Reglereknik Kapiel 5, 6 Köp bok och övninghäfe på kårbokhandeln William Sandqvi william@kh.e
Lekion kap 5, 6 Differenialekvaioner Laplace-ranformer Dynamik ho vanliga proceer William Sandqvi william@kh.e
Segvar Enheege är den vanligae eignalen. William Sandqvi william@kh.e
Kommer Du ihåg Föra ordningen differenialekvaioner Segvar för u inignal, y uignal: differenialekvaion enheeg begynnelevärde dy ay bu u > 0 y0 0 d y yt ys Vi öker umman av en ranien och en aionär löning d yt : y ay 0 yt C e d Konrollera genom inäning: a Tranien löning d C e a C e a C e a C e d a a a a 0 William Sandqvi william@kh.e
dy d Föra ordningen differenialekvaioner a ay b y C e y Inäning: a y b y 0 S S ä in begynnelevärde b a S Toal löning y T y S y S är en konan Saionär löning a b b b y C e { y0 0 } 0 C C a a a b a y e a William Sandqvi william@kh.e
William Sandqvi william@kh.e
Ex. Föra ordn. Differenialekvaion Segvar för u inignal, y uignal: y& 5 y 8u Begynnelevärde y0 0. Enheeg u för > 0. y& 5y 8 y y y y : y& 5y 0 y C e y T S : 5 8 ys 5 8 8 5 5 5 y C e { y0 0 } C T T S y 8 5 5 e William Sandqvi william@kh.e Tranien löning Saionär löning
Föra ordningen differenialekvaioner nabbformler differenialekvaion enheeg begynnelevärde dy ay bu u > 0 y0 0 d Du kan redan nabbformlerna: x x x x0 e T T ln "hela" "reen" William Sandqvi william@kh.e
Kommer Du ihåg Andra ordningen differenialekvaioner d y dy a a y bu u > 0 y& 0 0 y0 0 d d Tranien löning karakeriik ekvaion && y a y& a y 0 { KE } k a k a 0 Röerna k och k reella och olika William Sandqvi william@kh.e k k yt A e B e k Röerna k och k reella och lika k y A e A B 3 Röerna k och k komplexkonjugerade a k a jd k a jd yt e A co d B in d b Saionär löning y S a T
William Sandqvi william@kh.e
Ex. Andra ordn. Differenialekvaioner && y 5y& 6 y b u y0 0 y& 0 0 u > 0 Tranien löning && y y& y KE k k 5 6 0 { } 5 6 0 k k 5 5 5 ± 6 ± 4 k 3 p, q-formeln y A e B e T 3 Saionär löning y S 6 William Sandqvi william@kh.e
Ex. Andra ordn. Differenialekvaioner Toal löning y T y S y A e B e 6 3 Inäning av begynnelevärden: y0 A B 0 6 y& A e 3B e 3 y& 0 a 3B 0 A B 3 y e e 6 3 3 De blev e egvar med vå idkonaner. William Sandqvi william@kh.e
Ex. Andra ordn. Differenialekvaioner y e e 6 3 3 De blev e egvar med vå idkonaner. 6 William Sandqvi william@kh.e
William Sandqvi william@kh.e
F Laplaceranformen L[ f ] f e d f, > 0 0 Ex. Segfunkion Heaviide ep funcion 0 < 0 σ 0 e F e d 0 0 0 William Sandqvi william@kh.e
F Laplaceranformer L[ f ] f e d f, > 0 0 Ex. Fördröjd egfunkion σ 0 < T T T T e e F e d 0 e 0, T T T Delay T William Sandqvi william@kh.e
Laplaceranformer William Sandqvi william@kh.e 0 ] [ d e f f L F 0, > f Ex. Rampfunkion < 0 0 0 ρ 0 0 0 0 0 e d e e d e F g f g f g d f Pariell inegrering:
F Laplaceranformer L[ f ] f e d f, > 0 0 Ex. Rekangelpul T F 0 e d e T 0 e e T William Sandqvi william@kh.e
Laplaceranformer William Sandqvi william@kh.e 0 ] [ d e f f L F 0, > f Ex. Exponenialfunkion a a e d e d e e F a a a 0 0 0 a > 0 a e a
Superpoiionregeln L [ a f b f ] a F b F De var ju enkel och bra William Sandqvi william@kh.e
