E kvaltetskotroll - Sustllverkare Fedler & Ludgre kvaltetstestas Av: Adreas Tmglas Uppsats statstk 10 poäg Nvå: 61-80 Vt 2008 Hadledare: Björ Holmqust
Abstract Ths paper am to descrbe the varato ad develop a method to cotrol the producto for the product Metropol Kaktus from the suff developer Fedler & Ludgre. We are gog to use the requremets from the product specfcatos as lmts of the expected qualty whe we preset methods to cotrol the process. Oe method attempts to cotrol durg the process ad the other attempts to maxmze the umber of products wth strved qualty before the process starts. Metropol Kaktus s a product produced wth hgh qualty, the mea weght s 20,023 gram ad ths s very close to the weght, 20 gram, whch s reported the product specfcatos. The varato weght varable s less tha what s reported the specfcatos ad the mmum weght s over the lmt set by Lvsmedelsverket. The mea mosture s oe pot lower the the mosture reported the specfcato. The varato mosture decreases f the batch mosture creases. We wat to take ths varato cosderato, therefore we use a weghted regresso model to estmate varace ad stadard devato. A cotrol dagram, am to cotrol the producto durg the process. Ths could be doe wth ether the mea value or the absolute value of the dfferece betwee the extreme values, R. A mea dagram uses the mea value for cotrollg the process. A upper ad a lower lmt are calculated wth the stadard devato. The weght varable gets a 20,278 gram upper lmt ad a 19,796 gram lower lmt. The mosture varable gets a gets a 48 % upper lmt ad a 44 % lower lmt. A R-dagram uses d2σ to cotrol the process, where d2 s a costat whose value s determed by the sze of the radom sample. Ufortuately these lmts ca t be calculated because of the radom samples dffers sze. A cotrol pla ams to cotrol the process by usg a startg value that maxmzes the umber of products wth acceptable qualty. We use the weghted regresso model to predct the mosture a product ready for sale by settg the mosture of the batch to a specfc percetage. The model shows that f we set the batch mosture to 46,5 %, 99,76 % of products ready for sale are gog to be wth the rght mosture percetage. I a cotrol pla for the varable weght we wat the probablty that a box cotas a smaller amout of suff to be small, ths s called cosumer rsk, ad the probablty that a box cotas too much suff should also be small, ths s called producer rsk. We decde what sze the radom sample should be ad the model show 19 observatos ad that we should dscard the batch f the weght s less tha 20,15 gram. 2
Sammafattg Uppsatses syfte är att beskrva varatoe, utarbeta e kotrollpla och styrdagram för produkte Metropol Kaktus frå sustllverkare Fedler & Ludgre. För att kotrollera varatoe, skapa ett styrdagram och e kotrollpla som stämmer överes med de krav som Fedler & Ludgre eftersträvar aväder v produktdatabladet. I produktdatabladet står de specfka krav som är uppsatta för att garatera e produkt med hög kvaltet. Metropol Kaktus är e produkt med hög kvaltet. Medelvkte, 20,023 gram, är mycket ära det vkt som eftersträvas, 20 gram. Varatoe vkt är mdre ä vad som ages produktdatabladet och mmvkte är över Lvsmedelsverkets krav. Medelfuktghete är e procetehet för låg, 44,03 %. Sprdge för fuktghete är specell, de varerar mdre då fuktghete batche ökar. Ett styrdagram syftar på att uder produktoe kotrollera så att processe är uder kotroll. Detta görs med hjälp av ett medelvärdesdagram och/eller ett R- dagram som kotrollerar varatosbredde. Ett medelvärdesdagram aväder medelvärdet för att hålla processe statstsk jämvkt. Övre och udre gräs skattas med hjälp av stadardavvkelse och medelvärdet frå datamateralet. För vkt aväder v 6-sgma-gräser och får e övre gräs som är 20,278 gram och e udre gräs som är 19,796 gram. För fuktghet så får v e övre gräs som är 48 % och e udre som är 44 %. Ett R-dagram aväder d2σ som jämvkt, där d2 är e kostat som edast beror på storleke på stckprovet. Tyvärr så ka v te skatta dessa gräser då stckprove är olka stora. E kotrollpla syftar på a processe startas kotrollera vd vlka värde v får e produkt med hög kvaltet. För skapadet av e kotrollpla för vkt aväder v de vktade regressoe och aväder modelle att progostsera vd vlke fuktghet batche v får e portossus med eftersträvad fuktghet. Det vsar sg att om har v e fuktghet batche på 46,5 % så kommer 99,76 % av de färdga portossuse ha rätt fuktghet. I kotrollplae för vkt vll v att rske att e dosa väger för lte ska vara låg, kosumetrske, och v vll att rske att e dosa väger för mycket ska vara låg, producetrske. V bestämmer vlke stckprovsstorlek v behöver och vd vlket vkt v ska förkasta e batch. 3
Iehåll 1 Iledg 5 1.1 Bakgrud 5 1.2 Syfte 6 2 Data 6 2.1 datasamlg 6 3 Metod 7 3.1.1 Styrdagram 7 3.1.2 Medelvärdesdagram 9 3.1.3 Val av styrgräser 9 3.1.4 s-metode 10 3.1.5 R-metode 11 3.2 Kotrollpla 13 3.3 Z-test 15 3.4 Ljär regresso 15 4 Aalys av Metropol Kaktus 16 4.1.1 Aalys av vkt 16 4.1.2 Aalys av fuktghet 18 4.1.3 Aalys av lägd och bredd 20 4.1.4 Aalys av produktosljer 21 4.1.5 Aalys av operatörer 21 4.2 Styrdagram 22 4.2.1 Medelvärdesdagram 22 4.2.2 R-dagram 24 4.3 Kotrollpla 25 4.3.1 Kotrollpla för fuktghet 25 4.3.2 Kotrollpla för vkt 27 5 Sammafattade dskusso 28 5.1 Slutsatser 28 6 Refereser 30 6.1 Ltteratur 30 6.2 Artklar 30 7 Blagor 31 4
