Nr, 8 pril -5, Ameli Trippelintegrler integrtion v funktioner v tre vribler. Areor och volmer.. Are som enkelintegrl och som dubbelintegrl Som beknt kn enkelintegrlen R b fx)dx kn tolks som ren under fx) på intervllet [, b], enligt följnde figur. 3 3 x Arenundergrfenförfx), melln och b. Men denn re kn också tolks som en dubbelintegrl. Om vi kllr området i figuren för, dvs = {x, ) : fx), x b}, och integrerr en funktion vrs höjd är så är ju dess volm lik med bsren, eftersom volmen är bsren gånger höjden. Alltså: volmen är i dett fll bsren gånger ett. enn dubbelintegrl, som lltså på en gång representerr volmen v en kropp och ren v en t eftersom höjden överllt är ), kn teckns som följer: ZZ ZZ dxd = dxd. Om vi integrerr den med upprepd integrtion får vi mcket riktigt tillbk den gml enkelintegrlen R b fx)dx. å måste vi integrer i -led först eftersom gränsern i beror på x :
ZZ dxd = {-integrtion} = {insättning v gränser} = = Z b Z fx) Z b Z b Z b [] fx) dx d)dx fx) )dx fx)dx. Med dubbelintegrler kn vi med itererd integrtion integrer områden v tpen = {x, ) :gx) fx), x b}, dvs områden som är begränsde v två funktioner i den en riktningen, och konstnter i den ndr. Vi klrr mer generell områden än dett genom tt del upp i delområden v denn tp. et är därför prktiskt tt definier ren A) v ett generellt område som ZZ A) = dxd. ett skrivsätt är oberoende v om hr den ovn beskrivn integrbl formen gx) fx), x b) eller inte. et är lltså en dubbelintegrl med den mcket enkl integrnden. T en kropp med höjden överllt över ett visst tvådimensionellt område hr en volm som är lik med ren v det tvådimensionell området... ubbelintegrl som mssn v en skiv Men en dubbelintegrl måste inte representer en volm, även om det är den tillämpning som vi oftst hr frmhållit. En dubbelintegrl kn också representer den totl mssn v en skiv, där msstätheten i punkten x, ) är fx, ). Om vi tittr på en liten rut {x i <x<x i+, j <<x j+ }, så är dess re x i+ x i ) j+ j ), och dess mss är ungefär fx i, j )x i+ x i ) j+ j ) eftersom f är msstätheten. Om indelningen är liten och f kontinuerlig i rutn så vrierr inte f:s värden i rutn, så värdet fx i, j ) i ett hörn i rutn) ger inte stort fel. en summ vi får när vi dderr mssn i ll rutor är en Riemnnsumm. När finheten går mot noll får vi ZZ fx, )dxd, som lltså här representerr inte volmen under en t utn totl mssn v en skiv med vriernde msstäthet fx, ).