Fördröjningaen L[ f T T ] F e T T e Fördröjningaen. En idfördröjd ignal får exponeniell dämpad Laplaceranform. Dämpningaen. En exponeniell dämpad ignal får en förkjuen Laplaceranform. a L[ f e ] F a William Sandqvi william@kh.e
Derivaa/inegral L[ f ] F f 0 L f d 0 F Deriveringaen och inegreringaen är grunden för Laplaceranformen användbarhe vid löande av differenialekvaioner. William Sandqvi william@kh.e
Ex. Derivaa/inegral L Rampen är e idinegrera Språng Inegrering / L d William Sandqvi william@kh.e
Ex. Derivaa/inegral L Impulen är e idderivera Språng Derivering L d d Teignalerna Språng, Ramp och Impul är beläkade med varandra och kan därför ge amma informaion om e yem. William Sandqvi william@kh.e
Begynnele och luvärde lim 0 lim f f lim lim 0 F F luvärde Vad om händer efer lång id avgör av laplaceranformen lågfrekvenegenkaper. William Sandqvi william@kh.e
Ex. Laplaceranformabell William Sandqvi william@kh.e
Laplaceranformeringmeoden Tiddomänen Frekvendomänen linjär differenial ekvaion Laplace ranformerad ekvaion Laplace ranform algebra Genväg id domän löning Laplace löning invere Laplace ranform William Sandqvi william@kh.e
William Sandqvi william@kh.e
Dynamik ho procemodeller Proce med en idkonan Proce med vå idkonaner Proce med re idkonaner Andra ordningen yem med komplexa röer Proceer med både poler och 0-ällen - enare William Sandqvi william@kh.e
Segvar Impulvar Dynamik ho procemodeller Proce med en idkonan U G K T Y Y G U Y G U K T K T Ex. Malab-kommandon 0 G 5 Gf[0],[5,] ploepg ploimpuleg ploepg Tidfunkionerna få algebraik med Laplaceabell eller numerik med Malab ploimpuleg William Sandqvi william@kh.e
Dynamik ho procemodeller Ex. 0 G 5 3 Proce med vå idkonaner G A B Malab-kommandon U K T T Y U K T T Y Af[0],[5,]; Bf,[3,]; GerieA,B;» Af0,[5,] Tranfer funcion: 0 ------- 5» Bf,[3,] Tranfer funcion: ------- 3» GerieA,B Tranfer funcion: 0 ---------------- 5 ^ 8 ploepg ploimpuleg William Sandqvi william@kh.e
Dynamik ho procemodeller 0. Proce med komplexa röer ordningal vå Om en överföringfunkion äljare har komplexa röer å får egvare övervängar. Överföringfunkionen brukar då ange med paramerar ω0 och ζ. Kω ω G 0 Reonanfrekven odämpad ζ Dämpfakor w0; Z0.; [num,den]ordw0,z; Gfnum,den ploepg; G Ex. 0 ζ ω0 ω0 ploepg William Sandqvi william@kh.e
Dynamik ho procemodeller 0. Proce med komplexa röer ordningal vå G Ex. ω 0 ζ Reonanfrekven odämpad Dämpfakor Dämpfakor 0 G Kω0 ζω ω 0 0 William Sandqvi william@kh.e
William Sandqvi william@kh.e
6.3 Proceparamerar Bekriv proceen egvar. Relaiva dämpningen ζ. Odämpad egen-vängning ω 0. Överväng M p, id för överväng p. Give: G 0,96? Formelamling :a ordningen yem med komplexa röer: G Kω0 ζω 0 ω 0 M P exp ζπ ζ P π ω 0 ζ William Sandqvi william@kh.e
6.3 löning Proceparamerar Proceen egvar. Relaiva dämpningen ζ. Odämpad egenvängning ω 0. Överväng M p, id för överväng p. Give: G 0,96? Paramerar för andra ordningen yem: G 0,96 ω0 ω0 K Kω0 ζω 0 ω ζω 0 0,96 0 0,96 ζ 0,34 William Sandqvi william@kh.e
