Uveckling av porföljsraegier baserade på svag koinegrerade finansiella insrumen med AdaBoosing Helena Nilsson Februari 15, 2009
Absrac Financial analyss are consanly rying o find new rading sraegies in order o increase heir revenue. In recen years heories involving mean-revering have grown o be successful and especially pairs rading. However, in ime hese models become well-known and commonly used, which will decrease he revenue and ulimaely he models become harder o maser. In ha case, one migh use more advanced echniques and sraegies o combine he characerisics of he spread in addiion o mean-revering echniques o find rading sraegies wih a more sable ou-of-sample resul. This maser hesis examines if he AdaBoos algorihm can help creae porfolios wih sable revenue. The hesis explains how he ensemble learning algorihm AdaBoos is ransformed ino an opimizing algorihm which efficienly combines differen qualiies of he spread ino a rading sraegy. Firs he hesis gives a shor presenaion of he AdaBoos algorihm and laer describes how he algorihm is implemened due o chosen rading signals. Then he rading sraegy is rained and esed on differen sock indexes. Finally he resul of he rading sraegy is presened; i shows posiive revenue on esed sock indexes. i
Sammanfaning Finansanalyiker försöker sändig hia nya modeller och handelssraegier för a öka sin avkasning. På senare år har eorier som bygger på mean-revering ekniker blivi populära och speciell pairs rading. Eferhand blir dessa modeller kända och välanvända och då minskar avkasningen och de blir all svårare a bemäsra. För a moverka dea vingas man därför a uveckla mer avancerade sraegier som kan kombinera och använda sig av andra egenskaper hos spreaden, uöver mean-revering, för a hia en handelssraegi som ger sabila ou-ofsample resula. Dea examensarbee undersöker hur man med hjälp av AdaBoos algorimen kan skapa porföljer med sabil avkasning. Rapporen beskriver hur klassificeringsalgorimen AdaBoos görs om ill en opimeringsalgorim som genom a kombinera flera olika egenskaper hos spreaden effekiv kan a fram en opimal handelssraegi. I rapporen görs en korfaad presenaion av AdaBoosen algorimen för a sedan beskriva implemeneringen av algorimen med hänsyn ill valda handelssignaler. Tillslu ränas och esa handelssraegin på undersöka akieindex och resulae preseneras. För den undersöka perioden uppvisar handelssraegin e posiiv riskjusera resula. ii
Förord Dea examensarbee har gjor inom inrikningen finansiell maemaik på Maemaik Insiuionen vid Kungliga Tekniska Högskolan. Examensarbee omfaar 30 poäng och har uförs på Försa AP-fonden. Jag vill rika sor ack ill min handledare Peer Raicevic på Försa AP-fonden. Jag vill också acka min examinaor Timo Koski vid KTH. Sockholm den 15 februari 2009 Helena Nilsson iii
Innehåll 1 Inledning... 1 1.1 Bakgrund... 1 1.2 Problemformulering... 1 1.4 Avgränsningar... 2 1.5 Disposiion... 2 2 Teori... 3 2.1 Koinegraion... 3 2.2 Pairs Trading... 5 2.3 Sandard AdaBoosen... 6 2.4 Simulaed Annealing... 8 3 Meod... 9 3.1 Daa... 9 3.2 Beräkning... 9 3.3 Handelssraegi... 10 3.3.1 Generaliserad AdaBoos... 10 3.4 Handelssignaler... 12 3.4.1 EMA Mean Reverse... 12 3.5 Sokasisk sökalgorim... 13 4. Resula... 14 4.1 Avkasningsberäkning... 14 4.2 In-sample resula från daamängd 1... 14 4.2.1 Resula från räningsperioden... 14 4.2.2 Resula från AdaBoosen... 15 4.2.3 Resula från esperioden... 17 4.3 Ou-of-sample resula... 24 4.3.1 Ou-of-sample resula för daamängd 1... 25 4.3.2 Ou-of-sample resula för daamängd 2... 27 4.4 Ackumulerad avkasning... 30 4.5 Boosrap meoden... 33 5 Analys... 36 5.1 Analys av in-sample resulae... 36 5.2 Analys av ou-of-sample resulae... 36 6 Slusas... 38 Referenslisa... 39 iv