..3 Trippelintegrl mss hos en kropp och volm För tt beräkn totl mssn v en tredimensionell kropp där msstätheten vrierr i kroppen, beskriven v en funktion fx,, z) v tre vribler, behöver vi summer bidrgen över tre dimensioner inte br två dubbelintegrl) eller en enkelintegrl), som tidigre. et är en tillämpning v en trippelintegrl. En trippelintegrl kn lltså beteckn msstätheten i en tredimensionell kropp med msstätheten fx,, z). Trippelintegrlen kn också tolks som måttet v en frdimensionell volm begränsd melln en tredimensionell volm och xz-rmden. ett är inget problem för mtemtiken, men eftersom vi upplever tre rumsdimensioner i vår tillvro är vi inte lls vn vid fr rumsdimentioner, och dett upplevs som en esoterisk tolkning v trippelintegrl. Anlog med hur ZZ vi ovn definierde ren v ett område R som dubbelintegrlen dxd, kn vi definier volmen v ett område R 3 som V ) = dxddz. Här hr vi "höjden" lik med i den extr dimensionen, vilket gör tt måttet v denn frdimensionell volm är lik med måttet i den lägre dimensionen, som är den tredimensionell volmen.. Trippelintegrler integrtion v funktioner v tre vribler Helt nlogt med dubbelintegrlen för en funktion v två vribler, kn mn för en funktion v tre vribler fx,, z) på ett område i R 3 definier trippelintegrlen som gränsvärdet för Riemnnsummor X fx i, i,z i )V R i ), i där {R i } är en smling rätblock { i x i A i,b i i B i,c i z i C i } som täcker. Överlppet melln vrje pr v rätblock måste h volm noll de får h högst en sid gemensm. Rätblock nummer i hr då volm V R i )= A i i )B i b i )C i c i ) längen gånger bredden gånger djupet. Punkten x i, i,z i ) är någon punkt i R i. Noter tt R i är de punkter som ligger i rätblocksunionen men inte i, medn R i är de punkter som ligger i men inte i rätblocksunionen. ess två mängder måste krmp mot noll, t rätblocksunionen sk ju uppsktt. Om vrje gränsövergång går mot smm tl då indelningens finhet och volmen v mängden R i ) R i ) går mot noll, så är f integrerbr. et tl som gränsövergången går mot beteckns med trippelintegrlen fx,, z)dxddz : 3
X fx i, i,z i )V R i ) fx,, z)dxddz. i ett definierr trippelintegrl, helt nlogt med enkelintegrl och dubbelintegrl..3 Itererd integrtion En trippelintegrl v en integrerbr funktion fx,, z) på ett område i R 3 som är ett rätblock rätblock = { x A, b B,c z C} ger tre enkelintegrler med konstnt gränser. Emellertid kommer först integrtionen oftst tt innehåll två vribler som behndls som konstnter de två som inte integrers med vseende på), ndr integrtionen innehåller en konstnt och den tredje integrtionen är en vnlig enkelintegrl. Sts Om f är integrerbr på = { x A, b B,c z C}, så kn trippelintegrlen beräkns med itererd integrtion: fx,, z)dxddz = Z A Z B b Z C fx,, z)dz)d)dx. c I denn formulering görs lltså x först, därefter först, därefter z. en itererde integrtionen kn lterntivt utförs i någon v de ndr fem ordningrn: x z, x z, z x, z x eller z x. I värst fll kn integrtionen utförs i br en v de sex möjlig ordningrn. Om den kn utförs i fler v dem så kommer de ll tt ge smm resultt, t det är br olik sätt tt beräkn smm kvntitet: det som Riemnnsummorn konvergerr mot. Integrlen kn också skrivs utn prenteser på följnde sätt: Z A Z B Z C fx,, z)dxddz = dx d fx,, z)dz eller fx,, z)dxddz = Exempel 96b) Beräkn x,, z }. b Z A Z B Z C b c c fx,, z)dxddz. x + + z )dxddz där är kuben = { Lösning: Vihr x + + z )dxddz = x dxddz + dxddz + z dxddz,
