Gripenberg, Pohjonen, Solin. Mat Grundkurs i matematik 1 Tentamen och mellanförhörsomtagning

Transkript

1 Mat-.5 Grundkur i matematik Tentamen och mellanförhöromtagning.. Gripenberg, Pohjonen, Solin Skriv ditt namn, nummer och övriga uppgifter på varje papper! Räknare eller tabeller får inte använda i detta prov! Skriv tydligt på varje papper vilket prov du avlägger, Tentamenuppgifterna är 5 uppgifter av uppgifterna, 4, 6, 8, och. Mellanförhöromtagninguppgifterna är: Mf : Uppgifterna,, 3 och 4 Mf : Uppgifterna 5, 6, 7 och 8 Mf 3: Uppgifterna 9,, och.. (a) Antag att w = 3 i. Skriv det komplexa talet w + i i formen a + ib. i (b) Skriv de komplexa talen e 3πi och e 6πi i formen a + ib. Löning: (a) Efterom w = 3 + i får vi w + i i = 3 + i + i i = 3 + i i = 3( + i)( + i) + = 3 ( + i ) = 3i. (b) Efterom e iθ = co(θ) + i in(θ) får vi e 3πi = co( 3π) + i in( 3π) =, och e 6πi = co(6π) + i in(6π) =.. Betäm alla löningar till ekvationytemet med hjälp av Gau algoritm. x 4x +3x 3 6x 4 = 3 x +x x 3 +4x 4 = 3 3x +4x x 3 +x 4 = 9 x +x 3 +4x 4 = 6

2 Löning: Med hjälp av Gau eliminationmetod får vi r r + r r 3 r 3 + 3r r 4 r 4 + r r 3 r 3 4r r 4 r 4 4r Om vi nu väljer x 3 = och x 4 = t å får vi löningarna x 3 x x 3 = + + t. x 4 3. Antag att A och B är två m m-matrier å att ingendera av dem är nollmatrien men AB =. Förklara varför det följer av detta att det(a) = det(b) =. Följer det av villkoret AB = att ockå BA =? (Via detta eller ge ett motexempel.) Ledning: Om tex. det(a) å är A... Löning: Om tex. det(a) å är A inverterbar och då kan vi multiplicera båda idorna av = AB från vänter med A å att = A = A AB = IB = B, vilket är en motägele efterom vi antog att B. Om det(b) å är B inverterbar och vi kan på amma ätt via att A = genom att multiplicera båda idorna av = AB från höger med B och vi får ockå i[ detta fall ] en motägele. Detta innebär att det(a) = det(b) =. Om man väljer A = och B = å gäller naturligtvi A och B och ockå AB = men BA =. 4. Den reella och ymmetrika [ -matrien A har determinanten, egenvärdet 5 och 3 motvarande egenvektor är. Vad är det andra egenvärdet, motvarande egenvektor och 4] vad är A? Ledning: Om du inte lycka betämma det andra egenvärdet och motvarande egenvektor kan du förklara hur du kunde betämma A om du kände till alla egenvärden och egenvektorer.

3 Löning: Efterom A är en -matri har den egenvärden av vilka ett är 5. Determinanten är produkten av egenvärdena och därför måte det andra egenvärdet vara. Efterom matrien är reell och ymmetrik är egenvektorer om hör till olika egenvärden vinkelräta mot varandra vilket innebär att en egenvektor för egenvärdet är gäller [ 4 3]. Om vi nu bildar matrien V med egenvektorerna om kolumner, dv. V = A = V 5 V = [ ] = = å (a) Är up(a B) = min{up(a), up(b)}? (b) Uppnår funktionen ett törta och/eller minta värde i intervallet (, )? (x )( x) Motivera dina var! Löning: (a) Påtåendet gäller inte för om tex. A = {, } och B = {, } å är up(a B) = up({}) = men up(a) = och up(b) = å min{up(a), up(b)} = >. (b) Låt f(x) =. Efterom lim (x )( x) x + f(x) = + men f(x) < för alla x (, ) uppnår f inte itt törta värde. Att funktionen uppnår itt minta värde följer av att den är kontinuerlig i intervallet (, ) och av att det ockå gäller lim x f(x) = +. Deutom är det ganka enkelt att e att f(x) f( 3 ) efterom funktionen (x )( x) uppnår iit törta värde i punkten En tege om är 4 m lång tor lutad mot en lodrät vägg å att den nedre ändan av tegen befinner ig m från väggen. Uppkatta med hjälp av linjär approximering och Pytagora teorem hur mycket närmare väggen den nedre ändan av tegen kall flytta om man vill att den övre ändan av tegen kall komma cm högre upp. Löning: Om x är avtåndet från nedre ändan av tegen till väggen och y(x) är höjden över golvet av den övre ändan å gäller x + y(x) = 4 = 6. Om vi deriverar med aveende på x får vi x + y(x)y (x) = eller y (x) = x. Nu vill vi att. = y(x x) y(x) vilket y(x) innebär att. y (x) x = x x y(x), och vi får. y(x) x =. 6 =. 5.8, x vilket betyder att de nedre ändan kall flytta ca. 3 cm närmare väggen.