1 Inledning Dea kapiel börjar med en bakgrund ill behove av nya handelssraegier. Efer de kommer problemformulering och avgränsningar a preseneras. Till sis, ges uppsasens disposiion. 1.1 Bakgrund På senare år har ekniker som bygger på mean-revering och speciell pairs rading blivi allmer populära. Till följd av dea har ypiska par och mängder av koinegrerade insrumen blivi välkända, vilke leder ill a felprissäningar försvinner från marknaden. Anale ouppäcka fungerande kombinaioner minskar krafig och dea minskar chansen ill posiiv avkasning. Därför srävar man efer a uveckla nya handelssraegier som unyjar a spreaden har andra egenskaper uöver mean-revering så som muli-scale render och andra komplexa dynamiker. Genom a använda en mer allmän handelssraegi som kan handla med flera olika yper av komplexa spreadidsserier försöker man öka sin avkasning och sabilieen hos ou-of-sample-resulae jämför med resulae hos pairs rading. 1.2 Problemformulering De här examensarbee har som uppgif a undersöka om de går a använda en handelsmeod baserad på AdaBoos-algorimen, isälle för den förhärskade mean-revering meoden. AdaBoos är en inlärningsalgorim som uppmunrar nya modeller a bli experer på områden som redan använda modeller ine är så bra på. Den grundläggande idén är a algorimen kombinerar relaiv enkla bashypoeser/modeller ill en slugilig förusägelse, en sark basmodell. En mer ingående förklaring av AdaBoosen finns under kapiel 2.3. Examensarbee baseras på ariklarna [9] och [13] som undersöker om AdaBoos-algorimen kan användas i handelssammanhang. Ariklarna esar handelsmodellen på vå akieindex, S&P mid-cap (MID) och S&P 500 index (SPX) vilke resulerar i en posiiv riskjuserad avkasning under den i ariklarna undersöka idsperioden. Dea examensarbee har ill uppgif a skapa en liknande handelsmodell som i arikeln, sam a esa den på andra marknader. Precis som i ariklarna kommer examensarbee a använda sig av daabryning, dvs. vi söker efer en bäsa lösning på hisoriska daa. De parameerinsällningarna som fås fram kommer senare a användas för a uvärdera handelsmodellen på yerliggare marknader. Examensarbee vill undersöka om AdaBoos-algorimen är en lönsam sraegi vid akiehandel. 1
1.4 Avgränsningar Dea examensarbee behandlar vå olika daamängder. Den försa daamängden besår av vå sycken akieindex och den andra daamängden besår av 10 sycken akieindex. Dessa 10 kommer a paras ihop slumpmässig. Av idsskäl hinner jag bara analysera 14 sycken av dessa par. Reserande akieindexpar lämnas ill yerligare analys av handelsmodellen. Uppsasen ar ine hänsyn ill de kosnader som uppsår vid uförande av sraegin, ill exempel ransakionskosnader. 1.5 Disposiion Uppsasen är indelad i sex kapiel. Efer inledningskapile behandlas eori och redogörs för idigare forskning. I kapiel re beskrivs hur daa inhämas, behandlas och vilken meod som använs. De fjärde kapile innehåller resulae, i de feme analyseras resulae och i de sisa kapile redovisa slusaser sam ges förslag på vidareuveckling av examensuppgifen. 2
2 Teori Nedan redogörs för några befinliga modeller som finns för beräknande av porföljsraegier. Sedan redogörs för AdaBoos algorimen, den algorim som dea examensarbee bygger på. Kapile ar också upp Simulaed Annealing, en opimeringsalgorim som kan användas för opimering av porföljer. 2.1 Koinegraion Koinegraion handlar om relaioner mellan idsserier. A vå idsserier är koinegrerade beyder a de finns e långsikig samband mellan dem. Tidsserierna följer varandra, men de behöver ine följa varandra synkron varje dag uan de kan under korare perioder vandra iväg i olika rikning förusa a de inom kor åerkommer ill e jämviksläge [1]. Den mes populära meoden för a esa om koinegraion förekommer är OLE (Ordinary Leas Square) regression vilken har uvecklas av Engler och Granger. E primär krav är a idsserierna är icke-saionära av samma grad [4]. För a förså begreppe koinegraion måse man därför förs förså skillnaden mellan en saionär