1 Iledg 1.1 Bakgrud Fedler & Ludgre AB tllverkar sus och har vd skrvadet sju produkter på de sveska markade. Produktportfölje består för tllfället av följade produkter; Mocca (Mocca Mt, Mocca As och Mocca Vtergröa), Metropol (Metropol Lakrtsrot & Metropol Kaktus) samt Grat (Grat porto & Grat stor porto). Produktosehete har futs Malmö drygt 3 år och de första 4 produktera laserades på markade aprl 2004 och ytterlgare tre produkter höste 2004. Uppsatses ehåll dskuterades fram tllsammas med Qualty ad Hygee Maager Ael Ldell, Produktosgejöre Dael Wramborg, Process Developmet Maager Adam Berggre och Seor Vce Presdet Lef Hasso. Jag fck som uppdrag att utvärdera de löpade kvaltetskotrolle produktoe hos Fedler & Ludgres produktgrupp Metropol. V kom fram tll att följade skulle udersökas: Vlka skllader fs det de fyskalska mätgara om varje produkt och om e produktgrupp? Vad ka det bero på? Fs det skllader kvaltete (fyskalska mätgar) av de färdga vara mella skfte, eller mella operatörer? Vlka är dessa? Ka adra sambad eller varatoer upptäckas? Jämföra produktosmedelvärde och sprdg mot de specfkatoer som fs produktdatabladet, se blaga 1 5
1.2 Syfte Syftet är att beskrva varatoe, utarbeta ett styrdagram och e kotrollpla för produkte Metropol Kaktus. Vdare syftar uppsatse tll att hjälpa Fedler & Ludgre att framtde på ege had göra e kvaltetsbedömg, utarbeta kotrollplaer och styrdagram för de produkter som te behadlas dea uppsats. 2 Data 2.1 Datasamlg All data kommer frå Fedler & Ludgre, de är skrve på checklstor som maskoperatöre fyller varje tmme uder produktoe (Se blaga 2). Data är frå de 10 september 2004 tll de 8 aprl 2005. Vd det första mötet med F & L lämades data ut som var frå de 10 september tll de 15 februar, detta kompletterades seare med data tll och med de 8 aprl då det te fas tllräcklgt med observatoer för vlke produktoslje som producerat produkte. Atalet observatoer blev efter detta 154 st totalt. Varabel vkt10 är vkte av 10 st portossus vd e mätg, dosa är vkt10 multplcerad med 2,5, detta gör v för att beräka varatoe e dosa, då e dosa ehåller 25 stycke portossus. V skattar σ 2 med e varasskattg ( Y Y ) 2 V ( Y ) = 1 v skattar te σ elgt ormal skattg dvs D ( Y) = V( Y), skattge får stället följade utseede Y Y 10 25 = = 10 = 1 25 = 1 X X V ( Y V ( Y 10 25 ) = ) = 10 = 1 25 = 1 V ( X V ( X ) = 10V ( X ) = 25V ( X ) D( Y ) D( Y 10 25 ) = ) = 10V ( X) 2,5V ( Y 10 ) Fuktsput är de fuktghete som är uppmätt sputke, e sputk är e mdre behållare med sus som fästs vd maske vd tllverkg av portossus. Fuktbot är de fuktghete som är uppmätt botteplatta, e behållare som slussar er sus lagom stora portoer tll förpackgsmaske. Fuktsus är fuktghete e portossus. All fuktghet mäts procet. Lägd och bredd på e portossus mäts med ljal med mllmeter som msta ehet. 6
3 Metod Neda så preseteras de statstska metoder som kommer avädas för att kotrollera kvaltete och metoder för att försöka styra de. 3.1.1 Styrdagram Ett styrdagram ebär att ma med vssa tdsmellarum tar ut ett atal observatoer frå produktosprocesse och frå dessa beräkar e kvaltetsdkator som sätts ett dagram. Idkator är alltså e storhet som är beräkad på de erhålla värdea. Det ka vara deras medelvärde eller stadardavvkelse. Det är valgt att ma har flera kvaltetsdkatorer som kotrollerar samma tllverkgsprocess. Så läge de uppmätta kvaltetsdkatorera håller sg om föreskrva gräser ases produktosprocesse vara statstsk jämvkt och på så sätt håller ma god kotroll på tllverkgsprocesse. Om kvaltetsdkatorera plötslgt skulle över- eller uderskrda de föreskrva gräsera stoppar ma tllverkgsprocesse och söker aledge tll detta. Dessa gräser kallas styrgräser och ofta markeras äve e dealvå, mella styrgräsera som kallas cetrallje, CL. Övre och udre gräs förkortas Sö och Su, se exempel eda. [Bergma, Klefsjö; Kvaltet frå behov tll avädg] Fgur 1 7
Ett styrdagram bör uppfylla följade krav elgt Bergma & Klefsjö: Med dess hjälp ska ma sabbt kua upptäcka systematska förädrgar och därgeom bdra tll att ma fer urskljbara källor tll varato. Det ska te ge falskt alarm, dvs rske ska vara lte att e pukt hamar utaför styrgräsera är ge systematsk förädrg skett. Ma ska styrdagrammet kua uppskatta tdpukte för förädrg och slaget av förädrg för att få hjälp felsökgsarbetet. Det ska kua fugera som ett kvtto på att processe vart stabl. Det ska fugera som ett kvtto på att förbättrgsarbetat har vart lyckosamt Det ska tjäa som uderlag för värderg av sprdge hos processe, dvs dess duglghet och för förädrgar framtda styrdagram. Det två första puktera ger upphov tll ett avväggsproblem. Om ma ökar käslghete hos dagrammet tederar rske för falskt alarm, dvs att ett utslag ges trots att det te skett e systematsk förädrg att öka. Me mskar ma de slumpmässga sprdge hos de studerade kvaltetsdkator geom att basera beräkgar på flera observatoer stället för ett estaka värde så blr rske för falskt alarm mdre. 8
