Integraler. Integraler. Integraler. Integraler. Exempel (jfr lab) Integrering i Matlab. Från labben: Informationsteknologi. Beräkningsvetenskap I/KF

Relevanta dokument
Löpsedel: Integraler. Block 4: Integraler. Lärobok. Exempel (jfr lab) Exempel (jfr lab) Integrering i Matlab

Integraler. Integraler. Integraler. Integraler. Exempel (jfr lab) Integrering i Matlab. cos(3 xdx ) Från labben: Informationsteknologi

Integraler. Integraler. Integraler. Integraler. Exempel (jfr lab) Integrering i Matlab. Från labben: Informationsteknologi. Beräkningsvetenskap I/KF

Denna föreläsning. DN1212 Numeriska metoder och grundläggande programmering FN Linjära ekvationssystem. Repetition av FN3 (GNM kap 4.

Integraler. 1 Inledning. 2 Beräkningsmetoder. CTH/GU LABORATION 2 MVE /2013 Matematiska vetenskaper

Analys grundkurs B lab 1. Stefan Gustafsson Per Jönsson Fakulteten för Teknik och Samhälle, 2013

Laborationstillfälle 3 Numerisk integration

Integration: Kvadratur

Tillämpning av integraler

Numerisk Integration En inledning för Z1

SF1625 Envariabelanalys

Föreläsning 10, Numme K2, GNM Kap 6 Integraler & GNM 8:3C Richardsonextrapolation

SF1625 Envariabelanalys

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].

V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±. är begränsad i intervallet [a,b].

============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE.

13 Generaliserade dubbelintegraler

14. MINSTAKVADRATMETODEN

Integralen. f(x) dx exakt utan man får nöja sig med att beräkna

Läsanvisningar för MATEMATIK I, ANALYS

TATA42: Tips inför tentan

Mat Grundkurs i matematik 1, del III

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Vilken rät linje passar bäst till givna datapunkter?

Generaliserade integraler

1 Föreläsning IX, tillämpning av integral

Trigonometri. 2 Godtyckliga trianglar och enhetscirkeln 2. 3 Triangelsatserna Areasatsen Sinussatsen Kosinussatsen...

NUMOPEN Om kvadratur. Exempel. NUMOPEN VT11 Förel JOp p 1(9) ν c. 10 tentor, Trapetsmetod poäng

============================================================ V1. Intervallet [a,b] är ändligt, dvs gränserna a, b är reella tal och INTE ±.

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna Föreläsning 16-17, 2010:

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler

FÖRSÄTTSBLAD TILL TENTAMEN. ELLER (fyll bara i om du saknar tentamenskod): Datum: 21 december Bordsnummer:

TATA42: Föreläsning 4 Generaliserade integraler

Area([a; b] [c; d])) = (b a)(d c)

24 Integraler av masstyp

9. Bestämda integraler

Mat Grundkurs i matematik 1, del III

Exponentiella förändringar

Byt till den tjocka linsen och bestäm dess brännvidd.

Laboration i matematik Envariabelanalys 2

Fallstudie: numerisk integration Baserad på läroboken, Case Study 19.9

Tyngdkraftfältet runt en (stor) massa i origo är. F(x, y, z) =C (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 2

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen T Erlandsson

GEOMETRISKA VEKTORER Vektorer i rummet.

Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 08 13

Preliminär version 2 juni 2014, reservation för fel. Tentamen i matematik. Kurs: MA152G Matematisk Analys MA123G Matematisk analys för ingenjörer

Sidor i boken

XIV. Elektriska strömmar

Programmeringsguide ipfg 1.6

19 Integralkurvor, potentialer och kurvintegraler i R 2 och R 3

Tentamen Programmeringsteknik II Skrivtid: Skriv läsligt! Använd inte rödpenna! Skriv bara på framsidan av varje papper.

Finaltävling den 20 november 2010

Mat Grundkurs i matematik 1, del II

Ett förspel till Z -transformen Fibonaccitalen

Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok. Integralkalkyl. MatematikCentrum LTH

Integraler och statistik

Svar till uppgifter 42 SF1602 Di. Int.

Volum av rotationskroppar. Båglängd, rotationsytor. Adams 7.1, 7.2, 7.3

Kan det vara möjligt att med endast

Operativsystemets uppgifter. Föreläsning 6 Operativsystem. Skydd, allmänt. Operativsystem, historik

Sfärisk trigonometri

Användande av formler för balk på elastiskt underlag

Skriv tydligt! Uppgift 1 (5p)

1 e x2. lim. x ln(1 + x) lim. 1 (1 x 2 + O(x 4 )) = lim. x 0 x 2 /2 + O(x 3 ) x 2 + O(x 4 ) = lim. 1 + O(x 2 ) = lim = x = arctan x 1

1. (6p) (a) Använd delmängdskonstruktionen för att tillverka en DFA ekvivalent med nedanstående NFA. (b) Är den resulterande DFA:n minimal? A a b.