och en icke-saionär idsserie. De gör man läas genom a ia på definiionen för en saionär (svag saionär) idsserie, Y som enlig [2] definieras av: 1. E Y ) = µ ( Var ( Y ) E Y µ = σ < = 2. ( ) 2 3. Y, Y ) ( h 2 Cov + = γ E [( Y µ )( Y µ )] h = +h Enlig punkerna 1 och 2 ska en saionär idsseries förvänade medelvärde och varians vara konsana och oberoende av iden. Punk 3 kräver a kovariansen mellan vå Y-värden är densamma oberoende av vilke Y-värde man använder som ugångspunk. I prakiken beyder dea a om man chockar en saionär idsserie så kommer chocken ine ge några permanena effeker på idsserien uan idsserien kommer inom kor a åergå ill si jämviksläge. A chocka en idsserie avser både negaiva och posiiva händelser som påverkar värde på idsserien. Sörre och krafigare chocker på idsserien ger upphov ill sörre volailie än om chockerna vari mindre krafiga. Många makroekonomiska idsserier är icke saionära och på dessa idsserier ger en evenuell chock permanena effeker [3]. Då de re ovansående kraven ine uppfylls är den akuella idsserien ickesaionär vilke gör a regressionsresula ine är påliliga vid hypoesprövningar och a påvisade samband mellan idsserierna kan bero på falsk regression pga. renden [4]. Med falsk regression menas a de saisiska eserna, - och F-eser, ger felakig uslag på grund av a renden gör a de finns samband mellan variablerna som egenligen ine exiserar. Prognoser av esen är ine heller illförliliga efersom prognosmodeller anar a chocker är emporära när de egenligen är permanena. 3
För a få buk med dea har man uveckla meoder för a omvandla ickesaionära idsserier ill saionära. Dea görs genom differeniering enlig formeln: y = y y 1 Icke-saionära och saionära idsserier beecknas I(d), där d sår för anale differenieringar som krävs för a en icke-saionär idsserie ska blir saionär. I prakiken är de flesa makroekonomiska idsserier av graden I(1) och behöver därför differenieras en gång [1]. Genom a uföra e Dickey-Fuller (DF) es kan man undersöka huruvida respekive serie är saionär [1]. Tese ugår ifrån en modell där serien y besäms av: y y + s + 1 = α + β y är värde vid idpunken +1 som genom regression relaeras ill värde på y vid idpunken innan, dvs. och s är en felerm [5]. Om β=1 har den akuella idsserien en enhesro (eng. uni roo) vilke innebär a den är icke-saionär [6]. I prakiken uförs ese genom följande regression: y p 1 + 1 y = y = α + βy + β j y j + j= 1 (Augmened-Dickey-Fuller, ADF) Om den uppskaade variabeln β ine är signifikan mindre än e, förkasas ine nollhypoesen för icke-saionär och idsserien måse differenieras innan den kan användas [7]. Orsaken ill a man måse förså skillnaden mellan en saionär och ickesaionär idsserie är a de vå idsserier måse vara icke-saionära och av samma grad för a de ska kunna vara koinegrerade. Tanken om koinegraion kan förklaras uifrån formeln nedan: s z = x βy Idén bakom formeln är a efer a man har beräkna differensen mellan variablerna x och y så ska z bli saionär. Dea gäller dock bara om x och y är inegrerade av samma grad, efersom z blir inegrerad av graden I(d-b). Därför måse d och b vara lika för a z ska bli saionär, I(0). Vekorn β kallas för koinegraionsvekorn och markerar a om differenieringen ska fungera måse skalan göras om för en av variablerna [1]. Den mes använda och populära meoden för a esa efer koinegraion inroducerades som idigare beskrivis av Engle-Granger (1983) och baseras på koinegrerad regression. y är icke- Engle-Graners koinegraionses uförs i vå seg: 1. Börja med a skaa x = α + β1 y + s, där x och saionära idsserier av samma grad. 4