3.1.2 Medelvärdesdagram Ett medelvärdesdagram baseras på geomsttsvå av e vss egeskap. Med vssa tdsmellarum tar ma ut e provgrupp om observatoer frå processe. V beräkar seda medelvärdet på dessa observatoer och aväder det som kvaltetsdkator styrdagrammet. Ata att kvaltetsvarabel har vätevärdet µ och stadardavvkelse σ som båda är käda vd statstsk jämvkt. Då är medelvärdet, x, e observato frå e fördelg med samma vätevärde me stadardavvkelse är σ. V har då större chas att upptäcka e avvkelse frå geomsttsvå är v betraktar medelvärdet ä då v betraktar e estaka observato. [Bergma, Klefsjö; Kvaltet frå behov tll avädg]. 3.1.3 Val av styrgräser Val av styrgräser ska göras så saolkhete för falskt alarm blr lte. V ka ata att x är ormalfördelad elgt Cetrala gräsvärdessatse, då är saolkhete att medelvärdet avvker mer ä 3σ / frå stt vätevärde edast 0,0027. Det betyder att v staar processe oöda 0,27 % av falle, vlket ases allmähet vara e rmlg rsk, ma aväder därför ofta ett dagram med 3-sgma-gräser. Hur stor rsk ma är vllg att ta måste sättas relato tll hur svårt det är att bedöma om ett utslag är ett falskt alarm eller te. Om det är lätt ka ma ta e större rsk för falskt alarm och på så sätt öka käslghete hos dagrammet, dvs få sabbare utslag då e systematsk förädrg verklge träffat. [Bergma, Klefsjö; Kvaltet frå behov tll avädg] Detta förutsätter dock att µ och σ är käda. Om ma ska starta e process är µ och σ oftast okäda. Ma måste då skatta dessa parametrar. Ett valgt sätt [Bergma, Klefsjö; Kvaltet frå behov tll avädg] är att ma låter processe gå ett tag och tar ut ett atal provgrupper, k provgrupper om observatoer. E tumregel är att k är mst 20-25, helst uppemot 40. Detta beror på att rske för falskt alarm påverkas av atalet provgrupper. Skattg av µ görs seda med medelvärdet för de k provgruppera, dvs x = x 1 + x 2 + x k 3 +... + x k eller x = x 11 + x 12 + x 13 +... + x21 + x22 k +... + x k 9
Om v käer σ ka v aväda styrgräsera S ö = x + 3σ S u 3σ = x Me är σ okäd måste v med hjälp av våra mätvärde äve skatta σ. Detta gör v med s-metode eller R-metode. 3.1.4 s-metode V beräkar först stadardavvkelsera för våra k provgrupper, seda gör v e σ-skattg. σ = s + s + s +... + s 1 2 3 k 1 k c 4 = s c 4 där c4 är e kostat, som ebart beror på stckprovsstorleke. Aledg tll detta är att medelvärdet av de k vätevärdesrktga skattgara s1/c4, s2/c4, s3/c4... sk/c4 på σ också är e vätevärdesrktg skattg av σ me med mdre sprdg. Där c4 ges av 1 1Γ 2 2Γ 2 Värdet på kostate c4 för olka storlek på fs tabell 1. Med dea skattg får v styrgräsera 3s x ± c 4 3 Iför v beteckge A3 = ser v att A3 är e kostat som edast beror på c4 som fs tabell 1. Detta förutsätter att stckprove är lka stora för de k gruppera. [Bergma, Klefsjö; Kvaltet frå behov tll avädg] 10
3.1.5 R-metode Aväder v R-metode för att skatta σ beräkar v varatosbredde, dvs skllade mella det största och det msta värdet provgruppe för var och e av de olka provgruppera. Med hjälp av dessa varatosbredder, R1, R2 Rk skattar v seda σ med R1/d2+ R2/d2+ R3/d2+ +Rk/d2 / k där d2 är e kostat som gör skattg vätevärdesrktg och som edast beror på atalet observatoer provgruppera. Aledge tll kostruktoe är, som s-metode yss, att medelvärdet av de k vätevärdesrktga skattgara R1/d2, R2/d2, R3/d3 är e y vätevärdesrktg skattg av σ me med mdre sprdg. Värdet på kostate för olka storleke på fs tabell 1. Med dea skattg får v styrgräsera 3R x ± d 2 Fördele med dea skattg är att de te kräver så mycket beräkg. Däremot så kräver de mer av stckprovet, de kräver att v har lka måga observatoer stckprove. [Bergma, Klefsjö; Kvaltet frå behov tll avädg] 3.1.6 R-dagram Ett R-dagram aväder varatosbredde som mått på kvaltetsvarabels sprdg. Eftersom fördelge tll R har vätevärdet d2σ och stadardavvkelse d3σ där d2 och d3 är kostater som ebart beror på, se R-metode, måste ma prcka R/d2 om ma vll ha σ som cetrallje styrdagrammet. Värde för d2 och d3 fs tabell 1. För att slppa dvdera med d2 prckar ma stället R dagrammet och aväder d2σ som cetrallje. Ett R-dagram med 3-sgma-gräser får då styrgräsera Sö = (d2+d3) σ CL=d2 σ Su = (d2-d3) σ V ser tabell 1 att för 5 blr d2-3d3 < 0. V sätter därför Su tll 0 eftersom det alltd gäller att σ > 0. Iför v kostatera D1 = max(0, d2-3d3) och D2 = d2 + 3d3 får v gräsera Sö = D2σ och Su = D1σ Olka värde på D1 och D2 fs tabell 1. 11
Är σ okäd ersätter ma σ med skattge R/d2, där R är medelvärdet av varatosbredde tll de k provgruppera. Det ger Sö = D4 R och Su = D3 R där kostatera är D 4 d + 3d = 2 3 d och 2 3 D = 3 max 0, 2 d 2 d 3d som fs tabell 1. I praktke är det ofta lämplgt att ma komberar styrdagram för vätevärde och för sprdg. E kombato av medelvärdesdagram och R-dagram är valgt, ma talar då om ett x -R-dagram. [Bergma, Klefsjö; Kvaltet frå behov tll avädg] 12
3.2 Kotrollpla E kotrollpla som äve tar häsy tll producetrsk, α, och kosumetrsk, β, kostrueras på ett aorluda sätt jämfört med ett styrdagram. E kotrollpla vsar te om kvaltetskrave följs uder tllverkgsprocesse som ett styrdagram. Istället styr ma rskera för att produkte te ska produceras med oacceptabel kvaltet. V ka bestämma hur stora rskera ska vara för producete och kosumete att få e produkt med oacceptabel låg kvaltet, och på så sätt kostruera gräser som är tllfredsställade. E såda kotrollpla bygger på µ = E(X) som bekat skattas med medelvärdet hos de uppmätta observatoera x1, x2, x3...x. Om µa represeterar e acceptabelt geomsttlg vå frå produceteras sy bör saolkhete att de ska godkäas vara hög. Om µo represeterar e oacceptabelt låg geomsttlg vå ur kosumeteras sy bör saolkhete att de avskljs äve vara hög. E kotrollpla ka se ut på följade sätt: Om x L godkä partet x < L avsklj partet V vll bestämma gräse L, medelvärdet för att godkäa eller förkasta ett part, så att kosumetrsk och producetrsk blr som v öskar. Det ebär om µ = µa så vll v att P( x < L) α är lte och om µ = µo så vll v att P( x < L) 1- β är stor. Hur gräse L och stckprovsstorleke ska väljas beror på hur varatoe ser ut. V atar att varatoe är ormalfördelad elgt cetrala gräsvärdessatse, då är x är approxmatvt N (µ, σ / ). Vlket leder tll följade. Om µ = µa så gäller L P ( x L ) = 1 Φ σ µ α och om µ = µo så gäller L P ( x L ) = 1 Φ σ µ 0 13