Grundläggande matematisk statistik

Kontinuerliga variabler

Repetitionsuppgifter i matematik

PASS 1. RÄKNEOPERATIONER MED DECIMALTAL OCH BRÅKTAL

Föreläsning 7: Trigonometri

ENVARIABELANALYS - ETT KOMPLEMENT

Tillämpning - Ray Tracing och Bézier Ytor. TANA09 Föreläsning 3. Icke-Linjära Ekvationer. Ekvationslösning. Tillämpning.

UPPTÄCK OCH DEFINIERA SAMBANDET MELLAN TVÅ OMRÅDEN SOM DELAS AV GRAFEN TILL EN POTENSFUNKTION

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 1

f(x)dx definieras som arean av ytan som begränsas av y = f(t), y = 0, t = a och t = b, se figur.

Sammanfattning, Dag 9

9. Vektorrum (linjära rum)

TMV151/TMV181. Fredrik Lindgren. 19 november 2013

14 Trippelintegraler integration av funktioner av tre variabler

Derivata och integral tolkning av definitionerna med hjälp av Maxima. Per Jönsson, Malmö högskola

x = x = x = x=3 x=5 x=6 42 = 10x x + 10 = 15 x = = 20 x = 65 x + 36 = 46

0 a. a -Â n 2 p n. beskriver på sedvanligt sätt en a-periodisk utvidgning av f. Nedanför ritas en partialsumma av Fourierserien.

Topologi och konvergens

KOMPLETTERANDE MATERIAL TILL KURSEN MATEMATIK II, MATEMATISK ANALYS DEL A VT 2015

Bokstavsräkning. Regler och knep vid bokstavsräkning

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 8 juni 2011, Svar och lösningsförslag

Rationella uttryck. Förlängning och förkortning

TATA42: Föreläsning 11 Kurvlängd, area och volym

Diskreta stokastiska variabler

Sats 3: Egenskaper. (a) (b) f(x) dx = 2 f(x) dx. (c) (Af(x) + Bg(x))dx. g(x) dx = A. (d) (e) Om a b och f(x) g(x) (f) Triangelolikheten: Om a b


Analys 360 En webbaserad analyskurs Grundbok. X. Integralkalkyl. MatematikCentrum LTH

9 Dubbelintegralens definition

Uppgiftssamling 5B1493, lektionerna 1 6. Lektion 1

Volym och dubbelintegraler över en rektangel

Dnr 6/002/2006. Till pensionsstiftelser som bedriver tilläggspensionsskydd och är underställda lagen om pensionsstiftelser

Nya regler för plåtbalkar-eurokod 3-1-5

Föreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 3 och 4 HT07

Uttryck höjden mot c påtvåolikasätt:

Lösningsförslag Tentamen i Beräkningsvetenskap I, 5.0 hp,

Transkript:

Integrler Från len: Integrler Beräkningsvetenskp I/KF Trpetsformeln oc Simpsons formel Integrler Integrler Från len: Från len: Adptiv metod (dptiv Simpson) Lösning v integrl i Mtl: när integrnden är kontinuerlig funktion: nvänd integrl, qud eller qudl integrl/qud/qudl klrr själv v tt gör indelning i intervll när integrnden är diskret mätvärden: nvänd trpz Här lir indelningen given v ntlet dtvärden Exempel (jfr l) Använd integrl, qud eller qudl @func klls för ett f () x dx funktionsndtg I = integrl(@func,, ) I mtlfunktionen func definiers integrnden måste tl om för Mtl vilken integrl som sk löss integrl/qud/qudl löser sedn integrlen med numerisk metod Num integrering klls även kvdrtur Aretsgång: π Lös 0 cos( xdx ) Diskretiser, är 8 intervll Approximer med 1: grdspolynom i vrje intervll Beräkn ren i vrje prllelltrpets pproximerr integrl på delintervllet Klls Trpetsformeln 1

