wkomihåg 12: Acceleration-med olika komponenter. ----------------------------------------- Föreläsning 13: Dynamik kraft-rörelse (orsakverkan) NEWTONS 3 LAGAR för partiklar 1 1. En 'fri' partikel förblir i vila eller rätlinjig rörelse. v = konstant vektor eller p = konstant vektor 2. ma = F eller p = F 3. Krafter uppstår i kraftpar så att summan är noll. Newtons 3:e lag: De par av krafter som uppstår tillsammans är av samma krafttyp och verkar på olika föremål. Tröghet I N2 finns massan m, och den representerar partikelns tröghet. Betrakta a = F / m. Större m innebär svårare att ändra translationsrörelsen. Rotationströgheten kallas tröghetsmoment och tar även hänsyn till massors utbredning (flera partiklar). Inertialsystem koordinatsystem som inte roterar och inte accelererar. Newtons lagar är giltiga när ekvationerna baseras på inertialsystem!
Tillämpning av Newtons lagar 2 Problem 1: En ballong med massan m faller med accelerationen a. Hur stor blir accelerationen om man kastar bort massan m' i form av sand i säckar? Luftmotstånd försummas.lösning: Kraftanalys: 2 krafter på farkosten; tyngdkraft (mg) och ballongens lyftkraft (L). Kraftanalys: 2 krafter på farkosten; tyngdkraft (mg) och ballongens lyftkraft (L). På väg ner gäller N2: " ma = mg # L. (1) L är bestämt nu: L = mg " ma. Med massan m' borta fås: " ( m # m' )a'= ( m # m' )g # L. ma " m' g Lös ut accelerationen:svar: a'=. m " m'
3 T 0 T 0!! mg Problem 1: En liten kula med massa m är från början upphängd i två vajrar med längd R. Om en vajer plötsligt kapas bestäm förhållandet (kvoten) k mellan spänningen omedelbart efter respektive före kapningen i den återstående vajern. Lösning: Före kapning har vi jämvikt (se bild ovan).! 2T 0 sin" # mg = 0, dvs T 0 = mg 2sin!. Efter kapning har vi inte jämvikt. Omedelbart efter ser det ut så här: T 1 R!! mg sin! mg Kulan ska just påbörja en typ av cirkelrörelse med radie R. Sätt upp Newtons 2:a lag i radiell riktning (polära koordinater): m R! R" 2 ( ) =!T 1 + mg sin # Men det finns ingen begynnelserörelse och ingen avståndsacceleration (vajern kan inte förlängas), varför vänsterledet i ekvationen blir noll. Alltså T 1 = mg sin!. Förhållandet blir: k = T 1 = 2sin 2!!. Numeriskt: k = 2 1 # T " 0 2$ 2 = 1 2
4 Problem: Betrakta en liten lastbil med massa m=10 ton, som färdas med konstant fart v = 30 m/s över ett backkrön. Krökningsradien vid backkrönet är 100 meter. Beräkna normalkraften på lastbilen från vägen vid backkrönet. Lösning: Identifiera krafterna på lastbilen. Tyngdkraft och normalkraft och möjligen friktion. Rita en bild där lastbilen förenklas till en punkt. Accelerationen beskrivs i det naturliga koordinatsystemet av a = v e t + v 2 " e n, men v = konstant " a = v 2 # e n Ur Newtons 2:a lag: e n : m v2 " = mg# N, $ N = m g" v2 ' & % # ) = 1 kn. ( Om lastbilen är i vila fås: N = mg =10 kn.