L µ Det ger α L µ 1 Φ α σ 1 och 0 1 Φ β σ Lösge på dessa relatoer blr σ 1 1 2 Φ (1 β ) Φ ( α) µ µ α 0 2 och σ Φ 1 ( α) L P = µ α + 1 σ Φ (1 β ) L K = µ 0 + Där Φ -1 är de stadardserade ormalfördelgs vers, Φ -1 är tabellvärdet för ett gvet p. V ser att stckprovsstorleke,, här är beroede av varatoe och vlka värde v väljer på producet- och kosumetrske tll skllad frå ett styrdagram där v valde storleke på. [Björ Holmqvst; Acceptaskotroll geom mätg] 14
15 3.3 Test av medelvärde För att v ska kua beräka saolkhete att v uderskrder eller överskrder ett vsst värde så aväder v oss av ett Z-test. Om X är N(µ, σ 2 ) då är σ ( µ) = X Z N(0,1) för ) ( ) ( µ σ σ µ + = = z X P z X P z Z P V ka då testa saolkhete att e observato uderskrder ett gvet värde. För att udersöka saolkhete att X befer sg mella två värde så aväder v Φ = Φ = σ µ σ µ σ µ σ µ σ µ a b b X a P b X a P ) ( [Probablty ad statstcal ferece; Hogg &Tas] 3.4 Ljär Regresso För att bestämma sambadet mella olka varabler så kommer v aväda oss av e vägd ekel ljär regresso. Ekel ljär regresso har följade utseede y=a+bx E vägd ljär regresso får samma utseede me kostatera skattas på följade vss = = = X X w Y Y X X w b 1 1 ) ( ) )( ( och = = = = = w w X b w w Y a 1 1 1 Där w är de vkt v aväder för att vkta varabel. [Itroductory ecoometcs wth applcatos; Ramu Ramaatha]
4 Aalys av Metropol kaktus 4.1.1 Aalys av vkt Metropol Kaktus är ett portossus med smak av kaktus. E dosa ehåller 25 stycke portossus och agve ettovkt för e dosa är 20 gram. E portossus ska väga 0,8 gram och tllåts varera 0,03 gram uppåt och edåt. Som v ser tabell 2 eda så överskrder medelvkte för e dosa agve ettovkt. Lvsmedelsverket har bl a två krav på producete för varabel vkt, det första är att medelvärdet måste vara högre ä agve ettovkt. Det adra kravet är att edast 2 % av produktera får avvka vkt edåt mella 9 tll 18 % av agve ettovkt. 56 stycke av 154 dosor, 36 %, har e vkt uder 20 gram. Av dessa 56 dosor så är det ge som uderskrder 91 % av agve ettovkt. V ser att mmvärdet är 18,5 gram vlket är 7,5 % mdre ä agve ettovkt, vlket är större ä 18,2 gram som är de övre gräse för Lvsmedelsverkets krav. Sprdge är däremot större ä vad de tllåts att vara, e sus får varera 0,03 gram edåt och 0,03 gram uppåt elgt produktdatabladet. 25 sus som alla har e mmvkt eller e maxmvkt elgt produktdatabladet väger 19,25 gram och 20,75, mmvkte är 18,50 gram och maxmvkte är 21,5 gram. Sprdge skljer sg alltså frå produktdatabladets maxm-, mmvkter. V atar att vkte är ormalfördelad, v ka då aväda oss av x ± Z σ för att göra ett kofdestervall för vkte av e dosa. Ett 95 % kofdestervall får e udre gräs som är 19,97 gram och e övre gräs som är 20,07 gram. Kofdestervallet går geom 20 gram vlket säger oss att det te är sgfkat skljt frå 20. Kaktus M Max mea s varas vkt10st 154 7,4 8,6 8,01 0,21 0,04 Dosa 154 18,5 21,5 20,02 0,33 0,28 Tabell 2 Skulle v beräka saolkhete att e observato uderskrder 20 gram så är de P(X< 20 Dosa ~ N(20,02, 0,33)) => Φ(20 20,02 / 0,33) = = Φ(-0,07) = 1 - Φ(0,07) = 1-0,5279 = 0,47 = 47 % V ser att saolkhete att få e dosa som uderskrder agve ettovkt är hög, 47 %, vlket v kude förväta oss med e medelvkt så ära 20 gram. 16
Saolkhete att få e dosa som uderskrder 91 % av agve ettovkt det vll säga 18,2 gram som är de övre gräse frå Lvsmedelsverkets krav, gvet att medelvkte är 20,02, är P(X< 18,2 Dosa ~ N(20,02, 0,33)) = Φ( 18,2-20,02 / 0,33) = = Φ (-5,49) = 1 - Φ(5,49) = 1-0,9999999 = 0,00001 V får ett P-värde som är väldgt ltet och saolkhete att få e dosa som te uppfyller kravet på 9-18 % är mdre ä 0,01 %, vlket ka ases vara e acceptabel rsk. Skulle v beräka saolkhete att få e dosa som väger mdre ä 82 % av ettovkte skulle v få Φ (-10,91)= vlket ger ett P-värde som är mycket ltet. 17
4.1.2 Aalys av fuktghet Fuktghete e portossus av produkte Metropol kaktus ska vara ca 45 %. Dea tllåts varera 1 procetehet edåt och 3 proceteheter uppåt. Medelvärdet för fuktghete e färdg portossus är 44,03 %, vlket är lågt med take på vad som eftersträvas. V får ett mmvärde som är 40,52 % och ett maxmvärde som är 46,31 %, fuktghete varerar mer edåt ä uppåt, edast 39 av 149 observatoer har e fuktghet högre ä 45 %. Ett 95 % kofdestervall för medelfuktghete e portossus får e udre gräs som är 43,81 och e övre som är 44,25, tervallet går te geom det eftersträvade värdet 45 % vlket tyder på att fuktghete är sgfkat skljt frå 45 %. Kaktus M Max mea s varas fuktsput 82 44,43 46,85 45,61 0,74 0,55 fuktbot 147 41,29 47,05 44,78 1,14 1,30 fuktsus 149 40,52 46,31 44,03 1,37 1,89 Tabell 3 Varas och stadardavvkelse tabell 3 bör aalyseras med e vss försktghet, v ser på sprdgsdagrammet, se fgur 2, att varatoe är olka för varje sputk, e poolad skattg av varas och stadardavvkelse ger e bättre bld av materalet ä e ormal skattg. s Pool = k = 1 ( 1) s 1 2 Med e poolad skattg så får v e varas som är 0,607 och e stadardavvkelse som är 0,779. Jämför v dessa skattgar med de valga skattgara tabell 3 så ser v varatoe u ästa är hälfte så stor. 47 46 45 44 43 42 FUKT SNUS 41 40 44,0 44,5 45,0 45,5 46,0 46,5 47,0 Fgur 2 FUKTSPUT 18
