1 KOMIHÅG 6: --------------------------------- Momentlag Tröghetsmoment ---------------------------------- Föreläsnng 7: Impulslag Rörelsemängden defneras som en vektor: p = mv Newtons 2:a lag kan då skrvas som p = F Om den är sann, så är det också sant att: t 2 t 2 " p dt = " F dt t 1 t 1 -Vänsterledet kan räknas ut formellt tll en rörelsemängdsändrng "p = p ( t 2 ) # p ( t 1 ) -Högerledet får bl en ny storhet Defnton: Kraftens mpuls: I = t 2 " t 1 F dt Slutlgen har v härlett en ny lag ur Newtons 2:a lag, den så kallade mpulslagen (eller mpulsekvatonen): "p = I Med ord: Kraftens mpuls orsakar en ändrng av partkelns rörelsemängd så att ändrngen är lka stor som mpulsen Exempel: En boll med massa m studsar mot ett golv Alldeles nnan studsen vet man att hastgheten är rktad
2 neråt med storleken v 0, och att alldeles efter studsen är bollens hastghet v 1 rktad uppåt Ändrng rörelsemängd på grund av studsen är således m( v 1 + v 0 ), räknat postv uppåt Enlgt mpulslagen är stötkraftens mpuls ( I) lka stor som rörelsemängdsändrngen, dvs I = m( v 1 + v 0 ) TILLÄMPNING PÅ STÖTAR Allmän beskrvnng: Mellan två partklar m 1 och m 2 kontakt med varandra uppstår två motrktade normalkrafter (Newtons 3:e lag) Summan av dessa krafter är noll! Summan av krafternas (tdsntegraler) mpulser är lkaså noll!! Konsekvensen är att summan av partklarnas rörelsemängder nte ändras Matematsk beskrvnng: Om nga andra krafter än normalkrafterna är vktga ger mpulslagen för första partkeln: "p 1 = I, där I är mpulsen av normalkraften verkande på partkel m 1 På samma sätt för partkel m 2 : "p 2 = #I, ty dess normalkraft är motrktad! Summerng av dessa två mulslagar ger: "( p 1 + p 2 ) = 0 Stötlag: "( p 1 + p 2 ) = 0,
3 dvs den totala rörelsemängden bevaras vd stötar (eller explosoner) Stötar sker under kort td och normalkrafterna blr mycket större än tyngdkrafter och annat Bara normalkrafternas mpulser (ntegraler) blr vktga då Problem 2: En projektl med massan 75 gram har hastgheten 600 m/s när den träffar och fastnar ett 50- klos block Blocket befnner sg vla före träffen Beräkna förlusten av rörelseenerg på grund av träffen Lösnng: På grund av att kraftpåverkan mellan projektl och block är ömsesdg ändras nte totala rörelsemängden före: efter: mv 0 + 0 = mv + Mv, dvs sluthastgheten blr m v = m + M v 0 Om v jämför knetska energer före och efter som en kvot, erhålls T e T f = 1 ( 2 m + M )v 2 1 2 mv 2 0 = m m + M =0015
4 Problem: En godsvagn A som väger 30 Mg (ton) rör sg på ett horsontellt spår med farten 3 km/h En annan godsvagn B med massan 20 Mg ges farten 5 km/h så att den kommer fatt och kan kopplas hop med A på spåret Bestäm den gemensamma farten för vagnarna efter kopplngen Bestäm även den energförlust som kopplngen nnebär Lösnng: I detta problem bevaras totala rörelsemängden (stötlagen): före: efter: v A + m B v B = ( + m B )v, dvs v = m v + m v A A B B + m B Energförlusten: T f " T e = 1 2 m # m A 1" A & % ( v 2 A + 1 $ + m B ' 2 m # m B 1" B & 2 % ( v B $ + m B ' " m B v A v B + m B = 1 2 = 1 2 m B + m B m B + m B ( v 2 A + v 2 B " 2v A v B ) ( v A " v B ) 2
5 KOMIHÅG 7: --------------------------------- Kraftens mpuls I = t 2 " F dt Impulsekvatonen "p = I Stötlag: "( p 1 + p 2 ) = 0 t 1 ------------------------------------------------------ Föreläsnng 8: CENTRALA STÖTAR mellan föremål Om de kollderande kropparnas masscentra lgger på kontaktytans normallnje (stötnormal) sägs stöten vara central RAK STÖT: före vd stöten Om kropparna nte roterar och deras hastgheter är parallella med stötnormalen är stöten rak Det behövs bara en koordnataxel SNED STÖT: Om stöten nte är rak, är den sned
6 - Stötar utan energförlust: Tänk på perfekta gummbollar, men stålkulor är nog bättre Kropparna möts och separerar Antag att mötes(kollsons)farten och separatonsfarten är lka men motrktade Problem: Betrakta en dealsk rak, central elastsk stöt, där en partkel nfaller med farten v mot en annan stllastående partkel ute rymden Efter stöt antas att den högra partkeln avlägsnar sg från den nfallande partkeln med samma fart v Bestäm den vänstra partkelns fart efter stöt och energförlusten stöten Lösnng: Stöten beskrvs fullständgt av stötlagen: "( p 1 + p 2 ) = 0 # m 1 v + 0 = m 1 u + m 2 ( u + v) V löser först ut u: u = m 1 " m 2 m 1 + m 2 v Därefter räknar v ut energer före och efter stöten Före: T före = m 1 2 v 2 Efter: T efter = m 1 2 u2 + m 2 2 1 # 2 v m 2 1 m 1 " m % 2 $ % ( m 1 + m 2 ) 2 ( u + v) 2 = ( ) 2 + m 2 ( 2m 1 ) 2 & ( '( = m 1 2 v 2