KOMIHÅG 13: --------------------------------- Analys: Kraftbild-rörelsetyp-lagar-beräkningar. Använd komponenter i Newton 2: a = v e t + v 2. Eller andra lagar i " e n, F = F t e t + F n e n mekaniken. ---------------------------------- Föreläsning 14: ENERGI-RÖRELSE Energi är ett mycket teoretiskt begrepp som inte kan observeras, medan rörelse kan observeras med ögonen. -Energibegrepp (definitioner): --Kinetisk energi. T = 1 2 m v 2 --Kraftens effekt (momentant). P = F v 5 Problem: En jord susar fram med 300 m/s i en approximativt cirkelformad bana kring ett gravitationscentrum (solen). Hur stor effekt har solens gravitation på jordens rörelse? Lösning: Kraften är approximativt radiell och rörelsen är transversell, dvs ortogonala riktningar. Alltså (approximativt) ingen mekanisk effekt. --Kraftens arbete. U 0"1 = t 1 # Pdt. t 0 Alternativt uttryckt: U 0"1 = t 1 r 1 # F v dt = # F dr. Men har vägen mellan r 0 och r 1 någon betydelse? t 0 r 0
6 Exampel: En bil med massan m körs med konstant horisontell hastighet. Farten är v och luftmotståndet beskrivs av den viskösa friktionskraften L = cv, där c är en känd, konstant storhet. - Bestäm drivkraften F som bilmotorn presterar. Svar: F=cv. - Bestäm drivkraftens effekt P. Svar: P = cv 2. - Hur mycket större blir farten om effekten fördubblas? Svar: Ny fart v. Ny drivkraft och nytt luftmotstånd. cv' 2 = 2cv 2 " v'= 2v. Farten ökar med "v = 2 #1 ( )v. -Hur stor är krafternas totala effekt vid maxfart? Svar: Noll. Härledning av energilagar för rörelse och kraft: -- Lagen om Effekten Def: T = 1 2 m v 2 = 1 2 m v v ( ) Tidsderivera: T = 1 2 m v v + v v ( ) = ma v = F v = P, ty def: v = a och Newtons 2:a lag: F = ma, samt def av effekten P. Alltså: T = P (Effektlagen)
-- Lagen om Arbetet Def arbete: U 0!1 = t 1" Pdt 7 t 0 Använd Effektlagen: U 0!1 = t 1" T dt = T 1! T 0 dvs ändring av kinetisk energi är lika stor som krafternas arbete T 1 " T 0 = U 0"1 (Arbetets lag) t 0 Exempel: En bil med massan m kör ett varv med konstant fartökning ( v =) k i en horisontell cirkulär bana med radien R. Bilen har ingen fart i startögonblicket. Hur stor blir den slutliga farten? Hur stort blir motorns (drivkraftens) arbete för detta varv? Exempel: En bil med massan m accelereras från vila med konstant horisontell kraft F under en tid ". Rörelsen är rak och horisontell, och luftmotstånd är försumbart. Bestäm farten v 1 precis efter denna acceleration. Bestäm även kraftens utförda arbete.
KOMIHÅG 14: --------------------------------- Kraftens effekt och arbete. Effektlagen och Arbetslagen ---------------------------------- Föreläsning 15: Spara förlorat (negativt) arbete som lagrad (potentiell) energi 8 Definition av arbete: U 0"1 = t 1 t 1 # Pdt = # F v dt, t 0 enl definition av effekten. Med definitionen av hastighet v = dr dt, t 0 fås ett alternativt uttryck: U 0"1 = r 1 # F dr. (kraftens arbete längs en väg i rummet). Om arbetet är oberoende av vägen har vi en s k konservativ kraft. Den kraften ger oss möjlighet att definiera energinivåer i rummet, s k lägesenergier! Lägesenergierna beskrivs av kraftens potentiella energi! Definition: --Den konservativa kraftens potentiella energi: ( ) = " F dr V r r r ref r 0 #, där r ref är en fix referenspunkt som kan väljas efter behag! De viktigaste konservativa krafterna är tyngdkraft, gravitation och fjäderkraft. Tyngdkraftens potentiella energi ( ) = " "mge z V r r r ref ( ) dr # = mgz + konst. Konstanten kan väljas efter behag. Precis som origo för z.
Fjäderkraftens potentiella energi: ( ) = " "kxe x V r r # ( ) dr = 2 k x2 + konst. Här är x 9 r ref förlängning eller förkortning av fjäderns vilolängd. Andra koordinater saknar betydelse. Konstanterna blir olika för olika val av referenspunkt. Enklast att välja x=0 som referenspunkt så att konstanten blir noll!! Glidfriktion kan inte lagras!! Energiprincipen (gäller inte alltid) -- Mekanisk energi (definition): E = T + V. Om det inte finns någon glidfriktion bevaras den mekaniska energin: (EP) T 1 + V 1 = T 0 + V 0 Bevis: För en konservativ kraft gäller arbetslagen: T 1 " T 0 = U 0"1. Definitionen av arbetet är en integral som kan delas upp i två delarmed hjälp av en godtyckligt vald punkt r ref. U 0"1 = r 1 r 0 r 1 # F dr = " # F dr + # F dr r 0 r ref = V 0 "V 1, där definitionen av potentiell energi använts. Med denna omskrivning av arbetet fås T 1 " T 0 = V 0 "V 1, som i sin tur kan skrivas som energiprincipen (EP). Nablasymbolen " (gradienten): Arbete som går förlorad kan sparas som lagrad energi, potentialen V, om kraften är konservativ. Då kan sambandet mellan potentialen och kraften skrivas: $ F = "# V, där " = #x #, #y #, #z # ' & ) (en vektorvärd % ( r ref
operator). Den förlorade effekten av kraftens påverkan lagras i V och blir: dv = "P = "F v. Men dt dv # = % " dt "x V, "y " V, "z " $ V & ( v enligt deriveringsreglerna ' då koordinater beror av tiden. Alltså gäller F = "# V! 10 Problem: Antag att en liten kula sitter fast i ett snöre vars ena ände är fast och kulan kan röra sig runt i en cirkelbana i vertikalplanet. Undersök hur snörspänningen T varierar i olika lägen. Undersök speciellt skillnaden mellan det största och minsta spänningen i snöret. Lösning: Rita krafter, finns det friktion? Nej! Bara konservativa krafter!! Naturliga systemet: a = v e t + v 2 " e n Newtons 2:a lag säger: m v 2 = T + mgsin" och m R v = "mgcos#. I första ekvationen finner vi snörkraften. Den är tydligen: T = m v 2 R " mgsin#.