Udersöker v sprdgsdagrammet ge, fgur 2, så ser v att varatoe e färdg portossus är mskar om fuktghete sputke ökar. I och med varatoe portossuse mskar om fuktghete sputke ökar så måste v ta häsy tll detta är v skattar varas och stadardavvkelse. E vktad regresso är e lösg, se tabell 4, 5 och 6, vktar v regressoe med x 44 där x är fuktghete sputke så blr varase 0,915 ( x 44) och stadardavvkelse 0,915 ( x 44). V ka äve skatta y för varje esklt värde på x. Regressoe får följade utseede: y = 22,77 + 1, 4727x Tabellerar v y då x går frå 44,43 tll 47,63 med e ökg på 0,2 taget så får v följade tabell. y=a+bx x s 2 s x 1, 96 s x + 1, 96 s 42,660 44,43 2,128 1,459 38,490 47,289 42,955 44,63 1,452 1,205 40,108 46,992 43,249 44,83 1,102 1,050 41,089 46,888 43,544 45,03 0,888 0,943 41,803 46,877 43,838 45,23 0,744 0,862 42,380 46,920 44,133 45,43 0,640 0,800 42,879 46,998 44,427 45,63 0,561 0,749 43,327 47,098 44,722 45,83 0,500 0,707 43,742 47,216 45,017 46,03 0,451 0,671 44,133 47,346 45,311 46,23 0,410 0,641 44,507 47,485 45,606 46,43 0,377 0,614 44,868 47,633 45,900 46,63 0,348 0,590 45,218 47,786 46,195 46,83 0,323 0,569 45,561 47,944 46,489 47,03 0,302 0,550 45,897 48,107 46,784 47,23 0,283 0,532 46,228 48,273 47,078 47,43 0,267 0,516 46,555 48,442 47,373 47,63 0,252 0,502 46,879 48,614 V ser att modelle fugerar, stadardavvkelse och varas mskar då fuktghete sputke ökar. Kofdestervallet är väldgt brett är fuktghete sputke är låg och mskar allt eftersom fuktghete sputke ökar. E fuktghet sputke på 46 % ger e förvätad fuktghet e portossus på 45 % och ett tervall som är 44,13 % < y < 47,35 % som förvätas täcka 95 % av portossuse som produceras. Vd e fuktghet uder 46 % sputke produceras sus som har e lägre fuktghet ä vad som eftersträvas. 19
4.1.3 Aalys av lägd och bredd Lägd och bredd mäts med e ljal med mllmeterskala, e portossus med smak av kaktus ska vara 33 mm låg och 17 mm bredd elgt produktdatabladet. V ser tabell 7 att medelvärdet för lägd är 33,5 mm och för bredd 17,3 mm. Kaktus M Max mea s varas lägd 154 32 36 33,53 0,70 0,49 bredd 154 15 18 17,29 0,54 0,29 Tabell 7 E frekvestabell får följade utseede LÄNGD mm Frequecy Percet Vald 32 6 3,90 33 71 46,10 34 67 43,51 35 9 5,84 36 1 0,65 Total 154 100,00 Tabell 8 V ser att alla utom 16 observatoer är 33-34 mm låga. Med de mätmetod som lgger tll grud för dessa resultat så är lägde vå med de krav som fs produktdatabladet. BREDD mm Frequecy Percet Vald 15 1 0,65 16 3 1,95 17 100 64,94 18 50 32,47 Total 154 100,00 Tabell 9 V ser att alla utom 4 observatoer har bredde 17-18 mm. Äve bredde är vå med de kravs som ställts produktdatabladet. 20
4.1.4 Aalys av produktosljer Om v jämför medelvkte mella de fyra olka ljera ser v tabell 10 att lje 3 har lägst medelvkt, 19,99 gram och lje 2 har högst medelvkt, 20,26 gram. V ka te vsa ett sambad mella e särsklt låg medelvkt och e särskld lje. Om v tttar på stadardavvkelse ka v te se att e särskld lje varerar mer vkt ä ågo aa. E varasaalys vsar att det te fs ågo skllad mella ljera, se tabell 11. Vad gäller fuktghet så får v lkartade resultat, v ka te se ågo skllad på medelvärdet och stadardavvkelse mella ljera. E varasaalys för fuktghete suse är te sgfkat, se tabell 12. V ka te vsa att fuktghete beror på vlke lje som producerat portossuse. De skllader som fs beror trolge på slumpe, v ka te påvsa ågot sambad mella särsklt låga eller höga medelvärde, frå tabell 9 ser v ge skllad på mm- maxmvärde mella ljera. 4.1.5 Aalys av operatörer Tyvärr ka v te aalysera operatöres påverka på produktoe, det fs te tllräcklg data tll e såda aalys. Det verkar te fas e uttalad operatör, de som tar stckprovet regstreras som operatör trots att de kaske te sköter ställge av maske. V får på detta vs väldgt måga operatörer och måga av dessa har edast ett fåtal observatoer regstrerade stt am. 21
4.2 Styrdagram 4.2.1 Medelvärdesdagram Om v skulle kostruera ett styrdagram som bygger på medelvärdet så måste gräsera vara tllfredställade, Bergma & Klefsjö föreslår 3-sgma-gräser. V sakar µ och σ så v skattar dessa. V tar k provgrupper och beräkar medelvärdet på dessa observatoer. Skattg av µ görs seda med medelvärdet för de k provgruppera. x = x 1 + x 2 + x k 3 +... + x k F & L s stckprov har te det utseedet att v ka aväda de metod som beskrvs ova. V måste smulera dessa k grupper. Dea smulerg sker på följade sätt: x 1 är medelvärdet för batch 1, x2 är medelvärdet för batch 2... x k är medelvärdet för batch k. V betraktar batcharas medelvärde som observatoer 1 tll k, så x blr medelvärdet frå batchara. Om v skattar medelvkte på detta sätt blr de 20,037 gram och medelfuktghete blr 44,36. V skattar σ på samma sätt, dvs σ = s + s + s +... + s 1 2 3 k 1 k c 4 = s c 4 Om v tar medelvärdet för stadardavvkelsera och multplcerar med kostate 1/c4 som v får frå tabell 1 så får v e vätevärdesrktg skattg på σ. För fuktghete blr σ= 0,7731, stadardavvkelse blr mdre ä om v skattar de på valgt vs. För vkte av e dosa blr σ=0,499, detta värde är också mdre ä de urspruglga skattge. Om v ska skapa styrgräser som håller kvaltete på e hög vå så måste v bestämma hur måga stadardavvkelser som v tllåter varabel att varera. V vet att tre stadardavvkelser är praxs elgt Bergma & Klefsjö. Med dea skattg får v styrgräsera 3s = x + och C S Ö 4 3s S U = x C4 3 ka ersättas med A3, se tabell 1, som edast beror på, styrgräsera ka då c 4 skrvas S ö 3 = x + A s och = x A s. S u 3 22