Exempel (jfr l) Smm prolem Diskretiser, är 8 intervll Approximer med 2: grdspolynom på vrje duelintervll (är lir det 4 duelintervll) Klls Simpsons formel Lösning v integrler Aretsgång: Givet prolemet f (x)dx. Diskretiser x, dvs del in i punkter x 0, x 1,, x N, där x 0 = oc x N = Ersätt integrnden på vrje delintervll med en enklre funktion, t ex polynom Beräkn den enklre funktionens integrl exkt på vrje delintervll. Kn görs med enkel formel Summer ll delintegrler Räcker om f(x) enrt känd i enstk mätpunkter x k, dvs enrt f(x k ) känd. Adptivitet (jfr l) Trpets o Simpson I prktiken nvänds dptiv metoder Dess eräknr diskretiseringen på egen nd så tt en viss noggrnnet erålls Indelningen vrierr där funktionen vrierr mycket krävs finre indelningen oc tvärtom Fråg: Hur kn metoden eräkn felet utn tt känn till exkt lösning? Adptiv Simpson Formler på ett delintervll/duelintervll: Trpetsformeln x k + 1 f() x dx ( x 1 1 1 ) k k k k k x + + k + + + = k f( x ) f( x ) f( x ) f( x ) 2 2 x k os redden öjden Simpsons formel x k + 2 1 f () x dx ( x 2 )( ( ) 4 ( 1) ( 2)) 6 k+ xk f xk + f xk+ + f xk+ = x k = k ( f( x ) 4 ( 1) ( 2)) k + f xk+ + f xk+ Trpets o Simpson Allmänt kn mn nsätt lösningen som x k+q f (x)dx k f (x k ) x k k=0 klls Newton-Cotes formler q Formlern kn sedn nvänds för ärledning v Trpets (q=1) oc Simpson (q=2) Trpets o Simpson Om ekvidistnt indelning, k =, kn mn få en enkel formel för el intervllet Trpetsformeln f (x)dx N 1 f (x 2 k+1 ) + f (x k ) = k=0 2 ( f (x 0 ) + 2 f (x 1 ) + + 2 f (x N 1 ) + f (x N )) Simpsons formel N 1 f (x)dx f (x k ) + 4 f (x k+1 ) + f (x k+2 ) = k=0,2, ( f (x 0 ) + 4 f (x 1 ) + 2 f (x 2 ) + + 2 f (x N 2 ) + 4 f (x N 1 ) + f (x N )) Os. De är formlern är mer prktisk vid ndräkning. I verklig fll nvänds dptiv metoder, dvs ej ekvidistnt indelning. 2

Trpets o Simpson Om mn r ekvidistnt indelning kn metodern enkelt implementers med sklärprodukt f (x 0 ) 1 1 4 f (x 1 ) 2 2 f =, v tr =, v s = f (x N 1 ) 2 2 f (x N ) 1 4 1 oc integrlen eräkns T T IT = v, 2 tr f IS = v s f Noggrnnetsordning 0.8 x2 0 e dx Värde enligt Mtls integrl: 0.657669856284 Noggrnnetsordning Vilket lir diskretiseringsfelet vid olik vl v? Hur vtr det för minsknde? Med trpetsformeln I-T() (I-T(2))/(I-T()) 0.4000 1.15e-002 0.2000 2.819e-00 4.0280 0.1000 7.05e-004 4.0069 0.0500 1.758e-004 4.0017 Slutsts: felet vtr med en fktor 4 då lvers = indelningen, diskretiseringsprmeter T() = Beräkning med Trpets med indelning T(2) = Beräkning med Trpets, indelning 2 Noggrnnetsordning Smm med Simpsons formel I-S() (I-S(2))/(I-S()) 0.4000-4.458e-004 0.2000-2.65e-005 16.9206 0.1000-1.621e-006 16.2549 0.0500-1.009e-007 16.068 Slutsts: felet vtr med en fktor 16 då lvers = indelningen, diskretiseringsprmeter S() = Beräkning med Simpson, indelning T(2) = Beräkning med Simpson, indelning 2 Noggrnnetsordning Noggrnnetsordning Överfört till grfik Trpets En minskning v med fktor 2 => minskning v felet med fktor 4 Simpson En minskning v med fktor 2 => minskning v felet med fktor 16 4 = 2 2 16 = 2 4 Klls metodens noggrnnetsordning

