Geometri 1. Linjen är isektris till vinkeln. Sträkorn, oh är lik lång. Hur stor är vinkeln? vgör utn mätningr! 4. Fyr kopior v en rätvinklig tringel kn lltid sätts ihop till en kvdrt med hål som i följnde figur vrför? 2. E är en regelunden femhörning (de fem sidorn är lik lång oh vinklrn dem emelln är lik stor). F är isektris till vinkeln E. estäm, utn mätningr, vinkeln F. F Uttryk kvdrtens re på två olik sätt, sätt uttryken lik med vrndr oh förenkl, såhruettevisför...j,förvd? (Mång mtemtisk resultt kommer till genom tt mn uttryker en oh smm storhet på två olik sätt ohdärmedskffr sig en ekvtion, som mn sedn räknr på!) E 5. Uttryk prllelltrpetsets re på två olik sätt oh förenkl, så hr u ett nnt evis för... 3. Summn v vinklrn,,,,e är densmm för ll s.k. pentgrm femuddig stjärnor som i figuren nedn. Hurinsermndet oh hur stor är vinkelsummn? E (Tillskrivs Jmes Grfield, USs president någr månder 1881, innn hn sköts v en förittrd retslös tjänstemn.) 6. Mtemtik2000: 2418 7. I en liksidig tringel etekns sidorns längd med. Vdärren,uttrykti? 1
8. Med två kvrtsirkelågr hr vi delt en kvdrt i tre områden. Hur stor del v kvdrtens re uppts v den mitterst delen? 11. v ett ylinderformt rör, som är delvis nedgrävt i mrken, ser mn endst ett s.k. irkelsegment med redd oh höjd. Hurstorärröretsdimeter? 9. är en kvdrt, M är mittpunkt på. Vill h P, så tt P, P oh MP är lik lång. Vr skll P ligg? M 12. I en rätvinklig tringel är en isektris drgen. T frm en formel för dess längd som funktion v kteterns längder. P 10. I en irkelkvdrnt med rdie r är två hlvirklr inskrivn så tt de preis tngerr vrndr. Hur stor är den mindre hlvirkelns rdie? Utnyttj gärn den s.k. isektrisstsen: Ζ x y x y 2
13. Sjömän ute till hvs utnyttjr ilnd följnde grov tumregel: Om ens ögon efinner sig på höjden h meter ovnför vttenytn, så är synsträkn till horisonten s km, där 15. I en regelunden sjuhörning (ll de sju sidorn lik lång oh likså ll de sju inre vinklrn lik stor) s =3.6 h Förklr dett smnd med hjälp v figuren nedn! är s = sidns längd, d = lill digonlens längd, = stor digonlens längd. Vis tt 14. Vi hr en rektngel oh en punkt inuti. Vi känner till tre v punktens vstånd till rektngelhörnen:,,. Hur kn vi ur dem räkn ut det fjärde vståndet d? 1 s = 1 d + 1 Tips: etrkt rätvinklig tringlr oh utnyttj symmetrin (endst två olik digonllängder finns!). d 3
Likformighet 16. Såväl Pettersson som M2000 skriver tt två rät linjer med riktn.koeff. k 1 resp. k 2 är vinkelrät då oh endst då k 1 k 2 = 1, men någon förklring lämns inte. Härled smndet m.h.. likformig tringlr! 20. Vis tt vrje rätvinklig tringel dels i två likformig tringlr v höjden mot hypotenusn. Utnyttj likformigheten för tt finn ett smnd melln, oh 17. Vd skll förhållndet melln oh vr, om den övre deltringeln oh. trpetset nednför skllhlikstorre? x Ζ xηy y 18. Med två linjer prllell med sen skll en tringel dels i tre lik stor delr (d.v.s. med lik stor reor). Hur lång skll vr i förhållnde till? 21. I en rätvinklig tringel är en kvdrt inskriven. (Månghörningen M säges vr inskriven i månghörningen / irkeln N, om M:s ll hörn ligger på N.) Hur lång är kvdrtens sid, om ktetern hr längdern resp.? 19. Stndrd pppersformt (3-,4-,5-rk, et.) är dimensionert så tt, om mn delr ett rk i mitten (v den längre sidn), så fås två rektnglr som är likformig med den ursprunglig. Förklr vrför formeln för kvdrtens sidlängd måste vr symmetrisk i oh uttryket skll inte ändrs om mn låter oh yt plts oh kontroller tt så är fllet! Vd måste förhållndet melln längd oh redd för ett sådnt rk ppper vr? (Kontroller dig själv: ett 4-rk är 210 mm 297 mm.) 4
22. Figuren nedn skll föreställ en konisk vttenehållre, fylld till en viss nivå. nge smndet som råder melln x = vttnets höjd konens höjd oh y = vttnets volym konens volym 23. Kpr mn toppen v en pyrmid med ett snitt prllellt med splnet, fås en kropp som rukr klls för stympd pyrmid : nt tt sen är en kvdrt med sidlängd. Sätt = toppkvdrtens sidlängd, h = höjden (vinkelrät vståndet melln de två prllell kvdrtern). Vis tt den stympde pyrmidens volym är 1 ³ 2 2 + + h 3 Tips: Volymen är differensen melln två vnlig pyrmiders volymer. 5