För att dea kostrukto ska vara möjlg så måste v ha stckprov som är lka stora. V har olka stora stckprov, v ka därför te välja e kostat. V ka te aväda kostate A3, v måste aväda oss av de urspruglga skattge σ = s + s + s +... + s 1 2 3 k 1 k c 4 = s c 4 V ka u kostruera ett styrdagram för vkte på e dosa med e övre gräs och e udre som är 3s 3 0,499 S Ö = x + = 20,037 + = 20, 158 154 3s 3 0,499 S U = x = 20,037 = 19, 916 154 V ser att de udre gräse uderskrder de agva ettovkte vlket är ett problem. V vet att det är tllåtet att uderskrda agve ettovkt så läge medelvkte överskrder ettovkte me att ha e gräs som uderskrder agve ettovkte är e fråga som måste dskuteras. Problemet är att med dessa gräser har v ett styrdagram som ger utslag väldgt ofta. Ökar v bredde på gräsera så kommer v få e äu lägre udre gräs, vlket leder tll samma frågeställg som tdgare. Som gräsera ser ut u så passerar te mer ä ca 20 % geom kotrolle. Breddar v gräsera tll 6 stadardavvkelser så får v gräsera SÖ=20,278 och SU=19,796 och då kommer ca 60 % att passera. Om v skulle kostruera gräser som avser vkte för 10 stycke portossus så skulle de få följade utseede 3s 3 0,199 S Ö = x + = 8,015 + = 8, 063 154 3s 3 0,199 S U = x = 8,015 = 7, 967 154 Styrgräsera för fuktghete ka ata olka värde beroede på hur v resoerar. V vet att fuktghete tllåts varera 1 procetehet edåt och 3 proceteheter uppåt. V ka på ågot vss försöka ta häsy tll dea skllad och skapa gräser som te är samma för varato edåt som uppåt. Medelfuktghete är 44,355 och stadardavvkelse är 0,773. Så v sätter de udre gräse tll S U sp = x och de övre S Ö 3sP = x + 23
Gräsera blr då SU=44,292 och SÖ=44,545, v ser att dessa gräser är alldeles för smala. V måste bredda tervallet, v vet att det får varera 3 procetehete uppåt och lstar v atalet stadardavvkelser ser v att v får aväda ett stort atal stadardavvkelser för att å e fuktghet på 48 %. Atal stadaravvkelser (x) s x s 3 0,0633 0,1899 6 0,0633 0,3799 9 0,0633 0,5699 12 0,0633 0,7599 15 0,0633 0,9499 18 0,0633 1,1398 21 0,0633 1,3299 24 0,0633 1,5198 27 0,0633 1,7098 30 0,0633 1,8998 Tabell 13 För att å eftersträvad vå på +3 proceteheter, dvs 48 %, måste addera 45 stadardavvkelser på medelfuktghete. Aalyse sakar då värde, aväder v te ett stort atal stadardavvkelser så kommer dagrammet ge utslag då sprdge är mycket stor trots det stora atalet observatoer. Ett sätt vore att sätta gräsera 44 och 48 som udre och övre gräs. Om v skulle aväda varatosbredde, R, och med hjälp av de skatta σ så aväder v följade metod: R1/d2+ R2/d2+ R3/d2+ +Rk/d2 / k där d2 är e kostat som gör skattg vätevärdesrktg och som edast beror på atalet observatoer provgruppera, se avstt 3.1.5. V ka te beräka dea stadardavvkelse då v har olka stora stckprov. 4.2.2 R-dagram Om v vll aväda oss utav varatosbredde och med hjälp av dea kotrollera kvaltete så aväder v sprdge som cetrallje, dvs att sprdge te får varera mer ä förutbestämda gräser. För att styrdagrammet ska fylla s fukto måste v veta värdet på kostatera D1, D2, D3 och D4 som beror på stckprovsstorleke. V ka te heller detta fall välja kostater för att v äve här har olka stora stckprov. 24
4.3 Kotrollpla 4.3.1 Kotrollpla för fuktghet Om v skulle försöka skapa e kotrollpla för fuktghete e färdg portossus så vet v att fuktghete e portossus är starkt korrelerad med de fuktghet som är batche, se fgur 2. Ka v på ågot sätt försöka skatta hur dea fuktghet förädras uder produktoe så ka v skapa e ekel kotrollpla som mmerar rske att v producerar med e för låg eller för hög fuktghet. V vet seda tdgare att regressosmodelle y = 22,77 + 1, 4727x ger e bra skattg av hur fuktghete och varatoe förädras. Om v producerar e batch med e fuktghet som är 46 % så får v 95 % av de producerade portossuse om ett tervall som är mella 44,13 % tll 47,35 %. Detta ger e produkto som stämmer överes med produktdatabladets krav. Att producera sus som har exakt 46 % fuktghet är svårt, ett tervall är att föredra. Om v skapar ett dagram, fgur 4, och plottar för vlka sputkvärde v får e färdg portossus som är om föreskrva gräser ser v att det skuggade partet ger e portossus som lgger mella 44-48 %. Fgur 4 Så att producera e sputk med e fuktghet mella 46-47 % ger oss e bra portossus. Om v producerar e batch med 46,5 % fuktghet så får v e saolkhet att de uderskrder 44 % som är P(X< 44 Dosa ~ N(45,71, 0,915 (46,5 44) )) => Φ (44 45,71/ 0,915 (46,5 44) ) = Φ(-2,83) = 1 - Φ(2,83) 1 0,9977 = 0,0023 = 0,23 % 25
Saolkhete att v producerar e portossus som har lägre fuktghet ä 44 % är 0,23% är v har e batchfuktghet som är 46,5 %. Aledge tll att v väljer 46,5 % är att då maxmerar v tervallet där fuktghete får varera. Om v testar saolkhete att v producerar e sus med för hög fuktghet gvet att batche är 46,5 % är P(X>48 Dosa~N(45,71, 0,915 (46,5 44) )) => 1 - Φ (48 45,71/ 0,915 (46,5 44) ) = 1 - Φ(3,78) = 1 0,9999 = 0,0001. V ser att saolkhete att få e portossus med för hög fuktghet är väldgt lte, edast 0,001%. Producerar v med e fuktghet batche på 46,5 % så är saolkhete att v överskrder e fuktghet på 48 % eller uderskrder e fuktghet på 44 % e färdg portossus P( 44 < X < 48) Dosa ~ N(45,71, 0,915 (46,5 44) )) = Φ (48 45,71 / 0,915 (46,5 44) ) - Φ (44 45,71 / 0,915 (46,5 44) ) = Φ(3,78) - Φ(-2,83) = Φ(3,78) 1- Φ(2,83) = 0,9999 (1 0,0023) = 0,9976 = 99,76 % Sätter v fuktghete batche tll 46,5 % så kommer 99,76 % av de producerade suse hama om de satta gräsera vlket är ett mycket bra resultat. 26
