9 C ; ( ) F() = / 9( ) ( ) C 8 8 C C =. Sökt primitiv funktionen är F() = 9. G. Sträckn är en primitiv funktion till hstighetsfunktionen: s(t) = t,9 t + C. Villkoret tt s() = ger C =. Stenens läge vid tiden t s ges v funktionsuttrycket s(t) = t,9 t +. G. ) f() = = ; F() = + C = + C. 5 5 b) f() = = 5 5 5 ; F() = 5 5 + C = 5 + C. Are -
c) f() = d) ()() 9 9 f() = ; F() = G.5 ),5,5 f() = ; F() =,5 +C; F() = ; F( ) / C + C = + C = C = 9 + + C. Sökt primitiv funktionen är F() =., e b) F() =,5 +C =,5 e -, +C., F() =,5 e -, +C = C =,5. Sökt primitiv funktionen är F() =,5 e -, +,5. G. ) 8,8 b) / d d ( ) 8 8 c) 8 d) e) d d,89 6 5 d d 8 8 8 f) ( ) d 6 g) 7/ h) ( )() d [ 6 ](6 / ) / Are -
G.. ) Integrtionsgränsern är = och = 5. Området ligger under -eln. 5 5 7 A ( )( 5)( d 7 ) d 5 7 5 8 7 5 9/ b) f() = ( )( + ) Integrtionsgränsern är = och =. Området ligger under -eln. A = ( )( )( d ) d = 9.e. c) f() = (/ )( ) Integrtionsgränsern är = och =. Området ligger under -eln. A = 5 5 ( )( )( d ) d 6 = 5 5 9 7 / 6 6 d) f() = 5 Integrtionsgränsern är = och = 5. Området ligger under -eln. 5 A ( 5) d 5 5( ) 8 5 5 5 ( ) 5( ) 6 e) f() = 5 + Integrtionsgränsern är = och = 5. Området ligger över -eln. 5 A = (5 ) 5d = 6.e f) f() = Integrtionsgränsern är = och =. Området ligger under -eln. A ( ) d 7 / 5 5 5 Are - 5
V. Integrtionsgränsern bestäms. Vi får ekvtionen,5 - = 8 = =,, =, =. Kurvn ligger under -eln. Aren blir lik med minus integrlen från till. 5 5 A (,5 ) d 6,.e. 5 V. Kurvns mimipunkt bestäms. Derivtn y =. Ekvtionen y = = = (teckenväling + ) eller = (teckenväling +). Mimipunktens koordinter är lltså (, ) Tngenten i mimipunkten hr ekvtionen y =. Den högr integrtionsgränsen fås ur ekvtionen / + = som hr röttern, = och =. Kurvn och tngenten flytts ner två enheter. Då blir smmnfller -eln med tngenten. A = 7 = 9 = 9. V.5 Aren som begränss v f(), -eln och linjern: 7 A = ()()(7)() f d F F F begränss v f() +, -eln och linjern: 7 7 d = och ren som 7 A() () f (7) d 7() F (7)() F5 F F F Differensen blir den sökt ren: A A = 5. Resultt: Aren är 5 reenheter. 7 f () d Are - 6
V.6 Funktionens nollställen är =,, = och =. Den V.7 vänstr ren blir = ( 8) 5 Den högr ren blir 5 d 8 5 d 8 = 5 8 97 5 8 5 7 8 8 Förhållndet blir 5 5 5 ) Integrlen g() ft dt motsvrs v ren v den rektngel som bilds v koordintlrn, linjern y = 5 och t =. b) Störst värdet v g motsvrs v ren v det område i först kvdrnten som bilds v koordintlrn och grfen. Störst värdet blir + 5 =,5. c) Nollstället är det -värde för vilket restycken ovnför och nednför vågrät eln är lik stor. Då blir integrlens värde =. Det sker för = 6. d) Integrlen är negtiv för 6 < 9, det vill säg värden till höger om = 6. V.8 Mimi- och minimipunktern bestäms: f() = 9 + f () = 9 + f () = = (Teckenväling +, ger mimivärde) och = (Teckenväling +, ger minimivärde). Den vänstr ren blir ( 9 ) d 8 8.e. Are - 7