och v smmetriskäl måste de tre integrlern vr lik. Området är smmetriskt, och mn kn bt vribler i en v dem för tt få en nnn v de tre. Således: x + + z )dxddz = 3 x dxddz Z + Z + Z + = 3 dx d x dz Z + Z + {först integrtionen} = 3 dx [z x ]+ d {insättning v gränser för z} = 3 {ndr integrtionen} = 3 {insättning v gränser för } = 3 Z + Z + Z + dx Z + x d [ x ]=+ = dx x dx {tredje integrtionen} = 3[ ln x] + = 3 ln +) ln { ln är } = 3 ln +). et är svårre tt gör meningsfull figurer för integrtionsområdet för en trippelintegrl. Svr: x + + z )dxddz =3 ln +). et är klrt tt inte ll gränsern behöver vr konstnt vi kn integrer över ndr områden än rätblock. Här integrerr vi i först integrtionen melln två tor z = cx, ) och z = Cx, )), vrefter vi hr en dubbelintgrl. en löses genom tt integrer melln två kurvor = bx) och z = Bx)), följt v två konstnter x = och x = A). Sts 3 Om f är integrerbr på = { x A, bx) Bx),cx, ) z Cx, )}, så kn trippelintegrlen beräkns med itererd integrtion: fx,, z)dxddz = Z A Z Bx) Z Cx,) bx) cx,) fx,, z)dz)d)dx. Exempel 96e) Beräkn x z 3 dxddz om begränss v z = x, = x, x =och z =.. Lösning: Vriblern x och begränss v x =och = x. essutom sk z = x vr positiv vi hr gränsen z =), så vi får också krvet. Så z 5
går melln och x över tringeln i x-plnet som bestäms v x = till x = och då =till =. ett är gränsern. z.75.5.5.5.5 x.75.5.5.75 z = x och z = x z 3 dxddz = {först integrtionen, i z-led} = {insättning v gränser} = Z Z {ndr integrtionen, i x-led} = d d Z Z Z Z Z d dx Z Z x x z 3 dz [x z ] x dx x 5 6 dx [x 6 6 6 ] x= x=d {insättning v gränser} = 6 )d {tredje integrtionen, i -led} = 7 3 ) Svr: 36. = 36... Vribelsubstitution i trippelintegrler Om xu, v, w),u, v, w),zu, v, w)) är en inverterbr vbildning från R 3 till E R 3 så är dess jcobin följnde mtris v förstderivtor, som vi hr minst) tre skrivsätt för: x u x v x w u v w x,, z) = = Ju, v, w). zu zv zw u, v, w) 6
eterminnten v jcobinen är funktionldeterminnten: F u, v, w) =det x u x v x w u v w, zu zv zw och beskriver den lokl volmsförstoringen dvs volmsförstoringen när punkten u, v, w). Sts 5 Om xu, v, w),u, v, w),zu, v, w)) är en inverterbr och differentierbr vbildning från integrtionsområdet till ett område E, och f är integrerbr på, så gäller ZZ ZZ fx,, z)dxddz = fxu, v, w),u, v, w),zu, v, w)) F u, v, w) dudvdw. E I integrnden bsolutbeloppet får vi en fktor som är den lokl volmförstoringen Ju, v, w) ), på liknnde sätt som vi för en dubbelintegrl fick bsolutbeloppet v den lokl tförstoringen som en fktor i integrnden. Mn kn säg tt dxddz = F u, v, w) dudvdw. enn likhet kn ges en strikt mtemtisk mening, och hr konkret mening i en Riemnnsumm, i vilket fll vi kn ersätt dx, d och dz med små tl x, och z som är sidor i ett litet rätblock. å är vänsterledet x z volmen v rätblocket, u v w är volmen v motsvrnde rätblock efter substitutionen, och fktorn F u, v, w) är den lokl tförstoringen, som också kn skrivs x z u v w. Alltså F u, v, w) x z u v w. Så x z = F u, v, w) u v w är högst rimligt. Exempel 6 9q) Beräkn x z)dxddz över området som begränss v plnen x + + z =,x+ z =,x z =och x z =. Lösning: Enklste sättet tt hnter geometrin är här tt sätt u = x++z, v = x + z och w = x z. å blir u =,v=och w =gränstor till området, och gränser i den itererde integrlen efter vribelsubstitution. Men vd blir tn x z =i vriblern u, v, w? Vi löser ut x och som funktioner v u, v och w, det behöver vi även för tt uttrck integrnden x z i u, v, w. Subtrktion v u = x+ +z och v = x+ z ger z = u v, lltså z = u v. Subtrktion v v = x + z och w = x z ger = v w, lltså = v w 7.