2. Uför därefer ADF-ese på residualen { s }. Om resulaserien saknar enhesro är den saionär. Serierna { x, y } är därmed koinegrerade och dess koinegraionsvekor är (1 -α 1). A en mängd variabler är koinegrerade beyder även a de är mean-revering, dvs. a modellens spread srävar illbaka ill si långsikiga medelvärde. Däremo gäller ine de omvända, dvs. mean-revering beyder ine nödvändigvis a variablerna är koinegrerade. De är sandard a uföra koinegraion analyser på logarimen av prise. Spreaden beräknas då enlig s = ln( x ) β1 ln( y ). Genom a använda logarimen för spreaden kompenserar man för effeken av generella ökningar/minskningar av akiekurserna, dvs. börsens generella uppgång/nedgång. Man kan borse från α uan a förlora allmängilighe [8]. 2.2 Pairs Trading Pairs rading [12] är en marknadsneural akiesraegi som baseras på koinegraion eller liknande relevana ekniker. Sraegin går u på a hia vå akier vars kurser hisorisk se är koinegrerade. Då vå idsserier är koinegrerade gäller enlig ovan a akierna har e långsikig samband och spreaden, s = ln( x ) β1 ln( y ) är saionär och därmed även mean-revering [9]. Figur 2.2.1 Två sycken koinegrerade akier Figur 2.2.2 Akiepares mean-revering spread. Figur 2.2.3 Spreadens köp och sälj nivåer Då man handlar med pairs rading unyja man egenskapen a spreaden är mean-revering (se figur 2.2), dvs man ugår ifrån a även om spreaden divergerar från si medelvärde kommer den inom kor a komma illbaka ill medelvärde igen. När spreaden divergerar från medelvärde med e sedan föru besäm röskelvärde ingår man kora/långa-posiioner på den underliggande porföljen, π = β y (se figur 2.3). När sedan spreaden åervänder ill medelvärde går x 1 5
man ur posiionen. Man ingår allså en långposiion på porföljen, π = x β1 y, då spreadens värde hamnar under de lägsa röskelvärde, dvs. man köper 1 sycken x -akier och blankar β 1 sycken y -akier. För a ingå en korposiion gäller isälle a spreadens värde ska ligga över de översa röskelvärde, dvs. man säljer/blankar 1 sycken x -akier och köper β 1 sycken y -akier. Genom a på samma gång köpa den ena akien och sälja den andra kan man jäna pengar på båda posiionerna, samidig som man reducerar risken för sora marknadsrörelser. Om båda akierna skulle falla kommer man ros falle a jäna pengar på den ena akien. Pairs rading sraegin leder således ill a inveseraren kan göra vins oberoende av om marknaden går upp eller ner, en marknadsneural akiesraegi. Den sörsa risken med pairs rading är a båda posiionerna går å fel håll, de vill säga den akie du vill ska gå upp går isälle ner och vice versa. Dea innebär a du förlorar pengar på båda posiionerna. Risken kan begränsas genom a du använder sop loss order och auomaisk sänger en eller båda posiionerna om de går å fel håll. 2.3 Sandard AdaBoosen Boosing är en generell meod för a förbära noggrannheen hos inlärningsalgorimer. Meoden bygger på idigare eorier som PAC, Probably Approximaely Correc, som skapades av L G Valian 1984 [14]. PAC beskriver en domänoberoende inlärningsmeod och dess saisiska egenskaper. Valian var den förse a sälla frågan om en svag inlärningsalgorim som i PAC ger e resula som är endas lie bäre än en slumpmässig gissning kan boosas ill en sark inlärningsalgorim med mer exak resula. Valian kom fram ill a man med hjälp av a boosa en svag inlärningsalgorim kunde minska fele i hypoesen ill godyckliga nivåer. Scapire uvecklade den försa bevisbar fungerande boosing algorimen. De var också han och Freud som 1995 inroducerade den försa AdaBoosing algorimen [15]. Den grundläggande idén bakom AdaBoosing och andra inlärningsalgorimer är a de kombinerar relaiv enkla bashypoeser/modeller, så kallade svaga klassificerare ill en slugilig förusägelse, sark klassificerare. Boosing bidrar ill a nya modeller bli bra på områden där redan använda modeller ine är så effekiva. Basmodellerna vikas efer si resula och en vikad linjärkombinaion av dessa bildar sedan den sarka klassificeraren, själva förusägelsen. AdaBoos algorimen är snabb, enkel och lä a programmera och ill skillnad från andra boosing algorimer behöver den ingen idigare kännedom om presanda hos den svaga hypoesen och kan därför flexibel kombineras med andra meoder för a hia svaga hypoeser. Umärkande för AdaBoos algorimen är a precisionen hos den slugiliga klassificeraren ökar då precisionen hos någon av de underliggande klassificerarna ökar. I klassificeringssammanhang definieras precision som anale räklassificeringar/(anale räklassificeringar+anale felklassificeringar) Hos andra boosing algorimer beror precisionen för den slugiliga klassificeraren bara av den underliggande klassificerare vars uförande 6