Vi vet inte hur farten varierar i olika lägen. Titta på den mekaniska energin: 1 2 mv 2 + V = 1 2 mv 2 0 + V 0 Om vi betraktar en kula som i nedersta läget har en viss fart v 0 och en potentiell energi V 0 = 0, erhålls 1 2 mv 2 + mgz = 1 2 mv 2 0, där z = Rsin" + R. " v 2 % Dvs vi har: $ # R & ' = " v 2 % $ 0 ' ( 2g( 1+ sin) ). # R & 11 Sätter vi den nya informationen om farten in i uttrycket för snörspänningen får vi: "" T = m v 2 % % 0 $ $ ' ( 2g( 1+ sin) )' ( mgsin) eller ## R & & " T = m v 2 % 0 $ ' ( 2mg ( 3mgsin). # R & " Det minsta värdet fås i översta läget: T min = m v 2 % 0 $ ' ( 5mg>0. # R & Om v 0 är tillräckligt stor skall allt gå bra. Vi har slutligen det största värdet " T max = m v 2 % 0 $ ' + mg som ger T # R & max " T min = 6mg.
12 A R R B v Problem: Två lika partiklar är förbundna med en lätt stång i figuren. Antag att de släpps i sin ursprungs-position och får glida (i ett vertikalplan) på det glatta underlaget. Beräkna sedan partiklarnas fart då partikel A når ursprungsläget för partikel B. Lösning: Ingen friktion innebär att den totala mekaniska energin bevaras. T 0 + V 0 = T 1 + V 1. I ursprungsläget har vi bara potentiell energi hos partikel A. T 0 + V 0 " 0 + mgr. I slutläget har den lägesenergin förvandlats till en gemensam rörelse med energin: T 1 + V 1 " 2# m 2 v 2 + 0. Att energin har bevarats innebär att: mv 2 = mgr, dvs v = gr.
13 R A k R m B Problem: En hylsa med massan m släpps i läget A och glider friktionsfritt längs den kvartscirkelformade ledstången i ett vertikalplan. Bestäm farten hos hylsan när den nått läget B i figuren. Beräkna även den maximala deformationen x av fjädern på grund av hylsans fortsatta rörelse. Lösning: På grund av att tyngdkraftens potentiella energi helt övergår i rörelseenergi, har vi: 1 2 mv 2 = mgr, dvs farten i läget B blir: v = 2gR. I den fortsatta rörelsen kommer hela den kinetiska energin att bromsas upp av den konservativa fjäderkraften, så att dess potentiella energi blir lika stor (som den ursprungliga 1 lägesenergin): 2 kx 2 = mgr. Den maximala deformationen blir alltså: x = 2mgR k.
14 Problem: Antag att ett flygplan med massa m kan manövreras i en vertikal cirkulär loop att hålla konstant fart v. Den vertikala banans radie är r. Flygplanets effektiva aerodynamiska dragkraft (skillnaden mellan motorns dragkraft och luftmotståndet) betecknas T och är parallell med rörelseriktningen. Dess lyftkraft (vinkelrätt mot rörelseriktningen) betecknas L. Bestäm T som funktion av vinkeln! samt bestäm L som funktion av vinkeln!. Lösning: Krafterna på planet:! L T mg v " a) Newtons 2:a lag: radiellt: m! v2 % $ # r ' =!L + mgcos(, &! dvs L = m v2 $ # " r & % + mgcos'. b) Newtons 2:a lag:transversellt: m!0 = T " mgsin#, ty v = 0, dvs T = mgsin!.