Den högr ren blir ( 9 ) d 6 8 6.e. 8 7 Det sökt förhållndet blir 6 9 V.9 Skärningspunkterns -koordinter bestäms med ekvtionen - + = som hr röttern = och =. Skärningspunktern är (, 5) och (, ). Minimipunktens - koordint bestäms med derivtn f () = som hr nollstället = (teckenväling +). Minimipunkten är (, ). Tringelns hörn ligger i A = (, ), B = (, 5) och M = (, ). Riktningskoefficientern för tringelsidorn AM och AB beräkns: k AM = ( )/( ) = och k AB = (5 )/( ) =. k AM k AB =, lltså är sidorn AM och AB kteter i en rätvinklig tringel. Kteterns längder fås med vståndsformeln: AB = och AM= (5 )(( )) ( )( ). Aren v tringeln blir =.e. Aren v området som begränss v de båd kurvorn beräkns som prllelltrpetsets re 5 (,5.e.) minus ren under kurvn som beräkns 8 med integrlen ( ) d = 6.e. Det sökt områdets re är lltså (,5 6) =,5.e. Det gäller tt,5/ =,5. Alltså är områdets re,5 gånger tringelren. V. Tnken innehåller efter sekunders påfyllning 5 liter olj. V. Arbetet fås ur integrlen,8,8 W = 7 d 7,. Resultt: Det uträttde rbetet är mj. Are - 8
V. Den omstt energimängden fås ur integrlen 5 t W t dt = 5. Resultt: Energimängden är kj. V. Antlet djur ges v uttrycket 5 + = 5 + 5 (8 ) d 8 6 = 5 + = 85. Resultt: Antlet djur förvänts vr 85 st. V. Antg tt hstighetsminskningen tr s. Då fås ekvtionen = e -, ln,5 som ger =. Tillrygglgd sträck s m, under hstighetsminskningen fås ur integrlen ln,5 ln,5,,t, ln,5, e t e s e dt,, ln,5 Återstående tid är (6 ) s och motsvrnde sträck, ln,5 (6 ) m. Den sökt sträckn är lltså [, ln,5 + (6 )] m 7 m., Resultt: Motorcykeln hinner 7 m. V.5 Lddningsmängden q mperesekunder beräkns med integrlen: q =, e,5 t dt =,,5t e,5 = (e - ) = 5,. Resultt: Lddningsmängden är 5, As G. ) f() = cos + sin ; F() = sin cos + C b) f() = cos sin ; F() = sin + cos + C sin cos c) f() = ; F() =,5 ( + cos sin) + C d) f() = =,5,5 ; F() =,5 + C. = Are - 9
e) f() = (). F() = f) f() = 7,, ; F() = 7 + C ln, ln(8 5) g) F() = 5 C h) F() = 7 () 7 i) 7 ( ) F() = C 8 j) cos sin 5 F() = C 5 k) e e e F() = C e C e l) F() = C e C m) f() = e (e e - ) = e 6 e ( ) = e 6 ; 6 e F() = C n) f() = 7 = (7),5,5,5 (7) 7 ; F() = C C 7,5,, (5 )(5 ) o) F() = C C 5, Are - + C ( ),, p) F() = C C ln, ln,, G. ) F() = C ; F() = C C =. Den sökt funktionen är F() =. () ( ) b) F() = C ; F() = / C C =. ( ) Den sökt funktionen är F() =.
c) f() = - och F(,5) = 5 F() = C C ; F(,5) = 5,5 C = 5 C = 7. Den sökt funktionen är F() = 7. d) Utn svr e) F() = ln C.F(e) = ln e C = + C = C =. Den sökt funktionen är F() = ln + e f) F() = + + C =,5 e + C. F() = 7/,5 e + C =,5 C =. Den sökt funktionen är F() =,5 e +,5 g) f() = 7 och F(9) = F() = 7 C C,5 h) V. F(9) = 9 9 C = C = 5. Den sökt funktionen är F() = 5 ln( ) F() C. F() = ln ln( ) ln C = ln( ) C =. Den sökt funktionen är F() =. f ()(e e) e e e e e e ; e e F() = C ; ln ln e e F(ln) = ln C = C = ln,5(9 /9). Den sökt primitiv e e funktionen blir F() = + ln /9 Are -
V. / / f ()(e ) e e ; F() = e / e C ; F() = e e / / C = C = e e. Den sökt primitiv funktionen blir F() = e e e e. V.5 f (),6,8,6,8() Alltså F 5 ln,6 ln,8 V.6 sin cos F() = k C F(/6) = F() = sin cos k C = k C = () sin cos k C = -/ + C = () () och () kombiners till k 9 G5. Beräkn de bestämd integrlern ) / / / / / b) cos d cos d sin sin sin() / / ( ) 6 ( ) c) ( )(d )(( ) )(5 ) 78 8 8 d) e) 6 6 ln( 9) ln d (ln 9 ln ),66 9 6 d () d() () 9 Are -