är säms. Ada sår för adapiv dvs. anpassningsbar. Med anpassningsbar menas jus a AdaBoosen anpassar sig efer felgraden hos de individuella svaga klassificerarna. AdaBoos algorimen besår av följande seg [14]: Give: (( x 1, y1),...,( x n, yn )) där varje xi X, yi Y = { 1, + 1} Iniialisera D 1 ( i) = 1/ m, i = 1,..., m (sannolikhesfördelning) För = 1,, T 1. Träna de svaga klassificerarna med hjälp av fördelningen D 2. Hia den svaga klassificeraren h : X { 1, + 1} som minimerar fele ε, där ε = D ( ) [ h ( x ) y ] i i 3. Förusäningε <= 0, 5, annars error 1 1 ε 4. Välj α = ln( ) 2 ε i 5. Uppdaera: D+ 1( i) = D ( i) α e if α Z e if h ( x ) = h ( x ) i i y y i i = D ( i)exp( α y h ( x )) Z i i Z är en normaliseringsfakor (Vald så a D + 1 är en fördelning) Oupu: Den slugiliga hypoesen, den sarka klassificeraren T H ( x) = sign α h ( x) = 1 I de svaga kvalificerarna används vikade räningsse. Fördelningens viker på räningsexempel i under ieraion beecknas (i). Från början (då = 1) säs vikerna lika, D 1 ( i) = 1/ m, men efer varje ieraion kommer vikerna a ändras så a viker som hör ill punker som felklassificeras ges en högre vik under näsa ieraion. För de rä klassificerade punkerna gäller mosasen, dvs. minskad vik vid näsa ieraion. Dea leder ill a de svaga klassificerarna vid näsa ieraion kommer a fokusera på de punker som felklassificerades i idigare ieraioner. Vid varje ieraion = 1,, T plockar AdaBoosen u en mängd slumpmässig från räningsmängden och applicerar de svaga klassificerarna på denna mängd. Algorimen väljer den klassificerare h : X { 1, + 1} som minimerar fele, ε. Då denna hias beräknas α -värde och vikerna uppdaeras inför näsa ierering. D D 7
Efer T ieraioner kombinerar AdaBoosen de svaga klassificerarna ill en sark klassificerare. Hur sor del av den slugiliga klassificeraren som varje svag klassificerare ugör besäms av α -värde vilke beräknas i seg 3. De finns många olika illämpningar och uvecklingar av AdaBoosen. I mi examensarbee har jag använ en generaliserad AdaBoos som är mer anpassad ill e finansiell arbesområde [9]. Den generaliserade AdaBoosen beskrivs under kapiel 3. 2.4 Simulaed Annealing Simulaed Annealing [11] är en eknik som används vid opimering av funkioner över sora mängder, särskil då en global exrempunk är gömd bakom flera, svaga, lokala exrempunker. Den ursprungliga idén bakom simulaed annealing är ermodynamik, framför all hur flyande väskor fryser och krisalliseras. Då en väskas emperaur är illräcklig hög kan molekylerna röra sig hel fri, de kan gå från höga energinivåer ill låga och värom. Om emperauren sänks förlorar de sin rörlighe och vid illräcklig låg emperaur bildar de krisaller. Krisaller har sysemes lägsa energinivå, dvs. e global minimum. De är precis den här processen vi vill eferlikna med Simulaed Annealing för a hia en global minimipunk. Simulaed annealings sörsa fördel genemo andra meoder är dess förmåga a undvika a bli fas i e lokal minimum. För a lyckas med dea krävs a man kyler e sysem illräcklig långsam y annars kommer de a bildas e measabil illsånd i srukuren som gör a vi fasnar i lokala minimipunker och aldrig hiar fram ill den önskvärda globala minimipunken. För a simulera jämviksläge genererar man många olika illsånd, genom a från e give illsånd slumpa fram små