Mtemtik Chlmer Tentmen i TMA68 Tillämpd mtemtik K/Bt, ; KL 8:3-:3 Telefon: Okr Hmlet: 73-8834. Hjälpmedel: Endt utdeld vänd textlppen) tbell för Lplcetrnformer. Klkyltor ej tillåten. Uppgiftern -4 ger mx 6p vr, och 5-7 mx 8 poäng vr. Giltig bonupoäng tillkommer. Betyggräner: 3: -9p, 4: 3-39p och 5: 4p- Löningr/Grnkning: Se Hemidn, kurdgbok.. Använd Lplcetrnformer och lö ekvtionen: y t)+yt) = t +, y) =, y ) =.. Vi tt om < b, å är f L,b) f L,b) f L,b), där b /p, f Lp,b) := fx) ) p p <, f L,b) := mx fx). x b 3. Använd vribeleprtionmetoden och lö följnde värmeledningekvtion u t = 3u xx, < x < π, t >, u x, t) = uπ, t) =, t >, ux, ) = co x ) 5 co3x ), < x < π. 4. ) Betäm den exkt löningen till rndvärdeproblemet u x) =, < x <, u ) = u ) =. b) Beräkn, om möjligt, den tyckvi linjär, kontinuerlig finit element pproximtionen v löningen på prtitionen : x =, x = /, x = v [,. Är problemet vältält? 5. ) Betäm Fouriererien till följnde, 4-periodik, funktion {, < x <, fx) = x, < x <. b) Använd vret i ) och beräkn ummn k= k ). 6. Anätt Ux) = C inx) + C inx) om en pproximtiv löning till rndvärdeproblemet { + x)u x)) = in x, < x < π u) = uπ) =. Betäm ekvtionytemet för U: coefficienter C och C, m.h.. följnde ortogonlitetvillkor Rx) injx) =, j =, ; där Rx) := RUx)) är reidulen. 7. C n är de komplex Fourierkoefficientern till en π-periodik Riemnn integrerbr funktion f. Vi tt C n fθ) dθ, Beel olikhet I). π π LYCKA TILL! MA n= in inb = [co b) co + b) incob = [in b) + in + b) cocob = [co b) + co + b)
Tble of Lplce Trnform ft) F) ft) + bgt) F) + bg) tft) F ) t n ft) ) n F n) ) e t ft) F + ) ft T)θt T) e T F) f t) F) f) f t) F) f) f ) f n) t) t θt) t n n! fτ)dτ n F) F) n+ e t + coh t inh t cobt in bt t in bt b + b b + b + b ) b 3 in bt bt cobt) + b ) n n k f k ) ) k=
TMA68 Tillämpd mtemtik K/Bt, ; KL 8:3-:3. Löningr.. Lplcetrnformering med y) = och y ) = ger. Y ) y) y ) + Y ) = 3 + = + )Y ) = + 3 + = Y ) = + + + ) 3 + ) = + + + 3 = yt) = cot in t + t. f L,b) = b Alltå vi hr vit tt fx) bx = b b ) / fx) bx {C-S} b = b / b f x)) = b f L,b) b b mx x [,b f x) ) / = b b mx x [,b fx) = b / b mx ) fx) = b ) f L,b). x [,b f L,b) b f L,b) b ) f L,b). Om nu < b ) då är < b, och därför får vi f L,b) f L,b) f L,b). ) / f x) 3. Anätt ux, t) = Xx)Tt) ; inätning i differentilekvtionen ger 3X T = XT eller X X = T 3T = λ = {med rddt}; X = λx, X ) = Xπ) =. T = 3λT. Med X ) = Xπ) = endt λ < ger icke trivil löningr. Sätt λ = µ <, vi får då ) / Xx) = Acoµx + B in µx = X x) = Aµ in µx + Bµ coµx. X ) = = Bµ = = B = = Xx) = Acoµx. Xπ) = = Acoµπ = {A } = µπ = n )π = µ = n ). Alltå egenpr är Xx) = A n co n ) x, λ = n, n =,,.... ) ) För T gäller då T n = 3λ nt n = T n t) = T)e 3 n t, n =,,.... Superpoition ger den llmänn löningen ux, t) = n e 3 n ) t co n ) x. Ur bygynneledt: n= ux, ) = co x 5 co 3x = n= n co n ) x. Identifiering v koefficienter ger tt =, = 5 och n =, n >, och löningen är ux, t) = e 3 4 t co x 5e 7 4 t co 3x.