6.3 löning Proceparamerar Formelamling :a ordningen yem med komplexa röer: G Kω0 ζω 0 ω 0 M P exp ζπ ζ P π ω 0 ζ M P exp ζπ exp ζ 0,34 π 0,34 0,3 3% P ω 0 π ζ π 0,34,4 William Sandqvi william@kh.e
6.3 Proce egvar MATLAB T0:0.:0; wnqr; Z0.34; [num,den]ordwn,z; Gfnum,den plot,epg,t; P,4 M P 3% 00% William Sandqvi william@kh.e
William Sandqvi william@kh.e
6.5 Från diffekv. ill överföringfunkion a y '5y x b y" 3y 4x c y " 5y' 6y x d y " 3y' y 3x' x e && y 3 y& y x& 3x 0 f 4 && y 3y& x& 8& x 0 g & y y& 3 y x& x X y Y William Sandqvi william@kh.e
6.5 a,b löning, överföringfunkion William Sandqvi william@kh.e a x y y '5 [ ] [ ] 5 5 5 ' X Y X Y Y x L y y L b x y y 4 3 " [ ] [ ] 3 4 4 3 4 3 " X Y X Y Y x L y y L
6.5 c,d löning, överföringfunkion William Sandqvi william@kh.e [ ] [ ] 6 5 6 5 6 ' 5 " X Y X Y Y Y x L y y y L c x y y y 6 ' 5 " d x x y y y ' 3 ' 3 " [ ] [ ] 3 3 ' ' 3 " X Y x x L y y y L
William Sandqvi william@kh.e
6.6 överföringfunkion & PID-regulaor a y x 5 xd x b y 5x 3 xd PI-regulaor y x c 5 y y x d ' 0 Dödidproce Dödidproce William Sandqvi william@kh.e
6.6 a löning, överföringfunkion & PID-regulaor a y x 5 xd x L [ ] [ ] y L x 5 xd x& Y X 5 X X Y X 5 William Sandqvi william@kh.e
6.6 c löning, överföringfunkion William Sandqvi william@kh.e [ ] [ ] e X Y X e Y x L y L 5 5 5 c 5 x y Dödidproce
William Sandqvi william@kh.e
6.7 från överföringfunkion ill diffekv. William Sandqvi william@kh.e a 4 3 U Y G b 5 3 e U Y G c U Y G 4 3 d 3 4 U Y G
6.7 a lön. G ill diffekv. William Sandqvi william@kh.e a 4 3 U Y G u u y y y U U Y Y Y 3 4 3 4 & & &&
William Sandqvi william@kh.e
Laplaceranformabell L[ f ] L [ F ] William Sandqvi william@kh.e
6.8 egvar från överföringfunkion a b c d G 6 3 G 9 G 3 G e f G 4 G 4 William Sandqvi william@kh.e
a 6.8 a löning egvar G 6 L[ uniep] F f > 0 y co 4 6 6 William Sandqvi william@kh.e
a 6.8 a löning MATLAB G 6 Gf[],[,0,6]; ploepg; William Sandqvi william@kh.e
c G 6.8 c löning egvar [ ] L uniep y e William Sandqvi william@kh.e F f > 0,5 0,5 0,5 e 0
6.8 c löning MATLAB c G Gf[],[,]; ploepg; William Sandqvi william@kh.e
6.8 e löning egvar William Sandqvi william@kh.e e 0 > f F [ ] L uniep G?? Finn ej med i abellen då måe man parialbråkuppdela
6.8 e löning egvar William Sandqvi william@kh.e c b a De kan ha å å här innan man gjorde all liknämnig! anä äljaren gradal e gradal lägre än nämnaren b b a c a c b a c b a 0 0 c b a b b a c a
6.8 e löning egvar William Sandqvi william@kh.e 0 0 c b a b b a c a e y
6.8 e löning MATLAB e G Gf[],[,, 0]; ploepg; y e William Sandqvi william@kh.e
William Sandqvi william@kh.e
6. Parialbråkuppdelning William Sandqvi william@kh.e a 7 3 9 G b 4 G c 4 7 4 G d 3 5 4 3 G e 3 3 G f 6 5 5 G
6. a lön. meod Handpåläggning William Sandqvi william@kh.e a 7 3 9 G 0 7 7 7 3 9 7 3 9 7 3 9 0 7 7 7 6 G
6. a lön. meod Handpåläggning William Sandqvi william@kh.e a 7 3 9 G 0 7 7 7 3 9 7 3 9 7 3 9 0 7 7 5 7 6 30 6 G
6. a lön. meod Handpåläggning William Sandqvi william@kh.e a 7 3 9 G 7 7 7 3 9 7 3 9 7 3 9 7 5 G
William Sandqvi william@kh.e
6.9 Impulvar från överföringfunkion a b c d G 5 6 G 4 3 G G 5 William Sandqvi william@kh.e