förändringar kring dea. Om de nya framslumpade illsånde har lägre energi kommer de nya illsånde a acceperas och vi forsäer vår sökning från den nya punken. Om däremo en punk har högre E energi ges sannolikheen a den ska acceperas med exp( ). Där E sår för T energinivåer, E = E( n + 1) E( n) och T är en konrollparameer som represenerar villigheen a accepera e sämre val (Formeln har si ursprung i E Bolzmanns sannolikhes fördelning, exp( ), som är naurens egen kt minimeringsformel enlig ermodynamiken). T minskas med iden. E illsånd med högre energi kan allså acceperas med en viss sannolikhe. Följs dea konsekven kommer vi illslu a hamna i e jämviksläge. För a Simulaed annealing ska lyckas hia dea jämviksläge krävs a saremperauren T är illräcklig hög för a pariklarna ska kunna hoppa omkring på e slumpmässig sä. 8
3 Meod I dea kapiel preseneras den meod som har använs i uppsasen. Förs diskueras hur daainsamlingen har gå illväga. Därefer beskrivs de hur handelssraegin är uförd. Tillslu preseneras hur resulae har beräknas. 3.1 Daa Dea examensarbee behandlar vå olika daamängder. Daamängd 1 som besår av vå sycken axieindex, S&P mid-cap (MID) och S&P 500 index (SPX) från 1991-12-06 ill 2008-06-06 sam daamängd 2 som besår av 10 sycken akieindex, MSCI Öserrike, MSCI Belgien, MSCI Finland, MSCI Frankrike, MSCI Tyskland, MSCI Grekland, MSCI Ialien, MSCI Nederländerna, MSCI Porugal och MSCI Spanien från 1990-04-30 ill 2008-08-20. Den daa som behövs för den empiriska delen av examensarbee, är insamlad från Bloomberg. 3.2 Beräkning Alla beräkningar i examensarbee är uförda i MATLAB. Följande idsperioder används för a beräkna ufalle av handelsmodellen. Daamängd 1 1. Träning 2. Tes 3. Ou-Of-Sample 06 Dec 1991-30 Nov 2001 03 Dec 2001-30 Jun 2006 03 Jul 2006-06 Jun 2008 Daamängd 2 1.Träning 2.Ou-Of-Sample 30 Apr 1990-24 Nov 2000 27 Nov 2000-20 Aug 2008 Tabell 3.2.1 I rapporen undersöka daamängder Till a börja med kommer beräkningar med handelsmodellen a ske på daamängd 1. Här ränas och esas modellen för a hia den bäsa lösningen på hisoriska daa. Dea görs genom a söka efer de insällningar av modellen som ger bäs resula på daamängd 1:s es- och räningsperiod. Då dea resula har erhållis används den framkomna modellen för forsa uvärdering och eser på ou-of-sample daa. Ou-of-sample är den daa som ine finns illgänglig vid de illfälle då sraegin skapas och används som referens på hur väl sraegin preserar. För a undersöka modellens ou-of-sample resula esas modellen på daamängd 1:s ou-of-sample period. All ou-of-sample daa blev illgänglig förs i slue av examensarbee och har därför ine kunna påverka idigare uvecklingar av modellen. Inga juseringar av modellen är illåna under ou-of-sample beräkningarna. 9
Modellen esas också på en annan daamängd, daamängd 2. Även dea daa blev illgänglig förs i slue på examensarbee och har ine påverka insällningarna av modellen. Förs ränas modellen på daamängd 2:s räningsperiod, vars längd väljs så a den är ungefär lika lång som daamängd 1:s räningsperiod. Sen esas modellen på daamängd 2:s ou-of-sample daa. 3.3 Handelssraegi På lång sik är idsserierna som används i examensarbee ine illräcklig sabila för a enbar kunna använda koinegraions-baserade ekniker som.ex. pairs rading och liknade verkyg för a a fram en sabil porföljsraegi. Här måse man unyja a spreaden har andra egenskaper uöver de enkla meanrevering egenskapen som används i koinegraions-baserade ekniker. För a a fram sabila porföljsraegier baserade på spreads från svag koinegrerade insrumen bör man även unyja karakerisiska drag som.ex. render av olika längder. Man vill därför använda en mer allmän spreadhandelssraegi som kan handla med flera olika yper av komplexa spreadidsserier. Ju mer komplex spreaddynamik som man använder deso läare är de a garanerar a flera olika regimer äcks i räningsfasen. De här kan signifikan öka sabilieen hos sraegins ou-of-sample jämför med en radiionell pairs rading sraegi. 