4. ) Med upprepd integrtion hr vi tt: u x) = = u x) = = u x) = x + A = ux) = x + Ax + B, där kontntern A och B betäm ur rnddt: ) u ) = + A = = A = u ) = + A = = A =. Dv, problemet knr löning. b) Vritionformulering får vi ur: ) u v = v. Prtiell integrtion och rnddt ger tt [ V L = [PI = u v u v u )v) + u )v) + 3) = v) + v) + u v = v = HL. Vritionformuleringen blir då: ök u V := {v : v + v < } å tt 4) u v = Motvrnde finit element rum är då definierd enligt v v) + v), för ll v V. V h := {v : vär kontinuerlig tyckvi linjär funktion på T h }, u v där T h är prtitionen med I := [, / och I := [/, och b funktioner: { { { x +, I x, I,, I, ϕ x) = ϕ, I, x) = ϕ x +, I, x) = x, I. ϕ ϕ ϕ x = x = / x = Finitelementmetoden FEM): ök U V h å tt 5) U v = v v) + v), för ll v V h. Anätt U = ξ ϕ + ξ ϕ + ξ ϕ i FEM) 5) med v = ϕ i, i =,,. Vi får 6) ξ ϕ + ξ ϕ + ξ ϕ )ϕ = ϕ ϕ ) + ϕ ) ξ ϕ + ξ ϕ + ξ ϕ )ϕ = ϕ ϕ ) + ϕ ) ξ ϕ + ξ ϕ + ξ ϕ )ϕ = ϕ ϕ ) + ϕ ) Styvhetmtrien blir räkn jälv!) A = = 4. h
Det leder till ett linjärt ekvtionytem Aξ = b för den okänd vektorn ξ = ξ, ξ, ξ ) med högerled: ϕ ϕ ) + ϕ ) = /4 + b = ϕ ϕ ) + ϕ ) = / + = 3/4 /. ϕ ϕ ) + ϕ ) = /4 + 5/4 Oberver tt A är inte inverterbr. Efterom det inte finn någr exkt löningr kn mn inte heller förvänt ig tt det pproximtiv metoden kn ge någr löningr. Alltå problemet är ill tält från fört börjn. 5. Enligt figuren f är verken jämn eller udd och vi hr llmänn Fourier erie utveckling ), fx) + n co x n= där n och b n är Fourierkoefficienter: n = L fx) = L L L + b n in x L fx)co x L, {, < x <, x, < x <. b n = L L L fx)in x L. 6 4 4 6 Perioden är L = 4 = L =, värför hr vi L = fx) = + x = L L n = fx)co x = [ = [ in x x + xin = ) co x [x + x co x + in x = n π [ co) b n = fx)in x = [ in x + = [ x co + x x co + [ co + co) 4 co) = Alltå vi hr fx) + n= = + ) =. xco x = ) n π ) n. xin x x co ) n π ) n co x + [ )n = ) n) in x ). ) n). b) Evluering i x = ger ob i x = är f dikontinuerlig, därför är f) = /). = + ) n π ) n = = ) k ) π = k ) = π 8. n= 3 k= k=
6. Vritionformulering: Multiplicer ekvtionen med v H och integrer över [, π, där ) v H := H[, π := {v : v x) + v x) <, v) = vπ) = }. Prtil integrtion ger tt vx) + x)u x)) = + x)u x)vx) π π + Med v) = vπ) =, får vi ) V F) + x)u x) v x) = ) + x)u x) v x). inxvx), v H. Motvrnde Glerkin metoden i ändligt dimenionell rum med bfunktioner in x och inx) är ) GM) + x)u x) ϕ ix) = in xϕ i x), ϕ i x) = inix), i =,. Nu med Ux) = C inx) + C inx) = C ϕ x) + C ϕ x) får vi tt, GM ) + x)c cox) + C cox) i coix) = inx inix), i =,, om vrr mot ytemet Aξ = b, där A = ij ), b = b i ), ξ = C i ), i, j =,, med ij = ij + x)cojx)coix), b i = Nu med prtil integrtion får vi tt = + x)co x) = [ x = + x) + 4 inx) π inix)inx), i, j =,. [ + x) + cox) x + 4 inx) ) = + π) π [ x 4 8 cox) π = + π)π π 4 = π + π 4. [ = = + x)cox)cox) = + x) cox) + co3x) [ = + x) inx) + 3 in3x) π intπ inx) + ) 3 in3x) = [cox) + 9 co3x) π [ ) = + 9 ) = 9 9 = 9. [ = 4 + x)co x) = + x) + co4x) Vidre är, p.g.. ortogonliteten = + x) [x + 4 in4x) π [ x = + π)π 6 co4x) π b = in x) = π, b = Alltå koefficientern få ur ekvtionen: [ 4 π + π ), 9 9 π + π 7. Se Föreläningnteckningr. MA x + 4 in4x) ) = π + π π = π + π. [ C inx)inx) =. = C [ π. 4