Nogrnnetsordning Noggrnnetsordningen visr ur snt diskretiseringsfelet vtr då minskr Trpets Noggrnnetsordning 2 Diskretiseringsfelet är v ordning O( 2 ) Simpson Noggrnnetsordning 4 Diskretiseringsfelet är v ordning O( 4 ) Givet tt mn vill en viss noggrnnet kräver en metod v låg n.o. mindre => fler eräkningr än metod med ög n.o. Å ndr sidn kn vrje eräkning vr mer omfttnde för en metod med ögre n.o. Noggrnnetsordning Diskretiseringsfelet kn även ärleds nlytiskt med Tylorutveckling Trpets Den lednde (dominernde) termen i felet på ett delintervll är 12 f (x k ) + O(4 ) dett leder till tt felet på el [ ] lir O( 2 ) Simpson På smm sätt felet på ett duelintervll 5 90 f (x k ) + O(6 ) dett leder till tt felet på el [ ] lir O( 4 ) Feluppsktting Feluppsktting Kunskpern om noggrnnetsordning kn nvänds för tt uppsktt felet - utn tt värdet på den exkt integrlen är känd Om I är den exkt integrlen, så lir solut felet Trpets, steglängd I T() = E T I S() = E S Simpson, steglängd Eftersom I inte är känd går det inte eräkn E T resp E S Men mn kn uppsktt diskretiseringsfelet (som vnligen dominerr) För trpets gäller tt felet E T kn uppsktts med T () T(2) ET (Jfr lortion) där T(2) är eräkning v smm integrl med duel steglängd Klls tredjedelsregeln Är en uppskttning v lednde termen i diskretiseringsfelet, dvs O( 2 )-termen Feluppskttning Feluppskttning För Simpson gäller tt felet E S kn uppsktts med S () S(2) ES Jfr lortion 15 där S(2) är eräkning v smm integrl med duel steglängd Klls femtondelsdelsregeln Uppskttning v den lednde termin i diskretiseringsfelet, dvs v O( 4 )-termen Generellt gäller för en metod som eteckns Q E Q Q() Q(2) 2 p 1 där p är metodens noggrnnetsordning Tredjedelsregeln oc femtondelsregeln är lltså specilfll v ovnstående Feluppskttningen nvänds i dptiv metoder för tt uppsktt fel i eräkningen 4

Adptiv metoder Adptiv metoder 1. Beräkn integrlvärde på intervll med steglängd => Q() resp 2 => Q(2) 2. Uppsktt felet (med formel för feluppskttning). Om felet < tolerns - ccepter Q() - eräkn näst intervll, om inget ytterligre intervll finns, så färdig nnrs (dvs felet > tolerns) - Kst Q() - Del intervllet i två intervll - Beräkn integrl, från punkt 1, för vrt oc ett v de två ny intervllen, ges värdet /2 Ex) Scemtiskt ur diskretiseringen i dptiv Simpson kn se ut OK Ej OK Ej OK Ej OK Q(2) Q() OK (intervllet klrt) Etc tills el integrlen färdig Ricrdsonextrpoltion Avrundningsfel Idé: Om I T() = E T så I = T() + E T oc eftersom T() oc E T är känd så kn mn eräkn exkt integrlen I? Fungerr inte riktigt eftersom vi enrt r en uppskttning v E T (den lednde termen i felet) Däremot lir T() T(2) T() + en förättring Mn kn vis tt det lir detsmm som S() På motsvrnde sätt kn mn förättr resulttet i Simpsons metod Dett klls Ricrdsonextrpoltion Förutom diskretiseringsfel r vi vrundningsfel i funktionseräkningrn, s k funktionsfel Hos trpetsmetoden pg vrundningsfel eräkns inte f() x utn f (x) dvs T() = 2 ( f (x 0 ) + 2 f (x 1 ) + + 2 f (x N 1 ) + f (x N )) Om T() = 2 ( f (x 0 ) + 2 f (x 1 ) + + 2 f (x N 1 ) + f (x N )) f (x) f (x) ε så kn mn få frm tt T() T() ( ) ε Avrundningsfel Noggrnnet Funktionsfelet, trpets Motsvrnde för Simpson T() T() ( ) ε Om det r är vrundning så är ε = ε M Men ε kn vr större om f(x)-värden kommer från mätdt med större osäkeret Om enrt vrundningr så är ε litet oc diskretiseringsfelet kommer tt dominer Felkällor: Kontinuerligt ersätts v diskret => diskretiseringsfel Avrundningsfel i eräkning v f( x k ) => funktionsfelet Exkt integrl: I = f (x)dx Numerisk metod, Q: I Q() Då lir det totl solut felet I Q() = diskretiseringsfel + funktionsfel 5