3.3.1 Generaliserad AdaBoos s Med hjälp av koinegraion skapas i AdaBooen en syneisk illgång * = ln( S0, ) β1 ln( S1, ). Formel kan också skrivas som s = S0, * S n j= 1 β j j,. Då β j = 0 fås original målserien S 0. Denna syneiska illgången illhandahåller en opimal saisisk hedge för målillgången, S 0. (Enlig ovansående definiion på Pairs rading beskrivs hur man handlar med hedgen.) Då β 1 varieras kan man komma fram ill massor med olika spreadsdynamiker, s. Dessa kallas för svaga basmodeller och AdaBoosen har ill uppgif a kombinera ihop dessa ill en sark modell. Då vi sysslar med handlingssraegier och porföljopimering är en direk användning av sandard Adaboosen ine möjlig efersom vi ine vill lösa e klassificeringsproblem uan e opimeringsproblem. För a man ska kunna använda AdaBoos algorimen på vår opimeringsproblem krävs därför en generalisering av AdaBoos algorim [9] som kan hanera e vå-klassificerings problem, där klassificeraren reurnerar aningen 1 eller -1. Den posiiva ean beecknar a e inervall med längden τ har en avkasning, r, som är sörre än de förubesäm röskelvärde r c (dvs. r rc ). Den negaiva ean sår för r rc. Genom a beräkna avkasningen på inervall av längden τ skifade med längden τ och beeckna varje inervall med -1 eller 1 enlig ovan fås en symbolisk avkodad idsserie av sraegisk avkasning. Här vill vi allså ine 10
klassificera korrek mellan -1 och 1 uan maximera anale 1:or. De är vår opimeringsproblem. Följande seg ingår i den generaliserade AdaBoosen: (1) w n = 1/ N (1.1) N ( ) ε = ( w I( y h ( x ))) (1.2) n= 1 N n= 1 n n n ( ) γ = ( w y h )( x ) (1.3) n n n 1 1+ γ 1 1+ ρ α = ln( ) ln( ) (1.4) 2 1 γ 2 1 ρ ( + 1) n ( ) n w = w exp( α y h ( x )) / Z T T = 1 = 1 n n (1.5) f ( x) = α h ( x) / α (1.6) Paramerar Förklaring h x ) Den bäsa bashypoesen vid :e ieraionen ( n N f(x) ρ x n n Anale punker i räningsdaa Är den slugiliga vikade linjärkombinaionen av hypoeserna Reglerings parameer Mängden av en klassificerares n:es daapunk y Klasseike (dvs. -1 eller +1). T Anale boosing ieraioner w Viken av den n:e daapunken vid :e ieraionen Z () n Vikad normaliserings konsan vid :e ieraionen AdaBoosen sarar med lika och normaliserade viker för alla räningsdaa (seg 1). Seg 2-5 genomförs vid varje ieraion, ill sopp krierie γ < ρ (dvs. 1 ε >= (1 ρ) ) eller γ = 1 (dvs. ε = 0). Här anropar AdaBoosen en pool med 2 svaga bassraegier och sraegin med fles 1:or väljs, dvs den sraegi som har mins fel enlig punk 1.2. I seg 3-5 uppdaeras vikerna som ska användas i näsa ieraion. I seg 5 sraffas de daapunker som felklassificeras av den då valde svaga modellen, dvs. deras viker kommer a minskas ill näsa ieraion. Vikerna ill de punker som räklassificeras kommer däremo a ökas ill näsa ieraion. Seg 6 säer ihop den slugiliga vikade linjärkombinaionen av bashypoeserna. 11
3.4 Handelssignaler 3.4.1 EMA Mean Reverse För a besämma om man ska gå in i en lång eller kor posiion beräknar man spreadens EMA(n.a), exponeniell glidande medelvärde. EMA(n,a) är en meod som använder n hisoriska daa och vikar dessa exponeniell med en avklingning a, dvs. de senase dagsdaa får sor vik medan ju längre bor man kommer från den valda dagen deso mindre vik får dessa dagar. EMA Mean Reverse går u på a man för varje dag beräknar vå olika EMA, EMA1 och EMA2. EMA1 beräknas på e sörre n-värde, dvs. den beräknas på fler hisoriska daa än vad EMA2 gör. På så sä får man vå olika EMA-kurvor. Efersom EMA1 beräknas på en längre daamängd kommer denna kurva a vara lugnare och svänga mindre än EMA2. Figur 3.4.1 För a handla på dessa EMA-kurvor esas vilken EMA som för dagen är sörs. Om EMA2>EMA1 anses renden vara uppågående, och vi kommer a a en lång posiion. Om däremo EMA2<EMA1 anses renden vara nerågående och vi kommer a a en kor posiion. Handelssraegin besäms av följande variabler, ( n, a, m, α, β ), vilka syr handelssignalerna. I examensarbee slumpas variablernas sarvärden fram vid varje ieraion i AdaBoosen. Värdena som paramerarna kan hamna emellan är som följer: 12