f) cos cos( cos( )) sin d g) cos( / / ) d sin( / / ),77 V5. D( ln ) = +ln = ln. Alltså blir integrlen V5. ) b) c) e e ln ln d e e ( ) = () d d. () 5 5 5 6 ( d ) d. ( ) ( ) ( ) 7 7 9 ( )( d ) d 5 5 5 5 5 5 5 Are -
d) ()() d d 5 5 5 5 5 5 5 V5.5 ) Vi skriver C p. Integrlen blir då W V V V C dv V V =C (ln V ln V ) = C ln V V b) W = C ln V = pv ln V ger det uträttde rbetet V W = 5,55 ln,75,55 J =, J. Resultt: Arbetet är kj. V5.6 Spänningen i volt vid tiden t blir t, sin() t dt u() t = 6, t t 5 =, sin() t dt cos() t = 5 t 5 sin t sin t V5.7 ) W M m d G d G M m G M m R r R r R r R W = 6,67-5,977,5 = 6, 7 6 8,7 6 6,7 R 6 8,7 6 6,7 d Resultt: Det krävs GJ. R Are -
G6. b) Denn likhet ger flykthstigheten v: d v G M R ; v mv d G M m ; R G M ; G M v. R 6,67 5,977 Hstigheten i m/s blir då: v 6 6,7 =,. Resultt: Hstigheten är, km/s. R Aren [()()]( f g d ) d 5/. e. G6. Kurvorns skärningspunkter är (, ) och (, ). Aren blir d / 6. e. G6. Kurvorns skärningspunkter är (, ) och (, ). Aren blir d /. e G6. Kurvn skär -eln i (, ) och linjen y = skär linjen = i punkten (; ). Aren v tringeln med hörn i (, ), (, ) och (, ) minus integrlen ( ) d blir den sökt ren. ( ) Aren=-( ) d 7 /.. e Are - 5
G6.5 Integrtionsgränsern bestäms med ekvtionen = 5 som hr röttern = och =. Den sökt ren blir (5( ))(8 ) d d 6 6 8 6 6 6/. e. 6 G6.6 Sinuskurvns mimipunkt hr koordintern (/; ). Ekvtionen för den linje som går genom den punkten och origo är y =. Aren beräkns med integrlen (sin) cos d G6.7 Integrtionsgränsern bestäms med ekvtionen.e.,5.e. sin =,5; = /6 [+ n ] eller = 5/6 [+ n ]. Gränsern blir = /6 och = 5/6. Aren blir 5 6 6 5 6 sin d cos 5 5 5 cos cos 6 6,685. e. 6 Are - 6
V6.8 Integrtionsgränsern bestäms med ekvtionen: sin = cos tn = = / + n Gränsern blir = / och = 5/. Aren blir 5 5 5 5 sin cos d cos sin cos sin cos sin. e. V6.9 Kurvorns skärningspunkter bestäms med ekvtionen sin = sin sin cos sin = sin (cos,5) = i) sin = = n ii) cos =,5 = / + n Vänstr ren blir cos sin sin d cos cos cos cos cos Högr ren blir cos sin sin d cos cos cos cos cos,5 reenheter. Den smmnlgd ren är / +,5 =,75 reenheter Are - 7
V6. Kurvn y = e och linjen y = skär vrndr i (ln, ) På grund v symmetrin räcker det tt beräkn ln ln e d e ln ( ) ln. Hel den sökt ren blir (ln ).e.,77.e. G7. Vi visr i ) med delintervll hur beräkningen görs. Den görs på smm sätt i b) d). Med digitl hjälpmedel går det lätt tt ök ntlet delintervll för tt få ett bättre närmevärde. Eperimenter gärn med olik n. ) För b =, = och n = blir närmevärdet på integrlen = ( ) d [( ) (,6) (,) (,8) (,) (),,8,,6 ] = 5,. (Jämför med det ekt värdet, som är = 5.) b) n = ger G7. ) f (,) =,78 b) sin f () = (ln cos) G7. sin d =,567 e G7. Låt g() dt t 6 d,87 (Korrekt värde med siffror =,8). sin ) Aren som begränss v kurvn, koordintlrn och den lodrät linjen =. b) g() dt =,5 t Are - 8