4.3.2 Kotrollpla för vkt För att skapa e kotrollpla för vkte e färdg portossus så måste v bestämma kosumet- och producetrske. Kosumetrske är att e dosa väger mdre ä agve ettovkt, producetrske är att e dosa väger mer ä agve ettovkt. Saolkhete att få e dosa som väger mdre ä agve ettovkt är 47 % gvet att medelvkte är 20,023 och stadardavvkelse är 0,332. Om medelvkte ökar så mskar rske att få e dosa som väger mdre ä 20 gram me då ökar producetrske. V måste bestämma kosumet- och producetrske så de både är låga och acceptabla. Av kofdestervallet vet v att 95 % av alla dosor lgger om tervallet 19,97 gram tll 20,07 gram. Om v aväder kofdestervallet för att bestämma producetrske så sätter v rske att v överskrder 20,07 gram tll 10 % och rske att v uderskrder 19,97 tll 5 %. 1 1 2 Φ (1 β ) Φ ( α) σ = µ α µ 0 2 2 1,2816 ( 1,6449 0,276 = 20,07 19,97 2,9265 = 0,276 = 237 0,1 V ser att stckprovsstorleke blr stor, =237. V måste täka om för att få er stckprovsstorleke. Om v aväder oss av våra gräser frå styrdagrammet så vet v att de övre gräse är 20,278 och de udre är 19,796. Sätter v rske att v överskrder de övre gräse tll 5 % och rske att v uderskrder de udre tll 2,5 % så får v ett stckprov om 19 observatoer. Detta ger oss 2 L = µ α Φ σ 1 (0,05) 1,6449 = 20,278 0,332 = 20,153 19 Tar v ut 19 dosor och mäter medelvkte på dessa så förkastar v partet om medelvkte är mdre ä 20,15 gram. 27
5 Sammafattade dskusso 5.1 Slutsatser Om ma ser tll helhete så producerar F&L e bra produkt med hög kvaltet. Medelvkte lgger över agve ettovkt och ga observatoer lgger uder 91 % av ettovkte som är Lvsmedelsverkets krav, de msta observatoe är 92,5 % av ettovkte, Lvsmedelsverkets krav är alltså uppfyllda. Stadardavvkelse för e dosa är 0,332 gram. Sprdge för vkt är om e vå som v aser vara rmlg. Ett 95-procetgt kofdestervall får gräsera 19,97 x 20,07. Detta vsar att vkte te är sgfkat skljd frå 20. Ett styrdagram som kotrollerar medelvärdet med 3-sgma-gräser för varabel vkt ger oss gräsera SÖ=20,158 och SU=19,916. Gräsera för vkte av 10 stycke portossus blr SÖ=8,063 SU=7,967. Dessa gräser atas kotrollera produktoe och hålla kvaltete på e hög vå. Problemet är att dessa gräser är alldeles för smala. Med de varato som fs produktoe så kommer detta styrdagram att ge utslag väldgt ofta, edast 20 % av dosora passerar kotrolle. Breddar v gräsera tll 6 stadardavvkelser så får v gräsera SÖ=20,278 och SU=19,796 och då kommer ca 60 % att passera. Om v breddar gräsera så mskar v medvetet kvaltetskrave. Elgt produktdatabladet så är de maxmala tllåta vkte 20,75 gram och de msta tllåta vkte 19,25 gram. V ser att 6-sgma-gräsera ger oss ett bra styrdagram som lgger om de gräser som F&L s föreskrva krav. Fuktghete e portossus är ågot lägre ä de 45 % som ages produktdatabladet, medelfuktghete är 44,03 %. Medelfuktghete sputke är 45,61% och fuktghete sjuker stt med 1,266 proceteheter mella sputk och färdg portossus. Detta är mdre ä vad som ages produktdatabladet, me det är om de uppsatta gräsera. Varatoe e färdg portossus är beroede av fuktghete sputke, är fuktghete ökar sputke så mskar varatoe de färdga portossuse. Detta gör att är v ska skatta stadardavvkelse och varas så måste v ta häsy tll de fuktghet v har sputke. För att skatta dea varato och hur fuktghete förädras aväder v oss av e regressosmodell som är vktad med x 44 där x är fuktghete sputke. Modelle ger oss e varas som är 0,915 ( x 44) och stadardavvkelse som är 0,915 ( x 44). Ett styrdagram som kotrollerar medelfuktghete får ett aorluda utseede ä för vkt. I och med att v har e varato som tllåts varera uppåt mer ä edåt så försöker v kompesera detta geom att skapa gräser som är tar häsy tll detta. Ett försök är att edast tllåta e stadardavvkelse edåt och tre uppåt. Gräsera blr då SU=44,292 och SÖ=44,545, dessa gräser är väldg smala och att htta gräser som är acceptabla med take på varato och krav är väldgt svårt. V vet äve att varatoe beror på fuktghete sputke så ett sätt är att aväda sg av de skattge av stadardavvkelse stället. 28
Aväder v oss av 0,915 ( x 44) är v skapar gräser för styrdagrammet så ka v bestämma gräser som tar häsy tll de varato v har för tllfället. Ett styrdagram som kotrollerar varatosbredde går tyvärr te att skapa. Styrdagrammet förutsätter lka stora stckprov och så är tyvärr te fallet med de data som fs tllgäglg. Lägd och vkt är om de gräser som F&L har satt upp. Edast 16 observatoer, ca 10%, skljer sg frå de krav som är uppsatta för lägd och edast 4 skljer frå krave för bredd. Mätmetode är te särsklt exakt me fugerar alldeles utmärkt för att kotrollera lägd och bredd. Aalyse av produktosljera vsar att det te fs ågot sambad mella ett särsklt högt eller lågt medelvärde eller e specell varato mella ljera. Ett kotrollerat expermet kaske skulle vsa motsatse me ge specell lje producerar med sämre kvaltet. Tyvärr så ka v te aalysera operatöres påverka på produktoe, det te fs tllräcklg data tll e såda aalys. Det verkar te fas e uttalad operatör, de som tar stckprovet regstreras som operatör trots att de kaske te sköter ställge av