Paramerar Lägsa Högsa Förklaring värde värde N 2 130 Anale hisoriska daa för EMA1 A 0.96 0.99 Sorleken på avklingningen M 2 130 Anale hisoriska daa för EMA2 Α 0 2 Tröskelmå för volailieen β 1 1 Parameer i spreaden Handeln med kora eller långa posiioner sker på näskommande dag. 3.5 Sokasisk sökalgorim I examensarbee gjordes e försök med a använda Simulaed Annealing för a a fram den opimala handelssraegin. Tanken var a denna meod enkel skulle kunna hia den handelsmodell som gav högs avkasning vid gällande viker. Dea visade sig dock vara mycke svårare än man rodde pga. a de är svår a sälla in rä värde på emperauren T och avklingningsvärde. Om dessa är felinsällda finns de en risk a Simulaed Annealing ine hiar rä globala minimipunk. Resulae blev a meoden ros a inga paramerar ändras ändå hiade olika globala minimipunker vid varje körning. Pga. dea valdes en annan meod, sokasisk sökalgorim, för a kunna a fram den globala minipunken. Till skillnad från Simulaed Annealing acceperar ine denna meod e illsånd som är sämre än de valda illsånde. De är också skillnad i hur man väljer de försa illsånde som ska esas. I den nya meoden slumpar man fram e anal punker i parameerrumme, i dea fall 5000 sycken och väljer sedan u de 10 bäsa punkerna, dvs. de punkerna i parameerrumme med högs avkasning av de 5000 sycken punkerna. Därefer görs en deerminisisk sökning i 200 seg run varje punk. Om en ny punk har e illsånd som är bäre än den gällande punkens illsånd acceperas den nya punken och sökningen forsäer från denna punk. Till slu har man få 10 sycken nya illsånd och av dessa väljs den punk med högs avkasning ill den globala minimipunken. 13
4. Resula I början av dea kapiel beskrivs hur avkasningsberäkningarna uförs. Därefer preseneras resulae av handelssraegin. Förs illusreras in-sample resulae, senare i kapiel re preseneras ou-of sample resulae, i fjärde kapile illusreras ackumulerad avkasning och sis beskrivs och visas saisiska eser. 4.1 Avkasningsberäkning Uvärdering och jämförelser av porföljer baseras ofas på avkasningen för respekive porfölj under en viss idsperiod. En svaghe med dea sä a bedöma porföljer är a man ine ar hänsyn ill vilken risk porföljen har, hur marknaden där porföljen placera si kapial har presera eller hur dukiga förvalarna för porföljen är. E sä a göra uvärderingarna mer rävisa är a man föruom avkasningen också ar hänsyn ill porföljens risk och säer avkasningen i relaion ill risken. I denna uppsas har de riskjuserande avkasningsmåe informaionskvoen (IR) använs för a jämföra resula. IR beskriver relaionen mellan den akiva avkasningen och den akiva avkasningens sandardavvikelse och beräknas på följande sä: IR årlig = µ 250 σ där µ och σ är medelvärde och sandardavvikelsen av den dagliga avkasningen. Genom a muliplicera med 250 fås den årliga informaionskvoen 1. Om en posiiv kvo påvisas har en riskjuserad överavkasning erhållis genemo index under samma period. 4.2 In-sample resula från daamängd 1 Här visas resulae för handelsmodellens in-sample period. Under in-sample perioden juseras variabler och insällningar i handelsmodellen för a uppnå e illfredsällande resula. 4.2.1 Resula från räningsperioden Under räningsperioden appliceras Adaboosing på räningsdaa. Anale ieraioner (T) som uförs i AdaBoosen saes ill T=20, efersom resula vid färre ieraioner ine blir illförlilig och beräkningar med fler ieraioner endas ger marginella förbäringar och ökar beräkningsiden. Vid varje ieraion väljer en 1 De årliga medelvärde skalas linjär, 250µ medan sandardavvikelsen skalas 250 σ 14