4 7. När man kulle löa ekvationen f(x) =, där f är åtmintone två gånger kontinuerligt deriverbar, med hjälp av Newton-Raphon metod och tartvärdet x = 3. fick man följande reultat: x = x = x 3 = x 4 = x 5 = x 6 = x 7 = x 8 = x 9 = x = x = x = Det er ut om om lim n x n = 3 men vilka lutater kan man av dea reulat dra om hur funktionen f uppför ig i närheten av punkten 3? Förklara hur du reonerat! Löning: Efterom f är två gånger deriverbar kan man vara äker på att f (x n ) inte går mot då x n 3 och efterom x n+ = x n f(x n) f (x n och lim n (x n+ x n ) = å gäller lim n f(x n ) =, dv. f(3) =. Men om f (3) kulle var borde man vänta ig att konvergenen kulle vara mycket nabbare i lutet å det er ut om om f (3) =. 8. (a) En vattentank innehåller 4 liter altvatten i vilket det finn g alt per liter vid tidpunkten t =. Till tanken pumpa med en hatighet av 3 liter per minut altvatten om innehåller g alt per liter vid tidpunkten t. Av den väl omrörda blandningen pumpa +t 3 liter per minut ut (å att vätkemängden i behållaren håll oförändrad). Låt y(t) vara den totala mängden alt i behållaren vid tidpunkten t. Betäm y() och betäm den differentialekvation om uppfyll av y(t) (dv. förklara hur du kommit fram till den). Du behöver inte löa differentialekvationen. (b) Betäm den allmänna löningen till differentialekvationen y (t) + 7y (t) + y(t) = Löning: (a) Efterom det vid tidpunkten t = finn g alt per liter i vattnet och tanken innehåller 4 liter blir den totala altmängden 4 = 8 g, å att y() = 8. Låt nu t vara ett å kort tidintervall att altkoncentrationen och vätkemängden i behållaren inte ändra i någon väentlig utträckning. Vid tidpunkten t är altkoncentrationen y(t) y(t) och det betyder att det mellan t och t kommer in 3 t g alt och rinner ut +t t g alt å att y(t + t) y(t) y(t) 3 t + t 4 3 t. Om vi nu dividerar med t och tar gränvärdet då t å får vi ekvationen y (t) = 3 + t 3 y(t), t. 4 med intialvärdet y() = 8. (b) Den karakateritika ekvationen (om man erhåller genom att ätta in y(t) = e rt ) är r + 7r + =,

5 och den har löningarna Den allmänna löningen är därför r = 7 ± = 7 ± = { 3, 4. y(t) = c e 3t + c e 4t. 9. Beräkna Laplace-tranformen, dv. integralen e t f(t) dt, av funktionen f där f(t) = t då t och f(t) = annar. Ledning: Ett ätt är att integrera partiellt två gånger men man kan ockå tex. använda den andra förkjutningregeln. Löning: Med hjälp av partiell integrering får vi e t f(t) dt = e t t dt = / ( = e + ) e t t / ( ) e t dt ( ) e t = e e +. Ett annat ätt är att kriva f(t) = tu(t) tu(t ) = tu(t) (t )u(t ) u(t ) där u(t) = då t > och annar. Efterom Laplace-tranformen av t är blir Laplacetranforem av f enligt den andra förkjutningregeln e t f(t) dt = e e.. Beträffande en kontinuerlig funktion f : [, 4] R känner man till följande värden: x f(x) Hur kan man betämma ett närmevärde för 4 f(x) dx? Obervera att avtånden mellan de givna punkterna på x-axeln inte är lika långa. Du behöver inte räkna ut ett lutligt värde men ge ett uttryck om man enkelt kunde räkna ut med hjälp av en räknare. Löning: Man kan använda tarpetmetoden om innebär att man approximerar integralen xj x j f(x) dx med (f(x j ) + f(x j ))(x j x j ) och edan räknar umman av integralerna över delintervallen. Det ger reultatet b n f(x) dx (f(x j ) + f(x j ))(x j x j ), a j= om a = x < x <... < x n < x n = b. I detta fall får vi b a f(x) dx (. +.9).4 + (.9 +.5).4 + (.5 +.7). + (.7 +.9). + (.9 +.5).4 + (.5 +.5).4 =

6 . Antag att y(t) är löningen till ekvationen y (t) + 3y(t ) = och y(t) = då t. Betäm Laplace-tranformen av y(t). Ledning: Då man räknar Laplace-tranformen av termen 3y(t ) kan det vara käl att dela upp integralen i två delar, den ena kan man räkna ut direkt efterom y(t) = då t och den andra kommer att innehålla Laplace-tranformen av y(t). Löning: Låt Y () = L(y)(). Då är L(y )() = Y () y() = Y () +. Enligt definitionen och antagandet att y(t) = då t är L(3y(t ))() = = / 3 e t + 3e e t 3y(t ) dt = e t ( 3) dt + 3 e t y(t ) dt e (t ) y(t ) dt = 3 ( e ) + 3e e τ y(τ) dτ = 3 ( e ) + 3e Y (). Efterom deutom L()() = å får vi då vi tar Laplace-tranformen av båda idorna i ekvationen Y () ( e ) + 3e Y () =, å att L(y)() = + 3( e ). + 3e. Om du kall räkna mod ( , 57) och i Matlab/Octave ger kommandot mod(983ˆ567,57) får du om var NaN. Förklara hur man kan räkna ut mod ( , 57) å att man i varje teg bara behöver räkna ut mod (n, 57) där n är något tal mellan och 3 6. Du kall inte utföra räkningarna. Löning: En möjlighet är att låta x = 983 och edan i tur och ordning räkna x,..., x 567 å att x j+ = mod (983 x j, 57). Ett annat, effektivare ätt är att räkna ut talen y j = mod (983 (j), 57) genom att låta y = 983 och edan räkna y j+ = mod (yj, 57) för j =,, Efterom 567 = och kan vi edan räkna z = 983, z 3 = mod (y z, 57), z 7 = mod (y z 3, 57), z 3 = mod (y 4 z 7, 57), z 55 = mod (y 5 z 3, 57) och z 567 = mod (y 9 z 55, 57) och då blir z 567 = mod ( , 57).