7 Slutsats: För stötar utan energförluster gäller att separatonshastgheten (längs stötnormalen) är lka stor som kollsonshastgheten - Dessa stötar kallas fullständgt elastska Om man väljer en av partklarna som referenspartkel kan man entydgt defnera: Kollsonshastghet: Den relatva hastgheten för den nkommande partkeln (mot referenspartkeln) före stöt Separatonshastghet: Den relatva hastgheten för den nkommande partkeln (från referenspartkeln) efter stöt - Fullkomlgt oelastsk stöt: Tänk på två klbbga degklumpar som krockar Hur är det med energn och rörelsemängden detta fall? Jo, energ går förlorad men masscentrums rörelse bevaras Den energ som masscentrums rörelse har kommer då att bevaras Bara energn från den relatva rörelsen går förlorad - Stötmpulsen När mpulslagen används för en partkel vd stötar avser man bara stötkraftens mpuls: t 2 "p = m v efter # v före $ ( ) = F stöt dt OBS: En stötkraft är mycket större än vanlga krafter men verkar bara under en mycket kort td Därför kan man ofta bortse från vanlga krafters mpulser vd stöt t 1
8 Problem: Gör en uppskattnng av stötkraften som får massan m att bromsa upp från farten v tll stllastående på tden " Lösnng: Impulsekvatonen ger 0 " mv = I stöt Impulsen är tdsntegralen av stötkraften F stöt, och mpulsen kan enlgt matematkens medelvärdessats uppskattas som I stöt = F stöt " Dett ger uppskattnngen: F stöt = " mv # Numerskt: m=70 kg, v=20 m/s, " =1 s, ger F stöt = "1400N Om " =01 s fås F stö t = "14000N - Stöttalet e : (En materalkonstant) Egenskaper föremålens materal är sådana att samma par av materal alltd ger ett konstant förhållande mellan föremålens relatva hastgheter före och efter stöt: relatv separatonshastghet e = " 0 relatv kollsonshastghet Anmärknng: De relatva hastgheterna är specellt lätta att räkna ut om ena kroppen, t ex en vägg lgger stll För stöttalet gäller specellt de två extrema värdena e =1" fullst elastsk e = 0 " fullst oelastsk Sammanfattnng: Stötekvatonerna: m 1 v 1 före + m 2 v 2 före = m 1 v 1 efter + m 2 v 2 efter och e = v 2 efter " v 1 efter v 1 före " v 2 före
9 h 0 h 1 Problem: Tennsbollarnas kvaltet kan kontrolleras med det enkla testet att klara studs upp tll mdjan om de släpps från axelhöjd För en tennsboll som klarar testet enlgt fguren kan man räkna ut studstalet e och den relatva energförlusten!e / E på grund av studs Gör det! Lösnng: I det här problemet har v bara en boll och ( ) = F stöt dt "p = m v efter # v före e = v efter v före t efter $ Hastgheterna alldeles nnan och alldeles efter studs? m ( 2 v före ) 2 m = mgh 0 och ( 2 v efter ) 2 = mgh 1 dvs e = t före 2gh 1 2gh 0 = h 1 h 0 Relatva energförlusten på grund av stöt blr sedan (omräknat potentella energer): "E E = mgh # mgh 0 1 = h # h 0 1 mgh 0 h 0
10 Lagar för Många Partklar* V nöjer oss med att bara beskrva partkelsystemets 'gemensamma rörelse', dvs masscentrumrörelsen V väljer ett nertalsystem och betraktar var och en av partklarna systemet Två typer av krafter kan nu dentferas: Inre krafter f : härrörande från växelverkan med grannpartklarna systemet Yttre krafter F : härrörande från växelverkan med matera utanför systemet Newtons 2:a lag för varje partkel ser då ut som m r = F + f Efter summerng får v: " m r = " F + " f
11 Identfera kraftsummor: Alla nre krafter försvnner " f = 0 enlgt Newtons 3:e lag, Totala yttre kraften F = " F blr kvar Defnerar även masscentrum: r G = 1 m " m r, där m = " m Den summerade rörelselagen kan slutlgen skrvas: Masscentrumrörelsen: (Eulers första lag) m r G = F Kom bara håg att strunta nre krafter Anmärknng1: V kunde också använt rörelsemängdbegreppet och nfört hela systemets rörelsemängd p = m v Då kan samma ekvaton skrvas p = F " Anmärknng2: Lknande fås om v använt rörelsemängdsmomentbegreppet och kraftmomentet Då blr systemets rörelsemängdsmoment H O = " H O, och systemets momentlag (Eulers andra lag) lyder H O = M O Här räknas totala kraftmomentet som summan av de yttre krafternas moment för alla partklar: M O = " M O För energlagar adderas alla partklarnas ensklda energlagar
12 Problem: De tre kulorna är förbundna med trådar och en fjäder när kraften F applceras en av trådarna enlgt fguren Beräkna masscentums acceleraton a G Lösnng: Masscentrums rörelse bestäms av ekvatonen: 9ma G = F Denna ekvaton ger drekt acceleratonen a G = F, för masscentrum 9m