Kvr är tt lös ut x. Från w = x z får vi x = w + + z, och insättning ger x = w + v w + u v = u + w. Så tn x z =är u + w u v =, lltså u+ v+w =. ett är ett pln som skär koordintxklrn i u, v, w) =,, ),,, ) och,, ). ärmed kn vi bestämm den itererde trippelintegrlens gränser. Om vi integrerr w först sk då w gå melln w =och dett pln, dvs w = u v. ett plns skärning med w =är u + v =, som ger gränsern i ndr integrtionen. Tr vi den i v-led så blir gränsern från v =till v = u. Slutligen blir då gränsern i u-led u =till u =. Integrnden blir x z = u + w = w. Funktionldeterminnten är u, v, w) x,, z) = v w u v =. Så x,,z) u,v,w) =, och dxddz = dudvdw. Vi får då integrlen x z)dxddz = E w dudvdw, 8
vilken kn beräkns som itererd integrl: x z)dxddz = Z Z u {w-integrtion} = {insättning v gränser} = 8 Z u v Z Z u [ w ] u v Z Z u Z wdw)dv)du dv)du u v) dv)du {v-integrtion} = [ 8 3 u v)3 ] u dv)du {insättning v gränser} = Z u u))3 u)3 )du {förenkling} = Z 8 u3 3 u + 3 u )du {u-integrtion} = [ 3 u u3 + 3 u u] {insättning v gränser} = +3 ) =. Svr: x z)dxddz =... Clindrisk koordinter Polär koordinter är en tvådimensionell vribelsubstitution. Polär koordinter i tre dimensioner där br z-koordinten får häng med oförändrd klls clindrisk koordinter. Alltså: x = r cos θ = r sin θ z = z Geometriskt kn vribelsubstitutionen känns igen på dess koodinttor: r =konstnt, θ =konstnt och z =konstnt. Om dess tor är begränsningr i en trippelintegrl så tlr det för tt clindrisk koordinter bör nvänds, t då blir motsvrnde integrtionsgränser konstnter. Ytorn z =konstnt är givetvis pln prllell med x-plnet. En koordintt θ =konstnt kommer från motsvrigheten för polär koordinter: som är en stråle från origo med vinkel θ till positiv x-xeln. Eftersom ekvtionen θ =konstnt inte sätter något villkor för z, är ll z under och över strålen tillåtn. et ger ett hlvpln som "strtr" i z-xeln och hr vinkel θ till positiv x.xeln.. 9
En koordintt r =konstnt är en clinder med z-xeln som centrumxel. en "ärvs" från polär koordinter, där r =konstnt är en cirkel med centrum i origo. Eftersom värdet på z inte begränss på något sätt v en ekvtion r =konstnt stisfiers denn ekvtion v ll möjlig värden på z uppåt och neråt), vilket ger en clinder från cirkeln. För tt gör en vribelsubstitution med clindrisk koordinter behöver vi dess funktionldeterminnt. en är lätt tt beräkn: det x r x θ x z cos θ sin θ r θ z = r sin θ rcos θ zr zθ zz. Tredje rden och tredje kolonnen består v enbrt nollor utom en ett vilket vspeglr tt clindrisk koordinter är en tvådimensionell substitution som också kn nvänds i tre dimension. Om determinnten utveckls längs tredje rden så fås cos θ sin θ r sin θ rcos θ = cos θ sin θ r sin θ rcos θ. vilket är precis funktionldeterminnten för polär koordinter i två dimensioner. Vi hr redn beräknt den till r. Således gäller för clindrisk koordinter tt dxddz = rdrdθdz. Exempel 7 Beräkn x + +z dxddz där är området som begränss v x +, x, z och x +. Lösning: Området är en del v en clinder, och begränss v enbrt koordinttor för clindrisk koordinter. Begränsningen = x + svrr mot θ = π, =x svrr mot θ = π,ochx + säger tt r. z.5 x.75 -.5 -.5.5.5.5.5.5
ett ger området E = {r, θ, z) : r, π θ π, z }: x + + z dxddz = x + + z rdrdθdz = {r-integrtion} = {insättning v gränser} = = E Z Z Z π π Z π π Z Z π π Z π Z r + z rdr)dθ)dz [ lnr + z)] r= r=dθ)dz π Z dθ ln + z) ln z)dθ)dz ln + z) ln z)dz = π π ))[z +)lnz +) zln z]r= r= = π3 ln 3 ln ln+ln) = π3 ln 3 ln) = π ln 9 8. Vi nvände i sist integrtionen tt R lnx + )dx =x + )lnx + ) x + C med =och =.