6.9 a löning impulvar William Sandqvi william@kh.e a 6 5 G [ ] L impule 0 > f F p, q-formeln 3 6 5 5 6 5 ± 3 3 e e y G
a 6.9 a löning MATLAB G 5 6 Gf[],[, 5, 6]; ploimpuleg; y e e 3 William Sandqvi william@kh.e
William Sandqvi william@kh.e
6.0 egvar från empenor x Temperaur C 0, G 0 y Spänning V Ria egvare? William Sandqvi william@kh.e
6.0 löning, egvar 0, G 0 [ ] L uniep F f > 0 0 0, 0 y 0, e William Sandqvi william@kh.e
G 6.0 löning, MATLAB 0, 0 T 0::50; % 0 50 ek Gf[0.],[0, ]; plot,epg,t; Vi har kicka med en idvekor T, nu ämmer idkalan. 0 y 0, e William Sandqvi william@kh.e
William Sandqvi william@kh.e
G M [Nm] U [V] 6.4 Roboarm 3 T f G Θ[ rad ] M Nm [ ] U moorpänning J b Elmoor vridmomen M G G Roboarm William Sandqvi william@kh.e Θ vridningvinkel Eferfråga: vinkelhaighe? Vad blir roboarmen luhaighe i oren varv/minu [rpm] om e pänningprång U 6 [V] lägg på moorn? Använd luvärdeaen. Roboarmen röghemomen J 0,45 [kgm ]. Lufmoånde b,3 [Nm/rad]. Moorn idkonan T f 0,7 []. d d Θ
6.4 Roboarm löning idderivaa lim f lim 0 d Θ& [rad/ek] G U [V] GG d Θ Θ 6 U 6 3 Θ & U G G G T J b Sök vinkelhaighe f lim lim lim 0 0 f F 8 8 Θ & Θ & T b J b 8 b 8,3 [rad/] 8,3 luvärdeaen egändring 60 [rpm] 30[rpm] π William Sandqvi william@kh.e
6.4 roboarm - MATLAB D 3 G --------- 0.7 G ---------------- 0.45 ^.3 T0.7; b.3; J0.45; Df[, 0],[0, ] Gf[3],[T, ] Gf[],[J, b, 0] GerieD, G GerieG,G Spänningprång 6V och omvandling mellan rad/ ill varv/ plo 6*60/*pi *epg ; William Sandqvi william@kh.e
6.4 roboarm - MATLAB G Θ& [rad/ek] U [V] G G MATLAB erie beräknar den oala överföringfunkionen. 3 G ---------------------------- 0.35 ^3.36 ^.3 William Sandqvi william@kh.e
6.4 roboarm - MATLAB Spänningprång 6V 30 varv/minu Ine id direk, uan amplen nummer plo 6*60/*pi *epg ; William Sandqvi william@kh.e
William Sandqvi william@kh.e
6. egvar från roboarm u Spänning [V] && y y& u y Vridvinkel [rad] Ria egvare? William Sandqvi william@kh.e
Överföringfunkion: Segvar: 6. löning, egvar && y y& u L & Y Y [ ] L uniep U Y U [ && y y] L[ u]? Finn ine i ranformabellen! William Sandqvi william@kh.e
6. löning, egvar William Sandqvi william@kh.e b b a c a c b a c b a Parialbråkuppdela: 4 0 0 c b a b b a c a 4
6. löning, egvar William Sandqvi william@kh.e 0,5 4 0 > f F e y 0,5
6. löning, MATLAB G T 0::50; % 0 50 ek Gf[],[,, 0]; plot,epg,t; rad y e 0,5 William Sandqvi william@kh.e
6. MATLAB föroring G T 0:0.:5; Gf[],[,, 0]; plot,epg,t; De roboarmen miar i aren ar den aldrig igen de kan vi kanke förbära enare i kuren! med e regleryem. William Sandqvi william@kh.e
William Sandqvi william@kh.e
6.4 Diffekv. poler/0-ällen a y" 9y' 4y 3u b &&& y 6 && y y& 4y u& 4u c y " 4y' 3y u' u Överföringfunkioner Poler och 0-ällen 3 Saik förärkning 4 Tidkonaner William Sandqvi william@kh.e
6.4 a lön. Diffekv. poler/0-ällen a y" 9y' 4y 3u y" 9y' 4y G 3u 3 9 G 4 3 Y 9Y 4Y 3U 9 9 Poler: ± 4 7 7 3 7 3 Gain G 0 0, τ 0,5 τ 0, 5 7 7 William Sandqvi william@kh.e
6.4 a lön. poler/0-ällen MATLAB G 3 9 4 Gf[3],[,9,4]; pzmapg; 7 William Sandqvi william@kh.e
William Sandqvi william@kh.e