Tllämnngar av dfferentalekvatoner, LR kretsar TILLÄMPNINGAR AV DIFFERENTIAL EKVATIONER LR KRETSAR Låt vara strömmen nedanstående LR krets (som nnehåller element en sole med nduktansen L henry, en motstånd med resstansen R ohm, en kondensator med kaactansen farad och en sännngskälla med sännngen U( vol För att ange en dfferental ekvaton för använder v otentalvandrng (dvs Krchhoffs sännngslag) och följande samband: Sännngsfallet över en sole med nduktansen L är lka med L ( eller kortare U L = L ( (*) Sännngsfallet över ett motstånd med resstansen R är lka med R eller kortare U R = R (**) Sännngsfallet över en kondensator med kaactansen är lka med q ( /, dvs U = (***) där q ( = och är laddnngen coulomb Enlgt Krchhoffs sännngslag (eller "otentalvandrng") gäller då U( = 0 eller U L R L U R + U = + U( (ekv) (I denna enkla krets är alltså summan av sännngsfall = sännngskälla ) Om v substtuerar (*), (**) och (***) ekv får v följande grundekvaton för LR krets: L ( + R (ekvaton A) Ekvaton A har två okända funktoner ( och q ( För att lösa ekvatonen måste v först elmnera en av dem med hjäl av sambandet q ( = Följande två metoder är ekvvalenta: Metod Om v vll elmnera q ( derverar v ekvaton A och därefter ersätter q ( = V får följande ekvaton med endast en varabel ( L ( + R ( + = U ( ( ekvaton B) (notera dervatan U ( högra lede Sda av 7
Tllämnngar av dfferentalekvatoner, LR kretsar Metod Om v vll elmnera ( ekvaton A v substtuerar ( ( och ( ( ekvatonen och får V får följande ekvaton med endast en varabel ( : L q ( + R q ( (ekvaton ) ( notera att U( nte derveras den här metoden) V bestämmer först och därefter ( ( Begynnelsevllkor: Om v har en andragrads DE behöver v två vllkor för att bestemma konstanter den allmänna lösnngen Följande startvllkor en LR krets används oftast: ( 0) = a och q ( 0) = b I detta fall har v q ( 0) = 0) = a och då är enklast att använda (ekvaton ) och bestämma q ( Därefter får v ( ( q ( 0) = a och q ( 0) = b I detta fall är det naturlgt att använda ( ekvaton ) ( 0) = a och ( 0) = b I detta fall är det lämlgt att använda ( ekvaton B) Secella fall: LR krets Från U ( L R = 0 dvs U L + U R = U( får v L ( + R = U( Notera att ekvatonen är av första ordnngen och att det räcker med ett vllkor Här används oftast vllkoret ( 0) = a R krets R krets beskrvs med R Med hjäl av ( ( elmnera en obekant funkton Om v t ex elmnerar ( har v R q ( Sda av 7
Tllämnngar av dfferentalekvatoner, LR kretsar Övnngsugfter Ugft Bestäm strömmen nedanstående LR- krets om a) L= henry, R= 8 ohm, u( = volt Vd t=0 är strömmen 0)=0 amere b) L= henry, R= 8 ohm, u( a) Från kretsen får v följande dff ekv d L + R (ekv) ( efter subst L och R) ( + 8 = ( dela med ) ( + 4 = 6 (ekv ) Härav H ( = e = e V och 0)=0 A Partkulärlösnng : ( = A ( = 0 4A = 6 ( = / A = / Alltså: = H ( + ( = e + För att bestämma använder v begynnelsevllkoren ( 0) = 0 och får = e + = och ( ) 4 t t = e + Svar a) ( = Svar b) = e e 4 t + + e Sda av 7
4 Tllämnngar av dfferentalekvatoner, LR kretsar Ugft Bestäm strömmen nedanstående R krets där R= Ω, = F u( = 4 V då 0 a) vd t=0 är strömmen 0)= A b b) vd t=0 är laddnngen 0)= coulomb a) Från kretsen får v följande dff ekv R + (ekv) eller ( efter subst R och ) ( + 0 = 4 (ekv) För att elmnera q ( derverar v ( ekv ) och ( eftersom q ' ( = ) får: ( + 0 = 0 (ekv ) Härav 0t = e (*) [ den allmänna lösnngen för ] För att bestämma använder v begynnelsevllkoren ( 0) = och får därmed = e = 0t 0t Svar a) = e ( amere) b) V använder vllkoret 0)= och den allmänna lösnngen från a-delen För att bestämma 0) substtuerar v 0)= ekv och får ( 0) + 0 = 4 0) = 4 Nu fortsätter v som a-delen, med den nya vllkoret för 0)=4 och får 4 = 0t Därför 0t Svar b) (amere) 0t = e Ugft Bestäm strömmen nedanstående LR krets om Sda 4 av 7
5 Tllämnngar av dfferentalekvatoner, LR kretsar L= H, R= Ω, R= Ω, = F och u(=0v 6 Vd t=0 är strömmen 0)=0 A och laddnngen q ( 0) = Från kretsen får v följande dff ekv d L + R + R + dvs d L + ( R + R ) + (ekv) (efter subst L, R och ) ( + 5 + 6 = 0 (ekv ) 0)=0 och 0) = ger (0) + 50) + 60) = 0 (0) + 6 = 0 (0) = 4 Derverng av ( ekv ) ger: ( + 5 ( + 6 = 0 (ekv ) t Härav = e + e Alltså: t = e + e medför t ( = e e För att bestämma och använder v begynnelsevllkoren ( 0) = 0 och ( 0) = 4 och får + = 0 4 = Härav 4, = 4 och därför Svar: = t 4e 4e t Ugft4 Bestäm strömmen nedanstående LR krets om L= H, R= Ω, R= Ω, = F och u ( = sn( + 6cos( V, Sda 5 av 7
då 0)=4 A och ( 0) = 6 Tllämnngar av dfferentalekvatoner, LR kretsar Från kretsen får v följande dff ekv d L + R + R + dvs d L + ( R + R ) + ( efter subst L, R och ) ( + + = sn( + 6cos( Derverng ger: ( + ( + = 44 cos( sn( Härav H ( t = e + e Partkulär lösnng: = Asn t + B cos t 6A B = 44 A 6B = A = 6, B = 4 ( = 6sn t + 4 cos t Alltså: = e + e 6sn t + 4 cos t För att bestämma och använder v begynnelsevllkoren ( 0) = 4 och ( 0) = och får = 5, 5 = = 5e 5e 6sn t + 4cost Svar: = 5e 5e 6sn t + 4cost Ugft 5 Bestäm strömmen och laddnngen nedanstående LR krets om L= henry, R= ohm, = farad och Sda 6 av 7
u( = sn t + cost volt då 0)=0 amere och 0)= coulomb 7 Tllämnngar av dfferentalekvatoner, LR kretsar ( Bedömnng för u6: korrekt ställd ekvaton ; korrekt lösnng för den allmänna ekvatonen ; korrekt lösnng för begynnelsevärdesroblemet ) Från kretsen får v följande dff ekv d L + R + = U (ekv) Om v använder q ( = då får v följande ekvaton med en varabel: L q ( + R q ( + = U, ( efter subst L, R och ) q ( + q ( + = sn t + cost (ekv ) Ekvatonen har den allmänna lösnngen = e + e + sn t Eftersom q ( = får v = e e + cost Från begynnelsevllkoren 0)=0 och 0) = får v ekv: + = 0 ekv: + = Härav = och = 0 och därför = e + cost t och = e + sn t Svar: = e + cost t = e + sn t Sda 7 av 7