maske. Detta är ågot som borde förädras för att ma ska kua mäta skllader mella operatörer. När v skapar e kotrollpla för fuktghete aväder v oss av regressosmodelle y = 22,77 + 1, 4727x. Ser v seda på fgur 4 så ser v att e fuktghet mella 46-47 % ger oss e färdg portossus som är om de satta gräsera, 44-48 %. Producerar v e batch med 46,5 % fuktghet så kommer 99,76 % av de färdga portossuse vara mella 44 % och 48 %. När v skapar e kotrollpla för vkt så aväde v först kofdestervallet för att bestämma gräser och rsker, detta gav oss ett stckprov om 236 observatoer. Detta aser v vara för måga observatoer så ya gräser och rsker bestämdes. Gräsera frå styrdagrammet aväds u, övre gräs 20,278 udre gräs 19,796, och rske att v överskrder de övre gräse är satt tll 5 % och rske att v uderskrder de udre är satt tll 2,5 %. V får då ett stckprov om 19 observatoer och tar v ut 19 dosor och mäter medelvkte på dessa så förkastar v om medelvkte är mdre ä 20,15 gram. 29
6 Refereser 6.1 Ltteratur Bo Bergma, Bo Klefsjö; Kvaltet frå behov tll avädg Första upplaga 1991 Studetltteratur Robert V. Hogg, Ellot A. Tas; Probablty ad statstcal ferece Sjätte upplaga 2001 Pretce Hall Ramu Ramaatha; Itroductory ecoometcs wth applcatos Femte upplaga 2002 South-Wester 6.2 Artklar Björ Holmqvst; Acceptaskotroll geom mätg Kaptel 5.4 ur Matematsk statstk för M och V Komplettergar och tllämpgar 1991 Isttutoe för matematsk statstk Luds uverstet 30
7 Blagor Blaga 1 31
Blaga 2 32
Tabell 1 Medelvärdesdagram R-dagram Stckprovsstorlek A A2 A3 C4 d2 d3 D1 D2 D3 D4 2 2,121 1,880 2,659 0,7979 1,128 0,853 0 3,686 0 3,267 3 1,732 1,023 1,954 0,8862 1,693 0,888 0 4,358 0 2,575 4 1,500 0,729 1,628 0,9213 2,059 0,880 0 4,698 0 2,282 5 1,342 0,577 1,427 0,9400 2,326 0,864 0 4,918 0 2,115 6 1,225 0,483 1,287 0,9515 2,534 0,848 0 5,078 0 2,004 7 1,134 0,419 1,182 0,9594 2,704 0,833 0,205 5,203 0,076 1,924 8 1,061 0,373 1,099 0,9650 2,847 0,820 0,387 5,307 0,136 1,864 9 1,000 0,337 1,032 0,9693 2,970 0,808 0,546 5,394 0,184 1,816 10 0,949 0,308 0,975 0,9727 3,078 0,797 0,687 5,469 0,223 1,777 11 0,905 0,285 0,927 0,9754 3,173 0,787 0,812 5,534 0,256 1,744 12 0,866 0,266 0,886 0,9776 3,258 0,778 0,924 5,592 0,284 1,716 13 0,832 0,249 0,850 0,9794 3,336 0,770 1,026 5,646 0,308 1,692 14 0,802 0,235 0,817 0,9810 3,407 0,762 1,121 5,693 0,329 1,671 15 0,775 0,223 0,789 0,9823 3,472 0,755 1,207 5,737 0,348 1,652 16 0,750 0,212 0,763 0,9835 3,532 0,749 1,285 5,779 0,364 1,636 17 0,728 0,203 0,739 0,9845 3,588 0,743 1,359 5,817 0,379 1,621 18 0,707 0,194 0,718 0,9854 3,640 0,738 1,426 5,854 0,392 1,608 19 0,688 0,187 0,698 0,9862 3,689 0,733 1,490 5,888 0,404 1,596 20 0,671 0,180 0,680 0,9869 3,735 0,729 1,548 5,922 0,414 1,586 21 0,655 0,173 0,663 0,9876 3,778 0,724 1,606 5,950 0,425 1,575 22 0,640 0,167 0,647 0,9882 3,819 0,720 1,659 5,979 0,434 1,566 23 0,626 0,162 0,633 0,9887 3,858 0,716 1,710 6,006 0,443 1,557 24 0,612 0,157 0,619 0,9892 3,895 0,712 1,759 6,031 0,452 1,548 25 0,600 0,153 0,606 0,9886 3,931 0,709 1,804 6,058 0,459 1,541 33
Tabell 4 Model Summary Model R R Square Adjusted R Square Std. Error of the Estmate 1 0,764 0,584 0,578 0,957 a Predctors: (Costat), FUKTSPUT b Depedet Varable: FUKTSNUS c Weghted Least Squares Regresso - Weghted by ETTD3SP Tabell 5 ANOVA Model Sum of Squares df Mea Square F Sg. 1 Regresso 96,363 1 96,363 105,266 3,9339E-18 Resdual 68,657 75 0,915 Total 165,019 76 a Predctors: (Costat), FUKTSPUT b Depedet Varable: FUKTSNUS c Weghted Least Squares Regresso - Weghted by ETTD3SP Tabell 6 Coeffcets Ustadardzed Coeffcets Stadardzed Coeffcets t Sg. Model B Std. Error Beta 1 (Costat) -22,770 6,562-3,470 0,00086684 FUKTSPUT 1,473 0,144 0,764 10,260 3,9339E-18 a Depedet Varable: FUKTSNUS b Weghted Least Squares Regresso - Weghted by ETTD3SP 34
Tabell 10 Kaktus Lje 1 Kaktus m max mea s varas Vkt10st 17 7,6 8,4 8,01 0,20 0,04 Dosa 17 19 21 20,01 0,49 0,24 fuktsput 17 44,43 46,85 45,59 0,73 0,53 fuktbot 16 44,03 46,91 45,29 0,78 0,61 fuktsus 16 40,52 46,2 44,01 1,71 2,92 Kaktus Lje 2 m max mea s varas Vkt10st 19 7,8 8,6 8,11 0,17 0,03 Dosa 19 19,5 21,5 20,26 0,43 0,18 fuktsput 19 44,43 46,85 45,71 0,72 0,52 fuktbot 18 44,32 46,64 45,36 0,58 0,34 fuktsus 18 42,23 46,08 44,64 1,04 1,07 Kaktus Lje 3 m max mea s varas Vkt10st 23 7,5 8,4 8,00 0,20 0,04 Dosa 23 18,75 21 19,99 0,50 0,25 fuktsput 23 44,43 46,85 45,65 0,77 0,60 fuktbot 21 42,39 47,05 45,22 0,88 0,78 fuktsus 22 41,47 46,31 44,50 1,34 1,79 Kaktus Lje 4 m max mea s varas Vkt10st 23 7,5 8,3 8,00 0,16 0,03 Dosa 23 18,75 20,75 20,01 0,40 0,16 fuktsput 23 44,43 46,85 45,49 0,78 0,61 fuktbot 21 41,29 46,38 44,70 1,02 1,05 fuktsus 21 40,56 46,27 43,91 1,63 2,66 35
Tabell 11 Uvarate Aalyss of Varace Tests of Betwee-Subjects Effects Depedet Varable: DOSA Source Itercept Hypothess 32480,633 1,000 32480,633 98959,789 0,000 Error 0,999 3,043 0,328 STATION Hypothess 0,989 3,000 0,330 1,583 0,200 Error 16,238 78,000 0,208 a,989 MS(STATION) + 1,129E-02 MS(Error) b MS(Error) Tabell 12 Uvarate Aalyss of Varace Tests of Betwee-Subjects Effects Depedet Varable: FUKTSPUT Source Type III Sum of Squares df Mea Square F Sg. Itercept Hypothess 167763,999 1,000 167763,999 855299,108 0,000 Error 0,629 3,206 0,196 STATION Hypothess 0,576 3,000 0,192 0,338 0,798 Error 44,286 78,000 0,568 a,989 MS(STATION) + 1,129E-02 MS(Error) b MS(Error) 36