Integrler i Mtl, ett exempel Beräkningsvetenskp I/KF En fllskärmsoppre r fllit sträckn d(t) vid tiden t sekunder, där t gm ( c/ m) t dt () = (1 e ) dt c 0 Skriv ett progrm som eräknr sträckn för olik tidpunkter. Använd g=9.81, c = 12, m = 70. Uttrycket i integrnden är stigeten vid tid t, dvs gm ( c/ m) t vt () = (1 e ) c Vi nvänder t ex integrl i Mtl: I = integrl(@func,, ) Börj med tt definier integrnden i en mtlfunktion som vi t ex kllr stiget1 I = integrl(@stiget1,, ) t d(t) = gm c (1 e (c/m)t )dt 0 Vilk in- oc utprmetrr i stiget1? Inprmeter: t Utprmeter: integrndens värde, klls t ex vt function vt = stiget1(t) % v = stiget(t) % Funktion för eräkning v stiget v % (m/s) som funktion v tiden t % sekunder) os en fllskärmsoppre m = 70; % Fllskärmopprens mss g = 9.81; % grvittionskonstnten c = 12; vt= (g*m/c)*(1 - exp(-(c/m)*t)); Test v funktionen stiget: >> tid = 10; >> v = stiget1(tid) v = 46.9192 >> tid = 1:5 tid = 1 2 4 5 >> v = stiget1(tid) v = 9.0152 16.6102 2.0086 28.990 2.940 Skriver nu en kommndofil för eräkning v integrlen, nmnge till t ex distns1.m dt=integrl(@stiget1,strttid,sluttid); disp([ Sträckn är,num2str(dt), m ]) Testkörning >> distns1 Sträckn är 298.5546 m Oserver! sk även funger för t som vektor 6

Uppsnyggning: det vore r om mn kunde ändr t ex mssn m på ett ställe i kommndofilen så tt den enkelt kn test olik värden på mssn Hur kn mn gör så tt m ändrs i kommndofilen oc då utomtiskt även i funktionen? Mn kn gör dett genom prmeteröverföring eller gloldeklrtion. Prmeteröverföring knske enklst, men inte äst. Först prmeteröverföring Kommndofilen (filnmn: distns2.m): m = 70; dt = integrl(@(x) stiget2(x,m), strttid, sluttid); disp([ Sträckn är,num2str(dt), m ]) Funktionen (filnmn: stiget2.m) function vt = stiget2(t, m) % kommentrer sk ligg är g = 9.81; % grvittionskonstnten c = 12; vt= (g*m/c)*(1 - exp(-(c/m)*t)); Test igen >> distns2 Sträckn är 298.5546 m Ändr till m=90 i kommndofilen >> distns2 Sträckn är 29.97 m Ändr så tt d(t) eräkns för fler värden på m, t ex m = 50, 60,,100 mss = (50:10:100) ; %kolonnvektor dt = zeros(size(mss)); for i = 1:lengt(mss) m = mss(i); dt(i)=integrl(@(x) stiget2(x,m), strttid, sluttid); end [mss dt] % Utskrift som tell Lgrr filen i distns.m Resultt Annn vrint: läs in mssn genom inputkommndot >> distns ns = 50.0000 25.8879 60.0000 278.4410 70.0000 298.5546 80.0000 15.2847 90.0000 29.97 100.0000 41.486 mss = input( Ange mss: ); dt = zeros(size(mss); for i = 1:lengt(mss) m = mss(i); dt(i)=integrl(@(x) stiget2(x,m), strttid,sluttid); end disp( Mss Hstiget ); disp([mss dt]); 7

Resultt >> distns Ange mss: 50 ns = 50.0000 25.8879 >> distns Ge mss: [60:10:90] ns = 60.0000 278.4410 70.0000 298.5546 80.0000 15.2847 90.0000 29.97 Os tt det nu fungerr tt ge en vektor med mss. I oc med tt lengt nvänds i koden lir det utomtiskt rätt ntl vrv Vrint 2: Gloldeklrtion Scriptfilfil glol m % gloldeklrer m = 70; dt = integrl(@stiget,strttid,sluttid); disp([ Sträckn är,num2str(dt), m ]) Funktionen function vt = stiget(t) % kommentrer ort pg pltsrist glol m % deklrer glol g = 9.81; % grvittionskonstnten c = 12; vt= (g*m/c)*(1 - exp(-(c/m)*t)); Prmetern m är nu glol, dvs gäller i el Mtl-miljön Mn rukr försök undvik glol-deklrtion eftersom det kn ge sidoeffekter (funktionen ändrr på prmetrr i el progrmmet, dvs även t ex i kommndofilen) Det är progrmmeringsmässigt snyggre tt nvänd prmeteröverföring vi nropet För enklre integrnder kn mn lös prolemet utn tt skriv en Mtlfunktion i en m-fil m = 70; g = 9.81; c = 12; strttid Funktionen = 0; dt=integrl(@(t) (g*m/c)*(1-exp(-(c/m)*t)), strttid,sluttid); disp([ Sträckn är,num2str(dt), m ]) Dett klls en nonym funktion i Mtl 8