Räkneövning fri elektroner och reciprok gittret 1. Silver, Ag, hr fcc-struktur, tomnummer 47, tomvikten 17,87 u, yttre elektronkonfigurtionen 4d 1 5s 1 och densiteten 149 kg/m 3. ) Beräkn tätheten n v ledningselektroner i silver (ntl/m 3 )? b) Beräkn Fermienergin för silver (i ev)? ) Av silvers elektronkonfigurtion kn vi slut oss till tt silver vger en elektron till elektrongsen. Tätheten v ledningselektroner blir då: n = N elektron V = Z N tom V = Z m tot V N tom m tot r = Z m tom Numeriskt ger dett (med Z = 1) tt: 149 n =1 17,87 1,663 1-7 = 5,857 18 m -3 b) Fermienergin ges v: E F = h ( m 3p n) 3 Numerisk får vi då tt: E F = ( 1,5459 1-34 ) 9,1953 1-31 3p 5,857 1 8 ( ) 3 J = 8,81 1-19 J = 5,5 ev. Beräkn tillståndstätheten vid Fermiytn, D( e F ) hos silver? Ange svret i de båd enhetern J -1 m -3 respektive ev -1 tom -1. Du får nt tt silverstycket hr en mkroskopisk kubisk form vid räknndet. I en kub med volymen V = L 3 ger Schrödingerekvtionen lösningr med k i =, ± p L, ±,L, vilket betyder tt vrje tillstånd i k-rummet upptr en volym L som är V k = p 3 = 8p 3. Enligt Puliprincipen kn vi endst h två elektroner L V per tillstånd i k-rummet (en med spinn upp och en med spinn ner). Betrkt en sfär med rdien k i k-rummet (motsvrnde en konstnt energi e k = h m k på ytn v sfären). Då är ntlet tillåtn tillstånd med en energi e < e k :
N( e) = V sfär = k3 3 V k 8p 3 V = V 3p k3 = V 3p m h 3 e 3 Tillståndstätheten ges v ntl tillstånd per energi, vilket vi får genom tt deriver dett uttryck: ( ) = dn( e) D e de = V p m h 3 e fi D( e) V = 1 p m h 3 Numerisk ger dett vid Fermiytn med hjälp v Fermienergin från föregående uppgift: D( e) V = 1 3 9,1953 1-31 p ( 1,5459 1-34 ) 8,81 1-19 1 Jm 3 = 9,97 146 1 Jm 3 Omräknt till enheten ev -1 tom -1 med tomtätheten (lik med elektrontätheten eftersom Z=1) från föregående uppgift ger tt: D( e) V = 9,97 146 1,619 1-19 1 5,857 1 8 ev tom =,73 1 ev tom e 3. Den kermisk suprledren YB Cu 3 O 7 hr en ortorombisk struktur med gitterprmetrrn = 3,8 Å. b = 3,88 Å och c = 11,69 Å. I en ortorombisk struktur är ll gitterprmetrr olik lång, men gittervektorern 1, och 3 är fortfrnde ortogonl mot vrndr. ) Beräkn de reciprok gittervektorern för en ortorombisk struktur? b) Vd händer med de reciprok gittervektorern i en tetrgonl struktur där = b c respektive i en kubisk struktur där = b = c? c) Beräkn längden v en reciprok gittervektor i YB Cu 3 O 7 med Millerindex (11)? ) Eftersom gittervektorern är ortogonl mot vrndr, kn vi välj ett rätvinkligt koordintsystem så tt gittervektorern ligger längs med de tre koordintxlrn, dvs. vi hr tt: 1 = x, = b y, 3 = c z Volymen v enhetscellen är således V = bc, vilket även kn erhålls ur:
V = 1 ( 3 ) = È bc Í ( ) b Í = ( ) Î Í c = bc De reciprok gittervektorern ges nu v: b 1 = p 3 1 3 ( ) = p bc b = p 3 1 1 3 ( ) = p bc b 3 = p 1 1 3 ( ) = p bc b = p bc bc = p x c = p bc c = p y b c b = p bc = p z c b b) Genom tt direkt jämför med beräkningen v de reciprok gittervektorern för den ortorombisk strukturen, ser vi tt för en tetrgonl struktur där = b gäller det tt: b 1 = p x, b = p y, b 3 = p c z På smm sätt får vi tt för en kubisk struktur med = b = c gäller tt: b 1 = p x, b = p y, b 3 = p z c) En reciprok gittervektor med Millerindex (hkl) teckns llmänt: G ( hkl) = hb 1 + kb + lb 3 Längden v G ( 11) hos YB Cu 3 O 7 kn således teckns: G ( 11) = 1 p x +1 p y b + p z c = Numeriskt ger dett tt: p + p b G ( 11) = p 3,8 + p 3,88 Å -1 =,38 Å -1 4. Mn kn genom förångning frmställ mycket tunn filmer v metllisk grundämnen som br är någr få tomlger tjock. I en mycket tunn film
betyder dett tt filmen kn betrkts som en näst intill två-dimensionell ledre. Betrkt en tunn metllfilm med ytn A=L och finn ett uttryck för tillståndstätheten hos elektronern i en två-dimensionell ledre? I en två-dimensionell ledre hr vi endst en elektrongs i plnet. Lösningen v Schrödingerekvtionen ger på smm sätt som för en tre-dimensionell ledre tt tillåtn k-värden ges v: k x,k y =, ± p L, ± L,L Ytn v vrje k-punkt (i två dimensioner) är således A k = p = ( p ) L A. Enligt Puliprincipen kn vi endst h två elektroner per tillstånd i k-rummet (en med spinn upp och en med spinn ner). Betrkt en cirkel med rdien k i det tvådimensionell k-rummet (motsvrnde en konstnt energi e k = h m k på vståndet k från cirkelns mitt). Då är ntlet tillåtn tillstånd med en energi e < e k : N( e) = A sfär A k = pk A = A p k = A m p h e Tillståndstätheten ges v ntl tillstånd per energi, vilket vi får genom tt deriver dett uttryck: ( ) = dn ( e ) D e de = Am ph 5. Bilden nedn visr Brillouinzonen för silver som är fcc och hr en kubisk gitterprmeter på 4,9 Å. Beräkn k (bsolutbeloppet v vågvektorn) i vrder punkten X, L och K på ytn v Brillouinzonen? z X G W L U K y x
Silver är fcc med gitterprmeter = 4,9 Å. De primitiv gittervektorern (i det direkt gittret) för en fcc-struktur är (se Kittel): 1 = y + z ( ) ; = ( x + z ) ; 3 = ( x + y ) Volymen v den primitiv enhetscellen är: ( ) = V = 1 3 È Í Í = Î Í - 4 4 = 3 4 4 Dett kn även inses från den kubisk enhetscellen för fcc som hr volymen 3 och 4 tomer i bsen, vilket ger tt den primitiv enhetscellen hr volymen 3 4. De reciprok gittervektorern blir nu: b 1 = p 3 1 3 ( ) = p b = p 3 1 1 3 ( ) = p b 3 = p 1 1 3 ( ) = p 3 4 = p - 4 3 4 = p 4 4 - x + y + z ( ) 3 4 = p 4 3-4 = p x 4 4 - y + z ( ) 3 4 = p 4 3 4 = p x 4-4 + y - z ( ) Det reciprok gittret är således ett bcc-gitter med gitterprmetern b =, vilket viss i figuren nedn.. x x
Ur figurens geometri frmgår tt vståndet till de olik punktern på den inritde BZ-gränsen kn beräkns utifrån följnde smbnd. X: k = p =1,536 11 m -1 (hlv vståndet till gitterpunkten i ) L: k = 1 3 p =1,33 11 m -1 (hlv vståndet tillgitterpunkten i p p p ) K: Ligger längs (11)-riktningen och hr smm vstånd till origo som till p p p gitterpunkten i. Låt punkten K:s läge längs (11)-riktningen vr ( x x ). Då måste det enligt Pythgors sts gäll tt: x = p + p -x = + 8p - x + x fi x = 3p =1,69 11 m -1